Probabilidade e Estatística

.
Probabilidade
e Estatística
.
Sumário
Conjuntos
Interseção e União . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Categoria E e Ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
Fatorial
2
Permutação
2
Combinação
3
Probabilidade
4
Moda
5
Mediana
5
Range
6
Média Aritmética
6
Variância
7
Desvio Padrão
7
Binômio de Newton
8
Triângulo de Pascal
9
2
Probabilidade
e Estatística
.
Conjuntos
Categoria E e Ou
Problemas que envolvem conjuntos com
categorias distintas podem ser resol-
Interseção e União
vidos organizando as informações em
uma tabela
Questões que envolvem 2 conjuntos e
Exemplo
elementos pertencentes aos dois ou a
nenhum dos conjuntos podem ser resol-
Em uma sala de aula com 130
alunos, 90 são engenheiros
vidas pela fórmula:
eletricistas e os demais são
T otal = Grupo 1 + Grupo 2 + N enhum
−Ambos
Exemplo
Dentre os 150 estudantes em
uma escola de línguas, 80 estudam Alemão, 66 estudam
Inglês e 53 não estudam nem
engenheiros mecânicos. Se
50 dos alunos são mulheres,
e
1
dos engenheiros mecâni4
cos são mulheres, há quantos
alunos homens que são engenheiros eletricistas?
Solução:
Alemão nem Inglês. Quantos
alunos estudam tanto Alemão quanto Inglês?
Solução:
150 = 80 + 66 + 53 − AI
H.
M.
Total
E. Mec.
40 − 10
= 30
10
40
E. Elet.
x
90
Total
130 − 50
= 80
50
130
x = 80 − 30 = 50 alunos
AI = 49
1
.
Probabilidade
e Estatística
Fatorial
Definição Se n é um inteiro maior que
Exemplo
1 então n fatorial, ou n!, é o produto de
De quantas maneiras é possí-
todos os inteiros de 1 até n, ou seja:
vel organizar 6 livros em uma
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
n! = n × (n − 1)!
prateleira? Solução:
Multiplique o número de possibilidades para a primeira
posição pelo número de pos-
Por Definição
0! = 1! = 1
sibilidades restantes para a
segunda posição, e assim sucessivamente até que a 6 posições sejam preenchidas.
Exemplo
8!
Calcule
6! × 2!
Solução:
8 × 7 × 6!
6! × 2 × 1
Resposta: 28
Numericamente:
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6!
O número de maneiras de organizar um
grupo de elementos pertencentes a um
grupo maior pode ser encontrado pela
fórmula:
Permutação
Definição
Número de formas diferentes de arranjar elementos sequencialmente.
2
Pnk =
n!
(n − k)!
Onde n, é uma quantidade no grupo
maior e k é o numero de elementos a serem organizados.
Probabilidade
e Estatística
.
Combinação
Exemplo
Definição
Dos cinco nadadores de uma
É o numero de maneiras de organizar
competição, os que chegarem
um grupo de elementos a um grupo
em primeiro, segundo e ter-
maior, sendo que a ordem dos elemen-
ceiro lugares, receberão, res-
tos não é importante.
pectivamente, medalhas de
Cnk =
ouro,prata e bronze.
De quantas formas diferentes
os nadadores podem ocupar
os 3 lugares do pódio? Solu-
n!
k!(n − k!)
onde n, é uma quantidade no grupo
maior e k é o numero de elementos a serem organizados.
ção:
Qualquer um dos 5 pode ga-
Exemplo
nhar a medalha de ouro, assim como qualquer um dos
4 restantes pode ganhar a
prata, restando aos 3 últimos
a disputa pela medalha de
bronze.
De quantas maneiras diferentes é possível escolher 3 jogadores para entrar em campo
dentre um grupo de 8 jogadores que estão na reserva?
Solução:
5!
5!
= ! = 60
P35 =
(5 − 3)!
2
8!
3!(8 − 3!)
3
C8 = 56 maneiras
C83 =
3
.
Probabilidade
e Estatística
Probabilidade
dade de que ambos ocorram é a probabilidade de A ocorrer multiplicado pela
Definição Supondo um processo alea-
probabilidade de B ocorrer.
tório, existem possíveis eventos que po-
A probabilidade condicional, que consi-
dem ocorrer. Quando todos os eventos
dera a probabilidade e B ocorrer dada a
são igualmente possíveis, a probabili-
ocorrência de A, é diferente da probabi-
dade é a chance de um evento desejado
lidade de B ocorrer.
ocorrer dentre os demais eventos possí- A probabilidade de 3 eventos, A, B e C
ocorrerem, é a probabilidade de A ocor-
veis. Ou seja,
P robabilidade =
Eventos desejados
Eventos possíveis
Muitas questões envolvendo probabili-
rer multiplicado pela probabilidade condicional de B, dado a ocorrência de A,
dade consideram a ocorrência de múlti-
multiplicado pela probabilidade condi-
plos eventos. Considerando a ocorrên-
cional de C ocorrer dado que A e B te-
cia de dois eventos A e B, a probabili-
nham ocorrido.
Exemplo
Dois estudantes são escolhidos aleatoriamente para responder uma pergunta. Se na sala de aula há 5 meninas e 5 meninos qual a probabilidade de
ambos estudantes serem meninas?
Solução:
A probabilidade do primeiro estudante escolhido ser uma menina é de
1
.
2
4
5
=
10
Probabilidade
e Estatística
.
Para a escolha do segundo estudante, dado que uma menina já foi selecionada, o espaço amostral foi reduzido para 4 meninas e 5 meninos.Portanto,
4
a probabilidade de o segundo ser uma menina é de .
9
1 4 2
Assim, a probabilidade de ambos serem meninas é × = .
2 9 9
Moda
menor para o maior valor, e a mediana
será o termo intermediário. Se houver
Definição
Em um levantamento estatístico, a
moda é o valor que aparece com maior
um numero par de elementos, a mediana será a media dos dois elementos intermediários.
frequência em um espaço amostral.
Por exemplo, a moda do conjunto
{1,2,2,3,5,4,3,2} é 2.Uma série ou conjunto pode ser Bimodal, Polimodal ou
Amodal.
Mediana
Em estatística ou teoria da probabilidade, a mediana é o valor intermediário
Exemplo
Qual a mediana do conjunto
de observações {1,9,8,5,4}
Solução:
Ordena-se os elementos do
menos para o maior:
{1, 4, 5, 8, 9}
que divide o espaço amostral na mesma
quantidade de elementos maiores e me-
A mediana é o terceiro ele-
nores que a mediana. Para encontra-la
mento, que é igual a 5.
é necessário organizar os elementos do
5
.
Probabilidade
e Estatística
Exemplo
Qual a mediana do conjunto de observações {1,3,9,8,6,2,4,7} Solução:
Ordena-se os elementos do menos para o maior:
{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
A mediana é a media dos dois elementos centrais:
4+6
= 5
2
Range
Exemplo
Definição
É a diferença entre o maior termo e o
menor termo de um conjunto numérico.
A média aritmética de 6 números positivos é 5. Se a média do menor e maior valor é
Média Aritmética
7 qual a média dos outros 4
números?
Definição
Solução:
Dado um conjunto de n valores numéri-
x1 + x2 + . . . x6 = 5 × 6 = 30
cos {x1 , x2 , . . . , xn }, sua média aritmé-
Se x1 é o menor valor, e x6 o
tica é:
maior valor,
x1 + x6 = 7 × 2 = 14
x̄ =
6
x1 + x2 + . . . + xn
n
Assim
x2 + x3 + x4 + x5
x¯4 =
4
30 − 14
=4
=
4
Probabilidade
e Estatística
.
Variância
Exemplo
Definição
A variância é usada para medir quão dis-
Quais são o desvio padrão e a
tante os números, ou elementos do es-
variância do conjunto de ob-
paço amostral, estão uns dos outros. Ou
servações{1,9,8,5,4}? Solu-
seja, é a quantidade de variação dos ele-
ção:
mentos do conjunto.
Média:
2
V AR = Σ =
n
∑
(xa − x̄)2
a=1
x̄ =
n
1+9+8+5+4
= 5, 4
5
Variância:
Desvio Padrão
Σ2 =
(1 − 5, 4)2 + (9 − 5, 4)2
5
(8 − 5, 4)2 + (5 − 5, 4)2
5
(4 − 5, 4)2
+
5
19, 36 + 12, 96 + 6, 76
Σ2 =
5
0, 16 + 1, 96
+
= 8, 24
5
+
Definição
O desvio padrão é a medida de quão distante os elementos do espaço amostral
estão de sua média. De forma análoga,
o desvio padrão é o quanto os números
desviam da média, e é a raiz quadrada da
variância.
v
u n
u∑ (xa − x̄)2
Σ=t
n
a=1
Desvio Padrão:
Σ=
√
√
Σ2 = 8, 24 = 2, 87
7
.
Probabilidade
e Estatística
Binômio de Newton
( )
n n−k k
+··· +
x y + · · · + nxy n−1 + y n
k
Descreve a expansão algébrica de potência de um polinômio de dois termos,
ou binômio. De acordo com o teorema, é
possível expandir uma potência (x + y)n
Onde
( )
n(n − 1) . . . (n − k + 1
n
=
k
1.2.3. . . . .k
em uma soma envolvendo termos na
forma axb y c , em que a e b são expoentes inteiros não negativos e b + c = n. O
coeficiente a de cada termo é um inteiro
positivo que depende de n e b.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
é chamado coeficiente binomial.
Em linhas gerais,
n ( )
∑
n n−k k
(x + y) =
x y
k
k=0
e
( )
n!
n
=
k!(n − k)!
k
n
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy² + y 3
(x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy² − y 3
E assim, o Teorema do Binômio de Newton é escrito:
com k e n inteiros, e k ≤ n.
Observe que o coeficiente binomial é,
em análise combinatória, o número de
combinações de n elementos agrupados
n(n
−
1)
(x + y)n = xn + nxn−1 y +
xn−2 y 2 k a k.
2
8
Probabilidade
e Estatística
.
Exemplo
Use o binômio de Newton para expandir (2x − y)4
Solução:
( )
( )
( )
4
4
4
4−0
0
4−1
1
(2x − y) =
(2x) (−y) +
(2x) (−y) +
(2x)4−2 (−y)2
0 ( )
1 ( )
2
4
4
+
(2x)4−3 (−y)3 +
(2x)4−4 (−y)4
3
4
( )
( )
( )
4
4
4
4!
4!
4!
=
=
=
=1
=4
=6
0!(4 − 0)!
1!(4 − 1)!
2!(4 − 2)!
0
1
2
( )
( )
4
4
4!
4!
=4
=
=1
=
3!(4
−
3)!
4!(4
− 4)!
4
3
Assim,
(2x − y)4 = 16x4 − 32x3 y + 24x2 y 2 − 8xy 3 + y 4
4
Triângulo de Pascal
É um triangulo numérico infinito forpelos coeficientes binomiais
(mado
)
n
k
.
k
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Observe que cada numero do triangulo
No triângulo de Pascal, n representa
de Pascal é a soma do número imediata-
a linha e k representa a coluna, como
mente acima dele com o número que an-
abaixo:
tecede o numero imediatamente acima.
9
.
Probabilidade
e Estatística
Soma de uma linha do triângulo de Pascal:
SLi = 2nLi
Como
SL1 = 20 = 1
SL8 = 27 = 128
SL2 = 21 = 2
SL9 = 28 = 256
Exemplo
Sabendo-se que a soma dos
coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é
(m)
!
igual a 256 calcule
2
Solução:
A soma dos coeficientes do
binômio é o mesmo que a
soma da linha correspondente à m no triangulo de
Pascal assim:
2m = 256 = 28
Portanto,
m
m = 8 e ! = 4.3.2.1 = 24
2
10
Probabilidade
e Estatística
.
Exemplo
PETROBRAS - 2012 - Engenheiro de Equipamentos - Mecânica - 61
Um departamento de uma empresa tem dois caminhões à sua disposição
para o transporte de equipamentos. A probabilidade de o caminhão 1 estar disponível quando necessário é de 0,84, e a do caminhão 2 é de 0,92.
A probabilidade de os caminhões 1 e 2 estarem disponíveis para uma determinada solicitação é de
(A) 0,36
(B) 0,77
(C) 0,85
(D) 1,4
(E) 1,7
Solução:
A probabilidade dos dois eventos ocorrem simultaneamente é dado pela multiplicação das probabilidades dos eventos ocorrerem individualmente, ou
seja, a probabilidade dos caminhões 1 e 2 estarem disponíveis a determinada solicitação é igual a:
0, 84 × 0, 92 = 0, 77
11
.
Probabilidade
e Estatística
Resposta: B
Exemplo
PETROBRAS - 2012 - Engenheiro de Equipamentos - Mecânica - 60
Um engenheiro mecânico oferece determinado equipamento desenvolvido
por ele para duas empresas, que estipulam um prazo de uma semana para
um decisão.
A probabilidade de o engenheiro receber um oferta da empresa 1 é de 0,5,
e da empresa 2 é de 0,7, e de ambas as empresas é de 0,4.
A probabilidade de que o engenheiro consiga oferta de pelo menos uma empresa é de
(A) 0,3.
(B) 0,5.
(C) 0,8.
(D) 1,4.
(E) 1,6.
Solução:
A probabilidade de que o engenheiro receba a oferta de pelo menos uma das
empresas é dada pela união dos dois eventos.
12
Probabilidade
e Estatística
.
Assim tem-se a seguinte equação:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Dados que os valores de P (A), P (B) e P (A ∩ B) foram fornecidos com
sendo, respectivamente, 0,5, 0,7 e 0,4, logo P (A ∪ B) será
P (A ∪ B) = 0, 8
Resposta: C
Exemplo
PETROBRAS - Engenheiro de Equipamento Júnior - Eletrônica - 70
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Selecionada três bolas dessa
urna, de forma aleatória e sem reposição, qual a probabilidade de que pelo
menos uma bola de número primo seja selecionada?
2
5
5
(B)
6
7
(C)
8
(A)
13
.
Probabilidade
e Estatística
11
12
8
(E)
125
(D)
Solução:
Dado que 1 a 10 os números primos são 2, 3, 5 e 7, assim de modo a seguir
um raciocínio probabilístico sabe-se que a probabilidade de pelo menos um
número primo sair é a probabilidade conjugada de que não saia nenhum número primo, assim tem-se que:
P (nenhum número primo) =
6 54
1
=
10 9 8
6
∴
1
5
P (pelo menos um número primo) = 1−P (nenhum número primo) = 1− =
6
6
Resposta: B
Exemplo
PETROBRAS - 2012 - Engenheiro de Petróleo - 55
Uma matriz de permutação de n elementos é uma matriz quadrada, na qual,
em cada fila (linha ou coluna), figura exatamente um vez o número 1 e todos os demais elementos da fila são nulos.
14
Probabilidade
e Estatística
.

0
 1

A matriz P = 
 0
0
tos, pois o produto:
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0



 é uma matriz de permutação de 4 elemen

[
]
a b c d


×

0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0

 [
]

= b d a c

As possíveis matrizes de permutação de 4 elementos são em números de
(A) 4
(B) 12
(C) 16
(D) 24
(E) 32
Solução:
Como não podem haver '1's na mesma linha ou coluna, faz-se a seguinte probabilidade:
• Na primeira linha, o 1 pode estar em qualquer coluna;
• Na segunda linha, o 1 pode estar em qualquer coluna, exceto na coluna do 1 da primeira linha;
15
.
Probabilidade
e Estatística
• Na terceira linha, o 1 pode estar em qualquer coluna, exceto na coluna
do 1 das duas linhas anteriores;
• Na quarta linha, o 1 pode estar apenas na coluna que restou.
Assim, como a probabilidade total (PT) é a multiplicação das possibilidades
para cada linha, então:
P T = 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24
Resposta: D
Caiu no concurso!
Petrobras - 2008 - Eng. E. Jr. - Elétrica -36
Um equipamento contém itens fabricados por três fornecedores: A, B e C.
Cada fornecedor produz, respectivamente, 50%, 40% e 10% do total do número de componentes dessa máquina. O controle de qualidade indicou que
a quantidade de produtos defeituosos de cada um desse fornecedores é 1%,
5% e 15%, respectivamente.
Se um item da máquina escolhido ao acaso é inspecionado e verifica-se que
está defeituoso, a probabilidade de ter sido prozido pelo fornecedor A é de:
16
Probabilidade
e Estatística
.
(A) 50%.
(B) 37,5%.
(C) 12,5%.
(D) 10%.
(E) 0,05%.
Resposta: C
O enunciado a seguir refere-se às próximas duas questões.
Um candidato fará uma prova com 5 questões de múltipla escolha. Cada questão
possui 4 alternativas, sendo apenas uma destas a correta. O candidato marcará
apenas uma alternativa em cada questão e não deixará questão em branco. A figura ilustra duas maneiras diferentes de o candidato preencher cartões-resposta
dessa prova.
17
.
Probabilidade
e Estatística
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2008 - Eng. E. Jr - Elétrica - 12
Quantos são os cartões-resposta distintos que apresentam exatamente 3
respostas certas?
(A) 9
(B) 19
(C) 36
(D) 64
(E) 90
Resposta: E
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2008 - Eng. E. Jr - Elétrica - 13
Se o candidato decidir assinalar as alternativas dessa prova de forma totalmente aleatória qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 4 questões?
18
(A)
15
1024
(B)
3
1024
Probabilidade
e Estatística
.
(C)
3
512
(D)
3
256
(E)
1
256
Resposta: A
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2011 - Eng. E. Jr. - Elétrica - 70
Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira situação , ao obter duas
caras consecutivas, gnha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é?
(A)
7
16
(B)
31
64
(C)
1
2
(D)
1
32
19
.
Probabilidade
e Estatística
(E)
1
64
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2011 - Eng. E. Jr. - Elétrica
O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em 3 grupos de quatro pessoas cada um.
Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão colocados em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita é:
(A) 930
(B) 3720
(C) 4200
(D) 8640
(E) 12661
Resposta: C
20
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
Uma firma exploradora de petróleo acha que 95% dos poços que perfura não
acusam depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, a probabilidade de
obter resultado positivo em pelo menos um deles é, aproximadamente, de:
(A) 96, 1%
(B) 73, 5%
(C) 30, 0%
(D) 26, 5%
(E) 3, 9%
Resposta: D
Caiu no concurso!
Em um concurso público serão chamados para contratação imediata 20%
dos candidatos com as maiores notas. As notas obtidas seguem uma distribuição normal com média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o
candidato seja chamado para contratação imediata é, aproximadamente:
(A) 7,0
21
.
Probabilidade
e Estatística
(B) 7,5
(C) 8,0
(D) 8,5
(E) 9,0
Resposta: C
Caiu no concurso!
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações de três empresas dos setores de petróleo e química. Os dados referem-se às últimas 80
semanas.
Medidas estatísticas
Rentabilidade média semanal
Desvio padrão
Rentabilidade mínima
Rentabilidade máxima
Empresas
A
B
C
(%)
(%)
(%)
0, 5
0, 6
0, 4
3, 5
3, 9
2, 8
−7, 6 −9, 2 −5, 2
11, 9 10, 3
8, 2
Considere as afirmações derivadas das estatísticas acima.
I - O coeficiente de variação das ações da empresa A é o mesmo que o
das ações da empresa B.
II - A rentabilidade média das ações da empresa B é maior do que das demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.
22
Probabilidade
e Estatística
.
III - A rentabilidade média das ações das empresa C é menor do que das
demais e apresenta menor dispersão relativa, ou seja, menor risco.
Estão corretas as afirmações
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resposta: B
Caiu no concurso!
Um dado comum e honesto será lançado 3 vezes seguidas Qual a probabilidade de que, nos 3 lançamentos, o número 6 seja obtido exatamente 2 vezes
1
3
1
(B)
12
5
(C)
72
1
(D)
36
(A)
23
.
Probabilidade
e Estatística
(E)
5
216
Resposta: C
Caiu no concurso!
Uma urna contém 5 bolas numeradas como demonstrado na figura acima.
Duas bolas serão retiradas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. Qual
a probabilidade de que se obtenha um número para em pelo menos uma das
duas retiradas.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
7
10
16
25
2
5
3
10
1
10
Resposta: A
24
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
Em uma amostra aleatória de 5 pessoas, a probabilidade de que, pelo menos, duas façam aniversário no mesmo mês situa-se em qual dos intervalos
indicados a seguir?
(A) [0, 20)%
(B) [20, 40)%
(C) [40, 60)%
(D) [60, 80)%
(E) [80, 100)%
Resposta: D
25
.
Probabilidade
e Estatística
Caiu no concurso!
Na curva de distribuição de permeabilidade da rocha de um reservatório,
mostrada na figura, os atributos X, Y e Z, respectivamente, são:
(A) mediana, média e moda.
(B) mediana, moda e média.
(C) moda, média e mediana.
(D) moda, média e mediana.
(E) média, mediana e moda.
Resposta: C
26
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
Suponha os pesos dos pacotes de arroz normalmente distribuídos com média 1 kg e desvio padrão 20 g. Escolhendo um pacote ao acaso qual é a probabilidade de ele pesar mais de 1030 g?
(A) 13, 4%
(B) 11, 6%
(C) 10, 0%
(D) 8, 4%
(E) 6, 7%
Resposta: E
Caiu no concurso!
A mediana da lista de valores (1; 3; 1; 7; 4; 2) é igual a:
(A) 4
(B) 3,5
(C) 3
(D) 2,5
(E) 2
27
.
Probabilidade
e Estatística
Resposta: D
Caiu no concurso!
Ao fiscalizar amostras de combustível, encontraram-se os seguintes resultados numa análise completa de amostras: 25% da amostra foi classificada
como excelente (E), 50% como boa (B) e o restante como insatisfatória (I).
A empresa responsável pelo teste gostaria de poupar custos, substituindo
a análise completa de mercado por uma análise simplificada. Neste caso, a
empresa gostaria de conhecer qual a probabilidade de que uma amostra aprovada na análise simplificada fosse considerada insatisfatória, caso fizesse
a análise completa de mercado. Assim, antes de fazer a análise completa,
as amostras foram classificada de acordo com a análise simplificada, recebendo os conceitos aprovada (A) ou reprovada (R).
Posteriormente, realizou-se a análise completa, obtendo-se ao final da mesma
as seguintes probabilidades condicionais:
P (A|E) = 0, 80
P (A|B) = 0, 50
P (A|I) = 0, 20
Qual a probabilidade de que uma amostra seja classificada como insatisfatória na análise completa, dado que foi aprovada na análise simplificada P (I|A)?
28
Probabilidade
e Estatística
.
(A) 0,05
(B) 0,10
(C) 0,15
(D) 0,20
(E) 0,25
Resposta: B
Caiu no concurso!
Estudando o número de infrações cometidas por postos de gasolina em determinada cidade, numa amostra de 100 postos foram encontradas as seguintes quantidades de infrações:
Infrações Frequência
0
50
1
30
2
10
3
10
Quais são, respectivamente, a média, a mediana, a moda e a variância desta
amostra?
(A) 0,7; 1; 0; 0,04.
(B) 0,7; 1; 1; 0,04.
(C) 0,8; 0,5; 0; 0,06.
(D) 0,8; 1; 0; 0,06.
29
.
Probabilidade
e Estatística
(E) 0,8; 1; 1; 0,06.
Resposta: C
Caiu no concurso!
A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é o valor médio:
(A) da soma dos desvios de X e Y em relação ao valor absoluto de suas médias.
(B) da soma dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.
(C) do produto dos desvios de X e Y em relação ao quadrado de suas médias.
(D) do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.
(E) do quadrado do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias.
Resposta: D
30
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
Lança-se uma moeda não tendenciosa até a obtenção da segunda cara. Qual
é a probabilidade de a moeda ser lançada 5 vezes?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
Resposta: C
Caiu no concurso!
Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos:
A-sair duas ou três caras
B- os dois primeiros resultados são iguais
Nessas condições, tem-se que:
(A) P(A)=0,25; P(B)=0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos
31
.
Probabilidade
e Estatística
(B) P(A)=0,25; P(B)=0,25; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos
(C) P(A)=0,5; P(B)=0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos
(D) P(A)=0,5; P(B)=0,5; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos
(E) P(A)=0,5; P(B)=0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente
exclusivos
Resposta: D
Caiu no concurso!
Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função de densidade conjunta:
f (x, y) = e−y , 0 ≤ x ≤ y
A função de densidade condicional f (x|Y = y) é:
1
, 0≤x≤y
y
e−x
(B)
, 0≤x≤y
1 − e−y
e−y
(C)
, 0≤x≤y
1 − e−y
(D) xe−y , 0 ≤ x ≤ y
(A)
(E) e−x , 0 ≤ x ≤ y
32
Probabilidade
e Estatística
.
Resposta: E
Caiu no concurso!
Um comitê é formado por três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de não haver nenhum estatístico é de:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
35
4
35
1
9
64
243
3
7
Resposta: A
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 19
Um candidato realiza um concurso cuja prova de conhecimentos específicos é composta de 20 questões de múltipla escolha. Cada uma das questões
apresenta cinco alternativas e somente uma está correta. A probabilidade
33
.
Probabilidade
e Estatística
de o candidato marcar ao acaso as vinte questões e acertar todas vale aproximadamente
(A) 10−2
(B) 10−5
(C) 10−10
(D) 10−14
(E) 10−20
Resposta: D
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 20
Qual dos tipos de distribuição a seguir corresponde a uma distribuição de
variáveis aleatória contínua, aplicada frequentemente em situações em que
valores extremos são menos prováveis do que valores moderados?
(A) Binomial.
(B) Normal.
(C) de Poisson.
(D) Geométrica.
34
Probabilidade
e Estatística
.
(E) Hipergeométrica.
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 21
Seis válvulas são escolhidas, aleatoriamente, da produção de um fabricante
que apresenta 10% de peça defeituosas. Qual a probabilidade de duas dessas válvulas apresentarem defeitos?
n!
.
Considere Cnk =
k!(n − k)!
(A) C62 × 2 × 0, 96 .
(B) C62 × 0, 1 × 0, 54 .
(C) C62 × 0, 12 × 0, 94 .
(D) C62 × 0, 12 × 0, 96 .
(E) C62 × 0, 12 × 0, 96 .
Resposta: C
35
.
Probabilidade
e Estatística
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 21
Uma grande empresa compra compressores de três fábricas. Uma delas está
situada no Rio de Janeiro, a segunda, em São Paulo e a terceira, no Espírito
Santo.
A fábrica do Rio de Janeiro produz duas vezes mais compressores do que
as outras duas, que produzem a mesma quantidade no período de um ano.
Sabe-se que, em geral, compressores comprados nessas fábricas apresentam defeitos, numa proporção de 2% para os fabricados no Rio, 4% para os
de São Paulo e 5%, no Espírito Santo.
Todos os compressores são colocados em um mesmo depósito, e um deles
é pego ao acaso. A probabilidade de esse equipamento ser da fábrica localizada no Rio de Janeiro, considerando que é defeituoso, em % é de aproximadamente,
(A) 02,0
(B) 17,0
(C) 25,0
(D) 31,0
(E) 47,0
Resposta: D
36
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2008 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 35
Analise o gráfico a seguir, que compara o crescimento da produção de quatro produtos do petróleo em barris de óleo equivalente por dia (boeb).
A partir das informações do gráfico, conclui-se que a média de produção de
Gás Natural Internacional no período total analisado é
(A) menor que a mediana, enquanto que observando-se apenas o período
de 2004 a 2006 do mesmo produto, a média é igual à mediana, o que
acontece também com o Gás Natural Brasil.
37
.
Probabilidade
e Estatística
(B) menor que a mediana, enquanto que, observando-se apenas o período
de 2004 a 2006 do mesmo produto, a média é maior que a mediana,
o que não acontece com o Gás Natural Brasil.
(C) igual à mediana, enquanto que, observando-se apenas o período de
2004 a 2006 do mesmo produto, a média é maior que a mediana, o que
acontece também com o Gás Natural Brasil.
(D) maior que a mediana, enquanto que, observando-se apenas o período
de 2004 a 2006 do mesmo produto, a média é menor que a mediana,
o que acontece também com o Gás Natural Brasil.
(E) maior que a mediana, enquanto que, observando-se apenas o período
de 2004 a 2006 do mesmo produto, a média é maior que a mediana,
o que não acontece com o Gás Natural Brasil.
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2008 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 36
Um equipamento contêm itens fabricados por três fornecedores: A, B e C.
Cada fornecedor produz, respectivamente, 50%, 40% e 10% do total do número de componentes dessa máquina.
O controle de qualidade indicou que a quantidade de produtos defeituosos
de cada um desses fornecedores é 1%, 5% e 15%, respectivamente. Se um
38
Probabilidade
e Estatística
.
item da máquina escolhida ao acaso é inspecionado e verifica-se que está
defeituoso, a probabilidade de ter sido produzido pelo fornecedor A é de:
(A) 50%
(B) 37,5%
(C) 12,5%
(D) 10%
(E) 0,05%
Resposta: C
Caiu no concurso!
Um número real X é escolhido aleatoriamente, de acordo com a função de
densidade de probabilidade dada por
{
x + 12 , se 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0,
para os demais valores de x
O valor esperado de X é
2
3
3
(B)
4
4
(C)
7
(A)
39
.
Probabilidade
e Estatística
5
9
7
(E)
12
(D)
Resposta: E
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Eng. E. Pleno - Eletricidade - 18
Uma urna contém 6 bolas idênticas, numeradas de 1 a 6. Duas bolas são retiradas simultaneamente da urna. A probabilidade de que o maior número
retirado seja 3 é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
4
1
5
1
6
2
15
3
20
Resposta: D
40
Probabilidade
e Estatística
.
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Eng. E. Pleno - Eletricidade - 21
Na experiência de lançamento de dois dados, a variável aleatória observada
é a soma dos resultados. Calculam-se as seguintes probabilidade:
• P1 é a probabilidade de a soma ser igual a 5;
• P2 é a probabilidade de a soma ser maior que 6;
• P3 é a probabilidade de a soma ser maior que 6, sabendo-se, a priori,
que um dos dados apresentou o valor 2.
com base nessas informações, considere as afirmativas abaixo
1
9
1
II O cálculo de P2 resultou em .
2
I O cálculo de P1 resultou em .
III P2 é maior do que P3
É (são) correta(s) a(s) afirmativa(s)
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
41
.
Probabilidade
e Estatística
(E) I, II e III.
Resposta: C
Caiu no concurso!
Petroquímica Suape - 2010 - Eng. E. Pleno - Eletricidade - 22
Uma Urna contém bolas de cores preta e branca. As bolas apresentam o mesmo
volume, mas foram fabricadas com dois tipos de materiais, ou seja, madeira
e vidro. Sabe-se que:
• 55% das bolas na urna são pretas
• 25% das bolas na urna são pretas e de madeira;
• 35% das bolas na urna são brancas e de vidro.
Se uma bola de madeira for retirada da urna, qual será a probabilidade de
ela ser branca?
1
3
3
(B)
5
2
(C)
7
5
(D)
7
(A)
42
Probabilidade
e Estatística
.
(E)
4
9
Resposta: C
Utilize as informações a seguir para responder às questões 06 e 07.
Considere a amostra de uma variável aleatória cujos valores estão todos expressos
em uma mesma unidade.
Amostra: 36 38 26 40 40 28 46 40 38 28
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Petróleo Jr. - 06
Sobre essa amostra, tem-se que
(A) a média é igual à mediana.
(B) a média é maior que a moda.
(C) se retirarmos um dos valores da amostra, a média, necessariamente
será alterada.
(D) a mediana é maior que a moda.
(E) a mediana é maior que a média.
Resposta: E
Caiu no concurso!
43
.
Probabilidade
e Estatística
PETROBRAS - 2010 - Eng. Petróleo Jr. - 07
Dada a amostra, tem-se que
(A) o desvio padrão é menor que 6.
(B) o desvio padrão é igual a 6.
(C) a variância não será alterada, se retirarmos o valor igual a 36 da amostra.
(D) a variância aumentará, se retirarmos o valor igual a 36 da amostra.
(E) apenas dois valores da amostra estão afastados da média mais do um
desvio padrão.
Resposta: D
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Petróleo Jr. - 12
Há cinco poços de petróleo a serme perfurados (P1,P2,P3,P4,P5) e apenas
três sondas disponíveis para perfuração (S1,S2,S3). A sonda S1 só pode ser
utilizada para a perfuração dos poços P4 e P5. As sondas S2 e S3 podem ser
utilizadas para a perfuraão de qualquer dos cinco poços. Serão perfurados,
inicialmente, apenas três dos cinco poços e, para isso, cada sonda será alocada a um único poço.
Quantas maneiras distintas há para se alocarem as três sondas?
44
Probabilidade
e Estatística
.
(A) 8
(B) 10
(C) 15
(D) 24
(E) 40
Resposta: D
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2010 - Eng. Petróleo Jr. - 34
Uma prova consta de 35 questões do tipo múltipla escolha, com 5 opções
cada uma onde apenas uma opção é verdadeira. Um candidato que não sabe
resolver nenhuma das questões vai respondê-las aleatoriamente. Ele sabe
que as respostas certas das 35 questões estão distribuídas igualmente entre as opções A, B, C, D e E, e resolve marcar suas respostas seguindo esse
critério: escolherá aleatoriamente 7 questões para marcar a opção A, outras 7 para a B, e assim sucessivamente.
A probabilidade de ele acertar todas as questões é
1
35!
7 × 5!
(B)
35!
5 × 7!
(C)
35!
(A)
45
.
Probabilidade
e Estatística
(7!)5
(D)
35!
(5!)7
(E)
35!
Resposta: D
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2011 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 68
A taxa de retorno mensal de certo investimento pode ser modelada por uma
variável aleatória discreta W, com função de distribuição acumulada descrita a seguir


0
, sew < −5%






0, 40 , se − 5% ≤ w < 0%



0, 55 , se0% ≤ w < 5%
FW (w) = P (W ≤ w) =

0, 80 , se5% ≤ w < 10%





0, 95 , se10% ≤ w < 15%



1
, se − 5% ≤ w > 15%
A probabilidade de esse investimento produzir taxa de retorno positiva em
um determinado mês é
(A) 0,40
(B) 0,45
(C) 0,50
(D) 0,55
46
Probabilidade
e Estatística
.
(E) 0,60
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2011 - Eng. Eletr. Jr. - T. e D. - 70
Considere as seguintes distribuições:
47
.
Probabilidade
e Estatística
Sabe-se que 1% dos municípios com mais de 100.000 habitantes não possui unidades de ensino superior, estádios ou ginásios poliesportivos, nem
cinemas. Nessa faixa de população, o número de municípios que possuem
as três características é aproximadamente,
(A) 94
(B) 170
(C) 210
(D) 226
(E) 255
Resposta: B
Caiu no concurso!
PETROBRAS - 2009 - Eng. Petróleo Jr. - Eletrônica - 56
Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos
salários e, posteriormente, ganharam um abono de 100 reais. Sobre a nova
média e a nova variância de salários, em relação à média e variância iniciais, isto é, antes dos aumentos, tem-se que a
(A) média e a variância não se alteraram.
(B) média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%.
(C) média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais.
48
Probabilidade
e Estatística
.
(D) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%.
(E) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 21%.
Resposta: E
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Se var(X) = 3, var(Y ) = 2 e cov(X, Y ) = 1, então var(2X-Y) é igual a :
(A) 2
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 12
Resposta: D
49
.
Probabilidade
e Estatística
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Sejam X1 , X2 e X3 variáveis aleatórias independentes, todas com média 100
e variância 100. O valor esperado e a variância de
Z=
X1 − 2X2 + X3
4
são respectivamente:
(A) 100 e 100
(B) 100 e 37,5
(C) 100 e 12,5
(D) 0 e 37,5
(E) 0 e 12,5
Resposta: D
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos:
A = sair duas caras ou três caras e B = os dois primeiros resultados são iguais
Nessas condições, tem-se que:
50
Probabilidade
e Estatística
.
(A) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos
(B) P(A) = 0,25; P(B) = 0,25; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos
(C) P(A) = 0,5; P(B) = 0,25; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos
(D) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B são independentes e não são mutuamente
exclusivos
(E) P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos
Resposta: D
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Lança-se uma moeda não tendenciosa até a obtenção da segunda "cara". Qual
é a probabilidade de a moeda ser lançada quatro vezes?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
16
1
8
3
16
1
4
5
16
51
.
Probabilidade
e Estatística
Resposta: C
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de densidade conjunta
f (x, y) = 0, 4(2x + 3y), 0 < y < 1
Qual o valor esperado condicional E(X|Y = y)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2
+ 3y
3
4
+ 3y5
15
1
y+
2
4 + 9y
6(1 + 3y)
2 + 3y
1 + 3y
Resposta: A
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função de densidade conjunta
f (x, y) = e−y , 0 ≥ x ≥ y
52
Probabilidade
e Estatística
.
A função de densidade condicional f (x|Y = y) é:
1
,0 ≥ x ≥ y
y
e−x
(B)
,0 ≥ x ≥ y
1 − e−y
e−y
(C)
,0 ≥ x ≥ y
1 − e−y
(A)
(D) xe−y , 0 ≥ x ≥ y
(E) e−x , 0 ≥ x ≥ y
Resposta: E
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Um comitê é formada por três pesquisadores escolhidos dentre quatro estatísticos e três economistas. A probabilidade de não haver nenhum estatístico é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
35
4
35
1
9
64
243
3
7
Resposta: A
53
.
Probabilidade
e Estatística
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Uma empresa de exportação possui, em estoque, diversos automóveis de
6 marcas diferentes. O número de formas de exportar 8 automóveis é:
(A) 28
(B) 48
(C) 1287
(D) 5760
(E) 1679616
Resposta: C
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Quantos são os subconjuntos de 1,2,3,4,5,6,7,8 com 4 elementos, dos quais
pelo menos dois são ímpares?
(A) 36
(B) 48
(C) 53
(D) 60
54
Probabilidade
e Estatística
.
(E) 90
Resposta: C
Caiu no concurso!
Cesgranrio
De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exatamente 3
elementos, do conjunto 1,2,3,4,5,6 no qual NÂO haja elementos consecutivos?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 18
(E) 20
Resposta: A
Caiu no concurso!
Um grupo de pessoas é formado por uma mulher solteira, n homens casadosm todos monogâmicos, e suas respectivas esposas. Dequantas manei-
55
.
Probabilidade
e Estatística
ras diferentes é possível escolher duas dessas pessoas de tal forma que a
dupla NÃO seja formada por marido e mulher?
(A) 2n2
(B) 2n2 + n
(C) 3n2 + n
(D) n3
(E) n3 − n2
Resposta: A
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Cinco pessoas estão acomodadas em três quartos diferentes. Os quartos
1 e 2 acomodam no máximo duas pessoas; o quarto 3 só pode receber uma
pessoa.
O número de maneiras distintas de acomodarmos as cinco pessoas é igual
a:
(A) 6
(B) 20
(C) 30
(D) 45
56
Probabilidade
e Estatística
.
(E) 60
Resposta: C
Caiu no concurso!
Cesgranrio
Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Uma
pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada marca, pode escolhê-las de N formas. O valor de
Né
(A) 3
(B) 10
(C) 15
(D) 35
(E) 125
Resposta: D
57