A Linguagem da Lógica de Predicados

A Linguagem da Lógica de Predicados
Definição 1. O alfabeto da Lógica de Predicados é constituído por:
• Símbolos de pontuação: (, ), ,.
Introdução
• Símbolo de verdade: ■, □
Nesta segunda unidade considera-se o estudo da Lógica de Predicados. Os
passos a serem seguidos são análogos àqueles considerados na primeira
unidade.
• Um conjunto enumerável de símbolos para constantes: a, b, c,...
Inicialmente, é definida a linguagem da Lógica de Predicados analisando-a
do ponto de vista sintático e semântico. Também são considerados os
mecanismos que verificam fórmulas válidas.
• Um conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, p1,...
Em seguida são considerados os sistemas de dedução da Lógica de
Predicados, que são extensões dos sistemas da Lógica Proposicional.
O alfabeto da linguagem da Lógica de Predicados é uma extensão do
alfabeto da Lógica Proposicional.
A linguagem da Lógica de Predicados é mais rica que a da Lógica
Proposicional, pois além de conter os objetos desta, a linguagem da Lógica
de Predicados contém quantificadores, símbolos funcionais e de
predicados.
As variáveis. Os símbolos para variáveis formam um novo conjunto que
não ocorre na Lógica Proposicional. Têm um papel importante na Lógica
de Predicados.
• Um conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z, x1, y1,...
• Um conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h, f1, g1,...
• Conectivos: ∼, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃.
Neste sentido, a Lógica de Predicados é uma extensão da Lógica
Proposicional, o que lhe confere um maior poder de representação.
As funções e os predicados. Os símbolos para funções e para predicados
não ocorrem na Lógica Proposicional. Possibilita um maior poder de
representação em relação à Lógica Proposicional.
Existem vários tipos de inferências, que não possuem representações
adequadas na Lógica Proposicional, mas podem ser representadas na
Lógica de Predicados. Exemplo:
As constantes e símbolos proposicionais. Funções com aridade nula
representam constantes. Predicados com aridade zero representam
símbolos proposicionais.
• Todo homem é mortal. Uma vez que Confúcio é um homem, ele é
mortal.
Os conectivos. São usados os mesmo conectivos da Lógica Proposicional
(∼, ∧, ∨, →, ↔). Há também ∀ e ∃, que representam os quantificadores
universal e existencial, respectivamente. Tais quantificadores ampliam o
poder de representação da Lógica de Predicados, como também a
complexidade das demonstrações.
O raciocínio acima é intuitivamente correto. Porém, a dificuldade em
representar tais inferências na Lógica Proposicional se deve à
quantificação indicada pela palavra “todo”.
Sintaxe da Lógica de Predicados
Alfabeto
O alfabeto Σ da linguagem da Lógica de Predicados é definido pelo
conjunto de símbolos descritos a seguir.
Elementos Básicos da Linguagem
Na língua portuguesa há sentenças cuja interpretação é um valor de
verdade e outras um objeto. A sentença
A capital de Minas Gerais é Belo Horizonte?
é uma questão cujo resultado da interpretação é um valor de verdade. Por
outro lado, o resultado da interpretação da sentença
Qual a capital do Brasil?
não é um valor de verdade.
Definição 2. Termos são expressões (palavras, cadeias) sobre Σ usadas
para denotar (representar) elementos do domínio e são definidos da
seguinte forma:
• se a ∈ CΣ então a é um termo.
• se x ∈ VΣ então x é um termo.
• se f ∈ FΣ e tem aridade n, e t1, ..., tn são termos, então f(t1, ... ,tn)
também é um termo.
Exemplos:
a) x, 9, y, 10 são termos.
b) +(5, 8) é um termo.
c) +(−(8, 7), 3) também é um termo.
Definição 3. Os átomos da linguagem da Lógica de Predicados são
construídos segundo as regras:
• o símbolo de verdade □ é um átomo.
• se t1, t2, ..., tn são termos e p é um símbolo para predicado n-ário,
então, p(t1, t2, ..., tn) é um átomo.
Fórmulas
A construção das fórmulas é feita a partir da concatenação de átomos e
conectivos. Entretanto, como ocorre na Lógica Proposicional, não é
qualquer concatenação de símbolos que é uma fórmula.
Definição 4. As fórmulas da Lógica de Predicados são expressões sobre Σ
usadas para se estabelecer propriedades ou relacionamentos entre
elementos do domínio e são definidas da seguinte forma:
• todo átomo é uma fórmula.
• se t1, ..., tn são termos sobre Σ e p é um símbolo predicativo n-ário de
Σ, então p(t1, ..., tn) é uma fórmula sobre Σ (chamada fórmula
atômica).
• se α e β são fórmulas sobre Σ, então (∼α), (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β) e
(α ↔ β) também são fórmulas sobre Σ.
• se α é uma fórmula sobre Σ e x ∈ VΣ, então ∀x(α) e ∃x(α) também
são fórmulas sobre Σ.
Exemplos:
a) os átomos p(x), R e □ são fórmulas.
b) Como R e p(x) são fórmulas, ((∼p(x)
como (p(x) → R).
∨
R) é uma fórmula, assim
c) Como (p(x) → R) é uma fórmula, então (∀x(p(x) → R)) também é
uma fórmula.
a) a expressão aritmética >(+(5, 8), 3) representa um átomo.
Definição 5. Um literal na Lógica de Predicados é um átomo ou a negação
de um átomo. Um átomo é um literal positivo. A negação de um átomo é
um literal negativo.
b) a expressão aritmética ≠(−(8, 7), 3) é um átomo.
Definição 6. seja α uma fórmula da Lógica de Predicados.
Exemplos:
Observe que nestes exemplos os resultados das interpretações dos átomos
são valores de verdade. Já os resultados das interpretações dos termos são
objetos.
• α está na forma normal conjuntiva, FNC, se é uma conjunção de
disjunções de literais.
• α está na forma normal disjuntiva, FND, se é uma disjunção de
conjunções de literais.
Notação. No que se segue, analogamente à Lógica Proposicional, os
parênteses das fórmulas são omitidos quando não há problemas sobre suas
interpretações.
Os quantificadores existencial ∃ e universal ∀ se relacionam pelas
correspondências
∼∀x(α) ⇔ ∃x(∼α)
Na Lógica de Predicados, há uma ordem de precedência entre os
conectivos que também possibilita a simplificação das fórmulas. A ordem
de precedência dos conectivos
∼, ∨, ∧, →, ↔
e
∼∃x(α) ⇔ ∀x(∼α)
é a mesma considerada na Lógica Proposicional e os conectivos ∀ e ∃
possuem precedências equivalentes.
Exemplo: Considere p(x) representando “x é bonita”. Além disso, suponha
que o domínio das pessoas consideradas seja o conjunto dos alunos da
turma. Então a afirmação
Definição 7. Na Lógica de Predicados, a ordem de precedência dos
conectivos é a seguinte:
Existe uma aluna que não é bonita.
é representada pela seguinte fórmula
• maior precedência: ∼
∃x(∼p(x))
• precedência intermediária superior: ∀, ∃
• precedência intermediária inferior: ∧, ∨
como vimos nas equivalências acima, esta fórmula é equivalente a
• precedência inferior: →, ↔
∼∀x(p(x))
Como na Lógica Proposicional, a ordem de precedência dos conectivos é
utilizada para simplificar as fórmulas, retirando símbolos de pontuação.
que significa
Nem todas as alunas são bonitas.
Exemplo: A concatenação de símbolos
β = ∀x∃y(p(x,y)) → ∃z(∼q(z)) ∧ r(y)
representa a fórmula
α = ((∀x)((∃y)(p(x,y))) → ((∃z)(∼q(z)) ∧ r(y)))
A obtenção de α a partir de β é feita considerando a ordem de precedência
dos conectivos.
Correspondência entre quantificadores. Conforme verificado na Lógica
Proposicional, os conectivos
∧,
→, ↔
podem ser definidos a partir dos conectivos ∼ e ∨. Analogamente, é
possível definir o quantificador existencial ∃ a partir do quantificador
universal ∀ e vice-versa.
Portanto são afirmações equivalentes representadas por fórmulas
equivalentes.
A segunda equivalência pode ser demonstrada considerando a seguinte
afirmação
Não existe uma aluna bonita.
é representada pela fórmula
∼∃x(p(x))
esta fórmula é equivalente a
∀x(∼p(x))
que significa
Nenhuma aluna é bonita.
Novamente são afirmações equivalentes representadas por fórmulas
equivalentes.
Observe que as ocorrências das variáveis dos quantificadores não são
livres nem ligadas, isto é, a variável x em ∀x e ∃x não é classificada.
Classificações de Variáveis. As variáveis que ocorrem nas fórmulas da
Lógica de Predicados possuem várias classificações.
Exemplo: Considere a fórmula do exemplo anterior.
Elas podem ocorrer na forma livre ou ligada. Antes é necessário
determinar os escopos dos quantificadores que ocorrem na fórmula.
Definição 8. Seja α uma fórmula da Lógica de Predicados.
• Se ∀x(β) é uma sub-fórmula de α, então o escopo de ∀x em α é a
sub-fórmula β.
• Se ∃x(β) é uma sub-fórmula de α, então o escopo de ∃x em α é a
sub-fórmula β.
A palavra escopo significa também abrangência.
Exemplo: Considere a fórmula a seguir.
α = ∀x∃y(∀z(p(x,y,w,z)) → ∀y(q(z,y,x,z1)))
Neste caso
a) o escopo do quantificador ∀x em α é
∃y(∀z(p(x,y,w,z)) → ∀y(q(z,y,x,z1)))
b) o escopo do quantificador ∃y em α é
∀z(p(x,y,w,z)) → ∀y(q(z,y,x,z1))
c) o escopo do quantificador ∀z em α é p(x,y,w,z)
d) o escopo do quantificador ∀y em α é q(z,y,x,z1)
Dada uma variável x em uma fórmula α, esta pode ocorrer livre ou ligada
em α.
Definição 9. Sejam x uma variável e α uma fórmula.
α = ∀x∃y(∀z(p(x,y,w,z)) → ∀y(q(z,y,x,z1)))
identificar as ocorrências livres e ligadas.
Observe que a variável z ocorre ligada em
p(x,y,w,z)
e livre em
q(z,y,x,z1)
A ocorrência de z em
p(x,y,w,z)
está no escopo de ∀z e a ocorrência de z em
q(z,y,x,z1)
não está no escopo de nenhum quantificador. A ocorrência da variável y
em
q(z,y,x,z1)
é uma ocorrência ligada. Neste caso, y está no escopo de dois
quantificadores ∃y e ∀y. Quando isto acontece, a ocorrência da variável y
está ligada pelo quantificador mais próximo.
Definição 10. Sejam x uma variável e α uma fórmula que contém x.
• a variável x é ligada em α se existe pelo menos uma ocorrência
ligada de x em α.
• a variável x é livre em α se existe pelo menos uma ocorrência livre
de x em α.
Exemplo: Considere a fórmula α do exemplo anterior.
• uma ocorrência de x em α é ligada se x está no escopo de um
quantificador ∀x ou ∃x em α.
a) as variáveis x, y e z são ligadas em α.
• uma ocorrência de x em α é livre se não for ligada.
c) a variável z é livre e ligada em α.
b) as variáveis z e z1 são livres em α.