λ - UERN

•Sejam P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) pontos pertencentes ao plano espacial e λ(a,b,c) o
vetor diretor, de coordenadas onde a=x2-x1, b=y2-y1 e c=z2-z1 , que orienta a reta que
passa pelos pontos P1 e P2
P2, a equação da reta no ℜ3 pode ser expressa como:
r : X = (x 1 , y 1 , z 1 ) + λ (a, b, c)
, sendo λ um escalar que indica se
um ponto pertence ou não a reta
reta.
•Expandindo a equação, temos o seguinte sistema de equações lineares:
x = x1 + λa
y = y1 + λb
z = z1 + λc
•Ex: Sejam P1(3,-1,1) e P2(2,1,2), a equação da reta que passa por esses pontos é
por:
dada p
r : X = (x1 , y1 , z1 ) + λ (a, b, c), onde a = −1, b = 2, c = 1
r : X = (3,-1,1)+ λ (−1,2,1)
•OBS: No Geogebra 3d, plotando os pontos P1 e P2, basta escolhermos a opção “Reta definida por dois
pontos”; clicamos no primeiro ponto e, depois, no segundo. O resultado será a reta entre os dois pontos e a
equação da reta em si.
•Para definir se um ponto pertence ou não a reta, veremos o exemplo à seguir...
•Exemplo: verificar se os pontos A(2.62,-0.24,1.38) e B(0.53,3.56,0) pertencem a reta
do exemplo anterior.
Resposta: Basta substituirmos o valor das coordenadas do ponto em x, y e z das
equações do sistema que determina a reta, para encontrar λ. Se o valor de λ for igual
em todas elas,
elas isso indica que o ponto em questão pertence àquela reta.
reta Assim,
Assim para
A:
x = x1 + λa => 2.62 = 3 − λ => λ = 0.38
y = y1 + λb => −0.24 = −1 + 2λ => λ = 0.38
z = z1 + λc => 1.38 = 1 + λ => λ = 0.38
E, para B:
x = x1 + λa => 0.53 = 3 − λ => λ = 2.47
y = y1 + λb => 3 = −1 + 2λ => λ = 2
z = z1 + λc => 0 = 1 + λ => λ = −1
Conclusão: A pertence a reta r:, visto que todos o valor de λ foi igual em todas as 3
equações. B não pertence a reta r:, já que o valor de λ foi diferente em, pelo menos
uma das equações
•Construindo o gráfico no Geogebra 3d notamos claramente que o ponto A pertence a
reta e o ponto B não pertence.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares
•Dado um sistema de equações lineares pertencentes ao plano espacial (ℜ3):
⎧ax + by + cz = d
⎪
⎨a1 x + b1 y + c1 z = d1
⎪a x + b y + c z = d
2
2
3
⎩ 2
(1)
(2)
(3)
As equações ( 1 ), ( 2 ) e ( 3 ) podem ser ditos como três planos, pertencentes ao
ℜ3, sendo sua interpretação geométrica similar, em comparação ao aplicado às retas
op
plano
a o ca
cartesiano
tes a o (u
(unidade
dade 2):
)
no
1o ) Solução Única - planos se interceptam num único ponto
2o ) Infinitas Soluções - dois ou mais planos se coincidem em múltiplos pontos ou se
sobrepõem
3o ) Não existe solução - dois ou mais planos paralelos
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Ex1: Seja o sistema de equações lineares abaixo:
⎧x + 2 y + z = 5
⎪
⎨2 x − y + 4 z = 1
⎪ − x + 2 y + 3 z = −2
⎩
•Encontre, graficamente, o conjunto de soluções que satisfazem o sistema
•Resposta: Arbitrando um conjunto de pontos a x (ex: x variando de 0,1 até 10),
obtenho
obte
oog
gráfico
á co do p
plano
a o da p
primeira
e a equação
equação. Fazendo
a e do o mesmo
es o pa
para
a a segu
segunda
da e
terceira equações, terei, neste exemplo, um conjunto de planos que se interceptam em
um único ponto, indicando que o sistema possui uma única solução. Esse ponto será
a resolução
ç desse sistema de equações
q ç
lineares.
•OBS: No Geogebra: p1: x+2y+z=5, p2: 2x-y+4z=1 e p3:-x+2y+3z=-2. Resolvendo por
Gauss-Jordan, teremos uma única solução. À seguir, o gráfico no Geogebra.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Grafico do exemplo 1:
Ponto de interseção
P = (2.75, 1.5, -0.75)
OBS: Baseado na solução do sistema de equações lineares, plotou-se, manualmente, o ponto P.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Ex2: Seja o sistema de equações lineares abaixo:
⎧x + 2 y + z = 1
⎪
⎨2 x + y = 0
⎪x + 2 y + z = 1
⎩
•Encontre, graficamente, o conjunto de soluções que satisfazem o sistema
•Resposta: Arbitrando um conjunto de pontos a x (ex: x variando de 0,1 até 10),
obtenho
obte
oog
gráfico
á co do p
plano
a o da p
primeira
e a equação
equação. Fazendo
a e do o mesmo
es o pa
para
a a segu
segunda
da e
terceira equações, terei, neste exemplo, um conjunto de planos coincidentes,
indicando que o sistema possui infinitas soluções.
•OBS: No Geogebra:
g
p1: x+2y+z=1,
p
y
p
p2: 2x+y=0
y ep
p3:x+2y+z=1.
y
Resolvendo p
por
Gauss-Jordan, teremos a última linha da matriz E toda nula, comprovando o número
infinito de soluções. À seguir, o gráfico no Geogebra.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Grafico do exemplo 2:
p1 e p3
p2
2
•Nota-se claramente que p2 corta p1 e p3 em infinitos pontos, enquanto p1 e p3 se
sobrepõem, configurando, assim, que o sistema de equações lineares possui infinitas
soluções.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Ex3: Seja o sistema de equações lineares abaixo:
⎧x + 2 y + z = 1
⎪
⎨2 x + y = 1
⎪x + 2 y + z = 3
⎩
•Encontre, graficamente, o conjunto de soluções que satisfazem o sistema
•Resposta: Arbitrando um conjunto de pontos a x (ex: x variando de 0,1 até 10),
obtenho
obte
oog
gráfico
á co do p
plano
a o da p
primeira
e a equação
equação. Fazendo
a e do o mesmo
es o pa
para
a a segu
segunda
da e
terceira equações, terei, neste exemplo, um conjunto de planos paralelos, indicando
que o sistema não possui solução.
•OBS: No Geogebra:
g
eq1:x+2y+z=1,
q
y
eq2:2x+y=1
q
y e eq3:x+2y+z=3.
q
y
Resolvendo p
por
Gauss-Jordan, teremos a última linha da matriz E nula na parte da matriz a e o termo
independente da mesma linha não nulo, comprovando que o sistema não possui
solução. À seguir, o gráfico no Geogebra.
•Analisando graficamente o número de soluções de um sistema de equações
lineares - exemplos
•Grafico do exemplo 3:
p3
p1
p2
2
•OBS: Apesar de p2 cruzar p1 e p3 em infinitos pontos, p1 e p3 são paralelos, nunca
se encontrando, o que caracteriza um sistema sem solução
FIM DA PARTE 5,unidade 3 – FAZER LISTA DE
EXERCÍCIOS 16 (próximo slide)
1 – Baseado nos pontos dos itens, de A a F, da questão 1 do exercício 12,
monte a equação da reta de cada um dos pares de pontos
pontos. Após plote,
plote
através do Geogebra 3d, as equações das retas de cada par. OBS: só serão
consideradas válidas as respostas que apresentarem os cálculos das
equações
õ d
das retas
t e os gráficos.
áfi
2 – Baseado nos itens da questão 3 do exercício 12, monte, para cada item,
as equações dos três planos espaciais no Geogebra 3d e, através do mesmo,
interprete o conjunto de soluções.