Apresentação do PowerPoint - Páginas Pessoais

PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
1
PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
2
Introdução
 O que é Variável Aleatória?
– Variável aleatória é uma função que relaciona os
valores de uma variável com probabilidades.
– Podemos identificar dois tipos de variáveis
aleatórias : discretas e contínuas.
 O que são Parâmetros?
– São informações que controlam o
comportamento da variável aleatória.
– Exemplo: média.
3
Alguns modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias
 Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma série
de problemas práticos.
 Logo, um estudo pormenorizado dessas variáveis é de grande
importância para a construção de modelos probabilísticos para
situações reais e a consequente estimação de parâmetros.
 Para algumas dessa distribuições existem tabelas que facilitam o
cálculo de probabilidades, em função de seus parâmetros.
 Nesta seção, iremos estudar alguns desses modelos, procurando
enfatizar as condições em que eles são utilizados – as funções
de probabilidades (variáveis discretas) ou de funções de
densidade de probabilidade (variáveis contínuas) , bem como
calcular probabilidade de ocorrência de eventos.
4
Distribuição de Probabilidade?
 Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a
chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço
de valores.
 Ela é uma função cujo domínio são os valores da variável e
cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada
valor do domínio.
 O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao
intervalo entre 0 e 1.
 Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em
um jogo de dados) ou contínua.
 É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de
probabilidade.
5
Distribuições de Probabilidades
para Variáveis Aleatórias Discretas
 Distribuição Uniforme Discreta
 Distribuição de Bernoulli
 Distribuição Binomial
 Distribuição de Poisson
6

Distribuição Uniforme Discreta
7
Distribuição de Bernoulli
 O que as perguntas têm em comum?
– Diminuirão os casos de dengue no próximo ano?
– Haverá uma alta do trigo este ano?
– Uma moeda lançada vai dar cara?
 O tipo de resposta:
– Sim ou não.
8
Distribuição de Bernoulli
Variáveis aleatórias cuja resposta é sim/não
seguem uma distribuição de Bernoulli.
X ~ Ber ( p )
Sim ou
não?
Sim (X=1)
Não (X=0)
p
1–p=q
E(X )
p
V (X )
pq
(q
p)
1
Distribuição Binomial
 Considere agora as seguintes perguntas:
– Quantas vezes vão ocorrer casos de dengue no próximo ano?
– Quantas vezes vai haver uma alta do trigo nos próximos 20 anos?
– Se lançarmos uma moeda 5 vezes, quantas vezes teremos cara?
Muitas vezes, não queremos saber apenas se
algo ocorre ou não.
Queremos saber quantas vezes ela ocorre.
10
Distribuição Binomial
 Se lançarmos uma moeda 5 vezes, quantas vezes teremos cara?
cara(1/2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
cara
(1/2)
Com apenas 5
lançamentos o método da
árvore se torna inviável .
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
Início
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
coroa
(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
cara(1/2)
árvore das probabilidades
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
coroa(1/
2)
cara(1/2)
coroa(1/
2)
11
Distribuição Binomial
A distribuição binomial resolve problemas de
contagem respondendo perguntas do tipo
“quantos” em experimentos onde:
(1) há dois resultados possíveis ,
(2) a probabilidade de sucesso é constante e
(3) os eventos são independentes.
E(X )
X ~ Bin ( n , p )
Var ( X )
P(X
x)
n!
x! n
x
p q
n
np
npq
x
x !
12
Distribuição de Poisson
 Muitas pessoas confundem a distribuição binomial com a de Poisson, já
que ambas resolvem problemas de contagem.
 Uma diferença fácil de observar entre as duas é que a binomial tem um
número máximo possível de ocorrências e a Poisson não tem.
EXEMPLOS:
 Se lançarmos uma moeda 3 vezes, qual é o número máximo de caras que
se poderá obter?
 Se lançarmos uma moeda 100 vezes, qual é o número máximo de caras
que se poderá obter?
 Quantas pessoas estarão na fila no horário de pico?
 Quantos telefonemas por dia são registrados em um call center?
 Quantos acidentes vão acontecer este ano?
 Assim, uma pergunta como “quantas pessoas estarão na fila no horário
de pico” não pode ser respondida por uma binomial.
13
Distribuição de Poisson
Nestes exemplos, interessa contar quantas vezes
alguma coisa acontece em um espaço contínuo
de tempo. Quando isso acontece, podemos usar
a distribuição de Poisson
X ~ Poisson
P(X
k)
(
E(X )
)
k
e
Var ( X )
k!
14
Distribuições de Probabilidades para
Variáveis Aleatórias Contínuas
(f.d.p.)
 Distribuição Uniforme Contínua
 Distribuição Normal
 Distribuição Exponencial
 Distribuição de Gama
 Distribuição Qui-Quadrado
 Distribuição t de Student
 Distribuição F de Snedecor
15
Distribuição Normal
 Quanto tempo vai demorar até o fornecedor entregar a
encomenda que fizemos hoje?
tempo de entrega
semanas
16
Distribuição normal
tempo de entrega
Com base em dados, podemos
construir um histograma.
Já vimos que, tornando o tamanho
dos blocos cada vez menores,
chegamos a uma função que se
ajusta aos dados.
Que função é essa?
Podemos propor um triângulo.
Mas essa distribuição tem alguns
problemas…
semanas
Por exemplo, ela diz que o tempo
de entrega tem um valor mínimo e
um valor máximo que pode assumir
(cerca de 1,45 e 1,98 semanas).
É razoável pensar que é impossível
o produto demorar menos do que
1,45 ou mais do que 1,98 semanas
para ser entregue?
Distribuição normal
tempo de entrega
Diminuindo o tamanho dos
intervalos, vemos surgir outros
problemas.
No topo da distribuição, a gente
parece ter uma forma
arredondada, não uma ponta.
Mais ainda, a distribuição triângular
não se ajusta muito bem aos
dados nas caudas.
semanas
Precisamos então de uma
distribuição ligeiramente
arredondada, que não tenha limites
e que tenha caudas.
No momento em que a turma
compreender isso, pode-se
introduzir a distribuição normal
18
Distribuição normal
tempo de entrega
2
1
1
f (x)
0 ,1
e
2
x
1,7
0 ,1
2
Assim, se introduz a curva normal como
uma sugestão para modelar os dados.
semanas
19
Distribuição normal
tempo de entrega
2
1
1
f (x)
0 ,1
e
2
x
1,7
0 ,1
2
Desvio padrão = 0,1
Cotação
Tempo médio
de média
entregado
= 1,7 semanas
dólar = 1,7
2
1
Neste exemplo, a distribuição normal é expressa por:
1
f (x)
0 ,1
e
2
2
x
1,7
0 ,1
Distribuição normal
tempo de entrega
Desvio padrão = 0,1
1,7 é o tempo médio de entrega,
mostrado pelas linhas azuis no
histograma e na fórmula.
Já o desvio padrão, que dá o
quanto o tempo de entrega varia
em torno da média, é 0,1, indicado
pelas linhas laranjas e mostradas
na fórmula.
No próximo slide, mostraremos a
curva normal genérica.
Cotação
do
Tempo médio de entrega
= 1,7média
semanas
dólar = 1,7
2
1
Neste exemplo, a distribuição normal é expressa por:
1
f (x)
0 ,1
e
2
2
x
1,7
0 ,1
Distribuição normal
X ~ N (
2
;
)
E(X )
V (X )
2
1
f (x)
1
e
x
2
2
2
Note que a distribuição normal possui dois parâmetros: o valor esperado e a
variância.
O valor esperado é igual ao valor médio da variável aleatória normal.
É importante ter uma noção intuitiva do que significam os parâmetros da normal,
porque esta distribuição é muito útil.
Distribuição normal
 Qual a probabildiade do tempo de entrega ser acima de 1,80
semanas?
1
P(X
1
1 , 80 )
1 , 80
tempo de entrega
e
2
x
2
dx
2
Impossível!!!
A probabilidade de X>1,80 seria a área abaixo
da curva normal
e apontar o fato de que isso seria calculado pela
fórmula mostrada.
Com a matemática apresentada nos cursos de
Cálculo, esta integral não pode ser resolvida.
semanas
Os matemáticos conseguiram calcular a integral
acima para uma variável com =0 e =1.
Esta variável, Z~N(0,1), segua o que se chama
uma distribuição normal padrão.
Distribuição normal
 Qual a probabilidade do tempo de entrega ser acima de 1,80
semanas?
tempo de entrega
1
P(X
1
1 , 80 )
1 , 80
z
P (Z
z)
1
e
2
x
2
dx
2
1
e
2
z
2
dz
2
Para esta integral, os matemáticos
conseguiram encontrar uma solução.
semanas
24
tempo de entrega
1
P(X
1
1 , 80 )
1 , 80
z
P (Z
z)
1
e
x
2
2
dx
2
1
e
2
z
2
dz
2
Para esta integral, os matemáticos
conseguiram encontrar uma solução.
semanas
Comparando as duas, deve-se conseguir observar que:
Z ~ N(0,1)
e que
Z = (X – )/
A distribuição N(0,1) é uma distribuição normal padrão e a variável Z é dita
padronizada.
25
Distribuição normal padronizada
 Como podemos saber
quanto é P(Z>1)?
 Para isso, precisamos de
uma tabela da distribuição
normal (padronizada)
 A tabela ao lado nos dá a
área à esquerda de um valor,
ou seja, nos dá a
probabilidade de Z ser
menor do que um
determinado valor.
26
Distribuição normal padronizada
P(X<-2,76)=0,0029
27
Distribuição normal padronizada
 Qual a probabildiade do tempo de entrega ser acima de 1,80
semanas?
tempo de entrega
P(X
1 , 80 )
P
X
1 , 80
1 , 70
P Z
1
0 ,1
P(Z > 1) é conhecido e é igual a 15,86%.
COMO????
semanas
P(Z > 1) = 15,86% ?
Vejamos como determinar P(Z > 1) …
Distribuição normal padronizada
 Como podemos saber quanto é P(Z>1)?
 P(Z>1) = 1 – P(Z<1)
 P(Z<1) pode ser obtido pela tabela...
 P(Z<1) = 0,8413
– P(Z>1) = 1 – 0,8413
– P(Z>1) = 0,1586
– P(Z>1) = 15,86%
Agora, retornamos ao problema de como
obtivemos P(Z>1).
Não temos P(Z>1) diretamente, mas
temos P(Z<1). Com esse resultado,
calculamos P(Z>1) = 1 – P(Z<1) e
chegamos a 1586%, como tínhamos dito
anteriormente.
Desvios da normalidade
 A distribuição normal é igual para ambos os lados. Ela é
claramente simétrica.
 Nem todas as distribuições são assim. Elas são ditas
assimétricas.
 A assimetria nos diz se a variável aleatória tende a se afastar da
moda igualmente para os dois lados ou mais para um lado do
que para outro.
30
Desvios da normalidade
 Assimetria
Moda = Média = Mediana
Mediana
Moda
31
Moda = Média = Mediana
Mediana
Moda
Em uma distribuição simétrica, como a normal, o valor máximo divide a distribuição em
dias, partes idênticas. Portanto, a moda é igual à mediana.
Como a média está sempre entre a moda e a mediana, as 3 são iguais.
Isso não ocorre no caso de uma distribuição assimétrica.
No caso da distribuição em azul, a moda está no início da distribuição e claramente não
divide a amostra em duas partes iguais.
A moda é, portanto, diferente da mediana.
A assimetria, portanto, pode ser detectada olhando o gráfico da distribuição ou
comparando a moda com a mediana e vendo se elas são iguais ou diferentes.
Distribuição exponencial
 Considere as seguintes
perguntas:
 Quantas pessoas chegam na
fila no horário de pico?
X = número de pessoas que
chegam na fila no horário de
pico
 Qual é o tempo que demora
entre a chegada de duas
pessoas?
T = tempo entre a chegada de
duas pessoas
33
Distribuição exponencial
 Pode-se mostrar que, se X segue uma distribuição de Poisson, o
tempo entre duas pessoas na fila seguirá uma distribuição
exponencial, dada por:
f (t )
e
t
 Qual é o valor esperado de T ?
34
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial modela tempos entre eventos que seguem
uma distribuição de Poisson.
As distribuições exponencial e a de Poisson correspondentes possuem
o mesmo parâmetro.
f (t )
E (T )
Var ( T )
t
e
1
1
2
35
Distribuição exponencial
Poisson
Exponencial
Significado
Número de pessoas que
chegam em média
Tempo entre a chegada de
duas pessoas
Valor esperado (média)
λ
1/λ
Variância
λ
1 / λ2
36
Distribuição exponencial
t
P (T
t)
e
s
ds
e
s
t
1
0
0
P (T
t)
1
P (T
P (T
t)
1
(1
P (T
t)
e
t)
e
t
e
t
Função de
distribuição
acumulada da
exponencial.
)
t
37
Distribuição exponencial
 A duração de vida de uma lâmpada tem distribuição
exponencial com duração esperada de 1.000h. Qual é a
probabilidade de ela durar mais do que 1.000h?
E (T )
1
1
1 . 000
0 . 001
1 . 000
P (T
t)
e
P (T
1 . 000 )
t
e
0 . 001
1 . 000
e
1
37 %
38
Referências
*BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da
disciplina “Introdução à Bioestatística Florestal”.
Piracicaba, 1997.
*BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5.
ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
*LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística:
teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos
e Científicos, 2008.
*VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística
ministradas no Câmpus Dois Vizinhos. 2014.
Referências básicas:
 VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística ministradas no
Câmpus Dois Vizinhos. 2014.






BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da disciplina “Introdução à Bioestatística
Florestal”. Piracicaba, 1997.
BUSSAB, Wilton O. Estatística Básica. 6.Ed.São Paulo, SP: Saraiva, 2010.
CAMPOS, Celso Ribeiro; WODEWOTZKI, Maria Lúcia Lorenzetti; JACOBINI, Otávio Roberto.
Educação Estatística: Teoria e Prática em Ambientes de Modelagem Matemática. 1. Ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2011.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e interferência. São Paulo: Pearson
Education Prentice Hall, 2010.
VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
Referências complementares:






DOWNING, D. Estatística aplicada. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
FONSECA, J. S. da. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2008.
MAGNUSSON, W.; MOURÃO, G. Estatística sem matemática: a ligação entre as questões e análise.
Londrina: Editora Planta, 2005.
PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R: uma visão estatística. 2. ed. São Paulo: UFV, 2011.
VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
40