Forma – Perímetro – Área – Volume – Ângulo

Exercícios de Geometria para Concurso Público
Forma
Perímetro
Área
Volume
Ângulo
Teorema de Pitágoras
1. (G1 - utfpr 2015) Calcule o valor de x, em graus, na figura:
a)
b)
c)
d)
e)
16.
10.
20.
58.
32.
2. (Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a e b são retas paralelas.
A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α é
a) um número primo maior que 23.
b) um número ímpar.
c) um múltiplo de 4.
d) um divisor de 60.
e) um múltiplo comum entre 5 e 7.
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3. (G1 - ifce 2012) Na figura abaixo, R, S e T são pontos sobre a circunferência de centro O.
Se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 42° são as medidas dos ângulos RTS e ROS,
respectivamente, pode-se dizer que
a) a = 30° e b = 60°.
b) a = 80° e b = 40°.
c) a = 60° e b = 30°.
d) a = 40° e b = 80°.
e) a = 30° e b = 80°.
4. (G1 - cftsc 2010) Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo AÔB. Determine o valor de x e
y.
a) x = 13 e y = 49
b) x = 15 e y = 35
c) x = 12 e y = 48
d) x = 17 e y = 42
e) x = 10 e y = 50
5. (Uemg 2015) Num gramado retangular, com dimensões de 15 m por 6 m, é fixado um
esguicho que consegue molhar uma área circular com alcance de um raio de 3 m. Fixando-se
esse esguicho em mais de um ponto, com a finalidade de molhar a maior região possível, sem
se ultrapassar os limites do gramado retangular e sem permitir que a mesma parte da grama
seja molhada duas vezes, ficará ainda uma área do gramado sem ser molhada.
O tamanho aproximado da área que ficará sem ser molhada corresponde a
a) 5,22m2 .
b) 8,56 m2 .
c) 33, 48 m2 .
d) 42,70 m2 .
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6. (Pucrs 2015) Em um ginásio de esportes, uma quadra retangular está situada no interior de
uma pista de corridas circular, como mostra a figura.
A área interior à pista, excedente à da quadra retangular, em m2 , é
a) 50π  48
b) 25π  48
c) 25π  24
25
d)
π  24
2
e) 10π  30
7. (Espm 2014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m
de largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas
por m2 , podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente:
a) 70 mil
b) 60 mil
c) 40 mil
d) 30 mil
e) 50 mil
8. (Fgv 2014) Em certa região do litoral paulista, o preço do metro quadrado de terreno é R$
400,00. O Sr. Joaquim possui um terreno retangular com 78 metros de perímetro, sendo que a
diferença entre a medida do lado maior e a do menor é 22 metros. O valor do terreno do Sr.
Joaquim é:
a) R$ 102 600,00
b) R$ 103 700,00
c) R$ 104 800,00
d) R$ 105 900,00
e) R$ 107 000,00
9. (Ucs 2014) As medidas dos lados de um terreno A , de 50 m2 , em forma de retângulo, são
dadas, em metros, por 3x  2 e x  1.
Pretendendo-se comprar um terreno B com a mesma forma e a mesma relação entre as
medidas dos lados, porém com 250 m2 de área, em quanto deve ser aumentado, em metros, o
valor do parâmetro x ?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 9
e) 14
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10. (G1 - cftmg 2014) A figura 1 é uma representação plana da “Rosa dos Ventos”, composta
pela justaposição de quatro quadriláteros equivalentes mostrados na figura 2.
Com base nesses dados, a área da parte sombreada da figura 1, em cm2, é igual a
a) 12.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
11. (G1 - ifce 2014) O plantio da grama de um campo de futebol retangular foi dividido entre
4
três empresas. A primeira empresa ficou responsável por
da área total, a segunda empresa
7
3
ficou responsável por
da área total e a última empresa pelos 900 m2 restantes. Sabendo-10
se que o comprimento do campo mede 100 m, sua largura é
a) 66 m.
b) 68 m.
c) 70 m.
d) 72 m.
e) 74 m.
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12. (Pucrj 2014) Fabio tem um jardim ACDE com o lado AC medindo 15 m e o lado AE
medindo 6 m, A distância entre A e B é 7 m. Fabio quer construir uma cerca do ponto A ao
ponto D passando por B. Veja a figura abaixo.
a) Se a cerca usada entre os pontos A e B custa 100 reais o metro e a cerca entre os pontos B
e D custa 200 reais o metro, qual o custo total da cerca?
b) Calcule a área da região hachurada ABDE.
c) Considere o triângulo BCD, apresentado na figura abaixo. Sabendo-se que o triângulo BB’D’
possui cateto BB’  2BC, calcule a área do triângulo BB’D’.
13. (Pucrj 2013) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 120 m e 60
m.
Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show:
a) 20 banheiros
b) 36 banheiros
c) 60 banheiros
d) 72 banheiros
e) 120 banheiros
14. (Ibmecrj 2013) Uma emissora de TV, em parceria com uma empresa de alimentos, criou
um programa de perguntas e respostas chamado “UM MILHÃO NA MESA”. Nele, o
apresentador faz perguntas sobre temas escolhidos pelos participantes. O prêmio máximo é de
R$ 1.000.000,00 que fica, inicialmente, sobre uma mesa, distribuído em 50 pacotes com
1.000 cédulas de R$ 20,00 cada um.
Cada cédula de R$ 20,00 é um retângulo de 14cm de base por 6,5cm de altura. Colocando
todas as cédulas uma ao lado da outra, teríamos uma superfície de:
a) 415m2
b) 420m2
c) 425m2
d) 455m2
e) 475m2
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15. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12
metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta
vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura
2).
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 18 m2,
então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a
a) 3,25.
b) 2,75.
c) 3,50.
d) 2,50.
e) 3,00.
16. (Espm 2014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são
retângulos de áreas 6cm2 e 10cm2 , respectivamente.
O volume desse sólido é de:
a) 8 cm3
b) 10 cm3
c) 12 cm3
d) 16 cm3
e) 24 cm3
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17. (Acafe 2014) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1
metro de comprimento, 2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de
3
concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até
da
4
altura.
O volume de água deslocado (em litros) foi de:
a) 4500.
b) 1500.
c) 5500.
d) 6000.
18. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la
no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais
comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado
na figura.
Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada
metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a
silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2m3 desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012
(adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
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19. (Upe 2014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio
montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um
cubo.
Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por
Klécio.
a)
b)
d)
e)
c)
20. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem
comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a uma
vazão de 5.000 litros por hora.
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu:
a) 25cm
b) 27,5cm
c) 30 cm
d) 32,5 cm
e) 35 cm
21. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante,
andou 6 metros na direção norte e parou.
Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser:
a) 8 metros
b) 10 metros
c) 12 metros
d) 14 metros
e) 16 metros
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22. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos
CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo
com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a:
a) 6 cm
b) 5 cm
c) 4 2 cm
d) 5 2 cm
e) 6 2 cm
23. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma
casa.
Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
ˆ e AFE
ˆ são retos.
• Seus ângulos ABE
• AF mede 9 m e BE mede 13 m.
• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .
Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF?
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24. (Enem 2006)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o
comprimento total do corrimão é igual a
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2,0 m.
d) 2,1m.
e) 2,2 m.
25. (G1 1996) No triângulo da figura a seguir, o valor de x é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Os três ângulos juntos formam um ângulo reto, daí:
x  3x  10  x  90  5x  80  x  16.
Resposta da questão 2:
[D]
Os ângulos (60  α  4α )  (60  3α) e 2α  90 são alternos internos. Portanto,
60  3α  2α  90  α  30,
que é um divisor de 60.
Resposta da questão 3:
[A]
De acordo com as propriedades do ângulo inscrito, pode-se escrever que:
b = 2.a
3x + 42° = 2.5x
7x = 42°
x= 6°
Logo, a = 5.6° = 30°
b = 3.6° + 42° = 60°.
Resposta da questão 4:
[E]
y -10o = x + 30o  y = x + 40o (OP é bissetriz)
2y + y – 10º + x + 30o = 180o  3y + x = 160º
Resolvendo o sistema
 y  x  40 o

temos:

o

3 y  x  160
º
x = 10 e y = 50
º
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Resposta da questão 5:
[C]
Considere a figura, em que estão indicadas duas possíveis posições do esguicho.
A área que não será molhada é igual a
15  6  2    32  33,48 m2.
Resposta da questão 6:
[B]
O triângulo retângulo definido pelos lados da pista e sua diagonal, é semelhante ao triângulo
retângulo de lados 3, 4 e 5. Logo, o outro lado da pista mede 8 m.
A área pedida é dada por
π  52  8  6  (25π  48) m2.
Resposta da questão 7:
[C]
O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja,
1500  18  1,5  40500  40.000.
Resposta da questão 8:
[B]
Sejam a e b as dimensões do terreno, com a  b. Logo,
2  (a  b)  78
a  b  39


a  b  22
a  b  22
61

a  2 m

.
b  17 m

2
Daí, segue que o valor do terreno do Sr. Joaquim é
61 17
  400  R$ 103.700,00.
2 2
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Resposta da questão 9:
[B]
Sendo 50 m2 a área do terreno retangular de dimensões 3x  2 e x  1, segue que
(3x  2)(x  1)  50  3x 2  x  52  0
 x  4 m.
Se x  x0 é o valor de x tal que (3x0  2)(x0  1)  250, temos
3x02  x0  252  0  x0  9.
Portanto, o parâmetro x deve ser aumentado em 9  4  5 metros.
Resposta da questão 10:
[D]
A área pedida é dada por
 1 2  2 1 2  11
2
4 
 
  4  6  24cm .
2
2
2 2 
Resposta da questão 11:
[C]
Seja
a largura do campo.
Tem-se que
61 9
4 3 
1     1

.
70 70
 7 10 
Portanto,
9
 100   900 
70
 70 m.
Resposta da questão 12:
a) Vamos supor que ACDE seja um retângulo.
Temos BC  AC  AB  15  7  8 m. Daí, sendo AE  CD  6 m, aplicamos o Teorema de
Pitágoras no triângulo BCD para encontrar BD  10 m.
Por conseguinte, o custo total da cerca é igual a 7  100  10  200  R$ 2.700,00.
b) Se ACDE é um retângulo, então
AB  DE
 AE
2
7  15

6
2
(ABDE) 
 66 m2 .
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c) Como BB'  2  BC  16 m e B'D'  CD  6 m, segue que o resultado pedido é
1
 BB'  B'D'
2
1
  16  6
2
(BB'D) 
 48 m2 .
Resposta da questão 13:
[D]
Como a área do terreno mede 120  60  7200 m2, segue que havia no show
7200
 72
100
banheiros.
Resposta da questão 14:
[D]
Temos 50  1000  50000 cédulas. Logo, a área da superfície ocupada por essas cédulas é
dada por
50000  14  6,5  4550000cm2
 455 m2 .
Resposta da questão 15:
[E]
Sabendo que (12  2x)  x  18 m2, vem
x2  6x  9  0  (x  3)2  0  x  3 m.
Resposta da questão 16:
[C]
Temos
(ABCD)  AB  BC  AB  2  6
 AB  3cm
e
(BCFE)  BC  BE  2  BE  10
 BE  5cm.
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE  4cm.
Por conseguinte, o resultado pedido é
AB  AE
34
 BC 
 2  12cm3 .
2
2
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Resposta da questão 17:
[B]
Como
3
 0,75, segue-se que o resultado pedido é
4
1 2  5  (0,75  0,6)  1,5 m3  1500 L.
Resposta da questão 18:
[A]
Como h  2 m, segue-se que b  6  2  0,5  5 m. Logo, segue que o volume total do silo é
65
3
igual a 
  20  220 m . Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa
 2 
220
2 m3 , podemos concluir que o resultado pedido é
 110 toneladas.
2
Resposta da questão 19:
[D]
A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da
alternativa [D].
Resposta da questão 20:
[E]
O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a 3,5  5000  17.500
litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que
10  5  h  17,5  h  0,35 m  35cm.
Resposta da questão 21:
[B]
Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte
de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida
corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de
Pitágoras, vem
2
2
2
2
BC  AC  AB  BC  82  62
 BC  100
 BC  10 m.
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Resposta da questão 22:
[A]
2
Como o quadrado ABCD tem área igual a 10cm2 , vem que AB  10cm2 .
De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo
retângulo de catetos CP  4cm e AC  AB 2 cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras,
obtemos
2
2
2
2
PA  AC  CP  PA  (AB 2)2  CP
2
2
 PA  2  10  42
2
 PA  36
 PA  6cm.
Resposta da questão 23:
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos
2
AE  92  (AB  2)2
e
2
2
AE  AB  132.
Logo,
2
2
81  AB  4  AB  4  AB  169  AB  21m.
Portanto, AB  21m e EF  23 m.
Resposta da questão 24:
[D]
Considere a figura, em que BC  x.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos
x2  902  1202  x  22500  150cm  1,5 m.
Portanto, o comprimento total do corrimão é 1,5  2  0,3  2,1m.
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Resposta da questão 25:
[B]
Altura = h
(3,8)2  h2  52
2
2
(10  3,8)  h  x
[I]
2
[II]
Fazendo a diferença [II] – [I]:
(10  3,8)2  h2  (3,8)2  h2  x 2  52
(10  3,8)2  (3,8)2  x 2  52
100  38  38  (3,8)2  (3,8)2  x  52
100  76  x 2  52
 x 2  100  76  25
x 2  49  x  7
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