Atividades – Trigonometria I. Utilizado na Engenharia para a

Atividades – Trigonometria
A trigonometria é um ramo da matemática que exerce um papel importantíssimo em vários
contextos do nosso dia-a-dia. Graças a ela foi possível o homem criar desde pequenas obras à
grandes e maravilhosas construções e observar fenômenos que possuem comportamentos cíclicos
no qual é possível modelá-los através de funções trigonométricas, dentre vários outros fenômenos
utilizados na Engenharia, Arquitetura, Aeronáutica e até mesmo na Medicina.
Observe alguns exemplos de onde podemos utilizar a trigonometria de diversas formas:
I. Utilizado na Engenharia para a construção de rodas gigantes
II. Na medicina ao estudar o sistema de batimentos cardíacos, que
são movimentos regulares de bombeamento do sangue pelas
artérias.
III. Na topografia
Apesar de enumerarmos várias aplicações da trigonometria, você realmente sabe como ela é
aplicada no dia-a-dia? Consegue identificar as características trigonométricas de cada fenômeno?
Ou até mesmo consegue identificar um ciclo gráfico de uma função trigonométrica qualquer? Antes
de partirmos para a aplicação precisamos conhecer e entender o que é e como a trigonometria é
formada a partir de seus conceitos básicos.
Para uma maior compreensão de outros exemplos que utilizam a trigonometria assista ao vídeo
“Discovery na escola – Conceitos de Trigonometria [Discovery Channel]” disponível no link:
http://www.dailymotion.com/video/x10bzkz_discovery-na-escola-conceitos-de-trigonometriadiscovery-channel_school
1
Atividade 1 – Comparando as relações trigonométricas
Uma das grandes dúvidas é desvendar as relações trigonométricas e qual sua ligação com os
ângulos no círculo trigonométrico...
No círculo trigonométrico o eixo das abscissas representa os valores dos cossenos dos ângulos, o
eixo das ordenadas representam os senos e a tangente do ângulo está representada por uma reta
tangente ao círculo trigonométrico. Respeitando sempre o sinal em relação à origem.
Ângulos no primeiro quadrante:
Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>”
para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂
2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
2
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos
seus ângulos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
____________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no primeiro quadrante o seno de qualquer ângulo
é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é
________________________.
Por exemplo:
30° _______ 45° _______ 60°
𝑠𝑒𝑛(30°)______________𝑠𝑒𝑛(45°)___________𝑠𝑒𝑛(60°)
𝑐𝑜𝑠(30°)______________𝑐𝑜𝑠(45°)___________𝑐𝑜𝑠(60°)
𝑡𝑔(30°)_____________𝑡𝑔(45°)_______________𝑡𝑔(60°)
3
Ângulos no segundo quadrante:
Observe o círculo trigonométrico ao lado:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três
ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>”
para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂
2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos
seus ângulos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no segundo quadrante o seno de qualquer ângulo
é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é
________________________.
Por exemplo:
4
120° _______ 135° _______ 150°
𝑠𝑒𝑛(120°)______________𝑠𝑒𝑛(135°)___________𝑠𝑒𝑛(150°)
𝑐𝑜𝑠(120°)______________𝑐𝑜𝑠(135°)___________𝑐𝑜𝑠(150°)
𝑡𝑔(120°)_____________𝑡𝑔(135°)_______________𝑡𝑔(150°)
Ângulos no terceiro quadrante:
Observe o círculo trigonométrico ao lado:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três
ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>” para
representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂
2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos
seus ângulos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no terceiro quadrante o seno de qualquer ângulo
é ________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é
________________________.
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Por exemplo:
180° _______ 215° _______ 240°
𝑠𝑒𝑛(180°)______________𝑠𝑒𝑛(215°)___________𝑠𝑒𝑛(240°)
𝑐𝑜𝑠(180°)______________𝑐𝑜𝑠(215°)___________𝑐𝑜𝑠(240°)
𝑡𝑔(180°)_____________𝑡𝑔(215°)_______________𝑡𝑔(240°)
Ângulos no quarto quadrante:
Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Considerando que 1, 2 e 3 representam três ângulos, complete utilizando o sinal de “<” ou “>”
para representar a relação:
1̂__________2̂___________3̂
2) Sabendo que o eixo das abscissas representam os valores dos cossenos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑠𝑒𝑛(1̂)______________𝑠𝑒𝑛(2̂)___________𝑠𝑒𝑛(3̂)
3) Sabendo que o eixo das ordenadas representam os valores dos senos dos ângulos, complete
utilizando o sinal de “<” ou “>” para representar as relações:
𝑐𝑜𝑠(1̂)______________𝑐𝑜𝑠(2̂)___________𝑐𝑜𝑠(3̂)
4) Considerando a reta tangente, utilize os sinais de “<” ou “>” para representar as relações:
6
𝑡𝑔(1̂)___________𝑡𝑔(2̂)_______________𝑡𝑔(3̂)
5) Que conclusão podemos tirar sobre os valores dos senos, cossenos e tangentes em relação aos
seus ângulos?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6) em relação aos sinais (positivo) ou (negativo), no quarto quadrante o seno de qualquer ângulo é
________________________, o cosseno é __________________________ e a tangente é
________________________.
Por exemplo:
300° _______ 315° _______ 330°
𝑠𝑒𝑛(300°)______________𝑠𝑒𝑛(315°)___________𝑠𝑒𝑛(330°)
𝑐𝑜𝑠(300°)______________𝑐𝑜𝑠(315°)___________𝑐𝑜𝑠(330°)
𝑡𝑔(300°)_____________𝑡𝑔(315°)_______________𝑡𝑔(330°)
Ângulos das abscissas e das ordenadas:
Observe o círculo trigonométrico a seguir:
1) Quais são ângulos das abscissas?
_______________________________________________________________
2) Por que possuem este nome?
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______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
3) O que caracteriza um ângulo da abscissa? Dê outros exemplos.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
4) Quais são ângulos das ordenadas?
_______________________________________________________________
5) Por que possuem este nome?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
6) O que caracteriza um ângulo da ordenada? Dê outros exemplos.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_________________________________
7) Considerando que o círculo trigonométrico possui raio unitário, quais são os valores de:
A) 𝑠𝑒𝑛(0°) =
G) 𝑠𝑒𝑛(180°) =
B) cos(0°) =
H) 𝑐𝑜𝑠(180°) =
C) 𝑡𝑔 (0°) =
I) 𝑡𝑔(180°) =
D) 𝑠𝑒𝑛(90°) =
J) 𝑠𝑒𝑛(270°) =
E) cos(90°) =
K) 𝑐𝑜𝑠(270°) =
F) 𝑡𝑔 (90°) =
L) 𝑡𝑔(270°) =
Atividade 2 – O arco côngruo
Todos os arcos de um círculo trigonométrico, sem exceção, possuem uma determinação principal
(na primeira volta). Porém dois ou mais arcos podem possuir a mesma determinação mesmo que
não possuam o mesmo comprimento, e isto ocorre porque podem possuir um número diferentes
de voltas sobre o círculo trigonométrico. É preciso, então, aplicar a definição geral para representar
um arco e seus respectivos côngruos. Observe:
𝜋
Pegaremos como exemplo o ângulo de 30° ou 6
8
𝜋
Para descobrirmos os arcos côngruos a 30° ou 6 no primeiro quadrante basta adicionarmos k-voltas
em graus ou radianos a este valor.
Em graus
Arco de 30°
Nº de voltas completas
1
2
3
4
k
Arco côngruo
30° + (1).(360°) = 380°
30° + (2).(360°)=750°
30° + (3).(360°)=1100°
30° + (4). (360°)= 1470°
30° + 360°.k
Nº de voltas completas
1
Arco côngruo
𝝅
𝟏𝟑𝝅
+ 𝟏. 𝟐𝝅 =
𝟔
𝟔
𝝅
𝟐𝟓𝝅
+ 𝟐. 𝟐𝝅 =
𝟔
𝟔
𝝅
𝟑𝟕𝝅
+ 𝟑. 𝟐𝝅 =
𝟔
𝟔
𝝅
𝟒𝟗𝝅
+ 𝟒. 𝟐𝝅 =
𝟔
𝟔
𝝅
+ 𝟐𝒌𝝅
𝟐
Em radianos
Arco de
𝝅
𝟔
2
3
4
k
Isto significa que todos estes ângulos possuem o mesmo ponto dentro do círculo trigonométrico,
ou seja, possuem o mesmo seno, cosseno, tangente e qualquer outra relação trigonométrica.
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1) Siga os mesmos passos do exemplo anterior e encontre os arcos côngruos (em graus e em
radianos) de cada ângulo a seguir e ao final represente-os no círculo trigonométrico.
A) 45°
B) 160°
3𝜋
C) 2
5𝜋
D) 3
Porém, dentro de uma mesma volta um ângulo possui seus arcos côngruos em cada um dos
quadrantes.
Ainda pegando o 30° como exemplo:
Representação no I Quadrante
Representação no II Quadrante
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Como desenvolver:
Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das abscissas até a um ponto
do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no segundo
quadrante.
Como calcular:
Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 180° ou 𝜋, ou seja,
𝝅
𝟓𝝅
180° - 30° = 150° ou 𝝅 − 𝟔 = 𝟔
2) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo
no III Quadrante pode ser calculado por:
_______________________________ ou _____________________________
Representação no III Quadrante
Como desenvolver:
Como temos o arco de 30°, se prolongarmos a reta que define o arco no I quadrante ao longo do
III quadrante até um ponto do círculo teremos seu arco côngruo no III quadrante, formando assim
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ângulos opostos pelo vértice. Logo podemos dizer que de 180° até o ponto formado pelo encontro
da reta e a circunferência temos um arco de 30°.
Como calcular:
Basta somar o ângulo original no I quadrante a 180° ou 𝜋, ou seja,
𝝅
𝟕𝝅
180° + 30° = 210° ou 𝝅 + 𝟔 = 𝟔
3) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo
no III Quadrante pode ser calculado por:
_______________________________ ou _____________________________
Representação no IV Quadrante
Como desenvolver:
Como temos o arco de 30°, se traçarmos uma reta paralela ao eixo das ordenadas até a um ponto
do círculo trigonométrico encontraremos o ponto que representa seu arco côngruo no quarto
quadrante.
Como calcular:
Basta subtrair o ângulo original no I quadrante de 360° ou 2𝜋, ou seja,
𝝅
𝟏𝟏𝝅
360° - 30° = 330° ou 𝟐𝝅 − 𝟔 = 𝟔
4) Podemos dizer, então, que se 𝜶 é a representação de um arco no I Quadrante, seu arco côngruo
no IV Quadrante pode ser calculado por:
_______________________________ ou ____________________________
5) Dados os ângulos a seguir encontre os seus respectivos côngruos(em graus e em seguida
represente-os no círculo trigonométrico radianos) da primeira volta em cada um dos quadrantes :
A) 15°
B) 60°
7𝜋
C) 18
𝜋
D) 4
Os sinais das funções trigonométricas de um ângulo em relação aos seus côngruos
Observe o círculo trigonométrico a seguir:
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6) Agora responda, colocando o sinal de (+) ou (-):
A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝛼)
D) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝛼)
B) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼)
E) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝛼)
C) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = ______𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝛼)
F) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = ______𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝛼)
7) Agora, em relação a tangente, podemos fazer a mesma relação?
________Sim
__________ Não
8) Se sim, relacione a 𝑡𝑔(𝛼) com as tangentes dos arcos côngruos a 𝛼 na primeira volta:
9) O que podemos dizer sobre tangente de um ângulo em relação ao seus seno e cosseno?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Atividade 3 – Arcos côngruos nas determinações negativas
Sabemos que a determinação de um círculo trigonométrico é anti-horária, na qual denominamos
de sentido positivo.
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Porém, há situações em que temos o sentido horário, denominado de sentido ou determinação
negativa.
Como calcular o ângulo na determinação negativa?
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Observe que 𝛼 = - 30°. Isto significa que 𝛼 distanciou 30° de 360° no sentido negativo , logo na
primeira determinação positiva temos que 𝛼 = 360° - 30° = 330°. Este cálculo também pode ser
efetuado se o ângulo estiver em radianos.
Podemos concluir que – 30° = 330° na primeira determinação positiva.
Se um ângulo ultrapassar – 360° na determinação positiva procedemos da seguinte forma:
Por exemplo: - 795°
- 795 : 360° (1 volta completa) = 2 voltas completas em sentido negativo e sobraram – 75°.
360° - 75° = 285°.
Isto significa que na primeira determinação positiva o ângulo – 795° = 285°.
1) Observando o exemplo encontre o valor de cada ângulo em sua primeira determinação principal.
16𝜋
A) – 182°
E) – 1540°
I) −
5
B) – 240°
F) – 2486°
J) −2𝜋
5𝜋
25𝜋
C) – 180°
G) − 4
K) − 2
D) – 270°
H) −
7𝜋
3
L) −
37𝜋
4
Funções trigonométricas em relação aos ângulos na determinação negativa
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2) Analise o círculo a
lacunas com (+) ou (-):
seguir e complete as
A) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = _____𝑠𝑒𝑛(−𝛼)
B) cos(𝛼) = _____cos(−𝛼)
C) 𝑡𝑔(𝛼) = ______𝑡𝑔(−𝛼)
3) Essa relação é sempre a mesma para qualquer valor de 𝛼? Justifique.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
___________________________________________________
4) Discuta em sala se há alguma aplicação de problema que devemos utilizar a determinação
negativa e qual seu significado.
Atividade 4 – Construindo meu próprio ciclo trigonométrico
Chegou a hora de você mesmo construir seu próprio ciclo trigonométrico. Ao manipularmos algo
concreto podemos perceber e intender muitos outros conceitos que não percebemos ao apenas
executar listas de exercícios.
Material utilizado:


Papel cartão, papelão ou algo similar (pode ser feito em A4, porém quanto mais rígido for o
papel melhor);
Régua;
16





Transferidor;
Compasso;
Tesoura;
Barbante;
Lápis.
Construção:
1º Passo:
Utilizando o compasso com uma abertura de 10 cm, desenhe um círculo no papel escolhido para
executar o trabalho e com uma régua trace os eixos cartesianos.
2º Passo:
Divida os eixos de 1 em 1 centímetro e os marque da seguinte forma:
3º Passo:
Utilizando o transferidor. Marque pontos sobre a circunferência de 10 em 10 graus.
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4º Passo:
Pegue um pedaço de
barbante com um pouco
mais de 10 cm de comprimento e cole uma de suas pontas no centro da circunferência. Em seguida
corte a sobra até que ele fique com exatamente 10 cm de comprimento (mesmo tamanho do raio
da circunferência confeccionada). A ideia é que o barbante sirva como seu raio.
5º Passo:
Recorte, com a tesoura, o círculo para que fique melhor de manuseá-lo e carregá-lo.
A ideia é encontrar os valores aproximados dos senos e cossenos dos ângulos e definir os valores
das outras funções (tangente, secante, cossecante e cotangente). Se quiser uma aproximação
melhor faça o círculo trigonométrico maior e o divida em mais partes.
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Referências:
Disponível em: <
https://commons.wikimedia.org/wiki/Ferris_wheel#/media/File:Riesenrad_centro_park_oberhausen.jpg> -
Acesso em: 14 out. 2015
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blood_vessels#/media/File:Circulatory_System_zh.svg> - Acesso
em: 14 out. 2015
Disponível em: < https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Topography#/media/File:Field-MapBirdie2.JPG> - Acesso em: 14
out. 2015
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