Medidas Descritivas

UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
MEDIDAS
DESCRITIVAS
Departamento de Estatística
Luiz Medeiros
http://www.de.ufpb.br/~luiz/
MEDIDAS DESCRITIVAS
► Vimos
que é possível sintetizar os dados sob a
forma de distribuições de frequências e gráficos
gráficos..
► Pode
ser de interesse apresentar esses dados
através de medidas descritivas que sintetizam as
características da distribuição
distribuição..
► Para
representar um conjunto de dados de forma
condensada utilizaremos algumas medidas de
posição e de dispersão
dispersão..
ALGUMAS MEDIDAS DESCRITIVAS
►
Mínimo:: O menor valor observado;
Mínimo
observado;
►
Máximo:: O maior valor observado;
Máximo
observado;
►
Média:: É a soma das observações dividido pelo número de observações;
Média
observações;
►
Moda:: É o valor que ocorre com maior frequência;
Moda
frequência;
►
Mediana: É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados
Mediana:
ordenado;;
ordenado
►
Quartil:: Divide o conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais
Quartil
iguais;;
►
Decil:: Divide o conjunto de dados ordenado em dez partes iguais
Decil
iguais;;
►
Percentil:: Divide o conjunto de dados ordenado em cem partes iguais
Percentil
iguais..
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
Média Aritmética: É a soma das observações dividida pelo
número de observações e seus valores tendem a se localizar
em um ponto central dentro de um conjunto de dados. Em
geral é a medida de tendência central mais comum para um
conjunto de dados e é denotada por µ ou X
a)
Para dados não agrupados
agrupados:: Sejam X1,X2, . . . ,XN, um conjunto de
valores da variável X. Temos então que a média aritmética de X é dada
por::
por
Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a média
amostral,dada por:
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA
b) Para dados agrupados:
agrupados: Uma vez que os valores da variável estão
agrupados em tabelas de frequências, temos que
onde k é o número de classes e Xmi, para i = 1, . . . , k são os respectivos
pontos médios das classes.
classes.
Na prática não conhecemos toda a população.
população. Logo, utilizamos a média
amostral,dada por:
por:
► PROPRIEDADES
DA MÉDIA ARITMÉTICA
i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números
em relação a média aritmética é zero
zero..
ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante aos valores
de uma variável, a média fica aumentada ou diminuída
dessa constante
constante..
iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de
uma variável por uma constante, a média fica multiplicada
ou dividida por essa constante
constante..
Vantagens e Desvantagens da Média
MEDIDAS DE POSIÇÃO – MÉDIA GEOMÉTRICA
►
Usada em casos em que o crescimento da série é
muito grande (MG é mais representativa).
► Importante:
logaritmo
Para n grande é conveniente uso do
MEDIDAS DE POSIÇÃO – MÉDIA HARMÔNICA
►
Recomendada para séries de valores que são
inversamente proporcionais as frequências
► Relação
entre as médias
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
►
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas
as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o
mesmo peso
peso..
►
No entanto, existem casos onde as ocorrências têm
importância relativa diferente
diferente.. Nestes casos, o cálculo da
média deve levar em conta esta importância relativa ou
peso relativo
relativo..
Exemplo: As aplicações mais comuns no mercado financeiro são:
Exemplo:
são:
Poupança, Certificado de Depósito Bancário (CDB), Recibo de
Depósito Bancário (RDB) e os Fundos de Investimento.
Investimento. Uma
multinacional decide aplicar parte do seu lucro em três
diferentes aplicações no período de um ano.
ano. Segue abaixo o
montante aplicado em cada uma das aplicações no período.
período.
Tipos de Aplicações
Valor das Aplicações
Rentabilidade (%)
Poupança
R$ 250.000,00
7%
CDB
R$ 100.000,00
11%
RDB
R$ 80.000,00
12%
Qual foi a rentabilidade (%) média da empresa com as
aplicações no final do período? Justifique sua resposta.
resposta.
Exemplo: Qual a idade média da população de
Recife, em 1993, que possui AIDS.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
Mediana: Ocupa a posição central de uma série de observações ordenadas,
Mediana:
ou seja, é o valor que divide os dados em duas partes iguais (isto é, em
duas partes de 50
50%
% cada)
cada).. É denotada por Me.
Me.
a) Para dados não agrupados:
Caso 1 - “n” ímpar
ímpar:: Para a série de valores ordenados em ordem crescente de
grandeza (isto é, um rol), a mediana é o valor central, isto é
Me = elemento que está na posição (n+1)/2;
Caso 2 - “n” par
par:: Para a série de valores ordenados em ordem crescente de
grandeza (isto é, um rol), a mediana é a média aritmética dos valores
centrais, isto é
Me = média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA
b) Para dados agrupados por valor
valor::
É necessário construir a frequência acumulada para encontrar o
elemento mediano através da sua ordem
c) Para dados agrupados por classes:
1º Passo: CalculaCalcula-se o elemento central de ordem n/2 (par) e (n+1/2)
(ímpar).
2º Passo: Pela frequência acumulada identificaidentifica-se a classe que contém a
mediana.
3º Passo: UtilizaUtiliza-se a fórmula
Onde:
lme é o limite inferior da classe mediana;
n é o tamanho da amostra;
FANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana;
hme é a amplitude da classe mediana;
fme é a frequência da classe mediana.
Exemplo: Determinar a mediana dos dados
apresentados na tabela abaixo.
Vantagens e Desvantagens da Mediana
MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA
Moda: É o valor (valores) mais frequente no conjunto de dados, e será
Moda:
denotado por MO.
a. Se todos os valores se repetem a mesma quantidade de vezes,
dizemos que não há moda, ou seja, a distribuição é amodal;
amodal;
b. Se um valor ocorre com mais frequência,
frequência, dizemos que a distribuição é
unimodal;;
unimodal
c. Se dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com mais
frequência, dizemos que a distribuição é bimodal.
bimodal.
d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e
com a mesma frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.
MEDIDAS DE POSIÇÃO – MODA
Para dados agrupados em classes:
classes:
Moda Bruta
Moda de King
Moda de Czuber
Moda de Pearson
►
Para os três primeiros processos, o primeiro passo é
identificar a classe modal, isto é, a classe que apresenta a
maior frequência.
frequência.
MODA BRUTA
MODA DE KING
MODA DE CZUBER
MODA DE PEARSON
RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA
►
Média = mediana = moda -> distribuição simétrica
►
Média > Mediana > Moda -> distribuição simétrica positiva
►
Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa
Exemplo: Determinar a moda através dos 4
processos.
Vantagens e Desvantagens da Moda
Exemplo: Calcular a média, moda e mediana
para os seguintes casos
1)
Idade dos alunos
18 – 25 – 20 – 19 – 22 – 22 – 21 – 19
Altura dos alunos
1,75 – 1,69 – 1,81 – 1,72 – 1,73 – 1,66 – 1,59
2)
Exemplo: Num estudo sobre rotatividade de mão de obra na
Exemplo:
indústria, anotouanotou-se o número de empregos nos últimos 3
anos para operários especializados e não especializados.
especializados.
Calcule a média, moda e mediana e tire suas conclusões
conclusões..
MEDIDAS DE POSIÇÃO – QUANTIS OU SEPARATRIZES
Em alguns casos, o pesquisador tem interesse em
conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de
dados..
dados
Quantis ou Separatrizes são medidas que dividem
o rol de um conjunto de dados em partes iguais
iguais..
Obs: A mediana é um quantil,
Obs:
quantil, pois divide o
conjunto de dados em duas partes iguais
iguais..
MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIL
►
Quartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes
Quartis:
iguais e são denotadas por Q1, Q2 e Q3.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIL
MEDIDAS DE POSIÇÃO - DECIS
►
Decis: São as observações que dividem o rol em 10 partes
Decis:
iguais e são denotadas por D1,D2, . . . ,D9.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - DECIS
MEDIDAS DE POSIÇÃO - PERCENTIS
►
Percentis: São as observações que dividem o rol em 100
Percentis:
partes iguais e são denotadas por P1, P2, . . . , P99.
Note que Q2 = D5 = P50 = Me.
MEDIDAS DE POSIÇÃO - PERCENTIS
Exemplo: Calcular o primeiro quartil, o oitavo
decil e o trigésimo percentil.
Exemplo: Num estudo sobre rotatividade de mão de obra na
Exemplo:
indústria, anotouanotou-se o número de empregos nos últimos 3
anos para operários especializados e não especializados.
especializados.
Calcule o terceiro quartil, o sexto decil e o vigésimo percentil.
percentil.