arquimedes e a quadratura da parábola – valor

ARQUIMEDES E A QUADRATURA DA PARÁBOLA – VALOR
PEDAGÓGICO DAS PROVAS ARQUIMEDEANAS
Regina de Cassia Manso de Almeida
Universidade Federal Fluminense
[email protected]
RESUMO
Sabemos que Arquimedes (200 a.C.) fez uso do princípio da
exaustão de Eudoxo (408-355) para avaliar a equivalência entre as
áreas de figuras geométricas. Também demonstrou teoremas
seguindo dois métodos distintos de prova – método mecânico e
método geométrico. Neste artigo, eu discuto, em linhas gerais, que a
obra
de
Arquimedes
permite
um
procedimento
pedagógico
importante: a pesquisa em matemática escolar sob uma perspectiva
social e epistemológica, com base em observações textuais.
Palavras-chave: Arquimedes, demonstração, educação
ABSTRACT
As we already know, Archimedes (200 B.C.) has used the Eudoxus’
method of exhaustion to assess the equivalence among the areas of
geometric figures. He has also demonstrated theorems following two
different methods of proof - mechanical method and geometric
method. In this article, I discuss in outline that the Archimedes’ work
allows us a pedagogic procedure: the research on school
Mathematics from an epistemological and a social point of view,
based on textual observations.
Key words: Archimedes, proof, education
1
Introdução
Arquimedes viveu nos anos 200 a.C. e seu trabalho chegou até os dias atuais por meio de
várias compilações. Ele descobriu resultados matemáticos novos dispondo do conhecimento
reunido nos Elementos de Euclides (300 a.C.) e também inovando pelo modo como o
conhecimento é usado em métodos de investigação e é aplicado em novas áreas. Tendo como
base matemática o princípio da exaustão de Eudoxo (408-355), Arquimedes avalia a
equivalência entre as áreas de figuras geométricas, operando com aproximações por falta ou
por excesso. Como se sabe, esses argumentos vão fornecer a base sobre a qual se
estabelecem as primeiras justificativas para o conceito de limite, no século XVIII.
Os mestres do Renascimento repreenderam Arquimedes por não ter revelado os
procedimentos que o levou a descobrir tantos resultados. E a resposta positiva a essa
reclamação nos chegou em 1906, com o achado em um mosteiro de Jerusalém – o manuscrito
original contendo o método de descoberta, segundo o próprio Arquimedes método relativo aos
teoremas mecânicos – obra que ficou conhecida entre nós como O método. A literatura
ressalta que nada é mais admirável do que Arquimedes fornecer seus procedimentos de
investigação Heath (1953); Mugler (1971), uma vez que no trabalho dos geômetras gregos
clássicos o fato mais característico ou atormentador é a ausência de indicação dos passos com
que eles trilharam o caminho que os levou a descobrir seus resultados formidáveis (HEATH,
idem, p. 6). (grifos do autor) Para estudo do conjunto da obra arquemedeana remeto a autores
como Heath (1953), Clagett (1956, 1964), Mugler (1971), Dijksterhuis (1987).
A quadratura da parábola, tratado sobre geometria plana reunindo vinte e quatro
proposições apresenta o teorema, a área de um segmento parabólico é quatro terços da área
do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto em que a tangente é paralela à
base. Arquimedes prova o teorema utilizando o método mecânico e o método geométrico.
Especificamente, no livro O método ele explica o seu método mecânico de descoberta.
Explorar o fato, Arquimedes faz uso de dois métodos distintos na prova de um mesmo
teorema, nos revela o processo de identificar uma variedade de fatores e de dimensões
constituintes da própria história de Arquimedes e da sua época. Que conhecimentos
matemáticos estavam disponíveis? Que concepções epistemológicas determinavam os
conteúdos? E os padrões de rigor então aceitos? Qual o desafio didático de Arquimedes para
mostrar a validade das inovações que empregou em suas pesquisas? Assim, a ação
pedagógica importante é essa: problematizar o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos
em sua dimensão social, epistemológica, entre outras, visando construir o entendimento não
linear e contextualizado desses conteúdos. A obra de Arquimedes é rica nesse sentido já pelas
perguntas que suscita. Mediante tal perspectiva é que exploro neste artigo, em termos bem
gerais, o texto de Arquimedes.
2
Procedimentos de prova distintos e as problemáticas de uma época
É possível destacar no trabalho arquimedeano dois momentos da produção do
conhecimento matemático em função de especificidades no registro textual - o da descoberta e
2
o da demonstração. O momento da descoberta está associado ao desenvolvimento mecânico
das provas e o da demonstração, associa-se ao método geométrico de exposição
demonstrativa. Dado este fato,
minha investigação que parte do registro escrito da
demonstração arquimedeana, instância local de análise,
se defronta com a exigência
necessária de uma análise comparativa e, consequentemente, mais global do tema. Assim, o
conteúdo em foco é ponto de partida que se amplia e remete a outros livros e autores e
assuntos. Processo que resulta em entender as provas de Arquimedes enquanto conhecimento
matemático produzido sócio-culturalmente, ou seja, - conjunto de saberes validados
academicamente numa dada época mas que, simultaneamente, uma vez que não é tido como
acabado, convive com impasses, com questões ainda por resolver. Metodologicamente, o
estudo comparativo de textos de matemática admite o registro do conteúdo como objeto a ser
problematizado, pois não nos é dado de modo absoluto, em formato final. Ao contrário, o que
se pode dizer de modo categórico é que o próprio registro textual dos conteúdos matemáticos
nos livros, incluindo os livros escolares, nos desafia pelas modificações que revela. Como isso
acontece? De que modo entender esse processo?
Entender o registro textual arquimedeano implica considerar um quadro de conhecimentos
disponíveis a sua época. Primeiramente, a matemática entre os gregos antigos se estruturava
como uma ciência dedutiva que baseada no silogismo aristotélico prova os resultados
matemáticos a partir dos primeiros princípios, ou seja, as definições, postulados e axiomas.
Adotava também o texto demonstrativo em seis etapas: enunciado, exposição ou hipótese,
explicação ou determinação, construção ou preparação, demonstração e conclusão, tendo
como texto padrão os Elementos de Euclides (300 a.C.). E por último, o impasse da existência
das grandezas incomensuráveis foi superado, na época, com a teoria das proporções de
Eudoxo exposta no Livro V dos Elementos de Euclides, pois os procedimentos de cálculo eram
limitados por não se dispor dos números reais. Em síntese, a igualdade entre duas grandezas
era provada pelo que conhecemos hoje como método da exaustão que decorre da teoria das
proporções de Eudoxo: para provar que A = B, é preciso mostrar que se não se tem A > B ou
A < B, consequentemente resulta que A = B.
Arquimedes aplica empiricamente resultados matemáticos vindos dos Elementos de
Euclides em suas descobertas, quando realiza a pesagem de figuras geométricas. É
importante esse aspecto da sua atuação. Principalmente, porque seu objetivo também é provar
a validade de resultados matemáticos de um modo rigoroso. Mas admite que faz
experimentações, que existem etapas de um trabalho investigativo até que chegue ao objetivo
de demonstrar o teorema, e deixa registros desse processo. Assim, diverge do padrão textual
dos Elementos de Euclides, da tradição euclidiana de apresentar apenas a demonstração final
dos teoremas e problemas, aspecto que pedagogicamente foi alvo de críticas desde o
renascimento como nos mostra a obra de Ramus (1515-1572) e mesmo as releituras e
reedições medievais dos Elementos em seu longo processo de transmissão (Murdoch, 1961;
Schubring, 2003; Almeida, 2008.
3
No livro, O método, em que Arquimedes apresenta provas matemáticas usando os dois
métodos – método mecânico e método geométrico – ele destaca a diferença entre eles: o
método mecânico serve para descobrir os teoremas e não para fornecer as respectivas provas.
Já o uso do método geométrico permite apresentar as provas conforme o padrão de rigor
aceito àquela época.
Quanto ao método geométrico e seu desenvolvimento completo, remeto o leitor à
bibliografia citada, uma vez que esse texto consta da literatura básica em Arquimedes como
Heath (1981), A History of Greek Mathematics, v. I, (1ª. ed. de 1921), por exemplo, que é bem
divulgado entre nós. O foco de interesse, aqui, é explorar o fato da existência das duas
demonstrações distintas, sendo suficiente o que expomos de cada uma.
Uma característica importante da obra de Arquimedes é que ele envia seus escritos a
outros matemáticos de Alexandria e temos, assim, livros que contêm como abertura cartas com
comentários do autor sobre sua própria produção, seguidas das exposições técnicas. Em O
método ele continua uma troca de correspondência com Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.)
e se refere ao modo como chegou a alguns resultados matemáticos publicados anteriormente.
Vejamos o texto do próprio Arquimedes:
Arquimedes a Eratóstenes, saudações!
Eu já lhe enviei anteriormente alguns teoremas que descobri, limitando-me a
redigir os enunciados e convidando a encontrar as demonstrações que ainda
não tinha comunicado. (MUGLER, 1971, v. 3, p. 82)
Há o destaque de que os procedimentos prévios são realmente um meio para descobrir e
também para expor os resultados,
O que nós vamos dizer não demonstra, sem dúvida, o que precede, mas dá
até certo ponto a idéia de que a conclusão é justa. Isso, porque
reconhecendo que a conclusão não está demonstrada, mas tendo a idéia de
que ela está certa, nós daremos em seu lugar a demonstração geométrica
do que nós achamos e já publicamos. (idem, p. 82)
Para verificar suas intuições, antes de demonstrá-las pelo raciocínio dedutivo, Arquimedes
interroga a realidade na escala do perceptível, pela observação e pela experiência.
2.1 O método mecânico de investigação
O objetivo de Arquimedes é conseguir o equilíbrio dos corpos em uma balança, embora ele
faça uso de dois procedimentos distintos de prova. Em uma explanação básica, segundo o
método mecânico de investigação, é suficiente tomar o caso simples em que se equilibra na
balança os corpos X e B, conforme ilustra a figura baixo.
X
B
4
Figura 1
As áreas ou volumes e posição do centro de gravidade dos corpos são conhecidos
previamente. As figuras que os representam são colocadas em uma posição tal que elas
tenham como diâmetro, ou eixo comum, um dos lados. Os elementos infinitesimais em que a
figura X é dividida são pesados contra os elementos da outra figura B, sabendo-se que os
respectivos centros de gravidade repousam em um ponto ou outro do eixo comum.
Os elementos em correspondência são seções de X e de B, respectivamente determinadas
por um plano perpendicular ao eixo que corta as duas figuras. Embora Arquimedes chame os
elementos de linhas retas e áreas planas, respectivamente, eles são, no primeiro caso, tiras
estreitas, áreas, e no segundo caso são lâminas planas finas, sólidos. Mas a largura ou
espessura dx como chamamos hoje, não entra no cálculo porque esse diferencial é
considerado o mesmo em cada um dos dois elementos correspondentes, que são
separadamente divididos e pesados um contra o outro.
O número de elementos em cada figura é infinito, mas Arquimedes não precisa dizer isso,
ele simplesmente diz que X e B são formados de todos os elementos, isto é, das linhas, no
caso das áreas planas e das placas, no caso dos sólidos. Arquimedes lida com os momentos
dos corpos em um ponto de suspensão da balança. Trabalha com os respectivos produtos dos
elementos de área ou volume pelas distâncias entre os pontos de suspensão da balança, e os
centros de gravidade dos elementos (HEATH, 1953, p. 7-11).
O desenvolvimento de Arquimedes para a Quadratura da parábola permite apresentar
em etapas o modo como ele investigou, provou e demonstrou seus resultados. Bettinelli (1989)
interpreta o método mecânico arquimedeano, como a seguir:
O segmento de parábola a ser medido está inscrito em um triângulo que tem
a mesma base que ele, um lado é uma tangente à parábola e o outro é
paralelo ao seu eixo. Suponha o triângulo pendendo em uma barra
imaginária de modo que o lado paralelo ao eixo esteja na vertical e caia, no
prumo, do meio da barra e pelo ângulo oposto à extremidade da barra. Um
contrapeso permite o equilíbrio.
Figura 2
5
O triângulo é decomposto em n barras verticais de igual largura e o
contrapeso decomposto em partes que equilibram cada uma das barras.
Figura 3
Arquimedes mostra que o contrapeso correspondente a uma barra tem
sempre uma área contida entre os dois trapézios que rodeia a porção da
parábola que está abaixo da barra.
Figura 4
E então, o contrapeso total tem uma área compreendida entre as das duas
figuras dentadas inscritas e circunscritas ao segmento da parábola.
6
Figura 5
(BETTINELLI, 1989, p. 193-195)
A partir desse ponto, Arquimedes usa o argumento da exaustão, ou seja, ao escolher um
número grande de barras o contrapeso é igual ao segmento de parábola porque ele não é nem
maior, nem menor. Essa é a base do procedimento de prova conhecido como método
geométrico, característico do padrão euclidiano de prova e, como já mencionei, o que
conhecemos também como método de exaustão de Eudoxo.
Retomando a figura 2 e sabendo que o centro de gravidade de todo triângulo está a um
terço das suas medianas, Arquimedes está seguro de que a área do segmento de parábola
está a um terço da do triângulo pendurado na balança, o que completa essa exposição
moderna do trabalho arquimedeano.
3. O valor pedagógico das provas
Essa breve apresentação mostra o contexto em que Arquimedes atuou. Ao usar tanto o
método mecânico quanto o método geométrico, ele expõe os resultados que investiga de forma
sistematizada, mas escrevendo provas distintas. Basicamente, dois pontos de interesse se
destacam a partir da obra arquimedeana - o padrão de rigor admitido academicamente e o
processo de construção de uma prova - os quais se desdobram em muitas outras questões de
valor pedagógico com respeito à tarefa de demonstrar. Principalmente, se consideramos a
escola básica contemporânea em que se institucionalizou quase de modo geral aplicar as
proposições matemáticas para resolver exercícios, sem propor justificativas matemáticas que
mostrem como elas podem ser validadas.
Quanto ao primeiro ponto, segundo Dijksterhuis (1987), Arquimedes não está preparado
para reconhecer o teorema da quadratura da parábola como realmente provado, nos dois
casos. Por um lado, a falta de rigor do método mecânico reside no caráter dos argumentos
usados, ou seja, a aplicação dos indivisíveis. Quanto ao segundo ponto, Arquimedes mostra a
existência de etapas para se estabelecer a demonstração de um teorema, até que se chegue à
última etapa, a escrita do texto da demonstração. Estes são fatores ausentes nos Elementos
de Euclides, livro muito criticado pedagogicamente, conforme já comentei, e que foi durante
séculos o cânone da demonstração em matemática e também modelo de princípios para a
prática científica. A obra de Arquimedes revela algo novo, revolucionário - a tomada de posição
com respeito à atividade de demonstrar um teorema, tem suas particularidades - ou seja, é
necessário problematizar o conteúdo quando se inquire - como podemos estabelecer a prova
do teorema? O que pode nos trazer algumas pistas? Quais proposições usar? O que admitir
como axioma?
Observamos, aqui, a dimensão epistemológica dos conteúdos como elemento
determinante na validação do conhecimento matemático. Primeiramente, porque à época de
Arquimedes, o modelo euclidiano de exposição teórico-demonstrativa dava ao conhecimento
matemático seu estatuto de cientificidade, tornando a matemática uma ciência. E nesse tempo,
os processos infinitos eram tratados cientificamente, isto é, de modo rigoroso, com o uso da
7
dupla redução ao absurdo, o método de Eudoxo, e não com o uso dos indivisíveis. Por causa
disso, no livro Quadratura da parábola, para satisfazer os padrões acadêmicos da época,
Arquimedes expõe as provas das suas descobertas sem usar os indivisíveis. Nesse caso, usa
a dupla redução ao absurdo, seguindo o modelo geométrico euclidiano. Em segundo lugar,
ainda conforme Dijksterhuis (idem), no livro Sobre o equilíbrio dos planos, Arquimedes
fundamenta a sua teoria do equilíbrio da balança em postulados, mesmo usando os
indivisíveis, criando a impressão de que ele não via qualquer diferença essencial entre e o
método mecânico e o geométrico (p. 315-319).
Outro aspecto epistemológico importante é o desafio didático enfrentado por Arquimedes:
mostrar que a exposição teórico-demonstrativa dos seus teoremas foi precedida por atividades
matemáticas experimentais que inicialmente garantiram, não de modo axiomático, que ele
alcançara um resultado verdadeiro. Segundo Dijksterhuis (1987), o padrão euclidiano de
demonstração dos teoremas
sacrifica o desejo do leitor de obter também uma visão do método
pelo qual o resultado foi descoberto. É esse desejo, contudo, que
Arquimedes satisfaz com seu Método: ele revelará como ele mesmo,
muito antes de ter conhecido como provar seus teoremas tornou-se
convencido de que eram verdadeiros. (p. 315)
Ao enquadrar o trabalho demonstrativo, apesar do seu caráter teórico, associado a
tentativas, a estratégias experimentais de exploração de como validar o resultado matemático
em pauta, o modo como Arquimedes opera em suas atividades revela o lugar de etapa final
ocupado pela exposição escrita do teorema, no longo processo de seleção de proposições e
procedimentos de prova. Para verificar suas intuições, antes de demonstrá-las pelo raciocínio
dedutivo, Arquimedes interroga a realidade na escala do perceptível, pela observação e pela
experiência.
4
Concluindo
Arquimedes questiona o padrão de rigor instituído em seu tempo, inovando e sendo
eficiente. Se uma demonstração tem por base postulados admitidos previamente, não importa
se eles se aplicam à descoberta de um novo resultado da geometria a partir de uma situação
mecânica. É o próprio Arquimedes quem preconiza o reconhecimento da utilidade do
procedimento mecânico ou método da descoberta, em épocas vindouras,
Eu presumo que haverá, entre a presente bem como entre as futuras
gerações, quem por meio do método aqui explanado estará apto para
encontrar outros teoremas que ainda não compartilhamos (Dijksterhuis,
idem, p. 315).
mas nem por isso deixa de apresentar as demonstrações segundo o modelo vigente.
O entendimento dos processos de prova arquimedeano mostra que a exposição teórica de
um resultado matemático explicita um contexto sócio-cultural, ou seja, é uma produção que
obedece a preceitos acadêmicos em vigor numa dada época e entre diferentes grupos. Além
disso, Arquimedes mediante seu modo de atuação investigativa e de exposição textual com
8
respeito aos resultados matemáticos, incorpora o processo de interrogar a realidade pela
observação, experimentalmente. Nesse sentido, sua obra, seu texto é inovador e é uma fonte
rica para estudos. Em suma, ao observarmos o texto arquimedeano, temos oportunidade de
inferir e de explorar como o saber matemático é uma produção humana histórica, complexa e
sempre em desenvolvimento. Também constatamos que mediante a pesquisa comparativa
com textos matemáticos, estabelecemos modos de entender a constituição dos conteúdos.
Considerando, finalmente, que é de suma importância o conhecimento dos conteúdos quando
o ponto de interesse é o ensino-aprendizagem da matemática, chega-se, então, ao valor
pedagógico anunciado: o texto arquimedeano mostra que as questões de ordem
epistemológica, social e cultural se efetivam como elementos explicativos para o entendimento
dos processos de institucionalização dos conteúdos matemáticos, sejam eles acadêmicos ou
escolares, quando o registro textual, nossa base de dados, for problematizado, for inquirido
face às evidências que apresenta. No caso sob análise - duas demonstrações distintas, como
explicar esse fato?
Referências
BETTINELLI, B. Intuition et démonstration chez Archimède In: La
mathématique dans l’Histoire. Besançon: Ed. IREM, p. 181-196, 1989.
démonstration
CLAGETT, M. Archimedes in the Middle Ages. Wisconsin: University of Wisconsin Press,
1964. v. 1.
________. Archimedes. In__GILLISPIE, C. C. (Ed.). Dictionary of scientific biography. New
York: Scribner, 1956. p. 213-231. v. 1.
DIJKSTERHUIS, E. J. Archimedes. New Jersey: Princeton University Press, 1987.
HEATH, T. L. The works of Archimedes. New York: Dover, 1953.
______. The thirteen books of Euclid’s Elements. Nova York: Dover Publications, 1956.
______. A History of Greek Mathematics. New York: Dover Publications, 1981.
LELOUARD, M.; MIRA, C.; NICOLLE, J.M. Differentes formes de démonstrations dans les
mathématiques grecques In: La démonstration mathématique dans l’Histoire. Besançon:
Ed. IREM, p. 155-180, 1989.
MANSO ALMEIDA, R. C. Demonstrações em geometria plana em livros-texto no Brasil a
partir do século XIX. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2008.
Tese de Doutorado.
MUGLER, C. Archimède. Paris: Société d’Édition “Les belles letters”, 1971.
MURDOCH, J. E. The medieval language of proportions: Elements of the interaction with greek
foundations and the development of new mathematical techniques. In: CROMBIE, A.C. (Ed).
Scientific change. London: Heinemann, 1961. p. 237-271.
SCHUBRING, G. Análise histórica de livros de matemática: notas de aula. Campinas:
Editora Autores Associados, 2003.
9