Caderno RQ8 Sequências e Progressões

0
Caderno RQ8
Sequências e
Progressões
Prof. Milton Araujo
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br
1
Sumário
1
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................3
2
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS ...............................................................................................................4
2.1
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..............................................................................................................4
2.1.1 Curiosidade: o número de ouro ............................................................................................4
2.1.2 Aplicações da Sequência de Fibonacci..................................................................................5
2.2
SEQUÊNCIAS QUAISQUER ...............................................................................................................6
2.2.1 Falsas Sequências Numéricas .............................................................................................. 7
2.3
SEQUÊNCIAS CONSTITUÍDAS POR ARRANJOS NUMÉRICOS ......................................................................8
3
PROGRESSÕES ...............................................................................................................................12
3.1
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS .........................................................................................................12
3.1.1 Conceito ............................................................................................................................ 12
3.1.2 Notação ............................................................................................................................ 12
3.1.3 Razão (r)............................................................................................................................ 12
3.1.4 Fórmula do Termo Geral ....................................................................................................12
3.1.5 Fórmula da Soma dos Termos............................................................................................ 13
3.1.6 Desafio ..............................................................................................................................15
3.1.7 Dica ...................................................................................................................................16
3.2
CURIOSIDADES ...........................................................................................................................19
3.2.1 Números Ímpares ..............................................................................................................19
3.2.2 Números Pares com o Zero ................................................................................................21
3.2.3 Números Pares sem o Zero ................................................................................................22
3.3
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................................24
3.3.1 Conceito ............................................................................................................................ 24
3.3.2 Notação ............................................................................................................................ 24
3.3.3 Razão (q) ...........................................................................................................................24
3.3.4 Fórmula do Termo Geral ....................................................................................................24
3.3.5 Fórmulas da Soma dos Termos ..........................................................................................25
3.3.6 Progressões Geométricas Especiais....................................................................................27
3.3.7 Exercício Resolvido ............................................................................................................28
4
EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................30
5
INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................49
6
CURRÍCULO INFORMAL .................................................................................................................56
"A gratidão é a virtude das almas nobres." [Esopo]
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2
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tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos
ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos.
Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente.
Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão
corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua
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Devido à quantidade e à frequência de nossas revisões, é impossível
"marcar" ponto a ponto as alterações introduzidas em cada versão.
Contamos com a compreensão e, se possível, com a colaboração de todos
para alertar-nos sobre erros porventura encontrados.
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3
1 Introdução
"O egoísmo deve ser sempre perdoado, pois não há
qualquer esperança de cura." [Jane Austen –
Mansfield Park]
Sequências e Progressões é um capítulo pouco explorado pelos examinadores.
Em se tratando de Sequências, há muita confusão...
Evidentemente que me refiro aqui às sequências matemáticas. Neste caso, é
preciso ficar bem claro que uma sequência (ou uma sucessão) numérica é uma
lista ou conjunto de números cuja ordem é definida por uma "lei" ou uma função
específica. Em outras palavras, uma fórmula determina cada número da
sequência, a partir do segundo ou do terceiro termo.
Charadas e adivinhações não fazem parte deste jogo... Afinal, o programa
proposto para as provas de Concursos Públicos ou do Teste ANPAD fazem
referência a Raciocínio, e não a um mero exercício de adivinhação, ou de
tentativa e erro.
Uma sequência qualquer só fica bem definida com pelo menos quatro termos,
embora muitos digam que apenas três termos são suficientes.
Examinemos!
Na sequência 1, 2, 4, ... o próximo termo tanto pode ser 7, quanto pode ser 8. Do
primeiro para o segundo termo, houve o acréscimo 1, do segundo para o terceiro
termo, houve o acréscimo de 2. O leitor poderá seguir pelo raciocínio aditivo,
somando uma unidade a mais do que fez no passo anterior. Assim, ele somaria 1,
depois 2, a seguir 3, 4 e assim por diante, chegando a
Por outro lado, o raciocínio poderia ser multiplicar por 2, e teríamos a seguinte
sequência: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Bons Estudos!
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4
2
Sequências Numéricas
Uma sequência numérica qualquer sempre tem certa lógica quantitativa (lei de
formação ou fórmula geradora dos números).
Não há um método próprio pelo qual este assunto possa ser estruturado ou
fundamentado. O objetivo de se propor uma sequência numérica qualquer é
treinar o raciocínio do leitor para identificar o padrão de formação da sequência e
encontrar o termo solicitado.
Seguem alguns exemplos.
2.1 Sequência de Fibonacci
É uma sequência de números inteiros, começando em 0 e 1, na qual, cada termo
subsequente corresponde a soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o
nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci,
que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos. Tal
sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.
Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula
abaixo, em que
.
Sequência de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
2.1.1 Curiosidade: o número de ouro
Dividindo-se cada número da sequência de Fibonacci, a partir do terceiro, pelo
seu anterior, tem-se o seguinte conjunto numérico:
1; 2; 1,5; 1,666666; 1,6; 1,625; 1,615385; 1,619048; 1,617647; 1,618182;
1,617978; 1,618056; 1,618026; 1,618037; 1,618033; ...
O resultado das operações acima irá se aproximar do número de ouro (phi), que
vale:
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5
2.1.2 Aplicações da Sequência de Fibonacci
Os números de Fibonacci ligam-se fortemente à natureza. É possível encontrá-los
no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até
mesmo no número de pétalas das flores, na organização das sementes na coroa
das flores, em muitas outras formas vegetais: a couve-flor, as camadas das
cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e das pinhas.
Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus
"pontos de crescimento" (figura a seguir).
[Fonte: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-2.html]
Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma
espiral, chamada Espiral de Fibonacci.
Espiral de Fibonacci
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6
À medida que se aproxima do infinito, a razão entre
e
aproxima-se
de , o número de ouro, que vale 1,618033989, e foi utilizado para construir o
Parthenon e aparece nas composições de Bartók e Debussy.
Leonardo de Pisa, o Fibonacci
2.2 Sequências Quaisquer
1) Dada a sequência definida por
– , com
, calcule:
a)
Solução:
 Para
 Para
:
:
b)
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2.2.1 Falsas Sequências Numéricas
2.2.1.1 Números Primos
Os números primos, na verdade, constituem um conjunto numérico, cujos
elementos gozam de uma propriedade. No conjunto dos números primos cada
elemento possui apenas dois divisores: 1 e o próprio número:
Note que nenhum número do conjunto é gerado por meio de uma lei ou fórmula
matemática. Desse modo, não é correto chamar o conjunto dos números primos
de sequência numérica...
2.2.1.2 Charadas e Adivinhações
No livro digital Raciocínio Lógico Informal há um capítulo que trata de
sequências absurdas, que já constaram em várias provas de Concursos Públicos e
também no Teste ANPAD.
Baixe o livro neste link:
https://www.facebook.com/groups/souintegral/663478483703306/
(leia as observações contidas em algumas questões do Capítulo 6)
Exemplo 1:
Determine o valor de
na sequência: 4, 9, 25, 49, 121, 169, .
O grupo numérico apresentado acima é formado por números primos elevados ao
quadrado. Assim,
. A questão, entretanto, deveria ter sido anulada, pois
o conjunto de números dados não forma uma sequência de qualquer tipo.
Exemplo 2:
Determine o valor de
na sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,
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Os numerais1 dos números apresentados começam com a letra D: dois, dez, doze,
dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove. O próximo numeral, depois do 19, que
começa com a letra D é o duzentos. Responda o leitor: isto é uma sequência
numérica?
Exemplo 3:
ANPAD 2008 – O próximo número da sequência 11, 33, 97, 2715 é
a) 5430.
b) 7116.
c) 7251.
d) 8131.
e) 9230.
Mais uma “charada numérica”... Separe cada número no meio. Os algarismos da
metade da esquerda formam uma progressão geométrica de razão 3:
1, 3, 9, 27, 81, ...
Os algarismos da metade da direita formam uma sequência em que cada número,
a partir do segundo é formado pelo dobro do anterior, acrescido de 1:
1, 3, 7, 15, 31, ...
Paremos por aqui essas sequências absurdas... Se você tiver interesse em outras
charadas e adivinhações, que nada tem a ver com raciocínio lógico, compre a
revista Coquetel!
2.3 Sequências Constituídas por Arranjos Numéricos
Exemplo 1:
CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na
disposição que se vê a seguir:
1
Numeral é a forma extensa de se representar um número. Exemplo: “2” é um número; “dois” é um
numeral.
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Qual é o número escrito na 5ª coluna da 243ª linha?
a) 961.
b) 1059.
c) 1451.
d) 1457.
e) 3151.
Solução 1:
Observando-se a última coluna, identifica-se uma sequência numérica formada
por múltiplos de 6. Assim, na 243ª linha, 6ª coluna estará o número
. Então, na 5ª coluna desta mesma linha, estará o número 1457.
Gabarito: Alternativa D.
Solução 2:
Na 5ª coluna da série há uma P. A., cujo primeiro termo é 5 (
), a razão é 6
(
) e estamos interessados no termo de ordem 243 (
). Veremos a
solução completa no capítulo seguinte, que trata de Progressões Aritméticas.
Exemplo 2:
FAURGS/2002 – Considere a disposição abaixo dos números inteiros positivos:
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A partir das disposições, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela:
I.
Em cada uma das linhas aparece um número quadrado perfeito.
II. O número 150 aparece na12ª linha.
III. Na trigésima linha estão dispostos 59 números.
Quais são verdadeiros?
a) apenas o I.
b) apenas o II.
c) apenas o III.
d) apenas o I e o III.
e) O I, o II e o III.
Solução:
I.
Em cada uma das linhas aparece um número quadrado perfeito.
CORRETO! Observe o último número de cada linha. Observe, ainda, que esse
quadrado perfeito é o número da linha elevado ao quadrado.
II.
O número 150 aparece na 12ª linha.
INCORRETO! O último número da 12ª linha é
150 não poderá estar nesta linha...
, portanto, o número
III. Na trigésima linha estão dispostos 59 números.
CORRETO! O número de termos em cada linha pode ser calculado pelo dobro
do número da linha menos 1. Assim, na trigésima linha haverá:
termos
Outra forma de se encontrar o número total de termos contido na 30ª linha é
utilizar o raciocínio de uma P. A., na qual o primeiro termo e 1 e a razão é 2.
Fica a cargo do leitor estudar o tópico seguinte e retornar aqui para finalizar o
cálculo.
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11
Exemplo 3:
ANPAD 2003 – O próximo número na sequência 2, 5, 11, 23, ... é
a) 35.
b) 39.
c) 41.
d) 47.
e) 49.
Solução:
Cada número, a partir do segundo é formado pelo dobro do anterior mais 1.
Assim:
Gabarito: Alternativa D.
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12
3 Progressões
3.1 Progressões Aritméticas
3.1.1 Conceito
Progressão Aritmética (P. A.) é uma sucessão ou sequência numérica na qual
cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior acrescido de uma
constante, chamada razão.
3.1.2 Notação
Exemplo:
,
,
, ...
3.1.3 Razão (r)
Exemplo:
3.1.4 Fórmula do Termo Geral
onde:
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13
éo termo;
é o primeiro termo;
é o número de termos;
é a razão.
Exemplo:
Na P. A. 1, 3, 5, 7, ..., calcule o décimo termo.
Solução:
Dados:
Fórmula:
Cálculos:
3.1.5 Fórmula da Soma dos Termos
onde:
é a soma dos termos;
é o primeiro termo;
éo termo;
é o número de termos;
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14
Exemplo 1:
ANPAD 2000 (Adaptada) – Uma gráfica cobra R$ 50,00 para imprimir 100
(cem) cartões de visita. Para cada centena adicional ela cobra R$ 2,50 a menos
do que a precedente. Assim sendo, o custo para imprimir 1.200 cartões será:
a) R$ 600,00.
b) R$ 572,50.
c) R$ 570,00.
d) R$ 435,00.
e) R$ 420,00.
Solução:
O sistema de cobrança da gráfica forma uma P. A. decrescente, na qual:
cuja razão é:
Devemos calcular a soma dos 12 primeiros termos dessa P. A. Mas antes
precisamos calcular o 12º termo.
Fórmulas:
Cálculos:
Gabarito: Alternativa D.
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15
Exemplo 2:
CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na
disposição que se vê a seguir:
Qual é o número escrito na 5ª coluna da 243ª linha?
a) 961.
b) 1059.
c) 1451.
d) 1457.
e) 3151.
Solução:
Resolveremos agora a mesma questão da página 8, porém usando a fórmula do
termo geral de uma P. A.
Na quinta coluna do quadro acima temos uma P. A.: 5, 11, 17, ..., cuja razão é
igual a 6. O enunciado solicita que se calcule o termo de ordem 243.
Gabarito: Alternativa D.
3.1.6 Desafio
O leitor seria capaz de resolver a questão seguinte com um único cálculo, sem
empregar fórmulas?
Quantos múltiplos de 11 há entre 23 e 629?
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16
3.1.7 Dica
IFRS-Ano(?) – Quantos múltiplos de 2, 5 ou 7 existem entre 99 e 303?
A) 124.
B) 132.
C) 134.
D) 169.
E) 171.
Solução:
a) Múltiplos de 2 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 100 e o último é 302. A razão é 2. Então:
b) Múltiplos de 5 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 100 e o último é 300. A razão é 5. Então:
c) Múltiplos de 7 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 105 e o último é 301. A razão é 7. Então:
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17
d) Múltiplos de 2 e de 5 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 100 e o último é 300. A razão é 10. Então:
e) Múltiplos de 2 e de 7 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 112 e o último é 294. A razão é 14. Então:
f) Múltiplos de 5 e de 7 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 105 e o último é 280. A razão é 35. Então:
g) Múltiplos de 2, 5 e de 7 entre 99 e 303:
O primeiro termo da P.A. é 140 e o último é 280. A razão é 70. Então:
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18
Total:
Gabarito: Alternativa C.
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19
3.2 Curiosidades
3.2.1 Números Ímpares
Observe o seguinte:
Generalizando: sempre que somamos números ímpares em sequência (razão
igual a 2), partindo de 1, a soma é dada pelo quadrado da quantidade de números
somados.
Se somarmos os 10 primeiros termos da progressão acima, encontraremos como
resultado:
Agora veja como isto é cobrado em provas de Concursos Públicos...
Exemplo:
FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura ao
lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:
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20
I.
II.
III.
IV.
uma muda em um dos vértices do triângulo;
três mudas na segunda fileira;
cinco mudas na terceira fileira;
sete mudas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por
Pedro é igual a
a) 125.
b) 225.
c) 375.
d) 450.
e) 540.
[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
Gabarito: Alternativa B.
Use o mesmo raciocínio e responda as seguintes questões:
1) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:
I.
II.
III.
IV.
No galho superior colocou um enfeite;
No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;
No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;
No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.
E assim por diante.
Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia
colocou nela é igual a
a) 125.
b) 225.
c) 375.
d) 450.
e) 540.
[Fonte: banco de questões do autor]
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21
2) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha (figura a
seguir), de cima para baixo, tem-se:
I.
II.
III.
IV.
cinco caixas no topo;
sete caixas na fileira logo abaixo;
nove caixas na terceira fileira;
onze caixas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a
a) 225.
b) 289.
c) 324.
d) 361.
e) 396.
[Fonte: banco de questões do autor]
Dica: complete a sequência com os dois primeiros termos que faltam (1 e 3).
Lembre-se de que você acrescentou 2 fileiras extras às 18 existentes, ficando
agora com 20 fileiras e 4 caixotes extras...
Gabarito: alternativa E.
3.2.2 Números Pares com o Zero
O -
termo da progressão acima é:
Soma dos
primeiros termos:
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22
Para obter a soma de números pares (começando com o zero), basta elevar a
quantidade de termos ao quadrado e, a seguir, subtrair a quantidade de termos.
Exemplo:
Vamos somar os 5 primeiros termos da progressão 0, 2, 4, 6, 8, ...
Somando manualmente: 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20
3.2.3 Números Pares sem o Zero
O -
termo da progressão acima é:
Soma dos
primeiros termos:
Para obter a soma de números pares (desconsiderando-se o zero), basta elevar a
quantidade de termos ao quadrado e, a seguir, adicionar a quantidade de termos.
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23
Exemplo:
Vamos somar os 5 primeiros termos da progressão 2, 4, 6, 8, 10, ...
Somando manualmente: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
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24
3.3 Progressões Geométricas
3.3.1 Conceito
Progressão Geométrica (P. G.) é uma sucessão ou sequência numérica na qual
cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma
constante, chamada razão.
3.3.2 Notação
Exemplo:
,
,
, ...
3.3.3 Razão (q)
Exemplo:
3.3.4 Fórmula do Termo Geral
onde:
éo -
termo;
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25
é o primeiro termo;
é o número de termos;
é a razão.
Exemplo:
Na P. G.:
, calcule o sexto termo.
Solução:
Dados:
Fórmula:
Cálculo:
3.3.5 Fórmulas da Soma dos Termos
3.3.5.1 Soma finita
Exemplo:
Calcule a soma dos seis primeiros termos da P. G.:
Solução:
Dados:
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26
Fórmula:
Cálculo:
3.3.5.2 Soma infinita
A soma só converge para progressões geométricas decrescentes, ou seja, para
Exemplo:
Calcule a soma dos termos da P. G.:
Solução:
Dados:
Fórmula:
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27
Cálculos:
3.3.6 Progressões Geométricas Especiais
3.3.6.1 P. G. Crescente
P. G. Crescente é aquela cuja razão é maior do que 1
.
Exemplo:
3.3.6.2 P. G. Decrescente
P. G. Decrescente é aquela cuja razão é maior do que zero e menor do que 1
.
Exemplo:
3.3.6.3 P. G. Monótona
P. G. Monótona é aquela cuja razão é igual a 1
.
Exemplo:
3.3.6.4 P. G. Alternada
P. G. Alternada aquele cuja razão é menor do que zero
.
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28
Exemplo:
Na verdade, uma P. G. alternada não passa de uma falsa P. G.
3.3.7 Exercício Resolvido
FUNDATEC 2011 – O registro de um chuveiro
ficou mal fechado (figura ao lado), e, com isto,
gotas começaram a pingar. Um segundo após a
queda da primeira gota cai a segunda. A terceira
gota cai dois segundos depois da segunda; a
quarta gota cai quatro segundos depois da
terceira, a quinta cai oito segundos após a quarta,
e assim por diante. Mantidas essas condições,
após a queda da primeira gota, quanto tempo
decorrerá até décima gota cair?
A) 15.
B) 63.
C) 127.
D) 255
E) 511
[Fonte: banco de questões do autor]
Solução:
A sequência fica assim:
(1ª gota) (1s) (2ª gota) (2s) (3ª gota) (4s) (4ª gota) (8s) (5ª gota) ...
Não confunda a quantidade de gotas com a quantidade de intervalos de tempo!
Observe no esquema acima que há 5 gotas e 4 intervalos de tempo.
Para a questão em tela,
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29
Cálculo:
Gabarito: Alternativa E.
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30
4 Exercícios
1) O próximo número da sequência 111, 244, 510, 1042 é
A) 2216.
B) 2126.
C) 2106.
D) 2024.
E) 2011.
2) FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular, plantando mudas
de flores do seguinte modo:
I.
II.
III.
IV.
uma muda em um dos vértices do triângulo;
três mudas na segunda fileira;
cinco mudas na terceira fileira;
sete mudas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se esse jardim tem 15 fileiras, então o total de mudas plantadas por Pedro é
A) 125.
B) 225.
C) 375.
D) 450.
E) 540.
3) ANPAD 2007 – Considere a sequência de quadros, em que cada quadro é
dividido em nove casas numeradas, dispostas em linhas e colunas, da seguinte
maneira:
A posição que o número 2006 ocupa no quadro é
a) linha 1 e coluna 3
b) linha 2 e coluna 2
c) linha 2 e coluna 3
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31
d) linha 3 e coluna 1
e) linha 3 e coluna 2
Esta questão está resolvida no livro "Raciocínio Lógico Informal". Para fazer o download acesse
o seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-concursos-500questoes.html (associe-se à comunidade Sou Integral para fazer o download)
4) ANPAD 2008 – O próximo número da sequência 1, 2, 3, 7, 46 é
a) 2110.
b) 2109.
c) 2108.
d) 2107.
e) 2106.
5) ANPAD 2004 – Observe a sequência de triângulos equiláteros:
Os números associados a cada um desses triângulos são chamados de números
triangulares. Desse modo, podemos dizer que o sétimo termo dessa sequência é
a) 15.
b) 21.
c) 28.
d) 32.
e) 36.
6) ANPAD 2008 – Dada a sequência de números 1, 20, 6, 15, 11, 10, ..., o
décimo primeiro e o décimo segundo termos (dessa sequência) são,
respectivamente,
a) 60 e 30.
b) 31 e -10.
c) 26 e -5.
d) 16 e 5.
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32
e) 21 e 0.
7) ANPAD 2003 – Os números naturais não-nulos são dispostos de acordo com a
tabela abaixo:
Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4
1
2
3
6
5
4
7
8
9
12
11
10
13
14
...
...
...
...
Baseando-se na disposição apresentada na tabela, os números 2003 e 2006
ocuparão, respectivamente, as colunas
a) 4 e 1.
b) 1 e 4.
c) 3 e 2.
d) 2 e 3.
e) 1 e 3.
8) CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na
disposição que se vê a seguir:
Qual é o número escrito na 5ª coluna da 243ª linha?
a) 961.
b) 1059.
c) 1451.
d) 1457.
e) 3151.
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33
9) FAURGS/2002 – Considere a disposição abaixo dos números inteiros
positivos:
A partir das disposições, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela:
I.
Em cada uma das linhas aparece um número quadrado perfeito.
II. O número 150 aparece na12ª linha.
III. Na trigésima linha estão dispostos 59 números.
Quais são verdadeiros?
a) apenas o I.
b) apenas o II.
c) apenas o III.
d) apenas o I e o III.
e) O I, o II e o III.
10) ANPAD 2003 – O próximo número na sequência 2, 5, 11, 23, ... é
a) 35.
b) 39.
c) 41.
d) 47.
e) 49.
11) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:
I.
II.
III.
IV.
No galho superior colocou um enfeite;
No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;
No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;
No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.
E assim por diante.
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34
Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia
colocou nela é igual a
a) 125.
b) 225.
c) 375.
d) 450.
e) 540.
[Fonte: banco de questões do autor]
12) FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura
ao lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:
I.
II.
III.
IV.
uma muda em um dos vértices do triângulo;
três mudas na segunda fileira;
cinco mudas na terceira fileira;
sete mudas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por
Pedro é igual a
a) 125.
b) 225.
c) 375.
d) 450.
e) 540.
[Fonte: banco de questões do autor]
13) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha de cima para
baixo (figura a seguir), tem-se:
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35
I.
II.
III.
IV.
cinco caixas no topo;
sete caixas na fileira logo abaixo;
nove caixas na terceira fileira;
onze caixas na quarta fileira.
E assim por diante.
Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a
a) 225.
b) 289.
c) 324.
d) 361.
e) 396.
Veja uma dica para resolver esta questão no seguinte link:
http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-2.html
14) FUNDATEC 2010 – O registro de um
chuveiro ficou mal fechado (figura ao lado), e,
com isto, gotas começaram a pingar. Um
segundo após a queda da primeira gota cai a
segunda. A terceira gota cai dois segundos
depois da segunda; a quarta gota cai quatro
segundos depois da terceira, a quinta cai oito
segundos após a quarta, e assim por diante.
Mantidas essas condições, após a queda da
primeira gota, quanto tempo decorrerá até
décima gota cair?
A) 15.
B) 63.
C) 127.
D) 255
E) 511
[Fonte: banco de questões do autor]
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36
15) FUNDATEC 2011 – Um relógio do tipo carrilhão
(figura ao lado) está com defeito e dá uma badalada à
zero hora (meia-noite). Um minuto depois dá a segunda
badalada. Passados outros dois minutos e nova
badalada é ouvida. Mais quatro minutos e soa a quarta
badalada. A quinta badalada é ouvida oito minutos
depois, e assim por diante. Mantidas essas condições,
após a primeira badalada, ouvir-se-á a décima badalada
às
A) 00h35min.
B) 01h03min.
C) 02h27min.
D) 06h15min.
E) 08h31min.
[Fonte: banco de questões do autor]
16) O preço de um estacionamento é R$ 1,50 pela primeira hora ou fração da
hora. Após esse período, o valor da hora ou fração é R$ 1,00, decrescendo a cada
hora em progressão aritmética, até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40. Se
um automóvel ficar estacionado oito horas e meia nesse local, o motorista pagará
a) R$ 6,58.
b) R$ 6,96.
c) R$ 7,82.
d) R$ 8,04.
e) R$ 8,36.
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17) Certo digitador, trabalhando sem interrupções, consegue dar 2.400 toques na
primeira hora de trabalho do dia, 1.200, na segunda hora, 600, na terceira, e
assim sucessivamente. O tempo mínimo necessário para que ele cumpra um
trabalho que exija 4.725 toques é
a) impossível de ser determinado.
b) 5 h.
c) 5 h e 10 min.
d) 5 h e 30 min.
e) 6 h.
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37
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18) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma P.A.
onde a5 = 6 e a17 = 30.
a) 18.
b) 16.
c) 14.
d) 12.
e) 10.
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19) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 =
2000, o valor de a5 é:
a) 20/3.
b) 18/7.
c) 16/5.
d) 14/5.
e) 12/7.
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1
5
20) Sabendo-se que: 16 x  
1
1
67

... 
, o valor de x é:
25 125
12
a) 3/16.
b) 1/3.
c) 33/56.
d) 55/16.
e) 33/8.
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38
21) As idades de Bruno, Magno e André estão, nesta ordem, em progressão
aritmética. Sabendo-se que Bruno tem 19 anos e André 53 anos, a idade de
Magno é:
a) 14.
b) 27.
c) 30.
d) 33.
e) 36.
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22) Uma sequência de números é formada da seguinte maneira: o primeiro termo
é igual a 1, isto é,
. Qualquer elemento da sequência é encontrado pelo
termo geral,
. O sexto termo dessa sequência é igual a:
a) 10.
b) 21.
c) 23.
d) 25.
e) 27.
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23) As idades de três irmãos estão, nesta ordem, em progressão aritmética.
Sabendo-se que o mais jovem tem 21 anos e o mais velho 55 anos, a idade do
irmão do meio é:
a) 16.
b) 29.
c) 32.
d) 35.
e) 38.
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24) Sobre uma superfície plana têm-se 3 blocos iguais empilhados, com 13 faces
expostas, conforme mostra a figura abaixo.
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39
Se forem empilhados 25 desses blocos, o número de faces expostas será
a) 125.
b) 121.
c) 111.
d) 105.
e) 101.
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25) Sofia guardou 320 balas em várias caixas, de modo que a segunda caixa ficou
com tantas balas quanto a primeira; a terceira ficou com tantas balas quanto as
duas anteriores juntas; a quarta caixa ficou com igual número de balas que a
soma das três anteriores e assim por diante, até guardar todas as balas. Quantas
balas Sofia guardou na primeira caixa, sabendo que ela usou o maior número de
caixas possível?
a) 8.
b) 10.
c) 5.
d) 16.
e) 32.
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26) Se
, então “ ” vale?
a) 9.
b) 10.
c) 9/10.
d) 1/9.
e) 1/10.
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40
27) As idades de três irmãos estão, nesta ordem, em progressão aritmética.
Sabendo-se que o mais jovem tem 21 anos e o mais velho 55 anos, a idade do
irmão do meio é:
a) 16.
b) 29.
c) 32.
d) 35.
e) 38.
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28) São dados 3 números inteiros em P. G. cuja soma é 26. Determine esses
números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro
formam uma P. A.
a) 2, 6, 18.
b) 16, 8, 2.
c) 18, 6, 2.
d) 2, 8, 16.
e) 6, 8, 12.
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29) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área
formam, nessa ordem, uma PG de razão 8. Então a medida da base vale?
a) 8.
b) 6.
c) 16.
d) 12.
e) 18.
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41
30) ANPAD 2006 – Roberval plantou 165 mudas de árvores frutíferas, de modo
que, no segundo canteiro, plantou o dobro de mudas do primeiro; no terceiro,
plantou tantas mudas quantas nos dois anteriores juntos; no quarto canteiro,
plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro
anterior, no quinto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do
primeiro canteiro com o canteiro anterior e assim por diante, até plantar todas as
mudas. Sabendo-se que ele usou o maior número de canteiros possível e o
número de canteiros é menor que 12, em quantos canteiros ele plantou as mudas?
a) 11.
b) 10.
c) 9.
d) 8.
e) 7.
31) ANPAD 2006 – Seja Q1 um quadrado de lado 2 cm, cujos vértices são
, e cujos lados são
,
,
e
. Consideremos os pontos médios
dos respectivos lados citados de Q1 e construímos um novo
quadrilátero Q2, cujos lados são
,
,
e
. Consideremos os
pontos médios
dos respectivos lados citados de Q2 e construímos
um novo quadrilátero Q3, cujos lados são
,
,
e
. Seguiremos
esse procedimento até construir o quadrilátero Q5. Assim, a soma das áreas Q1 +
Q2 + Q3 + Q4 + Q5 é
a)
.
b)
.
c)
d)
e)
.
.
.
32) ANPAD 2006 – Se
valor de
pode ser
a) 1/27.
b) 1/4.
c) 1/2.
d) 2.
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, o
42
e) 27
33) ANPAD 2008 – Para cavar um poço de 52 metros cúbicos, Mário receberá
R$ 0,50 para cada um dos primeiros cinco metros cúbicos cavados, além de R$
1,00 para cada um dos 5 metros cúbicos seguintes cavados, e assim por diante,
duplicando sempre o valor por metro cúbico a cada cinco metros cúbicos
cavados. Assim, para cavar o 52º metro cúbico, Mário receberá
a) R$ 64,00.
b) R$ 256,00.
c) R$ 512,00.
d) R$ 1.024,00.
e) R$ 2.048,00.
34) ANPAD 2009 – Dada a sequência , ,
e = 13, então um possível valor para
é
, ...,
, ..., em que
= 5,
=9
a) 204.
b) 189.
c) 165.
d) 95.
e) 79.
35) ANPAD 2009 – Observe as figuras abaixo, formadas por 3, 5 e 7 palitos.
O número máximo de triângulos do mesmo tamanho (menor triângulo) que se
pode formar com 133 palitos é
a) 68.
b) 66
c) 64.
d) 62.
e) 59.
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43
36) ANPAD 2009 – Nelson fez ao seu neto Luiz a seguinte proposta: pagaria a
quantia de um centavo pela primeira tarefa e dobraria o valor do pagamento a
cada tarefa realizada. Considerando-se que log(2) = 0,3, o número mínimo de
tarefas que Luiz deverá realizar para receber R$ 100,00 pela tarefa é
a) 8.
b) 15.
c) 18.
d) 21.
e) 30.
37) ANPAD 2009 – Certo relógio de ponteiro toca da seguinte forma: um
número de vezes correspondente às horas (uma vez à 1h, duas vezes às 2h e
assim por diante até às 12h, quando reinicia toda a contagem) e uma vez nas
frações de meia hora (0h30min, 1h30min e assim por diante). O número de
toques que esse relógio dá entre 0h15min e 18h15min é igual a
a) 189.
b) 162.
c) 116.
d) 117.
e) 99.
38) ANPAD 2010 – A expressão 1
+
vale
a) 12.
b) 10.
c) 7.
d) 6.
e) 5.
39) ANPAD 2010 – Seja dada a sequência de números x, 3/2, 4, 15/2, 12, 35/2,
24, 63/2, 40, y. O primeiro (x) e o décimo (y) valor da sequência são,
respectivamente,
a) 4 e 85/2.
b) 0 e 99/2.
c) 0 e 95/2.
d) -1 e 95/2.
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44
e) -1 e 99/2.
40) ANPAD 2011 – A expressão do termo geral de uma progressão geométrica é
definida por
. Logo, a soma dos 15 primeiros termos dessa
progressão é igual a
a)
b)
c)
d)
e) 2
41) ANPAD 2011 – Se a sequência (a, x, a2, 4a) forma uma progressão
aritmética não constante, então a soma desses quatro termos é igual a
a) 24.
b) 27.
c) 30.
d) 36.
e) 42.
42) ANPAD 2012 – A soma de três números em progressão geométrica é igual a
105. Multiplicando o primeiro termo por 4, o do meio por 5 e o último por 4, a
nova sequência será uma progressão aritmética.
Então, o termo do meio da progressão geométrica é
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
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45
43) ANPAD 2007 – Seja uma progressão aritmética, em que
é oito vezes a
razão e
é igual a 148. Então, o valor da razão dessa progressão é
a) 7/2.
b) 5/2.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
44) ANPAD 2012 – Considerando as progressões geométricas (PG) e as
progressões aritméticas (PA), analise a veracidade de cada uma das seguintes
proposições:
I. Em uma PG com a2 = 2 e a7 = , a razão é igual a 2.
II. A soma da sequência (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,
39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49) pertence ao conjunto {1025, 1208,
1219, 1225, 1227}.
III. Em uma PA com a4 = 10 e a6 = 14, o primeiro termo é igual a 2.
IV. A soma dos n termos de qualquer PG de razão 0 < q < 1 é menor que 1.
Logo, pode-se concluir que
a) somente III é falsa.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) somente II e IV são verdadeiras.
d) somente III e IV são verdadeiras.
e) I, II, III e IV são verdadeiras.
45) ANPAD 2013 – Considere a seguinte sequência de quadrados: o primeiro
quadrado da sequência tem lado
e, a partir de um quadrado da sequência,
constrói-se o seguinte de maneira que os vértices do novo quadrado estão
localizados nos pontos médios dos lados do quadrado anterior (veja a figura
abaixo)
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46
Quanto mede o lado do 5º quadrado dessa sequência?
a)
b)
c)
d)
e)
46) ANPAD 2013 – Seja
uma progressão geométrica de razão 4 cujo primeiro
termo é 2. Considere agora a sequência
formada pelo logaritmo na base 2 dos
termos da progressão , ou seja,
.
Então a soma
a) 50.
b) 80.
c) 100.
d)
e)
é igual a
.
.
47) ANPAD 2014 – A sequência de números positivos
progressão geométrica de razão
. O valor da expressão
forma uma
a) depende de q.
b) depende de x.
c) é 10-3.
d) é 3.
e) é -3.
48) ANPAD 2015 – Uma população é constituída por 3 observações
que formam uma progressão aritmética crescente. Se o desvio-padrão
dessa população é
, então a razão dessa progressão vale,
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47
a) .
b) 3.
c)
.
d)
.
e) 4.
49) ANPAD 2015 – Uma progressão aritmética é tal que seu primeiro termo é
igual a 3 e a média aritmética dos seus nove primeiros termos é igual a 9. A razão
dessa progressão aritmética é igual a
a) 3/8.
b) 3/4.
c) 3/2.
d) 4/3.
e) 2.
50) ANPAD 2008 – Afonso, Bruna, Célia, Danilo e Eduardo são irmãos cujos
nomes formam uma sequência segundo a ordem em que nasceram, sendo Afonso
o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma
progressão geométrica e as dos cinco irmãos formam uma progressão aritmética.
Se a soma de todas a idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens é
a) 36.
b) 44.
c) 52.
d) 68.
e) 72.
51) ANPAD 2008 – Os números
e 12 formam, nessa ordem, uma
progressão geométrica. Os números 12,
e , formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética. Pode-se afirmar que um possível valor para a soma
é
a) 11.
b) 9.
c) 3.
d) 3.
e) 9.
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48
Gabarito
1-C
11-B
21-E
31-A
41-C
51-C
2-B
12-B
22-B
32-D
42-B
3-E
13-E
23-E
33-C
43-E
4-B
14-E
24-E
34-C
44-B
5-C
15-E
25-C
35-B
45-C
6-C
16-D
26-C
36-B
46-C
7-D
17-E
27-E
37-D
47-E
8-D
18-D
28-C
38-E
48-B
9-D
19-C
29-C
39-B
49-C
10-D
20-B
30-B
40-A
50-C
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3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos
4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade
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6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I
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7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II
8. 500 questões resolvidas
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11. Caderno RQ6 – Estatística
12. Caderno RQ7 – Funções
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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões
14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes
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15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,
Geometria Espacial, Geometria Analítica
16. Caderno RQ11 – Matemática
Básica
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17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro
Grau – 1 ou 2 incógnitas
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Próximos lançamentos:
Caderno RQ10 - Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas
Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques
Caderno RQ12 – Geometrias Plana, Espacial e Analítica
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(Quem vai fazer o curso presencial deverá imprimir os itens destacados)
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3. Em nossa pasta de material didático no Dropbox:
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MATERIAL EXCLUSIVO!
Manual do Candidato - Teste ANPAD
O Manual contém, entre outros
assuntos:
- O que é Teste ANPAD?
- Provas do Teste ANPAD
- Como se preparar:
- - Material da ANPAD
- - Apostilas e livros
- - Aulas particulares
- - Grupos de estudos
- - Cursos preparatórios
- Roteiro de estudos
- Estratégias para a prova
- Jornada de estudos
- Véspera da prova
- No dia da prova
- Durante a prova
- Ordem de realização das provas
- Escore ANPAD
- Resultado Geral
- Próximas edições
- Edital
E muitas DICAS!
Disponível através da Lista Preferencial do Instituto Integral.
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O Manual do Candidato Teste ANPAD também pode ser baixado
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LANÇAMENTO EXCLUSIVO!
Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards
Alguns tópicos abordados neste livro:
- O que é um flash card?
- Como confeccionar um flash card?
- Como memorizar o conteúdo de um flash card?
- Uso de flash cards nas operações lógicas
- Aplicações dos flash cards nas operações
lógicas
- - Aplicações dos flash cards no argumento
lógico dedutivo
- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas
notáveis
- Uso de flash cards em Tautologias,
Contradições e Contingências
- Uso dos flash cards nas negações:
Leis de De Morgan
Negação da Condição
Negação da bicondição
Negação das proposições categóricas:
todo, nenhum, algum, algum não é
Disponível em:
http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem
Também disponível aqui:
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56
6
Currículo Informal
Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por
minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.
Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em
dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.
Ali nasceu o gosto por ensinar...
Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha
mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá
para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e
espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes
deliciosos e irresistíveis.
Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de
Matemática, Estatística e Matemática Financeira.
Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de
Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um
professor amigo, durante o ano de 1980.
Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico
Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas
conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica
de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois
conheci o Padre Chico.
Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o
Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.
O Padre Chico
Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um
nome impronunciável em português.
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57
Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de
aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia
de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!
Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim
(Alemanha).
Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi
jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada
explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico
gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.
Primeira Lição
Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre
Chico a respeito da Lógica Formal.
– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com
sua peculiar cordialidade.
– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas
conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de
aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.
– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares
raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente
filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância
na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a
Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.
Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.
“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,
pensei.
– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,
“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de
Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou
matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa
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58
confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou
interpretando erroneamente seus conceitos.”
...
Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um
dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.
Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a
faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia
Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi
interrompido, e só foi concluído em 1998.
Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.
De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,
Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para
concursos públicos.
Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar
candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar
Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).
De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na
Esade e na Unifin.
Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras
FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de
Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para
diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e
Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.
Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa
Federal.
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693
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59
Instituto Integral Editora - 4 anos
Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/
Instituto Integral EaD - 4 anos
Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/
Instituto Integral - 16 anos
Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br
Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!
"A gratidão é um fruto de grande cultura; não se encontra entre gente vulgar." [Samuel Johnson]
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