Geometria Plana 02 Prof. Valdir VI – ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 3. ÂNGULO ENTRE DUAS CORDAS (vértice interno) 1. ÂNGULO CENTRAL É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que seus lados delimitam na circunferência cujo centro coincide com o seu vértice. V α= α B A α = med AB α O D A + CD AB 2 C 4. ÂNGULO ENTRE DUAS SECANTES (vértice externo) A D B V α α= 2. ÂNGULO INSCRITO É todo ângulo cujo vértice pertence à uma circunferência e os seus lados são retas secantes desta. A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que seus lados delimitam na circunferência. C - CD AB 2 B Teorema do quadrilátero inscritível “Se um quadrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos opostos são suplementares”. A A C AB med α= 2 α D α β B B C Obs.: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Ou seja, se um triângulo é inscrito numa semicircunferência, então ele é retângulo. O – centro Demonstração: ABC ADC α= e β= 2 2 Como ABC + ADC = 360º, então: α + β = 180º Observação: “Em todo quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos”. (Teorema de Hiparco). O Demonstração: Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE, com extremidade E na diagonal BD, tal que α = β. A 5. ÂNGULO DE SEGMENTO É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo que um de seus lados é uma secante e o outro tangente à circunferência num dos pontos onde a secante corta a circunferência. O β θ B B α α α= AB med 2 E D θ C Dessa forma, teremos ∆ABC ∼ ∆ADE. Logo, podemos afirmar que: A AC BC = ⇒ AC.ED = AD.BC (I) AD ED www.cursosimbios.com.br 1 Da mesma forma, teremos ∆ABE ∼ ∆ADC. Daí, teremos: 02. Na figura a seguir, os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência de centro O. Assim, calcule a medida do ângulo x assinalado. C AC CD = ⇒ AC.BE = AB.CD (II) AB BE B 25º A F 40º Adicionando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), vem: AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC x Resolução: O E D Da figura temos: = 2.25° ⇒ BE = 50° ⇒ EDB ˆ = 25º BE ˆ Como CBD é ângulo externo do triângulo ABD, temos: Como BE + ED = BD, obtemos: AC.BD = AB.CD + AD.BC ˆ ˆ CBD = 40° + 25° ⇒ CBD = 65° Como x é medida de um ângulo externo do triângulo BCF, temos: x = 65° + 25° ⇒ x = 90° Resposta: x = 90° Exercícios resolvidos: 01. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem respectivamente, 60° e 90°. Determine a medida do ângulo α entre as cordas AC e BD. VII – POTÊNCIA DE UM PONTO D A 1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIOR V 60° B D 90° α A PA.PC = PB.PD P C Resolução: Sabemos que α = + CD AB 2 Resposta: 75° α= + CD AB . Então, teremos: 2 ⇒ α= 90° + 60° 2 B C Dica: O triângulo APB é semelhante ao triângulo PCD ⇒ α = 75° 2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR A D 03. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem, respectivamente, 100° e 60°. Determine a medida α do ângulo entre as secantes VA e VB. P PA.PD = PB.PC O C A D α V B 100° 60° Dica: O triângulo PAC é semelhante ao triângulo PBD. C B Resolução: Sabemos que α = α= - CD AB 2 3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE A reta que passa por A e P é tangente à circunferência no ponto A. Observe que AO ⊥ PA, sendo AO o raio da circunferência. - CD AB . Então, teremos: 2 ⇒ α= Resposta: 20° 100° - 60° 2 A P O ⇒ α = 20° B 2 (PA) = PB.PC C Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC. www.cursosimbios.com.br 2 02. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA e PB medem, respectivamente, 6 cm e 4 cm. Determine a medida do segmento de reta BC, sabendo-se que a reta PA é tangente à circunferência no ponto A. 4. DUAS RETAS TANGENTES A A P 6 cm A O 2 (PA) = (PB) P 2 4 cm O B C Obs.: Nesse caso PA = PB. Teorema do quadrilátero circunscritível. “Se um quadrilátero ABCD é circunscritível em um círculo, então AB + CD = BC + AD”. R D Q Resposta: 5 cm B P Resolução: Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência, teremos: 2 2 (PA) = PB.PC ⇒ 6 = 4.(4 + BC) ⇒ 36 = 16 + 4.BC ⇒ BC = 5 cm C S A B Demonstração: 03. (ITA) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, calcule o comprimento do segmento GF. Sejam P, Q, R e S os pontos de tangência aos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Assim, teremos: A 7 B 5 E 6 AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR) 4 3 D AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS) AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC Assim, fica provado que: AB + CD = BC + AD. C G Como: AP = AS, BP = BQ, CQ = CR e DR = DS, temos: F Resolução: Fazendo GC = x, da potência do ponto E, temos: 4.(7 + x) = 5.12 ⇒ 7 + x = 15 ⇒ x = 8 cm Fazendo GF = y, da potência do ponto G, temos: Exercícios resolvidos: y.6 = 3.8 ⇒ y = 4 cm 01. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA, PB e PC, medem, respectivamente 6 cm, 3 cm e 4 cm. Determine a medida do segmento de reta PD. Resposta: GF = 4 cm D A 6 cm P 4 cm 3 cm B C Resolução: Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência, teremos: PA.PC = PB.PD ⇒ 6 . 4 = 3 . PD ⇒ PD = 8 cm. Resposta: PD = 8 cm www.cursosimbios.com.br 3