Matemática – 7° Ano

7º Ano
Equações..................................................................................................................... 6
Equações do primeiro grau com uma incógnita
Princípio aditivo das igualdades
Princípio multiplicativo das igualdades
Equações equivalentes
Equações do primeiro grau com duas incógnitas
Sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas
Inequação do primeiro grau...................................................................................... 25
Princípio aditivo das desigualdades
Princípio multiplicativo das desigualdades
Ângulos........................................................................................................................ 33
Ângulos consecutivos
Ângulos adjacentes
Bissetriz de um ângulo
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V)
Ângulos complementares
Ângulos suplementares
Razão........................................................................................................................... 47
Razão inversa
Razão na forma percentual
Proporção................................................................................................................... 53
Propriedade fundamental das proporções
Grandezas proporcionais.......................................................................................... 58
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais
Regra de três simples
Simetria....................................................................................................................... 65
Pesquisando e analisando gráficos.......................................................................... 67
5
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Equações
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM UMA INCÓGNITA
Equação – prefixo equa,
em latim, quer dizer igual.
Equação é uma sentença matemática expressa por
uma igualdade, na qual aparecem uma ou mais letras
que representam números desconhecidos, chamados de
incógnitas.
Situação-problema
Dona Cristina levantou cedo e foi à feira. Além das verduras e frutas resolveu também levar
um frango para o almoço de domingo.
Ao verificar o feirante pesar o frango, dona Cristina ficou curiosa, pois a balança utilizada
não era eletrônica, comum na maioria dos comércios atualmente, e sim uma balança
mecânica, conforme ilustração a seguir:
Dona Cristina, sem entender muito bem, perguntou ao feirante:
Como o senhor saberá
o peso dos frangos?
A utilização desse tipo
de balança é simples, eu
vou explicar.
A balança significa equilíbrio, e como temos dois pratos de pesagem, logo os pesos nos
pratos devem ser iguais para que a balança permaneça em equilíbrio.
Observe:
A balança nos indica uma igualdade.
=
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Quando colocamos o frango de um lado da balança, ela fica desequilibrada.
Veja:
A balança em desequilíbrio significa que o peso de um de
seus lados é maior do que o peso do outro.
Para reequilibrar esta balança, precisamos colocar alguns
pesos do lado oposto ao frango, até que se faça valer a
igualdade inicial, isto é, o equilíbrio.
Observe que a balança voltou a ficar em equilíbrio.
Isto significa que o peso do frango que está de um lado da balança é igual ao peso do
lado oposto.
Logo: frango = 2 kg
Em Matemática, esse tipo de situação é chamada de equação e pode ser descrita da
seguinte forma:
A balança representa a igualdade (=).
O frango representa a incógnita, isto é, o valor desconhecido (x).
E os pesos, o valor numérico que torna verdadeira essa igualdade.
Em geral, a incógnita ou valor
desconhecido é representado pelas
letras do nosso alfabeto.
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Neste exemplo, matematicamente temos: x = 2 kg
Ou seja, o frango pesa 2 kg.
x
=
a
b
(1º membro)
1º membro
2º membro
2 kg
(2º membro)
Todos os valores que aparecem antes do sinal de igual.
Todos os valores que aparecem depois do sinal de igual.
Definição: Equação de 1º grau é toda equação na incógnita x que pode ser escrita na forma
ax + b = 0, em que a e b são coeficientes numéricos, com a ≠ 0.
O objetivo, ao resolvermos uma equação, é encontrar o valor desconhecido.
Exemplo:
A balança está em equilíbrio. Qual é o peso da melancia?
Simbolicamente temos: x + 3 = 10
Precisamos encontrar
o valor de x.
Qual o valor que
somado a 3 resulta 10?
Eu sei! É o 7, pois 7 + 3 é igual a 10.
Isso mesmo! Parece
que você entendeu.
É, eu entendi, mas sempre
teremos que ficar tentando
descobrir o valor de x?
Não. Existem algumas regras práticas
que facilitam encontrarmos o valor de x.
Observe o processo de resolução.
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Princípio Aditivo das Igualdades
Adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade,
mantemos essa igualdade:
Se
a=b
Então: a + c = b + c
Se
a=b
Então: a – c = b – c
Ou seja, quando somamos ou subtraímos a mesma quantidade nos dois pratos de uma
balança em equilíbrio, ela continua em equilíbrio.
De acordo com o exemplo anterior temos:
x + 3 = 10
• Para isolarmos o x, precisamos deixá-lo sozinho em um dos lados da igualdade.
•O valor que impede que x fique sozinho no primeiro membro é o número 3. Logo,
utilizaremos o princípio aditivo da igualdade, subtraindo-se 3 dos dois membros.
Atenção!
x + 3 = 10
Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais
diferentes são chamados opostos.
x + 3 – 3 = 10 – 3
Exemplos:
x=7
– 1 é o oposto de + 1, assim como, + 1 é o oposto de – 1.
– 2 é o oposto de + 2, assim como, + 2 é o oposto de – 2.
Outros exemplos:
a)
b) 7 – 4 + x – 1 = 8 – 17
x – 8 = 13
x – 8 + 8 = 13 + 8
7 – 4 – 1 + x = 8 – 17
x = 21
2
+x= –9
2–2+x=–9–2
x = – 11
c) – 5 + x + 3 = 2
–5+5+x+3–3=2+5–3
–5+x +3=2
ou
–2+x=2
x=4
–2+2+x=2+2
x=4
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Princípio Multiplicativo das Igualdades
Multiplicando ou dividindo por um mesmo número diferente de zero ( 0 ), os dois membros
de uma igualdade, mantemos essa igualdade:
Se
Se
a=b
Então a . c = b . c
a=b
Então a = b
c
c
Ou seja, quando multiplicamos ou dividimos a mesma quantidade nos dois pratos de uma
balança em equilíbrio, ela continua em equilíbrio.
Lembre-se:
A divisão é a operação inversa da multiplicação e vice-versa.
Exemplo:
2x = 6
• Novamente precisamos isolar o x, deixando-o sozinho em um dos lados da igualdade.
• O valor que impede que x fique sozinho no 1º membro é o 2. Logo, utilizaremos o princípio
multiplicativo das igualdades, dividindo por 2 os dois membros.
÷2
simplificando
÷2
Outros exemplos:
a) 5x + 2 – 3x + 7 = – 1
5x – 3x + 2 + 7 = – 1
2x + 9 – 9 = –1 – 9
2x = –10
10
2x
=2
2
x=–5
b)
Neste caso, devemos
deixar os valores de x
somente de um lado da
igualdade.
– 8x + 3 = 5x – 1
– 8x + 3 – 5x = 5x – 1 – 5x
– 13x + 3 = – 1
– 13x + 3 – 3 = – 1 – 3
-13x
-4
=
-13
-13
Atenção com
os sinais!
x=
4
13
10
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c)
3x
1
=
4
2
3x . 2 = 4 . 1
6x = 4
6x
4
=
6
6
x =
4
6
simplificando x =
4÷2
6÷2
=
2
3
EQUAÇÕES EQUIVALENTES
Equações equivalentes são aquelas que apresentam a mesma solução ou raiz.
Exemplo:
x+4=6
x=6–4
x=2
S={2}
S={2}
S={2}
Todas essas equações
apresentam a mesma solução
ou raiz. S = { 2 }
1. Complete o quadro abaixo:
2. Dois meninos, um de 30 Kg e outro de 40 Kg, equilibram três
irmãos em uma gangorra. Um dos irmãos pesa 20 Kg e os outros
dois são gêmeos idênticos cujos pesos são iguais. Quanto pesa
cada um dos gêmeos?
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3. O perímetro do retângulo abaixo é 60 m.
Lembre-se: Perímetro é a
soma dos lados de uma figura
plana.
2x
x
a) Escreva uma equação para o perímetro do retângulo.
b) Resolva essa equação e determine quanto mede os lados desse retângulo.
4. Qual é a idade atual de Vinícius se daqui a 8 anos ele terá 26 anos?
Minha idade é...
5.
Qual é o número cujo triplo menos 12 é igual a 30?
6. Mariana e Norma são duas amigas que colecionam papéis de carta. Mariana
resolveu dar 13 papéis de sua coleção para Norma e ainda ficou com 45.
Quantos papéis tinha Mariana antes de dar alguns deles para Norma?
7. Resolva as equações:
a) 3x = 9
b) 7y – 5 = 5y – 9
c) 2x + 6 = x + 2
d) 3a – 4 + a = 2a
8. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades
juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
cidade A
cidade B
12
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9. A soma das idades de Ana Beatriz e Giovanna é 22 anos. Descubra as idades
de cada uma delas, sabendo que Giovanna é 4 anos mais nova do que Ana
Beatriz.
10. Determine o valor de x em cada uma das equações abaixo:
11. Observe os pares de equações abaixo e identifique as equivalentes.
3
a) x + 5 = 0 e x = – 5
b) 3x = 3 e x =
2
c) x – 4 = 6 e x + 4 = 6
d) 2x = – 20 e x = – 10
(Olimpíada de Matemática-SP) Numa balança de Roberval
(de dois pratos), um tijolo (inteiro), colocado num dos pratos, é
equilibrado colocando-se no outro prato um peso de
e
3
de tijolo. Qual é o peso do tijolo inteiro?
4
3
de quilo
4
13
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Fonte: Texto disponível em: <http://www.portaldascuriosidades.com/forum/index.
php?topic=35324.0> Acesso em: jun.2010.
Equações do primeiro grau com duas incógnitas
Existem algumas situações em que uma sentença matemática nos apresenta duas incógnitas,
como por exemplo: x + y = 3, quando isso ocorre denominamos esta sentença de equação do
1º grau com duas incógnitas.
Exemplos:
• É possível encontrarmos infinitas soluções para uma equação do 1º grau com
duas incógnitas.
• As duas incógnitas ( x, y ) que representam a solução da equação são chamadas
de par ordenado, onde o primeiro número representa sempre o valor de x e o
segundo representa sempre o valor de y.
Indicamos: Par ordenado ( x, y ).
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E onde nós utilizamos esta equação
de 1º grau com duas incógnitas?
É possível utilizarmos em nosso
dia-a-dia?
Claro que sim! Observe a
situação a seguir.
Situação-problema
Ao somar as idades de Shala e Tabata obtemos um total de 11 anos. Quais são as possíveis
idades de cada uma delas?
Para solucionarmos esse problema,
primeiramente, devemos indicar as idades
de cada uma delas por uma incógnita.
x = idade de Shala
x + y = 11
y = idade de Tabata
Vamos montar uma tabela para determinar as possíveis idades.
Os valores indicados na coluna dos pares ordenados são as possíveis soluções do problema.
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Sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas
Situação-problema
Ao término do campeonato paulista, o campeão tinha um ponto de vantagem sobre o
vice-campeão. Durante todo o campeonato os dois times somaram juntos 83 pontos. Quantos
pontos cada um acumulou nesse campeonato?
x
y
número de vitórias do campeão
número de vitórias do vice-campeão
• A soma dos pontos dos times é representada por x + y = 83.
• O número de pontos do campeão é igual ao número de pontos do vice mais um ponto,
representado por x = y + 1.
x + y = 83
x = y + 1
(a)
(b)
Podemos solucionar esse sistema de duas formas:
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Escreve-se a equação (a) em função de (b) ou vice-versa colocando-se o valor obtido na
outra equação, que é então resolvida.
x + y = 83
x=y+1
(a)
(b)
Como x já está isolado na equação (b), basta substituirmos o valor de x na equação (a).
x + y = 83
(y + 1) + y = 83
y + 1 + y = 83
onde, x = (y + 1)
Como y representa o número de pontos
do vice-campeão, logo concluímos que o
vice-campeão obteve 41 pontos.
2y + 1 = 83
2y + 1 – 1 = 83 – 1
82
2y
=
2
2
E x? Quanto vale?
x = 41
Agora que já sabemos o valor de y, basta
substituí-lo em qualquer equação para
encontrarmos o valor de x.
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Veja:
x = y + 1
onde y = 41
x = 41 + 1
x = 42
Como x representa o número de
pontos do campeão, logo concluímos
que o campeão obteve 42 pontos.
MÉTODO DA ADIÇÃO
Somam-se as equações (a) e (b) para eliminarmos uma das incógnitas.
x + y = 83
x=y+1
(a)
(b)
Primeiro, devemos isolar as incógnitas no 1º membro.
x + y = 83 (a)
x = y + 1 (b)
incógnitas no 1° membro
x–y=y–y+1
x–y=1
incógnitas no 1° membro
Logo,
x + y = 83
x – y = 1
(a)
(b)
Agora é só somar as equações.
Observe:
x + y = 83
+x–y= 1
2x = 84
x=
Agora eu sei! Como já sabemos o valor de
x, basta substituí-lo em qualquer equação
para determinarmos o valor de y.
84
2
x = 42
Isso mesmo.
17
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Veja:
x + y = 83
onde, x = 42
42 + y = 83
42 – 42 + y = 83 – 42
y = 41
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (42, 41).
Outro exemplo:
Determine o conjunto solução do sistema:
x + y = 17 (a)
2x + 4y = 48 (b)
Método da substituição
x + y = 17 (a)
2x + 4y = 48 (b)
x + y – y = 17 – y
2(17 – y) + 4y = 48
x = 17 – y
34 – 2y + 4y = 48
onde, x = 17 – y
34 – 34 + 2y = 48 – 34
2y
14
=
2
2
y=7
Agora, substituímos y em uma das equações para determinar x.
x + y = 17 (a)
onde, y = 7
x + 7 = 17
x + 7 – 7 = 17 – 7
x = 10
Solução (10, 7)
Método da adição (ou subtração)
x + y = 17 (a)
2x + 4y = 48 (b)
Na equação (b), todos os elementos
podem ser simplificados por 2.
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Observe:
2x + 4y = 48 (÷2)
Então:
x + 2y = 24
x + y = 17 (a)
x + 2y = 24 (b)
Neste caso, iremos subtrair as equações.
–
x + y = 17
x + 2y = 24
– y = – 7
y=7
Agora, substituindo o valor de y em uma das equações.
x + y = 17
onde y = 7
x + 7 = 17
x + 7 – 7 = 17 – 7
x = 10
Solução (10, 7)
Tanto o método da substituição quanto o método da adição (ou subtração),
nos indicam uma mesma solução para o sistema. Então, escolha a melhor forma
de resolução e divirta-se com as atividades a seguir.
1. Igor e Wellington colecionam figurinhas do campeonato brasileiro
de futebol, os dois amigos têm juntos 15 figurinhas da equipe do
Cruzeiro. Quais os possíveis números de figurinhas dessa equipe
que cada um possui?
2. Num torneio de voleibol, somam-se 3 pontos por vitória e 1 ponto por
derrota. Se a equipe de Ana Claudia obteve 15 pontos, quantas partidas
sua equipe venceu e quantas perdeu? Indique todas as possibilidades.
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3. A soma entre as idades de Lauro e Vinícius é de 22 anos e a diferença é de
8 anos. Quantos anos têm cada um, sendo Lauro o mais velho?
4. Resolva os seguintes sistemas:
a) x – y = 1
x+y=9
b)
x+y=4
2x – y = 5
b) 7x + y = 42
3x – y = 8
c)
4x = y
x+y=5
5. Em um estacionamento temos x motos e y carros. São 15
veículos e 50 pneus. Quantas motos e quantos carros há nesse
estacionamento?
6. (Moji-SP) Se
(A) 1
x– y =0,
2x + 3y = 5
(B) 2
então x2 + y2 é igual a:
(C) 3
(D) 4
(E) 5
7. (Cesgranrio-RJ) Numa carpintaria empilham-se 50 tábuas, algumas
de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é 154 cm. A
diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
(E) 25
8. Veja na tabela as taxas de crescimento vegetativo de alguns países da América em 2009.
No sistema de equações a seguir, os números x e y representam as taxas de dois desses
países. Resolva o sistema e descubra quais são esses dois países. Faça uma pesquisa e
verifique o que significa crescimento vegetativo.
x – y = 0,8
2x – 3y = 0,6
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9. (Saresp-SP) Na promoção de uma loja, uma calça e uma camiseta custam juntas R$ 55,00.
Comprei 3 calças e 2 camisetas e paguei o total de R$ 140,00. O preço de cada calça e de
cada camiseta, respectivamente, é:
(A) R$ 35,00 e R$ 20,00.
(B) R$ 20,00 e R$ 35,00.
(C) R$ 25,00 e R$ 30,00.
(D) R$ 30,00 e R$ 25,00.
Desafio 1
Um queijo pesa 1 Kg + meio queijo.
Quanto pesa 1 queijo e meio?
Desafio 2
Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas.
Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo quando o burro lhe disse:
De que te queixas? Se eu tomasse um saco
dos teus, minha carga passaria a ser o dobro da
tua. Por outro lado, se eu te desse um de meus
sacos, tua carga igualaria a minha!
Quantos sacos levava cada um dos animais?
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NUMERADINHA
Resolva os sistemas e complete a numeradinha primeiro com o valor de x, depois com o
de y, ambos por extenso. (Obs.: o quadrado pintado de amarelo separa o valor de x do valor
de y).
1.
2x + y = 10
3x – 2y = 1
2.
2x + 3y = 10
4x – y = –1
3.
x + y = 20
2x + 4y = 56
4.
x + y = 23
2x +4y = 82
5.
x + y = 25
x – y = 13
6.
x = 3y
x + y = 100
7.
x = 2y
x + y = 30
8.
x+y=4
2x – 3y = 3
9.
x + y =17
6x = 7y + 24
10. 2x + 3y = 19
x – y = –3
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Nome: _______________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Escreva as questões em linguagem matemática: use “x” para representar as variáveis.
a) O dobro de um número: __________
b) Um número menos 12: _________
c) O triplo de um número mais 1: __________
d) Metade de um número: __________
e) O quádruplo de um número menos 8: __________
2. (ENCCEJA-2002) Considere a balança da figura em equilíbrio. O número representado
pela letra x é:
(A) 7.
(B) 6.
(C) 5.
(D) 4.
x kg
x kg
5kg
13kg
3. Rita e Filipa participaram de um processo de colheita de maçã. Ao todo as duas colheram
300 kg de maçãs, tendo Rita colhido o quádruplo da quantidade de maçãs que Filipa colheu.
Supondo que f represente a quantidade, em kg, de maçãs colhidas por Filipa.
a) Qual das seguintes equações expressa o problema enunciado?
(A) 4f = 300
(B) f + 4f = 300
(C) 300 + f = 4f
(D) f + 4 + f = 300
b) Quantos quilos de maçãs colheu cada uma das amigas?
4. (UF-CE) O valor de x que é solução da equação
(A) 36
(B) 44
(C) 52
1
1
x
1
+
+
=
é igual a:
3
4
48
2
(D) 60
5. (Saresp-2008) Determine um número real “a” para que as expressões
sejam iguais.
(A) 18 (B) 19
(C) 20
(2a + 10)
(3a + 6)
e
6
8
(D) 22
23
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6. Uma casa com 260m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a
área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m²?
(A) 18 m² (B) 35m²
(C) 40m²
7. (Saresp-2008) Numa adição de três parcelas, a primeira é
parcela é
(D) 52m²
1
da segunda e esta segunda
2
1
da terceira. Se a soma é 297, as parcelas são:
3
(A) 27, 54 e 162. (B) 33, 66 e 198.
(C) 81, 99 e 162.
(D) 27, 54 e 198.
8. Numa caixa registradora existem 40 notas: umas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00, num total
de R$ 325,00. Chamando de x o número de notas de R$ 10,00 e de y o número de notas de
R$ 5,00, podemos dizer que o número de notas de R$ de 10,00 e R$ 5,00, respectivamente,
são:
(A) 13 e 27.
(B) 22 e 18.
(C) 25 e 15.
(D) 20 e 20.
9. (Colégio Militar de Porto Alegre) Em uma caixa, que custa R$ 30,00, são acondicionados 5
kg de maçãs e de peras. Se o quilograma de peras custa R$ 4,00 e o quilograma de maçãs
custa R$ 9,00, podemos afirmar que, nessa caixa, existem:
(A) 2 kg de peras.
(B) 3 kg de peras.
(C) 4 kg de peras.
(D) 3 kg de maçãs.
10. Em um terreno há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as
galinhas e os coelhos?
x + y = 23
2x + 4y = 82
(A) x = 1 e y = 22
(B) x = 3 e y = 20
(C) x = 2 e y = 21
(D) x = 5 e y = 18
24
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Inequação do Primeiro Grau
Situação-problema
Para preparar um amaciante de roupas, Dona Dirce lê na embalagem que
deve acrescentar ao seu conteúdo 5 litros de água. Ela obteve com essa
mistura um volume maior que o sêxtuplo do volume inicial da embalagem.
Como podemos representar tal situação com essa desigualdade?
Se considerarmos como x o volume da embalagem, teremos:
x + 5 > 6x
Que é uma inequação do primeiro grau com uma incógnita.
Uma sentença será chamada de inequação se for expressa por uma desigualdade.
5 = 5 igualdade
Sinais de desigualdade
5≠3
5>2
5<6
desigualdades
5≠6
Simbologia
Leitura
≠
diferente
>
maior que
<
menor que
≥
maior ou igual
≤
menor ou igual
Como nas equações, as inequações também
possuem dois membros.
Veja:
x+5
1° membro
>
6x
2° membro
Para que possamos resolver a inequação do exemplo anterior e todos os outros tipos de
inequações, é necessário conhecermos as propriedades fundamentais da desigualdade.
25
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PRINCÍPIO ADITIVO DAS DESIGUALDADES
Se adicionarmos ou subtraírmos aos dois membros de uma desigualdade uma mesma
quantidade “m” (m > 0 ou m < 0), a desigualdade não mudará de sentido.
Exemplos:
a)
2x + 5 > x
2x + 5 – 5 > x – 5
Neste caso, subtraímos 5 nos dois membros da desigualdade.
2x > x – 5
2x – x > x – x – 5
E aqui subtraímos x, também nos dois membros.
x >–5
b)
2x – 3 < x + 3
2x – 3 + 3 < x + 3 + 3
Somando 3 nos dois membros.
2x < x + 6
2x – x < x – x + 6
Subtraindo x nos dois membros.
x<6
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DAS DESIGUALDADES
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por uma mesma
quantidade m (m > 0), ela não muda de sentido, mas, ao multiplicá-los por uma quantidade
m (m < 0), a desigualdade mudará de sentido.
Exemplos:
a)
2x > 5
Veja que 4 > 0. Logo, o sinal da
desigualdade não muda.
4 . (2x) > 4 . 5
8x > 20
8x
20
>
8
8
x >
5
2
Note também que 8 > 0. Desse
modo, o sinal da desigualdade
permanece o mesmo.
26
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Observe:
Cinco é maior que dois.
5>2
3.5>3.2
15 > 6
Quinze também é maior que seis.
Dez é maior que quatro.
10 > 4
4
10
>
2
2
Cinco também é maior que dois.
5>2
b)
2x > 5
– 4 . (2x) < – 4 . 5
– 8x < – 20
- 8x -20
>
-8
-8
x>
Observe:
5
2
10 > 4
Veja que – 4 < 0. Logo, o sinal da
desigualdade muda de lado.
Note também que – 8 < 0. Desse
modo, o sinal da desigualdade
muda novamente.
Dez é maior que quatro.
– 3 . 10 < – 3 . 4
– 30 < – 12
– 30 < – 12
Menos trinta também é menor que menos doze.
Menos trinta é menor que menos doze.
–12
–30
>
–6
–6
5>2
Cinco também é maior que dois.
27
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Ao utilizarmos os sinais (menor ou igual, ≤) ou (maior ou igual, ≥), o processo de resolução
das inequações será o mesmo visto anteriormente.
Veja:
a) x + 1 ≥ 5
x+1–1≥5–1
x≥4
b)
2x + 3 ≤ 6
2x + 3 – 3 ≤ 6 – 3
c)
– 4x – 1 ≥ 5
– 4x – 1 + 1 ≥ 5 + 1
3
2x
≤
2
2
x≤
6
-4x
≤
-4
-4
3
2
x≤-
3
2
1. Complete a tabela abaixo:
Sentença
3x + 6 = 5
– 4x + 5 > 2
x
7x
- 10 =
+x
4
3
2x – 12 ≥ x + 4
– 5x – 2x < 6 + 5x
x+4≤3+5
equação
inequação
1° membro
2° membro
2. Numa premiação em que Gustavo, Danilo, Marcelo, Douglas e Alexandre participaram,
as respostas das inequações correspondiam a um certo prêmio. Vamos descobrir qual
prêmio cada um ganhou?
28
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3. Observe que a balança não está em equilíbrio.
1kg
1kg 1kg
10kg
a) Qual a inequação que representa essa situação?
b) Quais os possíveis valores para x?
4. Determine a solução das seguintes inequações:
x
x
5. Qual é o valor inteiro que podemos atribuir à incógnita x na
figura para que seu perímetro seja maior que 48 unidades de
comprimento?
4x
x
d) x ( 4 ) – 3 + 2 (– 2x + 1 ) < x + 3
e) ( 2 + 5x ) (– 3 ) + 1≥x – 6
f) 9x – 8 > 11x – 10
2x
a) 2 ( x – 3 ) – 3 ( 2x + 1 ) ≤ 4
b) 5 ( 2x – 3 ) – 2 ( 3x – 1 ) > 5 – x c) 3x < x + 6
3x
6. Indicando por x o número de letras de uma palavra, assinale a palavra para qual a inequação
x < 6 pode ser aplicada:
(A) Matemática
(B) professor
(C) quadrado
(D) lados
7. Numa cidade, cada indústria que se instala recebe benefícios fiscais, desde que o número
de empregados residentes seja sempre maior que o número de empregados vindos de outras
cidades. Sabendo que, numa certa indústria , 20 empregados residem nas cidades vizinhas
e sendo x o número de empregados que residem na própria cidade, qual é a inequação que
satisfaz a condição da indústria receber os benefícios fiscais?
(A) x < 20
(B) x ≥ 20
(C) x > 20
(D) x ≤ 20
8. A população brasileira está vivendo mais. São os indicadores de esperança de vida ao nascer
e de taxa de mortalidade infantil que confirmam esse processo. De modo geral, esses índices
permitem avaliar as condições de vida e o estado de saúde de um país. Confira o gráfico:
Ano
1920
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2009
Esperança de vida ao
nascer, por anos de idade
42
42
46
52
54
54
60
68
69
29
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O aumento da expectativa de vida do brasileiro é resultado da melhoria das condições de
vida (saneamento básico, assistência médica,...) e da redução da taxa de mortalidade infantil,
conforme as indicações observadas no gráfico.
Alguns dos fatores que estão contribuindo para a queda da mortalidade infantil no país
são: melhorias na área de saneamento básico, a preocupação com a educação das mães, a
expansão das vacinas, o desenvolvimento e implantação de programas de nutrição, programas
de assistência às gestantes/mães, de aleitamento, entre outros.
Observando o gráfico e a tabela, responda:
a) Entre os anos de 1920 e 1960 a esperança de vida aumentou ou diminuiu?
b) De acordo com o gráfico, coloque em ordem crescente o número de óbitos entre as
regiões do país. (Utilize os símbolos <, > ou =).
c) Considerando as informações dadas, na sua opinião, a qualidade de vida tem alguma
relação com os fatos narrados? Justifique sua resposta.
Em 1631, o inglês Thomas Harriot criou os sinais < (menor que) e > (maior que) para
representar simbolicamente desigualdades.
Fonte: Trecho disponível em: <http://www.colegioclarasuiter.com.br/sistemas/comunicado /2009/setimo_ano.
pdf> Acesso em jun.2010.
VENDE-SE ESTE CARRO
12 MIL REAIS
Se eu conseguisse um
desconto de
1000 reais, poderia comprar
o carro e não me sobraria
nada.
Se eu conseguisse o
dobro da quantia que
tenho, ainda assim não
conseguiria comprar o
carro.
Um terço da
quantia de que
disponho não
atinge a metade
do valor do carro.
Com metade da
quantia que tenho
posso comprar o
carro e ainda sobra
dinheiro.
Compare as sentenças a seguir relacionando-as com o que pensou cada uma das
pessoas que leu o anúncio.
x
> 12000
2
2y < 12000
w = 11000
m
< 6000
3
30
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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Quantos números inteiros positivos solucionam a inequação e
3x - 2
< –1?
x-6
(A) um.
(B) três.
(C) dois.
(D) Infinitos.
2. A maior solução inteira de 3(x - 2) < x é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3. O número – 5 é solução de qual inequação.
(A) 2x < 10 (B) 1 – 2x < 2
(C) x > – 2 (D)
x
>0
3
4. Cada inequação abaixo possui uma solução. Encontre a solução de cada uma e associe
com a coluna a sua direita.
1
2
(A) 2 – x > 9
(
)
x>–
(B) 2(x – 1) < 3x + 4
(
)
x<7
(C) x +( x + 1) > 3(1 – x)
(
)
x < –7
(D) x – 1 > – 2 – x
(
)
x>2
(E) 3(x + 1) < 2(x – 8)
(
)
x < – 19
(F) 4(x + 2) > 2(x – 1) + 3(x + 1)
(
)
x>–6
(G) 3x + 1 > 7
(
)
x>
2
5
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5. Verdadeiro ou falso?
(A) Se –2x > 4, então x < – 2.
( )
(B) Se – 2x > 8, então x < 4.
( )
(C) Se 4a > 4b, então a > b.
(D) Se – 6 < – x, então 6 > x.
(E) Se – 3x > – 15, então x < 5. ( )
( )
( )
6. Mesmo que eu aumente o meu dinheiro em R$ 1.000,00 e depois dobre o resultado, ainda
vou ter menos do que o valor da moto que quero comprar que custa R$ 4.000,00. Então eu
tenho
(A) mais de R$ 1.000,00.
(B) menos de R$ 1.000,00.
(C) R$ 2.000,00.
(D) R$ 3.000,00.
7. (ENCCEJA-2002) Uma agência de modelos está selecionando jovens para uma propaganda
de sorvetes. Entre as exigências, a agência solicita que os jovens tenham altura mínima de
1,65 m e máxima de 1,78 m. Se x é um número racional que representa a altura, em metros,
de um jovem que pode ser escolhido para essa propaganda, é correto afirmar que
(A) x < 1,78
(B) x > 1,65
(C) 1,65 ≤ x ≤ 1,78
(D) 1,65 ≤ x ≥ 1,78
8. (SARESP-2005) O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada
de bandeirada, de R$ 3,00, mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um
táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que
R$ 60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio
é representado por:
(A) x < 50
(B) x < 60
(C) x < 114
(D) x < 120
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Ângulos
Ângulos consecutivos
Dois ângulos que têm o mesmo vértice e um lado comum, são denominados ângulos
consecutivos.
Na roda gigante por exemplo, podemos observar alguns ângulos, dos
quais z, y e x são consecutivos.
• AÔB e BÔC são consecutivos.
• BÔC e CÔD são consecutivos.
Outro exemplo:
Considere os ângulos AÔB e BÔC na figura:
C
B
vértice da figura
O
A
Então, AÔB e BÔC são consecutivos.
Veja que:
O lado OB é comum a AÔB e BÔC.
Considerando-se agora os ângulos AÔB e AÔC, da mesma figura, temos que:
• O vértice ( O ) é o mesmo para os dois ângulos;
• O lado OA é comum a AÔB e AÔC .
Portanto, os ângulos AÔB e AÔC, são consecutivos.
Ângulos Adjacentes
Dois ângulos consecutivos que não têm ponto interno comum são
denominados ângulos adjacentes.
Na mesma roda gigante, temos ângulos adjacentes.
^
Os ângulos û e t são consecutivos e adjacentes.
Dois ângulos só podem
ser adjacentes se forem
consecutivos?
Isso mesmo! Se dois ângulos
não forem consecutivos, não
podemos classificá-los como
adjacentes.
33
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Exemplos:
a)
C
D
Observe que os ângulos GÔH e CÔD não são
consecutivos, logo, também não podem ser
adjacentes.
O
H
G
B
b)
A
O
Os ângulos BÔA e HÔA são consecutivos, pois
possuem o mesmo vértice (O) e OA é lado comum
aos ângulos. Como não possuem nenhum ponto em
comum podemos chamá-los de ângulos adjacentes.
H
B
c)
A
O
Os ângulos BÔA e BÔH são consecutivos, pois
possuem o mesmo vértice (O) e OB é lado comum aos
ângulos. Porém, não são adjacentes, pois possuem
pontos internos em comum.
H
1. Complete as lacunas de acordo com a figura:
a) b) c) d) e) f) H
E
Os ângulos FÊG e GÊH _____ consecutivos (são / não são).
Os ângulos FÊG e GÊH _____ ponto interno comum (têm / não têm).
Os ângulos FÊG e GÊH ______ adjacentes (são / não são).
Os ângulos FÊG e FÊH _____ ponto interno comum (têm / não têm).
Os ângulos FÊG e FÊH ______ adjacentes (são / não são).
Os ângulos FÊG e FÊH _____consecutivos. (são / não são).
G
F
34
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2. Observe as figuras abaixo e indique os vértices, lados e ângulos de cada uma.
A
a)
Ângulo________
Vértice ________
Lados_________
O
B
F
b)
Ângulo________
Vértice ________
Lados_________
E
c)
G
Vértice ________ H
I
O
B
d)
Ângulos________
J
Vértice ________ A
Lados_________
Ângulos________
C
D Lados_________
O
Bissetriz de um ângulo
Os ângulos são comuns em nosso
dia-a-dia. Observe o sinal de trânsito abaixo
que representa uma curva acentuada à
direita. Ele forma um ângulo de 90º.
Curva acentuada à direita
Geometricamente
35
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Outro exemplo são as ruas que se cruzam,
elas também formam ângulos.
Em alguns casos temos ângulos retos (90º), ângulos agudos (menor que 90º) ou obtuso
(maior que 90º).
Puxa! É mesmo! Se prestarmos atenção,
encontraremos ângulos em todo lugar.
É isso aí! E a partir de agora aprenderemos
o que é bissetriz de um ângulo.
Xiii! Ângulo eu até sei identificar, mas bissetriz... não
faço ideia do que seja!
Não se preocupe, é
simples. Eu vou explicar!
Para encontrarmos a bissetriz de um ângulo qualquer, basta dividirmos este ângulo ao meio.
Observe os exemplos a seguir:
Este é um ângulo reto, isto é, de 90º.
Veja como fica o ângulo de 90º ao traçarmos sua bissetriz.
36
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Observe que a bissetriz dividiu
o ângulo de 90º em dois ângulos
congruentes de 45º.
bissetriz do ângulo
45º
45º
Outros exemplos:
Determine a bissetriz dos ângulos.
a)
bissetriz
15º
15º
30º
bissetriz
b)
60º
120º
60º
A bissetriz é a semirreta que divide o ângulo em dois outros ângulos congruentes.
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
Agora que já sabemos o que são ângulos e vértices, podemos então definir o que são
ângulos opostos pelo vértice.
Observe as bandeiras abaixo:
1
2
Rio de Janeiro - RJ
Jamaica - JAM
Temos aqui a bandeira (1) do Rio de Janeiro (RJ), estado brasileiro, com aproximadamente
16.010.429 habitantes e uma área de 43.696 km2, localizado na região sudeste.
A bandeira (2) trata-se de um país chamado Jamaica (JAM), localizado na América Central
com uma população de aproximadamente 2.651.000 habitantes e uma área 10.991 km2.
37
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Puxa que curioso! O estado do Rio de Janeiro é
bem maior que o país da Jamaica.
Isso mesmo! E sua população
também é maior.
Essas são observações importantes, mas agora
vamos nos concentrar nas bandeiras.
Representando as bandeiras com formas geométricas básicas e planas teremos:
O
O
O ponto O nos indica o vértice das figuras.
Veja que a partir do vértice, podemos determinar alguns ângulos.
38
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Vamos analisar um ponto importante. Observe que
os ângulos opostos são iguais.
Puxa, é mesmo! Temos o vértice, e os
ângulos opostos a ele são iguais.
É, você já entendeu. Dois ângulos são opostos pelo
vértice quando os lados de um deles são semirretas
opostas aos lados do outro.
Vamos observar alguns exemplos:
B
a)
A
Atenção!
O
D
Para que dois ângulos sejam opostos pelo
vértice, obrigatoriamente, esses ângulos
devem ser congruentes.
C
b) Qual a medida x do ângulo abaixo?
120º
x
Observe que os ângulos 120º e x são opostos pelo vértice, logo, x também equivale a 120º.
Portanto: x = 120º.
39
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Ângulos Complementares
Dois ângulos de medidas x e y são complementares se:
x + y = 90º
Neste caso um ângulo é o complemento do outro.
Exemplo:
y = 40º
+
=
x + y = 90º
y
x = 50º
x
Ângulos Suplementares
Dois ângulos de medidas x e y são suplementares se:
x + y = 180º
Neste caso um ângulo é o suplemento do outro.
Exemplo:
x = 115º
+
y = 65º
=
x + y = 180º
y
x
1. Trace a bissetriz com origem em O, passando por C.
a)
b)
B
C
A
O
O
B
C
A
40
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2. Com o auxílio de um transferidor, trace a bissetriz dos ângulos abaixo.
a)
b)
B
A
3. Observe a figura e calcule o valor de x, sabendo que OC é bissetriz do ângulo AÔB.
A
3x + 30º
O
C
2x + 45º
B
4. Indique os ângulos O.P.V. apresentados na figura.
a b
e c
d
5. A metade da medida do suplemento de um ângulo é 80º. Qual é a medida desse ângulo?
6. Observando os ângulos assinalados no transferidor, responda:
a) Quais as medidas de cada um dos ângulos
indicados?
b) Quais os complementos dos ângulos AÔB
e AÔC?
c) Quais os suplementos dos ângulos AÔD,
AÔC e AÔB?
d) Trace a bissetriz dos ângulos CÔD e BÔD.
e) Indique, se houver, ângulos congruentes,
consecutivos e adjacentes.
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7. A soma das medidas de dois ângulos é igual a 60º e a diferença entre elas é de 44º. Quais
são essas medidas?
8. A idade de Júnior é o mesmo valor do ângulo que representa o complemento de 59º. Qual
a idade de Júnior?
9. Juliana e Adriana construíram um código de contagem secreta para que ambas consigam
descobrir quantas figurinhas dos “Rebeldes” cada uma possui.
Juliana
x + 20º
Adriana
2x + 40º
x + 3º
30º
x=?
x=?
Sabendo que x representa a quantidade de figurinhas que cada uma possui, responda:
a) Quantas figurinhas têm Adriana? E Juliana?
b) Quantas figurinhas faltam para que cada uma delas complete a coleção, sabendo que
a coleção completa é composta por 120 figurinhas?
Caça-palavras
Leia o texto com atenção e em seguida identifique os termos em destaque no caça-palavras.
Estudo dos Ângulos
O conceito de ângulo aparece, primeiramente, em materiais gregos no estudo de relações
envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades
das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculo, eram conhecidas
desde o tempo de Hipócrates e talvez Euxodo tenha usado razões e medidas de ângulos
na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre
o Sol e a Terra.
Eratóstenes de Cirene (276 a.C. -194 a.C.) já tratava de problemas relacionados com
métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.
O transferidor:
Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um
instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um
semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0º a 180º. Alguns transferidores
possuem a escala de 0º a 180º marcada em ambos os sentidos do arco para a medida
do ângulo sem muito esforço.
Existem alguns conceitos específicos para este estudo.
Ângulos consecutivos:
Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincidem com um dos
lados do outro ângulo.
Ângulos adjacentes:
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns.
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Ângulos opostos pelo vértice:
Consideramos duas retas concorrentes cuja intersecção seja o ponto O. Essas retas
determinam quatros ângulos. Os ângulos que não são adjacentes, são opostos pelo vértice.
Ângulos congruentes:
Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os
seus elementos coincidem.
Ângulos Complementares:
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90º, neste caso, dizemos que um
ângulo é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares:
Se a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º, neste caso, dizemos que um
ângulo é o suplemento do outro.
Bissetriz:
Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo que o divide
em dois outros ângulos congruentes.
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Testes
1. Meia circunferência tem quantos graus?
(A) 90°
(B) 270°
(C) 360°
(D) 180°
(E) 45°
(C) 180°
(D) 270°
(E) 120°
(D) 20°
(E) 200°
(C) 93°
(D) 183°
(E) 113°
(C) 180°
(D) 270°
(E) 90°
2. Qual a medida do ângulo raso?
(A) 90°
(B) 360°
3. Qual o complemento do ângulo de 70°?
(A) 110°
(B) 30°
(C) 120°
4. Qual é o suplemento de ângulo de 37°?
(A) 143°
(B) 53°
5. O dobro de um ângulo reto é:
(A) 120°
(B) 360°
6. Qual é o nome que se dá ao ângulo cuja a medida é a metade da medida de um ângulo
raso?
(A) agudo
(B) reto
(C) obtuso
(D) nulo
(E) aberto
7. A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a:
(A) 60°
(B) 360°
(C) 120°
(D) 180°
(E) 270°
Na sala de informática acesse o SITE: www.barueri.sp.gov.br/educacao
Desenvolver as atividades reservadas para <7º ano> na disciplina <matemática>
relacionadas à ângulos.
44
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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. Classifique em verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) as afirmações:
(
(
(
(
(
) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.
) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
2. Se dois ângulos, α e β, são complementares, então, é correto afirmar que:
(A) α+ β = 180º
(B) α + β = 90º
(C) α α - β = 180º
(D) αα - β = 90º
3. Se dois ângulos, α e β, são suplementares, então, é correto afirmar que:
(A) α+ β = 180º
(B) α+ β = 90º
(C) α - β = 180º
(D) α - β = 90º
4. Qual o valor de x, sabendo que AÔB é um ângulo reto?
A
2x
C
7x
B
O
(A) 10º (B) 20º (C) 50º
(D) 70º
5. Dois ângulos suplementares medem 3x – 40 e 2x + 60. O maior desses ângulos mede:
(A) 56º (B) 108º (C) 124º
(D) 132º
45
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6. (Saresp-2008) Assinale a alternativa que mostra corretamente os valores de α e β na figura
a seguir:
(A) α = 60º, β = 90º
30º
(B) α = 60º, β = 60º
(C) α = 30º, β = 120º
60º
(D) α = 50º, β = 100º
β
α
7. (EPCAr) Na figura abaixo, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC
e OP é a bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a
N
(A) 90º
C
(B) 60º
(D) 30º
M
P
(C) 45º
B
D
O
A
8. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10 e x + 50. Sendo assim, podemos afirmar
que cada um deles mede:
(A) 20º 3x + 10
(B) 30º (C) 50º x + 50
(D) 70º
9. (Saresp-SP) O movimento completo do
limpador do pára-brisa de um carro corresponde
a um ângulo raso. Na situação descrita pela figura,
admita que o limpador está girando em sentido
horário e calcule a medida do ângulo que falta para
que ele complete o movimento completo.
40º
(A) 50°
(B) 120°
(C) 140°
(D) 160°
46
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Razão
Elaine anda de
bicicleta a 30 km/h.
Puxa!! Como ela
corre, essa velocidade
é bem alta.
Talvez não, depende do valor com o qual você compara
esta velocidade. Ela se torna bem baixa comparada à
velocidade de um carro de Fórmula 1 ou de um avião.
avião = 900km/h
carro de Fórmula 1 = 300km/h
E quantas vezes o avião
é mais rápido que a Elaine?
Vamos comparar
as velocidades.
Veja:
Velocidade do avião → 900 km/h
Velocidade da Elaine → 30 km/h
900 = 30
30
Então, o avião é 30 vezes mais rápido do que Elaine de bicicleta.
Em relação ao carro de Fórmula 1 temos:
300 = 10
30
Então, o carro de Fórmula 1 é 10 vezes mais rápido do que a Elaine de bicicleta.
47
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Define-se como razão entre dois números quaisquer o quociente do primeiro pelo segundo.
Sejam A e B dois números quaisquer dados nessa ordem e, B diferente de 0 . Indicaremos
a razão entre os números por:
A÷B=
A
B
antecedente
consequente
Situação-problema
Samuel e Júnior estão brincando de bola. Samuel está no gol e Júnior efetua 20 chutes a
gol, acertando 12 deles. Nessas condições:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de chutes a gol feitos por Júnior?
Sendo assim, temos: 3 para 5, ou seja, para cada 5 chutes a gol, Júnior acertou 3.
b) Qual a razão entre o número de chutes que Júnior acertou e o número de chutes que
ele errou?
20 – 12 = 8
número de chutes errados
÷4
12 ÷ 8 = 12÷4 = 3
2
8
Logo: 3 para 2, ou seja, para cada 3 chutes certos Júnior errou 2.
Existem três maneiras de indicar uma razão.
Observe:
A razão de 2 para 5
A razão de 7 para 4
48
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A palavra razão vem de ratio, que significa divisão. Daí vêm, por exemplo, as palavras
rateio (de um prêmio) e racional. Assim, número racional é o que se pode representar
por uma divisão de inteiros.
Fonte: Trecho disponível em: <http://www.fortium.com.br/faculdadefortium.com.br/guinter.../raz.doc>
Acesso em jun.2010.
Razão Inversa
Quando representamos uma razão, devemos nos atentar para a ordem em que a comparação
é feita.
Situação-problema
Joãozinho é colecionador de bolinhas de gude, ele tem 1200 bolinhas e seu primo Bruno
que também coleciona bolinhas, só tem 320.
A razão entre a quantidade de bolinhas de Joãozinho e a do seu primo Bruno é:
No entanto, a razão entre a quantidade de bolinhas de seu primo Bruno e Joãozinho é outra:
Como 4 é o inverso de 15 , dizemos que uma é a razão inversa da outra.
4
15
Atenção!
Uma razão é a inversa da outra quando o
produto das duas é igual a 1.
Outros exemplos:
49
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Escala
Seu Geraldo está construindo uma casa. Para evitar erros nas medidas, pediu para que o
engenheiro fizesse a planta da casa.
Observe que todos os comprimentos foram divididos
por 300, conforme indicado na planta. Depois, o
desenho foi feito com as medidas obtidas nessas
divisões.
Neste caso a escala é 1:300 (um para trezentos). Ou
seja, cada 1cm do desenho corresponde a 300cm,ou
3 metros, da casa real.
1: 300
Note que a escala é a razão entre o que mostra o desenho e o que se tem na realidade.
Isto é:
Na escala 1: n, tem-se:
Comprimento no desenho
= 1
Comprimento real correspondente
n
A escala é muito utilizada principalmente para plantas e mapas.
Observe o exemplo do mapa a seguir:
1cm no mapa corresponde a 500km.
Lê-se: 1cm para 500km.
1: 500
50
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Razão na forma percentual
a
, na qual b = 100, pode ser escrita na forma de porcentagem.
b
Situação-problema
Toda razão
a) Uma pesquisa revela que a cada 100 brasileiros, 85 gostam de feijoada.
Representação
85
= 0,85 = 85%
100
forma
fracionária
forma percentual ou forma de porcentagem
forma decimal
b) De cada 100 alunos, 70 gostam de
Matemática.
85% é a razão
c) Calcular 15% de 8400.
15 . 8400 = 1260
100
70 = 0,7 = 70%
100
Logo, 70% é a razão 70 .
100
85
100
Logo, 15% de 8400 é 1260.
1. A equipe de futebol do G.R.B., durante o campeonato paulista da série A de 2008, teve o
seguinte desempenho: 10 vitórias, 02 empates e 07 derrotas. Nessas condições, determine:
Vitórias
Empates
Derrotas
10
2
7
a) A razão entre o número de vitórias do GRB e o total de jogos que disputou.
b) A razão entre o número de vitórias e o número de derrotas.
c) A razão entre o número de empates e o número de vitórias.
51
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2. Se desenharmos um objeto obedecendo a uma escala de 1 : 7 , o desenho ficará maior ou
menor que o objeto real? Quantas vezes?
3. Escreva na forma de fração irredutível a razão entre:
a) 54 e 216
b) 27 e 12
c) 120 e 514
d) 36 e 72
Lembre-se: Uma fração
irre­d utível não permite
simplificação.
4. Veja a planta da casa que um engenheiro está projetando:
a)Quais são as medidas da largura e do comprimento
da sala?
b)Qual é a área da sala em metros quadrados?
c)E a área total da casa em metros quadrados?
d)Represente a escala da planta na forma fracionária,
escrevendo como se lê.
5. Observe os retângulos abaixo:
1
2
4
2
6
Perímetro é a soma dos
lados de uma figura plana.
12
a) Calcule a razão entre a área do retângulo 1 e a área do retângulo 2.
b) Calcule a razão entre o perímetro do retângulo 1 e o perímetro do retângulo 2.
6. Quanto por cento do quadrado está pintado de amarelo?
Represente na forma fracionária e decimal.
7. Calcule :
a) 5% de 300
b) 50% de 150
c) 20% de 30
d) 115% de 800
52
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8. (SME – RJ) A tabela mostra o número aproximado de casos de AIDS no Brasil no período
de 1980 a 2001:
Qual dos gráficos abaixo ilustra melhor os dados apresentados?
(A)
35%
(B)
(C)
25%
(D)
40%
50%
35%
35%
25%
25%
35%
35%
15%
50%
Proporção
Observe o anúncio de promoção das lojas
“MIL E UMA OFERTAS”.
A cada R$ 50,00
em compras ganhe
um desconto de
R$ 2,00.
Se uma pessoa gastar R$ 250,00 em
compras, que desconto obterá?
Vamos montar uma tabela:
Logo, ela obterá R$ 10,00 de desconto.
53
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Observe a razão entre o desconto e o valor a ser pago.
desconto
valor a ser pago
Temos então, que todas essas razões são iguais.
Uma sentença matemática que expressa uma igualdade entre duas ou
mais razões é chamada proporção.
Utilizando duas razões apresentadas no exemplo anterior temos:
2 = 10
250
50
Essa proporção é indicada também por:
2 ÷ 50 = 10 ÷ 250
Os termos de uma proporção recebem nomes especiais:
Na proporção:
2 ÷ 50 = 10 ÷ 250
meios
extremos
ou
meio
extremo
2
50
=
10
250
meio
extremo
A leitura dessa proporção é a seguinte:
2 está para 50, assim como 10 está para 250.
54
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Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
Veja:
c
a
= b d
a÷b = c÷d
a.d=b.c
meios
extremos
Essa propriedade é conhecida como propriedade fundamental das proporções.
Duas razões só serão proporcionais se, o produto dos extremos for igual ao produto dos
meios.
Exemplos:
a)
meios
extremos
Logo, essas duas razões são proporcionais.
b)
meios
extremos
Logo, essas duas razões não são proporcionais.
Termo desconhecido numa proporção
Temos situações em que um dos valores da razão é representado por uma incógnita.
Observe:
Qual deve ser o valor de x para que essas razões sejam proporcionais?
x = 5
48
4
55
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Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x ÷ 48
=
5 ÷ 4
meios
x . 4
=
48 . 5
4x
=
240
extremos
Puxa! Temos aqui uma
equação do 1º grau.
É isso aí! Agora, é
só isolar o x.
4x = 240
4
4
x = 240 = 60
4
Portanto, x = 60.
Vamos verificar se o valor obtido para x, realmente torna as razões proporcionais:
60
48
=
5
4
60 ÷ 48 = 5 ÷
4
60 . 4 = 48
240
meios
. 5
240
extremos
Dessa forma, temos que as razões serão proporcionais quando x for igual a 60.
Outro exemplo:
56
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1. Dona Cláudia construiu uma tabela com os ingredientes necessários para fazer trinta balas.
Construa outra tabela descrevendo a quantidade de ingredientes
necessários para que Dona Cláudia obtenha 45, 60 e 90 balas
respectivamente.
2. Verifique se as razões a seguir são ou não proporcionais:
3. Um funcionário do pedágio, ficou responsável
em montar a tabela com as novas taxas. Sabendose que os valores aumentam proporcionalmente
com a quantidade de eixos do veículo, complete
a tabela.
4. Determine o valor de x em cada uma das proporções:
Tenho um balde com capacidade para
5 litros, outro com capacidade para 3 litros
e um outro com capacidade para 9 litros.
Como posso medir 7 litros de água usando
estes baldes?
57
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Grandezas Proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Em um parque de diversões temos:
1 ingresso custa R$ 12,00.
2 ingressos custam R$ 24,00.
3 ingressos custam R$ 36,00.
Observe a tabela:
As razões entre os elementos correspondentes são iguais:
1 = 2 = 3
12
24
36
As grandezas ingresso e custo são diretamente proporcionais.
O que quer
dizer diretamente
proporcional?
Duas grandezas são diretamente
proporcionais, quando aumentando ou
diminuindo uma delas, a outra aumenta ou
diminui na mesma razão da primeira.
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Grandezas inversamente proporcionais
Um trem faz um percurso em:
1 hora com velocidade de 150km/h.
2 horas com velocidade de 75km/h.
3 horas com velocidade de 50km/h.
Observe a tabela:
Os produtos entre os elementos correspondentes são iguais.
Veja:
1 x 150 = 2 x 75 = 3 x 50
As grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
E agora. O que é inversamente
proporcional?
Duas grandezas são inversamente
proporcionais quando, aumentando uma
delas, a outra diminui na mesma razão da
primeira e vice-versa.
Regra de três simples
Denomina-se regra de três simples o método de cálculo por meio do qual serão resolvidos
os problemas que possuem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Envolve
três números conhecidos e uma incógnita (o número desconhecido).
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Roteiro para a resolução de problemas
1. Colocar as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna;
2. Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido;
3. Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido
contrário;
4. Armar a proporção e resolvê-la.
Ah! Assim deve ser fácil
resolver problemas.
E é mesmo! Vamos
ver alguns exemplos.
Situação-problema 1
Seu Jair trabalha em uma copiadora, ele tira 30 xerox por minuto. Sendo assim, quantas
cópias seu Jair terá tirado em 20 minutos?
1º Colocamos as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna.
xerox
minutos
1 ............. 30
20 ............. x
Veja que em 1 minuto seu Jair tira 30 cópias. Como em 20 minutos não sabemos quantas
cópias serão tiradas, representamos então este valor pela incógnita x.
2º Como as grandezas são proporcionais, pois a medida em que aumenta o tempo, aumenta
o número de cópias, devemos indicar as duas grandezas com flechas de mesmo sentido.
xerox
minutos
1
.............
20 .............
30
x
3º Agora é só armar a proporção e resolvê-la.
Logo, em 20 minutos seu Jair terá tirado 600 cópias.
60
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Situação-problema 2
Cinco pedreiros constroem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para
construir a mesma casa?
1º Colocamos as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna.
Nº de dias
Nº de pedreiros
5 ............. 30
15 ............. x
Veja que 5 pedreiros constroem a casa em 30 dias. Como com 15 pedreiros não sabemos
a quantidade de dias necessários para a construção da mesma casa, representamos então
este valor pela incógnita x.
2º Como as grandezas são inversamente proporcionais, pois a medida em que aumenta
o número de pedreiros, diminui o número de dias, devemos indicar as duas grandezas com
setas de sentidos contrários.
Nº de pedreiros
Nº de dias
5 .............
15 .............
30
x
3º Tendo duas grandezas, inversamente proporcionais, precisamos inverter a posição dos
números de uma delas para então resolvê-las.
Logo, 15 pedreiros levarão 10 dias para construir a casa.
1. Um carro consome 7 litros de gasolina a cada 57km rodados. Qual
será o consumo desse carro após percorrer 456km?
2. Doze eletricistas fazem uma instalação em um prédio em 15
dias. Quantos eletricistas seriam necessários para fazer a mesma
instalação em 5 dias?
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3. As medidas de uma fotografia foram ampliadas. Determine a medida x na foto ampliada.
4. Ao corrigir as provas de um concurso, 15 professores gastaram 75 horas. Mantendo o
mesmo ritmo, quantos professores seriam necessários para fazer o mesmo trabalho em:
I) 30 horas II)1 dia III) 120 horas IV) 2 dias
5. Micaela estava digitando um trabalho de Geografia e conseguiu
terminar 7 páginas em 50 minutos. Mantendo esse ritmo, quanto
tempo ela levará para digitar as 35 páginas do trabalho?
6. Roberto abriu duas torneiras que levaram 80 minutos
para encher uma piscina. Quanto tempo teria levado se
houvesse 5 torneiras equivalentes para encher a mesma
piscina?
7. (Saresp-SP) Um pintor fez uma tabela relacionando a área da superfície a ser pintada, o
tempo gasto para pintar essa superfície e a quantidade de tinta.
Para pintar uma superfície de 200m², o tempo e a quantidade de tinta gastos são,
respectivamente:
(A) 10h e 20
l
(B) 20h e 30
l
(C) 20h e 20
l
(D) 40h e 20
l
62
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Nome: ________________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. (Saresp-2005) Para fazer 80 casadinhos recheados com doce de leite, utilizo uma lata
desse doce. Com duas latas e meia de doce de leite, quantos casadinhos consigo fazer?
(A) 120
(B) 160
(C) 200
(D) 240
2. (Saresp-2008) A tabela que mostra o preço do quilo de batata numa barraca de feira está
incompleta.
kg
Preço em R$
1
1,50
1,5
2,25
2
3,00
2,5
3,75
3
9,00
O preço de 3kg de batatas e a quantidade de batatas que se compra com 9 reais são,
respectivamente.
(A) R$ 4,50 e 6kg.
(B) R$ 4,00 e 5kg.
(C) R$ 3,75 e 4,5kg.
(D) R$ 5,00 e 4kg.
3. (Saresp-2008) Uma pilha comum dura cerca de 90 dias, enquanto que uma pilha recarregável
chega a durar 5 anos.
Se considerarmos que 1 ano tem aproximadamente 360 dias, poderemos dizer que uma
pilha recarregável dura, em relação a uma pilha comum:
(A) 10 vezes mais.
(B) 15 vezes mais.
(C) 20 vezes mais.
(D) 25 vezes mais.
63
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4. (ENCEEJA) Uma pequena creche atende 20 crianças que consomem em média 600 pães
em 10 dias. Se a creche receber mais 20 crianças, o número de pães necessários para o
consumo em 10 dias é
(A) 2400
(B) 1200
(C) 600
(D) 300
5. Dezesseis mil candidatos inscreveram-se num concurso. Sabendo que 65% foram
aprovados, quantos candidatos foram reprovados?
(A) 3200
(B) 5600
(C) 6500
(D) 7250
6. (UMC-SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições
equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá:
(A) 80 litros.
(B) 75 litros.
(C) 70 litros.
(D) 68 litros.
7. (Saresp-2008) Jonas, com sua bicicleta, pedala na pista circular de ciclismo do clube. Ao
dar 4 voltas, ele percorre 1600m. Se quiser percorrer 8km, mantendo o mesmo ritmo, ele dará
um número de voltas igual a:
(A) 2
(B) 5
(C) 10
(D) 20
8. (Saresp-2008) Marcos e Fábio erguem juntos um muro em 2h5min. Se o mesmo trabalho
fosse realizado, nas mesmas condições, por 5 pessoas que trabalham como Marcos e Fábio,
o muro ficaria pronto em:
(A) 1h30min.
(B) 1h10min.
(C) 80 min.
(D) 50 min.
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Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas,
equações matemáticas, obras de arte e principalmente na natureza.
Observe as figuras abaixo:
Figuras simétricas são aquelas que possuem um eixo de simetria.
O eixo de simetria divide uma imagem em duas partes iguais. Logo, numa figura simétrica,
tudo que existe de um lado do eixo de simetria também existe do outro lado.
As figuras que, ao se traçar o eixo de simetria, ele não determina dois lados iguais, são
chamadas de figuras assimétricas.
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1. Verifique cada caso, trace o eixo de simetria e classifique as figuras em simétricas ou
assimétricas.
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Pesquisando e Analisando Gráficos
O ambiente escolar e sua preservação
O prédio escolar é o cartão de visitas da escola.
A limpeza do ambiente e seu estado de conservação demonstram o respeito e a consideração
com o lugar onde crianças e jovens estudam. Esse cuidado traduz a preocupação da sociedade
com a escola.
Um ambiente limpo, funcional e bem estruturado, exerce uma influência positiva sobre
todos os que nela convivem e tem um papel educativo nem sempre reconhecido e valorizado
adequadamente.
Os alunos de uma EMEF elaboraram uma pesquisa e identificaram as principais causas da
má preservação do ambiente escolar. Observe o gráfico e os dados obtidos.
Responda:
a) De acordo com o gráfico, qual a principal causa da má preservação do prédio escolar?
b) Como você pode colaborar para que o prédio de sua escola seja bem preservado?
c) Discuta com seus colegas e professor as formas de preservação citadas no item anterior.
d) Comece a observar suas atitudes e também de seus colegas, em relação à preservação
do ambiente escolar.
Colabore uns com os outros para que a escola esteja sempre em excelentes condições.
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PRECISAMOS ECONOMIZAR ÁGUA URGENTEMENTE
A água é um dos recursos naturais mais valiosos com que conta a humanidade.
Todos nós sabemos que o planeta Terra é formado de, aproximadamente, 70% de água. Mas
o que nem todo mundo sabe é que a maior parte dessa água, 97,50%, é salgada e imprópria
para o consumo. Da água doce, 2,493% estão em lençóis subterrâneos ou congelados nos
pólos, e apenas 0,007% está em rios e lagos, disponível para nosso consumo. Vamos entender
melhor essa proporção.
100%
Oceano
Água doce (difícil acesso)
100%
Água doce (acessível)
Agricultura
Indústria
0%
Individual
Desse 0,007% de água doce disponível para nosso
consumo, 70% vão para a agricultura; 22%, para a
0%
indústria e 8%, para o consumo individual.
Essa quantidade é pouca, mas se cada pessoa fizer a sua parte, a água não acabará, e a
vida em nosso planeta será preservada. Comece a falar sobre esse problema com as pessoas
que você conhece.
No Brasil, por exemplo, o maior manancial está na Amazônia; no entanto, já existe a falta ou
a necessidade de controlar o consumo de água nas grandes cidades do Sudeste, Sul e Litoral.
Veja como é distribuída a água na superfície brasileira.
Recursos hídricos
80
70
Distribuição dos recursos hídricos, da
superfície e da população (em % do total
do Brasil).
Superfície
68,5
População
60
50
45,3
42,6
40
29,0
30
18,8
15,7
20
10
7,0
0
Norte
15,0
6,4 6,5 6,8
Centro-Oeste
Sul
18,3
10,8
6,0
Suldeste
O planeta Terra precisa
de nossa ajuda.
Não desperdice água!
3,3
Nordeste
Trecho adaptado e disponível em: <http://clipspensamento.com.br/apoiaedivulga/apoia _ diainternacionalagua.pdf> e <http://www.moderna.com.br/
moderna/didaticos/projeto/ 2006/1/politica?cod_origem=sup> Acesso em: jun.2010.
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Responda:
a) Em qual das regiões brasileiras a distribuição dos recursos hídricos é maior?
b) Indique as três regiões que tem a maior distribuição de água para população e as três
regiões com maior quantidade de água na superfície.
c) Explique o porquê da quantidade de água distribuída para a vegetação ser maior.
d) Em sua opinião, podemos continuar desperdiçando água, já que o planeta é formado de
70% dela? Justifique.
e) Pesquise e registre algumas formas de economizar água.
f) Procure saber se a sua escola e comunidade estão fazendo algo para economizar água.
g) O que você entende sobre a frase: “O planeta Terra precisa de nossa ajuda. Não desperdice
água.”
BARUERI CONTRIBUINDO COM O MEIO AMBIENTE
No fim do ano de 2.000, a Prefeitura de Barueri elevou a antiga Assessoria de Habitação
e Meio Ambiente (ligada à Secretaria de Projetos e Construções) para a categoria de
Secretaria de Recursos Naturais e Meio Ambiente (SEMA), destinando-lhe,
dentre outras, duas missões: otimizar o gerenciamento dos resíduos sólidos
da cidade, acabando com o lixão e a catação no mesmo, e conscientizar a
população sobre a importância da preservação dos Recursos Naturais, através
de atividades de Educação Ambiental.
O programa de coleta seletiva de lixo começou a ser implementado em agosto
de 2.001, alcançando todo o município em novembro de 2.002, mês em que
também foi instituída a Cooperyara – cooperativa de triagem de material
reciclável formada pelos ex-catadores.
Atualmente, todo o município conta com o serviço de coleta seletiva de lixo, o que gera
cerca de 140 toneladas de material reciclável coletado todo mês.
A separação é feita somente entre materiais orgânicos e materiais
recicláveis. Não há necessidade da população separar o vidro dos
plásticos, os papéis das latas, a ideia é facilitar a separação, obtendo
maior participação de todos.
O material separado pela população é recolhido pelos caminhões
específicos para a coleta seletiva (um caminhão-baú com sistema de som) duas vezes por
semana. Esse material é encaminhado para o galpão da Cooperyara, onde é separado,
armazenado e vendido pelos cooperados. Todo o material é doado à Cooperativa, a Prefeitura
não vende o material reciclável.
Somente com o ato de separar o lixo na sua casa, você ajuda a gerar mais empregos,
diminuir a poluição da nossa cidade, aumentar o tempo de uso do aterro sanitário e preservar
os recursos naturais do planeta.
Texto adaptado e disponível em: <http://www.barueri.sp.gov.br/sites/Srnma/materias/coleta_seletiva_lixo.aspx> Acesso em: jun.2010.
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Se você ainda não separa o seu material reciclável, ENTRE NESSA CAMPANHA! Somente
com a adesão de todos poderemos ampliar esse trabalho e ajudar mais pessoas.
Reciclagem é um conjunto de técnicas que tem por finalidade aproveitar os detritos e
reutilizá-los no ciclo de produção do qual saíram. É o resultado de uma série de atividades,
pelas quais os materiais que se tornariam lixo, ou estão no lixo, são desviados, coletados,
separados e processados para serem usados como matérias-primas na manufatura de
novos produtos.
Texto disponível em: <http://www.compam.com.br/oquereciclagem.htm>. Acesso em jun.2010.
Quanto se poupa com a reciclagem?
Veja alguns números da reciclagem:
1000 kg de papel reciclado = 20 árvores poupadas.
1000 kg de vidro reciclado = 1300 kg de área extraída poupada.
1000 kg de plástico reciclado = milhares de litros de petróleo poupados.
1000 kg de alumínio reciclado = 5000 kg de minérios extraídos poupados.
Responda:
a) Para pouparmos 150 árvores, quantos kg de papel precisamos reciclar?
b) Sabendo-se que a cada 60 latinhas de alumínio temos, aproximadamente 1kg, quantas
latinhas são necessárias para perfazer 1000kg?
c) Faça uma pesquisa, em seu bairro, para saber se as pessoas separam o lixo em orgânico e
reciclável para a coleta seletiva. Caso não o façam, converse sobre a importância de reciclar o
lixo.
d) Pesquise outras formas de reciclagem, ou seja, de reaproveitamento de material.
e) Redija a seguir um texto sobre reciclagem.
Você sabia que...
• O Brasil recicla 1.788.000 toneladas de papel por ano.
• O lixo orgânico domiciliar representa 50% em peso do lixo total gerado.
• São jogados fora 14 milhões de toneladas anuais de alimentos (30% da safra).
• É produzido em média 1,0 Kg de lixo por habitante nas grandes cidades.
• Em 1995 foram produzidas 50 mil toneladas de latas de alumínio no Brasil.
• 63% desta produção foi de material reciclado, ou seja, 31,5 mil toneladas.
• Em um ano, 6,7 bilhões de dólares são jogados fora, no lixo, em forma de materiais de
construção.
• A cada minuto desaparece da face do planeta o equivalente a um campo de futebol em
mata nativa, que demora 100 anos para se recompor.
• Uma tonelada de papel é igual a 20 árvores cortadas.
• Somos os maiores recicladores de latinhas de alumínio do mundo (78%).
Fonte: Texto disponível em: <http://www.barueri.sp.gov.br/sistemas/informativos/informativo.asp?id= 4923>. Acesso em jun.2010.
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Nome: _______________________________________________________ Nº _____ 7° Ano____
1. (Saresp-2008) O gráfico indica o tempo que um forno leva para esfriar depois que é
desligado.
O tempo que esse forno leva para atingir a temperatura de 120 ºC depois de ter sido
desligado é de
(A) 15 minutos.
(B) 13 minutos.
(C) 11 minutos.
(D) 9 minutos.
2. (ENCCEJA-2005) Os dados apresentados no gráfico informam o salário líquido médio de
professores da rede estadual com carga horária semanal de 20 horas.
Salários dos professores de alguns
estados brasileiro
Salários Médio (R$)
780,00
710,00
590,00
580,00
510,00
480,00
290,00 290,00 280,00
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Estados
Considerando o salário mínimo (SM) de R$ 260,00, somente
(A) 2 estados pagam mais que 2,5 SM.
(B) 3 estados pagam mais que 2 SM.
(C) 3 estados pagam menos que 2,5 SM.
(D) 4 estados pagam menos que 2 SM.
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3. (Saresp-SP) O preço do pãozinho nas padarias A, B e C está indicado no gráfico abaixo.
Preço do quilo
do pãozinho
Padarias
A
B
C
O preço do quilo do pãozinho na padaria
(A) A é igual ao da padaria B.
(B) C é maior do que na padaria A.
(C) A é menor do que na padaria B.
(D) C é menor do que na padaria B.
4. Observe as informações:
previdência
Aposentados
no Brasil
26,5
milhões
8,5 mi
18 mi
RECEBEM UM
SALÁRIO MÍNIMO
ACIMA DE UM
SALÁRIO MÍNIMO
19,71
Correções da aposentadoria
nos últimos anos em %
4,81
4,61
1998
1999
5,81
2000
7,66
2001
Entre 1998 e 2009 a
soma símples do reajuste
das aposentadorias é de
81,91%
9,2
4,53
2002
2003
2004
6,35
2005
5,01
2006
No mesmo perìodo,
a soma simples
dos aumentos do
salário mínimo é de
144,49%
3,33
2007
5
5,32
2008
2009
Fontes: FAP e Sindicato Nacional dos Aposentados e Pencionistas e Idosos da Força Sindical
A partir dos dados fornecidos, podemos afirmar que:
(A) 18 milhões de aposentados no Brasil recebem acima de um salário mínimo.
(B) A soma simples do reajuste das aposentadorias é de 144,49%.
(C) A maior correção nas aposentadorias aconteceu em 2003.
(D) Em 2009 a correção nas aposentadorias foi de 7,32%.
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1. Indique as expressões que são equações.
2. Complete o quadro:
3. Fátima tinha R$ 72, 00. Comprou um vestido por R$ 35,00 e três pares de brincos
a R$ 2,00 cada um. Com quantos reais ela ficou?
4. Certo dia da semana, um ônibus saiu do ponto inicial com 15 passageiros.
No primeiro ponto subiram 4 pessoas, no segundo subiram oito e desceram
5 e no terceiro subiram 3 pessoas e desceram 6. Com quantos passageiros
esse ônibus saiu do terceiro ponto?
5. Juninho é colecionador de bolinhas de gude. Seu pai sabendo dessa coleção
deu-lhe 34 bolinhas diferentes, perfazendo um total de 156 bolinhas. Quantas
bolinhas Juninho tinha antes de ganhar mais de seu pai?
6. O triplo da idade de Ana Keila mais a idade de seu avô, que tem 82 anos,
somam 124 anos. Quantos anos tem Ana Keila?
7. O quíntuplo de um número é igual a soma do seu triplo com 40. Qual é o número?
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8. Pensei num número inteiro, subtraí 13, multipliquei o resultado por 5 e obtive o quádruplo
desse número. Qual é o número que pensei?
9. Escreva dentro de cada
o número que for necessário para equilibrar a balança.
10. Verifique o valor de x que torna verdadeira as equações a seguir:
l)
(
)
(
)
(
)
ll)
(
)
(
)
(
)
lll)
(
)
(
)
(
)
11. Invente um enunciado para cada equação:
12. As melancias têm o mesmo peso. Nestas condições, qual é o peso (em kg) de cada uma
delas?
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13. Calcule o peso de cada maçã. (Suponha que as três maçãs tenha o mesmo peso).
14. Escreva uma equação tal que:
a) O 1º membro seja constituído pelos termos - 4 + 3x - 1.
b) O 2º membro seja constituído pelos termos + x - 8.
c) Agora resolva esta equação.
15. Paula pensou num número para cada uma das situações. Escreva
nos quadradinhos qual o número que Paula pensou.
16. Represente cada problema com uma equação e em seguida apresente uma solução:
• Eduardo pensou num número, adicionou doze e obteve trinta. Em que número ele
pensou?
• A diferença entre cem e um número é igual a onze. Qual é esse número?
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17. Observe e complete os círculos e os triângulos para que dê o resultado dos quadrados.
+5
-5
+4
-8
x7
÷7
+7
x2
x(-2)
-4
÷3
x3
7
-4
9
16
-12
- 21
18. O quíntuplo de um número é igual a soma do seu triplo com 40. Qual é o número?
19. Pensei num número inteiro, subtraí 15, multipliquei o resultado por 8 e obtive o quintúplo
desse número. Em que número pensei?
20. Num oásis do deserto, estavam a descansar camelos e
dromedários, num total, haviam 108 animais. O número de
camelos é igual ao triplo do número de dromedários. Quantos
animais de cada espécie havia nesse deserto?
21. Três amigos foram ao cinema e, antes de começar o
filme decidiram comprar um balde de pipocas e 4 copos
de refrigerante. Pagaram ao todo R$ 9,90. Sabendo que
o balde de pipocas custou o dobro de cada refrigerante,
determine quanto custou cada copo de refrigerante.
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22. Resolva os seguintes sistemas:
a)
2x + y = 10
3x – 2y = 1
b)
2x + 3y = 10
4x - y = -1
c)
x+y=7
2x = 3y
5
7
d)
5(x + 1) + 3(y – 2) = 4
8(x + 1) + 5(y – 2) = 9
23. Problemas com sistemas já montados:
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23
animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os
coelhos?
x+y=23
2x+4y=82
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de
13 anos. Qual a idade de cada uma?
x+y=25
x-y=13
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1.
Quais são os números?
x+y=50
x=2y-1
d) Duas pessoas ganharam juntas 50 reais por
um trabalho, sendo que uma delas ganhou
25% do total. Quanto ganhou cada pessoa?
x+y=50
x=1/4y
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e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e, as duas
juntas custam R$ 6,00. Qual o preço da caneta e da lapiseira?
x=2y
x+y=6
24. (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da
água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
(A) 20g
(B) 25g
(C) 35g
(D) 40g
(E) 45g
3
2
de um número x com os
do número y, obtém-se
5
3
84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
25. (F. C. CHAGAS) Somando-se os
(A) 18
(B) 25
(C) 30
(D) 45
(E) 60
26. Catarina gosta de pintar quadros. Deu de presente para sua filha Kátia uma pintura que
fez numa tela de 12cm por 20cm. O presente fez tanto sucesso que Kátia pediu para que sua
mãe fizesse uma ampliação do quadro.
a) Se a nova tela tiver 50cm no lado maior, qual deve ser a medida do lado menor para
que a pintura ampliada fique proporcional à original?
b) Catarina tinha em seu ateliê duas telas em branco com as seguintes dimensões: uma
com 18cm por 30cm e outra com 42cm por 76cm. Verifique se essas telas são
proporcionais à tela original, servindo para a ampliação.
27. Joaquim estava digitando um trabalho de Matemática e
conseguiu terminar cinco páginas em quarenta minutos. Mantendo
esse ritmo, quanto tempo demorará para digitar as treze páginas
do trabalho?
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28. (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias,
trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários
para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8
horas por dia?
a) 10
b) 20
c) 15
d) 30
e) 6
29. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas
mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em:
a) 18 dias
b) 3 dias c) 20 dias
d) 6 dias
e) 16 dias
30. (CFO-93) Se uma vela de 36cm de altura, diminui 0,18cm por minuto, quanto tempo
levará para se consumir?
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 2h 36min
d) 3h 20min
e) 3h 18min
c) 111º
d) 153º
e) 99º
f) 66º
c) 44º
d) 35º e) 77º
f) 83º
31. Determine o suplemento de:
a) 95º
b) 115º
32. Determine o complemento de:
a) 23º
b) 52º
33. Quais os valores de x que tornam a inequação –2x + 4 > 0 verdadeira?
34. Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaçam as
inequações:
a) 3x + 5 < 17
b) x + 3 > – x – 1
c) x + 10 > – x + 12
d) 2 – 3x < x + 14
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EQUAÇÕES
Entre os pontos, está escondida uma figura. Para descobrir basta resolver as equações
seguintes. Copie-as em seu caderno e determine o conjunto solução de cada uma delas.
Depois, procure o ponto correspondente a sua resposta da questão 1, e ligue com um
segmento de reta, ao ponto da sua resposta a questão 2, e assim sucessivamente.
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SUDOKU - Preencha os espaços em branco com algarismos de 1 a 9, sem repetições
nas linhas, colunas e nos quadrados menores.
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Equações da Tartaruga
JOGANDO
• Organize grupos de 4 alunos;
• Determine a ordem dos competidores;
• Embaralhe as cartas, contendo as equações e empilhe com o verso para cima;
• Espalhe os cartões-resposta com o verso para baixo;
• Cada aluno, na sua vez, tira uma carta da pilha. (Usando um rascunho tenta resolver a
equação);
• Encontrar, entre as cartas espalhadas, a resposta da equação;
• Só é permitido uma única tentativa e se não chegar ao resultado certo, passa a vez;
• Vence o jogo o aluno que conseguir o maior número de cartas (pergunta-resposta).
Dominó dos Números Racionais
JOGANDO
• Cole as folhas que contêm as peças em papel cartão;
• Separe as peças;
• Façam duplas ou grupos de no máximo 5 pessoas;
• Divida a quantidade de peças igualmente entre os participantes;
• Se restar peças, deixe na reserva para ser comprada pelo participante que precisar;
• Façam um sorteio para saber quem começa o jogo;
• As demais partidas iniciam-se com o vencedor da partida anterior;
• Se o iniciante tiver um dobrão (dois lados iguais) começa o jogo com ele, caso não tenha,
pode utilizar qualquer outra peça;
• Para cada fração existe um número decimal correspondente e vice-versa;
• Os dobrões (dois lados iguais) são as únicas frações que podem ser encaixadas com
frações;
• Quem encaixar todas as peças primeiro é o vencedor;
• No caso de nenhum dos participantes encaixar todas as peças, o vencedor será o que
possuir a menor soma de frações e decimais nas mãos.
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RECORTE RECORTE RECORTE RECORTE
CORTE RECORTE RECORTE RECORTE RE
TE RECORTE RECORTE RECORTE RECOR
E RECORTE RECORTE RECORTE RECORT
RECORTE RECORTE RECORTE RECORTE
CORTE RECORTE RECORTE RECORTE RE
TE RECORTE RECORTE RECORTE RECOR
E RECORTE RECORTE RECORTE RECORT
RECORTE RECORTE RECORTE RECORTE
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TE RECORTE RECORTE RECORTE RECOR
E RECORTE RECORTE RECORTE RECORT
RECORTE RECORTE RECORTE RECORTE
CORTE RECORTE RECORTE RECORTE RE
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