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APENDICE A: PRODUTO DE MESTRADO: FICHA RESUMO CONTENDO PLANOS DE AULAS PARA ENSINAR NOÇÕES DE
GEOMETRIAS EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANAS
ADRIANO RODRIGUES HONORATO
FICHA INFORMATIVA E PLANOS DE AULAS SOBRE AS PRINCIPAIS NOÇÕES E (CO) RELAÇÕES DAS GEOMETRIAS
EUCLIDIANA, ELÍPTICA E HIPERBÓLICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA.
Jataí, dezembro de 2014.
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ADRIANO RODRIGUES HONORATO
FICHA INFORMATIVA E PLANOS DE AULAS SOBRE AS PRINCIPAIS NOÇÕES E (CO) RELAÇÕES DAS
GEOMETRIAS EUCLIDIANA, ELÍPTICA E HIPERBÓLICA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA.
Produto de Mestrado apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Educação para Ciências e
Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás ± Campus Jataí, como
parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Educação para Ciências e Matemática.
Área de concentração: Ensino
Linha de pesquisa: Educação Matemática
ORIENTADOR: Duelci Aparecido de Freitas Vaz.
Jataí, dezembro de 2014.
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Introdução
O presente produto é parte integrante da Dissertação de Mestrado intitulada Principais noções e (co) relações das geometrias euclidiana,
elíptica e hiperbólica para a educação básica apresentada ao Programa de Pós-graduação Stricto Sensu em Educação Para Ciências e Matemática
do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás.
O material elaborado a partir de nossa pesquisa se constitui de uma ficha informativa contendo as principais noções de Geometrias Não
Euclidianas que podem ser estudadas e comparadas com a Geometria Euclidiana.
Não obstante, elaboramos, com base nesta ficha informativa, um conjunto de planos de aula contendo algumas sugestões de atividades
para serem exploradas e aprimoradas pelo professor da educação básica no processo de ensino-aprendizagem de geometria.
Neste sentido, nosso produto se destina a professores de matemática, e traz informações, orientações e sugestões para ensinar algumas
noções de geometrias não euclidianas concomitantes com a geometria euclidiana.
A ficha informativa traz um resumo das principais noções das geometrias hiperbólica e elíptica que podem ser (co) relacionadas com
conceitos da euclidiana.
Os planos de aula foram aplicados em uma escola da rede particular de Jataí com alunos do ensino fundamental e médio, durante o estudo
de alguns conceitos geométricos euclidianos presentes no currículo da escola, e que puderam ser visualizados e compreendidos nas geometrias
hiperbólica e elíptica.
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Em face disto, ressaltamos que os planos de aula deste produto não devem ser encaUDGRVFRPRDXODVSURQWDVRXFRPRXPD³UHFHLWDGH
EROR´SDUDVHHQVLQDUJHRPHWULDVQmRHXFOLGLDQDVPDVVLPFRPRH[HPSORVGHDXODVTXHSRGHPVHUJHUDGDVDSDUWLUGDILFKDLQIormativa.
Portanto, o nosso produto de mestrado é constituído de uma ficha informativa sobre os principais resultados das geometrias euclidiana,
elíptica e hiperbólica seguido de planos de aulas contendo propostas de atividades para o ensino destas geometrias.
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Ficha informativa e comparativa das geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica.
Curvatura
Axioma das
Paralelas
Noções e (co) relações das geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica.
Geometria Euclidiana
Geometria Hiperbólica
Nula
Negativa
Geometria Elíptica
Positiva
(Postulado Euclidiano das Paralelas)
(Postulado Hiperbólico das Paralelas) Por um (Postulado
Esferico
das
Dados um ponto P e uma reta r, existe
ponto fora de uma reta, podem ser traçadas Paralelas) Quaisquer duas
uma única reta s que passa pelo ponto P pelo menos duas retas que não encontram a retas em um plano tem um
e é paralela a r.
reta dada.
ponto de encontro.
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Modelos
Duas retas distintas Um ponto
Um ponto
se intersectam em:
Em dois pontos
antípodos.
Dada uma reta L e Uma reta e só uma que passa por P e é Pelo menos duas retas que passam por P e é Não há reta que passa por P
um ponto P exterior paralela a L.
paralela a L.
e é paralela a L.
É dividida em duas por um ponto
Não é dividida em duas por
a L, existe(m):
Uma reta:
É dividida em duas por um ponto
um ponto
As retas paralelas:
Se
uma
São equidistantes
reta Intercepta a outra
intercepta uma de
Nunca são equidistantes
Não existem
Pode ou não interceptar a outra
Como não há paralelas, isto
não ocorre.
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duas paralelas:
Duas retas distintas São paralelas
perpendiculares
São paralelas
Interceptam-se
Menor do que 180º
Maior que 180º
Congruentes
Congruentes
Não possui.
Varia entre 0° e 360º
Curvas enviesadas
São ângulos com vértices no
a
uma terceira:
A soma das medidas Igual a 180º
dos ângulos internos
de um triângulo é:
Dois triângulos com Semelhantes
ângulos
correspondentes
iguais são:
Soma dos ângulos É a soma dos internos não adjacentes
externos
Lados
triângulo:
de
um São segmentos de retas
centro
da
esfera.
São
medidos em graus
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de
x
Retângulo: 1 ângulo reto;
quanto
x
Acutângulo: ângulos
Classificação
triângulos
aos ângulos:
Não possui.
Retângulo:
um
ângulo reto
internos
x
agudos;
x
x
Birretângulo:
dois
ângulos retos
Obtusângulo: um dos ângulos é
x
obtuso
Trirretângulo:
três
ângulos retos
Classificação
de Isósceles: dois lados com a mesma Não possui.
Retilátero: um lado mede 90º
triângulos quanto aos medida e dois ângulos congruentes.
Birretilátero:
dois
lados
lados
Equilátero: três lados com medidas
medem 90º
iguais e três ângulos congruentes.
Trirretilátero: cada um dos
Escaleno: dois lados quaisquer não são
lados mede 90º
congruentes
Bissetrizes
de
triângulo:
Alturas
um Possui três. São semirretas que dividem Não possui.
o ângulo ao meio
de
um Possui três. São segmentos de retas
máximos.
Não possui.
triângulo:
Medianas
Triângulo:
Possui três. São círculos
Possui três. São círculos
máximos.
de
um Possui três. São
Segmentos de retas
Não possui.
Possui três. São
Círculos máximos.
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A
área
de
um Independente da soma dos seus ângulos
triângulo é:
Quadrilátero
Proporcional ao defeito da soma de seus Proporcional ao excesso da
ângulos
de Quatro ângulos retos
Três
soma de seus ângulos.
ângulos
retos
e
um
agudo Três ângulos retos e um
Lambert
obtuso
Quadrilátero
Saccheri
de Quatro ângulos retos
Dois ângulos retos e dois ângulos congruentes Dois ângulos retos e dois
agudos.
ângulos congruentes obtusos.
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PLANO DE AULA 01: As curvaturas negativa, nula e positiva.
Tema: As curvaturas negativa, nula e positiva.
Tempo Previsto: 3 horas
Objetivos:
Compreender o conceito de curvatura;
Identificar as três possíveis formas de curvaturas existentes no espaço físico;
Compreender o método do circulo osculante para medir a intensidade de uma curva plana;
Compreender o processo da curvatura de Gauss para medir a curvatura de um ponto de uma superfície;
Identificar e visualizar em objetos do dia a dia as curvaturas negativa nula e positiva.
Conteúdo:
Noções de curvatura.
Recursos didáticos
Quadro;
Giz;
Maquete de um campo de futebol;
Vuvuzelas;
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Bola de futebol.
Metodologia.
Iniciar a aula desenhando no quadro uma reta e uma curva diferente da reta, como na imagem abaixo:
1
Figura 19: Reta A e Curva B
Pedir aos alunos para descreverem de forma oral a diferença entre os dois desenhos.
Motivar aos alunos para a dedução de que o desenho A é uma reta, e não apresenta curvas, e que o desenho B é encurvado . Nesse
sentido, o desenho B apresenta uma propriedade que o desenho A não possui: a de se encurvar. Esta propriedade se chama curvatura. Em outras
palavras, a curvatura de A é zero, e a de B é diferente de zero.
Após isso, desenhar duas circunferências de raios diferentes no quadro e perguntar para os alunos sobre as diferenças entre as curvaturas
dos dois desenhos.
1
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
75
2
Figura 20: Curvatura do Circulo
Motivar os alunos para que concluam que a circunferência de maior raio possui uma curvatura menor do que a circunferência de menor
raio. Ou seja, quanto maior for o raio da circunferência, menor será sua curvatura. Desta maneira, a curvatura e o raio são inversamente
proporcionais, e podem se relacionar segundo a fórmula a seguir:
C=1/R
Após isso, desenhar duas circunferências de mesmo raio, uma seguindo o sentido horário e a outra o sentido anti-horário. Deduzir com os
alunos que como os raios das circunferências é o mesmo ambas possuem em módulo a mesma curvatura. Mas como uma se curva para esquerda
e outra para direita é necessário considerar algo para distinguir estas duas situações.
2
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
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Figura 21: Curvatura para esquerda
Figura 22: Curvatura para direita
Para tanto, convencionou-se que as circunferências que percorrem o sentido anti-horário tem curvatura positiva, e as circunferências que
percorrem o sentido horário tem curvatura negativa.
Neste sentido, o sinal da curvatura indica o lado para onde se curva. Se a curva curvar para direita terá sinal positivo, se curvar para
esquerda terá sinal negativo e se não curvar, sua curvatura será nula. Portanto, o sinal da curvatura representa o lado para onde "se curva" ..
Após a turma compreender o conceito de curvatura e sua relação com o raio da circunferência, o professor poderá desenhar no quadro
uma outra curva diferente da circunferência e discutir com os alunos um método para encontrar a curvatura desta nova curva.
Por exemplo, a curva abaixo não apresenta curvatura constante. É fácil ver que ao longo de seus pontos as curvas vão se modificando, e
isto nos leva a buscar um método para medir a curvatura de uma curva em cada um de seus pontos.
77
Figura 23: Curvatura não nula
3
3DUDWDQWRSRGHVHXWLOL]DURPpWRGRGR³FLUFXORRVFXODQWH´GHVFREHUWRSHORPDWemático Leibniz que consiste em:
Traçar uma circunferência de maior raio possível no lado côncavo da curva de tal modo que o único ponto em comum entre a curva e a
circunferência seja o próprio ponto P.
Figura 24: Círculo osculante
4
Neste sentido, a curvatura no ponto P será igual a curvatura da circunferência traçada.
3
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
4
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
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Após esta etapa, o professor poderá desenhar a figura de uma superfície curva e discutir com os alunos um método para calcular sua
curvatura. Leva se em consideração que uma superfície é uma figura tridimensional , e que a ideia do circulo osculador não pode ser aplicado,
haja visto que este último apresenta apenas duas dimensões.
Figura 25: Superfície curva
5
No entanto, algum aluno poderá questionar se é possível a construção de uma esfera osculante para resolver esse problema. Uma vez que
a representação do circulo em 3D é a esfera.
Para responder a este questionamento, toma-se um ponto P qualquer da superfície. Nota-se que por esse ponto passam diversas curvas
diferentes, e cada uma delas possui um círculo osculante próprio e, portanto, uma curvatura diferente das demais. Se existisse uma esfera
osculante, esta teria o mesmo raio que algum desses círculos osculantes, ou seja, curvaturas diferente para cada esfera tomada.
5
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
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Figura 26: Círculos osculantes
6
Após ouvir as ideias dos alunos sobre como calcular a curvatura de um ponto em uma superfície, o professor poderá introduzir de forma
expositiva a curvatura de Gauss para solucionar o problema.
Para tanto, se desenha no quadro uma superfície cortada em um ponto P por um plano.
Figura 27: Curvatura de Gauss
Nota-se que a interseção do plano com a superfície é uma curva. E, para encontrar a curvatura dessa curva, basta desenhar o círculo
osculante à curva que está contida no plano.
6
Imagem disponível em http://www.seara.ufc.br/donafifi/gausseeuler/gausseuler2.htm
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Deve-se se traçar vários planos ate que se encontre uma curva com o menor circulo osculante possivel.Após isso, corta-se a superfície
com outros planos no mesmo ponto considerado, e busca-se o maior raio dos diversos círculos osculantes que podem ser traçados a partir de
P.No desenho acima a curvatura máxima é C1 e a mínima é C2
A curvatura de Gauss é definida como sendo o produto de C1 por C2.
Curvatura de Gauss=C= C1 xC2.
Neste sentido, percebe-se que a curvatura de Gauss em uma superfície poderá ser negativa, nula ou positiva, e depende das curvaturas
dos dois círculos osculantes traçados em um ponto P da superfície.
Em face disto, verifica-se que uma superfície terá curvatura:
¾ Positiva se os dois círculos osculantes ficam no mesmo lado da superfície. De forma simplificada pode-se dizer que a
curvatura é positiva quando as curvas ficam no mesmo lado da superfície.
Figura 28: Curvatura positiva
¾ Negativa se os círculos osculantes ficam em lados opostos. Isto equivale a dizer que as curvas consideradas ficam em lados
opostos da superfície.
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Figura 29: Curvatura negativa
¾ Nula se pelo menos uma das curvas possuir curvatura zero, ou seja, pelo menos uma deve ser reta.
Figura 30: Curvatura nula
Após isto, o professor poderá pedir para que os alunos analisem o sinal da curvatura de diversos objetos, em especial os descritos abaixo :
82
Figura 31: Campo de futebol- curvatura nula
Figura 32: Vuvuzela- Curvatura negativa
Figura 33: Bola de futebol- Curvatura positiva
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Avaliação:
Será analisada a participação dos alunos em todas as atividades desenvolvidas durante a aula.
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PLANO DE AULA 02: Retas nas geometrias euclidianas, elíptica e hiperbólica.
Tema: Retas nas geometrias euclidianas, elíptica e hiperbólica.
Tempo Previsto: 5 horas
Objetivos:
Visualizar e compreender que na geometria euclidiana:
x
Duas retas distintas se interceptam em um ponto;
x
Dada uma reta L e um ponto P exterior a L, existe uma reta e só uma que passa por P e é paralela a L;
x
Uma reta é dividida em duas por um ponto;
x
As retas paralelas são equidistantes;
x
Se uma reta intercepta uma de duas paralelas intercepta a outra.
Visualizar e compreender que na geometria hiperbólica
x
Duas retas distintas se interceptam em um ponto;
x
Dada uma reta L e um ponto P exterior a L existe pelo menos duas retas que passam por P e é paralela a L;
x
Uma reta é dividida em duas por um ponto;
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x
As retas paralelas nunca são equidistantes;
x
Se uma reta intercepta uma de duas paralelas pode ou não interceptar a outra;
Visualizar e compreender que na geometria elíptica
x
Duas retas distintas se interceptam em dois pontos antípodas;
x
Dada uma reta L e um ponto P exterior a L, não há reta que passa por P e é paralela a L;
x
Uma reta não pode ser dividida em duas por um ponto;
x
As retas paralelas não existem;
Conteúdo:
Retas nas geometrias euclidiana, elíptica e hiperbólica
Recursos didáticos
Quadro;
Giz;
Canetinhas;
Papel sulfite;
Vuvuzela;
Bola de futebol;
Metodologia.
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Iniciar a aula relembrando com os alunos os tres modelos de curvatura (negativa;nula e positiva) exploradas na aula anterior. Para isso,
mostrar novamente os objetos campo de futebol, bola de futebol e vuvuzela.
Após isso, dizer aos estudantes que o foco da aula será estudar o comportamento e classificação das retas nos tres objetos mencionados a
fim de vizualizar, deduzir e ampliar a noção do conceito de reta.
Para tanto, orientar aos alunos para que busquem solucionar o seguinte problema:
Time de futebol termina partida com empate, vitória e derrota ao mesmo tempo.
Os times Esferaldo e Hiperbolido disputaram uma partida sensacional no Campeonato Euclides de Futebol. Tudo começou com um
jogador que estava jogando na defesa de seu time. Sua posição era poucos metros a frente do goleiro, e a sua função era auxiliar o guarda-redes
para impedir que a bola entre no gol da sua equipe. Aos 43 minutos do segundo tempo, o jogo estava empatado no zero a zero. Tanto o time
Esferaldo como o time Hiperbolido possuíam defesas extraordinárias. Nenhuma bola conseguia entrar no gol.
Preocupado com o possível empate das duas equipes, o jogador Geodésico do time Esferaldo realizou uma façanha inédita. Ele resolveu
subitamente deixar o seu posto de defesa e assumir a função de atacante com o objetivo de desempatar a competição e conseguir a vitória para os
Esferaldenses.
Para isso, ele esperou a bola chegar aos seus pés , e ao invés de desvia-la, tomou posse dela, e saiu do seu posto inicial ( próximo ao
goleiro) conduzindo-a rumo a trave do time Hiperbolido.
O público ficou impressionado com a trajetória que Geodésico utilizou para levar a bola ate o gol do time adversário. No momento, da
atitude repentina de Geodésico, um dos narradores descreveu:
-- Geodésico toma posse da bola e sai de seu posto em frente ao goleiro caminhando na direção sul. Agora, com a bola parecendo estar
colada em seus pés, ao se deparar com um jogador poderoso do time adversário, resolve, mudar sua rota, virando rumo ao oeste e caminha nesta
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direção ate encontrar mais um adversário. Geodésico, não tenta driblar o jogador adversário e novamente foge com a bola rumo ao norte. Após
percorrer rumo a três direções diferentes, o jogador do time Esferaldo chuta a bola rumo ao gol!
Após ver Geodésico chutando a bola rumo ao gol, o narrador da partida fica tão emocionado, perde a voz e não consegue anunciar o
resultado da façanha de Geodésico.
Ao perceberem que o narrador ficou sem voz, os comentaristas Planejaldo, Negativaldo e Positivaldo disseram.
---- Geodésico enlouqueceu com sua atitude, além de deixar seu posto de defesa, andou feito louco no campo de futebol e chutou a bola
para fora do campo mirando rumo ao leste, não sei o quê! A partida termina empatada! ( Comentário de Planejaldo)
---- Incrível! Geodésico acerta o gol e garante a vitória do time Esferaldo.(Comentário de Negativaldo)
---- Inacreditável! Geodesico faz gol contra, e o time Esferaldo sofre a maior derrota de todos os tempos! ( Comentário de Positivaldo)
Uma pessoa que estava acompanhando o jogo pelo rádio fica muito confusa com o que ouviu e se pergunta como é possível um time de
futebol terminar uma partida com empate, vitória e derrota ao mesmo tempo? A final o que aconteceu realmente com a bola chutado
por Geodésico?
O professor poderá incentivar os alunos a buscar soluções para o problema nos três tipos de curvaturas estudadas na aula anterior. Nesse
sentido, os alunos deverão desenhar o percurso do personagem Geodésico em três situações:
x
Folha de papel sulfite ( representa a curvatura zero)
x
Vuvuzela ( representa a curvatura negativa)
x
Esfera ( representa a curvatura positiva)
Os alunos podem iniciar a investigação desenhando um campo de futebol em cada um dos objetos citados.
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Ao iniciar o desenho do percurso de Geodésico em cada um dos objetos, o professor terá a oportunidade de construir e ampliar com os
alunos os conceitos de ponto; reta e plano, bem como os conceitos de retas paralelas, perpendiculares, e concorrentes.
O professor pode utilizar a metodologia de resolução de problemas em seu viés defendido por Onuchic (1999) que acredita que os
problemas são pontos de partida para o processo de ensino e de aprendizagem, e que contribuem para a formação de conceitos e desenvolvimento
de estratégias de resolução antes da definição formal dos conceitos matemáticos.
Para tanto, o professor deverá resolver o problema em coletivo com os alunos, possibilitando aos estudantes visualizarem em cada modelo
de geometria o trajeto de Geodésico levando a turma a compreensão de que os três comentaristas estavam corretos dependendo da geometria
utilizada na partida de futebol.
Nesse sentido, o professor poderá conduzir a aula desenhando as situações descritas no problema proposto construindo a noção de reta e
suas relações em cada geometria.
Ao final da aula o professor poderá formalizar em uma tabela os conceitos e resultados construídos com os alunos durante a resolução do
problema.
89
Figura 34: Exemplo de campo de futebol na pseudoesfera planificada
90
Figura 35: Exemplo de campo de futebol na geometria hiperbólica
91
Figura 36: Exemplo de campo de futebol na geometria eliptica
Figura 37: Exemplo de quadrilátero para geometria eliptica
Avaliação:
Será analisada a participação dos alunos em todas as atividades desenvolvidas durante a aula.
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PLANO DE AULA 03: Soma dos ângulos internos de um triângulo
Tema: Soma dos ângulos internos de um triangulo
Tempo Previsto: 3 horas
Objetivos:
Visualizar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é:
x
Igual a 180º
x
Menor do que 180º
x
Maior que 180º na geometria esférica
na geometria euclidiana
na geometria hiperbólica
Visualizar que dois triângulos com ângulos correspondentes iguais são:
x
Semelhantes
na geometria euclidiana
x
Congruentes
na geometria hiperbólica
x
Congruentes na geometria esférica
Visualizar que a soma dos ângulos externos de um triangulo é:
x
É igual a 360° na geometria euclidiana
93
x
Não se define ângulo externo na geometria hiperbólica
x
Varia entre 0° e 360º na geometria esférica
Todo triangulo com relação aos ângulos podem ser classificados :
x
Na geometria euclidiana como sendo :
o Retângulo: 1 ângulo reto;
o Acutângulo: ângulos internos agudos;
o Obtusângulo: um dos ângulos é obtuso
x
Na geometria hiperbólica:
o Os triângulos não são classificados com relação aos ângulos
x
Na geometria esférica como sendo:
o Retângulo: um ângulo reto
o Birretângulo: dois ângulos retos
o Trirretângulo: três ângulos retos
Conteúdo:
Soma dos ângulos internos e externos de um triangulo;
Classificação de um triangulo com relação aos seus ângulos
Recursos didáticos
Quadro;
Giz;
Maquete de um campo de futebol;
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Vuvuzelas;
Bola de futebol;
Metodologia.
Pedir aos alunos para desenharem no campo de futebol um triangulo qualquer. Em seguida proponham para que todos meçam com o
transferidor cada um dos três ângulos internos, e também cada um dos três ângulos externos. Depois disso solicitem para que somem as medidas
dos ângulos internos e dos ângulos externos separadamente.
Os alunos deverão concluir que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é sempre igual a 180°, e que a soma dos ângulos
externos de qualquer triangulo é sempre igual a 360°
Não obstante, o professor poderá explorar a classificação de um triangulo plano com relação aos seus ângulos internos que são:
¾
Triângulo acutângulo: é todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90o, ou seja, os três ângulos internos
são agudos.
7
Figura 38: Triângulo acutângulo
7
Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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¾
Triângulo obtusângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90o, ou seja, que possui um ângulo obtuso.
8
Figura 39: Triângulo obtusângulo
9
.
¾ Triângulo retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que possui um ângulo medindo 90o.
Figura 40: Triângulo retângulo
8
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Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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Após isso, o professor poderá pedir para que os alunos desenhem triângulos quaisquer sobre uma esfera de isopor que representa a bola de
futebol.
Para esta atividade, o professor deve relembrar com os alunos que na superfície esférica os lados de um triangulo não são linhas como as
do campo de futebol, mas sim geodésicas, conforme visto na aula anterior, onde os alunos tiveram a oportunidade de verificar que em uma esfera
as retas são definidas como sendo todas as circunferências máximas presentes em uma esfera. Estas circunferências têm sempre como centro o
próprio centro da esfera.
Nesse sentido, os alunos poderão perceber que os lados dos triângulos de uma superfície esférica não são linhas, mas sim, arcos de
circunferências máximas .
Figura 41:Triangulo na superfície esférica
10
10
Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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Figura 42: Triangulo esférico desenhado em bolinha de isopor
12
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Figura 43: Triângulo esférico
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Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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Figura 44: Triangulo esférico
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Imagens disponíveis em: https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
O professor poderá explorar a classificação dos triângulos esféricos desenhados pelos os alunos com relação a medida de seus ângulos
internos. Para isso, o aluno deverá ser instigado a perceber que um triangulo esférico pode apresentar um ângulo reto ou dois ângulos retos ou
ainda três ângulos retos.
Nesse sentido, um triangulo esférico pode ser classificado com relação aos seus ângulos internos em :
¾ Retângulo- um ângulo reto
¾ Birretângulo- dois ângulos retos
¾ Trirretangulo- três ângulos retos
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Imagem disponível em https://www.google.com.br/search?q=triangulo+pseudoesfera&espv. Acesso em 08/12/2014
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Em seguida, o professor pode propor aos alunos para desenharem triângulos sobre a Vuvuzela e pedir aos alunos para medirem a soma
dos ângulos internos e externos de cada triangulo. Os alunos irão perceber que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo desenhado na
Vuvuzela é sempre menor que 180°
Figura 45: Pseudoesfera
Figura 46: Triângulo na superfície negativa
O professor pode ainda instigar os alunos para verificarem que todos os ângulos dos triângulos de uma Pseudoesfera são agudos e que por
esse motivo não recebem nomes especiais como os da esfera.
100
Avaliação:
Será analisada a participação dos alunos em todas as atividades desenvolvidas durante a aula.
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PLANO DE AULA 04: Cevianas de um triângulo.
Tema: Cevianas de um triângulo.
Tempo Previsto: 3 horas
Objetivos:
Um triangulo com relação aos seus lados pode ser classificado
x
Na geometria euclidiana como sendo
o Isósceles: quando possui dois lados com a mesma medida;
o Equilátero: quando possui três lados com medidas iguais
o Escaleno: quando possuir dois lados quaisquer não congruentes
x
Na geometria hiperbólica:
o Não podem ser classificados com relação aos lados
x
Na geometria esférica
o Retilátero: um lado mede 90º
o Birretilátero: dois lados medem 90º
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o Trirretilátero: cada um dos lados mede 90°
Visualizar que a geometria hiperbólica não possui ceviana.
Visualizar que as bissetrizes de um triangulo são semirretas na geometria euclidiana e círculos máximos na geometria esférica;
Visualizar que as alturas e medianas de um triangulo são segmentos de retas na geometria euclidiana e círculos máximos na
geometria esférica.
Conteúdo:
Cevianas de um triangulo;
Classificação de um triangulo com relação aos seus lados;
Recursos didáticos
Quadro;
Giz;
Maquete de um campo de futebol;
Vuvuzelas;
Bola de futebol;
Adesivo dupla face
Metodologia.
Iniciar a aula orientando aos alunos para marcarem dois pontos fixos em cada um dos objetos que representam as geometrias plana,
hiperbólica e esférica. Estes objetos, são os utilizados nas aulas anteriores:
¾
Campo de futebol ( representa a geometria euclidiana)
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¾
Vuvuzela (representa a geometria hiperbólica)
¾
Bola de futebol ( representa a geometria esférica)
Marcado os dois pontos sobre estas superfícies, o professor solicitará aos alunos para ligarem tais pontos com um adesivo dupla face
formando assim um segmento de reta em cada um dos três modelos de geometrias estudados.
O professor deve lembrar aos alunos que na geometria hiperbólica as retas são parecidas com arcos enviesados e na geometria esférica
circunferências máximas.
Após isso, os alunos deverão marcar diversos pontos próximos a linha pré-fixada nos três modelos de geometrias. Em seguida, irão colar
em cada ponto marcado um pedaço de adesivo dupla face. Após isso, com um pedaço de barbante os alunos deverão ligar os dois pontos da reta
inicial com cada um dos pontos marcados ao redor da reta formada inicialmente.
Os alunos devem deduzir com a ajuda do professor que em cada geometria os lados e cevianas de um triangulo são formados por
segmentos de retas características de cada geometria. Ou seja, no campo de futebol como as retas podem ser visualizadas como linhas infinitas
com curvatura nula, todo triangulo e suas cevianas são semelhantes a reta euclidiana. O mesmo acontece na superfície esferica, tendo em vista
que neste modelo de geometria as retas são consideradas círculos máximos, todo triangulo e suas cevianas também serão círculos máximos.
Todas estas verificações podem ser observadas fazendo desenhos sobre o campo de futebol e uma bola de isopor, onde os alunos
GHGX]LUmRIDFLOPHQWHTXHRVWULkQJXORVHVXDVFHYLDQDVSRVVXHPDPHVPDQDWXUH]DGHµ¶UHWD¶¶
Após isso, o professor poderá classificar com os alunos os triângulos da geometria euclidiana medindo com uma régua os seus lados. Os
estudantes perceberão que um triangulo pode possuir: dois lados iguais; três lados iguais ou três lados diferentes, e por convenção são
classificados respectivamente em isósceles, equilátero e escaleno.
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Não obstante, os alunos deverão deduzir que como os lados de um triangulo da superfície esférica são arcos de circunferências, estes são
medidos em graus, e para isso devem utilizar não mais a régua, mas sim um transferidor. Os alunos após medirem os lados dos triângulos
desenhados sobre a esfera irão perceber que podem ocorrer três tipos de triângulos: triangulo com apenas um ângulo reto, triangulo com dois
angulos retos, e triangulo com três ângulos retos . Estes triângulos são classificados por convenção como sendo retângulos, birretangulos e
trirretangulos.
O professor deverá mostrar aos alunos que a geometria hiperbólica não possui cevianas, pois a reta suporte que forma o lado de triangulo
hiperbólico é paralela a todas as outras retas que não interceptam o lado do triangulo considerado. Nesse sentido, o triangulo hiperbólico não
possui cevianas. Para ficar mais claro este fato, o professor poderá utilizar outros objetos que são modelos da geometria hiperbólica como a sela
de um cavalo ou um bule de coar café.
Uma outra opção, muito interessante, para mostrar que a geometria hiperbólica não possui cevianas é a visualização de pulseirinhas
fabricadas com arcos entrelaçados e que se assemelham as retas da geometria hiperbólica.
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Figura 47: Modelo de reta para geometria de curvatura negativa
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Avaliação:
Será analisada a participação dos alunos em todas as atividades desenvolvidas durante a aula.
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação na (CIP)
HON/pri
Honorato, Adriano Rodrigues.
Principais noções e (co) relações das geometrias euclidiana,
elípticas e hiperbólica para a educação básica [manuscrito] / Adriano
Rodrigues Honorato. - 2015.
109 f.
Orientadora: Prof. Dr. Duelci Aparecido de Freitas Vaz.
Dissertação (Mestrado) ± IFG ± Campus Jataí, Programa de Pós ±
Graduação em Educação para Ciências e Matemática, 2015.
Bibliografia.
Apêndices.
1. Educação. 2. Matemática ± geometria. 3. Matemática ± Geometrias
Não-Euclidianas. I. Vaz, Duelci Aparecido de Freitas. II. IFG, Campus
Jataí. III. Título.
CDD 516.9
Ficha catalográfica elaborada pela Seção Téc.: Aquisição e Tratamento da Informação.
Bibliotecária ± Rosy Cristina Oliveira Barbosa ± CRB-1/2380 ± Campus Jataí. Cod. F006/15.
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