MAT 475 Tópicos em Matemática Aplicada

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MAT 475 – Tópicos em Matemática Aplicada
(Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 11a15: SageMath e Python
Linguagem de Programação
Computadores e outros dispositivos eletrônicos programáveis
executam instruções ativando (ou desativando) determinadas partes
em seus componentes. As instruções são comunidadas ao dispositivo
por uma sequência de zeros e uns (código binário).
Uma linguagem de programação é uma ponte entre a linguagem
humana e a de máquina, mesclando conceitos de ambas.
As linguagens de programação são classificadas em vários nı́veis de
acordo com sua proximidade com a linguagem humana.
Linguagens de baixo nı́vel são mais próximas da linguagem da
máquina enquanto as de alto nı́vel se aproximam da linguagem
natural humana.
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Python
Uma linguagem de programação pode ser compilada (traduzida para
uma linguagem de máquina) ou interpretada.
Uma linguagem interpretada não precisa ser compilada. Ela é lida
por um programa que faz a tradução para a linguagem de máquina.
Python é uma linguagem de altı́ssimo nı́vel (VHLL – very high level
language), interpretada, de código fonte aberto e disponı́vel para
vários sistemas operacionais.
O interpretador do Python já vem instalado no Linux. Para
windows ele está disponı́vel para download em
http://www.python.org
O SageMath é implementado principalmente em Python .
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Python
Python é uma linguagem dinamicamente tipada. Isto quer dizer que
não é preciso declarar as variáveis ou ou tipo delas. A forma como a
variável é usada no código identifica como ela será armazenada.
A = 3
A = 3.0
A = "tr^
es"
type(A)
É identificada como inteira (tipo int)
É identificada como inteira (tipo float)
É identificada como string
Para saber o tipo definido para a variável
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Python
. comentário
Tudo que estiver após o sı́mbolo # em uma linha de comando do
Python é assumido como comentário.
Para comentar um bloco de comandos, coloque-o entre três aspas
simples.
#Comentários em python
a=2 # a recebe 2
b=5
’’’inı́cio bloco de comentários
a=3
a=33
b=24
c=15
fim do bloco de comentários’’’
a+b
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Python
Operações aritméticas:
8+3
8*3
8/3
8./3
8**3
8**(1/3)
8%3
3*("na"+"da")
adição
multiplicação
divisão de inteiros
divisão de reais
potenciação
radiciação
resto de divisão
3 x a concatenação de ’na’ com ’da’
Operações booleanas:
a==b
a!=b ou a<>b
verifica se são iquais
verifica se são diferentes
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Python
. Listas
Uma lista é uma sequência de variáveis delimitada por colchetes. Pode
conter tipos diferentes e pode ser alterada (pois é mutável).
list=[4,"nada", 3.0]
define a lista list com 3 elementos.
list[0]
exibe o primeiro elemento da lista.
list[-2]
exibe o penúltimo elemento da lista.
len(list)
informa o tamanho da lista.
list+[3,5]
concatena list com a lista [3,5].
list[1]=7
insere o valor 7 na posição 1 da lista.
del list[1]
remove o elemento da posição 2 de list.
list.index(4)
indica a posição que o valor ”4”está na lista.
Se tiver mais de uma posição com mesmo valor,
indica a primeira ocorrência.
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Python
. Listas: pseudo-matriz
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Python
. Tupla
Uma tupla é uma sequência de variáveis delimitada por parênteses.
Assim como em uma lista, pode conter tipos diferentes. No entanto,
uma tupla não pode ser alterada depois de criada (pois é imutável).
Os comandos de acesso e manipulação de tuplas são analógas aos
usados para listas.
tup=(4,"nada", 3.0)
define a tupla tup com 3 elementos.
tup[1]
acessa o segundo elemento da tupla tup.
matriz=((1,2),(3,4))
cria uma pseudo-matriz 2x2
matriz[0][1]
exibe o elemento da posição 1x2 de matriz
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Python
. set
Conjuntos são definidos com a sintaxe set([elementos]).
X = set([1,19,’a’])
Y = set([1,1,1, 2/3])
Z=X.intersection(Y)
print ’X =’,X
print ’Y =’,Y
print Z
print X == set([’a’, 1, 1, 19])
print ’a’ in X
print ’a’ in Y
Resultado:
X = set([’a’, 1, 19])
Y = set([1, 2/3])
set([1])
True
True
False
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Python
. Set
SageMath tem sua própria função conjunto (Set) que além de incorporar
as propriedades da Teoria de conjuntos, tem algumas funções adicionais.
X =set([1,19,’a’])
Y = Set([1,1,1, 2/3])
print ’X =’,X
print ’Y =’,Y
print latex(X)
print latex(Y)
Resultado:
X = set([’a’, 1, 19])
Y = {1, 2/3}
\text{\texttt{set([’a’,{ }1,{ }19])}}
\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
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Python
. Range
A função range(a, b) gera uma lista de uma sequência de números
inteiros no intervalo [a,b)
range(2,7)
lista com os inteiros de 2 a 6.
range(7)
lista com os inteiros de 0 a 6.
range(1,17,4)
lista com os inteiros de 1 a 16, com razão 4.
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Python
. For
Na maioria das linguagens de programação, o comando for realiza
uma iteração percorrendo uma sequência de números inteiros de
uma progressão aritmética.
Em Python a iteração é feita percorrendo os itens de uma sequência
que pode ser de diversos tipos (lista, string etc.). Por exemplo:
..................................................................
for i in range(1,4):
print i,
print ""
for i in range(3)+range(5,7):
print i,
print "\n"
lista=[’fada’,’casa’,’nada’]
for i in lista: print i
Resultado:
1 2 3
0 1 2 5 6
fada
casa
nada
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Python
Não é necessário utilizar { } para delimitar um bloco de comandos
ou end para finalizar uma estrutura.
Não existe um delimitador especı́fico para blocos de código. A
delimitação é feita pela indentação ( tecla tab ou 4 espaços).
..................................................................
for i in range(1,3):
print i
print "f_",i
print "g_",i
Resultado:
1
f_ 1
2
f_ 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .g_
. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observe que a linha de comando {print "g_",i} está alinhado com o
comando for (e, portanto, o valor de i neste caso não é iterado
percorrendo a sequência de inteiros em range(1,3)). Como o último
valor para i é 2, foi impresso g_2.
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Python
. Exemplo:
..................................................................
matriz = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
Resultado:
for i in range(len(matriz)):
1 0 0
for j in range(len(matriz)):
0 1 0
print matriz[i][j],
0 0 1
. . . . print
. . . . . . .""
.......................................................
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Python
Exemplos de formatação de strings:
a,b,c=3.1415,5,’número’
print
print
print
print
print
print
\n
\t
"a=%f" %a
"b=%d" %b
"c=%s" %s
’%f é %s’ %(a,c)
’%.2f’ %a
’%6.2f’ %a
atribui, respectivamente, valores para
as variáveis a,b e c.
imprime: a={valor da float(f) a}
imprime: b={valor do inteiro(d) b}
imprime: c={valor da string(s) c}
imprime: 3.1416 é um número
imprime o float com 2 casas decimais
imprime usando 6 espaços no total
(insere espaço em branco se preciso).
pula uma linha
acrescenta espaço de tabulação
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Python
. if–elif–else
A estrutura geral de uma condicional if tem a seguinte sintaxe:
if condiç~
ao:
# comandos
...
elif condiç~
ao:
# comandos
...
else:
# comandos
...
#Exemplo
var = [-2, 4,
for i in var:
if i < 0:
print
elif i ==
print
else:
print
5, 6, 0, -3, 4, 8, 3]
"Valor negativo: %d" % i
0:
"zero na posiç~
ao", var.index(0)
"Valor positivo: %d" % i
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Python
. Módulo:
Existem módulos que podem ser inseridos no código.
Para importar um módulo basta colocar no inı́cio do código:
import nome_do_módulo
Exemplos:
import datetime # para marcar tempo
import random # para gerar números aleatórios
Para conhecer as funções de um módulo basta digitar:
help(nome_do_modulo).
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Python
. Exemplo
Procedimento para gerar uma pseudo-matriz (lista de listas) aleatória:
..................................................................
import random
def cria_matriz(lin,col):
A=[]
for i in range(lin):
linha=[]
for j in range(col):
linha = linha + [random.randint(1,10)]
A= A + [linha]
return A
cria_matriz(2,3)
..................................................................
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SageMath
O SageMath é um software livre e de código aberto de matemática
que engloba softwares de várias áreas, tais como, álgebra, geometria,
teoria dos números, análise numérica, criptografia, computação
simbólica e numérica.
Criado em 2005 com o objetivo de ser uma alternativa gratuita a
softwares comerciais como Maple, Mathematica e matlab.
O SageMath utiliza a linguagem de programação Python . No
entanto, não é preciso saber Python para usar a maioria dos
recursos do programa.
O conhecimento necessário de Python para resolver um PPL ou
PPLI no SageMath é proporcional à complexidade do problema.
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Como usar o SageMath
Endereço: http://www.sagemath.org
Para usar o SageMath é preciso um navegador de internet como
ambiente de trabalho.
Para usar no windows é preciso instalar uma máquina virtual.
Online:
https://cloud.sagemath.com
http://sagecell.sagemath.org
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Como usar o SageMath
http://sagecell.sagemath.org
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Como usar o SageMath
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
Crie um MixedIntegerLinearProgram
(por padrão, o problema é de maximização)
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
crie um vetor de variáveis x:
(não é preciso definir o tamanho do vetor)
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
adicione a função objetivo do PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
adicione as restrições do PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
resolva o PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
z = 14.8
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
Exibir solução:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
z = 14.8
x1 = 0.0
x2 = 2.5
x3 = 1.6
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Programação linear no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PPL:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PI:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ∈ Z+
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PI:
O que muda é a declaração das variáveis x.
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ∈ Z+
z = 11
x1 = 0
x2 = 2
x3 = 1
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PB:
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ∈ N
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Suponha que se queira resolver o seguinte PB:
O que muda é a declaração das variáveis x.
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ∈ N
z=7
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 1
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Programação linear (inteira mista) no SageMath
Escrevendo o problema na forma matricial
max
x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 5
5x1 + 5x3 ≤ 8
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear (inteira mista) no SageMath
Escrevendo um PPL de minimização na forma matricial
min 2x1 + 4x2 + 3x3
s.a.
x1 + 2x2 ≥ 5
5x1 + x2 + 3x3 ≥ 8
x1 + 3x2 ≥ 3
x1 , x2 , x3 ≥ 0
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
. Alguns comandos úteis
O conjunto solução pode ser salvo em um vetor:
x_sol=p.get_values(x)
Especificar o número de casas decimais:
round(p.solve(),2)
round(p.get_values(x),2)
Selecionar o solver para resolver o MIP:
MixedIntegerLinearProgram(solver=’nomesolver’)
Exemplos de solver: GLPK, Coin, CPLEX, Gurobi
(Alguns comandos são especı́ficos do solver)
MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’)
Para resolver um MIP de minimização:
MixedIntegerLinearProgram(maximization=False)
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
. Alguns comandos úteis
Seja o MIP:
..................................................................
p = MixedIntegerLinearProgram()
v = p.new_variable(nonnegative=True)
..................................................................
p.get_min(v)
p.get_min(v[1])
p.set_min(v[1],None)
p.set_max(v[1],6)
p.set_binary(v[3])
(p.polyhedron()).show()
dir(p)
retorna o valor mı́nimo das variáveis do vetor v
retorna o valor mı́nimo da variável v[1]
permite v[1] assumir qq valor real negativo
fixa o valor 6 como limitante superior para v[1]
fixe v[3] como binária
para exibir o poliedro(até 3D naturalmente)
Construtor de uma determinada função.
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Dado o MIP:
..................................................................
p = MixedIntegerLinearProgram()
v = p.new_variable(nonnegative=True)
..................................................................
P5
Inserir a restrição:
i=0 vi ≤ 4
..................................................................
soma = p.sum(v[i] for i in xrange(5))
. . .p.add_constraint(soma,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .max=4)
....................................
P3
Inserir restrição: i=1 vi = 3
..................................................................
soma = p.sum(v[i] for i in xrange(1,4))
. . .p.add_constraint(soma,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .min=3,max=3)
....................................
Informações
. . . . . . . . . . . .sobre
. . . . . .as
. . .restrições:
.............................................
p.constraints() # lista de restriç~
oes
p.constraints(0) # primeira restriç~
ao
p.number_of_constraints()
#
número
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de
. . . .restriç~
. . . . . . . . o. es
.........
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
. Exemplo:
Defina um vetor a com os coeficientes da
função objetivo. Seja n o número de
coordenadas de a.
min x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
s.a.
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 10
x3 + x4 = 4
xi ∈ {1, 2, 3, 4},
i = 1, . . . , 4.
Defina p um PPI e x um vetor de variáveis
inteiras.
P
Faça soma= n
i=1 ai xi e insira a restrição
soma ≥ 10.
P
Faça soma= n−1
i=2 xi e insira a restrição
soma = 4.
Para todo i, fixe o limitante superior
(upper bound) da variável xi em 3.
Seja x̂i , i = 1, ..., n, o conjunto solução do
PPI. Imprima [x̂i , i = 1, ..., n].
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
. Exemplo:
min x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
s.a.
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 10
x3 + x4 = 4
xi ∈ {1, 2, 3, 4},
i = 1, . . . , 4.
MAT 475 – Tópicos em Matemática Aplicada
(Lana Mara R. dos Santos, [email protected])
Aula 11a15: SageMath e Python
Programação linear inteira (mista) no SageMath
Exemplo:
Defina os seguintes elementos:
a = [1, 2, −3, 4], b = ((1, 2, 3, 0), (4, 3, 0, 6)), c = (10, 4).
Defina um PI de minimização e um vetor de variáveis inteiras w.
Pn
Defina a função objetivo i=1 ai wi , em que n = |a|.
Defina as restrições:
Pn
b1i wi = c1
Pi=1
n
i=1 b2i wi ≤ c2
Resolva o PPI
Imprima o valor ótimo e os valores das variáveis não nulas.
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Escrevendo um PLI de forma mais genérica:
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
Problema (tutoria): Considere 5 turmas de 3 disciplinas (MAT0, MAT1 e
MAT2) distribuı́das em um dos possı́veis 5 horários (0-4). Um conjunto de 3
tutores (João, Maria, José) com os seguintes horários livres e disciplinas que
podem ministrar. As tabelas exibem os dados dos tutores (horários livres e
disciplinas que podem ministrar) e das turmas (horário e disciplina).
Tutor
Disponibilidade
MAT
João
Maria
José
0, 1, 3
0, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
1, 2
0, 1
Turma
1
2
3
4
5
Disciplina
Horário
0
0
0
1
1
2
1
0
2
3
Escreva um trecho de código para gerar uma lista tutorTurma em que
cada elemento i é o conjunto de tutores que podem ministrar a turma i.
Imprima em cada linha cada elemento de tutorTurma.
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.........................................................................................
Tutor=(’Jo~
ao’,’Maria’,’José’)
discipTutor=(set([0,1,2]), set([1,2]),set([0,1])) #disciplina_tutor
disponiTutor=((0,1,3),(0,2,3),(1,2)) #horarios disponı́veis
dadosTurma=((0,0),(0,1),(1,2),(1,0),(2,3)) #turma=disciplina,horário
ntutor,nturma=len(Tutor), len(dadosTurma)
ndisc,nhora=3,4
tutorTurma=[]
for j in range(nturma):
linha=set([])
for i in range(ntutor):
if dadosTurma[j][0] in discipTutor[i] and dadosTurma[j][1] in disponiTutor[i]:
linha = linha.union([i])
tutorTurma= tutorTurma + [linha]
print "Tutores que podem ministrar as turmas:\n"
for i in range(nturma):
print "Turma_",i,":",
for j in tutorTurma[i]:
print Tutor[j],
print ""
.........................................................................................
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. Bibliotecas de um especı́fico solver
Seja o MIP:
..................................................................
p = MixedIntegerLinearProgram(solver = "GLPK")
v = p.new_variable(nonnegative=True)
..................................................................
p.solver_parameter("timelimit", 60)
# tempo máximo: 60s
p.get_relative_objective_gap()
# gap
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Programação linear inteira (mista) no SageMath
import datetime
p = MixedIntegerLinearProgram(solver=’GLPK’)
v = p.new_variable(integer=True, nonnegative=True)
coeff,coefb=(1,5,3),(6,8,19)
A=([1,2,-3],[3,-1,1],[2,2,3])
soma=0
for i in range(1,4): soma+=coeff[i-1]*v[i]
Saı́da:
p.set_objective(soma)
v_1 = 0.0
for i in range(1,4):
soma=0
v_2 = 6.0
for j in range(1,4):
v_3 = 2.0
soma+=A[i-1][j-1]*v[j]
zbest= 36.0
p.add_constraint(soma, max=coefb[i-1])
p.solver_parameter("timelimit", 60)
gap = 2.78
timeini = datetime.datetime.now()
bestbound = 37.0
p.solve()
timefim = datetime.datetime.now()
time = 0:00:00.000138
v = p.get_values(v)
for i in range(1,4): print "v_"+str(i),"=", round(v[i],2)
print "zbest=", p.get_objective_value()
print "gap = ", round(100* p.get_relative_objective_gap(),2)
print "bestbound = ", p.best_known_objective_bound()
print "time = ",timefim-timeini