www.chiquinho.org GABARITO 01)(UFRRJ

GABARITO
01)(UFRRJ-09) Sustentabilidade é um conceito sistêmico, relacionado com a continuidade
dos aspectos econômicos, sociais, culturais e ambientais da sociedade humana. Para um
empreendimento humano ser sustentável, tem como requisitos básicos ser: ecologicamente
correto, economicamente viável, socialmente justo e culturalmente aceito. Neste sentido,
tem sido intensa a busca por alternativas para a reciclagem de cerca de 20 milhões de pneus
que são jogados fora todos os anos, no Brasil. Preocupação justificável, já que, além de
levar 100 anos para se decompor, quando cheios de água, podem ser um ótimo esconderijo
para o mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. O mesmo pneu velho que incomoda e ameaça a saúde
da população nos aterros sanitários e lixeiras pode ser reaproveitado de várias maneiras. Em 2004,
Pesquisadores da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, desenvolveram um projeto, em um trecho de dois
quilômetros da Rodovia Régis Bittencourt (BR-116), que liga o Sul ao Nordeste do Brasil. Nesse trecho da
estrada que passa pela cidade gaúcha de Guaíba - entre os quilômetros 318 e 320 - cerca de 700 pneus foram
derretidos e unidos à massa asfáltica, chamado de “asfalto ecológico”, para reforçar toda a estrutura e, de volta,
acabar com os insistentes buracos. O único ponto negativo deste intento é o encarecimento dos custos, já que a
utilização do asfalto ecológico é 20% mais cara do que o asfalto convencional. Apesar disso, o ganho ambiental
da saúde, e até mesmo de imagem, torna a idéia um empreendimento sustentável. Para juntar a quantidade de
pneumáticos descartados no Brasil, na mesma proporção do “asfalto ecológico”, a fim de asfaltar os 48 mil
quilômetros de rodovias federais brasileiras, será necessário um período de
(A) 10 anos.
(B) 5 anos.
(C) 3 anos.
(D) 2 anos.
(E) 1ano
Resolução: Como cerca de 700 pneus , derretidos e unidos à massa asfáltica, reforçam 2 quilômetros de
estrada, então , usando um regra de três simples (fazendo uma proporção), vamos determinar a quantidade de
pneus para asfaltar 48 mil quilômetros:
2x = 48000 ⋅ 700
quantidade de pneus
700
x
km
2
48000
2x = 33 600 000
x = 16 800 000 pneus
e como , por ano , são jogados fora cerca 20 milhões de pneus no Brasil , então usando uma outra regra de três
simples podemos determinar o tempo necessário:
quantidade de pneus jogados fora
20 000 000
16 800 000
20 000 000 ⋅ x = 16 800 000 ⋅1
x=
tempo em anos
1
x
16 8 00 000
20 0 00 000
x = 0,84 ano ≅ 1ano
www.chiquinho.org
GABARITO
02) (UNIFESP – 2008) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos
arranjados na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular.
Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.
3
1
6
10
Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1 , T2 = 3 , T3 = 6 , T4 = 10 , e assim por diante. Dado
que Tn satisfaz a relação Tn = Tn −1 + n , para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a
(A) 5.050
(B) 4.950
(C) 2.187
(D) 1.458
(E) 729
Resolução: Observe que , por exemplo , o terceiro número triangular apresenta no desenho a forma de um
triângulo constituído por 3 linhas , com 1 ponto na 1ª linha , 2 pontos na 2ª linha e 3 pontos na 3ª linha. Em
todos os números triangulares a disposição dos pontos, para a formação do triângulo, segue o mesmo critério.
Assim o centésimo número triangular T100 é representado do seguinte modo:
1 ponto
2 pontos
3 pontos
.
.
.
100 pontos
...
.
.
.
Sendo a sequência (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , 100) uma P.A. , onde cada elemento representa o total de pontos por
linha , então a soma dos termos da P.A. determina o centésimo número triangular T100 , portanto
Tn = Sn =
T100 =
n ( a1 + a n )
100
2
50
(1 + 100 ) = 50 ⋅101 = 5050
2
www.chiquinho.org
GABARITO
03)(UNIFESP – 2005) No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se
1 1 1
cubos com arestas de medidas 1 , , ,
, e assim por diante, conforme mostra a figura.
3 9 27
1/ 9
1/ 3
1
1
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é:
(A) 3
(B)
5
2
(C)
3
2
(D) 2
(E)
7
3
1 1
Resolução: O menor valor para h corresponde ao limite da soma infinita S∞ = 1 + + + .... , veja figura:
3 9
h
1/ 9
h
1/ 3
1
1
1
a
1
Os termos dessa soma constituem , nessa ordem , uma P.G. de razão q = 3 = . Assim , sendo S∞ = 1 ,
1 3
1− q
a
1
1
3 3
temos h = S∞ = 1 =
= = 1⋅ =
1− q 1− 1 2
2 2
3 3
www.chiquinho.org