Cálculo Diferencial e Integral I

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Cálculo 1
6ª Lista de Exercícios – Aplicações diversas das Derivadas Parciais
1. Uma artesã produz certo artigo com um custo mensal dado pela função
O preço de venda de uma unidade de tal artigo é R$ 31,00. Assinale a alternativa correspondente à
quantidade que deve ser produzida e vendida para que ela obtenha o lucro máximo mensal.
a) 3
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
2. Um paciente com câncer apresenta um tumor com formato esférico. Sabendo-se que o raio do tumor
cresce a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor no instante em
que seu raio for de 0,5 cm?
a) 10p cm3/dia
b) p cm3/dia
c) 0,1p cm3/dia
d) 0,01p cm3/dia
e) 0,001p cm3/dia
3. A função f(x) = x2 - 2x é decrescente no intervalo:
a) –4 < x < 1
b) x < –4
c) x < 1
d) x > 1
e) –1 < x < 4
4. Um reservatório possui o formato de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.
No tempo t = 0, certo líquido começa a entrar no tanque à razão de 25 m3/h. Assinale a alternativa que
informa corretamente a velocidade com que o nível do líquido sobe e o tempo que será gasto para se
encher o tanque completamente.
a) p metros/hora e 10 horas
b)
1

metros/hora e 10 horas
c) 2  metros/hora e 5 horas
d) 4  metros/hora e 2,5 horas
e) NDA.
5. Um pecuarista possui 200 cabeças de gado, sendo que cada animal pesa, atualmente, 300 kg. Até agora,
ele gastou R$ 380.000,00 com a criação dos bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter cada
um deles. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1,5 kg/dia. O preço de venda, no dia de hoje, é
de R$ 18,00 o quilo, mas sabe-se que diminuirá R$ 0,05 por dia.
Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para vender seu gado a fim de obter o lucro máximo?
a) 60 dias.
b) 67 dias.
c) 72 dias.
d) 79 dias.
e) 87 dias.
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6. Uma fábrica de latas recebeu uma encomenda de latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguais a 500
cm3. As dimensões (altura e raio das bases, respectivamente) com as quais é possível fabricar-se latas
utilizando-se o mínimo de material são:
a) 8,6 cm e 4,3 cm.
e) 5,6 cm e 7,3 cm.
b) 4,3 cm e 8,6 cm.
c) 5,4 cm e 5,4 cm.
d) 7,3 cm e 5,6 cm.
7. Um balão esférico é inflado com gás hélio à taxa de 20 m3/min. Com que velocidade o raio do balão está
variando no instante em que seu raio é de 2 metros?
8. Um vírus recentemente descoberto tem sua disseminação modelada pela função P(t) = t3 + 12t2,
0 ≤t ≤12, em que P corresponde ao número de pessoas infectadas (medido em centenas), e t é o tempo,
em semanas.
Assinale a alternativa correspondente ao número máximo de pessoas que provavelmente serão infectadas
por esse vírus.
a) 19 800 pessoas.
b) 25 600 pessoas.
c) 28 400 pessoas.
d) 32 100 pessoas.
e) Nda.
9. Um navio petroleiro de grandes proporções descarrega petróleo num atracadouro distante 4 km da costa. A
refinaria mais próxima encontra-se 9 km à direita do ponto da costa que está mais próximo do atracadouro,
conforme indicado na figura a seguir. Deseja-se construir uma tubulação que conecte o atracadouro à
refinaria.
O quilômetro de duto subaquático custa R$ 300.000,00; já os dutos terrestres custam R$ 200.000,00, por
quilômetro. Admitindo que a costa seja retilínea, determine a distância do ponto B ao ponto A que minimiza
os custos de construção e marque a alternativa correspondente.
a) 1,71 km
b) 2,22 km
c) 3,58 km
d) 4,63 km
e) 5,42 km
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10. A fim de se preparar para possíveis períodos de recessão, um empresário que fabrica e vende um artigo
popular contrata um analista para determinar quando as vendas de seu produto começarão a cair. O
analista verificou que, até o presente momento, as vendas podem ser modeladas pela equação V(t) = t1/3
+ 100, em que t é o número de dias após o início das vendas e V é o número de vendas por semana.
Admitindo que esta tendência continuará no futuro, o analista respondeu que:
a) as vendas começarão a cair daqui a 100 dias.
b) as vendas começarão a cair daqui a 180 dias.
c) as vendas começarão a cair daqui a 200 dias.
d) as vendas começarão a cair daqui a 360 dias.
e) as vendas jamais começarão a cair.
Gabarito
1 2 3
C E A
4
B
5
B
6
A
7
D
8
B
9
C
10
E