física (eletromagnetismo) capacitância

FÍSICA (Eletromagnetismo)
Capacitância
Prof. Dr. Sergio Turano de Souza
FÍSICA (ELETROMAGNETISMO)
CAPACITÂNCIA
Neste capítulo, vamos introduzir um dos elementos de circuito mais fundamentais, os capacitores, que são
responsáveis por armazenar energia elétrica num circuito. Os capacitores são utilizados em uma variedade
de circuitos elétricos, por exemplo para sintonizar frequências de rádio e para armazenar energia em
dispositivos eletrônicos. Um capacitor consiste de um sistema de dois condutores, cada um carregado com a
mesma quantidade de cargas elétricas, mas de sinais opostos, separados por um material isolante. A
capacitância de um dado capacitor depende de sua geometria e do material — chamado dielétrico — que
separa os condutores.
Figura 1 - Dois condutores isolados em do outro e de seu ambiente formam um capacitor. Quando um capacitor está carregado, os
condutores têm cargas de mesmo módulo mas sinais opostos. (Fonte: Halliday)
1 DEFINIÇÃO DE CAPACITÂNCIA
Capacitor plano
Consideremos um par de placas metálicas planas e paralelas, carregadas com cargas +q e -q (Figura 2) após
estarem ligadas aos terminais de uma bateria, por exemplo. Se a distância d entre as placas é muito menor
que as dimensões das placas, podemos tratá-las, com boa aproximação, como se fossem planos infinitos,
desprezando os “efeitos de borda” nas extremidades dos planos.
Figura 2 - Seção transversal de um capacitor de placas paralelas carregado. Em geral, para o cálculo da capacitância desprezamos os
efeitos de borda e campos externos (Fonte: Serway)
O campo elétrico entre as placas pode ser considerado uniforme e é dado por
onde σ = q/A é a densidade superficial de cargas e A é a área das placas. A diferença de potencial V entre as
placas é
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pois E aponta no sentido da placa positiva para a negativa. Logo,
é proporcional ao módulo da carga q das placas. Essa proporcionalidade vale para qualquer par de
condutores (independe da forma) entre os quais se estabelece uma diferença de potencial V, em
consequência de carregá-los com cargas ±q. Portanto, também podemos escrever
onde a constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do par de condutores, ou do capacitor.
A carga q, neste caso, é referida como a carga do capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, ou
plano, a capacitância é dada por
ou seja, ela depende apenas da geometria do capacitor. A unidade de capacitância é o farad (F), definida por
Na prática, as unidades mais convenientes são submúltiplos do farad, como por exemplo, o microfarad (µF) e
o picofarad (pF).
Figura 3 - (a) Circuito formado por uma bateria B, uma chave S e as placas a e b de um capacitor C. (b) Diagrama esquemático no
qual os elementos do circuito são representados por símbolos.
Figura 4 - Capacitor de placas paralelas carregado. Uma superfície gaussiana envolve a carga da placa positiva. A integração é
executada ao longo de uma trajetória que vai diretamente da placa negativa para a placa positiva.
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Capacitor cilíndrico
Figura 5 - Um capacitor cilíndrico consiste de um cilindro sólido de raio a e comprimento l envolto por uma camada cilíndrica coaxial
de raio b. (Serway)
Capacitor esférico
2 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO ELÉTRICO
Uma das principais funções de um capacitor em um circuito elétrico é armazenar energia no campo elétrico
que pode ser utilizada posteriormente para, por exemplo, acender lâmpadas de flash em câmeras
fotográficas. Neste caso, os dispositivos dependem da carga e descarga dos capacitores. Um capacitor
carregado possui acumulada uma certa energia potencial elétrica U, que é igual ao trabalho W despendido
para carregá-lo. Esta energia também pode ser recuperada, permitindo-se a descarga do capacitor.
Figura 6 - (a) Moléculas polares estão orientadas de forma aleatória na ausência de um campo elétrico externo. (b) Quando um
campo elétrico externo E0 é aplicado, as moléculas alinham-se parcialmente com o campo. (c) As laterais carregadas do dielétrico
podem ser modeladas como um par adicional de placas paralelas estabelecendo um campo elétrico Eind na direção oposta ao do
campo externo E0. (Serway)
Suponha que q’ é a carga de um capacitor num dado instante de tempo t. Nesse instante, a diferença de
potencial entre as placas do capacitor é V = q’ /C. Do capítulo anterior, sabemos que o trabalho necessário
para transferir uma pequena quantidade de carga dq0 de uma placa para outra é
O trabalho total necessário para carregar o capacitor de q’ = 0 até uma carga final q’ = q é
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O trabalho realizado para carregar o capacitor aparece como uma energia potencial elétrica armazenada no
capacitor. Portanto, a energia potencial armazenada em um capacitor carregado é dada por
Usando a relação q = CV, podemos reescrever este resultado como
Para um capacitor plano, isto leva a
Nesta expressão, Ad é o volume do espaço entre as placas do capacitor, no qual o campo elétrico E fica
confinado (desprezando efeitos de borda). Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, com uma densidade de energia dada por
Apesar desta equação ter sido obtida para o caso de um capacitor plano ela é válida para qualquer caso
onde temos uma fonte de campo elétrico, isto é, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é
proporcional ao quadrado da magnitude do campo em um dado ponto.
PROBLEMAS
1 (a) Qual a carga em cada placa de uma capacitor de 4,00 µF quando ele está conectado a uma bateria de
12,0 V? (b) Se o mesmo capacitor é conectado a uma bateria de 1,50 V, qual será a carga armazenada?
2 Um capacitor consiste de duas placas paralelas preenchidas com ar no seu interior. Cada placa possui uma
2
área de 7,60 cm , separadas por uma distância de 1,80 mm. Uma diferença de potencial de 20,0 V é aplicada
a estas placas. Calcule (a) o campo elétrico entre as placas, (b) a densidade superficial de carga, (c) a
capacitância e (d) a carga em cada placa.
3 Quando uma diferença de potencial de 150 V é aplicada nas placas de um capacitor plano, as placas
2
carregam-se com um densidade superficial de carga de 30,0 nC/cm . Qual é o espaçamento entre as
placas?
4 (a) Um capacitor de 3,00 µF está conectado a uma bateria de 12,0 V. Quanta energia pode ser
armazenada no capacitor? (b) Se agora o capacitor é conectado a uma bateria de 6,00 V, quanta energia
seria armazenada?
Respostas:
1. (a) 48,0 µC; (b) 6,00 µC
2
2. (a) 11,1 kV/m; (b) 98,3 nC/m ; (c) 3,74 pF; (d) 74,7 pC
3. 4,42 µm
4. (a) 216 µJ; (b) 54 µJ