P - Gran Cursos Presencial

1) EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS
Símbolo: 
Duas proposições compostas, formadas pelas
mesmas sentenças básicas, são equivalentes quando
têm, para todas as valorações possíveis dessas
proposições básicas, as mesmas avaliações V ou F.
Para verificar, testar ou comprovar a equivalência de
proposições, pode-se proceder do seguinte modo:
I. Constrói-se a tabela-verdade destacando uma
coluna para cada proposição;
II. Após a construção da tabela-verdade, verificase, nas colunas das proposições compostas,
se os valores lógicos, em todas as linhas da
tabela, são iguais. Em caso afirmativo, diz-se
que as proposições são equivalentes.
Exemplo: Verificar que
P  Q  Q  P
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
P  Q Q P
V
F
V
V
F
V
F
V
Q  P
F
F
V
V
V
F
V
V
Comparando os valores lógicos da coluna de
P Q
Q  P , verificamos que são
com os da coluna
iguais.
1.1 EQUIVALÊNCIAS FUNDAMENTAIS
Seguem
algumas
equivalências
lógicas
importantes, que merecem atenção por parte do aluno,
e que serão úteis, se memorizadas, à solução de
diversas questões de equivalência. Vale lembrar que
cada uma delas poderá ser demonstrada através da
construção das tabelas-verdade.
a) Dupla negação:
(P)  P
A dupla negação de uma proposição equivale à
sua afirmação.
P P (P)
V
F
F
V
V
F
P  Q  Q  P
P  Q  Q  P
b) Comutativas: 
P  Q   P  Q
c) Leis de De Morgan: 
P  Q   P  Q
Exemplos:
Gran Cursos
 p  q  r    p  q    p  r 
 p  q  r    p  q    p  r 
d) Distributivas: 
e) Condicionais:
Q  P

P  Q  ( P  Q)
P  Q

2) DIAGRAMAS LÓGICOS
Solução: Tabela-verdade
P
a) A negação da afirmação “Paulo é carioca e
Matheus é francês” é, do ponto de vista lógico,
equivalente a “Paulo não é carioca ou Matheus não
é francês.
b) A negação da afirmação “Paulo é carioca ou
Matheus é francês” é equivalente a dizer que:
Paulo não é carioca e Matheus não é francês.
Algumas expressões lógicas, enunciados
categóricos, darão origem a argumentos conhecidos
como silogismos categóricos, cuja validade depende
da análise da estrutura interna de enunciados
simples. A fim de preparar o caminho para o estudo
mais aprofundado da argumentação lógica,
passaremos a explicar o que se entende por
enunciado categórico. Há quatro formas de
enunciados categóricos:
a) Todo A é B. (universal afirmativa)
b) Algum A não é B. (existencial ou particular
negativa)
c) Algum A é B. (existencial ou particular afirmativa)
d) Nenhum A é B. (universal negativa)
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
Todo homem é mortal.
Alguns homens não são honestos.
Alguns alunos são estudiosos.
Nenhum economista é lógico.
Cada enunciado categórico envolve dois
termos, um sujeito e um predicado, que se
relacionam. Nas formas básicas acima, A é o sujeito
e B é o predicado.
A teoria de conjuntos fornece idéias que podem
ser utilizadas para justificar a natureza lógica dos
enunciados categóricos, os quais podem ser associados
aos conectivos lógicos já estudados. Passemos à
análise
lógica
dos
enunciados
categóricos
(quantificadores lógicos).
a) Todo A é B
Está associado à operação de inclusão entre
conjuntos, indicando que todos os elementos que
cumprem a condição A, cumprirão a condição B (𝐴 ⊂
𝐵). Portanto, trata-se de uma condicional lógica, do tipo
Se A, então é B.
Walter Sousa
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Forma lógica: ∀𝑥 (𝐴 𝑥 → 𝐵 𝑥 ), onde o símbolo ∀
significa “para todo”.
Diagrama lógico
A
B
b) Algum A não é B
Indica que pelo menos um elemento do conjunto
A, não pertence ao conjunto B. É a negação do
quantificador “Todo A é B”.
Forma lógica: ∃𝑥 (𝐴 𝑥 ∧  B(x)),
significa “existe x”
o símbolo ∃𝑥
Diagrama lógico
EXERCÍCIOS
1) (Esaf) Maria foi informada por João que Ana é
prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. Como
Maria sabe que João sempre mente, Maria tem
certeza que a afirmação é falsa. Desse modo, e do
ponto de vista lógico, Maria pode concluir que é
verdade que:
a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de
Denise.
b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima
de Denise.
c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima
de Denise.
d) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina é
prima de Denise.
e) se Ana não é prima de Beatriz, então Carina não é
prima de Denise.
2) (Esaf Adaptada) Dois colegas estão tentando
resolver um problema de matemática. Pedro afirma
para Paulo que X = B ou Y = D. Como Paulo sabe
que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista
lógico, Paulo pode afirmar corretamente que:
a) X ≠ B e Y ≠ D
b) X = B ou Y ≠ D
c) X ≠ B ou Y ≠ D
d) se X ≠ B, então Y ≠ D
e) se X ≠ B, então Y = D
c) Algum A é B
Os conjuntos A e B possuem pelo menos um elemento
comum.
Forma lógica: ∃𝑥 (𝐴 𝑥 ∧ B(x))
Diagrama lógico
3) (Cespe) Considere a assertiva seguinte, adaptada
da revista comemorativa dos 50 anos da
PETROBRÁS.
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962,
o monopólio da exploração de petróleo no
território nacional, a PETROBRÁS teria atingido,
nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma
proposição logicamente equivalente à assertiva
acima.
d) Nenhum A é B
Os conjuntos A e B não possuem elementos
comuns. É a negação de “Algum A é B”.
Forma lógica:  (∃𝑥)(𝐴 𝑥 ∧ B(x)).
Diagrama lógico
(1) Se a PETROBRÁS não atingiu a produção de 100
mil barris/dia em 1962, o monopólio da importação
de petróleo e derivados não foi instituído pelo
governo brasileiro nesse mesmo ano.
(2) Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o
monopólio da importação de petróleo e derivados,
então a PETROBRÁS não atingiu, nesse mesmo
ano, a produção de 100 mil barris/dia.
4) (Cespe) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são
notícias acerca da bacia de Campos-RJ, extraídas
e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos
da PETROBRÁS.

Gran Cursos
S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa,
em 1974.
Walter Sousa
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

S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração
horizontal, em profundidade de 905 m, no campo
de Marlim, em 1995.
S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado
o Programa de Desenvolvimento Tecnológico em
Águas Profundas (PROCAP), em 1986.
Quanto às informações das sentenças acima,
julgue os itens subseqüentes.
(1) A negação da união de S1 e S2 pode ser
expressa por: Se não foi descoberto óleo no
campo de Garoupa, em 1974, então não foi
batido o recorde mundial em perfuração
horizontal, em profundidade de 905 m, no
campo de Marlim, em 1995.
(2) A negação de S3 pode ser expressa por: Não
foi iniciada a produção em Moréia ou não foi
iniciado o Programa de Desenvolvimento
Tecnológico em Águas Profundas (PROCAP),
em 1986.
5) (Cespe) A noção de conjunto fornece uma
interpretação concreta para algumas idéias de
natureza lógica, que são fundamentais para a
matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por
exemplo, a implicação lógica denotada por p  q
pode ser interpretada como uma inclusão entre
conjuntos, ou seja, como P  Q, em que P é o
conjunto dos objetos que cumprem a condição p, e
Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição
q.
Com o auxilio do texto acima, julgue se a
proposição apresentada em cada item a seguir é
equivalente à sentença abaixo.
Se um indivíduo está inscrito no concurso do
Senado Federal, então ele pode ter acesso às
provas desse concurso.
(1) Se um indivíduo não pode ter acesso às provas
do concurso do Senado Federal, então ele não
está inscrito nesse concurso.
(2) O conjunto de indivíduos que não podem ter
acesso às provas do concurso de Senado
Federal e que estão inscritos nesse concurso é
vazio.
(3) Se um indivíduo pode ter acesso às provas do
concurso do Senado Federal, então ele está
inscrito nesse concurso.
(4) O conjunto de indivíduos que podem ter acesso
as provas do concurso do Senado Federal é
igual ao conjunto de indivíduos que estão
inscritos nesse concurso.
(5) O conjunto de indivíduos que estão inscritos no
concurso do Senado Federal ou que podem ter
acesso às provas desse concurso está contido
nesse último conjunto.
6) (Cespe) O Teorema Fundamental da Aritmética
afirma que:
Gran Cursos
Se n for um número natural diferente de 1, então
n pode ser decomposto como um produto de
fatores primos, de modo único, a menos da
ordem dos fatores.
Julgue se cada um dos itens subseqüentes
reescreve, de modo correto e equivalente, o
enunciado acima.
(1) É condição suficiente que n seja um número
natural para que n possa ser decomposto como
um produto de fatores primos, de modo único, a
menos da ordem dos fatores.
(2) É condição necessária que n seja um número
natural para que n possa ser decomposto como
um produto de fatores primos, de modo único, a
menos da ordem dos fatores.
(3) Se n não possuir decomposição como um produto
de fatores primos, que seja única, a menos da
ordem dos fatores, então n não é um número
natural diferente de 1.
(4) Ou n não é um número natural diferente de 1, ou
n tem uma decomposição como um produto de
fatores primos, que é única, a menos da ordem
dos fatores.
(5) n é um número natural diferente de 1 se puder ser
decomposto como um produto de fatores primos,
de modo único, a menos da ordem dos fatores.
7) (Cespe) Proposições das formas A  B , A  B
e B  A são sempre equivalentes. A partir
dessa informação e das definições incluídas no
texto, julgue os itens a seguir.
(1) As proposições “Se Hélio é conselheiro do
TCE/AC,
então
Hélio
é
formado
em
Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do
TCE/AC ou Hélio é formado em contabilidade”
são equivalentes.
(2) Considere a seguinte proposição: “Se Antônio
resolver corretamente esta prova, então ele
passará no concurso”. Nessa situação, é correto
concluir que “Se Antônio não resolver
corretamente esta prova, então ele não passará
no concurso”.
(3) Considere a seguinte proposição: “Alice não foi
ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol”. Dessa
proposição, é correto concluir que “Se Bernardo
não foi jogar futebol, então Alice não foi ao
cinema”.
8) (Esaf) “André é artista ou Bernardo não é
engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é
engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é
engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é
engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
Walter Sousa
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9) (Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre
e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer
que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
10) (Esaf) A negação da afirmação condicional “se
estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guardachuva.
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) Não está chovendo e eu não levo o guardachuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guardachuva.
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
Além disso, não há livro nacional disponível de
capa dura.
Com base nas informações acima, é possível que
Pedro, em sua pesquisa, tenha
(1) encontrado um livro de administração de capa
dura.
(2) Adquirido dessa livraria um livro de economia de
capa flexível.
(3) Selecionado para compra um livro nacional de
direito de capa dura.
(4) Comprado um livro importado de direito de capa
flexível.
14) (Esaf) A negação da sentença “Nenhuma
pessoa lenta em aprender freqüenta a escola” é
a) “Todas as pessoas lentas em aprender
freqüentam esta escola”.
b) “Todas as pessoas lentas em aprender não
freqüentam esta escola”.
c) “Algumas pessoas lentas em aprender
freqüentam esta escola”.
d) “Algumas pessoas lentas em aprender não
freqüentam esta escola”.
e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender
freqüenta esta escola.”
11) (Esaf) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é
paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que
dizer que:
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) Se Paulo é paulista então Pedro é pedreiro.
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é
paulista.
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é
paulista.
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é
paulista.
12) (Esaf) Todos os alunos de matemática são, também,
aluno de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno
de história. Todos os alunos de português são
também alunos de informática, e alguns alunos de
informática são também alunos de história. Como
nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e
como nenhum aluno de português é aluno de
história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de
inglês.
b) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de
história.
c) nenhum aluno de português é aluno de
matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de
matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de
português.
13) (Cespe) Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de
Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se
preparar para o concurso, utilizou um site de busca
da Internet e pesquisou em uma livraria virtual,
especializada nas áreas de direito, administração e
economia, que vende livros nacionais e importados.
Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de
administração fazem parte dos produtos nacionais.
Gran Cursos
15) (Esaf) A negação da proposição “Todos os
homens são bons motoristas” é:
a)
b)
c)
d)
e)
“Todas as mulheres são boas motoristas”
“algumas mulheres são boas motoristas”.
“Nenhum homem é bom motorista”.
“Todos os homens são maus motoristas”.
“Ao menos um homem é mau motorista.”
16) (Esaf) Em uma comunidade todo trabalhador é
responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é
trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não
há poeta que não seja responsável. Portanto, temse que, necessariamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Todo responsável é artista.
Todo responsável é filósofo ou poeta.
Todo artista é responsável.
Algum filósofo é poeta.
Algum trabalhador é filósofo.
17) (Esaf) Em uma pequena comunidade, sabe-se que:
“nenhum filósofo é rico” e que “alguns
professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar,
corretamente, que nesta comunidade
a) alguns filósofos são professores
b) alguns professores são filósofos
c) nenhum filósofo é professor
d) alguns professores não são filósofos
e) nenhum professor é filósofo
18) Qual é a negação da proposição “Alguma
lâmpada está acesa e todas as portas estão
fechadas”?
Walter Sousa
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(A) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma
porta está aberta.
(B) Todas as lâmpadas estão apagadas ou
alguma porta está aberta.
(C)Alguma lâmpada está apagada e nenhuma
porta está aberta.
(D)Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma
porta está aberta.
(E) Alguma lâmpada está apagada e todas as
portas estão abertas.
19)
(Esaf) Todas as amigas de Beto são, também,
amigas de Berenice, mas nenhuma amiga de
Berenice é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia
são também amigas de Bela, e algumas amigas de
Bela são também amigas de Bruna. Como nenhuma
amiga de Bela é amiga de Berenice, e como Bela,
Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum,
então:
a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga de
Bruna.
b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga de
Bruna.
c) Todas as amigas de Bela são amigas de Beto.
d) Todas as amigas de Bela são amigas de Bia.
e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto.
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
c
a
EE
EC
CCEEC
EECCE
CEC
d
a
e
a
c
ECEC
c
e
c
d
B
e
c
20) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.
Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,
portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
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