Os Teoremas de Lindström

Os Teoremas de Lindström
Gustavo Chaves Tanaka, Hércules de Araujo Feitosa, Campus de Bauru, Faculdade de Ciências,
Curso de Matemática, [email protected], com bolsa PIBIC/CNPq.
Palavras Chave: Lógica de primeira ordem, Teoremas de Lindström, Teoria dos Modelos.
Introdução
A lógica clássica, embora bastante intuitiva e
poderosa, não é capaz de lidar com algumas
situações e conceitos matemáticos. Foi então, que
surgiram algumas lógicas que estendem a lógica
clássica de primeira ordem e são muito mais
expressivas que aquela.
Na década de 1960, Per Lindström, um filósofo
sueco, publicou diversos trabalhos que tratavam de
algumas propriedades da lógica que são:
- Compacidade enumerável: se X é um conjunto de
sentenças e todo subconjunto finito de X tem
modelo, então o conjunto X tem modelo;
- Löwenheim-Skolem: se um conjunto X de
sentenças tem modelo de domínio infinito, então ele
possui modelo de domínio enumerável;
- Löwenheim-Skolem-Tarski: Se um conjunto X de
sentenças possui modelo, então ele possui um
modelo com domínio de cardinalidade infinita;
- Completude abstrata: o conjunto de sentenças
válidas é recursivo;
- Definibilidade de Beth: se uma sentença A define
implicitamente um predicado que ocorre dentre
seus símbolos, então ela também o define
explicitamente.
É possível verificar que todas essas propriedades
são válidas para a lógica de primeira ordem e, além
disso, Lindström mostrou, em um de seus trabalhos
que esta lógica é maximal com relação aos
seguintes pares de propriedades:
- Compacidade enumerável e Löwenheim-Skolem;
- Löwenheim-Skolem e completude;
- Löwenheim-Skolem e Löwenheim-Skolem-Tarski;
- Löwenheim-Skolem e definibilidade de Beth.
Desse modo, embora sejam mais expressivas, as
lógicas que estendem a lógica clássica de primeira
ordem sempre perdem alguma propriedade. Dentre
esses pares, os dois primeiros receberam destaque
especial e ficaram conhecidos como o Primeiro e
Segundo Teoremas de Lindström, respectivamente.
O objeto central deste trabalho é o Segundo
Teorema de Lindström.
Objetivos
O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo
detalhado dos Teoremas de Lindström para a lógica
de primeira ordem.
Material e Métodos
Trata-se de um trabalho teórico, para o qual foi
desenvolvido um rigoroso e aprofundado estudo
dos textos da bibliografia.
Foram utilizados textos da Biblioteca da UNESP,
do professor e outros buscados na internet.
A partir de seminários regulares com o professor
e algumas apresentações em seminários do Grupo
de Pesquisa Salci, foi elaborado o relatório de
pesquisa.
Resultados e Discussão
Para explicitarmos a demonstração deste teorema, fizemos uma longa construção com uma
definição de lógica regular, tratamos de diversas
lógicas regulares que estendem a lógica de primeira
ordem e desenvolvemos análises sobre estas
propriedades, as quais verificamos valer para a
lógica de primeira ordem, mas não para suas
extensões.
Conclusões
Finalmente, fornecemos demonstrações para o
Primeiro e Segundo Teoremas de Lindström.
T1: Não existe uma lógica abstrata regular com
maior poder expressivo do que a lógica de primeira
ordem que seja ℵ0-compacta e na qual valha a
propriedade de Löwenheim-Skolem.
T2: Não existe lógica efetivamente regular mais
expressiva do que a lógica de primeira ordem que
satisfaça a propriedade de Löwenheim-Skolem e na
qual o conjunto de sentenças válidas é enumerável.
Agradecimentos
Agradecemos ao CNPq pela bolsa concedida.
XXVI Congresso de Iniciação Científica