x - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
MMC & MDC
• Professor
Marcelo Gonsalez Badin
1.(UFMG) Os dois quintos de um número somados aos seus três quartos
e o resultado acrescido de cinco fornecem o dobro do número dado.
Esse número é:
a) 6 b) 8 c) 100/63
d) 5/17
e) 100/17
Seja x o número procurado. Temos:
2
3
x + x + 5 = 2x
5
4
8 x + 15 x + 100 40 x
=
20
20
23 x + 100 =
40 x
17 x = 100
100
x=
17
100
O número é
17
2. A soma das idades de um casal é 75 anos.
Há 18 anos, a idade do marido era igual ao dobro da idade da
mulher. Quais as idades atuais?
Sejam:
x = idade atual do marido
y = idade atual da mulher
x + y = 75
x + y = 75
x – 2y = – 18
3y = 93
y = 31
x + 31 = 75
x = 44
–
Há dezoito anos:
x – 18 = idade do marido
y – 18 = idade da mulher
x – 18 = 2.(y – 18)
As idades atuais do marido e da mulher são,
x – 18 = 2y – 36
respectivamente, 44 e 31 anos.
x – 2y = – 18
3. Uma pessoa pagou uma conta de R$ 100,00 utilizando somente cédulas de
R$ 5,00 e R$ 10,00. Sabendo que foram utilizadas 14 cédulas, determine quantas
notas de R$ 5,00 e quantas de R$ 10,00 foram usadas.
x = Nº de notas de R$ 5,00 Usando as informações do enunciado,
y = Nº de notas de R$ 10,00 montamos o sistema:
x + y = 14
Resolvendo encontramos x = 8 e y = 6
5x + 10y = 100
Foram utilizadas 8 notas de R$ 5,00 e 6 notas de R$ 10,00
x = Nº de notas de R$ 5,00
y = Nº de notas de R$ 10,00
x
y
Total
Nas condições propostas, temos x par positivo.
Podemos montar a tabela:
2
4
6
8
9
8
7
6
11
12
13
14
Portanto, foram utilizadas 8 notas de R$ 5,00 e 6 notas de R$ 10,00
4. (Fuvest-2010) Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de gasolina para
percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37
litros deste combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro de
gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo
do quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente
álcool como combustível, seja o mesmo?
a) R$ 1,00
Desempenho – Gasolina: Desempenho – Álcool:
b) R$ 1,10
259 = 7 km/l
374 = 11 km/l
c) R$ 1,20
34
37
d) R$ 1,30
Seja x reais o preço do litro do álcool que torna
e) R$ 1,40
equivalente o custo do quilometro rodado
x = 7 ⇒ x = 1,40
2,20 11
5. Duas garotas realizam um trabalho de digitação. A mais experiente
consegue fazê-lo em 2 horas, a outra em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de modo
que as duas juntas possam fazê-lo no menor tempo possível, esse tempo será de:
a) 1,5 horas
A 1ª faz metade do trabalho por hora
b) 2,5 horas
c) 72 minutos
A 2ª faz um terço do trabalho por hora
d) 1 hora
e) 95 minutos
1 1 5
Juntas elas fazem + = do trabalho por hora
2
Trabalho
5
6
1
3
6
Tempo (horas)
1
x
5
x=1
6
6
x=
5
6
6
de hora =
de 60 minutos = 72 minutos
5
5
6. As despesas de um condomínio totalizaram US$ 1200. Três dos condôminos não
pagaram, obrigando aos demais a pagarem, além de sua cota, um adicional de
US$ 90 cada um. Qual o número total de condôminos?
Sejam:
x = nº total de condôminos
y = cota individual
1200
⇒
y
=
x.y = 1200
(I)
x
Substituindo (I) em (II ):
 1200

+ 90  =
(x − 3) ⋅ 
1200
 x

3600
1200 + 90 x −
− 270 =
1200
x
90x2 – 270x – 3600 = 0
(Divide por 90)
Após o “calote”:
x – 3 = nº de pagantes
y + 90 = nova cota individual
(x – 3).(y + 90 ) = 1200 (II)
x = – 5 (não convém)
x2 – 3x – 40 = 0
S=3
P = – 40
x=8
O número total de condôminos é 8
7. (Fuvest) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados”, da
seguinte maneira:
1
4
7
2
5
8
3
6
9
10
13
16
11
14
17
12
15
18
19 20
.. ..21
..22 23
.. ..24
..25 26
.. ..27
28 29 30
31 32 33
34 35 36
O número 500 se encontra em um desses quadrados. A “linha” e a “coluna” em
que o número 500 se encontra são, respectivamente:
a) 2 e 2
9
500
b) 3 e 3
31 9
9
26
c) 2 e 3
5
55
4
3
8
2
d) 3 e 2
e) 3 e 1
(Fuvest/2004) Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso,
R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00.
Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento.
O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro
nesse dia é: x = nº de primeiras horas = nº de usuários
a) 25
y = nº de horas adicionais
b) 26
Temos:
c) 27
x + y = 80
d) 28
y = 80 – x ( I )
e) 29
Para que o estacionamento tenha lucro, devemos ter: 6x + 3y > 320 ( II)
Substituindo ( I ) em ( II ): 6x + 3(80 – x) > 320
3x > 80
80
x>
3
O menor inteiro que satisfaz
a desigualdade é 27.
Sejam M, A, T, H números reais positivos, tais que M⋅A = 3, A⋅T = 6,
M⋅T = 72 e A⋅H = 2. O valor da soma M + A + T + H é igual a:
3
a) 20,0
M⋅A = 3 ⇒ A =  A = 0,5
b) 20,5
M
c) 21,5
3
6  T = 2M  T = 12
A⋅T = 6 ⇒ ⋅ T =
d) 22,5
M
e) 24,0
M>0
M⋅T = 72  M⋅2M = 72  M2 = 36

M=6
A⋅H = 2  H = 4
M + A + T + H = 6 + 0,5 + 12 + 4 = 22,5
No conjunto dos pares ordenados de números reais, considere a operação * dada
como (a, b)*(a’, b’) = (a⋅a’+2b⋅b’, a⋅b’+b⋅a’). Se (2, 3)*(α, β) = (2, 3), então α+β é
igual a:
(a, b)*(a’, b’) = (a⋅a’ + 2b⋅b’, a⋅b’+ b⋅a’) (2, 3)*(α, β) = (2, 3)
a) 1
b) 2 (2, 3)*(, ) = (2 + 2⋅3⋅, 2 + 3) = (2 + 6, 2 + 3) = (2, 3)
c) 3
d) 4
2 + 6 = 2
2 + 6 = 2 +
e) 5
2 + 3 = 3 (x – 3) – 6 – 9 = – 9
– 7 = – 7
=1
2⋅1 + 6 = 2
+=1
=0
(PUC-RJ) De um grupo de rapazes e moças saem 15 moças. No grupo há então
2 rapazes para cada moça. Em seguida saem 45 rapazes. Haverá então 5 moças para
cada rapaz. O número de moças inicialmente presentes era: M – 15
R – 45
a) 40
Sejam:
b) 43
R = número inicial de rapazes
c) 29
M = número inicial de moças
d) 50
e) n.d.a.
R
2
M – 15 = 1
 R = 2(M – 15)  R = 2M – 30
M – 15
5
R – 45 = 1
 M – 15 = 5(R – 45)  M – 15 = 5(2M – 75)
M – 15 = 10M – 375
9M = 360 M = 40
(UFMG) Pai e filho, com 100 fichas cada um, começaram um jogo. O pai passava 6
fichas ao filho a cada partida que perdia e recebia dele 4 fichas quando ganhava.
Depois de 20 partidas, o número de fichas do filho era três vezes o do pai. Quantas
partidas o filho ganhou? Número de fichas em jogo = 100 + 100 = 200
Sejam:
x = número de vitórias do filho
y = número de vitórias do pai
x + y = 20 (x 2)
6x – 4y = 50 (: 2)
2x + 2y = 40
+
3x – 2y = 25
5x = 65
x = 13
150 para o filho
200
50 para o pai
 o filho ganhou 50 fichas
O filho ganhou 13 partidas
(Unicamp) Duas torneiras são abertas juntas, a 1ª enchendo um tanque em 5 horas, a 2ª
enchendo outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir
do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o 2º
tanque é ¼ do volume que falta para encher o 1º tanque?
A 1ª enche 1/5 do tanque por hora Devemos ter:
A 2ª enche 1/4 do tanque por hora 1 – t/4 = ¼⋅(1 – t/5) (x 4)
Após t horas:
A 1ª encheu t/5  Falta 1 – t/5
A 2ª encheu t/4  Falta 1 – t/4
4 – t = 1 – t/5
3 – t = – t/5 (x 5)
15 – 5t = – t
15 = 4t  t = 15/4
3 15
15
12
3
=
h
h + h = 3h + ⋅ 60min = 3 h + 45 min
4
4
4
4
No fim de 3 horas e 45 minutos