QG12-2

Mecânica Quântica
™Quantização e o modelo de Bohr (revisão)
™Dualidade Onda-Partícula
™Princípio da Incerteza
™Equação de Schrödinger
™Partícula na Caixa
™Átomo de Hidrogênio
™Orbitais Atômicos
™Números Quânticos
™Átomos Polieletrônicos
™Tabela Periódica
™Propriedades Periódicas
™Conceito de Ligação Química
1
Quantização
• Quantização da energia (Planck, 1900)
– Explicação da radiação do corpo negro
E = hν = hω =
hc
λ
• Efeito fotoelétrico (Einstein, 1905)
– Conceito de fóton
1
hν = El + mv 2
2
• Espectros atômicos (linhas discretas)
– Série de Balmer
⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎤
1
= R ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ∴ n = 2,3,4,...; R = 109737cm −1 ⇒
λ
⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ n ⎠ ⎥⎦
⎡⎛ 1
1
= R ⎢⎜
λ
⎢⎜⎝ n f
⎣
2
2
⎞ ⎛1⎞ ⎤
⎟ −⎜ ⎟ ⎥
⎟ ⎜n ⎟ ⎥
⎠ ⎝ 2i ⎠ ⎦
O modelo de Bohr - Postulados
• Somente é permitido ao elétron certos estados
estacionários, cada um dos quais possuindo uma
energia definida
• Nesses estados, o átomo não pode emitir radiação;
emissão ou absorção pode ocorrer se o átomo
passar de um estado para outro
• O elétron se movimenta descrevendo uma órbita
circular em torno do núcleo
• Os estados eletrônicos permitidos são aqueles em
que o momento angular do elétron é quantizado em
múltiplos de h/2π
Os dois primeiros postulados estão corretos e são mantidos pela teoria
quântica atual. O quarto postulado está parcialmente correto. O terceiro
3
postulado é errado e não faz parte da teoria quântica moderna.
O modelo de Bohr
F=
e
1
(Ze )e
4πε o r 2
v2
F = ma = m
r
r
+
Ze
Transição entre estados
de energia quantizada:
⎛ 1
1 ⎞ hc
E 2 − E1 = hν = C ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ =
⎝ n1 n2 ⎠ λ
'
4
O modelo de Bohr – Números
• Energia e raio atômico
e
r
+
Ze
n 2 a0
r=
Z
a0 = 0,53Å
13,6 × Z
ET = −
(eV )
2
n
2
2,17 × 10 −18 × Z 2
ET = −
(J )
2
n
n = 1, 2, 3, ...
5
O modelo de Bohr
⎛ 1
⎞
1
= R⎜ 2 − 2 ⎟
⎜n
⎟
λ
⎝ f ni ⎠
1
Fórmula de Rydberg
6
Dualidade Onda-Partícula
• Louis de Broglie (1924)
– Einstein: Idéia de momento de um fóton
(momento é uma propriedade corpuscular)
– Questionamento: será que partículas materiais, por sua
vez, não teriam um comprimento de onda?
– Rearranjando as equações utilizadas por Einstein:
h
h
λ= =
p mv
Partículas materiais em movimento também devem
apresentar propriedades ondulatórias. (Exemplos...)
• Difração de elétrons (1927)
– G.P. Thomson; Davisson & Germer
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Princípio da Incerteza
• Werner Heisenberg (1937)
– Par de observáveis complementares
– Operadores não comutam
– Não existem conjuntos de auto-funções comuns
h
Δp x .Δx ≥
4π
(Δp x .Δx ≥ h )
h
ΔE.Δt ≥
4π
Exemplo: Posição de um elétron determinada dentro de 0.05 Å
– Trajetórias bem definidas propostas por Bohr não têm
nenhum significado.
– Desenvolvimento da Mecânica Quântica ou Ondulatória.
8
Equação de Schrödinger
• Ondas e equações de onda
– Exemplo: sistema massa-mola
– Equações que satisfazem a equação diferencial:
• A equação fundamental da mecânica quântica:
Hψ i = Eiψ i
Desenvolvimento por Heisenberg and Schrödinger
9
Equação de Schrödinger
• Operador Hamiltoniano
⇒
⎛ p x2
ih d ⎞
p2
⎟⎟
+ V ⎜⎜ =
+ V ( x); p x = mvx = −
H =
2m
2π dx ⎠
⎝ 2m
dψ
+ Vxψ = Eψ
Hψ = − 2
2
8π m dx
h
2
2
– Em três dimensões:
− h 2 ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
⎜⎜ 2 + 2 + 2
2
8π m ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎞
⎟⎟ + Vψ = Eψ
⎠
10
Partícula livre
• Energia potencial é igual a zero
– H = Ek
− h 2 d 2ψ
Hψ = 2
= Eψ
2
8π m dx
11
Partícula em uma caixa (1D)
Condições de contorno:
n=3
ψ ( 0) = 0
ψ ( L) = 0
h2k 2
h2n2
h2 n2
E= 2 =
=
2
8π m 8mL 8m L2
n=2
n=1
12
⎛2⎞
⎛ nπx ⎞
ψ n = ⎜ ⎟ sen⎜
⎟
⎝L⎠
⎝ L ⎠
x=0
x=L
12
Partícula em uma caixa (1D)
Ψ1 ( x) = 21/ 2 sen(πx)
2
2
ψ1( x ) 0
2
ψ 1( x )
0
0.5
1
2 0
2
0
0.5
x
x
Ψ3 ( x) = 21/ 2 sen(3πx)
Ψ2 ( x) = 21/ 2 sen(2πx)
2
2
ψ3( x ) 0
ψ2( x ) 0
2
1
2
0
0.5
x
1
0
0.5
x
1
13
Partícula em uma caixa (2D)
• Contornos de amplitude constante
(a) n1=1,n2=1
(b) n1=1,n2=2
(c) n1=2,n2=1
(d) n1=2,n2=2
• Surgimento de um segundo número quântico
14
Partícula em uma caixa
• Degenerescência
Caixa quadrada:
(
h2k 2
h2
E = 2 = 2 2 nx2 + n y2
8π m 8π mL
)
• Espectro de energias
nx=2, ny=2
nx=1, ny=2
nx=2, ny=1
Se x = y → DEGENERESCÊNCIA!!!
Caixa cúbica:
h2k 2
h2
E = 2 = 2 2 (nx2 + n y2 + nz2 )
8π m 8π mL
nx=1, ny=1
⇒
três números quânticos
15
Átomo de Hidrogênio (um elétron)
• Números quânticos
– Ao contrário da teoria de Bohr, não é necessário postular a
existência dos números quânticos.
– Quando a equação de Schrödinger é aplicada ao átomo de
hidrogênio, a quantização e os números quânticos surgem
naturalmente.
• Equação de Schrödinger (em 3D)
– Três números quânticos orbitais
• Número quântico principal n
• Número quântico de momento angular orbital l
• Número quântico orbital magnético ml
– O quarto número quântico
• Spin do elétron (s = 1/2)
• ms = +1/2 ou -1/2 (“up”/“down”; α / β; etc); degenerêscencia
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• Experimento de Stern-Gerlach
Átomo de um elétron
•n
– Pode ter qualquer valor inteiro positivo
– Define a energia e o tamanho do orbital
•l
– Varia entre 0 e n - 1 (n valores)
– Define a forma do orbital
• ml
– Varia entre - l e + l, inclusive 0 (2l + 1 valores)
– Relacionado com a orientação do orbital no espaço
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Átomo de um elétron
• Estado fundamental:
1 0 0 +½ e 1 0 0 -½
(duplamente degenerado)
• Outras combinações possíveis
– Estados excitados
– P. ex., para n = 2, pode-se ter 2 valores para l;
para l = 0, ml = 0 (como no estado fundamental)
para l = 1, ml pode ser -1, 0, ou +1
• As combinações acima são os orbitais
1s, 2s e 2p (três orientações, px, py e pz)
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Átomo de um elétron
• Função de onda para cada orbital dada pela
equação de Schrödinger em 3D
− h 2 ⎛ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
⎜⎜ 2 + 2 + 2
2
8π m ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎞
⎟⎟ + Vψ = Eψ
⎠
⎛
− Ze 2 ⎞
⎟⎟
⎜⎜V =
4πε 0 r ⎠
⎝
• Conversão para coordenadas esféricas:
ψ (x, y, z ) ⇒ ψ (r ,θ , φ ) = R(r )χ (θ , φ )
19
Átomo de um elétron
• Parte radial das funções de onda
20
Átomo de um elétron
• Gráfico – parte radial:
21
Átomo de um elétron
• Funções de onda (radial + angular)
22
Átomo de um elétron
• Densidade de probabilidades radiais
2
2
ρ (r ) = 4πr ψ (r , θ , ϕ )
23
Átomo de um elétron
• Representação dos orbitais
24
Átomo de um elétron
• Representação dos orbitais
25
Átomo de um elétron
• Representação dos orbitais
26
Átomo de um elétron
• Representação dos orbitais
27
Átomo de um elétron
• A energia é definida somente por n
l=0
l=1
l=0
l=1
l=2
n=3
n=2
n=1
l=0
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Fontes
•
•
•
•
•
•
•
Notas de aula dos Profs. Walter Azevêdo, Arnóbio Gama, Fernando Halwass,
João Bosco Paraíso, A.C. Pavão
Mahan & Myers, Química – um curso universitário
A.L. Companion, Ligação Química
Atkins & Jones, Princípios de Química
J.B. Russell, Química Geral
D.P. White, Química – A Ciência Central
http://www.science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c120/bondel.html
29