Unidade II - UNIPVirtual

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Unidade II
Unidade II
5 EQUAÇÕES
Introdução
A resolução de problemas matemáticos está sempre associada à lógica. Isso quer dizer que você tem
que usar raciocínio lógico quando analisa os problemas a serem resolvidos. Para que a matemática possa
ajudá-lo a solucioná-los, você deve construir o que chamamos de uma sentença matemática. O primeiro
passo para resolver um problema é construir a sentença matemática em que aparece pelo menos um
elemento que você desconhece: o resultado. Na linguagem matemática temos uma maneira de escrever
por meio de símbolos.
Linguagem e matemática
Sentença em português:
Sentença matemática:
cinco somado a 8
5+8
três vezes cinco
3x5
o dobro de um número
2xX
Note que quando desconhecemos o valor do elemento utilizamos uma letra para representá-lo; no
exemplo acima, usamos o x para representar esse elemento. Esse elemento desconhecido recebe, na
linguagem matemática, o nome de variável ou incógnita.
Utilizando essa linguagem, qualquer pessoa que a conheça, no Brasil, Japão, China etc. pode resolver
o problema.
Uma equação pode ser comparada a uma balança de dois pratos, isto é, deve manter o equilíbrio. O
conteúdo de cada lado deve ser equivalente. Assim, o símbolo de igualdade “=” é usado para separar os
dois lados da equação que se assemelham aos pratos da balança. Outro elemento importante em uma
equação é a resposta ao problema representado na equação. Para representar o valor desconhecido
usamos uma letra qualquer, por exemplo, x. Assim, você pode escrever uma equação desta forma:
4x + 4 = 28
Note que a sentença matemática diz: quatro vezes x mais quatro é igual a vinte e oito. A letra x
representa a variável ou incógnita.
Podemos notar que toda equação tem:
• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos que são denominadas variáveis ou incógnitas.
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MATEMÁTICA APLICADA
• Um sinal de igualdade, denotado por =.
• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda.
• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
4x+4
=
28
1º membro
sinal de igualdade
2º membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
4x + 42 = 28
Equação original
4x + 4 - 4 = 28 - 4
Subtraímos 4 dos dois membros
4x = 24
Dividimos por 4 os dois membros
x=6
Solução
Muito importante: quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os
membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou
dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em
equilíbrio. Esse processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes
da equação.
5.1 Equações do 1º grau
Deﬁnição
Uma equação é deﬁnida como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para
alguns valores que estejam agregados em seus domínios.
Resolução de uma equação do 1º grau
Resolver uma equação do 1º grau signiﬁca achar valores que estejam em seus domínios e que
satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da
equação.
Na forma simples de entender a solução de equação do 1º grau, basta separar as incógnitas dos
números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Dessa forma, os números ﬁcam de um lado da
igualdade e do outro lado as constantes.
Para assimilar, veja alguns exemplos de ﬁxação resolvidos:
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Unidade II
a) Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}
b) Qual o valor da incógnita x?
2 – 3.(2 - 4x) = 8
2 – 6 + 12x = 8
12x = 8 - 2 + 6
12x = 6 + 6
x = 12/12
x=1
V = {1}
Outros exemplos de equações de 1º grau:
x + 5 = 10
5x – 3 = 28
3x + 12 = 4
2x – 4 = 0
10 + 4.(5.4x) = 5 – (x + 8)
Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do
1º grau, sempre colocamos de um lado as incógnitas e de outros os números para que se tenha assim a
solução da equação. Ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.
Lembrete
Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores
que estejam agregados na sentença.
A constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)
Observe:
Para a ≠ 0 e b ≠ 0, temos:
x = -b/a
S = {-b/a}
Para a ≠ 0 e b = 0, temos:
x = 0/a
S = {0}
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MATEMÁTICA APLICADA
Agora, se a constante “a” for igual = 0 (a = 0), temos:
b ≠ 0 e x = -b/0
V = {0}
Assim é possível notar que quando a constante “a” for igual a zero (a = 0), temos “a” conjunto “V”,
chamado de conjunto Verdade, igual a zero.
V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é
denominada de “impossível” ou “sem solução”.
Ainda se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:
b=0
0x = 0
V=R
Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x se
torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.
Incógnita com valor negativo
Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer de o coeﬁciente que estiver
acompanhando a variável ser um número negativo (-).
Caso isso ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), eliminando
assim o sinal negativo.
Veja alguns exemplos:
a) 4x – 2 = 6x + 8
Reduzindo os termos:
4x – 6x = 8 + 2
-2x = 10
Veriﬁque que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeﬁciente, tem o valor negativo (-), e então
multiplicam-se os termos da equação por (-1).
Assim, temos aos valores:
-2x = 10 (-1)
2x = - 10
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Unidade II
Veriﬁque, então, que após multiplicar os termos por (-1) temos o coeﬁciente da incógnita “x” na
forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.
x = -10/2 >> x = -5
Como o valor de x = -5, então V = {-5}
Observação:
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual se colocam os valores de um lado do sinal
(=) e as incógnitas do outro, é apenas uma forma prática. Veja o que realmente ocorre:
Repare:
2x + 4 = 8
Adicionamos (-4) a ambos os lados, a ﬁm de deixarmos o valor de 2x “separado”.
Veja o que acontece:
2x + 4 - 4 = 8 - 4
2x = 4
x=2
V={2}
Saiba mais
As equações do 1º grau que vimos neste item permitem resolver muitos
problemas apresentados na vida cotidiana. Veja deﬁnições e exemplos em:
<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-1deﬁnicao.jhtm>.
<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-2resolucao.jhtm>.
<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-3problemas.jhtm>. Acesso em: 08 maio 2011.
5.2 Equações do 2º grau
As equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas
como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
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MATEMÁTICA APLICADA
Denominamos equação do 2º grau toda equação do tipo ax²+bx+c com coeﬁcientes numéricos a,
b e c com a ≠ 0.
Exemplos:
Equação
a
b
c
x²+4x+1
1
4
1
-2x²+3x-2
-2
3
-2
Observe a equação e os coeﬁcientes a, b e c separados.
As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas de incompletas se um
dos coeﬁcientes (b ou c) for nulo.
Resolução da equação do 2º grau incompleta:
Caso 1: b=0
A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução:
x²-9=0 ⇒ x²=9 ⇒ x=
⇒ x=
Note que o coeﬁciente b não está presente.
Caso 2: c=0
A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução:
x²-9x=0 basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 ⇒ x=0,9
Note que o coeﬁciente c não está presente.
Caso 3: b=c=0
2x²=0 ⇒ x=0
Note que os coeﬁcientes b e c não estão presentes.
Resolução da equação do 2º grau completa:
As equações do 2º grau completas são do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de
Bhaskara.
A fórmula quadrática de Bhaskara, Sridhara
O fundamento usado para obter essa fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do 2º
grau.
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Unidade II
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeﬁcientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bhaskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquerdo e substituímos o lado direito (b²-4ac) por
(delta), temos então:
(2ax+b)² =
2ax+b =
2ax=-b
Temos então a fórmula de Bhaskara:
Vamos agora usar a fórmula de Bhaskara para resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
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MATEMÁTICA APLICADA
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
∆ = b2 - 4ac = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
» x=2
Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais (∆ = 0).
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
∆ = b2 - 4ac = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que ∆ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui
nenhuma raiz real.
Logo: V = ∅ V = ∅ (conjunto vazio).
As equações do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano. Essa representação tem
a forma de uma parábola.
Gráﬁco da função:
Lembre-se: a é o coeﬁciente do x2 (ax2).
Como podemos observar, a parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo,
depende o valor do coeﬁciente a.
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Unidade II
Coeﬁciente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima.
Coeﬁciente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.
A função do 2º grau pode ter três resultados possíveis, chamados raízes. Esses resultados
dependem do valor de ∆. Fazendo f(x) = 0 podemos calcular essas raízes pela formula de Bháskara.
Lembrando que: ∆ = b2 - 4ac
Quando ∆ > 0
A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas
raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos, como
podemos ver abaixo:
Quando ∆ = 0
A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz
real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.
Quando ∆ < 0
A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o
eixo das abscissas (x).
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MATEMÁTICA APLICADA
Exemplos de aplicação
1) A soma das idades de André e Célio é 24 anos. Descubra as idades de cada um deles sabendo-se
que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Resolução: primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para
a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 24
c + (c - 4) = 24
2c - 4 = 24
2c - 4 + 4 = 24 + 4
2c = 28
c = 14
Resposta: Célio tem 14 anos e André tem 14-4=10 anos.
2) O levantamento da população de duas cidades revelou que a população de uma delas, que
chamaremos de cidade A, é o triplo da população da outra, chamada de cidade B. Se as duas cidades
juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Resolução: identiﬁcaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a
letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma podemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
3) Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de
cada quarto se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Resolução: tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
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Unidade II
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
4) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Você pode veriﬁcar que os números procurados são: 130, 131 e 132.
5) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
Resposta a:
18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x=6
Resposta b:
23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4
Resposta c:
10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
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MATEMÁTICA APLICADA
Resposta d:
x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12
2x² + 6x = 2x² + 12
Diminuindo 2x² em ambos os lados:
6x = 12
x = 12/6 = 2
Resposta e:
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21
x = -21
Resposta f:
4x² + 24x - x² = 5x²
4x² - x² - 5x² = -24x
-2x² = -24x
Dividindo por x em ambos os lados:
-2x = - 24
x = 24/2 = 12
6) Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
7) Resolva as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
Resposta a:
(20 - 8x) / 4x = x/4x
20 - 8x = x
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Unidade II
-8x = x – 20
-8x - x = -20
-9x = -20
x = 20/9
Resposta b:
3bx = 7bx + 3bc - 6bc
3bx - 7bx = -3bc
-4bx = -3 bc
x = (3bc/4b)
x = 3c/4
Saiba mais
Veja um exemplo de resolução de equação do segundo grau no site
abaixo:
<http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm>.
Acesso em: 08 maio 2011.
6 FUNÇÕES
6.1 Conceito
Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. Se utilizamos { } como o
símbolo para o “conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados:
• {(0, 1), (55.22), (3, - 50)}
• {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}
• {(- 1,7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}
Por vezes podemos identiﬁcar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação
de dependência. Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência,
determinando, assim, suas variáveis.
Essa identiﬁcação será baseada em parte da teoria de conjuntos vista na unidade I. Lá, veriﬁcamos
que podemos relacionar números por meio de relações gráﬁcas em um plano cartesiano, números que,
de maneira geral, são chamados de x e y pelos matemáticos.
Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia empregamos o conceito
de função, até sem perceber.
76
MATEMÁTICA APLICADA
Exibiremos a seguir algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações
funcionais.
Quando completamos rapidamente o cálculo do valor de um lanche em que pedimos dois salgados
e um refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?
Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e compará-los com a renda familiar, saberemos
se teremos condições de adquirir um bem?
Ao ﬁnalizarmos um crediário e veriﬁcarmos que o valor ﬁnal terá um acréscimo de determinada
soma, poderemos aceitar ou não os juros propostos pela empresa.
Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, poderemos estimar os gastos
iniciais?
É fato que o conceito de função, juntamente com sua representação gráﬁca, é a ferramenta matemática
mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá-lo de modo amplo.
Além disso, deve-se exercitar continuamente, pois o gestor precisa tomar decisões constantemente, amparado
por ferramentas matemáticas, para obter o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre pares
ordenados, não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça, isto é, qualquer conjunto de
números é uma relação, contanto que esses números sejam pares ordenados.
Já para uma função temos condições precisas que deﬁnem sua existência. Ainda assim, funções são
um tipo especial da relação.
Vejamos:
Uma relação f: A → B é chamada de função se:
(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A);
(II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A
“associado” a mais de um elemento de B).
Observação: no entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de
B e podem “sobrar” elementos de B.
Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada, é: uma função é uma relação entre
duas variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x seja
associado um e somente um único valor para y, como y = f(x).
Nesse caso:
O conjunto de valores de x é nomeado o domínio da função.
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Unidade II
As variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente.
A relação entre as variáveis x e y tem uma signiﬁcação de grande apelo visual, que destaca
propriedades da função.
Pode-se, por meio da descrição gráﬁca da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis
estão em relação crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é
dependente quadrática da variação de x, etc.
6.2 Deﬁnição
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada
por f : A → B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único
elemento de B.
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja
associado um único y ∈ B, podendo, entretanto, existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum
elemento pertencente ao conjunto A.
Observação: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está
associado a x por meio da função f.
Exemplos:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e, portanto, 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto, 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3 etc.
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (domínio e contradomínio ) e de uma
fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e, somente, um elemento do
contradomínio.
Quando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f) (contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais,
dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma
78
MATEMÁTICA APLICADA
função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a deﬁne, sendo o conjunto dos valores
possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto
imagem da função. Assim, por exemplo, para a função deﬁnida por y = 1/x, temos que o seu domínio é
D(f) = R, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se de que não existe divisão por zero),
e o seu conjunto imagem é também R, já que se y = 1/x, então x = 1/y e, portanto, y também não pode
ser zero.
Lembre-se: o símbolo ⊂ signiﬁca “contido em”.
Dada uma função f: A → B deﬁnida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) ∈ f onde:
x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráﬁco obtido será o da função f.
Assim, por exemplo, sendo dado o gráﬁco cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x nos dá o domínio da função.
b) a projeção da curva sobre o eixo dos y nos dá o conjunto imagem da função.
c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráﬁco da função
em, no máximo, um ponto.
Veja a ﬁgura abaixo, relativa aos itens acima:
6.3 Tipos de funções
6.3.1 Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
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Unidade II
Exemplo:
6.3.2 Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens
distintas, isto é:
x1 ≠ x2 ⇒f(x1) ≠ f(x2)
Exemplo:
6.3.3 Função bijetora
Uma função é dita bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Exemplos de aplicação
1) Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade.
A função g atribui a cada país a sua capital.
A função h atribui a cada número natural o seu dobro.
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MATEMÁTICA APLICADA
Podemos aﬁrmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma das alternativas anteriores
Resolução:
Sabemos que numa função injetora elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou
seja:
x1≠x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos.
Assim, concluímos que a alternativa correta é a letra C.
2) Seja f uma função deﬁnida em R - conjunto dos números reais tal que f(x - 5) = 4x. Nessas
condições, pede-se determinar f(x + 5).
Resolução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x-5=u→x=u+5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
3) (UEFS 2005) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, para todo
x ∈ ?R, pode-se aﬁrmar que b/a é igual a:
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Unidade II
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3
Resolução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem igualando:
a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro ﬁca:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Então, poderemos escrever: 2a = -2 ∴ a = -2/2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo:
(-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1/3, o que nos leva tranquilamente à alternativa d.
Agora resolva este:
A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resposta: 9x + 5.
6.4 Funções usuais
6.4.1 Função par
A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu
domínio, f(x) = f (-x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem.
Uma consequência desse fato é que os gráﬁcos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em
relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Lembre-se, o símbolo ∀ lê-se “qualquer que seja”.
Exemplo:
82
MATEMÁTICA APLICADA
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e
f(-2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráﬁco abaixo é de uma função par.
6.4.2 Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar, quando ??∀ x ∈ D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do seu
domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas.
Uma consequência desse fato é que os gráﬁcos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas
em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x teremos f(-x) = - f(x). Por exemplo, f(-2) = (-2)3 = - 8 e
- f(x) = - (23) = - 8.
O gráﬁco abaixo é de uma função ímpar:
83
Unidade II
Entenda mais: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráﬁco abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em
relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
6.4.3 Função constante
É toda função f(x) = k, em que k é uma constante real. Veriﬁca-se que o gráﬁco dessa função é uma
reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. O gráﬁco de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x. Veja o gráﬁco abaixo:
Exemplos:
a) f(x) = 7
b) f(x) = -2
6.4.4 Função linear
Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma
função f: A → B, com f (x) = a.x é uma função linear.
84
MATEMÁTICA APLICADA
O gráﬁco de uma função linear é um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0),
ou a origem do gráﬁco cartesiano:
Você pode dizer também: o gráﬁco da função linear é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que
cruza a origem do plano cartesiano.
6.5 Função do 1º grau
Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas
muito complexos podem ser representados, em primeira aproximação, por esse tipo de função, daí seu
uso frequente em economia, gestão de recursos humanos, descrições de mercado etc.
Uma função é chamada de função aﬁm (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por y = a.x
+ b, sendo a e b constantes reais com m ≠ 0.
Veriﬁca-se que o gráﬁco de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráﬁco pode ser obtido por
meio de dois pontos distintos.
1. A constante b é chamada de coeﬁciente linear e representa, no gráﬁco, a ordenada do ponto de
interseção da reta com o eixo y.
MATEMÁTICA APLICADA
2. A constante a é chamada de coeﬁciente angular e representa a variação de y correspondente a
um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da
reta; quando a > 0, o gráﬁco corresponde a uma função crescente, e, quando a < 0, o gráﬁco
corresponde a uma função decrescente.
Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1
1. Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes àquelas abscissas. Teremos:
85
Unidade II
Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores e tendo em conta que x2 = x1 + 1, obtémse o coeﬁciente angular a:
2. Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1, y1) e B (x2, y2), o coeﬁciente angular a é
facilmente determinado.
3. Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x0, y0) de uma reta e seu coeﬁciente angular a, a
função correspondente é dada por y – y0 = a (x – x0). Ou seja: equação da reta y=a.(x - x0) + y0
Propriedades da função do 1º grau:
1. O gráﬁco de uma função do 1º grau é sempre uma reta.
2. Na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função aﬁm.
3. O gráﬁco intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa
x = - b/a.
4. O gráﬁco intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), onde b é chamado coeﬁciente linear.
5. O valor a é chamado coeﬁciente angular e dá a inclinação da reta.
6. Se a > 0, então f é crescente.
7. Se a < 0, então f é decrescente.
8. Quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráﬁco é uma reta que sempre passa na
origem.
86
MATEMÁTICA APLICADA
6.6 Aplicações
O valor a ser pago na conta de água de uma empresa depende do consumo medido no período; o
tempo de uma viagem de caminhão entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no
trajeto; consequentemente, é um cálculo que nos leva a um custo logístico.
Unidade I
Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar o preço desse produto, ela
tem que levar em conta os custos para a sua produção e distribuição, que dependem de diversos
fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, custo das matérias-primas e salários.
Como esses custos podem variar, a indústria tem que “equacionar” essas variáveis para compor o
preço do seu produto.
Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre
duas ou mais grandezas.
Dizemos que:
• o preço de uma peça de carne é dado em consequência do “peso” da peça;
• a taxa de desemprego é dada conforme o mês.
Vejamos algumas deﬁnições úteis em uma análise gerencial em que se utilizam os conceitos e
métodos analíticos das funções.
6.6.1 Demanda e oferta de mercado
6.6.1.1 Função demanda de mercado
A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores
pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). Podemos entender a demanda
como a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir em diversos níveis de
preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre preço e quantidade (lei geral da demanda).
O que isso signiﬁca?
Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja:
“Se o preço estiver subindo, eu vou comprar menos”.
A demanda de um bem se dá por causa de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda
do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis
mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto (p), veriﬁca-se que o preço p
relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de demanda a relação entre p e
x, indicada por p = f(x).
87
Unidade II
O que regula a demanda de consumo? Fatores como:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
preço;
renda;
preço de produtos similares;
gosto;
expectativa;
número de consumidores;
marca;
atendimento;
localização;
forma de pagamento;
qualidade;
propaganda;
status;
etc.
Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores
(nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, em um nível de preço p). Em geral,
quando nos referirmos à função de demanda, estamos nos referindo a um grupo de consumidores que
chamaremos de função de demanda de mercado.
Qd = -a.P +b
Onde:
• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo;
• P é o preço do bem.
Essa função de 1º grau é representada por uma reta decrescente, já que a < 0. Isso está em
concordância com o gráﬁco de p em função de x (que chamaremos de curva de demanda), é o de
uma função decrescente, pois, quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função
de demanda depende dos valores em que ﬁcaram ﬁxadas as outras variáveis (renda, preço de bens
substitutos e outros). Assim, se for alterada a conﬁguração dessas outras variáveis, teremos nova função
de demanda.
6.6.1.2 Função oferta de mercado
Por outro lado, temos a deﬁnição de função oferta: é a quantidade de produtos que vendedores
desejam e podem produzir para vender em diversos níveis de preço. Existe uma relação direta/positiva
entre preço e quantidade (lei geral da oferta).
88
MATEMÁTICA APLICADA
Quando se tratar de oferta, pense como um empresário: “Se o preço estiver subindo, eu vou vender
mais produtos”.
Quais são os fatores que inﬂuenciam a oferta feita ao mercado?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
preço;
preço dos insumos;
tecnologia;
expectativa;
concorrência;
demanda;
sazonalidade;
impostos;
temperatura;
disponibilidade dos insumos;
tecnologia;
religião;
etc.
Chama-se de oferta de um bem a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no
mercado em certo intervalo de tempo. A oferta depende de muitas variáveis: preço do bem, preço dos
insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outras. Mantidas constantes todas as variáveis,
exceto o preço do próprio bem, chamamos de função de oferta a relação entre o preço do bem (p) e a
quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).
Normalmente, o gráﬁco de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior o
preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráﬁco é chamado de curva de oferta. Observemos que temos
uma curva de oferta para cada conﬁguração das outras variáveis que afetam a oferta.
6.6.2 Preço e quantidade de equilíbrio
É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e oferta. Assim, temos um preço e uma
quantidade de equilíbrio:
Por exemplo:
p
oferta
3
demanda
500
x
I
89
Unidade II
6.6.3 Receita total
Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita o produto de x pelo
preço de venda e indicamos por R.
6.6.4 Custo total5
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção
(ou simplesmente custo) depende de x, e à relação entre eles chamamos de
função custo total (ou simplesmente função custo) e a indicamos por C.
Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como
aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que não depende da
quantidade produzida chamamos de custo ﬁxo e indicamos por CF. A parcela
do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por
CV. Assim, podemos escrever:
C = CF + CV
Veriﬁcamos também que para x variando dentro de certos limites
(normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a
uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada
de custo variável por unidade.
6.6.5 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).
6.6.6 Função lucro
É deﬁnida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Assim, indicando a função
lucro por L, teremos:
L(x) = R(x) − C(x)
APLICADA
6.6.7 Margem de contribuição
É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.
Vamos, agora, resolver alguns exercícios repetindo e exempliﬁcando essas deﬁnições administrativas
de grande importância em atividades empresariais.
5
90
Disponível em: <http://www.emersonmatematica.blogspot.com.br>. Acesso em: 14 abr. 2011.
MATEMÁTICA APLICADA
Exercícios aplicados à administração
1. Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é $ 100,00, nenhuma é vendida;
quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1º grau
ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de $ 30,00.
Resolução
Sejam: p = preço de venda e D = demanda.
Do enunciado, temos: 1º) p = 100 ⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50.
Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, fazendo x = p e y = D, temos:
D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função.
Substituindo p = 100 e D = 0 ⇒ 0 = a.100 + b (Equação I).
Substituindo p = 0 e D = 50 ⇒ 50 = a.0 + b ⇒ b = 50.
Voltando à equação I, temos:
0 = a.100 + 50 ⇒ a = 0,5, e daí, D = -0,5p + 50.
A equação de demanda ou função demanda é:
D = 0,5p + 50.
Substituindo p = 30 na equação D = 0,5p + 50, temos:
D = 0,5. 30 + 50 = 65.
Assim, para o preço de $ 30,00 a demanda é de 65 unidades.
2. Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que:
D(p) = 34 - 5p
S(p) = -8 + 2p
Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?
Resolução
De acordo com a deﬁnição dada, o equilíbrio de mercado é um par (p,y) tal que y = D(p) = S(p), ou seja:
91
Unidade II
34 - 5p = -8 +2p
34 + 8 = 2p + 5p
42 = 7p
p=6
Logo, o preço do equilíbrio é R$ 6,00.
Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funções, utilizando a
função oferta; temos:
S = -8 + 2.6 = 4.
Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades.
3. Considere a função RT = 20,5.q, em que o preço é ﬁxo (R$ 20,50) e q é a quantidade de produtos
vendidos (0 � q � 120 unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge
o valor de R$ 1.025,00?6
Resolução
RT = 1025
20,5.q = 1025
q = 1025
20,5
q = 50 unidades vendidas.
Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas 50 unidades do produto.
Saiba mais
Veja outras considerações e também gráﬁcos de uma função nos sites:
<http://www.brasilescola.com/matematica/funcao.htm>.
<http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao.htm>.
Acesso em: 08 maio 2011.
7 AJUSTE DE CURVAS
Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações em que conhecemos uma tabela
de pontos (x; y). Nessa tabela, os valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma
expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos.
6
92
Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/matematica>. Acesso em: 14 abr. 2011.
MATEMÁTICA APLICADA
Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo
total (CT) de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo:
Quantidade (q)
Custo total (CT)
1
164
2
272
3
348
4
416
5
500
Fazendo a representação gráﬁca dos pontos da tabela abaixo, temos:
Custo total x Quantidade
Observamos que no gráﬁco acima não passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos
fazer as seguintes perguntas:
1) Qual é a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual é a expressão analítica
ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)?
2) Qual é a previsão do custo total para dez unidades do produto?
Observação: As respostas destas duas questões você encontrará mais à frente, no item 7.2.
7.1 Introdução à regressão linear
A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados resultantes de algum experimento, como:
x
x1
x2
x3
x4
x5
...
xn-1
xn
y
y1
y2
y3
y4
y5
...
yn-1
yn
93
Unidade II
A ordenação desses pares em uma distribuição cartesiana será inﬂuenciada pelos valores de xi e yi, (i
= 1...n), logo, podemos obter, por exemplo, o seguinte gráﬁco:
Figura 4: Fonseca; Martins; Toledo (2009).
Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma função real que passe nos pontos ou pelo
menos passe próxima dos pontos (xi,yi) dados.
A teoria de interpolação é a área matemática destinada a estudar tais processos para obter funções
que passem exatamente pelos pontos dados, enquanto que a teoria de aproximação estuda processos
resultantes de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados. Lógico que se pudermos gerar
funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manuseada
teremos gerado algo positivo e de valor cientíﬁco.
Existem vários processos matemáticos para a solução do problema; podemos destacar o método dos
mínimos quadrados, que tem por ﬁnalidade gerar o que se chama em estatística de regressão linear
ou ajuste linear.
Entre as curvas mais comuns aplicadas, estão:
Ordem
Função
Nome
1
y = ao+a1 x
Reta
2
y = ao+a1 x+a2 x²
Parábola
A proposta de qualquer uma das funções é encontrar quais são os valores dos coeficientes
a 0, a 1 e a 2, de forma que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida
curva y = f(x) a cada um dos pontos dados (y i) seja a praticável, daí o nome método dos
mínimos quadrados. Isso pode ser feito através de cálculos avançados que consideram todas
as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado método dos mínimos quadrados que
estudaremos a seguir.
94
MATEMÁTICA APLICADA
Método dos mínimos quadrados (MMQ)
Consiste em um dos mais simples e eﬁcazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando
temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados.
7.2 Regressão linear
Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito frequente nos casos
empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e tomadas de decisões, problemas
mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variáveis mais
signiﬁcativas para cada caso.
Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráﬁco é uma reta.
A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por:
y = Ax + B
Onde: n = número de pontos observados;
�x= soma dos valores de x (abscissas);
�y= soma dos valores de y (ordenadas);
�x.y = soma dos produtos entre x e y;
�x2 = soma dos quadrados dos valores de x;
(médias aritméticas).
Aplicaremos o modelo para responder às duas perguntas do problema inicialmente proposto no item 7.
Para facilitar os cálculos, construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do método dos
mínimos quadrados, onde y representa o custo total (CT) e x representa a quantidade q.
Soma = ∑
x
y
x.y
x2
1
164
164
1
2
272
544
4
3
348
1044
9
4
416
1664
16
5
15
500
1700
2500
5916
25
55
95
Unidade II
Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é:
y = 81,6x + 95,20
Isto é, CT = 81,6q + 95,20, e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por:
q = 10 ⇒ CT = 81,6. 10 + 95,20 = 911,20.
Assim, o custo total para dez unidades é de $ 911,20.
Graﬁcamente:
Custo total x Quantidade
y = 81,6x + 95,2
Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um somatório e corresponde à letra grega
sigma maiúscula.
96
MATEMÁTICA APLICADA
7.3 Regressão quadrática
Em muitos problemas de matemática aplicada também é comum ocorrerem situações em que a
curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráﬁco é uma
função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é
uma função quadrática: y = ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y = Ax + Bx + C, onde A, B e C são uma
solução do sistema de equações lineares abaixo:
Exemplo:
A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda
correspondentes em determinado período:
Quantidade vendida
150
185
210
173
145
Preço de venda
15
38
59
80
100
Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de
venda igual a R$ 120,00.
Solução - gráﬁco
Quantidade X preço de venda
y
200
Quantidade em
unidades
160
120
80
40
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
−40
Preço de venda em R$
97
Unidade II
Para facilitar os cálculos, construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da
parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda, e, na última linha, os somatórios das colunas.
x
y
x.y
x2
x3
x4
x2. y
15
150
2250
225
3375
50625
33750
38
185
7030
1444
54872
2085136
267140
59
210
12390
3481
205379
12117361
731010
80
173
13840
6400
512000
40960000
1107200
100
145
14500
10000
1000000
100000000
1450000
292
863
50010
21550
1775626
155213122
3589100
Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos:
A = -0,0298
B = 3,3416 e C = 105,95.
A equação que aproxima os pontos da tabela é:
y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95.
Isto é, q = - 0,0298 p2 + 3,3416 p + 105,95,
onde q representa a quantidade demandada e p o preço de venda.
Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 120,00, temos:
p = 120 ⇒ q = -0,0298. (120)2 + 3,3416. 120 + 105,95 = 77,82.
Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 120,00 é de 77,82 unidades. Note que quando
tratamos de unidades vendidas o resultado pode ser aproximado, no caso, podemos aproximar para 78
unidades.
Graﬁcamente:
Quantidade X preço de venda
Quantidade em
unidades
y = -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95
Preço de venda em R$
98
MATEMÁTICA APLICADA
O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de estatística. Se estamos interessados em
aprender o “processo” (isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as mudanças
que ocorreram quando passamos da reta para a parábola. Não construiremos o processo para função
cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos permanece.
Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise empresarialmente, buscamos soluções
rápidas para os casos de interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a informática, que nos
possibilita ter à disposição programas domésticos, pacotes e até sistemas dedicados a cada nova situação
a ser simulada.
O método de regressão linear consta, por exemplo, no tutorial do Microsoft Excel, que faz parte do
pacote Ofﬁce da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos proﬁssionais.
É fácil utilizá-lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas variáveis. O programa possui duas
ferramentas para desenvolver regressões.
A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opção precisa
ser instalada por meio do menu Ferramentas/Suplementos/Análise de dados, escolhendo-se depois a
opção Ferramentas/Análise de dados/Regressão.
Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resíduos e gerar os gráﬁcos automaticamente, porém, cada
nova equação precisa ser gerada desde o início.
No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente às alterações nos dados e o programa
aceita até 16 variáveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em uma planilha a
partir do formato da variável dependente (y), como descrito a seguir:
A ferramenta de análise Regressão realiza uma análise de regressão linear usando o método de
“quadrados mínimos” para encaixar uma linha em um conjunto de observações. Podemos analisar como
uma única variável dependente é afetada pelos valores de uma ou mais variáveis independentes.
Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta é afetado por fatores como idade, altura
e peso. Podemos distribuir partes da medição de desempenho para cada um desses três fatores, com base
em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, usar os resultados para prever o desempenho
de um novo atleta não testado. A ferramenta Regressão usa a função de planilha LINEST.
Sistemática de cálculo
Para uma função linear, com o aspecto formal tipo Y = a0 + a1*X1+ a2*X2+... +ak*Xk, o ajustamento
da equação de regressão pode ser realizado com a função estatística PROJ.LIN (na versão em inglês,
LINEST), da seguinte forma:
1) Selecionar (com mouse ou teclas de movimentação) um grupo de células: 5 linhas x número de
colunas igual ao número de parâmetros a estimar (variáveis independentes mais a constante);
99
Unidade II
2) Entrar a fórmula, indicando primeiro a coluna da variável dependente, em seguida a faixa de
colunas das variáveis independentes, depois a existência ou não da constante no modelo (default
= sim, 0 = não) e o desejo de receber o conjunto de informações completo (default = não,
verdadeiro = sim), adquirindo o seguinte aspecto:
=PROJ.LIN (A2:A13; B2:D13; verdadeiro).
Nem sempre se usará ” e “. Conforme opções de instalação do programa, em vez de “verdadeiro”,
sendo que também é possível que o correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (A2:A13, B2:
D13,,true).
3) Inserir esta função como matriz, pressionando simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer
alteração na fórmula somente terá efeito se a matriz resposta for selecionada inteiramente e a nova
fórmula for inserida igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER.
Como resultado dos cálculos efetuados pelo programa, será exibida uma matriz sempre com o
seguinte formato:
ak
ak-1
...
a2
a1
a0
epk
epk-1
...
ep2
ep1
ep0
r2
epy
#N/D
#N/D
#N/D
#N/D
F
GL
#N/D
#N/D
#N/D
#N/D
SQRegres
SQResid
#N/D
#N/D
#N/D
#N/D
Onde a0 é a constante, a1.ak são os coeficientes das variáveis, ep0...epk são os erros padrão de
cada estimativa destas, R2 é o coeficiente de determinação, epy é o erro padrão da estimativa, F
é o parâmetro de teste de Fischer-Snedecor, GL é o número de graus de liberdade, SQRegres é a
soma dos quadrados da regressão e SQResid é a soma dos quadrados dos resíduos. Os elementos
marcados como “#N/D” são espaços sem resultado, normais, decorrentes do desenho da função
(na versão em inglês vem “#N/A”).
É importante veriﬁcar que a posição dos elementos no quadro de resultados é sempre a mesma,
independentemente da posição dos dados da amostra na planilha, indicados na fórmula.
Os testes t podem ser determinados pela razão entre os dados da primeira e da segunda linha,
(tai=ai/epi). Os erros serão calculados utilizando os coeficientes determinados (atenção à posição
deles: a constante está na última coluna, o coeficiente da primeira variável na penúltima e assim
por diante).
Mais esclarecimentos podem ser encontrados no item “regressão” (“regression”), no menu “Ajuda”
do programa.
100
MATEMÁTICA APLICADA
8 MATEMÁTICA FINANCEIRA
8.1 Conceitos de juros e taxas
A maioria das questões financeiras é construída por algumas fórmulas-padrão e estratégias
de negócio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os bancos ou empresas
oferecem juros compostos para seus clientes. Estamos em um momento financeiro mundial em
que as chamadas taxas de juros devem baixar para que não tenhamos um colapso da estrutura
econômica (desemprego, repercussões sociais etc.). Assim, a matemática financeira destina-se a
fornecer subsídios para a análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de
bens de consumo.
De modo geral, podemos aﬁrmar que esta disciplina é a divisão da matemática aplicada que estuda o
comportamento do dinheiro ao longo do tempo, quantiﬁcando as transações que ocorrem no universo
ﬁnanceiro, levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value
money, como se diz usualmente no mercado ﬁnanceiro). As principais variáveis tratadas no processo de
quantiﬁcação ﬁnanceira são taxa de juros, capital e tempo.
Os conceitos de matemática financeira são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa
sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, quanto nos fluxos de caixa com inflação,
expressos em moeda “fraca”, que perdeu seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência
da inflação.
Iniciaremos nossos estudos considerando a hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a
moeda utilizada no ﬂuxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo.
A seguir, veremos os reﬂexos da inﬂação na análise dos ﬂuxos de caixa, segundo os modelos préﬁxado e pós-ﬁxado.
A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor percentual da taxa de juros a
ser adotada em cada caso. É evidente que nenhum conceito de matemática ﬁnanceira sofre qualquer
alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.
Consideremos um breve estudo dos conceitos mais utilizados:
Juros
Juro é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado. O valor é obtido pela diferença
entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes.
Podemos, então, dizer que juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada
previamente durante um determinado prazo. Resumindo: é o valor recebido pela utilização de dinheiro
emprestado.
101
Unidade II
Logo,
Juros (J) = preço do crédito.
A incidência de juros é resultado de vários fatores, entre os quais podemos destacar:
• inﬂação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo;
• risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento;
• fatores próprios da natureza humana, lembrando que a relação entre o homem e o dinheiro é uma
das mais complexas de descrever, tanto social quanto psicologicamente.
Taxa de juros
É a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor percentual a ser pago pelo uso do
capital emprestado durante um tempo pré-estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal etc.). Assim,
a taxa de juros é o valor produzido numa unidade de tempo e é simbolizada pela letra i.
Exemplo:
10% ao mês; sua representação poderá ser feita na forma decimal, isto é, 0,10.
Podemos observar também na tabela abaixo:
Forma percentual
20% a.m.
Transformação
20
100
Forma unitária
3% a.a.
3
100
0,03 a.a.
13,5% a.m.
13,5
100
0,135 a.m.
5% a.d.
5
100
0,05 a.d.
0,20 a.m.
A modalidade em que a taxa de juros é aplicada ao capital inicial ao longo de determinado período
denomina-se sistema de capitalização simples (juros simples). Já quando a taxa de juros é aplicada sobre
o capital atualizado com os juros do período (montante), temos um sistema de capitalização composta
(juros compostos). Em geral, e por razões óbvias, o mercado ﬁnanceiro trabalha apenas a modalidade de
juros compostos, em que temos maior rentabilidade.
8.2 Fluxo de caixa
Diagrama de ﬂuxo de caixa
Um diagrama de ﬂuxo de caixa é a representação gráﬁca de um conjunto de entradas e saídas
monetárias, identiﬁcado temporalmente (isto é, em razão do tempo). É fundamental para que se
102
MATEMÁTICA APLICADA
compreendam as operações de matemática ﬁnanceira, demonstrando de forma clara o que ocorre com
o capital durante o período estipulado.
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte ﬁnanceiro da operação. O ponto
zero indica o instante inicial e os demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas).
Exemplo:
Veja o diagrama de ﬂuxo de caixa a seguir:
O diagrama da ﬁgura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de
800, pagamento de 200 no terceiro ano e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo,
700 no quarto e 200 no quinto ano.
Dinheiro recebido ⇒ ﬂecha para cima ⇒ valor positivo
Convenção
Dinheiro pago ⇒ ﬂecha para baixo ⇒ valor negativo
8.3 Capitalização
Regras básicas
Nas fórmulas da matemática ﬁnanceira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar
expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo ou da
taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalização deﬁnido para a operação.
Para juros simples, podemos observar os seguintes exemplos:
� 24% a.a. = 24/12 = 2% ao mês.
� 24% a.a. = 24/6 = 4% ao bimestre.
� 24% a.a. = 24/4 = 6% ao trimestre.
� 24% a.a. = 24/2 = 2% ao semestre.
Critérios de capitalização
103
Unidade II
8.4 Capitalização simples7
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente
sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. A
taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter
a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por trinta; se
desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por
doze, e assim por diante.
Portanto, consiste na apuração de juros aplicando-se a taxa contratada
sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo várias adições
consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm
a mesma dimensão, significando isso que as parcelas de juros geradas
anteriormente não se incorporam ao capital como base para a geração
de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma
progressão aritmética.
Juros simples i = 10% ao período
Ano
Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período
Saldo ao ﬁnal do período
1
1.000,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.100,00
2
1.100,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.200,00
3
1.200,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.300,00
4
1.300,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.400,00
* Crescimento de 40% em 4 períodos
8.5 Capitalização composta8
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o
principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse
regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em função do
tempo. O conceito de montante é o mesmo deﬁnido para capitalização
simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos
juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.
Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata incorporação ao
capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao ﬁnal do período
“x” passa a ser o capital inicial para o período “x+1”. Os juros abonados em
Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/matematica-ﬁnanceira/capitalizacaosimples.html>. Acesso em: 14
abr. 2011.
8
Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/matematica-ﬁnanceira/capitalizacaosimples.html>. Acesso em: 14
abr. 2011.
7
104
MATEMÁTICA APLICADA
cada período tornam-se geradores de novos juros, e o montante de capital
e juros se comporta como uma progressão geométrica.
Juros compostos i = 10% ao período
Ano
Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período
Saldo ao ﬁnal
do período
1
1.000,00
0,10 x 1.000,00 = 100,00
1.100,00
2
1.100,00
0,10 x 1.100,00 = 110,00
1.210,00
3
1.210,00
0,10 x 1.210,00 = 121,00
1.331,00
4
1.331,00
0,10 x 1.331,00 = 133,10
1.464,00
* Crescimento de 46,41% em 4 períodos
Juros simples
Os juros simples, diante de suas restrições técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas.
São raras as operações ﬁnanceiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros
segundo o regime de capitalização linear. O uso de juros simples restringe-se, principalmente, às
operações praticadas no âmbito de curto prazo.
No entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos
reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime. Os juros
simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação, mas não para apuração do
efetivo resultado percentual (taxa interna de retorno).
Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema ﬁnanceiro estão referenciadas a juros simples,
porém, a formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente. Um exemplo disso é
a caderneta de poupança com juros de 6% ao ano, juros mensais de 0,5% ao mês, com capitalizações
mensais a juros compostos.
Vejamos outro exemplo:9
Considere que R$ 100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao
mês, durante três meses; teríamos, nesse caso:
• juros produzidos ao ﬁnal do primeiro mês: J = 100.(1%).1
= 100.(1/100) . 1 = R$ 2,00;
• juros produzidos ao ﬁnal do segundo mês: J = 100.(1%).2
= 100.(1/100) . 2 = R$ 2,00;
• juros produzidos ao ﬁnal do terceiro mês: J = 100.(1%).3 =
100.(1/100) . 3 = R$ 3,00.
9
MARQUES, Paulo. Disponível em: <http://www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm>. Acesso em: 14 abr. 2011.
105
Unidade II
Note que:
(a) Os juros – nesse caso, simples – são calculados sempre em relação ao capital
inicial de R$ 100,00.
(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
Fórmulas de juros simples10
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão
novos juros. Valor principal ou simplesmente principal é o valor inicial
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em
fórmula, temos:
J=Cin
Onde:
J = juros
C = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o montante.
• Montante = Principal + Juros
• Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)
M = C (1 + i n)
Saiba mais
Você pode assistir a um interessante ﬁlme sobre matemática,
envolvendo lógica e teoria dos jogos. O ﬁlme Uma mente brilhante conta
a história de John Nash, um gênio da matemática que, aos 21 anos,
formulou um teorema que provou sua genialidade e o tornou aclamado
no meio onde atuava. John Nash ganhou um Prêmio Nobel.
10
2011.
106
MARQUES, Paulo. Disponível em: <http://www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm>. Acesso em: 14 abr.
MATEMÁTICA APLICADA
Resumo
Nesta unidade começamos nossos estudos com as equações,
lembrando que é preciso utilizar o raciocínio lógico para resolver problemas
matemáticos.
Uma equação pode ser comparada a uma balança de dois pratos, ela
deve manter o equilíbrio. O conteúdo de cada lado deve ser equivalente.
Assim, o símbolo de igualdade “=” é usado para separar os dois lados da
equação, “os pratos da balança”.
Para solucionar um problema construímos uma sentença matemática,
na qual o valor desconhecido – a resposta – é representado na equação
por uma letra qualquer. Essa representação se dá usualmente por x, y
e z. Quando o valor desconhecido tem expoente igual a 1, a equação é
classiﬁcada como do 1º grau, e quando o expoente é igual a 2, a equação é
classiﬁcada como do 2º grau.
Com relação ao tópico funções, você viu que considerados dois
conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B,
representada por f: A ? B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a
cada elemento de A um único elemento de B. Assim, para que uma relação
de A em B seja uma função, é necessário que a cada x ∈ A esteja associado
um único y ∈ B, podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado
a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Existem diversos tipos de
funções, mas as mais utilizadas são as funções do 1º grau (expoente igual a
1) e 2º grau (expoente igual a 2).
Vários segmentos utilizam as funções como ferramentas para a solução
de problemas. De acordo com a relação entre os conjuntos, podemos obter
inúmeras leis de formação. Nesses estudos utilizamos diversos tipos de funções,
que podem ser: do 1º e do 2º grau, exponenciais, modulares, trigonométricas,
logarítmicas, polinomiais. Cada função possui uma propriedade e é deﬁnida
por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no
plano cartesiano, as relações entre pares ordenados (x,y) são de extrema
importância no estudo dos gráﬁcos de funções, pois a análise dos gráﬁcos
demonstra de forma geral as soluções dos problemas propostos com o uso
de relações de dependência, especiﬁcadamente, as funções. As funções
possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem
da função; no plano cartesiano, o eixo x representa o domínio da função,
enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo
a imagem da função.
107
Unidade II
Ajuste de curvas – em matemática e estatística aplicada existem muitas
situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela, os
valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expressão
analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de
pontos. Existem vários processos matemáticos para a solução do problema.
Destacamos o método dos mínimos quadrados, que tem por ﬁnalidade
gerar o que se chama em estatística de regressão linear ou ajuste linear.
São dois os métodos básicos: o primeiro método dos mínimos quadrados é
usado quando a curva procurada ajusta-se a uma reta, o segundo, quando
a curva procurada apresenta outras semelhanças.
O método dos mínimos quadrados consiste em um dos mais simples
e eﬁcazes métodos da análise de regressão. Ele é utilizado quando temos
uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse
conjunto de dados.
Outras curvas. Em muitos problemas de matemática aplicada também
é comum ocorrerem situações em que a curva de ajuste não é uma reta,
podendo os pontos se aproximar de uma curva cujo gráﬁco é uma função
quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Como uma das curvas
comuns é a quadrática, estudamos o ajuste a uma função quadrática: y =
ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y = Ax + Bx +
C, onde A, B e C são uma solução do sistema de equações lineares que é
obtido do problema a ser estudado.
Exercícios
Questão 1. (Provão 2002) A Pedroso Ltda. está realizando um estudo de viabilidade econômica para
Aloha Surf Ltda., uma pequena fábrica de pranchas de surf. Para tal, determinou o custo ﬁxo anual de
operação da fábrica em R$1.500.000,00 e um custo unitário variável de R$100,00. A Aloha pretende
vender suas pranchas a um preço unitário de R$200,00. De quantas unidades deve ser o ponto de
equilíbrio (produção em que a receita total é igual ao custo total) anual da fábrica?
a) 100.000
b) 75.000
c) 50.000
d) 20.000
e) 15.000
Resposta correta: alternativa e.
108
MATEMÁTICA APLICADA
Análise das alternativas:
Ponto de equilíbrio é o valor de unidades que devem ser vendidas para que a receita total seja igual
ao custo total, ou seja, o ponto no qual o lucro é igual a zero. Desta forma, temos:
• Função do custo total (C):
Onde C é o custo total; CF é o custo ﬁxo; Cv é o custo variável; Cu é o custo unitário e Q a quantidade
vendida.
• Função da receita total (RT);
Onde RT é a receita total e p é o preço unitário da prancha.
Por deﬁnição, no ponto de equilíbrio C = RT, logo:
Questão 2. Considere o seguinte Diagrama de Fluxo de Caixa, relativo a uma operação de desconto
de duplicatas realizada por uma empresa em um banco. Os títulos negociados foram resgatados na data
de vencimento, sem atraso.
Nas condições em que foi realizado o desconto, a taxa efetiva de juros pagos pela empresa foi de:
a) 3,00% a.m.
b) 3,29% a.m.
c) 3,49% a.m.
d) 3,69% a.m.
e) 3,19% a.m.
Resolução desta questão na Plataforma.
109
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Fonte: SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores. São
Paulo: Atlas, 2002.
Figura 2 - Fonte: Pontos: contando na caverna. Foto: Alek Baptista/Muhpan. Disponível em: <http://
muhpan.wordpress.com/>. Acesso em: 14 abr. 2011.
Figura 3 - Fonte: SILVA, S. M. da; SILVA, É. M. ; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos superiores.
São Paulo: Atlas, 2002.
Figura 4 - Fonte: Adaptado de FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A.; TOLEDO, G. L Estatística aplicada. São
Paulo: Atlas, 2009.
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
UMA MENTE brilhante. Direção: Ron Roward. Produção: Brian Grazer e Ron Howard. Los Angeles:
Imagine Entertainment, 2001.
Textuais
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade; TOLEDO, Geraldo Luciano. Estatística
aplicada. São Paulo: Atlas, 2009.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções. vol.1, 8. ed. São Paulo:
Saraiva, 2004.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática ﬁnanceira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
JUER, Milton. Matemática ﬁnanceira: praticando e aplicando. São Paulo: Qualitymark, 2003.
MORETTIN, Pedro Alberto; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Cálculo: funções de uma e de várias
variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giacomo. Matemática aplicada à administração, economia e
contabilidade. São Paulo: Thomson Learning, 2004.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática para os
cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999.
_____. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
110
Exercícios
Unidade II - Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO
TEIXEIRA (INEP). Provão 2002. Disponível em: < http://download.uol.com.br/vestibular/provas/2002/
enade_adm.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Sites
http://www.algosobre.com.br/matematica-ﬁnanceira/capitalizacaosimples.html
http://www.brasilescola.com.br
http://www.emersonmatematica.blogspot.com.br
http://www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm
http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos---operacoes-relacoes-de-pertinencia-einclusao.jhtm
http://educacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-respostas-aos-problemas-darealidade.jhtm
http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-1-deﬁnicao.jhtm
http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-2-resolucao.jhtm
http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-3-problemas.jhtm
http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/graﬁco-funcao.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
http://www.infopedia.pt/
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