capítulo 1 – amplificadores operacionais – amp op
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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA UNIDADE JOINVILLE DEPARTAMENTO DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO CURSO TÉCNICO EM ELETROELETRÔNICA ELETRÔNICA II Profª. Bárbara Taques ÍNDICE ÍNDICE ............................................................................................................................. 2 CAPÍTULO 1 – AMPLIFICADORES OPERACIONAIS – AMP OP............................ 3 1.1 INTRODUÇÃO AOS AMPLIFICADORES OPERACIONAIS ..................... 3 1.2 OPERAÇÃO DIFERENCIAL E MODO COMUM ........................................ 5 1.3 AMPLIFICADORES OPERACIONAIS BÁSICOS ....................................... 7 CAPÍTULO 2 – APLICAÇÕES NÃO LINEARES COM AMP OP’s .......................... 14 2.1 COMPARADORES ....................................................................................... 14 2.2 OSCILADORES............................................................................................. 18 2.3 MULTIVIBRADORES .................................................................................. 21 CAPÍTULO 3 – FILTROS ATIVOS ............................................................................. 26 3.1 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ..................................................................... 26 3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ................................................................ 26 3.3 CLASSIFICAÇÃO ......................................................................................... 27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 34 2 CAPÍTULO 1 – AMPLIFICADORES OPERACIONAIS – AMP OP 1.1 INTRODUÇÃO AOS AMPLIFICADORES OPERACIONAIS Os amplificadores Operacionais possuem algumas características básicas como: 1.1.1 Correntes nos dois terminais de entrada igual a zero; Impedância de entrada muito alta e Impedância de saída muito baixa. Simbologia AmpOp Ideal Entrada 1 Entrada 1 + Vd Saída Entrada 2 Vo= AdVd Entrada 2 1.1.2 + AdVd - - Tipos de Entrada Sinal conectado a entrada positiva e a entrada negativa conectada ao terra: Vo Saída: Amplificada, com mesma fase da entrada. 3 Sinal conectado a entrada negativa e a entrada positiva conectada ao terra: Vo Saída: Amplificada, com fase oposta ao sinal de entrada. Entrada Diferencia: Sinal conectado entre os terminais positivos e negativos: Vo Saída: Amplificada, em fase com o sinal de entrada. Exercício: Calcular a saída de um AMPOP com as entradas conectadas como mostrado no desenho abaixo: Vo 4 1.2 OPERAÇÃO DIFERENCIAL E MODO COMUM Uma das características mais importantes de uma conexão de circuitos diferencial existente em um AMPOP é a capacidae de o circuito amplificar muito pouco (quase zero) os sinais comuns a ambas as entradas. O AMPOP fornece um ganho de saída referente a amplificação da diferença dos sinais opostos aplicados entre as suas entradas (Ad), e um ganho (que no caso ideal deveria ser zero) que se deve a amplificação de mesmos sinais entre suas entradas (Ac). Uma vez que a amplificação dos sinais de entrada opostos é muito maior que a dos sinais de entrada comuns, o circuito fornece uma rejeição de modo comum descrita por um parâmetro chamado de razão de rejeição de modo comum (CMRR-COMMON-MODEREJEITION-RATION). ENTRADAS DIFERENCIAIS: O sinal de diferença, quando entradas separadas são aplicadas ao AMPOP, é dada por: Vd=Vi1-Vi2 ENTRADAS COMUNS: Quando os sinais de entrada são iguais, o sinal comum é dado pela média aritmética entre os dois sinais: Vc 1 Vi1 Vi2 2 TENSÃO DE SAÍDA Uma vez que qualquer sinal aplicado a um AMPOP tem, em geral, componentes tanto em fase como fora de fase, a saída resultante pode ser expressa como: Vo=AdVd+AcVc Considerando entradas opostas dadas por: Vi1=-Vi2=Vs, Vd é dada por: Vd Vi1 Vi2 Vs Vs 2Vs Enquanto a tensão de modo comum resultante é: Vc 1 Vs Vs 0 2 De maneira que a tensão resultante é: Vo Ad Vd AcVc Ad 2Vs Ac .0 Vo 2 Ad Vs Considerando entradas de mesma polaridade: Vi1=Vi2=Vs, Vd é dada por: 5 Vd Vi1 Vi2 Vs Vs 0 Enquanto a tensão comum resultante é: 1 1 Vc Vi1 Vi2 Vs Vs Vs 2 2 Portanto, a tensão de saída resultante é: Vo Ad Vd AcVc Ad 0 Ac .Vs Vo AcVs 1.2.1 Razão de Rejeição de Modo Comum A razão de rejeição de modo comum (CMRR) é definida pela seguinte equação: A CMRR d Ac Este valor também pode ser expresso em termos logarítmicos como: A CMRR 20 log 10 d (dB) Ac Obs.: a importância da utilização do ganho em decibéis (dB) justifica-se quando são utilizados grandes valores para CMRR, por exemplo: CMRR 103 CMRR (dB) 60dB De modo geral: CMRR 10 n CMRR (dB) 20.n dB A utilização em decibéis facilita a representação gráfica de muitas grandezas que têm uma ampla faixa de variação. O valor do CMRR varia com a faixa de freqüência de entrada. Por exemplo, o valor de 90dB fornecido pelo fabricante do AMPOP 741, só é garantido até aproximadamente 200Hz. Felizmente, a maioria dos ruídos industriais estão nesta faixa (60Hz a 120Hz). Exercícios: 1. Calcular CMRR para os circuitos mostrados abaixo: -1mV -0,5mV -12mV Vo=-8V -1mV 0,5mV 2. Determinar a tensão de saída de uma AMPOP para as tensões de entrada Vi1=150µV, Vi2=140µV. O amplificador tem um ganho diferencial de Ad=4000 e o valor de CMRR é: a) 100 b) 105 6 1.3 AMPLIFICADORES OPERACIONAIS BÁSICOS 1.3.1 Modos de Operação do AMPOP a) Sem realimentação: Também denominado operação em malha aberta e o seu ganho é estipulado pelo próprio fabricante, ou seja, não se tem controle sobre o mesmo. Este tipo é muito útil em circuitos comparadores. Vi Vo b) Com realimentação positiva: Esse tipo de operação é denominado operação em malha fechada. Apresenta como inconveniente o fato de conduzir o circuito a instabilidade. Uma aplicação prática deste circuito são circuitos osciladores. R2 Vi R1 Vo c) Com realimentação negativa: Neste modo de operação, a entrada do sinal é aplicada na entrada negativa do AMPOP. Este é o modo mais importante em circuitos com AMPOP. R2 Vi R1 Vo O ganho global deste tipo de circuito é dado por: Rf V0 , desde que Av (ganho de tensão do amplificador em malha aberta) V1 R1 seja bastante grande. As aplicações com este tipo de circuito são inúmeras, como: Amplificadores Inversores; Amplificadores Não- Inversores; 7 Seguidor unitário; Amplificador Somador; Amplificador Diferencial. 1.3.2 Curto-circuito virtual e terra virtual Em circuitos com realimentação negativa, o ganho total do circuito depende somente dos valores das resistências de realimentação. Sendo assim: Rf V0 V1 R1 Considerando V0=AvVi Rf Rf V1 R1 R1 Av Portanto, com valores de Av bastante grandes , os valores de Vi 0 . Com isso diz-se que, entre as entradas positivas e negativas do AMPOP, com realimentação negativa, existe um curto-circuito virtual. Virtual porque em um curtocircuito real tem-se V=0 e I≠0, mas no curto-circuito virtual tem-se V=0 e I=0. No caso em que a entrada positiva está aterrada, considerando Vi=0, a entrada negativa também terá valor zero. Sendo assim esta ligação é chamada de terá virtual, pois este ponto não está ligado ao GND. AvVi V1 Vi 1.3.3 Tipos de Circuitos Amplificadores Básicos 1. AMPLIFICADOR INVERSOR Rf V1 R1 a Vo b V1 Va Va V0 0 R1 Rf Considerando o terra virtual no ponto a: Va=0 Portanto: Rf V V V1 0 ,e 0 R1 Rf V1 R1 8 2. AMPLIFICADOR NÃO-INVERSOR V1 a Vo b R1 Rf 0 V1 V1 V0 0 R1 Rf 1 V 1 V1 0 R Rf 1 Rf Portanto: R1 R f R1 R f V0 Rf R R V1 R1 f 1 Rf V0 1 V1 R1 Sendo assim, o amplificador não-inversor não apresenta defasagem no sinal de saída. 3. SEGUIDOR DE TENSÃO (BUFFER) Vo Vi Este circuito apresenta uma altíssima impedância de entrada e uma baixíssima impedância de saída. Suas aplicações são: Isolador de estágios; Casador de impedâncias, etc. 9 4. SOMADOR Rf V1 R1 V2 R2 Vo V3 R3 Cada entrada adiciona uma tensão na saída, multiplicada pelo seu componente fator de ganho: Rf Rf Rf V0 V1 V2 V3 R R R 2 3 1 5. AMPLIFICADOR DIFERENCIAL OU SUBTRATOR R2 V1 R1 R1 V0 V2 R2 Este circuito permite que se obtenha na saída uma tensão igual a diferença entre os sinais aplicados, multiplicada por um ganho: V0 R2 V2 V1 R1 10 Exercícios: 1. Qual é a faixa de ajuste de ganho de tensão no circuito abaixo? 500kΩ V1 Vo 10kΩ 10kΩ 2. Que tensão de entrada produz uma saída de 2V no circuito abaixo? 1MΩ V1 20kΩ Vo 3. Qual a faixa das tensões de saída no circuito abaixo? 200kΩ V1 20kΩ Vo (0,1 a 0,5V) 4. Que tensão de saída resulta, no circuito abaixo, para uma entrada de Vi= -0,3V? V1 Vo 12kΩ 360kΩ 11 5. Que faixa de tensão de saída é desenvolvida no circuito abaixo? V1=0,5V Vo 10kΩ 200Ω 10kΩ 6. Calcular a tensão de saída produzida pelos circuitos abaixo: a) Rf=330kΩ 0,2V 33kΩ -0,5V 22kΩ 0,8V 12kΩ Vo b) 100kΩ Vo Vi=1,5V 20kΩ 12 7. Calcular as tensões de saída V2 e V3 no circuito abaixo: 100kΩ 20kΩ V2 0,2V V3 200kΩ 10kΩ 8. Calcular a tensão V0. 100kΩ Vi=0,1V 20kΩ 400kΩ V0 10kΩ 20kΩ 13 CAPÍTULO 2 – APLICAÇÕES NÃO LINEARES COM AMP OP’s 2.1 COMPARADORES Considerando que o ganho do amplificador de malha aberta é muito grande, mesmo para valores de tensão muito pequenos a saída será limitada pelo valor de saturação do AMPOP. Como a saída é dada por: V0 AMA (V V ) , quando V+ for maior que V-, a saída será +VSAT, e quando V- for maior que V+, a saída será –VSAT. V1 V0 V2 O uso de um comparador pode ser exemplificado como Sensor de Nível. Quando o nível estiver acima (ou abaixo) do normal (valor de referência), o comparador emite um sinal de saída para o sistema controlador. 2.1.1 Comparador Não-Inversor V0 Vi +VSAT Vo 0 Vi -VSAT V , quando Vi 0 V0 SAT VSAT , quando Vi 0 2.1.2 V1 0 V0 AMAVi V2 Vi Comparador Inversor V0 +VSAT Vi Vo 0 Vi -VSAT V , quando Vi 0 V0 SAT VSAT , quando Vi 0 V1 Vi V0 AMAVi V2 0 14 2.1.3 Comparador com referência não nula V0 +VSAT Vo 0 + Vref Vi Vi Vref _ VSAT , quando Vi Vref V0 VSAT , quando Vi Vref 2.1.4 -VSAT V1 Vi V0 AMA (Vref Vi ) V2 Vref Comparador com tensão de saída limitada Colocando-se um diodo Zener na saída do comparador, pode-se limitar V0 na tensão de polarização reversa do diodo (normalmente 5,1V). V1 V1 V0 V2 ou V0 V2 Vi V0 5,1 -0,7 Outra forma de limitar a tensão de saída do comparador é colocando dois diodos Zener catodo-contra-catodo. Assim pode-se limitar tanto tensões positivas como negativas em 5,1V. V1 V0 V2 15 2.1.5 Detector de faixa A combinação de um comparador inversor e um não-inversor resulta num circuito chamado detector de faixa. Este circuito verifica se uma certa tensão de entrada Vi está dentro de uma faixa delimitada por Va(REF INFERIOR) e Vb (REF SUPERIOR). Vb V0 Vi Va Quando a tensão de entrada se encontrar dentro da faixa supramencionada, a tensão de saída será zero, caso contrario, ela será igual a +VSAT. Exercícios: Desenhar as formas de onda de saída dos circuitos abaixo, nos mesmos gráficos onde estão representadas suas respectivas entradas. Vi a) Vi Vo b) Vi Vi Vo c) Vi Vo + 4V 4V Vi _ 16 d) Vi V1 4V V0 2V e) Vi V1 4V V0 3V f) Vi V1 V0 4V -4V g) V0 9V Vi 3V 17 2.2 OSCILADORES 2.2.1 Operação Básica dos Osciladores Vi + V0 A _ Vf β O ganho total de um circuito com realimentação positiva, é dado Af, como: Af A , 1 A Já o ganho de malha é dado por: Amf=Aβ Os critérios para oscilação de um circuito realimentado, representado pela figura acima são: Amf(jω)=1, sendo: Amf j 1 e Amf j 0 Se ωo for dado de forma que Amf j 0 , então: a) Amf j 1 → O sistema não oscila b) Amf j 1 → O sistema oscila c) Amf j 1 → Oscilação Distorcida 2.2.2 Oscilador com Ponte de Wien Um circuito oscilador utiliza um circuito RC em ponte, com a freqüência do oscilador determinada pelos componentes R e C.Os resistores R1, R2 e os capacitores C1, C2 formam os elementos de ajuste da freqüência, enquanto os resistores R3 e R4 formam parte do caminho de realimentação. 18 C1 R1 Vo C2 R2 R3 R4 O circuito de realimentação deste oscilador é mostrado na figura abaixo. + Vo R1 R2 C1 + C2 Vf _ _ Sendo o ganho β do circuito dado por: jR2 C2 1 R2 R1C2 C1 j R2 C2 R1C1 R2 C1 2 O como este é um circuito não inversor o seu ganho de realimentação negativa é: A 1 Para satisfazer o critério de oscilação: A freqüência de oscilação será: f 0 R3 R4 Amf j 0 , onde Amf=Aβ 1 2 R1 R2 C1C 2 f0 . Se R1=R2 e C1=C2: 1 2RC A característica que garante o ganho de malha suficiente para o circuito oscilar é que: 19 R3 R1 C1 R4 R2 C2 Sendo assim, R3 2, R4 Portanto, uma razão entre R3 e R4 maior que 2 oferece um ganho de malha suficiente para que o circuito oscile na frequência calculada para fo. Exercícios: 1. Calcular a freqüência de ressonância do oscilador com ponte de Wien da figura abaixo. 0,001μF 51kΩ Vo 0,001μF 51kΩ 300kΩ 100kΩ 2. Esboce os elementos RC de um oscilador com ponte de Wien, como na figura do exercício anterior para a operação em fo=10kHz. 3. Calcular a freqüência do circuito oscilador com ponte de Wien, quando R=10kΩ e C=2400pF. 4. Projetar um oscilador com ponte de Wien, de tal modo que a freqüência do sinal de saída possa ser ajustada numa faixa de 100Hz a 1kHz. Fazer os dois capacitores iguais a 0,01μF. 20 2.3 MULTIVIBRADORES 2.3.1 Operação Astável de um CI Temporizador 555 O CI 555 é o resultado de uma combinação de comparadores lineares e flip-flops digitais, conforme mostra a figura 2.1. Figura 2.1 – CI temporizador 555 Uma aplicação conhecida do CI temporizador 555 é como um multivibrador astável ou circuito de clock. A análise seguinte da operação do 555 como um circuito astável engloba detalhes das diferentes partes da unidade e de como as várias entradas e saídas são utilizadas. A figura 2.2 mostra um circuito astável construído utilizando um resistor externo e um capacitor para fixar o intervalo de temporização do sinal de saída. Figura 2.2 – Multivibrador astável utilizando CI 555 21 O capacitor C carrega-se, tendendo ao valor VCC, através dos resistores externos RA e RB. Como mostra a figura 2.2, a tensão do capacitor aumenta até ultrapasar 2VCC/3. Essa tensão á a tensão limiar do pino 6, que leva o comparador 1 a disparar o flip-flop de forma que a saída no pino 3 seja levada para nível baixo. Além disso, o transistor de descarga é ligado, fazendo com que o capacitor seja descarregado através de RB pelo pino 7. A tensão do capacitor diminui, então, até cair abaixo do valor de disparo (VCC/3). O flip-flop é disparado, a saída retorna para o nível alto e o transistor de descarga é desligado, fazendo com que o capacitor possa novamente ser carregado através dos resistores RA e RB pela fonte VCC. Figura 2.3 – Formas de onda referentes a um circuito astável A figura 2.3 mostra as formas de onda no capacitor e na saída referentes a um circuito astável. Os cálculos dos intervalos de tempo nos quais a saída é alta e baixa podem ser feitos utilizando as relações: TALTA 0,7RA RB C TBAIXA 0,7RB C O período total é: T período TALTO TBAIXO A freqüência do circuito astável é calculada então como: f 1 1,44 T R A 2 RB C 22 Exemplo: Para o circuito da Figura 2.2, considerando RA=RB=7,5kΩ e C=0,1µF. Determinar a freqüência de saída do mesmo e desenhar as suas formas de onda. Utilizando as equações que determinam os períodos baixo e alto da oscilação: TALTA 0,7R A RB C 0,7 7,5 10 3 7,5 10 3 0,1 10 6 =1,05ms e TBAIXA 0,7 RB C 0,7 7,5 10 3 0,1 10 6 =0,525ms T=TALTA+TBAIXA=1,05ms+0,525ms=1,575ms f 1 1 635Hz T 1,575 10 3 2.3.2 Operação Astável com AmpOp A implementação de um multivibrador astável com Amplificador Operacional, além de ser uma alternativa ao CI 555, é muito comum na prática. De fato, o circuito básico de um multivibrador astável com AmpOp necessita apenas de um capacitor e três resistores externos, conforme se vê na figura 2.4. 23 R1 R Vo VZ1 C R3 VZ2 R2 Figura 2.4 – Multivibrador Astável com AmpOp Este circuito possibilita a geração de um sinal quadrado. Para a limitação da tensão de saída, que a princípio seria +VSAT e –VSAT, coloca-se dois diodos idênticos (VZ1=VZ2) e em oposição, conforme mostra a figura 2.4. A freqüência de saída do sinal pode ser variada através do potenciômetro R1. E a freqüência f do sinal pode ser calculada pela seguinte fórmula: T 2R 1 2 R1C ln 1 2 f R3 Exemplo: Um projetista deseja determinar a relação entre R2 e R3 no circuito da figura 2.4, de tal modo que a freqüência do sinal de saída do multivibrador astável possa ser 1 f calculada pela seguinte fórmula . Qual a relação procurada pelo projetista? R1C Se Portanto: T 2R 1 2 R1C ln 1 2 , então f R3 f 1 . 2 R2 2 R1C ln 1 R 3 1 1 2 R R1C 2 R1C ln 1 2 R3 2R 1 ln 1 2 R3 2 R2 0,3244 R3 24 Exercícios: 1. Para um circuito temporizador 555 conectado como um multivibrador astável, com operação em 350Hz. Determinar o valor do capacitor C, necessário, utilizando RA=RB=7,5kΩ. 2. Para um circuito temporizador 555 montado como mostrado na figura 2.1, determinar os períodos TALTA e TBAIXA da forma de onda de saída; e a freqüência do mesmo. Desenhar a forma de onda. 3. Para o circuito da figura 2.4 operar numa freqüência de 450Hz, se R3 for o dobro do valor de R4, quanto será o valor de R1, considerando um capacitor C=0,001μF, ? 4. Qual será a freqüência de oscilação de um multivibrador astável, mostrado na figura 2.4, fazendo R2=0,7R3; R1=22kΩ e C=0,1μF? 5. Qual será a relação entre R3 e R2, para que o circuito da figura 2.4 opere numa freqüência de 246,63Hz , quando a relação R1C=0,01s? 25 CAPÍTULO 3 – FILTROS ATIVOS Um filtro elétrico é um circuito capaz de atenuar determinadas freqüências do espectro do sinal de entrada e permitir a passagem das demais. 3.1 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Chama-se espectro de um sinal a sua decomposição numa escala de amplitude versus freqüência. Isto é feito através de séries de Fourier. Exemplo: Considerando uma entrada Vi=1V, temos como saída Vo o gráfico da figura 3.1. Vo 5V 2π10 2π100 2π1000 ω(rad/s) Quando a entrada Vi possui uma freqüência abaixo de 10Hz ou acima de 1000Hz, sua saída é quase que completamente atenuada. Quando a entrada Vi possui uma freqüência de 100Hz seu ganho é máximo, sendo Vo cinco vezes maior que Vi. 3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência de um circuito é a relação de ganho do circuito no V j domínio da freqüência: H j o A jB Vi j Onde: H j A jB B H j tan 1 A 26 3.3 CLASSIFICAÇÃO Os filtros podem ser classificados quanto à função que executa; quanto ao modelo físico utilizado para sua execução e quanto a sua função resposta. 3.3.1 – Classificação quanto à sua função Filtro Passa-Baixas: São aqueles que só permitem a passagem de freqüência abaixo de uma freqüência determinada fc (denominada freqüência de corte). As freqüências superiores são atenuadas Filtros Passa-Altas: Só permitem a passagem de freqüência acima de uma freqüência determinada fc. As freqüências acima são atenuadas. Filtros Passa-Faixa: Só permitem a passagem das freqüências situadas numa faixa delimitada por uma freqüência de corte inferior fc1 e outra fc2. As freqüências situadas abaixo da freqüência de corte inferior ou acima da freqüência de corte superior são atenuadas. Filtro Rejeita Faixa: Só permite a passagem das freqüências situadas abaixo de uma freqüência de corte inferior (fc1) ou acima de uma frequência de corte s superior (fc2). A faixa de freqüência delimitada por fc1 e fc2 é atenuada. Na figura 3.2 pode observar as curvas de resposta e freqüência para os quatro tipos de filtros. Pode-se observar que existem as curvas ideais (que na prática são impossíveis de serem realizados) e as curvas reais, que podem ser aproximações muito boas das curvas ideais. Figura 3.2 27 Para uma curva em freqüência existem algumas definições que devem ser conhecidas: Faixa de passagem: Faixa de freqüências que estão acima de 70,7% do ganho máximo (definiu-se como ponto de corte o ponto onde a potência do sinal cai pela metade). Esta redução de 70,7% também pode ser considerado como atenuação de 3dB, V onde o GdB 20 log i . Vo Faixa de transição: Faixa de freqüência entre a freqüência de corte e a freqüência de passagem. Faixa de Corte: Faixa de freqüências que estão abaixo de 10% do seu valor máximo. A figura 3.3 mostra uma curva com estes valores usando como exemplo um filtro passa-baixas. Figura 3.3 3.3.2 – Classificação quanto ao modelo físico utilizado Quanto ao modelo físico utilizado são considerados três tipos de filtros: Filtros passivos: São aqueles construídos apenas com elementos passivos, tais como: resistores, capacitores e indutores. Tais filtros são inviáveis em baixas freqüências, pois exigem indutores muito grandes. Filtros Ativos: São aqueles construídos com alguns elementos passivos associados a elementos ativos (válvulas, transistores e amplificadores operacionais). 28 Filtros Digitais: Tais filtros utilizam componentes digitais como elementos construtivos. Os sinais analógicos são convertidos em sinais digitais. Estes são processados digitalmente com softwares em componentes digitais ou computacionalmente e então convertido novamente para sinais analógicos. Os filtros também são classificados por sua ordem, isto é pela ordem do polinômio do denominador da sua função de transferência. Exemplo: Filtro Ativo Passa-Baixas de primeira ordem: Vi Vo R1 C R3 R2 Figura 3.4 R2 R1 Enquanto que a relação da tensão de saída pela tensão de entrada é dada por: Para o circuito da figura 3.4 o ganho K é dado por: K 1 1 Vi Vo K 1 j R C 1 Portanto, seu ganho é dado como: Vo 1 H j K Vi 1 jR1C Para que H j 0 , isto é, freqüência completamente atenuada (situação ideal), com K≠0, o denominador da função de transferência deverá tender a infinito. Como isto na prática é impossível, considera-se como freqüência de corte a freqüência na qual a amplitude de ganho se reduz em 0,707 (como mencionado anteriormente), para isto o denominador do módulo de H(jω) deverá ser igual a 2 , ou seja: 1 R1C 2 2 29 Para isto, faz-se: R1C 1 , como 2f fc 1 2R1C Para freqüências maiores que a freqüência de corte, o ganho será cada vez menor, tendendo a zero. Quanto maior a ordem do polinômio, ou seja a ordem do filtro, menor será a faixa de transição do filtro real. 3.3.3 – Classificação quanto à função-resposta Para que a à função resposta do filtro seja melhorada, além da ordem do polinômio também podem existir diferentes tipos de polinômios no denominador do mesmo, mudando assim a sua função de transferência. Para isto existem três tipos de filtros com diferentes características: Filtros Butterworth: H j k PB 1 c 2n (aproximação para um filtro passa-baixa) n=1,2,3,... Onde n é a ordem do filtro, kPB é o ganho do filtro PB quando a freqüência é nula e ωc é a freqüência de corte (ωc=2πfc). A figura 3.5 mostra diferentes respostas em freqüências para diferentes ordens de um filtro Butterworth Passa-Baixa. A resposta Butterworth possui uma resposta plana (nenhum tipo de ondulação) na faixa onde ω<ωc, sendo mais plana na região próxima à ω=0. A taxa de atenuação destes filtros será de: TA 20n log , ou seja a cada c década de freqüência o filtro sofre uma atenuação de 20dB, para um filtro de primeira ordem, 40dB por década para segunda ordem e assim por diante. 30 Figura 3.5 Filtros Chebyshev: Estes filtros possuem uma taxa de atenuação muito maior que os filtros Butteworth, porém possuem ondulações (ripples) na faixa de passagem. São caracterizados pela seguinte função de transferência: H j k PB 1 E 2 C n2 c (aproximação para um filtro passa-baixa) n=1,2,3,... e (0<E≤1) Onde kPB é o ganho para do filtro PB para freqüência nula; ωc é a freqüência de corte; E é uma constante que define a amplitude (PR) dos ripples presentes na faixa de passagem, e Cn é o chamado polinômio de Chebyshev, dado por: Cn(ω)=2ωCn(n arc cosω) A taxa de atenuação para os filtros Chebyshev é dada por: TA 20 log E 6n 1 20n log c E a amplitude dos ripples (PR) em decibéis está relacionada com E através da seguinte expressão: PR(dB) 20 log 1 E 2 31 O valor de PR é utilizado para caracterizar o filtro de Chebyshev. Por exemplo: filtro Chebyshev 0,5dB, filtro Chebyshev 1dB, etc. O máximo valor permitido para PR é 3dB (E≈0,99763). A figura 3.6 mostra a curva de resposta em freqüência do ganho para vários valores de n para os filtros Chebychev. Figura 3.6 Filtros Elépticos: Os filtros Elípticos apresentam ripples tanto na faixa de passagem como na faixa de corte. Todavia, são os que têm melhor definição em termos de freqüência de corte. Em outras palavras, a sua faixa de transição é bastante estreita. Esse tipo de filtro é muito utilizado em equipamentos que exigem alta precisão no ponto de corte, bem como uma atenuação acentuada na faixa de corte. A figura 3.7 mostra a curva de resposta para um filtro Elíptico PB de quinta ordem, com ωc=1rad/s. Figura 3.7 32 Exercício: Para os circuitos abaixo achar a sua respectiva função de transferência. 1. Vi Vo C R1 R3 R2 2. Vi R1 Vo C C R3 R1 R3 R2 R2 33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 PERTENCE JÚNIOR., A. Amplificadores Operacionais e Filtros Ativos. Porto Alegre:Bookman, 6 Ed., 2003. 2 BOYLESTAD, RL; NASHELSKY, L. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 8ª Edição, 2004. 3 BERLIM, HM. Projetos com Amplificadores Operacionais. São Paulo: Editora Técnica Eletrônica Ltda. 34
