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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO
Instituto de Ciências Exatas
Curso de Matemática
Campus Memorial
GEOMETRIA
Pirâmides
Ananias Rodrigues
911122326
Ana Paula Rodrigues
911108660
Nathan Klein
911124654
São Paulo
2012
Introdução
A pesquisa realizada retrata a história das pirâmides e suas
aritméticas
História
No Egito antigo, a religião que predominava era o politeísmo, ou seja, o culto
a vários deuses. Acreditavam também em vida após a morte e foi este motivo que
causou o surgimento das pirâmides. Construídas por engenheiros para guardar,
junto aos corpos mumificados, pertences de valor que serviriam aos faraós para o
que seria a próxima vida.
As pirâmides eram fortalezas criadas contra saqueadores e o modo como
foram construídas deveria ser guardado em segredo.
O tamanho da pirâmide determinava o poder que o faraó exercia na
população da época. Levavam anos para construí-las e começavam a obra
enquanto vivos.
Muitos se perguntam sobre a preservação das pirâmides, e esta se dá através
da matemática. Matemáticos, engenheiros e arquitetos da época, usavam os
cálculos para maior precisão e simetria, e junto a mão de obra escrava construíam
perfeitos abrigos seguros ao tesouro do faraó.
A pirâmide mais conhecida é a de Quéops, nome este originado em
homenagem ao faraó mais rico do Egito antigo e a única das sete maravilhas do
mundo que resiste ao tempo.
Quéfren e Miquerinos, filho e neto, de Quéops deram continuação e
terminaram as três pirâmides de Gizé, construções estas que acreditam ter
demorado mais de 20 anos e sacrificado muitos homens.
As pirâmides de Gizé são pirâmides de bases retangulares, como mostra a
figura:
Figura 1 – Pirâmides de Gizé
Fonte: HTTP//neccint.wordpress.com
Tales de Mileto usou as pirâmides para provar o seu teorema, hoje em dia,
muito utilizado na matemática para problemas que envolvem razões e proporções.
Há relatos de que Tales foi desafiado a medir a altura da maior pirâmide do
Egito, a de Quéops. E Tales notou que não precisaria medir em si a altura, mas sim
observar a sombra que a pirâmide projetava no solo, e com apenas um bastão e sua
teoria de proporção chegou ao resultado, provando assim, o conhecido por todos,
Teorema de Tales.
Figura 2- demostracao do teorema de tales
Fonte: lapisborrachaepapel.blogspot.com.br/2009/11.htm
Pirâmide e seus elementos
Definição: Pirâmide é um poliedro de base poligonal e faces triangulares que
se encontram em um vértice comum, chamado de vértice da pirâmide.
Tipos de pirâmides:
 Regulares: A base é formada por um polígono regular.
 Irregulares: A base é formada por um polígono irregular.
Classificação das pirâmides pelo número de lados da base:
 Triangular: A base é um triângulo.
 Quadrangular: A base é um quadrado.
 Pentagonal: A base é um pentágono.
E assim sucessivamente. A pirâmide será classificada, então, pelo número de
lados do polígono da base. Observe as figuras:
Figura 3- Exemplos de pirâmides
Fonte: HTTP//WWW.educ.fc.ul.pt/ICM/icm99/icm21/piramides.htm
Pirâmide Regular reta: A base é um polígono regular e a projeção ortogonal do
vértice da pirâmide sobre o plano da base coincide com o centro da base, ou seja, a
altura parte do vértice da pirâmide e vai até o centro do polígono da base.
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. São estas pirâmides
que estudaremos mais a fundo na geometria espacial.
Elementos :
Figura 4- elementos da pirâmide
Fonte: HTTP//WWW.professor.bio.br/matematica/provas_topicos.asp?topico=pir%e2mides
a- Aresta lateral
h- Altura
g- Apótema da pirâmide (altura da face lateral) Segmento OM: Apótema da base
Podemos observar que o triângulo VMO é retângulo e por Pitágoras que
g²=h²+(OM)² - Relação Notável em pirâmides.
Área Lateral de uma pirâmide: Sabemos que em todas as pirâmides as faces
laterais são triângulos, portanto, quando queremos calcular a área lateral de uma
pirâmide, basta analisarmos quantos são os lados do polígono da base, pois são
eles que determinam o número de faces laterais (triângulos) que teremos. E por fim,
como estamos estudando as pirâmides regulares retas, estes triângulos são todos
congruentes. Então teremos:
l- Aresta da base
r- Raio do círculo inscrito
Al = n.Af
Onde, Af é a área de uma face lateral e n é o número de lados do polígono da
base. Podemos concluir esta fórmula usando a planificação da pirâmide, observe:
Figura 5- planificacoes de piramides
Fonte: http//www.oitavoano2011-poliana.blogspot.com.br/2011_05_01_archive.html
É importante lembrar também que área de triângulo depende da altura, e
neste caso, a altura da face lateral é o apótema da pirâmide.
Área Total de uma pirâmide: É a soma da área da base com a área lateral.
Volume de uma pirâmide: Um terço do produto da área da base pela altura,
ou seja, um terço do volume de um prisma de mesma base.
Tronco de Pirâmide: Para obtermos um tronco de pirâmide basta seccionar a
pirâmide. Na figura abaixo o tronco é formado pelas arestas pintadas em vermelho:
Figura 6- Tronco de pirâmide
Fonte: HTTP//WWW.brasilescola.com/matematica/tronco-piramide.htm
Os cálculos de área e volume do tronco de pirâmide podem ser calculados
por exclusão, ou seja, tira-se da área total da pirâmide. E para saber as dimensões
do tronco e da nova pirâmide gerada, basta usar o Teorema de Tales e fazer as
proporções, pois o plano que secciona a pirâmide é paralelo à base.
Tetraedro Regular: É um caso particular de pirâmide triangular, pois as
seis arestas são congruentes e todas as faces são triângulos equiláteros,
portanto todas podem ser consideradas bases da pirâmide.
Figura 7- Tetraedro regular
Fonte: HTTP//WWW.brasilescola.com/matematica/tetraedro.htm
Como todos os triângulos são congruentes e equiláteros, as fórmulas para
área e volume de tetraedro se resume a uma única incógnita : a (aresta), pois
sabemos que a altura no triângulo equilátero pode ser calculada através do lado
deste triângulo, neste caso, a aresta.
Altura do tetraedro regular: Usamos o mesmo método para achar altura de
pirâmide, ou seja, a relação notável g²=h²+(OM)², onde g é a altura de um triângulo
equilátero e o segmento OM calculamos através do baricentro. Então temos:
h = (a√6)/3
Área total do tetraedro regular: A área total é a área de quatro triângulos
equiláteros, portanto:
At = a² √3
Volume de tetraedro regular: Como uma pirâmide seria um terço do produto
da área da base pela altura. Então teremos:
V = (a³ √2)/12
Planificação do tetraedro regular:
Figura 7- Tetraedro regular
Fonte: HTTP//WWW.brasilescola.com/matemática/tetraedro.htm
Conclusão
Observamos com essa pesquisa que desde tempos primórdios as
pirâmides são usadas em diversas áreas e representações não apenas
na geometria espacial.
Referências
HTTP://www.suapesquisa.com/historia/piramides/
HTTP://www.sohistoria.com.br/ef2/egito/piramides.php
HTTP://www.infoescola.com/historia/piramides-do-egito/
HTTP://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm