A radiação de uma distribuição de cargas em movimento

A radiação de uma distribuição de cargas em movimento
A radiação eletromagnética é produzida por cargas aceleradas. Nesta postagem vamos ver como esse processo
radiativo acontece no caso de um sistema de cargas em movimento. Há algumas considerações que precisam ser
feitas, como a hipótese de que a distribuição permanece espacialmente localizada, mas, em essência, a abordagem
a seguir é bastante geral para a dinâmica clássica e não relativística das cargas.
A primeira hipótese que fazemos é que as cargas estão sempre localizadas dentro de uma região V limitada
do espaço. Consideramos que a distribuição de cargas está tão distante do ponto de observação, r, que temos
|r|
|r0 |
para todo
r0
∈ V.
Dessa forma, podemos expandir
φ (r) e A (r)
como somas infinitas em potências de
|r0 |
|r|
Aqui usamos a notação
r = |r| e r0 = |r0 | .
Temos, assim,
1
|r − r0 |
1
=
p
(r −
=
q
r2 − 2r · r0 + (r0 )
r0 )
· (r − r0 )
1
2
1
=
r
q
1 − 2 rr ·
r0
r
+
r0 2
r
"
0 0 2 #−1/2
1
r
r
r
1−2 ·
+
.
r
r
r
r
=
Definimos, agora,
η
r
= −2 ·
r
0 0 2
r
r
+
r
r
f (η)
(1 + η)
e
=
−1/2
.
Claramente vemos que
0 6 |η| 1,
já que
r0
r
por hipótese. Sendo assim, consideramos a série de Taylor em torno de zero para a função f :
f (η)
=
1
3
1 − η + η2 + . . . .
2
8
Vamos aproximar a função f até a segunda ordem em
r0
.
r
1
Assim, η já é um polinômio dessa ordem e precisamos desprezar termos de ordens superiores em η 2 apenas, já
que as outras potências mais altas de η devem ser desprezadas por conterem somente termos de ordens superiores
à segunda ordem de
r0
.
r
Portanto,
"
0 0 2 #2
r
r
r
2
+
η =
−2 ·
r
r
r
0 2
0 0 2 0 4
r
r
r
r
r
r
= 4
−4 ·
+
·
r
r
r
r
r
r
0 2
r
r
.
≈ 4
·
r
r
Com isso, obtemos
1
|r − r0 |
(
"
0 0 2 #
0 2 )
1
r
r
r
3 r
r
1−
−2 ·
+
·
+ ...
+
2
r
r
r
2 r
r
=
1
r
=
1 r · r0
1 (r0 )
3 (r · r0 )
+ 3 −
+
+ ....
3
r
r
2 r
2 r5
2
2
Usando
r̂ =
r
,
r
também podemos escrever
1
|r − r0 |
2
=
=
2
1 r̂ · r0
3 (r̂ · r0 ) − (r0 )
+ 2 +
+ ...
r
r
2r3
0 m
∞
1 X
r
αm
,
(1)
r m=0
r
com
α0
=
1,
α1
=
r̂ · r̂0 ,
etc.
De forma análoga, temos
s
0 0 2
r
r
r
1−2 ·
+
r
r
r


2
"
0 0 2 # 2


r0
1 r0
1
1
r
r
r
r
= r 1− ·
+
+
−
−2 ·
+
+ ...


r
r
2 r
4
2
r
r
r
|r − r0 | = r
2
2
1 r0
1 r̂ · r0
= r − r̂ · r + r
−r
+ ...
2 r
2
r
"
#
0
0 2
1
−
(r̂
·
r̂
)
r
= r − r̂ · r0 + r0
+ ... .
2
r
0
Assim, escrevemos
|r − r0 |
ρ r ,t −
c
0
=
r r̂ · r0
r0
ρ r ,t − +
−
c
c
c
0
2
"
2
1 − (r̂ · r̂0 )
2
#!
0
r
+ ...
.
r
Nesse ponto definimos
t0
= t−
r0
−
c
"
r r̂ · r0
+
c
c
e
∆t
0
=
2
1 − (r̂ · r̂0 )
2
#
0
r
+ ... .
r
Vemos, portanto, que ∆t0 é da ordem de
r0
.
r
e, portanto, podemos expandir a densidade de carga como uma série de potências em ∆t0 como segue:
|r − r0 |
0
= ρ (r0 , t0 + ∆t0 )
ρ r ,t −
c
∞
n
X
1
n ∂
ρ (r0 , t0 ) .
=
(∆t0 )
0n
n!
∂t
n=0
Notamos também que
∂ρ (r0 , t0 )
∂t0
=
∂
∂ t−
r
c
r r̂ · r0
0
ρ
r
,
t
−
+
0
c
c
+ r̂·r
c
e, como
∂ t−
∂
∂t
r
c
=
+
r̂·r0
c
∂
∂t
∂ t−
∂
=
∂ t−
r
c
+
r̂·r0
c
r
c
+
r̂·r0
c
r̂·r0
c
,
podemos escrever
0
∂ρ r0 , t −
0
∂ρ (r , t )
∂t0
=
r
c
+
∂t
e, portanto,
|r − r0 |
ρ r ,t −
c
0
= ρ (r0 , t0 + ∆t0 )
=
∞
n
X
1
r r̂ · r0
n ∂
0
(∆t0 )
ρ
r
,
t
−
+
.
n!
∂tn
c
c
n=0
(2)
Como as cargas estão sempre dentro da região limitada V , suas trajetórias devem ser tais que as velocidades
tangenciam a fronteira de V , com componentes normais nulas exatamente sobre a fronteira. Podemos imaginar
que tais trajetórias podem ser decompostas, aproximadamente, em movimentos periódicos tangentes e normais
à fronteira de V . Como estamos supondo partículas não relativísticas, suas velocidades são muito menores do
que c e, portanto, as frequências dos movimentos que compõem suas trajetórias devem ser tais que satisfazem
ωr0
c.
Em termos de sua transformada de Fourier temporal, a densidade de carga em t0 pode ser escrita como
ˆ +∞
h
r r̂ · r0
r i
r̂ · r0
dω ρ̃ (r0 , ω) exp −iω t −
ρ r0 , t − +
=
exp −iω
.
c
c
c
c
−∞
Portanto, para velocidades não relativísticas,
r̂ · r0
exp −iω
≈
c
3
1 − iω
r̂ · r0
,
c
até ordem
v
,
c
onde v é a velocidade máxima na distribuição de cargas em movimento. Assim,
ˆ +∞
h
r r̂ · r0
r i
r̂ · r0
ρ r0 , t − +
dω ρ̃ (r0 , ω) exp −iω t −
1 − iω
≈
c
c
c
c
−∞
h
0 ˆ +∞
r̂ · r
r i
r
−i
dω ρ̃ (r0 , ω) ω exp −iω t −
= ρ r0 , t −
c
c
c
−∞
h
0 ˆ +∞
r
r̂ · r
∂
r i
= ρ r0 , t −
−i
dω ρ̃ (r0 , ω) i exp −iω t −
c
c
∂t
c
−∞
r̂ · r0 ∂ ˆ +∞
h
i
r
r
= ρ r0 , t −
+
dω ρ̃ (r0 , ω) exp −iω t −
c
c ∂t −∞
c
0
r̂ · r ∂
r
r
+
.
= ρ r0 , t −
ρ r0 , t −
c
c ∂t
c
Agora, a Eq. (2) fica
|r − r0 |
0
ρ r ,t −
c
∞
n
X
r
1
r r̂ · r0 ∂ 0
0 n ∂
0
(∆t )
+
ρ r ,t −
=
ρ r ,t −
,
n!
∂tn
c
c ∂t
c
n=0
que, juntamente com a Eq. (1), fornece o integrando para o cálculo do potencial escalar:
|r−r0 |
0
0 m X
ρ r ,t − c
∞
∞
n 1
1 X
r
r
0 n ∂
0
α
≈
(∆t
)
ρ
r
,
t
−
m
|r − r0 |
r m=0
r
n!
∂tn
c
n=0
∞
∞
m
n+1 X 1
r̂ · r0 X
r0
r
n ∂
+
αm
(∆t0 )
ρ r0 , t −
,
n+1
rc m=0
r
n!
∂t
c
n=0
que é válida para distribuições cujas cargas têm velocidades pequenas quando comparadas com a velocidade da
luz. Para simplificar, vamos manter apenas termos até a primeira ordem em
r0
.
r
Como ∆t0 é proporcional a
r02
,
r
conforme calculamos acima, quando multiplicado por
1
r
resulta em um termo de segunda ordem em
r0
,
r
que desprezamos. Assim, as somas em n somente contribuem com o termo em que n = 0 e temos
|r−r0 |
0
0 m ρ r ,t − c
∞
1 X
r
r
0
≈
α
ρ
r
,
t
−
m
|r − r0 |
r m=0
r
c
∞
m
r̂ · r0 X
r0
∂ 0
r
ρ r ,t −
.
+
αm
rc m=0
r
∂t
c
Na primeira soma em m, tanto o termo com m = 0 como o termo com m = 1 contribuem, mas a segunda soma
somente contribui com o termo com m = 0 para a expansão até a primeira ordem em
r0
,
r
4
do quociente acima. Assim,
|r−r0 |
ρ r0 , t − c
r
1 0
r r̂ · r0 0
+ 2 ρ r ,t −
ρ r ,t −
r
c
r
c
0
r̂ · r ∂
r
.
ρ r0 , t −
rc ∂t
c
≈
|r − r0 |
+
O potencial escalar pode ser escrito, finalmente, como
|r−r0 |
0
ˆ
ρ r ,t − c
1
φ (r, t) =
d3 r0
4πε0 V
|r − r0 |
ˆ
ˆ
1 1
1 1
r
r
3 0
0
3 0 0
0
≈
+
r̂ ·
d r r ρ r ,t −
d r ρ r ,t −
4πε0 r V
c
4πε0 r2
c
V
ˆ
1 1
∂
r
+
.
r̂ ·
d3 r0 r0 ρ r0 , t −
4πε0 rc
∂t V
c
Como as cargas estão confinadas na região V e há conservação de carga, segue que
ˆ
r
d3 r0 ρ r0 , t −
= Q,
c
V
onde Q é a carga líquida total em V . Também reconhecemos as outras integrais como sendo o dipolo elétrico
da distribuição
ˆ
r
r
p t−
=
d3 r0 r0 ρ r0 , t −
.
c
c
V
Logo,
φ (r, t) ≈
1 Q
1 r̂ · p t −
+
4πε0 r
4πε0
r2
r
c
1 r̂ · ṗ t −
+
4πε0
rc
r
c
,
quando
V 1/3 ,
r
onde
r
ṗ t −
c
∂ r
p t−
.
∂t
c
=
Agora devemos calcular uma expansão para o potencial vetorial. Analogamente ao procedimento que
seguimos anteriormente, temos
|r−r0 |
0
0 m X
J r ,t − c
∞
∞
n
1 X
r
1
r
0 n ∂
0
≈
α
(∆t
)
J
r
,
t
−
m
|r − r0 |
r m=0
r
n!
∂tn
c
n=0
∞
∞
m
n+1
X 1
r̂ · r0 X
r0
r
n ∂
+
αm
(∆t0 )
J r0 , t −
,
n+1
rc m=0
r
n!
∂t
c
n=0
que, desprezando ordens superiores à primeira de
r0
,
r
resulta em
0
J r ,t −
|r−r0 |
|r − r0 |
c
≈
+
1 0
r r̂ · r0 0
r
J r ,t −
+ 2 J r ,t −
r
c
r
c
r̂ · r0 ∂ 0
r
J r ,t −
.
rc ∂t
c
5
Então,
A (r, t) ≈
+
ˆ
ˆ
µ0 1
r µ0 1
r
+
d3 r 0 J r 0 , t −
d3 r0 r̂ · r0 J r0 , t −
2
4π r V
c
4π r V
c
ˆ
µ0 1 ∂
r
.
d3 r0 r̂ · r0 J r0 , t −
4π rc ∂t V
c
Consideremos a identidade vetorial
h
r i
r̂ × r0 × J r0 , t −
c
=
r
r
r0 r̂ · J r0 , t −
− J r0 , t −
r̂ · r0 .
c
c
Assim,
ˆ
V
r
d3 r0 J r0 , t −
r̂ · r0
c
ˆ
r
d3 r0 r0 r̂ · J r0 , t −
c
V
ˆ
r
3 0 0
0
r̂ ×
d r r × J r ,t −
.
c
V
=
−
Calculemos:
ˆ
V
r
d3 r0 r0 r̂ · J r0 , t −
=
c
=
=
=
1
r
ˆ
r
d3 r0 r0 r · J r0 , t −
c
V
3 ˆ
X
1
r
d3 r0 r0 xm Jm r0 , t −
r m=1 V
c
ˆ
3
X
xm
r
d3 r0 r0 Jm r0 , t −
r V
c
m=1
ˆ
3
3
X
xm X
r
x̂n
.
d3 r0 x0n Jm r0 , t −
r n=1
c
V
m=1
Agora, consideremos
ˆ
V
ˆ
r
d3 r0 x0n Jm r0 , t −
=
c
V
ˆ
=
=
−
=
−
=
(3)
r
d3 r0 x0n x̂m · J r0 , t −
c
r
d3 r0 x0n (∇0 x0m ) · J r0 , t −
c
ˆV
i
h
r
d3 r0 ∇0 · x0n x0m J r0 , t −
c
ˆV
h
r i
d3 r0 x0m ∇0 · x0n J r0 , t −
c
˛V
r
da0 x0m x0n n̂0 · J r0 , t −
c
S(V )
ˆ
h
i
r
d3 r0 x0m ∇0 · x0n J r0 , t −
c
V
ˆ
h
r i
−
d3 r0 x0m ∇0 · x0n J r0 , t −
c
V
6
(4)
ˆ
r
d3 r0 x0m (∇0 x0n ) · J r0 , t −
c
V
r
d3 r0 x0m x0n ∇0 · J r0 , t −
c
V
ˆ
r
−
d3 r0 x0m x̂n · J r0 , t −
c
V
ˆ
r
0
∂ρ
r
,
t
−
c
d3 r0 x0m x0n
∂t
V
ˆ
r
−
d3 r0 x0m Jn r0 , t −
c
ˆV
∂
r
.
d3 r0 x0m x0n ρ r0 , t −
∂t V
c
−
ˆ
=
−
=
+
=
+
Portanto, substituindo esse resultado na Eq. (4), obtemos
ˆ
V
r
d3 r0 r0 r̂ · J r0 , t −
c
=
ˆ
3
3
X
xm X
r
x̂n
d3 r0 x0n Jm r0 , t −
r n=1
c
V
m=1
ˆ
3
3
X
xm X
r
x̂n
d3 r0 x0m Jn r0 , t −
r n=1
c
V
m=1
ˆ
3
3
X
xm X
∂
r
x̂n
+
d3 r0 x0m x0n ρ r0 , t −
r n=1 ∂t V
c
m=1
ˆ
3
X
xm
r
= −
d3 r0 x0m J r0 , t −
r V
c
m=1
ˆ
3
X
xm ∂
r
+
d3 r0 x0m r0 ρ r0 , t −
r ∂t V
c
m=1
= −
=
+
=
+
ˆ
1
r
−
d3 r 0 r · r 0 J r 0 , t −
r V
c
ˆ
1 ∂
r
d3 r0 r · r0 r0 ρ r0 , t −
r ∂t V
c
ˆ
r
−
d3 r0 r̂ · r0 J r0 , t −
c
V
ˆ
∂
r
d3 r0 r̂ · r0 r0 ρ r0 , t −
.
∂t V
c
Substituindo esse resultado na Eq. (3), concluímos que
ˆ
ˆ
r
r
d3 r 0 J r 0 , t −
r̂ · r0 = −
d3 r0 r̂ · r0 J r0 , t −
c
c
V
ˆV
∂
r
+
d3 r0 r̂ · r0 r0 ρ r0 , t −
∂t V
c
ˆ
r
3 0 0
0
− r̂ ×
d r r × J r ,t −
,
c
V
ou seja,
ˆ
V
r
d3 r0 J r0 , t −
r̂ · r0
c
ˆ
1
r
d3 r0 r0 × J r0 , t −
× r̂
2 V
c
ˆ
1 ∂
r
+
d3 r0 r̂ · r0 r0 ρ r0 , t −
.
2 ∂t V
c
=
7
Definimos o momento de dipolo magnético da distribuição J como
ˆ
1
m (t) =
d3 r0 r0 × J (r0 , t) .
2 V
Definimos, também, o objeto
←
→
Υ (t)
=
1
2
ˆ
d3 r0 r0 r0 ρ (r0 , t) ,
V
que é o que se chama díade. Essa díade está relacionada com o momento de quadrupolo elétrico da distribuição.
Para entendermos como é essa relação, escrevemos
←
→
r
=
Υ t−
c
ˆ
3
3
1 XX
r
,
x̂m x̂n
d3 r0 x0m x0n ρ r0 , t −
2 m=1 n=1
c
V
onde os produtos
x̂m x̂n , para m, n = 1, 2, 3,
são chamados produtos diádicos; notemos que não há ponto entre cada vetor do produto e os vetores são
simplesmente escritos um ao lado do outro. No produto diádico, a ordem é importante, pois o produto diádico
não é comutativo, já que, em geral, para qualquer vetor w, temos
w · (x̂m x̂n ) 6=
w · (x̂n x̂m )
(x̂m x̂n ) · w
(x̂n x̂m ) · w.
e
6=
A integral acima pode ser escrita em termos do momento de quadrupolo elétrico:
ˆ
ˆ
r
1
r
2
3 0 0
0
0
d3 r0 3x0m x0n − δm,n |r0 | ρ r0 , t −
d r xm xn ρ r , t −
=
c
3 V
c
V
ˆ
δm,n
r
2
+
d3 r0 |r0 | ρ r0 , t −
,
3
c
V
que pode ser reescrita como
ˆ
r
d3 r0 x0m x0n ρ r0 , t −
c
V
1
r δm,n r
Qm,n t −
+
r2 t −
,
3
c
3
c
=
onde definimos o tensor quadrupolar elétrico instantâneo como na eletrostática, isto é,
ˆ
r
r
2
Qm,n t −
=
d3 r0 3x0m x0n − δm,n |r0 | ρ r0 , t −
c
c
V
e introduzimos a quantidade
r
r2 t −
c
ˆ
=
V
r
2
d3 r0 |r0 | ρ r0 , t −
,
c
que é igual ao traço da matriz cujos elementos são as integrais
ˆ
r
, para m, n = 1, 2, 3.
d3 r0 x0m x0n ρ r0 , t −
c
V
Assim, podemos escrever
←
→
r
Υ t−
=
c
=
3
3
1 XX
1
r δm,n r
x̂m x̂n Qm,n t −
+
r2 t −
2 m=1 n=1
3
c
3
c
←
→ ←
→ Q
I
r
+
r2 t −
,
6
6
c
8
onde
←
→
Q
=
3 X
3
X
r
x̂n
x̂m Qm,n t −
c
m=1 n=1
e
←
→
I
3
X
=
x̂m x̂m ,
m=1
que é a identidade diádica, já que, para qualquer vetor w, temos
←
→
w· I
←
→
I ·w
=
= w.
Voltemos agora ao cálculo do potencial vetorial, utilizando os resultados acima. Logo,
ˆ
→
r
µ0 1
r
∂←
r µ0 1
3 0
0
Υ t−
A (r, t) ≈
+
m t−
× r̂ + r̂ ·
d r J r ,t −
4π r V
c
4π r2
c
∂t
c
→
µ0 1 ∂
∂←
r
r
+
× r̂ + r̂ ·
Υ t−
.
m t−
4π rc ∂t
c
∂t
c
Para simplificar o primeiro termo, calculemos, por exemplo,
ˆ
ˆ
r
r
=
d3 r0 x̂ · J r0 , t −
d3 r0 Jx r0 , t −
c
c
V
ˆV
r
=
d3 r0 (∇0 x0 ) · J r0 , t −
c
ˆV
ˆ
h
r i
r
=
d3 r0 ∇0 · x0 J r0 , t −
−
d3 r0 x0 ∇0 · J r0 , t −
.
c
c
V
V
Se utilizamos o teorema da divergência de Gauss, obtemos
ˆ
˛
h
h
r i
r i
3 0 0
0
0
d r ∇ · x J r ,t −
=
da0 n̂0 · x0 J r0 , t −
c
c
V
S(V )
˛
r
=
da0 x0 n̂0 · J r0 , t −
c
S(V )
= 0,
pois, como as cargas e correntes estão confinadas na região V ,
r
=
n̂0 · J r0 , t −
c
sobre a fronteira de V . Logo,
ˆ
3 0
d r Jx
V
r
r ,t −
c
0
ˆ
= −
V
0
r
d3 r0 x0 ∇0 · J r0 , t −
.
c
No entanto, utilizando a equação da continuidade, temos
r
∇0 · J r0 , t −
=
c
e obtemos
ˆ
3 0
d r Jx
V
r
r ,t −
c
0
∂
∂t
−
ˆ
∂ρ r0 , t −
∂t
r
c
r
d3 r0 x0 ρ r0 , t −
c
V r
= ṗx t −
.
c
=
9
Assim,
A (r, t) ≈
+
←
→
r
r
µ0 ṗ t − rc
µ0 1
˙ m t−
× r̂ + r̂ · Υ t −
+
4π
r
4π r2
c
c
←
→
µ0 1
r
r
¨ × r̂ + r̂ · Υ t −
.
ṁ t −
4π rc
c
c
Para o cálculo do campo elétrico, precisamos da derivada temporal do potencial vetorial, isto é,
∂A (r, t)
1 p̈ t − rc
≈
∂t
4πε0
rc2
←
→
r
1
1 ∂
r
˙ × r̂ + r̂ · Υ t −
+
m t−
4πε0 r2 c2 ∂t
c
c
←
→
1 1 ∂
r
r
¨
+
× r̂ + r̂ · Υ t −
ṁ t −
4πε0 rc3 ∂t
c
c
e do gradiente do potencial escalar, isto é,
∇φ (r, t) ≈
1
∇
4πε0
Q
r
"
"
#
#
r̂ · p t − rc
r̂ · ṗ t − rc
1
1
+
+
.
∇
∇
4πε0
r2
4πε0
rc
O campo elétrico de radiação, definido como sendo apenas a parte que varia com o inverso de r, pode ser escrito
como
1 1 h
r i
1 p̈ t − rc
Erad ≈ −
∇ r̂ · ṗ t −
−
4πε0 rc
c
4πε0
rc2
←
→
1 1 ∂
r
r
¨
−
ṁ t −
× r̂ + r̂ · Υ t −
.
4πε0 rc3 ∂t
c
c
Calculemos:
h
r i
∇ r̂ · ṗ t −
c
≈ ∇
1
r
r · ṗ t −
r
c
r i
1
r 1 h
∇ r · ṗ t −
+ ∇ r · ṗ t −
r
c
r
c
" 3
#
X
r̂
r
1
r
= − 2 r · ṗ t −
+ ∇
xi ṗi t −
r
c
r
c
i=1
=
= −
3
r̂
r 1 X
r
r
·
ṗ
t
−
+
(∇x
)
ṗ
t
−
i
i
r2
c
r i=1
c
3
1X h
r i
xi ∇ṗi t −
r i=1
c
+
= −
3
r̂
r 1 X
r
r
·
ṗ
t
−
+
x̂i ṗi t −
2
r
c
r i=1
c
3
1 X
r
xi p̈i t −
[∇r]
rc i=1
c
r̂
r 1 r
= − 2 r · ṗ t −
+ ṗ t −
r
c
r
c
1
r
r̂.
−
r · p̈ t −
rc
c
−
10
Portanto,
Erad
≈
−
1 r̂r̂ · p̈ t − rc − p̈ t − rc
4πε0
rc2
←
→
1 1 ∂
r
r
¨ ×
r̂
+
r̂
·
ṁ
t
−
Υ
t
−
4πε0 rc3 ∂t
c
c


←
→
˙
m t − rc × r̂ + r̂ · Υ t − rc
1 d2  r̂r̂ · p t − rc − p t − rc

−
4πε0 dt2
rc2
rc3


←
→
˙
1
d2 
r
r r̂ × m t − rc − r̂ · Υ t − rc 
r̂r̂ · p t −
−p t−
+
4πε0 rc2 dt2
c
c
c
=
=
=
=


←
→
˙
h
d2 
r i r̂ × m t − rc − r̂ · Υ t − rc 
1
r̂ × r̂ × p t −
+

4πε0 rc2 dt2 
c
c


"
#
←
→
˙
r̂ · Υ t − rc 
1
d2 
r m t − rc
r̂ × r̂ × p t −
+
−
.

4πε0 rc2 dt2 
c
c
c
onde já desprezamos todos os termos que variam com o inverso de r2 . Comparemos
ˆ
r
r
p t−
=
d3 r0 r0 ρ r0 , t −
c
c
V
e
r
m t−
=
c
1
2
ˆ
V
r
d3 r0 r0 × J r0 , t −
.
c
Mas,
r 0
r
r
= v r0 , t −
ρ r ,t −
,
J r0 , t −
c
c
c
onde v r0 , t − rc é o campo de velocidades das partículas carregadas na região V . Assim, comparativamente,
o momento de dipolo magnético dividido por c é uma ordem v/c menor do que o momento de dipólo elétrico.
Analogamente, comparemos
ˆ
r
r
p t−
=
d3 r0 r0 ρ r0 , t −
c
c
V
e
←
→
r
˙ r̂ · Υ t −
c
Mas,
ˆ
V
=
1
2
ˆ
0 0 ∂ρ
3 0
d r r̂ · r r
V
r0 , t −
∂t
r
c
ˆ
3
1X
r
= −
x̂n
d3 r0 r̂ · r0 x0n ∇0 · J r0 , t −
2 n=1
c
V
ˆ
3
h
1X
r i
= −
x̂n
d3 r0 ∇0 · r̂ · r0 x0n J r0 , t −
2 n=1
c
V
ˆ
3
1X
r
x̂n
d3 r0 J r0 , t −
+
· ∇0 (r̂ · r0 x0n ) .
2 n=1
c
V
h
r i
d3 r0 ∇0 · r̂ · r0 x0n J r0 , t −
c
˛
=
S(V )
=
11
0
r
da0 n̂0 · J r0 , t −
r̂ · r0 x0n
c
e
∇0 (r̂ · r0 x0n )
=
3
X
xm 0 0 0
∇ (xm xn )
r
m=1
=
3
X
xm
(x̂m x0n + x̂n x0m )
r
m=1
=
r̂x0n + x̂n r̂ · r0 .
Então,
←
→
r
˙ r̂ · Υ t −
c
=
=
=
ˆ
3
1X
r
x̂n
· (r̂x0n + x̂n r̂ · r0 )
d3 r0 J r0 , t −
2 n=1
c
V
ˆ
h
r i
1
r
+ r̂ · r0 J r0 , t −
d3 r0 r0 r̂ · J r0 , t −
2 V
c
c
ˆ
h
r
1
r i 0
r
d3 r0 r0 r̂ · v r0 , t −
+ r̂ · r0 v r0 , t −
ρ r ,t −
.
2 V
c
c
c
Assim, comparativamente, o termo
←
→
r
˙ r̂ · Υ t −
c
dividido por c é uma ordem v/c menor do que o momento de dipolo elétrico. Podemos, portanto, desprezar os
termos envolvendo m e
←
→
˙
Υ
e o campo elétrico de radiação fica
Erad
≈
1 r̂ × r̂ × p̈ t − rc
.
4πε0
rc2
Para sermos consistentes, devemos adotar os potenciais de radiação:
1 r̂ · ṗ t −
4πε0
rc
φrad (r, t) ≈
r
c
e
Arad (r, t) ≈
µ0 ṗ t −
4π
r
r
c
,
já que os outros termos não contribuem para os campos de radiação, que, por definição, devem variar com o
inverso de r. Logo,
Brad (r, t) ≈ ∇ × Arad (r, t)
µ0
r
≈
∇ × ṗ t −
4πr c
µ0
r
=
p̈ t −
× ∇r
4πrc
c
µ0 p̈ t − rc × r̂
=
.
4π
rc
Agora podemos calcular o vetor de Poynting:
Srad
=
≈
=
1
Erad ×Brad
µ0
(
#
) "
r̂ × r̂ × p̈ t − rc
p̈ t − rc × r̂
1
×
2
rc2
rc
(4π) ε0
2
r̂ × p̈ t − rc
r̂
.
2
r2 c3
(4π) ε0
12
A distribuição angular da potência irradiada pode ser obtida da expressão
r2 r̂ · Srad dΩ
=
dΩ
h
2
(4π) ε0 c3
r i2
r̂ × p̈ t −
.
c
Finalmente, integrando sobre todas as direções do espaço, temos a potência total emitida pela distribuição, ou
seja,
ˆ
h
r i2
1
dΩ
r̂
×
p̈
t
−
Prad =
2
c
(4π) ε0 c3 Ω=4π
ˆ π
r 2
2π
dθ sen3 θ p̈ t −
=
,
2
c
(4π) ε0 c3 0
onde escolhemos o eixo z ao longo do sentido de p̈ t −
Prad
r
c
. Logo,
ˆ
r 2 +1
du 1 − u2 ,
p̈ t −
2
3
c
(4π) ε0 c
−1
2π
=
onde fizemos
u =
cos θ.
Como
ˆ
+1
u3
=
u−
3 −1
2
= 2−
3
4
,
=
3
1
2
du 1 − u
−1
segue
Prad
r 2
t
−
p̈
2
c
3 (4π) ε0 c3
1 r 2
t
−
.
p̈
6πε0 c3
c
8π
=
=
Em particular, para uma só carga pontual, com trajetória dada por r (t), o momento dipolar elétrico é dado por
r
r
= qr t −
p t−
c
c
e, portanto,
Prad
=
q 2 r 2
t
−
r̈
,
6πε0 c3
c
ou seja, a potência total irradiada por uma partícula é proporcional ao quadrado da aceleração. Essa é a
chamada fórmula de Larmor.
Bibliografia
[1] John R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy , Foundations of Electromagnetic Theory, terceira
edição (Addison-Wesley Publishing Company, 1979).
13