2006-MSC-RAPHAEL MONTEIRO PEREIRA DA SILVA

VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO PARA INCRUSTAÇÃO DE
SULFATOS EM RESERVATÓRIOS (A PARTIR DE DADOS
LABORATORIAIS E DE CAMPO)
RAPHAEL MONTEIRO PEREIRA DA SILVA
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO - LENEP
MACAÉ - RJ
Dezembro - 2006
VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO PARA INCRUSTAÇÃO DE
SULFATOS EM RESERVATÓRIOS (A PARTIR DE DADOS
LABORATORIAIS E DE CAMPO)
RAPHAEL MONTEIRO PEREIRA DA SILVA
Tese
apresentada
ao
Centro
de
Ciência e Tecnologia da Universidade
Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigências para obtenção
do título de Mestre em Engenharia de
Reservatório e de Exploração.
Orientador: Pavel Bedrikovetsky, Ph.D.
MACAÉ - RJ
Dezembro - 2006
ii
VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO PARA INCRUSTAÇÃO DE
SULFATOS EM RESERVATÓRIOS (A PARTIR DE DADOS
LABORATORIAIS E DE CAMPO)
RAPHAEL MONTEIRO PEREIRA DA SILVA
Tese
apresentada
ao
Centro
de
Ciência e Tecnologia da Universidade
Estadual do Norte Fluminense, como
parte das exigências para obtenção
do título de Mestre em Engenharia de
Reservatório e de Exploração.
Aprovada em 11 de dezembro de 2006
Comissão Examinadora:
___________________________________________________________________
Luis Carlos Baralho Bianco (Engenharia de Petróleo – UN-RIO/PETROBRAS)
___________________________________________________________________
Maria Carmen Moreira Bezerra (D.Sc., CENPES/PETROBRAS)
___________________________________________________________________
Francisca Ferreira do Rosário (D.Sc., Geoquímica - CENPES/PETROBRAS)
___________________________________________________________________
Adolfo Puime Pires (D.Sc., Engenharia de Reservatório – LENEP/CCT/UENF)
___________________________________________________________________
Pavel Bedrikovetsky (Ph.D., Reservatório – LENEP/CCT/UENF)
(orientador)
iii
Agradecimentos
Agradeço à minha família, em especial ao meu aos meus pais (Manoel e
Arinete) que sempre me deram tamanho apoio mesmo nos momentos mais
complicados.
À minha querida namorada Lidiane Damásio por todo amor e carinho,
estando comigo em todos os momentos e sendo grande encorajadora desse
trabalho.
À minha grande amiga e “mãe”, Mariângela por ter me ajudado desde o
momento em que mudei para Macaé, e por ter sido uma grande incentivadora para
que essa tese fosse realizada.
À minha amiga e “aluna” Flavia Patrício que trabalhou comigo durante a
realização dessa tese. E ao meu amigo Gladstone Moraes pela ajuda no
esclarecimento de diversas dúvidas.
Agradeço a todos os meus amigos da turma, em especial aos companheiros
de república Fábio, Vitor, Marcone pela força e incentivo durante todos estes anos.
E agradeço em especial ao meu professor-orientador e amigo Pavel
Bedrikovetsky, por toda a ajuda e paciência demonstrada no decorrer deste trabalho
e a Prof. Dr. Themis pelo apoio e atenção no esclarecimento de dúvidas.
Ao Laboratório de Engenharia de Exploração e Produção de Petróleo
(LENEP) por toda infraestrutura e apoio acadêmico para que fosse concluído este
trabalho.
À Agência Nacional do Petróleo (ANP) pelo apoio financeiro com uma bolsa
de iniciação científica.
A todos os membros da banca pela prontidão em participar da defesa da
tese.
iv
RESUMO
A incrustação de sulfatos pode ocasionar um significativo impacto na
produção de óleo em campos submetidos à injeção de água, quando as águas de
injeção e de formação são incompatíveis quimicamente. Esse fato ocorre devido à
precipitação do sal sulfato de bário/estrôncio a partir da mistura dessas águas. A
formação do precipitado tem como conseqüência a queda de produtividade do poço.
O sistema que define o dano ocorrido devido à incrustação de sulfato é
determinado por dois parâmetros principais: o coeficiente cinético que caracteriza a
velocidade da reação química e o coeficiente dano de formação que reflete a queda
da permeabilidade devido à precipitação do sal.
Um método baseado em um modelo analítico para determinação dos dois
coeficientes a partir de testes laboratoriais durante a injeção simultânea da água de
formação e da água do mar em regime quase permanente foi apresentado em
trabalhos anteriores. A presente tese estende o método para a determinação dos
coeficientes cinético e de dano de formação a partir de dados de poços produtores,
consistindo das concentrações de bário na água produzida e da queda de
produtividade do poço.
Foram analisados vários dados de testes laboratoriais e de campo. Desta
forma, foram obtidos os valores dos dois parâmetros do sistema dano de formação
devido à incrustação de sulfatos. Os valores dos dois coeficientes foram utilizados
na simulação da previsão da queda de produtividade de poços. Os coeficientes
obtidos, tanto a partir de dados laboratoriais, quanto dados de campo variam dentro
de um mesmo intervalo. Esses resultados validam o modelo matemático proposto
para incrustação de sulfatos e o método baseado no modelo analítico “do laboratório
e de poços para poços”.
v
ABSTRACT
Sulphate scaling can have a disastrous impact on oil production in waterflood
projects with incompatible injected and formation waters. This is due to precipitation
of barium / strontium sulphate from the mixture of both waters and the consequent
permeability reduction resulting in loss of well productivity.
The system where sulphate scaling damage occurs is determined by two
governing parameters: the kinetics coefficient characterising the velocity of chemical
reaction and the formation damage coefficient reflecting permeability decrease due to
salt precipitation.
Previous work has derived an analytical model-based method for
determination of two coefficients from laboratory corefloods during quasi-steady state
commingled flow of injected and formation waters. The current study extends the
method for determination of kinetics and formation damage coefficients from
production well data consisting of barium concentrations in the produced water and
of well productivity decline.
We analyse several laboratory test data and field data, and obtain values of
the two sulphate scaling damage parameters. The two coefficient values were used
for prediction of productivity decline for these wells. The values of kinetics and
formation damage coefficients as obtained from either laboratory or field data vary in
the same range intervals. These results validate the proposed mathematical model
for sulphate scaling damage and the analytical model-based method “from lab and
wells to wells”.
vi
Índice
Agradecimentos ........................................................................................................................ iv
RESUMO ................................................................................................................................... v
ABSTRACT............................................................................................................................... vi
Índice........................................................................................................................................vii
Lista de Figuras ........................................................................................................................ix
Lista de Tabelas ........................................................................................................................xi
Nomenclatura ..........................................................................................................................xii
CAPÍTULO 1 1.1
INTRODUÇÃO.......................................................................................... 1
Descrição do Problema............................................................................................. 1
1.2
Revisão Bibliográfica................................................................................................ 4
1.2.1
Mecanismos de Transporte de Espécies Químicas............................................. 4
1.2.1.1 Difusão ........................................................................................................... 4
1.2.1.2 Dispersão ........................................................................................................ 5
1.2.2
Incrustação.......................................................................................................... 7
1.2.2.1 Aspectos Gerais .............................................................................................. 7
1.2.2.2 Causas da Incrustação..................................................................................... 9
1.2.2.3 Local da Precipitação ................................................................................... 11
1.2.2.4 Mecanismos de Formação de Incrustações .................................................. 12
1.2.2.5 Principais Mecanismos de Mistura das Águas ............................................. 13
1.2.2.6 Propriedades do Sulfato de bário.................................................................. 17
1.2.2.7 Forma cristalina ............................................................................................ 17
1.2.2.8 Solubilidade .................................................................................................. 17
1.2.3
Potencial para Incrustação ................................................................................ 18
1.2.3.1 Modelos Termodinâmicos ............................................................................ 20
1.2.3.2 Modelos Cinéticos ........................................................................................ 22
1.2.4
Modelo Matemático para Precipitação de Sais em Reservatórios.................... 24
1.2.5
Experimentos de Precipitação de Sais em Meio Poroso .................................. 26
1.3
Objetivos da Tese.................................................................................................... 28
1.4
Organização da Dissertação .................................................................................. 29
CAPÍTULO 2 MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE TESTES
LABORATORIAIS .................................................................................................................. 31
2.1
Equações Governantes ........................................................................................... 31
2.2
Modelo Analítico Assintótico para Fluxo em Regime Quase Permanente........34
2.3
Primeiro e Segundo Problemas Inversos.............................................................. 37
2.4
Banco de Dados....................................................................................................... 39
CAPÍTULO 3 -
MÉTODO DOS TRÊS PONTOS DE PRESSÃO................................... 44
3.1
Esquema Laboratorial ........................................................................................... 45
3.2
Formulação do Problema Inverso......................................................................... 45
3.3
Análise de Sensibilidade......................................................................................... 48
vii
CAPÍTULO 4 CAMPO
MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE DADOS DE
51
4.1
Equações Básicas em Coordenadas Radiais......................................................... 52
4.2
Solução Analítica Assintótica para Fluxo na Vizinhança do Poço Produtor....54
4.3
Primeiro e Segundo Problemas Inversos.............................................................. 60
4.4
Estudo de Campo.................................................................................................... 61
4.4.1
Campo Marlim (Bacia de Campos) .................................................................. 62
4.4.2
Campo Namorado (Bacia de Campos) ............................................................. 69
4.4.3
Campos do Mar do Norte (UK)........................................................................ 70
CAPÍTULO 5 -
ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................. 74
CAPÍTULO 6 -
CONCLUSÕES........................................................................................ 77
CAPÍTULO 7 -
RECOMENDAÇÕES .............................................................................. 79
NOVIDADES CIENTÍFICAS ................................................................................................ 81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................... 82
Apêndice A – Equações Governantes para Incrustação de BaSO4 no Meio Poroso com
Fluxo Reativo Linear............................................................................................................... 89
Apêndice B – Solução Assintótica para Fluxo Linear em Regime Permanente................... 92
Apêndice C – Solução Analítica para Fluxo 1-D sem Dispersão Hidrodinâmica ................ 99
Apêndice D – Índice de Produtividade “em testemunhos” .................................................. 102
Apêndice E – Método dos Três Pontos de Pressão............................................................... 105
Apêndice F – Equações Governantes para Incrustação de BaSO4 no Meio Poroso com
Fluxo Radial .......................................................................................................................... 107
Apêndice G - Índice de Produtividade – Poço ...................................................................... 114
Apêndice H - Artigo Publicado em 2005 .............................................................................. 116
Apêndice I - Artigo Publicado em 2006 ................................................................................ 128
Apêndice J - Artigo Publicado em 2006................................................................................ 165
Laboratory- and Field Prediction of Sulfate Scaling Damage ............................................ 166
Apêndice K - Artigo Publicado em 2006............................................................................... 184
Injectivity Impairment due to Sulphate Scaling during PWRI: Analytical Model............. 185
viii
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Mecanismo de mistura unidimensional para o caso homogêneo.......................... 14
Figura 1.2 - Mecanismo de mistura unidimensional para o caso heterogêneo......................... 14
Figura 1.3 - Mecanismo de mistura 2D areal heterogêneo....................................................... 15
Figura 1.4 - Mecanismo de mistura 2D vertical heterogêneo................................................... 16
Figura 1.5 - Esquema de precipitação de sulfato de bário em meio poroso ............................. 25
Figura 2.1 - Fotografia de um testemunho e o esquema para o teste em regime quase
permanente ....................................................................................................................... 34
Figura 2.2 - Função do erro relativo entre a solução numérica e as soluções por expansões
assintóticas versus a razão de concentração α.................................................................. 35
Figura 2.3 - Perfil de concentração de bário para as soluções: numérica e aproximações
assintóticas........................................................................................................................ 36
Figura 2.4 - Função distribuição dos parâmetros λ e β a partir de testes laboratoriais (a)
Coeficiente cinético λ (M*m)-1; (b) Coeficiente dano de formação β ............................. 43
Figura 3.1 – Arranjo laboratorial para testes sobre incrustação de sulfatos com medição de
pressão em três pontos do testemunho ............................................................................. 45
Figura 3.2 – Impedância para primeira seção do testemunho, para a segunda seção do
testemunho e para todo o testemunho............................................................................... 46
Figura 3.3 – Gráfico para determinação dos coeficiente λ e β a partir a interseção das curvas
no plano (λ,β) ................................................................................................................... 47
Figura 3.4 – Comportamento dos lados direito e esquerdo da equação transcendental,
considerando a inclinação do testemunho inteiro (m) e de uma parte dele (m1) .............. 48
Figura 3.5 - Pequenas perturbações nas inclinações das impedâncias obtidas de dados
laboratoriais ...................................................................................................................... 49
Figura 4.1 - Mistura entre a água injetada e da formação em um reservatório submetido à
injeção de água com precipitação de sulfato de bário (BaSO4) na zona de mistura......... 52
Figura 4.2 - Esquema da produção simultânea da água do mar e da formação na vizinhança do
poço .................................................................................................................................. 55
Figura 4.3 – Perfil de concentração de bário para a solução numérica e as aproximações de
assintóticas........................................................................................................................ 56
Figura 4.4 – Função do erro relativo entre a solução numérica e as aproximações assintóticas
versus a razão de concentrações α.................................................................................... 57
Figura 4.5 – Perfil concentração de bário versus o raio adimensional para diferentes valores de
λ na vizinhança de 1 metro............................................................................................... 58
Figura 4.6 – Dependência da concentração depositada versus o coeficiente cinético para
diferentes momentos......................................................................................................... 59
Figura 4.7 – Queda do índice de produtividade para diferentes valores de coeficiente cinético
λ e para o coeficiente dano de formação β=300, sendo: 1- λ = 500 (M∗m)-1; 2- λ = 4000
(M∗m)-1; 3- λ = 10000 (M∗m)-1 ....................................................................................... 60
Figura 4.8 - Histórico de produção do poço P4 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW,
vazão de produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade.
(b) Concentração de bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda
de IP e previsão para o quarto período ............................................................................. 63
Figura 4.9 - Histórico de produção do poço P1 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW,
vazão de produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade.
(b) Concentração de bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda
de IP e previsão para o quarto período ............................................................................. 65
Figura 4.10 - Histórico de produção do poço P2 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW,
vazão de produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade.
(b) Concentração de bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda
de IP e previsão para o quarto período ............................................................................. 66
Figura 4.11 - Histórico de produção do poço P3 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW,
vazão de produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade.
(b) Concentração de bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda
de IP e previsão para o quarto período ............................................................................. 67
Figura 4.12 - Histórico de produção do poço P5 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW,
vazão de produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade.
(b) Concentração de bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda
de IP e previsão para o quarto período ............................................................................. 68
Figura 4.13 - Ajuste do coeficiente cinético λ e do coeficiente dano de formação β a partir de
dados do campo Namorado (a) Perfil concentração de bário versus a fração de água do
mar na água produzida. (b) Crescimento da função impedância versus o tempo, em p.v.i.
(c) Previsão da queda do índice de produtividade............................................................ 70
Figura 4.14 - Perfil concentração de bário versus fração de água do mar na água produzida
para poços de cinco Campos do Mar do Norte................................................................. 71
Figura 4.15 - Função distribuição dos parâmetros λ e β a partir de dados de campo (a)
Coeficiente cinético λ (M*m)-1; (b) Coeficiente dano de formação β ............................. 73
x
Lista de Tabelas
Tabela 1.1 - Principais incrustações inorgânicas em poços de petróleo..................................... 8
Tabela 1.2 - Solubilidade das principais incrustações da indústria do petróleo em água pura a
25°C.................................................................................................................................. 18
Tabela 1.3 - Taxas de crescimento de cristal de uso comum para o sulfato de bário e outros
minerais. ........................................................................................................................... 23
Tabela 2.1 – Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados
laboratoriais à temperatura de 20°C ................................................................................. 40
Tabela 2.2 - Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados laboratoriais
à temperatura de 70°C ...................................................................................................... 40
Tabela 2.3 – Composição das salmouras utilizadas nos testes em testemunho realizados por
Goulding (1987) ............................................................................................................... 41
Tabela 2.4 - Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir do tratamentos dos
dados laboratoriais realizados por Goulding (1987) ........................................................ 41
Tabela 2.5 - Valores dos Coeficientes Cinético e de Dano de Formação Obtidos a partir de
Testes Laboratoriais.......................................................................................................... 42
Tabela 4.1 – Valores dos Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados
de campo........................................................................................................................... 69
Tabela 4.2 – Coeficientes cinético e de dano de formação baseado em dados de poços do
campo Namorado.............................................................................................................. 70
Tabela 4.3 – Coeficiente cinético calculado a partir de dados de campos do Mar do Norte....72
Tabela 5.1 - Valores dos Coeficientes Cinético e de Dano de Formação obtidos a partir de
Testes Laboratoriais e de Dados de Campo ..................................................................... 76
xi
Nomenclatura
Letras Latinas
Símbolos
Descrições
Unidades
cBa
Concentração molar de bário na solução aquosa
mol/Litro
cSO4
Concentração molar de sulfato na solução aquosa
mol/Litro
C
Concentração de bário adimensional
D
Coeficiente de dispersão
h
Espessura do reservatório
IAP
−
m2/s
m
Produto das atividades iônicas
(mol/L)2
m3/(s∗Pa)
IP
Índice de Produtividade
IS
Índice de saturação
−
J
Impedância adimensional
−
k0
Permeabilidade absoluta inicial da rocha
Ka
Constante da taxa de reação química (2a ordem)
(M∗s)-1
Kps
Constante do produto de solubilidade
(mol/L)2
m
Inclinação da impedância
M
Concentração em quantidade de matéria (molar)
MBaSO4
mD
−
Peso molecular para Sulfato de Bário igual 0,23339
mol/L
Kg/mol
p
Pressão
Pa
pD
Pressão adimensional
Q
Vazão total
r
Coordenada radial
rD
Coordenada radial adimensional
Rc
Raio de contorno
m
s
Saturação de água
−
S
Concentração adimensional de BaSO4
−
t
Tempo
s
tD
Tempo adimensional
−
U
Velocidade total do fluxo
V
Diferença de concentrações
−
x
Coordenada linear
m
xD
Coordenada linear adimensional
−
−
m3/s
m
m/s
xii
Y
Coordenada adimensional de sulfato
−
Letras Gregas
Símbolos
Descrições
Unidades
α
Razão entre concentrações injetadas de Ba2+ e SO42-
-
αD
Coeficiente de dispersão
m
β
Coeficiente do dano à formação
-
εD
Número difusivo adimensional (Schmidt)
-
εK
Número cinético adimensional
-
φ
Porosidade
-
λ
Coeficiente cinético
(M∗m)-1
µ
Viscosidade
kg/(m∗s)
ρBaSO4
σ
Densidade da Barita
Kg/m3
Concentração molar do sólido depositado
mol/L
xiii
1
CAPÍTULO 1 -
INTRODUÇÃO
No presente trabalho deduz-se novos modelos analíticos para determinação
do dano à formação devido à incrustação de sulfato de bário a partir do fluxo com
reação química em: i) testemunhos, ii) na vizinhança dos poços produtores. Os
coeficientes do modelo apresentado nesse trabalho foram calculados a partir do
tratamento de dados de 23 testes laboratoriais (i) e 22 poços produtores (ii). Os
resultados obtidos apresentam a mesma ordem de magnitude, isto valida os
modelos, permitindo que os coeficientes obtidos sejam aplicados na simulação de
reservatórios. Baseado no histórico de produção de poços produtores foram
realizadas previsões do índice de produtividade utilizando modelo (ii).
1.1
Descrição do Problema
A incrustação de sulfato de bário/estrôncio (Ba/SrSO4) é grave problema que
ocorre em campos submetidos à injeção de água, sendo as águas de injeção e de
formação incompatíveis quimicamente. Esse fenômeno é atribuído à precipitação do
sal sulfato de bário/estrôncio a partir da mistura de ambas águas e a conseqüente
redução da permeabilidade resultando na perda de produtividade do poço (Oddo e
Tomson, 1994, Sorbie e Mackay, 2000).
O problema de queda de produtividade devido à incrustação de sulfatos vem
sendo documentado em vários campos da Bacia de Campos, Brasil, (Bezerra et al.,
2
1990, 1996, Rosario e Bezerra, 2001; Gomes et al., 2002) e em reservatórios do Mar
do Norte (Mackay et al., 2002, 2003).
A decisão de se realizar uma prevenção, remoção ou estimulação de um
poço com problema de incrustação esta baseada na previsão do dano causado pela
incrustação proveniente de uma modelagem matemática com coeficientes
determinados a partir de dados laboratoriais ou de campo.
Vários modelos numéricos (Rocha et al., 2001, Mackay, 2002, Delshad e
Pope, 2003) e analíticos (Araque-Martinez e Lake, 1999, Woods e Parker, 2003) que
descrevem a incrustação de sulfatos para condições laboratoriais e de campo estão
disponíveis na literatura. A opção de reação química em simuladores de fluxo
comerciais permite a modelagem da incrustação de sulfatos em campos com
problema de incrustação (Eclipse, 2001, Stars, 2003).
Modelos matemáticos para incrustação de sulfatos contêm o coeficiente da
taxa de reação que caracteriza a intensidade da reação química (também chamada
velocidade da reação). O coeficiente da taxa de reação é proporcional à velocidade
de fluxo para pequenas velocidades, e o coeficiente de proporcionalidade é
chamado coeficiente cinético (Fogler, 1998, Lopes, 2002, Bedrikovetsky, 2006a,b). O
coeficiente cinético é determinado pelas propriedades da rocha e dos fluidos, pela
natureza do depósito e pelas condições termodinâmicas.
Outro parâmetro governante é o coeficiente dano de formação que reflete a
queda da permeabilidade devido à precipitação do sal (Pang e Sharma, 1994). O
coeficiente dano de formação também depende das propriedades da rocha e dos
fluidos. Assim como a permeabilidade ou pressão capilar, os coeficientes cinético e
de dano de formação não podem ser determinados teoricamente para condições
reais de fluidos e meio poroso.
O perfil de deposição do sal durante testes laboratoriais em testemunhos é
não uniforme, uma vez que as concentrações dos reagentes diminuem ao longo do
testemunho devido à reação química. Deste modo, os coeficientes não podem ser
medidos diretamente em testes laboratoriais com reação química em testemunhos.
Conseqüentemente, os coeficientes devem ser determinados tanto a partir de dados
laboratoriais quanto dados de campo através da solução de problemas inversos.
3
O arranjo experimental e os resultados de testes laboratoriais, em regime
quase permanente da injeção simultânea de água do mar e da formação com
conseqüente incrustação de sulfato de bário, foram apresentados por Read e Ringen
(1982), Allaga et al. (1992), Todd e Yuan (1992), Watt et al. (1992), Goulding (1987),
Lopes (2002). A concentração de bário no efluente e a variação de pressão no
testemunho foram medidas durantes os testes para diferentes rochas e fluidos.
A solução analítica para fluxo linear com reação química em regime quase
permanente permite calcular o coeficiente cinético a partir da concentração de bário
no efluente; o coeficiente dano de formação é determinado a partir do aumento da
variação de pressão versus o tempo durante o fluxo simultâneo de água do mar e da
formação (Bedrikovetsky et al., 2006a). Os dados laboratoriais de Goulding (1987),
Yuan (1989), Todd e Yuan (1992), Watt et al. (1992), Lopes (2002) foram tratados a
partir de problemas inversos, e o banco de dados para os coeficientes do modelo
calculados a partir de vinte e três testes laboratoriais será apresentado nessa tese.
Nessa tese também será apresentada a metodologia de problemas inversos
baseados em solução analítica para o tratamento de dados de poços. Um modelo
analítico será deduzido para fluxo com reação química em regime quase
permanente ao redor dos poços produtores. Os problemas inversos para a
caracterização do dano devido à incrustação são os seguintes: o coeficiente cinético
é calculado a partir da concentração de bário na água produzida, e o coeficiente
dano de formação é determinado a partir da queda do índice de produtividade.
Dados de produtividade de dez poços produtores de campos da Bacia de
Campos, Brasil, e de treze poços produtores de reservatórios do Mar do Norte, UK,
serão tratados. Os coeficientes cinético e de dano de formação serão determinados
em seguida utilizados para previsão da queda de produtividade nos poços. A
validação do modelo será realizada através da comparação entre os valores dos
coeficientes obtidos a partir de dados laboratoriais e dados de campo. Uma vez
validado o modelo, poderemos propor a utilização dos coeficientes obtidos de testes
laboratoriais para previsão do comportamento dos poços (do laboratório para os
poços), assim como a utilização dos coeficientes obtidos de dados de campo para
previsão de outros campos (do poço para o poço).
4
1.2
Revisão Bibliográfica
Nesta revisão bibliográfica serão definidos alguns conceitos básicos
relacionados ao entendimento da presente tese e serão citados diversos trabalhos
científicos da área.
1.2.1 Mecanismos de Transporte de Espécies Químicas
Lake (1989) cita quatro mecanismos principais que causam o transporte de
espécies químicas no meio poroso:
forças viscosas devido às diferenças de pressão;
forças gravitacionais devido às diferenças de densidade;
forças capilares;
difusão e dispersão.
Os mecanismos de difusão e dispersão exercem grande influência nos
processos de deslocamentos miscíveis no meio poroso, por isto, estes fenômenos,
foram e ainda são objetos de pesquisa e estudo na indústria do petróleo. A água de
injeção (rica em sulfato) ao deslocar a água da formação (rica em bário) forma uma
frente de avanço. Na interface entre elas poderão ocorrer os fenômenos de difusão e
dispersão, que são responsáveis pelo espalhamento ou mistura das espécies
químicas.
Pode-se definir estes mecanismos da seguinte forma:
1.2.1.1 Difusão
Quando dois fluidos miscíveis e de diferentes concentrações são postos em
contato, inicialmente haverá uma superfície de separação entre eles, mas devido à
movimentação aleatória das espécies químicas em solução (movimento browniano),
logo haverá uma difusão gradativa de um fluido no outro, ou seja, o transporte de
massa de um fluido para o outro. Com o tempo, a superfície inicial de separação
entre os fluidos se transformará em uma zona de mistura. Na ausência de um meio
5
poroso, este fenômeno é chamado de difusão molecular (dm) e na presença do meio
poroso (consolidado ou não), denomina-se difusão aparente (dap).
Lake (apud Pirson, 1989), através de uma analogia entre difusão e
condutividade elétrica no meio poroso, sugeriu a seguinte relação aproximada entre
a difusão aparente e a difusão molecular:
dap =
dm
Fφ
(1.1)
onde F é o fator resistividade elétrica da formação [adim.] e φ é a porosidade.
Ou seja, há uma modificação no efeito da difusão molecular causada pelo
meio poroso e suas heterogeneidades.
1.2.1.2 Dispersão
No mecanismo de difusão não se considera a movimentação dos fluidos.
Assim, no caso de fluxo de fluidos no meio poroso, há um novo mecanismo de
mistura, determinados pelo gradiente de velocidade entre as diversas linhas de fluxo,
resultado das heterogeneidades do meio poroso. Este mecanismo é denominado de
dispersão.
A dispersão é classificada em dois tipos:
dispersão longitudinal: ocorre na direção do movimento dos fluidos.
dispersão transversal: ocorre na direção perpendicular ao movimento
dos fluidos.
Lake (1989) utiliza o termo dispersão para se referir ao mecanismo causado
pelo gradiente de concentrações (difusão) somado ao mecanismo causado pelo
gradiente de velocidades.
Através de vários experimentos laboratoriais e, também, por razões de
ordem qualitativa, Lake resumiu o coeficiente de dispersão longitudinal (DL) através
da seguinte equação, válida para fluxos unidimensionais:
6
DL =
dm
+ UαL
Fφ
(1.2)
sendo U a velocidade total de fluxo [m/s] e αL a dispersividade longitudinal [m].
Lake (apud Bear, 1989) classifica αL como uma propriedade fundamental do
meio poroso e que pode ser considerada como uma medida da heterogeneidade do
meio. O nível de dispersão, portanto, estaria relacionado com a heterogeneidade,
assim, em meios mais heterogêneos haveria uma maior dispersão.
A dispersividade pode ser considerada como uma medida da quantidade de
mistura que ocorrerá no meio poroso, onde uma maior dispersividade implicará
numa quantidade maior de mistura.
Para o caso de baixas velocidades de fluxo, o segundo termo da equação
(1.2) é desprezível, e DL será proporcional a dm.
Para o caso de altas velocidades, não haverá tempo suficiente para que a
difusão equalize as concentrações no meio poroso e, portanto, o segundo termo se
torna mais significativo. Considerando-se a hipótese que as heterogeneidades ao
longo das linhas de fluxo provoquem uma mistura completa dos fluidos, o primeiro
termo da equação (1.2) poderá ser desprezado.
Segundo Lake (1989), à exceção de alguns casos particulares, quando a
velocidade intersticial for maior que três centímetros por dia (cm/d), que é o caso da
maioria dos métodos de EOR1, o segundo termo é dominante e a dispersão
longitudinal pode ser escrita como:
DL ≅ UαL
(1.3)
Os mecanismos da difusão e da dispersão são responsáveis pelo
espalhamento e mistura das espécies químicas em solução, fazendo com que seja
formada uma zona de mistura entre os dois fluidos. Quando não há nenhum destes
mecanismos no fluxo de fluidos não haverá a formação da zona de mistura e o
deslocamento será do tipo “pistão”.
1
EOR (enhanced oil recovery): recuperação melhorada de petróleo que é caracterizada pela
injeção de materiais normalmente estranhos aos presentes no reservatório.
7
O tamanho da zona de mistura (∆X) foi estimado por Sorbie e Mackay
(2000), para um sistema unidimensional, através da seguinte equação, em unidades
adimensionais:
∆X = 3.625
αL ∗ T
L
(1.4)
onde L é o comprimento do testemunho utilizado nos experimento laboratorial [m] e
T é o tempo adimensional em volumes porosos injetados.
1.2.2 Incrustação
Incrustações (ou scale) podem ser definidas como compostos químicos de
natureza inorgânica, inicialmente solúveis em soluções salinas, e que precipitam
podendo se aderir na superfície sólida no reservatório, canhoneados, telas de gravel
pack, colunas de produção e equipamentos de superfície (Marques et al., 2001).
A acumulação da incrustação irá obstruir o fluxo de fluidos, limitando a
produção e, possivelmente, causando danos aos equipamentos de fundo de poço. A
segurança do poço pode ser comprometida pela deposição em válvulas de
segurança submarina. Alguns incrustantes constituem um risco para saúde, já que
são reconhecidos como Ocorrência Natural de Materiais Radioativos (NORM2), cuja
remoção e o descarte requer alto custo, além de ser perigoso.
1.2.2.1 Aspectos Gerais
Muitos minerais incrustantes são encontrados na indústria do petróleo,
entretanto os mais comuns e que causam mais preocupação são: carbonato de
cálcio (calcita), sulfato de cálcio (gipsita), sulfato de bário (barita) e sulfato de
estrôncio (celestita). Compostos de ferro a partir de corrosão e oxidação também
são comuns.
2
Do ingles Naturally Occurring Radioactive Materials
8
De acordo com a American Standard Test Method, as principais
incrustações, fórmulas químicas e o nome do mineral são listados na Tabela 1.1.
Tabela 1.1 - Principais incrustações inorgânicas em poços de petróleo
Tipo Incrustante
Fórmula Química
Nome do Mineral
Depósito Solúvel em Água
Cloreto de Sódio
NaCl
Halita
Depósito Solúvel em Ácido
Carbonato de Cálcio
CaCO3
Calcita
Carbonato de Ferro
FeCO3
Siderita
Sulfeto de Ferro
FeS
Trolita
Fe3O4
Magnetita
Fe2O3
Hematita
Mg(OH)2
Brucita
Óxido de Ferro
Hidróxido de Magnésio
Depósito Insolúvel em Ácido
Sulfato de Cálcio
CaSO4 • 2H2O
Gipsita
Sulfato de Cálcio
CaSO4
Anidrita
Sulfato de Bário
BaSO4
Barita
Sulfato de Estrôncio
SrSO4
Celestita
Sulfato de Bário Estrôncio
BaSr(SO4)2
Sulfato de Bário Estrôncio
A deposição de incrustantes inorgânicos em poços produtores gera um custo
para a indústria do petróleo. A precipitação e acúmulo de incrustação na formação,
canhoneados, colunas de produção, válvulas e equipamentos de superfície podem
causar restrições ao fluxo e reduzir a produtividade do poço.
A remoção da incrustação, em particular do sulfato de bário, pode ser muito
custosa e tem se tornado um problema crescente com as regulamentações com
respeito à ocorrência natural de materiais radioativos (NORM). Materiais radioativos
são categorizados com relação à quantidade de radiação que estes podem produzir.
Na indústria do petróleo, NORM ocorre em incrustantes que bloqueiam
tubulações e equipamentos. Os riscos para saúde a partir de baixos níveis de
radiação em NORM são considerados mínimos em muitos casos; entretanto, a
9
remoção do resíduo NORM pode criar um problema, uma vez que a radioatividade
dos incrustantes normalmente é muito baixa de tubulação para tubulação, porém o
nível de radiação total aumenta quando todos os tubos incrustados são
armazenados em um mesmo lugar.
1.2.2.2 Causas da Incrustação
A incrustação ocorre principalmente pela alteração das condições de
equilíbrio em que uma solução aquosa se encontra. Mudanças das condições físicas
(tubulações, canhoneados, gravel pack) por onde essas soluções aquosas se
deslocam também favorecem a formação de incrustações. Mackay e Sorbie (1999)
descrevem sucintamente as principais causas da formação das incrustações e suas
conseqüências na produção de petróleo, que são descritas como se segue:
1. variações termodinâmicas (pressão, temperatura, concentração, pH, etc) que
ocorrem ao longo do processo de produção de petróleo. A variação de
temperatura assim como o decréscimo da pressão contribui para o processo que
promove a formação de incrustações;
As variações termodinâmicas podem ocorrer no início da produção do poço.
E os problemas com incrustação podem ocorrer tão logo se inicie a produção de
água da formação (conata ou aqüífero), ou seja, bem cedo na vida do campo. Se
tivermos durante a produção de petróleo água rica em cálcio (Ca2+) e bicarbonato
(HCO3-), quando ocorrer redução de pressão ou aumento de temperatura poderá
ocorrer precipitação de carbonato de cálcio ou calcita (CaCO3). Este mecanismo de
precipitação envolve um desequilíbrio termodinâmico entre o dióxido de carbono
(CO2) e o bicarbonato.
A incrustação de carbonato de cálcio, assim como carbonato de ferro
(FeCO3, siderita) e sulfeto de ferro (FeS2, pirita), tem a vantagem de serem
facilmente removidas através de uma operação de acidificação. Entretanto
apresentam a desvantagem de serem dificilmente previstas pelos modelos
existentes, por necessitarem dados de entrada mais precisos (como a pressão de
bolha do CO2, o pH no poço e a concentração de bicarbonato). Os modelos de
10
previsão de incrustações por carbonatos são mais complexos e, freqüentemente,
menos precisos.
2. reação química decorrente da mistura de águas quimicamente incompatíveis
entre si, sob condições físicas favoráveis. A água da formação encontra-se
inicialmente em equilíbrio químico com a rocha e com os hidrocarbonetos
presentes. Ao se injetar uma outra água não nativa, estranha ao reservatório, isto
é, sem estar em equilíbrio químico com o mesmo, surgem diversos problemas.
Em função da incompatibilidade química da água do mar e da água da
formação, poderá ocorrer reação química entre elas. A água da formação (rica em
cátions divalentes da família dos metais alcalinos terrosos tais como Ba2+, Sr2+ e
Ca2+) e a água de injeção (rica em íons sulfatos, SO42-), quando submetidas a
condições termodinâmicas adequadas, faz com que sejam depositados compostos
insolúveis tais como BaSO4 (sulfato de bário ou barita), SrSO4 (sulfato de estrôncio
ou celestita) e CaSO4 (sulfato de cálcio ou anidrita), conforme as seguintes reações:
Ba2+ + SO24− ⇒ BaSO4 ↓
(1.5)
Sr 2+ + SO24− ⇒ SrSO4 ↓
(1.6)
Ca2+ + SO24− ⇒ CaSO4 ↓
(1.7)
Dentre estes compostos, o sulfato de bário é o mais problemático por ser o
de menor solubilidade e o de mais difícil remoção.
Portanto, a natureza do gerenciamento dos problemas de incrustação varia
ao longo do tempo de produção. Inicialmente, os problemas são relacionados com
deposições de incrustações de carbonato, pois a primeira água a ser produzida é
composta apenas de água da formação. Depois do breakthrough da água do mar
injetada, os problemas de incrustações de carbonato tendem a diminuir e os
problemas com incrustações de sulfato tendem a aumentar e chegar a um máximo,
quando o índice de saturação (definido mais adiante) for máximo. Este máximo é
alcançado para uma determinada razão de mistura entre a água da formação e a
água do mar. A partir deste ponto, à medida que a quantidade de água do mar
aumenta, a incidência destas incrustações tende a diminuir.
11
1.2.2.3 Local da Precipitação
A reação para que ocorra incrustação depende se haverá concentração de
íons sulfato suficiente na água do mar injetada, e cátions divalentes de bário,
estrôncio e/ou cálcio na água de formação para gerar incrustação de sulfatos; ou se
haverá concentração suficiente de bicarbonato e íons de cálcio para permitir a
formação de carbonatos. Assim a incrustação pode ocorrer em qualquer lugar onde
haja mistura de salmouras incompatíveis, ou exista mudança nas condições físicas –
como queda de pressão. Jordan, et al. (2006) apresentam uma revisão de todos
possíveis ambientes para formação de incrustação.
Primeiramente em poços injetores, por exemplo, se a água do mar for
suplementada com a re-injeção de água produzida (PWRI);
Ao redor dos poços injetores, quando a água injetada entra no
reservatório em contato com a água da formação;
No reservatório, devido ao deslocamento da água de formação pela
água injetada, ou por causa da convergência das linhas de fluxo;
Quando as águas de injeção e de formação convergem em direção ao
poço produtor, mas fora do raio de tratamento com inibidores3;
Quando as águas de injeção e de formação convergem em direção ao
poço produtor, e dentro do raio de tratamento com inibidores;
Em um intervalo completado de um poço produtor, onde uma
salmoura é produzida pelo intervalo produtor, enquanto que a outra
salmoura esta sendo produzida por uma seção abaixo;
Na junção de poços multilaterais, onde um poço está produzindo uma
única salmoura e outro poço está produzindo uma salmoura
incompatível;
Em manifold submarino, onde um poço está produzindo uma
salmoura e outro poço está produzindo uma salmoura diferente;
Em equipamentos de superfície, onde as linhas de produção estão
fluindo com diferentes salmouras.
Como conseqüência destes depósitos, poderá ocorrer dano à formação,
entupimento de canhoneados ou gravel pack, restrições em colunas ou linhas de
3
Produtos químicos injetados em poços com o intuito de inibir a reação química
12
produção, redução de eficiência de separação óleo/água, entupimento de
equipamentos de filtração, etc.
1.2.2.4 Mecanismos de Formação de Incrustações
A cristalização e formação de uma incrustação requerem a ocorrência de
três fatores simultâneos (Oliveira apud York e Schorle, 1997):
supersaturação;
nucleação;
tempo de contato.
A supersaturação é a causa primária da formação de incrustação, sendo as
alterações de pressão, temperatura, pH, etc., consideradas causas secundárias, pois
estes fatores influenciam na solubilidade de um dado composto.
A nucleação pode ser definida como o início de um processo de
precipitação. Podem existir dois tipos de nucleação, com mecanismos distintos:
nucleação homogênea;
nucleação heterogênea: a existência de substâncias estranhas como,
por exemplo, partículas em suspensão, microorganismos, etc.,
reduzem a energia necessária para a formação de uma superfície
inicial para o crescimento da incrustação.
É necessário que haja um tempo de contato entre a solução e os núcleos
formados para que ocorra o processo de crescimento do cristal e uma incrustação
possa se formar.
A co-precipitação é um fenômeno em que diferentes componentes solúveis
são removidos da solução durante a formação do precipitado (Oliveira, 1997).
13
1.2.2.5 Principais Mecanismos de Mistura das Águas
Sorbie e Mackay (2000) mostraram, do ponto de vista teórico, como ocorre a
mistura in situ das águas de formação e injeção, começando pelo caso
unidimensional mais simples e estendendo para o caso real heterogêneo
tridimensional. Foram identificados os principais mecanismos de misturas entre as
diversas águas:
deslocamento unidimensional linear (1D), para os casos homogêneos
e heterogêneos;
deslocamento e mistura em reservatórios heterogêneos estratificados
(2D vertical);
deslocamento e mistura em reservatórios areais e horizontais (2D
areal);
combinações dos casos anteriores (3D).
Em todos estes casos, sempre haverá a formação de um banco de água da
formação sendo deslocado em contato direto com a água injetada. Este
deslocamento pode ser considerado frontal e o grau de mistura que poderá ocorrer
entre estas águas dependerá do nível de heterogeneidade (dispersividade) do meio
poroso.
No primeiro destes casos, é analisada uma situação ideal onde o
deslocamento acontece em um canal de fluxo homogêneo, sendo utilizada uma
extensão da teoria de Buckley-Leverett para se estudar o problema. Neste caso, há
a formação de uma fronteira entre o banco de água conata ou água da formação
(AF) e o banco de água do mar (AM), sendo mínima a mistura devido à dispersão
(Figura 1.1). Portanto, os bancos de água vão se deslocar em direção ao poço
produtor sem que haja alguma mistura significativa dentro do reservatório ou mesmo
no poço produtor, pois, dentre os fluidos produzidos haveria uma mudança brusca
de composição: primeiramente, somente água conata seria produzida e, depois,
somente água injetada. Este caso é mostrado analiticamente, numericamente e
experimentalmente por Sorbie e Mackay (2000).
14
Figura 1.1 - Mecanismo de mistura unidimensional para o caso homogêneo4
Quando se considera a heterogeneidade no deslocamento unidimensional,
há a formação de uma zona de mistura dentro da qual poderá haver a deposição do
scale consumindo os íons causadores da incrustação (Figura 1.2).
Figura 1.2 - Mecanismo de mistura unidimensional para o caso heterogêneo5
4
Figura baseada no paper “Mixing of Injected, Connate and Aquifer Brines in Waterflooding and Its
Relevance to Oilfield Scaling”, 2000, Sorbie e Mackay.
5
idem
15
Esta deposição, além de não causar nenhum dano significativo à formação
(Bertero et al., 1986), não se acumula devido ao contínuo deslocamento desta zona
de mistura em direção ao poço produtor. A zona de mistura funciona como uma
barreira ou um espaçador entre as águas conata e injetada, prevenindo futuras
deposições. Este mecanismo é importante porque ocorre nos demais mecanismos
de deslocamento e mistura.
No caso de uma geometria 2D areal, haverá a formação de linhas de fluxo,
partindo do poço injetor, com diferentes tempos de trânsito, e convergindo para o
poço produtor. As linhas de fluxo mais velozes são aquelas que se deslocam pelo
centro do reservatório e são responsáveis pelo breakthrough da água do mar
injetada. Pelas extremidades do reservatório se deslocam as linhas de fluxo mais
lentas, onde ainda haveria a produção de água da formação. Esta convergência de
diferentes linhas de fluxo provocará a mistura das águas nas proximidades do poço
produtor (Figura 1.3).
Figura 1.3 - Mecanismo de mistura 2D areal heterogêneo6
No caso de uma litologia que seja composta pela presença de
heterogeneidades no plano vertical do reservatório, um outro tipo de mistura
ocorrerá entre as diferentes águas, pois o breakthrough da água do mar ocorrerá,
primeiramente, nas camadas mais permeáveis e a água da formação continuará
chegando pelas camadas de mais baixa permeabilidade. Este tipo de mecanismo de
mistura provocará, também, a mistura das águas nas proximidades do poço produtor
(Figura 1.4).
6
Figura baseada no paper “Mixing of Injected, Connate and Aquifer Brines in Waterflooding and Its
Relevance to Oilfield Scaling”, 2000, Sorbie e Mackay.
16
Figura 1.4 - Mecanismo de mistura 2D vertical heterogêneo7
A presença de um aqüífero somente pode vir a complicar o problema, pois a
água do mesmo poderá vir a ser produzida conjuntamente com a água de injeção,
aumentando a mistura e a possibilidade de formação de incrustação.
No caso de um reservatório tridimensional e heterogêneo tem-se uma
combinação de todos os mecanismos de misturas citados anteriormente.
Portanto, esta contínua chegada de águas incompatíveis entre si, aliada às
altas velocidades de fluxo, provoca a formação e deposição das incrustações nas
proximidades do poço produtor, podendo causar dano à formação.
Quanto maior a presença de heterogeneidades, estes mecanismos de
mistura se tornam mais efetivos, aumentando os possíveis danos nas proximidades
dos poços produtores.
Bedrikovetsky, et al., (2002) propuseram um novo mecanismo de mistura
dentro dos reservatórios de petróleo. O mecanismo leva em consideração a difusão
7
Figura baseada no paper “Mixing of Injected, Connate and Aquifer Brines in Waterflooding and Its
Relevance to Oilfield Scaling”, 2000, Sorbie e Mackay.
17
do íon bário proveniente de camadas impermeáveis adjacentes para dentro do
reservatório. Neste caso, poderá ocorrer acumulação do sal precipitado no
reservatório, podendo causar dano à formação. Entretanto, estas camadas
impermeáveis são paralelas à direção do fluxo de tal modo que a incrustação não
cria uma barreira ao fluxo.
1.2.2.6 Propriedades do Sulfato de bário
O sulfato de bário é um dos sais mais insolúveis, se forma pela reação
química que ocorre entre a água de injeção (rica em sulfatos) e a água da formação
(rica em íons bário), como se mostra abaixo:
Ba2+ (aq) + SO24−(aq) → BaSO4(s)
(1.8)
O enriquecimento da água de formação em íons de bário deve-se a fatores
responsáveis pelo consumo de sulfato solubilizado, possibilitando a dissolução de
maior quantidade de sulfato de bário. Dentre os fatores pode-se citar a ação de
bactérias redutoras de sulfato (Dunn et al., 1991).
1.2.2.7 Forma cristalina
Em geral, a barita é um cristal ortorrômbico, com densidade de 4,47 g/cm3
nesta morfologia. Entretanto, formas diferentes são obtidas em diferentes condições
reacionais, sendo o grau de supersaturação um dos fatores determinantes: em um
índice de saturação acima de 1000 (log(IS)>3), obtém-se cristais dendríticos, em
forma de agulha, estrela e rosetas. A temperatura, a pressão, o pH e a concentração
de eletrólitos também influenciam a morfologia do cristal (Dunn et al., 1998).
1.2.2.8 Solubilidade
A solubilidade da barita em água deionizada a 25ºC é de 2,3 mg/L.
Apresenta insolubilidade a ponto de certos métodos quantitativos de análise de
18
sulfato e de bário basearem-se na sua precipitação (Ostroff, 1965). O seu produto de
solubilidade nas mesmas condições é de 1,1024x10-10 M2 (Harris, 2001).
Comparando as solubilidades das principais incrustações da indústria do
petróleo, Tabela 1.2, pode-se perceber que o sulfato de bário é o mais insolúvel.
Tabela 1.2 - Solubilidade das principais incrustações da indústria do petróleo em água pura a 25°C
Incrustações
Solubilidade (mg/L)
BaSO4 (barita)
2,3
SrSO4 (celestita)
114
CaSO4 (gipsita)
2000
CaCO3 (calcita)
53
O aumento de temperatura e o aumento da força iônica da solução
influenciam favoravelmente a solubilidade do sulfato de bário, que é proporcional ao
somatório dos produtos entre concentrações e as cargas dos íons elevadas ao
quadrado; sendo a solubilidade correlacionada com essas variáveis, inclusive
pressão, por vários autores (Atkinson e Raju, 1991, Yuan e Todd, 1991, Oddo e
Tomson, 1994, Monnin, 1999). A variação da solubilidade do sulfato de bário com a
temperatura pode ocasionar grandes problemas, caso medidas preventivas não
sejam tomadas, pois mesmo não havendo supersaturação da solução ao deixar o
reservatório, a água de formação pode se tornar supersaturada em razão do
resfriamento, a ponto de causar graves danos a tanques e equipamentos.
A carga elétrica superficial da barita apresenta forte dependência do pH da
solução. Verifica-se também influência das concentrações e espécies presentes na
solução e conseqüentemente da sua força iônica (Collins, 1998).
1.2.3 Potencial para Incrustação
Um modelo ideal de previsão de potencial de incrustações deveria levar em
consideração, entre outros, os seguintes itens:
19
termodinâmica: variações de pressão, temperatura, pH e de
composições da água;
cinética: as reações químicas que resultam na formação de
incrustações podem não ser instantâneas, por isto, a importância da
inclusão da cinética de precipitação que levará em consideração a
velocidade de fluxo e o tempo de residência no reservatório e
tubulações;
hidrodinâmica;
aderência e dissolução da incrustação;
redução da permeabilidade do meio poroso;
precipitação simultânea dos diversos tipos de incrustações (coprecipitação).
A previsão do potencial de incrustação deve ser feita para todo o período de
produção do reservatório de petróleo. De preferência, esta previsão deve ser feita na
fase inicial do projeto do campo, pois é nesta fase que os investimentos são feitos. É
nesta fase que se decide, por exemplo, a compra de uma planta para redução de
sulfato para remover os íons sulfatos da água de injeção. Decide-se, também, a
estratégia de injeção de água, o esquema de completações dos poços, etc.
Pode-se identificar dois tipos principais de modelos para a previsão do
potencial de incrustação:
modelos termodinâmicos: consideram os fatores termodinâmicos e as
propriedades químicas das misturas para a determinação do estado
de equilíbrio do sistema;
modelos cinéticos: baseia-se na determinação da taxa de reação
química e sua dependência por vários fatores (temperatura, pressão,
concentrações, etc).
A escolha de qual modelo será usado dependerá muito do grau de
proximidade que o sistema se encontra do seu equilíbrio termodinâmico e da
natureza e complexidade do sistema (Lopes, 2002).
Os dois modelos serão descritos a seguir.
20
1.2.3.1 Modelos Termodinâmicos
A modelagem termodinâmica utiliza constantes de solubilidade obtidos da
literatura, equilíbrio entre as fases, coeficiente de atividade pelo formalismo de Pitzer
e finalmente calcula as espécies insolúveis utilizando equações das constantes de
equilíbrio e de balanço de massa.
O modelo considera que nas condições termodinâmicas especificadas para
a mistura de águas, a massa precipitada de um composto insolúvel será equivalente
à quantidade que excede o seu produto de solubilidade (Kps) dado por:
K psCA = ac aa = [ A]Ya [C ]Yc
(1.9)
sendo Kps o produto de solubilidade do composto CA, na força iônica e temperatura
da solução; aa é a atividade do ânion A; ac é a atividade do ânion C; [A] é a
concentração molar de A; [C] é a concentração molar de C; YA é o coeficiente de
atividade de A; YC é o coeficiente de atividade de C.
Na prática sabe-se que os sistemas podem existir em suas formas saturadas
nas quais os produtos das atividades dos íons precipitantes é maior que o Kps.
Estas previsões devem ser interpretadas como sendo as máximas quantidades de
precipitado que podem ocorrer. Outro parâmetro, além do produto de solubilidade,
que nos ajuda a caracterizar o potencial de precipitação é o índice de saturação (IS)
ou razão de solubilidade (RS), definido por:
ISCA = RSCA =
ac aa
K spCA
(1.10)
O índice de saturação varia ao longo do tempo com as diferentes razões de
mistura das águas de injeção e de formação. Sendo assim, o potencial de
incrustação também muda, podendo haver pontos em que não será mais provável a
formação da incrustação, como é o caso de altos valores de razão de mistura
(Jordan et al., 2001). O máximo índice de saturação na mistura das águas
corresponde ao ponto onde as precipitações deverão ocorrer com maior gravidade
21
para o reservatório. É a condição mais crítica para a precipitação, mas que nem
sempre corresponde à maior massa que poderá precipitar.
Por outro lado, no laboratório vê-se que para o máximo IS, a inibição da
precipitação torna-se mais difícil, requerendo inibidores mais eficientes. O IS varia
com a pressão e temperatura, o que permite a previsão dos pontos sujeitos à
ocorrência de incrustação. Quando IS > 1 a solução é supersaturada e poderá
ocorrer precipitação; se IS = 1, a solução é saturada, ou seja, está em equilíbrio e,
neste caso, não ocorrerá precipitação; caso IS < 1, a solução é subsaturada e
poderá ocorrer dissolução.
Na utilização do modelo termodinâmico para a previsão do potencial de
incrustação, o índice de saturação e a massa a precipitar devem ser obtidos em
função de diferentes razões de mistura entre a água da formação e a água do mar
injetada. Ou seja, devem ser calculados ao longo de toda a vida produtiva do
reservatório em estudo.
A obtenção destes parâmetros não é uma condição suficiente para se obter
uma boa previsão do potencial de incrustação. Comparações devem ser feitas com
parâmetros de reservatórios de comportamentos conhecidos, nas mesmas
condições de pressão e temperatura, para que se possam efetuar ajustes nas
previsões.
Segundo Lopes (2002), a modelagem do processo de injeção de água do
mar em um reservatório e a conseqüente precipitação de sais insolúveis é mais
precisa caso se utilize uma abordagem cinética.
Portanto, o modelo termodinâmico não foi considerado nesta tese pelo fato
do mesmo não levar em consideração a cinética das reações e não representar bem
o processo de injeção de água em um reservatório.
22
1.2.3.2 Modelos Cinéticos
Araque-Martinez e Lake (1999) afirmam que devido às altas velocidades de
fluxo nas proximidades dos poços, é razoável assumir uma condição de “não
equilíbrio local”, ou seja, uma predominância dos efeitos da cinética química.
A cinética química possui como objeto o estudo quantitativo das taxas de
reação química e sua dependência por vários fatores (concentração, pressão,
temperatura, etc). Esta taxa ou velocidade de reação pode ser expressa em termos
da concentração de qualquer reagente ou produto da reação.
Na literatura existem diversos trabalhos que tratam desta cinética, não
havendo, ainda, um consenso de qual seria a melhor equação para descrever a taxa
de crescimento do cristal.
De acordo com Rocha, apud Christy e Putnis (2001), a cinética de
precipitação do sulfato de bário ainda não é bem definida devido ao grande número
de parâmetros físicos que influenciam na determinação desta taxa.
Nancollas e Liu (1975) investigaram, através de dados laboratoriais, uma
cinética de segunda ordem, tanto para o crescimento quanto para a dissolução do
sulfato de bário, independente da dinâmica do fluido. Estes resultados têm um amplo
uso na modelagem envolvendo incrustações.
Lopes (2002), mostrou através de experimentos em meio poroso, a
proporcionalidade entre o coeficiente da taxa de reação química (Ka) e a velocidade
de fluxo (U), para vários formatos de taxa, sendo a constante de proporcionalidade
(λ) denominada de coeficiente cinético:
K a = λU
(1.11)
Bedrikovetsky et al. (2006a) apresenta uma tabela resumida e ilustrativa de
algumas taxas de crescimento do cristal aplicadas tanto para o sulfato de bário
quanto para outros minerais (Tabela 1.3).
23
Tabela 1.3 - Taxas de crescimento de cristal de uso comum para o sulfato de bário e outros minerais.
Referência
Nielsen, 1959
Equação
Comentários
q = 630 cBa (mµ/s)4
Ka = 6.1 1017 (mol/cm2 s) (cm3/mol)4
Mistura equimolar. A taxa é
determinada pela superfície de
adsorção.
q = KaAs(cBa− cBaeq)2
KaAs: 150−1480 (M min)−1
As: 0.138−0.430 (m2 L−1)
Mistura equimolar. A precipitação é
induzida por sementes sólidas
Garder e Nancollas, 1983
q = KaAs(cBa− cBaeq)2
Ka (150 °C): 6.33 104
(L2 Mol−1 min−1 m−2)
Fornece a concentração de sementes
ao invés da area de reação.
Goulding, 1987
⎛c
⎞
q = K a As ⎜ Ba
− 1⎟
eq
⎝ cBa
⎠
KaAs ∼ 1.6 106 (M s)−1
Nancollas e Liu, 1975
2
Steefel e Cappelen, 1990
⎛⎛ a a
Ba SO4
q = K a As ⎜ ⎜
⎜
⎜ ⎝ K sp
⎝
Afirma nucleação heterogênea
quase instantânea no ambiente de
reservatório.
m
⎞
⎞
⎟⎟ − 1⎟
⎟
⎠
⎠
n
Lista os valores de m e n para
alguns minerais.
m, n > 0
Wat, Sorbie, et al.,1992
q = Ka(cBa − cBaeq)2
Ka=1.26 102 (M min)−1
Mistura equimolar.
Christy e Putnis, 1992
q = (126±65) As (cBa− cBaeq)2
Mistura equimolar. Quanto maior
são as concentrações, maior é a
ordem da reação química.
Stumm, 1992
⎛⎛ a a
Ba SO4
q = Ka ⎜ ⎜
⎜ ⎜⎝ K sp
⎝
1/ 2
⎞
⎟⎟
⎠
⎛ aBa aSO4
q = K a As ⎜
⎜ K
sp
⎝
Bethke, 1996
⎞
− 1⎟
⎟
⎠
q = ((2.5±0.5)10-7)
(
Araque-Martinez e Lake,
1999
q = K a As aBa aSO4 − K sp
Rocha et al., 2001
cBa cSO4 − K sp
(
)
Apresenta uma equação geral para
taxa.
A área da superfície é tomada fora
do parânteses. Para baixas
concentrações, a formula tende à lei
das massas ativas.
⎞
⎟⎟
⎠
Aoun et al., 1998
Azaroual et al., 2001
2
Mistura equimolar.Mede
simultaneamente a nucleação e o
crescimento do cristal.
2.1± 0.1
)
São consideradas diferentes areas de
superfície para dissolução e
precipitação.
⎛ aBa aSO4
⎞
− 1⎟ ,
q = K a As ⎜
⎜ αK
⎟
sp
O coeficiente de área As é a área
⎝
⎠
α: crit. sat. coef., Ka: 10-11−10-10 (600−3700 m) total multiplicada por sua fração
reativa.
mol
sKg H2O
⎛
⎛ aBa a SO4
⎞⎞
q = 5.310−6 exp ⎜ 0.011⎜
− 1⎟ ⎟
⎜ K
⎟⎟
⎜
sp
⎝
⎠⎠
⎝
A area de precipitação As foi obtida
através de ajustes de dados
experimentais, e está incluída na
expressão da taxa.
24
1.2.4 Modelo Matemático para Precipitação de Sais em Reservatórios
As equações básicas de fluxo em meios porosos com reações químicas se
encontram nos livros de Lake (1989), Phillips (1991) e Bedrikovetsky (1994), e são
baseadas no princípio da mecânica dos fluidos.
A primeira estratégia de modelagem do processo de incrustação em projetos
de injeção de água do mar foi baseada no equilíbrio termodinâmico, tendo como
exemplo, Bertero (1986). Segundo Araque-Martinez e Lake (1999) o problema de
formação de incrustação é mais grave nas proximidades dos poços produtores,
devido à grande velocidade do fluxo, não havendo tempo de residência suficiente
para que o equilíbrio termodinâmico seja atingido, ou seja, ocorre uma
predominância dos efeitos da cinética química, fato que invalida a modelagem
termodinâmica, pelo menos nas vizinhanças dos poços produtores.
Uma forma de avaliar a predominância cinética ou termodinâmica em
determinada região é feita pelo número de Dankholer, que confronta a velocidade de
escoamento com a velocidade da reação. Mackay (2002) utiliza esse adimensional
para situar regiões onde o modelo desenvolvido é capaz de determinar
adequadamente a composição da fase aquosa.
Sorbie e Mackay (2000) apresentam uma descrição detalhada da
precipitação de sulfato de bário em diferentes zonas do reservatório e o
conseqüente dano de formação causado pela incrustação. Mostram como ocorre a
mistura in-situ das águas de formação e injeção. No primeiro desses casos, o
deslocamento unidimensional, a dispersão dos íons é obtida por uma relação linear
com a velocidade do escoamento, sendo a dispersão proporcional à velocidade.
Bedrikovetsky et al. (2002) obtiveram uma correlação entre a partição
volumétrica de camadas impermeáveis a partir do histórico da concentração de um
traçador, no caso o ânion cloreto, na água produzida; baseando-se na solução exata
do problema inverso. Um percentual de heterogeneidade maior pode tornar os
mecanismos de mistura acima citados mais efetivos, tornando mais severa a
precipitação nas proximidades do poço produtor.
A mistura de água injetada e de formação ocorre ao longo de toda área
varrida do reservatório durante o processo de injeção. Quando a água de formação
25
for rica em íons de bário e a água de injeção for rica em íons sulfato, a precipitação
poderá ocorrer, no interior do reservatório, durante o processo de deslocamento da
água de formação pela água injetada. Esta deposição não causa dano significativo à
formação (Bertero et al., 1986), porque o acúmulo é desprezível devido ao contínuo
deslocamento desta zona de mistura em direção ao poço produtor (Figura 1.5).
Injetor
Produtor
Incrustação de BaSO4
nas vizinhanças do
poço produtor
Água de
formação
Incrustação de
BaSO4 no
reservatório
Água
Injetada
Figura 1.5 - Esquema de precipitação de sulfato de bário em meio poroso
Pode ocorrer acumulo de precipitado nos limites entre camadas com
permeabilidades diferentes. Este mecanismo leva em consideração a difusão do íon
bário proveniente de camadas de baixa permeabilidade adjacentes para dentro do
reservatório. A redução da permeabilidade pode ser significativa.
Entretanto,
geralmente, estas camadas impermeáveis são paralelas à direção do fluxo de tal
modo que a incrustação não cria uma barreira ao fluxo (Bedrikovetsky et al., 2002).
Nas proximidades dos poços produtores ocorre um aumento da velocidade
de fluxo, então uma mistura mais intensa ocorre nesta zona (aumenta a difusão)
(Nikolaevskii, 1990). O aumento da velocidade de fluxo também causa um aumento
na taxa de cinética química (Lopes, 2002), de tal forma que a precipitação nas
imediações do poço produtor acontece de forma mais intensa do que no
reservatório. Pode-se concluir que grande parte da acumulação de precipitado
ocorre
nas
vizinhanças
permeabilidade.
dos
poços
produtores
provocando
redução
de
26
Bedrikovetsky, et al., (2003) desenvolveram um modelo em simetria radial
para o fluxo simultâneo da água de formação e da água injetada na vizinhança do
poço produtor. O modelo é baseado na constatação que o principal dano à formação
devido à incrustação durante a injeção de água na vizinhança dos poços produtores
devido à intensa mistura e acumulação do deposito (Sorbie e Mackay, 2000). O
modelo é unidimensional e não conta com a transferência difusiva dos íons
reagentes entre as camadas, a qual tem influência no dano à produtividade do poço.
Mackay et al. (2003) mostraram que em sistemas com geometria complexa,
a mistura de água de injeção e de formação pode ocorrer no interior do reservatório,
conduzindo a um espalhamento da frente de mistura antes da mesma alcançar os
poços produtores. Entretanto, se a deposição ocorrer no interior do reservatório,
longe dos poços produtores, esta não se torna um problema. De fato, pode ser até
benéfico, pois causa uma depleção nos íons incrustantes reduzindo o potencial de
incrustação em áreas mais sensíveis como nas proximidades dos poços produtores.
Um modelo simplificado de linhas de fluxo para a previsão da perda de
concentração de bário e de sulfato no interior do reservatório, durante o processo de
deslocamento da água de formação pela água do mar injetada foi apresentado por
Boim (2003). Neste trabalho foi utilizado um modelo semi-analítico para fluxo
unidimensional levando em consideração a dispersão e a cinética de reação. A
distribuição das linhas de fluxo foi obtida através da solução de um problema inverso
a partir da curva de concentração de um traçador obtida no poço produtor. Este
modelo nos permite determinar a concentrações dos íons de bário e de sulfato que
chegam nas proximidades dos poços produtores.
1.2.5 Experimentos de Precipitação de Sais em Meio Poroso
A solubilização e precipitação de sais em sandpack (areia não agregada
compactada) foram estudadas em Allaga et al. (1992). Foram desenvolvidos dois
tipos de experimentos: no primeiro, houve injeção simultânea de soluções ricas em
sulfato e bário ou cálcio, observando-se queda em torno de 60% da permeabilidade,
que teve um registro bastante oscilatório, indicando possível instabilidade das
pontes de partículas. O segundo experimento incluía os sais sulfato de cálcio
27
(CaSO4) e sulfato de potássio (K2SO4) na mistura do sandpack, para posterior
injeção de cloreto de bário (BaCl2) e cloreto de cálcio (CaCl2) possibilitando assim a
construção de diagrama X versus T, onde observam-se as ondas de precipitação e
dissolução dos sais presentes.
A precipitação de sais em meio poroso foi observada por Read e Ringen
(1982), tanto em meio poroso formado por testemunho de alumina sintética como em
pacote de esferas de vidro de 4mm de diâmetro. Foi observada severa perda de
permeabilidade em todas as proporções de injeção de águas de formação e
injetada, porém as concentrações de saída não foram medidas ou reportadas.
Também foi realizado teste em reator, onde a massa precipitada ficou de acordo
com as previsões termodinâmicas.
A formação da solução sólida dos sulfatos de bário e estrôncio devido à coprecipitação desses sais, que sempre ocorre caso os dois existam em condições
incompatíveis com a concentração de sulfato da água injetada foi estudada em
temperatura ambiente e a 70ºC (Todd e Yuan, 1988). Tanto as concentrações de
saída, quanto o registro de pressões ao longo do testemunho foram medidos
durante a injeção simultânea de águas ricas em bário e estrôncio, e sulfato, porém
não foi estudado o comportamento da constante reacional, mas sim o declínio de
permeabilidade durante a injeção.
A precipitação in situ de sulfato de bário em teste de deslocamento de
soluções incompatíveis foi realizada por McElhiney et al., (2001). Os perfis de
concentração do efluente são fornecidos, porém a injeção de 1,0 mL de solução
inerte antes da injeção de solução reativa, para prevenir precipitação no difusor,
prejudica a modelagem e a aplicação dos resultados para casos práticos.
O efeito da taxa de injeção na redução de permeabilidade foi investigado por
Moghadasi et al., (2002). Observou-se um efeito diferente do que o reportado para
tubulações – à medida que a taxa de injeção aumenta, a taxa da queda de pressão
também aumenta. Em outras palavras, o aumento da taxa de injeção no meio poroso
leva a uma mais rápida e severa redução da permeabilidade.
Wat et al. (1992) realizaram testes em sandpack onde a concentração de
saída do Ba2+ foi de 3,5 mg/L ao longo da injeção simultânea de água de formação e
28
do mar. A análise em MEV (microscopia eletrônica de varredura) mostra que o local
de deposição mais abundante foi próximo ao ponto de mistura, como esperado. Não
houve indício de que a nucleação homogênea e o conseqüente bloqueio da partícula
tenha importância no dano à formação, mas sim o depósito de sais causado pelo
crescimento contínuo dos cristais que permaneceram estacionários no sítio ativo de
crescimento.
Lopes (2002), apresentou uma nova metodologia para a determinação, em
laboratório, da constante da taxa de reação química levando em consideração os
efeitos do meio poroso. Um modelo semi-analítico e numérico foi desenvolvido para
tratar os dados laboratoriais para o fluxo unidimensional da água injetada no meio
poroso levando em consideração o efeito da dispersão e da reação química entre o
bário (água da formação) e o sulfato (água do mar). Neste trabalho foi mostrado que
a constante reacional para precipitação de sulfato de bário em meio poroso é
proporcional é à velocidade de fluxo.
A seqüência de testes proposta por Lopes consiste em:
Testes de difusão, para se determinar o coeficiente de dispersão em
função da velocidade de fluxo;
Testes de precipitação em regime permanente, com diferentes
velocidades, para se determinar a constante da taxa de reação
química em função da velocidade de fluxo;
Testes de precipitação em regime transiente, para validação do modelo.
1.3
Objetivos da Tese
O objetivo geral desse trabalho é:
Validar a forma da taxa de reação química no meio poroso e a forma
da função dano de formação a partir de testes laboratoriais e do
histórico de produção de campo.
29
Os objetivos específicos são:
Aperfeiçoar o modelo analítico para fluxo linear com reação química
em regime quase-permanente. A partir do modelo, criar banco de
dados para o coeficiente cinético (λ) e o coeficiente dano de formação
(β) a partir de testes laboratoriais.
Desenvolver um novo método para determinar simultaneamente os
dois coeficientes do modelo, a partir de medições de pressão. A nova
característica dessa metodologia é a utilização de um manômetro em
um ponto intermediário qualquer do testemunho, além dos tradicionais
na entrada e saída do testemunho. Aplicar essa metodologia para
determinação dos parâmetros empíricos (λ) e (β) do modelo.
Aperfeiçoar o modelo para fluxo axi-simétrico na vizinhança do poço
produtor, permitindo a determinação do coeficiente cinético a partir da
concentração de bário na água produzida e a determinação do
coeficiente dano de formação a partir do histórico do índice de
produtividade. Criar banco de dados para o coeficiente cinético (λ) e o
coeficiente dano de formação (β) a partir do histórico de produção de
campo.
1.4
Organização da Dissertação
O CAPÍTULO 2 - MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE
TESTES LABORATORIAIS consiste na primeira etapa do trabalho onde será
desenvolvido de um modelo matemático, que caracterize o sistema de incrustação
de sulfatos com dano de formação no meio poroso, para fluxo linear com reação
química. Este modelo foi aplicado para o tratamento de dados laboratoriais em
amostras de rochas, com o objetivo de determinar a constante cinética e o
coeficiente de dano de formação. Através do modelo, foram tratados vinte testes
laboratoriais realizados no departamento de engenharia de petróleo da Heriot-Watt
University – Scotland-UK.
No CAPÍTULO 3 - MÉTODO DOS TRÊS PONTOS DE PRESSÃO será
realizado o desenvolvimento de um novo método para a determinação simultânea de
30
ambos os parâmetros empíricos do modelo, a constante cinética e o coeficiente
dano de formação, que caracterizam o sistema de incrustação de sulfatos. Para isso,
além das tradicionais medidas de pressão na entrada e saída do testemunho,
também deve ser realizada uma nova medida de pressão em um ponto intermediário
do testemunho, caracterizando o chamado método dos três pontos de pressão. O
método proposto fornece valores únicos para os dois coeficientes, e a solução é
estável com respeito a pequenas perturbações dos dados de pressão.
No CAPÍTULO 4 - MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE
DADOS DE CAMPO será desenvolvido de um modelo matemático para o fluxo radial
com reação química nas proximidades do poço produtor. Este modelo permite a
caracterização do dano de formação devido à incrustação e previsão da queda do
índice de produtividade do poço. Com base no modelo apresentado será realizada a
caracterização de sistema de incrustação de sulfatos a partir do histórico de
produção de sete campos produtores, sendo dois campos na Bacia de Campos e
cinco campos do Mar do Norte.
O CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS apresenta as discussões a
respeito dos resultados obtidos a partir do tratamento dos dados laboratoriais e a
partir dos dados de campo.
As CONCLUSÕES são apresentadas no CAPÍTULO 6 -.
Em seguida são apresentados os Apêndices onde todas as equações
matemáticas desenvolvidas na presente tese são descritas. Os quatro últimos
apêndices apresentam os artigos publicados a partir da presente tese.
31
CAPÍTULO 2 -
MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE
TESTES LABORATORIAIS
Neste capítulo será discutido o dano de formação devido à precipitação de
sulfato de bário, em testemunhos de rocha em testes laboratoriais, causando
redução da permeabilidade.
Ba2+(aq) ( Sr 2+ ) +SO24 (aq) → BaSO 4(s) ( SrSO 4(s) )
2.1
(2.1)
Equações Governantes
O sistema de equações que descreve o fluxo unidimensional, com reação
química, de uma solução aquosa contendo íons bário e sulfato e a precipitação de
sulfato de bário é descrito pelas seguintes equações: balanço de massa para os íons
bário, sulfato e para o sal sulfato de bário. A lei de Darcy é acrescida ao sistema,
introduzindo um parâmetro para redução da permeabilidade devido à deposição do
sal (Philips, 1991; Rocha, et. al., 2001; Bedrikovetsky, et. al., 2006a,b):
32
⎧ ∂cBa
∂cBa
∂ 2cBa
+U
= αDU
− λUcBacSO4
⎪φ
∂x
∂x 2
⎪ ∂t
∂cSO4
∂ 2cSO4
⎪ ∂cSO4
+U
= αDU
− λUcBacSO4
⎪φ
∂x
∂x 2
⎪ ∂t
⎨ ρ
⎪φ BaSO4 ∂σ = λUcBacSO
4
⎪ MBaSO4 ∂t
⎪
∂p
k
⎪U = −
⎪
µ (1 + βσ ) ∂x
⎩
(2.2)
sendo cBa a concentração de bário em molar [gmol/L], cSO4 a concentração de sulfato
[gmol/L], σ a concentração do sal depositado [gmol/L], λ o coeficiente cinético
[(Molar*m)-1], β o coeficiente dano de formação, U a velocidade de fluxo [m/s], αD
coeficiente de dispersividade [m], φ porosidade, µ viscosidade [Kg/(m*s)] e k
permeabilidade [D].
A taxa de reação química é dada pela lei das massas ativas (Bethke, 1996;
Woods e Parker, 2003), sendo a reação dada pela fórmula (2.1) de segunda ordem.
O modelo descrito pelas equações (2.2) é formado por quatro equações e
quatro incógnitas - cBa, cSO4, σ e p. Como as primeiras duas equações de (2.2) são
independentes de σ e p, elas podem ser separadas da terceira e quarta equações.
Assume-se que os coeficientes de dispersão para os íons Ba2+ e SO42- são
semelhantes e proporcionais à velocidade de fluxo, sendo o coeficiente de
proporcionalidade αD chamado de dispersividade. Assume-se, também, que a
constante da taxa de reação química no meio poroso é proporcional à velocidade de
fluxo (Fogler, 1998; Lopes, 2002), sendo o coeficiente de proporcionalidade λ
chamado de coeficiente cinético. Já o coeficiente dano de formação β caracteriza a
diminuição da permeabilidade devido à precipitação de sulfato de bário (Eqs. 2.2).
As outras hipóteses simplificadoras assumidas no modelo físico-matémático
para precipitação de sulfato de bário são:
A reação química entre o bário e o sulfato é irreversível;
Água é considerada incompressível;
Conservação do volume durante a mistura e precipitação do sal;
33
O coeficiente da taxa de reação (Ka) é independente da concentração
do precipitado e dos precipitantes;
Forma hiperbólica para o declínio da permeabilidade em função da
concentração do precipitado.
A irreversibilidade da reação química entre os íons Ba2+ e SO42- pode ser
assumida devido à baixa solubilidade do sal sulfato de bário na água, segundo os
trabalhos de Nancollas e Liu (1975), Atkinson e Raju (1991).
Para solucionar o sistema de equações (2.2), introduzimos os seguintes
parâmetros adimensionais:
C=
cSO
ρBaSO4 σ
cBa
, Y = 0 4, S=
,
0
0
cBa
cSO4
MBaSO4 cBa
xD =
x
Ut
, tD =
L
φL
k p
c0
α
0
pD = 0 , α = 0Ba , εD = D , εk = λLcSO
4
cSO4
L
µUL
(2.3)
Substituindo as coordenadas e os parâmetros (2.3) no sistema de equações
(2.2), as equações são adimensionalizadas, e as duas primeiras equações compõem
um novo sistema de equações, uma vez que estas são independentes das outras
duas equações.
A injeção simultânea da água do mar com ânions SO42-, juntamente à água
da formação contendo cátions Ba2+, em um meio poroso, corresponde à condição de
contorno onde o fluxo é fixo para ambas espécies (Allaga et al., 1992):
xD = 0 : C − εD
∂C
∂Y
= 1, Y − εD
=1
∂xD
∂xD
(2.4)
A suposição que um íon não se difunde de volta para o testemunho após
deixar o efluente do testemunho resulta na condição de contorno de Brenner
(Nikolaevskii, 1990):
xD = 1 :
∂C ∂Y
=
=0
∂xD ∂xD
(2.5)
34
2.2
Modelo Analítico Assintótico para Fluxo em Regime Quase Permanente
Nesta seção, deduzimos novas soluções assintóticas para fluxo linear quase
permanente em um testemunho (Figura 2.1).
2+
Ba
∆P
C
U
q
2-
SO4
CBa2+
X
BaSO 4
Figura 2.1 - Fotografia de um testemunho e o esquema para o teste em regime quase permanente
Para as condições dos testes laboratoriais, considerando fluxo quase
permanente, as duas primeiras equações do sistema (2.2) resultam no seguinte
sistema:
⎧ dC
d 2C
⎪ dx = εD dx 2 − εkCY
⎪ D
D
⎨
2
⎪ 1 dY = εD d Y − ε CY
k
⎪⎩ α dxD α dxD 2
(2.6)
Se a concentração de sulfato na água do mar (aproximadamente cSO40=
3000 ppm) exceder a concentração de bário na água de formação (normalmente 30
< cBa0 < 500 ppm), o parâmetro α (Eqs. 2.3) é muito pequeno, α << 1. Portanto, o
problema expresso pelo sistema de equações (2.6) é resolvido através de
expansões assintóticas regulares.
C ( xD ) = C0 ( xD ) + αC1 ( xD ) +
α2
C2 ( xD )
2
A expansão de ordem zero para concentração de bário C0(xD) é
(2.7)
35
C0 ( xD ) =
Γ1exp ( Γ 2 xD ) − Γ 2 exp ⎡⎣( Γ 2 − Γ1 ) + Γ1xD ⎤⎦
Γ1 − Γ 2exp ( Γ 2 − Γ1 )
Γ1 =
1
1 + 4ε D ε k
+
2εD
4εD2
Γ2 =
1
1 + 4εD ε k
−
2εD
4εD2
(2.8)
A concentração de bário no efluente, normalmente medida durante testes
laboratoriais, é calculada a partir da equação (2.8).
C0 (1) =
( Γ1 − Γ2 ) exp ( Γ2 )
Γ1 − Γ 2 exp ( Γ 2 − Γ1 )
(2.9)
Os termos de primeira e segunda ordem da expansão assintótica para a
concentração de bário (Eq. 2.7) também são expressos por fórmulas explícitas. O
desenvolvimento matemático para a solução assintótica está descrito no Apêndice B.
A Figura 2.2 apresenta o erro relativo no perfil de concentração de bário
através das aproximações zero, de primeira e segunda ordem (Eq. 2.7) Por exemplo,
para uma razão de concentração inicial α = 0,2, o erro para a aproximação de
segunda ordem é igual a 2%; já para a aproximação de primeira ordem é 11%,
enquanto na aproximação de ordem zero é 45%.
0,4
C(xD ) = C0 (xD )
δ (α )
0,3
C(xD ) = C0 (xD ) + αC1(xD )
C(xD ) = C0 (xD ) + αC1(xD ) +
0,2
α2
C2 (xD )
2
Aproximação
de ordem zero
zero order approximation
0,1
Aproximação
de primeira ordem
first order approximation
Aproximação
de approximation
segunda ordem
second order
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
α
Figura 2.2 - Função do erro relativo entre a solução numérica e as soluções por expansões
assintóticas versus a razão de concentração α
36
Para as condições de testes laboratoriais (Figura 2.3), onde o parâmetro α =
1, a aproximação de ordem zero difere da solução numérica, enquanto a equação
para primeira ordem já promove boa aproximação, e o resultado da segunda ordem
quase coincide com o numérico. Portanto a Figura 2.3 mostra que o modelo analítico
assintótico, expresso pelas equações (2.6) – (2.8) e descrito no Apêndice B, é uma
ferramenta efetiva para previsão de incrustação em testes laboratoriais.
1
α=1
C(xD)
0.8
εk = 2,04
0.6
0.4
Solução Numérica
Solução Assintótica de ordem zero
Solução Assintótica de primeira ordem
Solução Assintótica de segunda ordem
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xD
Figura 2.3 - Perfil de concentração de bário para as soluções: numérica e aproximações assintóticas
A expressão para a razão entre os valores inicial e atual do índice de
produtividade é chamada impedância J(tD). Esta pode ser obtida a partir da quarta
equação do sistema (2.2) pelo cálculo da variação de pressão no testemunho.
⎞
MBaSO4 1
IP ( 0 ) ⎛
0
tD ∫ C ( xD )Y ( xD ) dxD ⎟
= ⎜ 1 + βεk cBa
⎟
IP ( tD ) ⎜⎝
ρBaSO4 0
⎠
(2.10)
Conseqüentemente, a impedância J é uma função linear do tempo.
J ( tD ) = 1 + mtD , m =
0
βεk cBa
MBaSO4
ρBaSO4
1
∫ C ( x )Y ( x ) dx
D
D
D
(2.11)
0
Expressões explícitas para inclinação da impedância m são obtidas a partir
das aproximações zero, primeira e segunda ordem.
37
2.3
Primeiro e Segundo Problemas Inversos
Nesta seção utilizamos o modelo analítico assintótico descrito no Apêndice B
para caracterizar o sistema de dano devido à incrustação de sulfato. O coeficiente
cinético λ é determinado a partir da chegada da concentração de bário no efluente
(1º problema inverso). Por sua vez, o coeficiente dano de formação β é obtido a
partir da variação de pressão durante a injeção no testemunho (2º problema
inverso).
O perfil de deposição durante a precipitação sem equilíbrio, governada pela
equação cinética, é sempre não homogêneo. Assim, torna-se impossível criar um
perfil homogêneo uniforme durante o fluxo com reações químicas irreversíveis.
Conseqüentemente, o coeficiente cinético e o coeficiente dano de formação não
podem ser medidos em laboratório, eles podem ser determinados indiretamente a
partir de testes laboratoriais através da solução de problemas inversos.
Segundo estudos laboratoriais sobre incrustação de sulfatos (Lopes, 2002),
um fino banco de traçador deve ser injetado antes da injeção simultânea das águas
do mar e da formação, para que o coeficiente de dispersividade no testemunho seja
determinado.
Caso
contrário,
será
necessário
assumir
alguns
valores
representativos para este coeficiente, introduzindo incertezas na modelagem.
Na formulação do primeiro problema inverso, a determinação do número
cinético εk é obtida a partir da concentração de bário no efluente. As concentrações
injetadas na entrada do testemunho são conhecidas e a concentração de bário no
efluente é medida. Quanto menor for a concentração de bário no efluente, mais
intensa terá sido a reação química. Caso não haja reação, a concentração no
efluente é igual a um. Logo, o primeiro problema inverso é bem posto (Alvarez, 2004,
Bedrikovetsky, et. al., 2006a)
Para o caso sem dispersão (Apêndice C), em testemunhos altamente
homogêneos, o número cinético εk pode ser expresso via concentração na saída
através da fórmula:
38
εk =
⎛ C (1) α + (1 − α ) ⎞
1
ln ⎜⎜
⎟⎟
C (1)
(1 − α ) ⎝
⎠
(2.12)
Com isso, o coeficiente cinético λ pode ser obtido a partir do número cinético εk,
através da equação (2.3).
A solução dada pela equação (2.7), e descrita no Apêndice B, permite a
determinação de εk via concentração no efluente através da solução de uma
equação, considerando a dispersão.
O segundo problema inverso determina o coeficiente de dano de formação β
a partir da variação de pressão no testemunho durante a injeção (Eq. 2.10). Para
tanto, precisamos conhecer os valores do coeficiente cinético λ e do coeficiente de
dispersividade αD. O coeficiente cinético é determinado a partir do primeiro problema
inverso. Já o coeficiente de dispersividade pode ser determinado através de testes
laboratoriais com a injeção de um traçador inerte, proposto por Lopes (2002) e
apresentado na revisão bibliográfica.
A solução descrita pela equação (2.11) mostra que a razão entre valores
inicial e atual do índice de produtividade é proporcional ao tempo em volumes
porosos injetados (p.v.i.), e a inclinação da impedância m é proporcional ao
coeficiente dano de formação β. Assim, quanto maior o coeficiente dano de
formação, maior será a impedância, e se a precipitação do sal não afetar a
permeabilidade, a impedância será igual a 1 (um). Logo, o segundo problema
inverso também é bem posto.
Em testemunhos altamente homogêneos (sem dispersão), o coeficiente
dano de formação pode ser expresso via inclinação da impedância m através da
fórmula:
⎧
MBaSO4
⎪
0
0
β = m ⎨λLcSO
c
4 Ba
ρBaSO4
⎪⎩
(
)
−1
0
⎡
⎤⎫
(1 − α ) exp λLcSO
1
4
⎢
⎥ ⎪⎬ (2.13)
+
0
0
0
0
⎢ ⎡ αexp αλLcSO − exp λLcSO ⎤ αλLcSO
αλLcSO4 ⎥ ⎪
4
4 ⎦
4
⎣⎣
⎦⎭
(
)
(
)
39
2.4
Banco de Dados
Nesta seção serão apresentados os dados dos coeficientes cinético e dano
de formação obtidos a partir de testes laboratoriais para fluxo em regime quase
permanente de injeção simultânea da água de formação e água do mar. Para a
determinação desses coeficientes, a partir da concentração medida no efluente e
dos dados de variação de pressão no testemunho Eqs. (2.12) e (2.13) foi utilizado o
método descrito anteriormente, na seção 2.3.
As equações (2.8) e (2.9) para a concentração de bário na saída do
testemunho contêm dois parâmetros desconhecidos – o número cinético εk e o
número de dispersão εD. A realização de um teste com traçador, juntamente com a
injeção das águas permite determinar o número de dispersão a partir da curva de
chegada do traçador. Já o número cinético é calculado a partir da concentração de
bário no efluente do testemunho. Logo, para uma completa caracterização do
sistema de dano de formação, um pulso de traçador deve ser injetado durante o
teste.
O teste com traçador acompanhado do fluxo de águas incompatíveis
permitiu o cálculo dos coeficientes cinético e de dispersividade (Lopes, 2002). Os
valores obtidos por Lopes (2002) foram: αD= 0,011 m, λ = 3003 (M∗m)-1 e αD = 0,018
m, λ = 3951 (M∗m)-1. O curto período de injeção não permitiu uma significativa
alteração da resistência hidráulica do testemunho, logo a variação de pressão não
foi medida nos testes.
Nos estudos de injeção em testemunhos (Goulding, 1987; Yuan, 1989, Todd
e Yuan, 1992), não foram realizados testes com traçador. Assim, para obter os dois
parâmetros do modelo λ e β, adotamos três valores de dispersividade, αD = 0,005,
0,01 e 0,03 m.
A Tabela 2.1 e Tabela 2.2 apresentam os resultados obtidos a partir do
tratamento dos dados laboratoriais de Yuan (1989) e de Todd e Yuan (1992). A
composição das amostras das salmouras e as propriedades da rocha podem ser
encontradas no trabalho original (Todd e Yuan, 1992).
40
A Tabela 2.1 corresponde à temperatura de 20°C e a Tabela 2.2
corresponde a uma temperatura de 70°C.
Tabela 2.1 – Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados laboratoriais à
temperatura de 20°C
Testes
BSS0
BSS1
BS2
BS2
BS3
αD = 0,01 m
αD = 0,005 m
αD = 0,03 m
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
10740
4974
239
410
1969
79,06
98,50
63,35
14,50
17,07
12200
5575
263
454
2266
70,79
89,18
58,07
13,25
14,45
18585
8268
371
658
3554
48,18
62,01
41,82
9,39
9,12
Tabela 2.2 - Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados laboratoriais à
temperatura de 70°C
Testes
BA
BSS0
BSS1
BSS2
Water 1
αD = 0,005 m
αD = 0,01 m
αD = 0,03 m
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
17450
23720
5540
1533
922
37,71
78,90
42,98
73,25
96,37
20200
26100
6235
1760
1043
33,23
70,62
38,77
65,00
86,65
31850
42200
9310
2760
1578
21,92
45,62
26,81
43,05
59,34
O valor do coeficiente de dispersividade αD = 0,01 m foi tomado como
referência no estudo de sensibilidade com respeito à dispersividade, uma vez que
esse valor é típico para sandpacks homogêneos. No tratamento dos dados (Yuan,
1989; Todd e Yuan, 1992), a variação para os valores médios de coeficiente cinético
obtidos foi de 300 a 12000 (M∗m)-1 à temperatura de 20°C; e 1000 a 26000 (M∗m)-1
à temperatura de 70°C. O aumento da temperatura de 20°C para 70°C, para
testemunhos e as amostras de água similares, resultou em um aumento de 1,2 a 2
vezes o valor do coeficiente cinético.
O intervalo de variação obtido a partir do tratamento dos dados para o
coeficiente dano de formação foi de 10 a 100, sendo que a variação da temperatura
praticamente não mudou o valor deste intervalo.
41
Outra seqüência de testes laboratoriais está apresentada em Goulding,
(1987). Os coeficientes de dispersividade também não foram medidos para esses
testes, conseqüentemente foram fixados três diferentes valores de dispersividade
que são típicos para sandpacks altamente permeáveis: αD = 0,005 m, 0,01 m e 0,03
m. A Tabela 2.3 mostra a composição das amostras de salmouras utilizadas nos
testes. A Tabela 2.4 apresenta os valores obtidos para os dois coeficientes que
caracterizam o sistema dano de formação devido à incrustação.
Tabela 2.3 – Composição das salmouras utilizadas nos testes em testemunho realizados por
Goulding (1987)
Salmouras
Misturadas
Águas
Incompatíveis
rica em Ba
rica em SO4
rica em Ba
rica em SO4
rica em Ba
rica em SO4
rica em Ba
rica em SO4
rica em Ba
rica em SO4
rica em Ba
rica em SO4
D
E
F
H
I
J
Ba2+(M)
SO42+(M)
0.0025
0.0
0.00125
0.0
0.0006
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.0
0.0025
0.0
0.00125
0.0
0.0006
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.004
Tabela 2.4 - Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir do tratamentos dos dados
laboratoriais realizados por Goulding (1987)
Testes
C221515DD
C221515DD
C167.57.5EE
C237.57.5FF
C167.57.5FF
C267.57.5HH
C247.57.5II
C247.57.5II
C247.57.5JJ
C247.57.5JJ
αD = 0,005 m
αD = 0,01 m
αD = 0,03 m
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
λ (M∗m)-1
β
63390
80700
68800
107780
72260
31900
45990
49440
51320
52900
1228,02
177,48
2954,54
246,63
164,50
60,89
156,53
78,10
111,23
52,06
77300
101250
79350
122480
81860
38025
57075
61860
64200
66450
1015,44
143,13
2565,81
217,22
146,48
51,38
127,48
63,13
98,46
46,02
133590
183850
123100
184450
121560
62950
101640
111840
115910
120740
607,16
81,50
1695,45
147,32
101,13
32,01
73,97
36,09
72,54
33,71
Os valores obtidos para o coeficiente cinético λ variam de 30000 a 120000, e
o de dano à formação de 30 a 3000, para o valor de dispersividade: αD = 0,01 m. Os
valores obtidos para o coeficiente cinético são uma ordem de magnitude maior que
42
aqueles obtidos em outros testes (Tabela 2.1 e Tabela 2.2) devido ao fato da
concentração de bário medida no efluente ser muito baixa. Segundo Goulding
(1987), o fato da concentração de bário medida no efluente ter sido muito baixa foi
atribuído à demora na análise das amostras.
A partir dos dados publicados (Watt, et. al., 1992) foi realizado o tratamento
da concentração de bário no efluente, resultando um valor médio: λ = 874 (M∗m)-1.
A Tabela 2.5 resume os intervalos de variação obtidos a partir do tratamento
dos dados laboratoriais. A incerteza na determinação de λ e β é devido à falta de
informação sobre a dispersividade nos testemunhos. Os intervalos de variação na
Tabela 2.5 são de 20–60% em relação aos valores médios.
Tabela 2.5 - Valores dos Coeficientes Cinético e de Dano de Formação Obtidos a partir de Testes
Laboratoriais
Testes Laboratoriais
Coeficiente cinético
-1
λ, (M∗m)
Coeficiente Dano de
Formação β
Lopes Jr., 2002
3003 – 3951
–
10740 – 18585
4974 – 8268
410 – 658
240 – 370
1969 – 3554
17450 – 31850
23720 – 42200
5540 – 9310
1553 – 2760
922 – 1578
48 – 79
62 – 98
9 – 15
42 – 63
9 – 17
22 – 38
46 – 79
27 – 43
43 – 74
60 – 97
63390 – 133590
80700 – 183850
68800 – 123100
107780 – 184450
72260 – 121560
31900 – 62950
45990 – 101640
49440 – 111840
51320 – 115910
52900 – 120740
607.16 – 1228.02
81.50 – 177.48
1695.45 – 2954.54
147.32 – 246.63
101.13 – 164.50
32.01 – 60.89
73.97 – 156.53
36.09 – 78.10
72.52 – 111.23
33.71 – 52.06
798 – 963
-
Yuan (1989)
BSS0 (20ºC)
BSS1 (20ºC)
BS2 (20ºC)
BS2 (20ºC)
BS3 (20ºC)
BA (70ºC)
BSS0 (70ºC)
BSS1 (70ºC)
BSS2 (70ºC)
Water 1 (70ºC)
Goulding (1987)
C221515DD-2S
C221515DD-8S
C167.57.5EE-11S
C237.57.5FF-1S
C167.57.5FF-2S
C267.57.5HH-1S
C247.57.5II-1S
C247.57.5II-2S
C247.57.5JJ-1S
C247.57.5JJ-2S
Wat et al., 1992
A distribuição probabilística do coeficiente cinético λ e do coeficiente dano
de formação β, obtidos a partir de dados laboratoriais, são apresentados na Figura
43
2.4a e Figura 2.4b, respectivamente. O grande intervalo para a variação de λ pode
ser explicado devido à variação da temperatura e da força iônica entre as salmouras,
além do desconhecimento do coeficiente de dispersão na maioria dos testes. O
coeficiente dano de formação β varia de 10 a 3000 e este intervalo de variação
coincide com o obtido para filtração profunda devido à suspensão de partículas no
meio poroso (Pang e Sharma, 1994).
(a)
40%
f(x)
30%
20%
10%
0
10
00
0
20
00
0
30
00
0
40
00
0
50
00
0
60
00
0
70
00
0
80
00
0
90
00
0
10
00
0
11 0
00
00
12
00
00
0%
-1
λ (M m)
25%
(b)
20%
f(x)
15%
10%
5%
0%
0
20
40
80
100 120 140 160 180 200 220
β
Figura 2.4 - Função distribuição dos parâmetros λ e β a partir de testes laboratoriais (a) Coeficiente
cinético λ (M*m)-1; (b) Coeficiente dano de formação β
44
CAPÍTULO 3 -
MÉTODO DOS TRÊS PONTOS DE PRESSÃO
Conforme descrito no capítulo anterior, o conhecimento dos parâmetros
empíricos (λ e β) do modelo matemático que descreve o sistema dano de formação
devido à incrustação é essencial para a previsão da queda de produtividade do poço
associada à incrustação de sulfato de bário/estrôncio no meio poroso. Geralmente,
testes laboratoriais de injeção simultânea das águas do mar e da formação aplicados
a testemunhos representativos da formação do reservatório, são realizados para
determinar λ e β, como descritos no capítulo anterior.
A equação (2-11) mostra que apenas a inclinação da impedância m pode ser
determinada através das medidas de variação de pressão pela injeção simultânea
das águas em testemunhos. De posse desse valor constante de m, pode-se
encontrar a relação β(λ). O conhecimento dos parâmetros λ e β separadamente, é
atribuído à medição dos dados de concentração de bário no efluente do testemunho.
Neste capítulo utilizaremos a medição da pressão num ponto qualquer intermediário
entre a entrada e saída do testemunho como uma informação independente para
também poder determinar os parâmetros λ e β separadamente (Método dos Três
Pontos de Pressão).
45
3.1
Esquema Laboratorial
O método dos três pontos de pressão utiliza a variação de pressão total no
testemunho e a variação de pressão em uma primeira seção do testemunho como
duas fontes independentes de informação para a obtenção dos dois parâmetros λ e
β. O esquema do teste laboratorial é apresentado na Figura 3.1. Durante a injeção
simultânea das águas do mar e da formação, as pressões p(x=0,t), p(x=ω1L,t) e
p(x=L,t) são medidas. O ponto intermediário onde a pressão deve ser medida
(0<ω1<1) está a uma distância ω1L da face de entrada do testemunho. A vazão q é
constante durante o teste e o comprimento do testemunho é conhecido.
c = c0
Ba
∆ pω (t)
ωL
Testemunho
y = c0
SO4
c(x = L,t)
L
∆ p (t)
Figura 3.1 – Arranjo laboratorial para testes sobre incrustação de sulfatos com medição de pressão
em três pontos do testemunho
3.2
Formulação do Problema Inverso
O sistema de equações (2.2), que governa o fenômeno de incrustação de
sulfatos no meio poroso para fluxo linear possui solução assintótica analítica descrita
no Apêndice B. Para a formulação do problema inverso da determinação dos
parâmetros λ e β a partir do método dos três pontos de pressão será resolvido um
sistema de equações onde o efeito da dispersão hidrodinâmica no meio poroso será
desconsiderado εD=0. O desenvolvimento do novo sistema de equações está
apresentado nos Apêndices C, D e E:
A equação (2-11) calcula a variação da impedância com o tempo (razão
adimensional da variação de pressão pela velocidade do fluxo). O valor da
46
inclinação da impedância m na equação (D-12) considerando a variação de pressão
ocorrida no testemunho inteiro determina a curva β=β(λ).
m = βλLc
(
)
0
1 − α ) exp λLcSO
(
MBaSO4 ⎡
4
⎢
c
0
0
ρBaSO4 ⎢ αexp αλLcSO − exp λLcSO
4
4
⎣
0
0
SO4 Ba
(
(
)
(
) ) αλLc
0
SO4
⎤
1
⎥
+
0
⎥
αλLcSO
4
⎦
(3.1)
O cálculo da inclinação mω correspondente à variação de pressão de uma ωésima parte do testemunho (contando a partir da entrada). O comprimento do
testemunho L na equação (D-12) deve ser reescrito como ωL. A fórmula para mω é
dada por:
mω = βλωLc
0
SO4
0
Ba
c
(
)
0
(1 − α ) exp λωLcSO
MBaSO4 ⎡
4
⎢
0
0
ρBaSO4 ⎢ αexp αλωLcSO
− exp λωLcSO4
4
⎣
(
(
)
(
) ) αλωLc
0
SO4
+
⎤
1
⎥ (3.2)
0
⎥
αλωLcSO
4
⎦
A Figura 3.2 apresenta as impedâncias para o testemunho total e para duas
primeiras seções, onde a pressão foi medida em dois pontos intermediários. As
inclinações da impedância na primeira e na segunda seção do testemunho e em
todo testemunho diferem significativamente, permitindo o uso dos três valores da
impedância com fontes independentes de informações para a determinação dos
coeficientes λ e β, além de validar o método proposto.
5
4
J1( T )
3
J2( T )
J3( T )
2
1
0
0
200
400
600
800
1000
T
Figura 3.2 – Impedância para primeira seção do testemunho, para a segunda seção do testemunho e
para todo o testemunho
47
As equações (3.1) e (3.2) formam um sistema de duas equações que
determina os coeficientes desconhecidos λ e β. A solução corresponde ao ponto de
interseção das duas curvas no plano (λ,β) (Figura 3.3). A unicidade do ponto de
interseção das duas curvas no plano (λ,β) determina que os dois coeficientes podem
ser obtidos a partir da medida de três pontos de pressão no testemunho.
100
80
β(λ)
60
40
20
0
0
200
400
600
800
1000
λ (M*m)-1
Figura 3.3 – Gráfico para determinação dos coeficiente λ e β a partir a interseção das curvas no
plano (λ,β)
A divisão da equação (3.1) pela equação (3.2) corresponde a:
⎡
⎤ m ⎡
1− α ) y ω
(
(1 − α ) y
1
1 ⎤
⎥
⎢
⎥
ω⎢
+
=
+
ωα
ω
α
⎢⎣ ( αy − y ) αωln ( y ) αωln ( y ) ⎥⎦ mω ⎢⎣ ( αy − y ) αln ( y ) αln ( y ) ⎥⎦
(3.3)
sendo que
λ=
1
ln ( y )
0
LcSO
4
(3.4)
O valor de y pode ser obtido a partir de solução numérica da equação
transcendental (3.3). Depois, λ pode ser encontrado pela fórmula exata (3.4).
A Figura 3.4 apresenta o gráfico de ambos os lados separados da equação
(3.3). Esta figura representa a solução gráfica da equação transcendental (3.3).
48
1
m3
⋅ f ( y)
m1 1
f 3( y)
0.5
f 3( x )
0
0
2
4
6
8
10
y, y, x
Figura 3.4 – Comportamento dos lados direito e esquerdo da equação transcendental, considerando
a inclinação do testemunho inteiro (m) e de uma parte dele (m1)
3.3
Análise de Sensibilidade
A solução do método está baseada no ponto de interseção das curvas β(λ),
que possuem um comportamento parabólico. Esse ponto de interseção é estável em
relação às pequenas perturbações das curvas nas regiões próximas aos vértices. A
instabilidade do método ocorre somente quando o ponto de interseção está
localizado nas assíntotas horizontal e vertical das parábolas.
Para verificar se o método fornece resultados estáveis, isto é, se pequenas
variações em m e m1 resultaram em pequenas variações de λ e β. As curvas β(λ) e
β1(λ) correspondentes aos valores perturbados de m e m1 em mais ou menos 10%
são mostradas na Figura 3.5 (curvas pontilhadas). As curvas β(λ) e β1(λ)
correspondentes aos valores originais de m e m1 estão mostradas também na Figura
3.5 (curvas cheias). Os pontos “perturbados” de λ e β estão localizados perto do
ponto não perturbado, comprovando a estabilidade do novo método.
49
100
90
80
70
β(λ)
60
50
40
30
20
10
0
0
125
250
375
500
625
750
875
1000
λ (M*m)-1
Figura 3.5 - Pequenas perturbações nas inclinações das impedâncias obtidas de dados laboratoriais
O método de três pontos de pressão já foi desenvolvido para um problema
similar de queda de injetividade devido à injeção de água com partículas
(Bedrikovetsky et al., 2001). Este trabalho também desenvolveu uma ferramenta
baseada no método dos três pontos utilizada em testes laboratoriais (CENPESPETROBRAS) e em condições de campo em plataformas da Petrobras.
Para um completo e acompanhamento e gerenciamento de poços com
problemas de incrustação é extremamente importante que seja feita uma constante
caracterização da água do mar injetada e da água produzida, de modo que sejam
analisadas as concentrações dos íons produzidos. Essa completa análise somente
por ser feita em laboratório, necessitanto, portanto, que as águas sejam
transportadas das plataformas para os laboratórios de base. A aplicação do método
de três pontos de pressão para determinação dos parâmetros do sistema de dano
de formação devido à incrustação em plataformas evitaria o transporte das águas do
mar e da formação da plataforma para os laboratórios de base, evitando assim
alteração nas propriedades das águas. Permitiria a previsão do dano causado à
formação devido à incrustação, baseado em medições simples de pressões.
50
Entretanto, para uma recomendação final do uso do método dos três pontos
para determinação dos parâmetros em plataformas, vários testes laboratoriais
devem ser realizados, assim como foi realizado no caso de queda de injetividade
(Bedrikovetsky et al., 2001).
51
CAPÍTULO 4 -
MODELO MATEMÁTICO PARA O TRATAMENTO DE
DADOS DE CAMPO
Neste capítulo será discutido o dano de formação devido à precipitação de
sulfato de bário causado pela redução da permeabilidade (Oddo e Tomson, 1994).
Normalmente, a água do mar, que contém ânions de sulfato (SO42-), é injetada em
operações offshore. Como a água da formação contem cátions de bário (Ba2+), a
mistura das águas do mar e da formação pode ocasionar a deposição de sulfato de
bário (Figura 4.1).
Ba2+ (aq) + SO24−(aq) → BaSO4(s)
(4.1)
O mesmo pode ser relatado para estrôncio, cálcio e alguns outros cátions.
Sr 2+ (aq) + SO24−(aq) → SrSO4(s)
(4.2)
Um esquema que mostra a mistura entre as águas injetada e da formação
em um reservatório submetido à injeção de água é apresentado na Figura 4.1. As
reações químicas descritas pelas fórmulas (4.1) e (4.2) e a conseqüente precipitação
ocorrem apenas na zona de mistura, a qual move-se gradualmente do poço injetor
para o produtor via diferentes linhas de fluxo. Conseqüentemente, a acumulação do
sal não acontece in situ no reservatório (Sorbie e Mackay, 2000).
52
Zona de
Mistura
SO42-
Ba2+
BaSO4
Figura 4.1 - Mistura entre a água injetada e da formação em um reservatório submetido à injeção de
água com precipitação de sulfato de bário (BaSO4) na zona de mistura
Diferentes tamanhos de linhas de fluxo terminam nos poços produtores. A
chegada da água de formação, deslocada via uma extensa linha de fluxo,
simultaneamente à água do mar, deslocada via uma linha de fluxo curta, é um fato
que ocorre no reservatório. Assume-se que a vizinhança do poço é extremamente
heterogênea devido às fraturas induzidas pela perfuração e ao dano de formação.
Assim, para as condições de alta velocidade de fluxo e dispersão perto do poço,
ocorre uma completa mistura das águas chegando no poço produtor via diferentes
linhas de fluxo. Conseqüentemente, uma intensa mistura entre as águas juntamente
com a precipitação do sal ocorrerá próxima aos poços produtores.
4.1
Equações Básicas em Coordenadas Radiais
O sistema de equações governantes para fluxo radial de uma solução
aquosa contendo íons bário e sulfato com a precipitação de sulfato de bário consiste
em equações de balanço de massa para o cátion bário, para o ânion sulfato, para o
sal sulfato de bário e da lei de Darcy contando com a redução da permeabilidade
devido à deposição do sal (Philips, 1991; Bedrikovetsky, 1994, Woods e Parker,
2003):
53
⎧
∂cBa ∂ ⎛
∂cBa ⎞
⎪2πr φs ∂t + ∂r ⎜ QfcBa − 2πrD ∂r ⎟ = −2πrK acBacSO4
⎝
⎠
⎪
⎪
∂cSO4 ∂ ⎛
∂cSO4 ⎞
+ ⎜ QfcSO4 − 2πrD
⎪2πr φs
⎟ = −2πrK acBacSO4
∂t
∂r ⎝
∂r ⎠
⎪
⎨ ρ
⎪φs BaSO4 ∂σ = K c c
a Ba SO4
⎪ MBaSO ∂t
4
⎪
⎪
2πrhk0 ⎛ krw k ro ⎞ ∂p
+
⎪Q = −
(1 + βσ ) ⎜⎝ µw µo ⎟⎠ ∂r
⎪⎩
(4.3)
sendo cBa e cSO4 são as concentrações molares de bário e sulfato, Q é a vazão de
fluxo [m3/s], U é a velocidade de fluxo [m/s], φ porosidade, s é a saturação de água,
Ka é a constante da taxa de reação [(M∗s)-1], σ a concentração do sal depositado
[gmol/L], ρBaSO4 e MBaSO4 são a densidade e o peso molecular respectivamente, k0 é
a permeabilidade inicial da rocha [D], β o coeficiente dano de formação, µ
viscosidade [Kg/(m*s)] e D é a dispersão hidrodinâmica [m2/s].
O modelo descrito pelas equações (4.3) é formado por quatro equações e
quatro incógnitas - cBa, cSO4, σ e p. Como as primeiras duas equações de (4.3) são
independentes de σ e p, elas podem ser separadas da terceira e quarta equações.
As considerações para o modelo radial são as mesmas que foram
assumidas para o modelo linear com relação à taxa de reação química e a
proporcionalidade desta com a velocidade de fluxo, e o coeficiente de dispersão
para os íons Ba2+ e SO42-, veja CAPÍTULO 2 -.
As outras hipóteses simplificadoras assumidas no modelo radial para
precipitação de sulfato de bário nas proximidades do poço produtor são:
Reservatório homogêneo;
Fluxo 1-D axi-simétrico;
Água e óleo incompressíveis;
O coeficiente da taxa de reação (Ka) é independente da concentração
do precipitado, dos precipitantes, da pressão e da temperatura;
Forma hiperbólica para o declínio da permeabilidade em função da
concentração do precipitado.
54
Introduzindo as seguintes coordenadas adimensionais e parâmetros:
tD =
cSO
c
Qt
r
, rD =
, C = Ba
, Y= 0 4
2
0
πRc hφ
Rc
cBa
cSO4
0
ρBaSO4 σ
cBa
α
0
S=
,
α
=
, εD = D , εk = λRc cSO
0
0
4
MBaSO4 cBa
cSO4
Rc
(4.4)
Substituindo as coordenadas e os parâmetros (4.4) no sistema de equações
(4.3), as equações são adimensionalizadas.
A condição de contorno no poço corresponde à ausência de fluxo difusivo
para ambas espécies químicas:
r = rw :
dcBa dcSO4
=
=0
dr
dr
(4.5)
A condição de contorno no raio de contorno Rc corresponde a:
rD = 1 : C − εD
4.2
∂C
∂Y
= 1 , Y − εD
=1
∂rD
∂rD
(4.6)
Solução Analítica Assintótica para Fluxo na Vizinhança do Poço Produtor
Como uma partícula percorre de 1 a 3 metros em relação ao poço durante
um período de 8 a 20 horas, o período típico para variação de BSW ou fração de
água do mar na água produzida é de 2 a 5 meses. Podemos assumir que o fluxo de
água e óleo é quase permanente na vizinhança do poço durante grandes períodos
de tempo, onde ocorre uma significativa variação na concentração de bário ou
sulfato. A Figura 4.2 mostra o esquema de fluxo conjunto de água e óleo em direção
ao produtor e a precipitação de sulfato de bário na vizinhança do poço. A condição
para fluxo quase permanente de água e óleo próximo aos produtores é o fluxo
fracionário constante para a água: f(s)=constante. Logo, a saturação de água
também é constante.
55
SO4
2-
2+
óleo
óleo
água
água
Ba
Rc BaSO4 rw
SO4
2-
2+
Ba
rw
BaSO4
Rc
Figura 4.2 - Esquema da produção simultânea da água do mar e da formação na vizinhança do poço
O modelo analítico para fluxo quase permanente na vizinhança do poço
produtor está apresentado no Apêndice F. A principal consideração do modelo está
baseada no fato que a acumulação do sal ocorra principalmente perto dos poços
produtores.
As distribuições em regime quase permanente de bário, sulfato, e a
acumulação de sulfato de bário na vizinhança do poço produtor são descritas por um
sistema de duas equações diferenciais ordinárias (F-12).
O modelo para regime quase permanente pode ser aplicado para curtos
períodos de tempo entre as estimulações nos poços, as quais normalmente ocorrem
entre 6-10 meses. Nesse caso, assumimos que BSW e as concentrações de ambos
reagentes são constantes.
Considerando longos períodos de tempo, utilizamos a solução para regime
quase permanente (F-22), (F-26) e (F-32) obtida para a consideração que BSW e as
concentrações de ambos reagentes são constantes, mas inserimos a dependência
das concentrações com o tempo cBa0(t) e cSO40(t). Para grandes intervalos, as
dependências para f(t) cBa0(t) e cSO40(t) são utilizadas na integração no tempo da
terceira equação do sistema (F-8).
Normalmente, a concentração de sulfato na água do mar está em torno de
3000 ppm, a concentração de bário na água de formação raramente excede 500
ppm. Deste modo, na maioria dos casos a concentração de sulfato é maior que a de
56
bário, α<<1, e o método assintótico pode ser aplicado. A solução assintótica está
apresentada no Apêndice F até a aproximação de segunda ordem.
α2
C ( rD ) = C0 ( rD ) + αC1 ( rD ) +
C2 ( rD )
2
(4.7)
A Figura 4.3 mostra o perfil de concentração de bário do reservatório até o
poço produtor. A concentração de bário diminui ao longo do caminho devido à
reação química com o sulfato. As quatro curvas na Figura 4.3 correspondem às
aproximações de ordem zero, primeira e segunda ordem, a curva contínua foi
calculada utilizando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Apenas para avaliar a
fórmula (4.7) como uma ferramenta de previsão, analisamos o “pior” caso, onde o
limite de convergência α=1. Mesmo nesse caso, a aproximação de segunda ordem
forneceu um erro de 15% na previsão da concentração de bário na água produzida;
a aproximação de primeira ordem gerou um erro de 40% e a de ordem zero deu um
erro de 75%.
1
Solução Numérica
Solução Assintótica de ordem zero
Solução Assintótica de primeira ordem
Solução Assintótica de segunda ordem
C(rD)
0.8
0.6
α=1
0.4
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
rD
Figura 4.3 – Perfil de concentração de bário para a solução numérica e as aproximações de
assintóticas
A Figura 4.4 mostra o erro relativo no perfil de concentração de bário através
das aproximações de ordem zero, primeira e segunda ordem (4.7) se comparado
com a solução numérica. Para o caso típico da razão entre as concentrações iniciais
57
α= 0,1, o erro para a aproximação de segunda ordem é menos que 0,1%; para a
aproximação de primeira ordem o erro é de 1,3% enquanto que para aproximação
de ordem zero o erro é 14%. Assim, o modelo analítico assintótico prevê o perfil das
concentrações reagentes perto do poço com boa precisão.
0,8
aproximação de ordem zero
0,7
aproximação de primeira ordem
0,6
aproximação de segunda ordem
δ (α )
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
α
Figura 4.4 – Função do erro relativo entre a solução numérica e as aproximações assintóticas versus
a razão de concentrações α
A Figura 4.5 mostra o perfil de concentração de bário ao longo do
reservatório em direção ao poço produtor para diferentes valores do coeficiente
cinético. A concentração diminui na trajetória devido à reação química com o sulfato,
e quanto maior o coeficiente cinético λ, maior é o decréscimo no perfil de bário. É
importante enfatizar que mesmo para baixos valores de λ, a concentração de bário
na água produzida não excede 0,01 da concentração no contorno Rc. A partir de λ=
400 (M∗m)-1, a concentração de bário quase desaparece antes de a água chegar no
poço produtor.
58
1
λ = 200 (M ⋅ m )
λ = 1000 (M ⋅ m )
0.8
C(rD)
−1
−1
λ = 4000 (M ⋅ m )
0.6
−1
λ = 10000 (M ⋅ m )
−1
0.4
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
rD
Figura 4.5 – Perfil concentração de bário versus o raio adimensional para diferentes valores de λ na
vizinhança de 1 metro
Os valores típicos de concentração de bário na água de formação para
campos da Bacia de Campos variam de 30 a 150 ppm. A concentração de bário na
água produzida varia de 2 a 5 ppm. A ordem de magnitude para a razão de
concentração de bário entre as águas da formação e produzida condizem com as
que estão apresentadas na Figura 4.5.
A concentração de sulfato Y também diminui do contorno para o poço devido
à reação química. Conseqüentemente, o produto das concentrações dos íons na
equação para a concentração depositada (F-19) diminui com o aumento do
coeficiente cinético λ. Já por outro lado, a taxa de deposição é proporcional à λ, veja
(4.3). O resultado é uma dependência não monótona da concentração depositada
versus o coeficiente cinético.
A Figura 4.6 mostra a dependência não monótona de S(rD,tD) versus λ no
ponto rD = 0,5 para três momentos, tD = 5000, 15000 e 50000 pvi. A concentração
depositada tende a zero tanto para fraca ou intensa reação química, onde o número
cinético εk tende para zero ou para infinito. A concentração depositada máxima
ocorre para algum valor intermediário do coeficiente cinético.
S(rD, tD, λ)
59
5 .10
4
4 .10
4
3 .10
4
2 .10
4
1 .10
4
t3
t2
t1
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
λ (M∗m)-1
Figura 4.6 – Dependência da concentração depositada versus o coeficiente cinético para diferentes
momentos
O cálculo da variação de pressão entre o contorno e o poço utiliza a
expressão do gradiente de pressão obtido a partir da lei de Darcy, quarta equação
de (4.3).
J ( tD ) = 1 + mtD
0
β cBa
MBaSO4
f
m=
M ( εk , α ) ,
⎛ Rc ⎞ s
ρBaSO4 2ln ⎜
⎟
⎝ rw ⎠
M ( εk , α ) = εk
1
∫
rw
Rc
C ( rD ) ⋅ Y ( rD )
drD
rD 2
(4.8)
O principal resultado é o crescimento linear da impedância com o tempo,
sendo que esta pode ser expressa via fator de skin (Rosa, et al., 2006).
sf =
m ⎛ Rc ⎞
ln ⎜
⎟ tD
2 ⎝ rw ⎠
(4.9)
O modelo mostra que o fator de skin cresce proporcional ao tempo.
A Figura 4.7 mostra a queda do índice de produtividade para diferentes
valores do coeficiente cinético e o coeficiente dano de formação β=300. O tempo
adimensional é calculado para um raio de drenagem Rc=500 m. A concentração de
sulfato na entrada é 3000 ppm, que é típica para a água do mar. Desse modo,
60
podemos assumir que perda de sulfato devido à reação química no reservatório é
insignificante. A concentração de bário na entrada é 80 ppm, a qual também significa
que a reação química ocorre principalmente perto do poço. Quanto maior for o
coeficiente cinético, mais rápida será a queda da produtividade.
y
1
PI(tD)
0.8
0.6
1
0.4
2
0.2
3
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
tD
Figura 4.7 – Queda do índice de produtividade para diferentes valores de coeficiente cinético λ e para
o coeficiente dano de formação β=300, sendo: 1- λ = 500 (M∗m)-1; 2- λ = 4000 (M∗m)-1; 3- λ = 10000
(M∗m)-1
4.3
Primeiro e Segundo Problemas Inversos
A caracterização do sistema dano de formação devido à incrustação a partir
do histórico da queda de produtividade dos poços está baseada no modelo analítico
para fluxo com reação química. A caracterização inclui o cálculo do coeficiente
cinético λ e do coeficiente dano de formação β.
A concentração de bário na água produzida C(rw/Rc) pode ser calculada a
partir da solução analítica (F-20), (F-22), (F-26) e (F-32). A concentração de bário na
água produzida é igual a do contorno Rc [C=1] para o caso sem reação química,
λ=0. Quanto maior for o coeficiente cinético λ menor será a concentração de bário
na água produzida. Logo, o coeficiente cinético pode ser determinado a partir da
concentração de bário na água produzida C(rw/Rc).
61
Cada aproximação (F-20), (F-22), (F-26) e (F-32) corresponde a uma
equação transcendental com relação ao número cinético εk. O coeficiente cinético λ
é calculado via εk utilizando a equação (4.4).
Quanto maior for o coeficiente dano de formação, maior será a inclinação da
impedância m. Se a precipitação não danificar a rocha, ou seja, β=0, a impedância é
constante. Conseqüentemente, o coeficiente dano de formação pode ser
determinado a partir da inclinação da impedância m, pela equação (4.8).
⎡
⎤
⎢
⎥
1
MBaSO4
εk
f C ( rD ) ⋅ Y ( rD )
0
⎢
drD ⎥
β = m cBa
2
∫
⎢
⎥
rD
ρBaSO4
⎛R ⎞ s
2ln ⎜ c ⎟ Rrw
⎢
⎥
c
⎢⎣
⎥⎦
⎝ rw ⎠
−1
(4.10)
O modelo descrito pelas equações (4.3) é unidimensional, ou seja, o fluxo
vertical entre as camadas com diferentes permeabilidades é desconsiderado.
Também, assumimos que a reação química ocorre apenas perto dos poços
produtores. Essas considerações limitam a aplicabilidade do modelo. Entretanto,
como ainda não temos condições de determinar os valores exatos dos parâmetros
de incrustação a partir de dados de campo, o modelo possibilita a determinação da
ordem de magnitude desses parâmetros.
4.4
Estudo de Campo
Nesta seção serão apresentados os resultados da caracterização do sistema
de incrustação com dano de formação a partir do histórico de produtividade dos
poços. O método para calcular os coeficientes do modelo foi descrito na seção
anterior. Serão tratados os dados de oitos poços da Bacia de Campos e quatorze
poços de reservatórios no Mar do Norte.
62
4.4.1 Campo Marlim (Bacia de Campos)
Da Figura 4.8 a Figura 4.12 são apresentados o tratamento de dados do
campo offshore Marlim (Bacia de Campos, Brasil) (Gomes et al., 2002, Daher, et. al.,
2005), onde o reservatório apresenta grande espessura, baixa heterogeneidade e
alta permeabilidade. Os poços produtores P1, P2, P3, P4 e P5 estão completados
com gravel pack, onde a intensa acumulação de sulfato de bário ocorre devido à alta
velocidade de fluxo e conseqüentemente, alta dispersão. Isto confirma as
considerações do modelo que a reação química com significativa deposição ocorre
apenas na vizinhança do poço. A modelagem de reservatório incluindo a reação
química de sulfato de bário para o campo de Marlim confirma que a reação química
ocorre mais significativamente na vizinhança de 1 metro dos poços produtores. Os
autores dos trabalhos acima mencionados também desprezaram a queda na
concentração dos reagentes devido à reação química no reservatório, se comparado
que está ocorrendo no gravel pack. Isto justifica a aplicação do modelo analítico axi
simétrico com reação química (F-20), (F-22), (F-26) e (F-32) na análise do histórico
do campo.
Podemos notar uma grande dispersão dos dados para fração de água do
mar na água produzida. A variação média da fração de água do mar durante os
intervalos entre as limpezas químicas com remoção de sulfato é significativamente
menor que para os dados totais. Isto também justifica o uso do modelo analítico. Em
todas as estimulações no poço, foram utilizados os valores médios de water cut,
saturação e concentração na entrada, para os períodos entres as estimulações.
A Figura 4.8a apresenta o histórico de BSW, fração de água do mar na água
produzida, vazão de produção, datas das intervenções e índice de produtividade
para o poço P4. A chegada da água no poço produtor foi em agosto de 1999.
Durante um curto período após a chegada da água, apenas água da formação é
produzida (Sorbie e Mackay, 2000). Logo, a queda do índice de produtividade devido
à incrustação começou com demora se comparado com o período de chegada da
água, isto é, em maio de 2000. Devido às intervenções ocorridas no poço, podemos
definir três diferentes intervalos de tempo para o histórico de incrustação.
63
100
1800
Vazão Bruta
BSW
1600
90
IP
SW
1400
80
70
60
1000
50
800
Trat 1 Jul/02
40
Trat 2 Mar/03
600
BSW & SW
Vazão bruta (m3/d)
1200
30
400
20
200
10
Trat 3 Jul/04
0
0
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
DATA
(a)
25
1,0
Índice de Produtividade
Concentração, ppm
dados
Bário
0,8
λ = 71,19
0,6
0,4
0,2
0,0
Ajuste dos dados
20
Previsão após último tratamento
15
10
5
0
0
20
40
60
% Água do Mar
(b)
80
100
1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 2017 2019
Data
(c)
Figura 4.8 - Histórico de produção do poço P4 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW, vazão de
produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade. (b) Concentração de
bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda de IP e previsão para o quarto
período
A Figura 4.8b mostra a queda da concentração de bário com o aumento da
fração de água do mar na água produzida. A concentração de bário no contorno
externo do gravel pack Rc é igual à concentração inicial, pois toda a incrustação é
formada neste. Cada ponto de bário “produzido” permite calcular o coeficiente
cinético. Foram utilizados todos os pontos e o ajuste foi realizado pelo método de
mínimos quadrados para cada um dos três intervalos de tempo. Contudo, o mesmo
valor do coeficiente cinético λ ajusta as curvas nos três intervalos de tempo.
Como as condições termodinâmicas, temperatura e força iônica, são as
mesmas nos intervalos de tempo antes e depois das intervenções, provavelmente as
mesmas não alteram as condições de deposição na superfície da matriz. Isto explica
o porquê da constante cinética ser a mesma para todos os intervalos de tempo.
Assim, o melhor ajuste da curva foi obtido para λ = 71,19 (M∗m)-1.
64
O coeficiente dano de formação foi obtido pelo ajuste da curva do índice de
produtividade. Os três intervalos ajustados (Figura 4.8c) resultam em três valores
para β = 166; 39 e 18. O meio poroso no gravel pack é altamente permeável e
homogêneo, logo uma queda de permeabilidade ocorrerá somente após uma
significativa deposição, conseqüentemente, o coeficiente dano de formação é
pequeno.
Conhecendo o valor do coeficiente cinético e dano de formação é possível
fazer uma previsão do comportamento da produção. Após a terceira intervenção no
poço, o índice de produtividade aumentou de 10,8 para 21,2 (m3/dia/Kgf/cm2). O
quarto intervalo da queda do índice de produtividade corresponde a uma previsão a
partir do modelo (Figura 4.8c). Foi notado que o coeficiente dano de formação
diminuía de intervenção a intervenção; logo, fixamos β = 13 para o período de
previsão. Logo, a previsão realizada mostra que depois de 53 meses durante o
período de previsão, o índice de produtividade diminuiu duas vezes (Figura 4.8c).
O histórico de BSW, fração de água do mar na água produzida, vazão de
produção, datas das intervenções e índice de produtividade para o poço P1 são
apresentados na Figura 4.9a. Para esse poço, a chegada da água ocorreu em
dezembro de 1999. A queda do índice de produtividade devido à incrustação
começou com a chegada da água do mar, isto é, em dezembro de 2000. Foi
realizada apenas uma intervenção no poço, logo podemos definir apenas dois
intervalos de tempo para o histórico de incrustação.
1200
100
Vazão Bruta
BSW
1000
90
IP
SW
80
70
60
600
50
40
400
30
Trat 1 Out/02
20
200
10
0
dez-95
0
dez-96
dez-97
dez-98
dez-99
dez-00
DATA
(a)
dez-01
dez-02
dez-03
dez-04
BSW & SW
Vazão bruta (m3/d)
800
65
20
Bário
0,8
Índice de Produtividade
Concentração, ppm
1,0
λ = 312,78
0,6
0,4
0,2
18
dados
16
Ajuste de dados
14
Previsão após tratamento
12
10
8
6
4
2
0,0
0
20
40
60
% Água do mar
(a)
80
100
0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2013
2015
Data
(b)
Figura 4.9 - Histórico de produção do poço P1 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW, vazão de
produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade. (b) Concentração de
bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda de IP e previsão para o quarto
período
A Figura 4.9b mostra a queda da concentração de bário com o aumento da
fração de água do mar na água produzida. O melhor ajuste para curva da
concentração de bário na água produzida foi obtido para λ = 312,78 (M∗m)-1. Os
coeficientes dano de formação obtido pelo ajuste da curva do índice de
produtividade para os dois intervalos foram β = 8,67 e 5,41 (Figura 4.9c).
A previsão do comportamento da produção foi realizada para o poço P1 a
partir do ano 2004, uma vez conhecendo o valor do coeficiente cinético e dano de
formação (Figura 4.9c).
Para o poço P2, também foram reportados o histórico de BSW, fração de
água do mar na água produzida, vazão de produção, datas das intervenções e
índice de produtividade e estão apresentados na Figura 4.10a. Nesse poço, a
chegada da água foi em fevereiro de 1999. Apenas uma intervenção no poço foi
realizada, assim dois intervalos de tempo para o histórico de incrustação.
A Figura 4.10b mostra a queda da concentração de bário com o aumento da
fração de água do mar na água produzida. O melhor ajuste para curva da
concentração de bário na água produzida foi obtido para λ = 147,22 (M∗m)-1. Os
coeficientes dano de formação obtido pelo ajuste da curva do índice de
produtividade para os dois intervalos foram β = 38,22 e 46,28 (Figura 4.10c). A
66
previsão do comportamento da produção foi realizada para o poço P2 a partir do ano
2005 (Figura 4.10c).
1400
1200
90
80
Vazão Bruta
BSW
IP
1000
70
SW
800
50
40
600
BSW & SW
Vazão bruta (m3/d)
60
30
400
Trat 1 Ago/02
20
200
10
Trat 2 Set/05
0
dez-96
0
dez-97
dez-98
dez-99
dez-00
dez-01
dez-02
dez-03
dez-04
dez-05
dez-06
DATA
(a)
9
0,8
dados
8
Bário
Índice de Produtividade
Concentração, ppm
1,0
λ = 147,22
0,6
0,4
0,2
Ajuste dos dados
7
Previsão após tratamento
6
5
4
3
2
1
0
0,0
0
20
40
60
% Água do mar
(b)
80
100
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
Data
(c)
Figura 4.10 - Histórico de produção do poço P2 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW, vazão de
produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade. (b) Concentração de
bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda de IP e previsão para o quarto
período
A Figura 4.11a apresenta o histórico de BSW, fração de água do mar na
água produzida, vazão de produção, datas das intervenções e índice de
produtividade para o poço P3. Não foi verificada grande diferença de tempo entre a
chegada da água e a chegada da água do mar no poço produtor. Devido às
intervenções ocorridas no poço, podemos definir três diferentes intervalos de tempo
para o histórico de incrustação.
67
1800
100
1600
90
80
1400
1000
800
70
Vazão Bruta
60
BSW
IP
50
SW
40
Trat 2 Mar/03
600
30
400
20
Trat 3
Out/05
200
Trat 1 Mai/02
0
dez-96
BSW & SW
Vazão br uta (m3/d)
1200
10
0
dez-97
dez-98
dez-99
dez-00
dez-01
dez-02
dez-03
dez-04
dez-05
dez-06
DATA
(a)
35
Bário
0,8
Índice de Produtividade
Concentração, ppm
1,0
λ = 72,61
0,6
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
% Água do mar
80
100
dados
30
Ajuste dos dados
Previsão após tratamento
25
20
15
10
5
0
2000
2001
2003
(b)
2005
2007
2009
2011
2013
2015
2017
Data
(c)
Figura 4.11 - Histórico de produção do poço P3 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW, vazão de
produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade. (b) Concentração de
bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda de IP e previsão para o quarto
período
A Figura 4.11b mostra a queda da concentração de bário com o aumento da
fração de água do mar na água produzida. O valor de λ = 72,61 (M∗m)-1. foi o que
melhor ajustou a curva da concentração de bário na água produzida. Os coeficientes
dano de formação obtido pelo ajuste da curva do índice de produtividade para os
três intervalos foram β = 5,73; 16,32 e 40,97 (Figura 4.11c). Após a terceira
intervenção no poço, o índice de produtividade aumentou de 6 para 22
(m3/dia/Kgf/cm2). O quarto intervalo da queda do índice de produtividade
corresponde a uma previsão a partir do modelo (Figura 4.11c). Como o coeficiente
dano de formação aumentau de intervenção para intervenção; logo, fixamos o último
valor calculado de β = 40,97 para o período de previsão.
68
As informações e o tratamento dos dados do poço produtor P5 são
apresentados na Figura 4.12.
1800
90
Vazão Bruta
BSW
1400
80
IP
Trat 2 Mar/03
SW
70
Vazão bruta (m3/d)
1200
60
1000
50
800
40
Trat 1 Jul/02
600
BSW & SW
1600
100
30
Trat 3 Jul/04
400
20
200
10
0
0
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
DATA
(a)
25
dados
Bário
0,8
Índice de Produtividade
Concentração, ppm
1,0
λ = 166,98
0,6
0,4
0,2
0,0
0
20
40
60
% Água do mar
80
100
Ajuste dos dados
20
Previsão após tratamento
15
10
5
0
2000
2002
2004
(b)
2006
2008
2010
Data
(c)
Figura 4.12 - Histórico de produção do poço P5 no campo de Marlim: (a) histórico de BSW, vazão de
produção, fração de água do mar na água produzida e índice de produtividade. (b) Concentração de
bário na água produzida (c) Tratamento de três períodos de queda de IP e previsão para o quarto
período
A Figura 4.12b mostra a queda da concentração de bário com o aumento da
fração de água do mar na água produzida. O valor de λ = 166,98 (M∗m)-1 melhor
ajustou a curva da concentração de bário na água produzida. Os coeficientes dano
de formação obtido pelo ajuste da curva do índice de produtividade para os três
intervalos foram β = 49,88; 77,66 e 5,68 (Figura 4.12c). A previsão do índice de
produtividade foi obtida a partir do ano de 2004 (Figura 4.12c).
Na Tabela 4.1 são mostrados os valores obtidos para os coeficientes a partir
de cinco poços de Marlim. A previsão da queda de produtividade devido à
69
incrustação de sulfatos nos cinco poços estudados (Figuras 4.8c, 4.9c, 4.10c, 4.11c,
4.12c) permite planejar futuras intervenções nos poços como o tratamento de
remoção de incrustação.
Tabela 4.1 – Valores dos Coeficiente cinético e de dano de formação obtidos a partir de dados de
campo
Coeficiente cinético
P1
P2
P3
P4
P5
Coeficiente dano de formação
λ(M∗m)-1
β1
β2
β3
312,78
147,22
72,61
71,19
166,98
8,67
38,22
5,73
166
49,88
5,41
46,28
16,32
39,04
77,66
40,97
18,32
5,68
4.4.2 Campo Namorado (Bacia de Campos)
Os dados de concentração de bário na água produzida e queda de
produtividade também foram tratados para três poços produtores de Namorado
(Bezerra, et. al., 1990, 1996). A Figura 4.13 apresenta o tratamento referente à
queda de produtividade no poço NA-37. Figura 4.13a mostra o ajuste do histórico da
concentração de bário obtido para λ = 145 (M∗m)-1. A Figura 4.13b apresenta o
ajuste da curva impedância para o coeficiente dano de formação, β = 99,7. Os
resultados da previsão do índice de produtividade são mostrados na Figura 4.13c.
Logo, a partir de previsão realizada concluímos que após 550 dias de produção, o
índice de produtividade do poço diminuiu em duas vezes e durante os próximos
1800 dias irá diminuir 4,5 vezes se comparado com o valor inicial.
Dados
200
Linha de Diluição
λ = 145
150
J(tD)
Concentração de Bário, ppm
250
100
50
0
0%
20%
40%
60%
% Seawater
(a)
80%
100%
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
y = 0,0062x + 1
R2 = 0,9929
0
50
tD, pvi
(b)
100
150
70
Índice de Produtividade
1
Dados
0,8
Ajuste dos dados
Previsão do IP
0,6
0,4
0,2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
T, dias
(c)
Figura 4.13 - Ajuste do coeficiente cinético λ e do coeficiente dano de formação β a partir de dados
do campo Namorado (a) Perfil concentração de bário versus a fração de água do mar na água
produzida. (b) Crescimento da função impedância versus o tempo, em p.v.i. (c) Previsão da queda do
índice de produtividade.
A Tabela 4.2 apresenta resultados do tratamento de três poços produtores
de Namorado.
Tabela 4.2 – Coeficientes cinético e de dano de formação baseado em dados de poços do campo
Namorado
Field N
CBa0 (ppm)
CSO40 (ppm)
Rc (m)
NA-16
230
2850
1
NA-37
230
2850
1
NA-52
230
2850
1
αD (m)
λ (M∗m)-1
β
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
209
108
13
145
73
7,4
972
481
46
34,42
66,54
565,41
99,71
195,66
1835,56
774,10
1436,45
9821,08
4.4.3 Campos do Mar do Norte (UK)
No trabalho de Mackay, et. al., (2003) foram apresentados dados de
concentração de bário na água produzida para quatorze poços, produzindo em cinco
campos do Mar do Norte (Figura 4.14). Os dados sobre o índice de produtividade
não estão disponíveis. Todos os pontos de concentração de bário estão localizados
abaixo da hipotenusa que corresponde ao processo de mistura das águas sem que
haja reação química. Isso indica que a concentração de bário na água produzida
diminui devido à reação química com o sulfato.
71
300
80
linha de diluição
70
poço A1
60
λ = 881
50
CBa (ppm)
CBa (ppm)
90
Aj. Simulação
Reservatório
40
30
20
250
linha de diluição
poço B1
200
λ = 212
150
100
50
10
0
0
0
20
40
60
80
0
100
20
40
(a)
300
linha de diluição
linha de diluição
250
poço B2
200
λ = 153
CBa (ppm)
CBa (ppm)
250
150
100
50
poço B3
200
λ = 525
150
100
50
0
0
20
40
60
80
0
100
0
20
% Água do mar
40
60
80
100
% Água do mar
(c)
(d)
300
250
linha de diluição
250
poço B4
200
CBa (ppm)
poço B6
poço B7
150
poço B8
poço B9
100
linha de diluição
200
poço B5
CBa (ppm)
100
80
(b)
300
poço B10
poço C1
150
λ = 3043
100
50
50
0
0
0
20
40
60
80
0
100
20
40
60
80
100
% Seawater
% Água do mar
(e)
(f)
450
400
400
linha de diluição
350
350
poço D1
300
300
λ = 580
CBa (ppm)
CBa (ppm)
60
% Água do mar
% Água do mar
250
200
150
250
λ = 971
200
150
100
100
50
50
0
linha de diluição
poço E1
0
0
20
40
60
% Água do mar
(g)
80
100
0
20
40
60
80
100
% Água do mar
(h)
Figura 4.14 - Perfil concentração de bário versus fração de água do mar na água produzida para
poços de cinco Campos do Mar do Norte
72
A Tabela 4.3 apresenta somente os valores do coeficiente cinético para
esses poços.
Tabela 4.3 – Coeficiente cinético calculado a partir de dados de campos do Mar do Norte
Mar do Norte
Campo A
CBa0 (ppm) CSO40 (ppm)
Poço A1
80
2990
Poço B1
255
2990
Poço B2
255
2990
Poço B3
255
2990
Poço B4
255
2990
Poço B5
255
2990
Poço B6
255
2990
Poço B7
255
2990
Poço B8
255
2990
Poço B9
255
2990
Poço B10
255
2990
Campo C
Poço C1
220
2990
Campo D
Poço D1
450
2990
Campo E
Poço E1
390
2990
Campo B
αD (m)
λ (M∗m)-1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
0,5
0,3
0,1
881
485
98
325
178
36
249
133
26
739
437
89
47
26
5
21
11
2
35
19
4
12
7
1.2
133
73
14
25
13
3
36
19
4
3043
1641
313
580
316
61
971
504
106
73
A distribuição probabilística do coeficiente cinético λ e do coeficiente dano
de formação β obtidos a partir de dados de poços são apresentados nas Figura
4.15a,b, respectivamente. Os dados correspondentes estão apresentados nas
Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3, respectivamente. A variação de λ pode ser explicada devido
ao desconhecimento do coeficiente de dispersão, logo, os resultados incluem
valores de λ calculados para três valores de dispersividade. O coeficiente dano de
formação β varia de 0,5 a 220, este intervalo situa-se no mesmo já mencionado
(Pang e Sharma, 1994).
35%
50%
30%
40%
30%
20%
f(x)
f(x)
25%
15%
20%
10%
10%
5%
0%
0%
0
500
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-1
λ (M m)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
β
Figura 4.15 - Função distribuição dos parâmetros λ e β a partir de dados de campo (a) Coeficiente
cinético λ (M*m)-1; (b) Coeficiente dano de formação β
74
CAPÍTULO 5 -
ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste capítulo comparamos os valores do coeficiente cinético e de dano de
formação obtidos tanto a partir de dados laboratoriais como a partir de dados de
campo, descritos nos capítulos anteriores 2 e 4.
A comparação entre os coeficientes cinético e de dano de formação obtidos
a partir de dados laboratoriais e de campo pode resolver possíveis dúvidas a
respeito da queda de produtividade nos poços investigados ser causada pela
incrustação de sulfatos.
Os valores do coeficiente cinético λ e do coeficiente dano de formação β
obtidos a partir de dados laboratoriais foram apresentados na Tabela 2.5. Os
histogramas para os dois coeficientes foram mostrados na Figura 2.4.
O coeficiente cinético depende da temperatura e da força iônica entre as
salmouras. Por isso, este varia de teste para teste com diferentes condições
termodinâmicas. Contudo, testes laboratoriais que correlacionam o coeficiente
cinético, a temperatura e a força iônica das salmouras não estão disponíveis na
literatura. Logo, reunimos na Tabela 2.5 todos os valores obtidos, sem especificar as
condições termodinâmicas. Isto explica o grande intervalo de variação do coeficiente
cinético.
O grande intervalo de variação para λ também é devido ao não
conhecimento do coeficiente de dispersão na maioria dos testes; os resultados
75
incluem os valores de λ calculados para três valores do coeficiente de dispersão αD=
0,005, 0,01 e 0,03 m. O coeficiente de dispersão foi medido apenas nos testes
realizados por Lopes (2002); αD= 0,01, logo os valores de λ=3003 e λ=3951 (M∗m)-1
são mais confiáveis.
O coeficiente dano de formação depende do tipo de sólidos depositados
sobre a superfície dos grãos. A redução da permeabilidade devido ao crescimento
de dendritos ou por bridging (pontes) entre os poros é uma ordem de magnitude
maior que a deposição por formação de camadas entre os poros (Nielsen, 1959,
Dunn et. al., 1998, Nancollas e Liu, 1975, Oren e Bakke, 2002). Isto explica a grande
variação dos valores de β obtidos a partir de dados laboratoriais (Tabela 2.5).
Os resultados do tratamento dos dados de poços de Marlim a partir da
concentração de bário na água produzida são apresentados na Tabela 4.1. As
condições termodinâmicas para temperatura e força iônica das salmouras são as
mesmas para poços do mesmo reservatório, logo os valores de λ apresentam um
menor desvio padrão – o intervalo de variação para o coeficiente cinético é de 71 a
313 (M∗m)-1. Esse intervalo de variação esta contido no que foi apresentado na
Tabela 2.5 para os dados laboratoriais.
Mesmo com as incertezas acima mencionadas, os valores do coeficiente
dano de formação obtidos a partir de dados de poços variam em um intervalo menor
[6 – 166] que o obtido para testes laboratoriais [30 – 3000]. Isso pode ser atribuído à
morfologia similar da rocha para os poços do mesmo campo. Além disso, os
intervalos para este coeficiente, obtidos a partir de dados laboratoriais e dados de
campo, coincidem com aquele obtido para processos de perda de injetividade (Pang
e Sharma, 1994).
A Tabela 5.1 resume todos os coeficientes obtidos a partir de dados
laboratoriais e de campo. A comparação entre os coeficientes do modelo calculados
a partir de duas fontes (Figura 2.4 e Figura 4.15) mostra que eles apresentam a
mesma ordem de magnitude. Devido ao grande intervalo de variação dos resultados
apresentados, é possível concluir que a incrustação de sulfatos é a causa da queda
de produtividade nos campos investigados. Conseqüentemente, o modelo proposto
de reação química no meio poroso é adequado para a previsão da queda de
76
produtividade. Isto permite validar a metodologia “do laboratório para o campo” e
“dos poços para o campo” assim como o uso dos coeficientes obtidos para previsão
do crescimento da incrustação nos poços produtores.
Tabela 5.1 - Valores dos Coeficientes Cinético e de Dano de Formação obtidos a partir de Testes
Laboratoriais e de Dados de Campo
Testes Laboratoriais
Coeficiente cinético
λ, (M∗m)-1
Coeficiente Dano
de Formação β
Lopes Jr., 2002
3003 – 3951
–
239 – 18585
1553 – 42200
10 – 100
20 – 100
Dez Testes
32000 – 184000
30 – 3000
Wat et al., 1992
798 – 963
–
Dados de Campo
Coeficiente cinético
λ, (M∗m)-1
Coeficiente Dano
de Formação β
Campo de Marlim
(Bacia de Campos)
70 – 5000
0,5 – 200
Campo Namorado
(Bacia de Campos)
10 – 1000
30 – 2000
Mar do Norte
10 – 3500
–
Yuan et al., 1989
Teste a 20°C
Teste a 70°C
Goulding, 1987
77
CAPÍTULO 6 -
CONCLUSÕES
Nesta tese foram deduzidas fórmulas analíticas assintóticas, para o dano de
formação provocado pela incrustação de sulfato de bário, que permitem a
determinação dos coeficientes do modelo a partir de dados laboratoriais e de campo.
Estes coeficientes apresentaram a mesma ordem de magnitude e, portanto, validam
não só o modelo proposto como também a eficácia e robustez da metodologia.
Foi desenvolvido um modelo assintótico, para incrustação em testemunhos,
que pode ser utilizado para planejamento e design de testes laboratoriais em regime
quase permanente. Também foi desenvolvido um modelo radial assintótico, para
incrutação de sulfato de bário na vizinhança dos poços produtores. As fórmulas
assintóticas para os problemas inversos de testes laboratoriais e de fluxo nas
vizinhanças de poços produtores devem ser utilizadas para a obtenção dos
coeficientes do modelo a partir dos dados dos testes laboratoriais e de histórico de
produção, respectivamente.
O teste laboratorial proposto com a medição da pressão em três pontos do
testemunho deve ser utilizado, juntamente com a rotina de testes tradicionais, a fim
de melhor caracterizar o sistema de dano de formação devido à incrustação de
sulfato de bário.
O tratamento dos testes laboratoriais (vinte e dois testes realizados no
Cenpes e em Heriot-Watt University, UK) e dos dados de campo (vinte e três poços
da Bacia de Campos e do Mar do Norte) mostraram que o método para
78
caracterização da incrustação baseado em um novo modelo linear assintótico e
radial assintótico é robusto e efetivo.
79
CAPÍTULO 7 -
RECOMENDAÇÕES
O método de três pontos de pressão poderia ser implementado na rotina de
testes laboratoriais para caracterização do sistema de dano devido à incrustação de
sulfato de bário, efetuados no Centro de Pesquisas da Petrobras, Cenpes. Também
poderia ser estudada a viabilidade da montagem em plataformas de uma ferramenta
utilizando o método dos três pontos.
O método de determinação dos coeficientes do sistema de dano de
formação devido à incrustação de sulfatos, obtidos tanto a partir do modelo linear
quanto a partir do modelo radial devem ser utilizados nas unidades de negócio da
Petrobras, principalmente UN-BC e UN-RIO, como uma ferramenta adicional no
gerenciamento de poços com problemas de incrustação de sulfato de bário.
Os coeficientes, por sua vez já obtidos, devem ser utilizados como dados de
entrada para obtenção da previsão da produtividade, através do modelo radial
assintótico, tal como realizado para os campos de Marlim e Namorado. Estas
previsões podem ser utilizadas para o gerenciamento da previsão de incrustação por
sulfatos nos campos mencionados.
Para a continuidade dessa linha de pesquisa apresento as seguintes
recomendações para futuros trabalhos:
Desenvolver um modelo matemático para co-precipitação de sulfato
de bário e estrôncio, e outros incrustantes, como sulfato de cálcio;
Incluir o efeito da variação da razão óleo-água;
80
Ampliar a investigação da influência da força iônica e da temperatura
nos coeficientes do modelo;
Realizar testes com traçadores para obtenção do coeficiente de
dispersão (αD) em amostras de rochas e desenvolver uma
metodologia para estimar o do coeficiente de dispersão para
tratamento dos dados de campo.
Desenvolver um modelo de linhas de fluxo integrado Reservatório +
Vizinhança do poço produtor.
81
NOVIDADES CIENTÍFICAS
Dedução de um modelo analítico assintótico para fluxo com reação
química no meio poroso no caso de testes laboratoriais e vizinhança
de poços produtores;
Aplicação do modelo assintótico para o tratamento de dados
laboratoriais (Petrobras/Cenpes, Heriot-Watt University UK) e a
criação do banco de dados para os coeficiente do modelo baseado
em testes laboratoriais;
Aplicação do modelo assintótico para o tratamento de dados de
campo (Marlim, Namorado, seis campos do Mar do Norte) sobre a
queda de produtividade dos poços e a criação do banco de dados
para os coeficientes do modelo baseado em dados de campo;
Previsão da queda de produtividade devido à incrustação de sulfatos
para campos da Bacia de Campos – Marlim (5 poços) e Namorado (3
poços).
82
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89
Apêndice A – Equações Governantes para Incrustação de BaSO4 no
Meio Poroso com Fluxo Reativo Linear
O sistema de equações governantes para o fluxo em testemunhos de água
da formação contendo cátions bário, juntamente a água do mar contendo ânions
sulfato, e a conseqüente precipitação de sulfato de bário no meio poroso consistem
de três equações de balanço de massa: para o cátion bário, para o ânion sulfato e
para o sal sulfato de bário; e da lei de Darcy modificada acrescida da redução de
permeabilidade devido à deposição do sal (Philips, 1991, Araque-Martinez e Lake,
1999, Woods e Parker, 2003, Bedrikovetsky et al., 2006a):
⎧ ∂cBa
⎪φ ∂t + U ∇cBa = ∇ ( D∇cBa ) − q
⎪
⎪ ∂cSO4
⎪φ ∂t + U ∇cSO4 = ∇ D∇cSO4 − q
⎪
⎨ ρBaSO ∂σ
4
⎪φ
=q
⎪ MBaSO4 ∂t
⎪
−k
⎪U =
∇p
⎪⎩
µ (1 + βσ )
(
)
(A-1)
A taxa de reação química, terceira equação do sistema (A-1), é dada pela lei
das massas ativas (Fogler, 1998). A reação química entre os íons bário e sulfato é
assumida como sendo de segunda ordem.
q = K acBacSO4
(A-2)
O problema linear que descreve o fluxo unidimensional durante testes
laboratoriais de injeção de água é dado da seguinte forma:
⎧ ∂cBa
∂cBa
∂ 2cBa
φ
+
=
− K acBacSO4
U
D
⎪
2
∂
∂
∂
t
x
x
⎪
∂cSO4
∂ 2cSO4
⎪ ∂cSO4
+U
=D
− K acBacSO4
⎪φ
∂x
∂x 2
⎪ ∂t
⎨ ρ
⎪φ BaSO4 ∂σ = K acBacSO
4
⎪ MBaSO4 ∂t
⎪
∂p
k
⎪U = −
⎪
µ (1 + βσ ) ∂x
⎩
(A-3)
90
O modelo (A-3) consiste de quatro equações para quatro incógnitas cBa,
cSO4, σ e p. As primeiras duas equações do sistema (A-3) são independentes de σ e
p, logo elas podem ser separadas da terceira e quarta equação.
Assume-se que os coeficientes de dispersão para Ba2+ e SO42- são
semelhantes, por serem muito superiores à difusão molecular, e proporcional à
velocidade de fluxo (Nikolaeviskii, 1990, Sorbie e Mackay, 2000):
DBa ≅ DSO4 ≅ D = αDU
(A-4)
O efeito da proporcionalidade entre o coeficiente de reação química (Ka) e a
velocidade de fluxo, proposto por Lopes (2002), foi incorporado ao modelo.
K a = λU
(A-5)
Introduzindo os seguintes parâmetros adimensionais:
C=
cSO
ρBaSO4 σ
cBa
, Y = 0 4, S=
,
0
0
cBa
cSO4
MBaSO4 cBa
xD =
x
Ut
, tD =
L
φL
k p
c0
α
0
pD = 0 , α = 0Ba , εD = D , εk = λLcSO
4
µUL
cSO4
L
(A-6)
As duas primeiras equações do sistema (A-3) assumem a forma:
⎧ ∂C ∂C
∂ 2C
+
=
ε
− εkCY
D
⎪ ∂t
∂xD 2
⎪ D ∂xD
⎨
2
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ Y − ε αCY
D
k
⎪⎩ ∂tD ∂xD
∂xD 2
(A-7)
A injeção simultânea da água do mar com ânions SO42-, juntamente a
correspondente água da formação contendo cátions Ba2+, em um meio poroso,
corresponde à condição de contorno inicial onde o fluxo é fixo para ambas espécies
(Allaga et al., 1992):
xD = 0 : C − εD
∂C
∂Y
= 1, Y − εD
=1
∂xD
∂xD
(A-8)
91
Desconsiderando o termo correspondente à difusão na equação (A-8), a
condição de contorno inicial pode ser simplificada da seguinte forma:
xD = 0 : C = 1, Y = 1
(A-9)
A suposição que um íon não se difunde de volta para o testemunho após
passar pela saída do testemunho resulta na condição de contorno de Brenner
(Nikolaevskii, 1990):
xD = 1 :
∂C ∂Y
=
=0
∂xD ∂xD
(A-10)
92
Apêndice B – Solução Assintótica para Fluxo Linear em Regime
Permanente
Considerando-se regime permanente para fluxo linear em testemunho, uma
vez que as águas do mar e da formação são injetadas simultaneamente no
testemunho, têm-se as seguintes condições:
∂C ∂Y
=
=0
∂tD ∂tD
(B-1)
Substituindo-se (B-1) em (A-7), obtém-se o seguinte sistema de equações
ordinárias diferenciais:
⎧ dC
d 2C
=
ε
− εkCY
D
⎪ dx
dxD 2
⎪ D
⎨
2
⎪ 1 dY = εD d Y − ε CY
k
⎪⎩ α dxD α dxD 2
(B-2)
O fluxo advectivo-difusivo para ambos componentes é fixado na entrada do
testemunho, segundo (Nikolaevskii, 1990):
xD = 0 : C − εD
dC
=1
dxD
(B-3)
xD = 0 : C − εD
dY
=1
dxD
(B-4)
Como a dispersão na entrada do testemunho é desconsiderada, as
concentrações para ambos os reagentes são fixadas em xD=0:
xD = 0 : C = Y = 1
(B-5)
Se a partícula já tiver saído do testemunho, ela não se difunde de volta. A
condição de contorno correspondente ao efluente do testemunho é dada em (A-10).
Deste modo, a distribuição dos reagentes químicos em regime permanente através
do testemunho durante o fluxo é descrito pelo problema de contorno (B-3), (B-4) e
(A-10) para o sistema de duas equações diferenciais ordinárias (B-2).
93
Introduzindo a seguinte combinação linear das duas concentrações:
V ( xD ) = C ( xD ) −
Y ( xD )
α
(B-6)
A subtração da segunda equação de (B-2) pela primeira equação resulta na
seguinte equação para V(xD):
dV
d 2V
= εD
dxD
dxD 2
(B-7)
A seguinte condição de contorno na entrada do testemunho para V(xD) é
obtida a partir de (B-3) e (B-4):
xD = 0 : V = 1 −
1
α
(B-8)
A condição de contorno correspondente ao efluente do testemunho para
V(xD) é obtida a partir da condição (A-10):
xD = 1 :
dV
=0
dxD
(B-9)
Integrando ambas partes de (B-7) e aplicando as condições de contorno (B8) e (B-9) resulta na seguinte solução:
V ( xD ) = 1 −
1
α
(B-10)
Conseqüentemente, a diferença de concentrações (B-6) é constante ao
longo do testemunho durante o fluxo em regime permanente. Expressando a
concentração Y(xD) a partir da solução (B-10):
Y ( xD ) = 1 + α ⎡⎣C ( xD ) − 1⎤⎦
(B-11)
A substituição da expressão (B-11) para Y(xD) na primeira equação (B-2)
possibilita a obtenção da seguinte equação ordinária diferencial:
94
εD
d 2C dC
=
+ εkC ⎡⎣1 + α (C − 1) ⎤⎦
dxD 2 dxD
(B-12)
O problema de contorno (B-3), (B-4), (A-10) para a equação ordinária
diferencial de segunda ordem (B-12) pode ser resolvido numericamente pelo método
de Runge-Kutta de quarta ordem. É interessante mencionar que a aplicação de
ambas condições na entrada (B-3) e (B-4) ou (B-5) resulta na mesma solução (B-10)
para V=V(xD). Logo, a equação (B-12) é a mesma para ambas condições de
contorno. A aplicação da condição de contorno (B-5) resulta em uma solução
explícita para a equação (B-12) que difere da aplicação da condição de contorno (B3) e (B-4). Entretanto, os cálculos mostram que a diferença nas distribuições de
C(xD) e Y(xD), para ambos os tipos de condições na entrada, é muito pequena para o
intervalo dos εD e εK em reservatórios de petróleo. Deste modo, o fluxo em regime
permanente em testemunho foi modelado utilizando a condição de contorno (B-5)
em xD=0.
A concentração adimensional, C, varia de zero a um. A água do mar que é
injetada apresenta uma concentração de íons sulfato superior à concentração de
íons bário encontrada na água de formação, assim estamos investigando um caso
onde
a
concentração
de
sulfato
está
significativamente
em
excesso.
Conseqüentemente, em nosso caso α<< 1 (A-4). A equação diferencial ordinária (B12) pode ser resolvida pelo método de expansões assintóticas regulares.
Será discutido a expansão assintótica da incógnita C(xD) com respeito ao
parâmetro pequeno α.
α2
C ( xD ) = C0 ( xD ) + αC1 ( xD ) +
C2 ( xD )
2
(B-13)
O termo [C(xD) – 1] varia de menos um até zero, logo o segundo termo, em
colchetes no lado direito da equação (B-12) pode ser desprezado quando
comparado com 1 (um). Substituindo a expansão (B-13) na equação (B-12), obtémse a seguinte equação diferencial ordinária linear de segunda ordem para
aproximação de ordem zero:
95
εD
d 2C0 dC0
−
− εkC0 = 0
dxD 2 dxD
(B-14)
O problema de contorno (A-10), (B-5) se torna:
xD = 0 : C0 + αC1 +
dCk
=0
dxD
xD = 1 :
α2
C2 = 1
2
(B-15)
k = 0, 1, 2
(B-16)
O problema de contorno (B-15), (B-16) para a equação (B-14) permite a
seguinte solução exata:
C0 ( xD ) = c1eΓ1xD + c2eΓ2 xD
Γ1 =
1 + 4εD ε k
1
+
2εD
4εD2
Γ2 =
1
1 + 4 εD ε k
−
2εD
4εD2
(B-17)
As duas constantes c1 e c2 são encontradas a partir das condições de
contorno:
c1 =
−Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 )
Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 )
(B-18)
c2 =
Γ1
Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 )
(B-19)
A concentração no efluente do testemunho é calculada a partir de (B-18), (B19).
C0 (1) =
( Γ1 − Γ2 ) exp ( Γ2 )
Γ1 − Γ 2 exp ( Γ 2 − Γ1 )
A equação para a aproximação de primeira ordem é a seguinte:
(B-20)
96
εD
d 2C1 dC1
−
− εkC1 − εkC02 + εkC0 = 0
2
dxD
dxD
(B-21)
Integrando equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
(B-21) e aplicando as condições de contorno (B-15), (B-16), permite a seguinte
solução exata:
C1 ( xD ) = c3 eΓ1xD + c4 eΓ2 xD + K1e2 Γ1xD + K 2e(
Γ1 =
1
1 + 4εDεk
+
2εD
4εD2
Γ2 =
1
1 + 4 εD ε k
−
2εD
4εD2
Γ1 +Γ2 ) xD
+ K 3 e2Γ2 xD + K 4 xDeΓ1xD + K 5 xDeΓ2 xD
(B-22)
onde K1, K2, K3, K4 e K5 são calculados durante a solução da equação linear nãohomogênea (B-21), onde C0 é a aproximação de ordem zero (B-17).
K1 =
εk c12
2εk c1c2
, K2 =
2
2
4εD Γ1 − 2Γ1 − εk
εD ( Γ1 + Γ 2 ) − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk
εk c 2 2
−εk c1
−εk c2
K3 =
, K4 =
, K5 =
2
4εD Γ 2 − 2Γ 2 − εk
2εD Γ1 − 1
2εDΓ 2 − 1
(B-23)
As constantes c3 e c4 são obtidas a partir das condições de contorno:
c3 = −
⎡ ξ exp( −Γ1 ) − Γ1ψ ⎤
Γ2
ξ
exp(Γ 2 − Γ1 ) ⎢
⎥−
Γ1
⎣ Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 ) ⎦ Γ1 exp(Γ1 )
c4 =
ξ exp( −Γ1 ) − Γ1ψ
Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 )
(B-24)
(B-25)
onde as constantes ξ e ψ são introduzidas para a simplificação da solução:
ψ=
εk c12
2εk c1c 2
εk c 2 2
+
+
4εD Γ12 − 2Γ1 − εk εD ( Γ1 + Γ 2 )2 − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk 4εDΓ 22 − 2Γ 2 − εk
(B-26)
97
2 ( Γ1 + Γ 2 ) εk c1c 2 e( 1 2 )
2Γ1εk c12e2Γ1
2Γ 2εk c 22 e2 Γ2
ξ=
+
+
4εD Γ12 − 2Γ1 − εk εD ( Γ1 + Γ 2 )2 − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk 4εDΓ 2 2 − 2Γ 2 − εk
Γ +Γ
ε c eΓ1
ε c eΓ2
− k 1
(1 + Γ1 ) − k 2 (1 + Γ2 )
2εD Γ1 − 1
2εD Γ 2 − 1
(B-27)
A equação para a aproximação de segunda ordem também é obtida pela
substituição da expansão (B-13) na equação (B-12)
εD
d 2C2 dC2
−
− εkC2 + 2εkC1 − 4εkC0C1 = 0
dxD 2 dxD
(B-28)
Integrando equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
(B-28) com as condições de contorno (B-15) e (B-16), permite a seguinte solução
exata:
C2 ( xD ) = c5 eΓ1xD + c6 eΓ2 xD + ( m0 + m1xD ) e2 Γ1xD + ( m2 + m3 xD ) e( Γ1 +Γ2 ) xD + ( m4 + m5 xD ) e2 Γ2 xD
+ ( m6 + m7 xD ) xDe Γ1xD + ( m8 + m9 xD ) xD eΓ2 xD + n1e( 2 Γ1 +Γ2 ) xD + n2 e( Γ1 + 2Γ2 ) xD
+ n3 e3 Γ1xD + n4 e3 Γ2 xD
Γ1 =
1 + 4 εD ε k
1
+
2εD
4εD2
Γ2 =
1 + 4 εD ε k
1
−
2εD
4εD2
(B-29)
onde as constantes (mi, i = 0..9) e (nj, j = 1..4) são obtidas a partir da solução da
porção não-homogênea da equação (B-28).
m1 =
m3 =
4ε c c − 2εk K1 − ( 4εDΓ1 − 1) m1
4εk c1K 4
, m0 = k 1 3
2
4εD Γ1 − 2Γ1 − εk
4εDΓ12 − 2Γ1 − εk
4εk c1K 5 + 4εk c2K 4
εD ( Γ1 + Γ 2 ) − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk
2
m5 =
, m2 =
4εk c1c4 + 4εk c2c3 − 2εk K 2 − ( 2εD ( Γ1 + Γ 2 ) − 1) m3
εD ( Γ1 + Γ 2 ) − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk
2
4ε c c − 2εk K 3 − ( 4εD Γ 2 − 1) m5
4εk c 2 K 5
, m4 = k 2 4
2
4εD Γ 2 − 2Γ 2 − εk
4εDΓ 2 2 − 2Γ 2 − εk
98
n1 =
m7 =
− ( 2εk c3 + 2εD m7 )
−2εk K 4
, m6 =
4εD Γ1 − 2
2εD Γ1 − 1
m9 =
− ( 2εk c4 + 2εD m9 )
−2εk K 5
, m8 =
4 εD Γ 2 − 2
2εD Γ 2 − 1
4εk ( c1K 2 + c2K1 )
εD ( 2Γ1 + Γ 2 ) − ( 2Γ1 + Γ 2 ) − εk
2
n3 =
, n2 =
(B-30)
4εk ( c1K 3 + c2K 2 )
εD ( Γ1 + 2Γ 2 ) − ( Γ1 + 2Γ 2 ) − εk
2
4ε k c 2 K 3
4εk c1K1
, n4 =
2
9εD Γ1 − 3Γ1 − εk
9εD Γ 22 − 3Γ 2 − εk
As constantes c5 e c6 são obtidas a partir das condições de contorno:
c5 = −
⎡ ϕ exp( −Γ1 ) − Γ1Ω ⎤
Γ2
ϕ
exp(Γ 2 − Γ1 ) ⎢
⎥−
Γ1
⎣ Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 ) ⎦ Γ1 exp(Γ1 )
c6 =
ϕ exp( −Γ1 ) − Γ1Ω
Γ1 − Γ 2 exp(Γ 2 − Γ1 )
(B-31)
(B-32)
sendo que as constantes ϕ e Ω são introduzidas para simplificação da solução.
99
Apêndice C – Solução Analítica para Fluxo 1-D sem Dispersão
Hidrodinâmica
O sistema de equações governantes para fluxo unidimensional foi descrito
no apêndice A. O desenvolvimento da solução assintótica, com relação ao
parâmetro pequeno α, levando em consideração a dispersão hidrodinâmica do meio
poroso foi apresentado no apêndice B.
Agora será resolvido um sistema de equações onde o efeito da dispersão
hidrodinâmica no meio poroso será desconsiderado. O sistema de equações
governantes consiste do mesmo apresentado no apêndice A, juntamente aos
mesmos parâmetros adimensionais. A partir das equações (A-7), foi assumido que
εD=0, logo a solução é dada da seguinte forma:
⎧ ∂C ∂C
⎪ ∂t + ∂x = −εkCY
⎪ D
D
⎨
⎪ ∂Y + ∂Y = −ε αCY
k
⎪⎩ ∂tD ∂xD
(C-1)
Ambas concentrações são iguais aos seus respectivos valores iniciais na
zona adiante à frente de água injetada
C = 0 , Y = 0,
xD > tD > 0
(C-2)
Transformando as equações (C-1) para forma de característica atrás da
frente de água injetada (Araque-Martinez e Lake, 1999), temos:
⎧ dtD
=1
⎪
⎪ dxD
⎪ dC
= −εkCY
⎨
⎪ dxD
⎪ 1 dY
= −εkCY
⎪
⎪⎩ α dxD
Introduzindo a seguinte combinação linear das duas concentrações:
(C-3)
100
V ( xD ) = C ( xD ) −
Y ( xD )
α
(C-4)
Subtraindo a segunda equação de (C-3) pela terceira equação de (C-3),
resulta na seguinte equação para V(xD):
dV
=0
dxD
(C-5)
A condição de contorno na entrada do testemunho para V(xD) é obtida a
partir de (B-5):
xD = 0 V = 1 −
1
α
(C-6)
Como obtido a partir de (C-5), V é constante, logo
V ( xD ) = 1 −
1
α
(C-7)
Assim, a diferença de concentração (C-4) é constante ao longo das
características. Expressando a concentração Y(xD) a partir de (C-7):
Y ( xD ) = 1 + α ⎡⎣C ( xD ) − 1⎤⎦
(C-8)
e substituindo Y(xD) na segunda equação de (C-3), obtemos uma equação
diferencial ordinária:
dC
= −εkC ⎡⎣1 + α (C − 1) ⎤⎦
dxD
(C-9)
A equação diferencial ordinária de primeira ordem (C-9), com a condição de
contorno (B-5), é resolvida pelo método de separação de variáveis:
C ( xD ) =
(1 − α ) exp ⎡⎣−εk (1 − α ) xD ⎤⎦
1 − αexp ⎡⎣ −εk (1 − α ) xD ⎤⎦
(C-10)
101
Substituindo a solução (C-10) em (C-8), obtemos o perfil de concentração
para o sulfato.
⎡ (1 − α ) exp ⎡⎣ −εk (1 − α ) xD ⎤⎦ ⎤
Y ( xD ) = α ⎢
⎥ + 1− α
⎢⎣ 1 − αexp ⎡⎣ −εk (1 − α ) xD ⎤⎦ ⎥⎦
(C-11)
A substituição de (C-10) e (C-11) na equação cinética, terceira equação do
sistema (A-3), resulta em uma fórmula explícita para o sal depositado:
S ( xD ,tD ) = ε kC ( xD )Y ( xD )( tD − xD )
(C-12)
para tempos grandes, tD>>xD, a fórmula (C-12) pode ser simplificada:
2
⎡
⎛ (1 − α ) exp ⎡⎣ −εk (1 − α ) xD ⎤⎦ ⎞
S ( xD ,tD ) = ⎢εk α ⎜
⎟ +
⎜ 1 − αexp ⎡ −εk (1 − α ) xD ⎤ ⎟
⎢
⎣
⎦ ⎠
⎝
⎣
⎛ (1 − α ) exp ⎡⎣ −εk (1 − α ) xD ⎤⎦ ⎞ ⎤
+ εk (1 − α ) ⎜
⎟⎥ t
⎜ 1 − αexp ⎡ −εk (1 − α ) xD ⎤ ⎟ ⎥ D
⎣
⎦ ⎠⎦
⎝
Assim, a concentração depositada é proporcional ao tempo adimensional.
(C-13)
102
Apêndice D – Índice de Produtividade “em testemunhos”
A variação de pressão entre a entrada e o efluente do testemunho durante o
fluxo com precipitação de sal, foi calculada a partir da expressão para o gradiente de
pressão obtido a partir da lei de Darcy, quarta equação (A-3):
∂p
Uµ
∆p = − ∫ dx =
(1 + βσ ) dx
k0 ∫0
∂x
0
L
L
(D-1)
Substituindo a concentração depositada adimensional (A-6) para fluxo em
regime permanente, obtém-se:
⎞
MBaSO4 1
Uµ ⎛
0
S
x
,t
dx
∆p =
⎜⎜ 1 + β cBa
(
)
D D
D⎟
⎟
k0 ⎝
ρBaSO4 ∫0
⎠
(D-2)
A concentração depositada S(xD,tD) pode ser calculada a partir do sistema
(B-2), utilizando a solução assintótica, onde a dispersão hidrodinâmica no meio
poroso é considerada (descrito no apêndice B):
1
∫S(x
D
0
1
,tD ) dxD = εk tD ∫ C ( xD )Y ( xD ) dxD
(D-3)
0
Ou a concentração depositada S(xD,tD) também pode ser calculada para o
modelo onde a dispersão hidrodinâmica no meio poroso é desprezada (descrito no
apêndice C), a partir do sistema (C-3):
⎧⎪
(1 − α ) exp ( εk )
1 ⎫⎪
=
ε
+
S
x
,t
dx
t
(
)
⎨
∫0 D D D k D ⎪ ⎡αexp ( αεk ) − exp ( εk )⎤ αεk αεk ⎬⎪
⎦
⎩⎣
⎭
1
(D-4)
A expressão final para a queda de pressão em testemunhos é:
∆p =
⎞
MBaSO4 1
Uµ ⎛
0
1
+
β
c
S ( xD ,tD ) dxD ⎟
⎜⎜
Ba
∫
⎟
k0 ⎝
ρBaSO4 0
⎠
(D-5)
Introduzindo a função impedância adimensional que corresponde ao inverso
do índice de produtividade adimensional
103
J ( tD ) =
U 0 ∆p
∆p 0 U
(D-6)
A expressão para a impedância segue a partir de (D-5), (D-6).
⎞
MBaSO4 1
IP 0 ⎛
0
S
x
,t
dx
= ⎜ 1 + β cBa
(
)
D D
D⎟
⎟
IP ⎜⎝
ρBaSO4 ∫0
⎠
(D-7)
Considerando a dispersão hidrodinâmica no meio poroso (como descrito no
apêndice B), a expressão para a impedância segue a partir de (D-3), com a solução
assintótica.
⎞
MBaSO4 1
IP 0 ⎛
0
= ⎜ 1 + βεk cBa
tD ∫ C ( xD )Y ( xD ) dxD ⎟
⎟
IP ⎜⎝
ρBaSO4 0
⎠
(D-8)
Desprezando a dispersão hidrodinâmica no meio poroso (como descrito no
apêndice C), a expressão para a impedância segue a partir de (D-4), com a solução
analítica.
MBaSO4 ⎡
(1 − α ) exp ( εk )
1 ⎤ ⎪⎫
IP 0 ⎪⎧
0
tD ⎢
= ⎨1 + βεk cBa
+
⎥⎬
ρBaSO4 ⎢⎣ ⎡⎣αexp ( αεk ) − exp ( εk ) ⎤⎦ αεk αεk ⎦⎥ ⎪
IP ⎪
⎩
⎭
(D-9)
Assim, a impedância é uma função linear com o tempo para os dois modelos
propostos. A expressão para o modelo com dispersão é dada por:
J ( tD ) = 1 + mtD
m=
0
MBaSO4
βεk cBa
ρBaSO4
1
∫ C ( x )Y ( x ) dx
D
D
(D-10)
D
0
Assumindo a aproximação de ordem zero para os casos onde os valores de
α << 1, a inclinação da impedância (D-10) pode ser explicitada por:
Γ
Γ
0
βεk cBa
MBaSO4 ⎛ c1Γ 2 ( e 1 − 1) + c2Γ1 ( e 2 − 1) ⎞
⎜
⎟
m=
⎜
⎟
ρBaSO4
Γ1Γ 2
⎝
⎠
(D-11)
104
A fórmula (D-11) permite a determinação do coeficiente dano de formação,
β, a partir de dados de fluxo e variação de pressão.
A expressão da impedância em função do tempo para o modelo sem
dispersão hidrodinâmica no meio poroso é obtida a partir de (D-9):
J ( tD ) = 1 + mtD
m = βλLc
(
)
0
1 − α ) exp λLcSO
(
MBaSO4 ⎡
4
⎢
c
0
0
ρBaSO4 ⎢ αexp αλLcSO − exp λLcSO
4
4
⎣
0
0
SO4 Ba
(
(
)
(
) ) αλLc
0
SO4
+
⎤
1
⎥
0
⎥
αλLcSO
4
⎦
(D-12)
105
Apêndice E – Método dos Três Pontos de Pressão
O método dos três pontos usa a variação de pressão total no testemunho e
em uma primeira seção deste como duas fontes independentes de informação para
determinar os dois parâmetros λ e β.
Será analisado a inclinação da impedância mω obtida a partir da queda de
pressão na ω-parte do testemunho (contando a partir da entrada). O comprimento do
testemunho L na equação (D-12) será recalculado como ωL. A fórmula para mω se
torna:
mω = βλωLc
0
SO4
0
Ba
c
(
)
0
(1 − α ) exp λωLcSO
MBaSO4 ⎡
4
⎢
0
0
ρBaSO4 ⎢ αexp αλωLcSO − exp λωLcSO
4
4
⎣
(
(
)
(
) ) αλωLc
0
SO4
⎤
1
⎥
+
0
⎥
αλωLcSO
4
⎦
(E-1)
A equação (E-1) também determina a curva β = β(λ) no plano (β, λ), como
mostrado na Figura 3.3.
As equações (D-12) e (E-1) formam um sistema de duas equações com
incógnitas β e λ. A solução corresponde ao ponto de intersecção das duas curvas
(Figura 3.3). Dividindo a equação (D-12) pela equação (E-1), obtêm-se:
⎡
⎤ m ⎡
1− α ) y ω
(
(1 − α ) y
1
1 ⎤
⎥
⎢
⎥
ω⎢
+
=
+
ωα
ω
α
⎢⎣ ( αy − y ) αωln ( y ) αωln ( y ) ⎥⎦ mω ⎢⎣ ( αy − y ) αln ( y ) αln ( y ) ⎥⎦
(E-2)
e
λ=
1
ln ( y )
0
LcSO
4
(E-3)
O valor de y pode ser obtido a partir de solução numérica da equação
transcendental (E-2). Depois, λ pode ser encontrado pela fórmula exata (E-3).
Uma equação transcendental adicional aparece quando medimos a pressão
em dois pontos intermediários do testemunho.
106
0
mω2 = βλω2 LcSO
c0
4 Ba
(
)
0
(1 − α ) exp λω2LcSO
MBaSO4 ⎡
4
⎢
0
0
ρBaSO4 ⎢ αexp αλω2 LcSO
− exp λω2LcSO4
4
⎣
(
(
)
(
) ) αλω Lc
2
0
SO4
+
⎤
1
⎥
0
⎥
αλω2LcSO
4
⎦
(E-4)
e
⎡
⎤ m
⎡
1 − α ) y ω2
(
(1 − α ) y
1
1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
ω2
+
=
+
α
ω α
ω
⎢⎣ ( αy 2 − y 2 ) αω2ln ( y ) αω2ln ( y ) ⎥⎦ mω2 ⎢⎣ ( αy − y ) αln ( y ) αln ( y ) ⎥⎦
(E-5)
107
Apêndice F – Equações Governantes para Incrustação de BaSO4 no
Meio Poroso com Fluxo Radial
As vazões de produção de óleo e água são definidas por:
Qw = fQ , Qo = (1 − f ) Q
(F-1)
onde f é o fluxo fracionário para a água que depende da saturação e da
concentração do precipitado:
krw ( sw , σ )
f =
krw ( sw , σ )
µw
+
µw
kro ( sw )
= f ( sw , σ )
(F-2)
µo
A partir de (F-1) é obtido que o fluxo fracionário é constante para fluxo de
água e óleo em regime permanente:
f ( sw , σ ) =
Qw
Q
=f
(F-3)
O sistema de equações governantes para fluxo radial unidimensional na
vizinhança do poço produtor durante injeção de água é constituído de três equações
de balanço de massa, para o cátion bário, para o ânion sulfato e para o sulfato de
bário; e da lei de Darcy modificada acrescida da redução de permeabilidade devido
à deposição do sal [veja Philips, 1991, Bedrikovetsky, 1994, Woods e Parker, 2003]:
⎧
∂cBa ∂ ⎛
∂cBa ⎞
⎪2πr φsw ∂t + ∂r ⎜ QfcBa − 2πrD ∂r ⎟ = −2πrK acBacSO4
⎝
⎠
⎪
⎪
∂cSO4 ∂ ⎛
∂cSO4 ⎞
+ ⎜ QfcSO4 − 2πrD
⎪2πr φsw
⎟ = −2πrK acBacSO4
∂t
∂r ⎝
∂r ⎠
⎪
⎨
ρ
⎪φs BaSO4 ∂σ = K c c
a Ba SO4
⎪ w MBaSO ∂t
4
⎪
⎪
2πrhk0 ⎛ krw kro ⎞ ∂p
+
⎪Q = −
(1 + βσ ) ⎜⎝ µ w µo ⎟⎠ ∂r
⎩⎪
(F-4)
108
Foi assumido que a reação química (deposição do sal) é expressa pela lei
das massas ativas (Fogler, 1998). O sistema de quatro equações (F-4) é definido por
quatro incógnitas: as três concentrações cBa, cSO4, σ e a pressão p.
Assume-se que os coeficientes de dispersão para Ba2+ e SO42- são
semelhantes e proporcionais à velocidade de fluxo (Nikolaevskii, 1990, Sorbie e
Mackay, 2000):
DBa ≅ DSO4 ≅ D = αDfU
(F-5)
A proporcionalidade entre o coeficiente de reação química (Ka) e a
velocidade do fluxo de água foi observado para fluxos com reações químicas em
geral (Fogler, 1998) e particularmente para reações de incrustação de sulfatos
(Lopes, 2002, Bedrikovetsky et al., 2006a):
Ka = λfU
(F-6)
Introduzido-se as seguintes coordenadas adimensionais e parâmetros:
tD =
cSO
c
Qt
r
, rD =
, C = Ba
, Y= 0 4
2
0
πRc hφ
Rc
cBa
cSO4
0
ρBaSO4 σ
cBa
α
0
S=
,
α
=
, εD = D , εk = λRc cSO
0
0
4
MBaSO4 cBa
cSO4
Rc
(F-7)
Substituindo as coordenadas adimensionais e os parâmetros (F-7) no
sistema de equações (F-4), obtemos:
⎧
sw ∂C
∂ ⎛
∂C ⎞
+
⎪2rD
⎜ C − εD
⎟ = −εkCY
∂
∂
∂
f
t
r
r
⎝
⎠
D
D
D
⎪
⎪
⎛
⎞
⎪2rD sw ∂Y + ∂ ⎜ Y − εD ∂Y ⎟ = −εk αCY
⎪
f ∂tD ∂rD ⎝
∂rD ⎠
⎪
sw ∂S
⎨
⎪2rD f ∂t = εkCY
D
⎪
⎪
rD
dpD
⎪1 = −
⎛
MBaSO4 ⎞ drD
0
⎪
S⎟
1 + βcBa
⎜
⎜
⎪
ρBaSO4 ⎟⎠
⎝
⎩
(F-8)
109
A condição de contorno no poço corresponde à ausência de fluxo difusivo
para ambas espécies químicas:
r = rw :
dcBa dcSO4
=
=0
dr
dr
(F-9)
Na forma adimensional a condição de contorno se torna:
rD =
rw dC dY
:
=
=0
Rc drD drD
(F-10)
A condição de contorno no raio de contorno Rc corresponde a:
rD = 1 : C − εD
∂C
∂Y
= 1 , Y − εD
=1
∂rD
∂rD
(F-11)
Foi assumido que o efeito da precipitação do sulfato de bário na função fluxo
fracionário é desprezível. Neste caso a saturação é constante. As duas primeiras
equações (F-8) são separadas da equação da acumulação e da lei de Darcy.
Consideramos fluxo em regime permanente na vizinhança do poço:
⎧ dC
d 2C
=
ε
− εkCY
D
⎪ dr
drD 2
⎪ D
⎨
2
⎪ 1 dY = εD d C − ε CY
k
⎪⎩ α drD
α drD 2
(F-12)
Introduzindo-se a seguinte combinação linear das duas concentrações:
V ( rD ) = C ( rD ) −
Y ( rD )
α
(F-13)
A equação para V(rD) é obtida pela subtração da segunda equação (F-12) da
primeira equação (F-12):
dV
d 2V
= εD
drD
drD 2
As condições de contorno para V(rD) seguem de (F-10), (F-11):
(F-14)
110
rD = 1
rD =
:
rw
:
Rc
1
α
(F-15)
dV
=0
drD
(F-16)
V = 1−
O problema de valor de contorno (F-14) - (F-16) é constante:
V ( rD ) = 1 −
1
α
(F-17)
A equação (F-13) nos permite expressar Y via C, e substituindo o resultado
na primeira equação de (F-12), obtém-se uma equação diferencial ordinária de
segunda ordem para a distribuição C(rD):
εD
d 2C dC
−
− εkC ⎡⎣1 + α (C − 1) ⎤⎦ = 0
drD 2 drD
(F-18)
As condições de contorno para a equação (F-18) são dadas por (F-10) e (F11). Este problema pode ser resolvido numericamente pelo método de Runge-Kutta
de quarta ordem.
A concentração depositada é encontrada pela integração de (F-8) em tD:
S ( rD ,tD ) =
εk f
C ( rD )Y ( rD ) tD
2rD sw
(F-19)
A concentração de sulfato na água do mar excede significativamente a
concentração de bário na água de formação. Nesse caso, o parâmetro α é muito
pequeno, α<< 1 (F-4). Será discutido a solução assintótica para o problema de fluxo
em regime permanente, dado pelas equações (F-10), (F-11) e (F-18) para o
parâmetro pequeno α.
C ( rD ) = C0 ( rD ) + αC1 ( rD ) +
α2
C2 ( rD )
2
(F-20)
O termo [C(rD) – 1] varia de menos um até zero, desse modo o segundo
termo em colchetes no lado direito da equação (F-18) pode ser desprezado quando
111
comparado com um. Substituindo a expansão (F-20) na equação (F-18) obtemos a
seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem para a aproximação de
ordem zero:
εD
d 2C0 dC0
−
− ε kC0 = 0
drD 2
drD
(F-21)
O problema de contorno (F-10), (F-11) para a equação (F-21) permite a
seguinte solução exata:
C0 ( rD ) = c1exp ( Γ1rD ) + c2exp ( Γ 2rD )
Γ1 =
1 + 4 εD ε k
1
+
2εD
4εD2
Γ2 =
1
1 + 4εD ε k
−
2εD
4εD2
(F-22)
As duas constantes c1 e c2 são encontradas a partir das condições de
contorno:
⎡
r ⎤
−Γ 2exp ⎢( Γ 2 − Γ1 ) w ⎥
Rc ⎦
⎣
c1 =
⎡
r ⎤
Γ1exp ( Γ 2 ) − Γ 2exp ⎢ Γ1 + ( Γ 2 − Γ1 ) w ⎥
Rc ⎦
⎣
c2 =
Γ1
⎡
r ⎤
Γ1exp ( Γ 2 ) − Γ 2exp ⎢Γ1 + ( Γ 2 − Γ1 ) w ⎥
Rc ⎦
⎣
(F-23)
(F-24)
A equação para a aproximação de primeira ordem é:
εD
d 2C1 dC1
−
− εkC1 − εkC02 + εkC0 = 0
2
drD
drD
(F-25)
Substituindo a expansão (F-20) nas condições de contorno (F-10), (F-11) e
integrando a equação linear não homogênea (F-25), obtemos a aproximação de
primeira ordem:
112
C1 ( rD ) = c3 eΓ1rD + c4 eΓ2rD + K1e2 Γ1rD + K 2e( Γ1 +Γ2 )rD + K 3 e2Γ2rD + K 4 rDeΓ1rD + K 5 rDeΓ2rD
(F-26)
onde K1, K2, K3, K4 e K5 são obtidos a partir da solução da porção não-homogênea
da equação (F-25). As constantes c3 e c4 são obtidas a partir das condições de
contorno:
⎡
⎤
⎡⎛ r
⎞ ⎤
Γ1ξexp ⎢⎜ w − 1⎟ Γ1 ⎥ − ψ
⎢
⎥
ξ
⎝ Rc
⎠ ⎦
⎢
⎥ exp Γ − Γ −
⎣
c3 = − ⎢
( 2 1)
⎥
exp ( Γ1 )
⎛ r ⎞
⎡ r
⎤
⎢ Γ 2 exp ⎜ Γ 2 w ⎟ − Γ1exp ⎢Γ1 w + ( Γ 2 − Γ1 ) ⎥ ⎥
⎢⎣
⎝ Rc ⎠
⎣ Rc
⎦ ⎥⎦
(F-27)
⎡⎛ r
⎞ ⎤
Γ1ξexp ⎢⎜ w − 1⎟ Γ1 ⎥ − ψ
⎠ ⎦
⎣⎝ Rc
c4 =
⎛ r ⎞
⎡ r
⎤
Γ 2 exp ⎜ Γ 2 w ⎟ − Γ1exp ⎢Γ1 w + ( Γ 2 − Γ1 ) ⎥
⎝ Rc ⎠
⎣ Rc
⎦
(F-28)
sendo que as constantes ξ e ψ são introduzidas para simplificação da solução:
ξ=
εk c12 exp ( 2Γ1 )
4εD Γ12 − 2Γ1 − εk
+
2εk c1c 2 exp ( Γ1 + Γ 2 )
εD ( Γ1 + Γ 2 ) − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk
2
+
εk c 22 exp ( 2Γ 2 )
4εDΓ 2 2 − 2Γ 2 − εk
εk c1
εk c 2
−
−
2εD Γ1 − 1 2εDΓ 2 − 1
⎛
r
2Γ1εk c12 exp ⎜ 2Γ1 w
Rc
⎝
ψ=
4εD Γ12 − 2Γ1 − εk
⎞
⎡
rw ⎤
⎟ 2 ( Γ1 + Γ 2 ) εk c1c 2 exp ⎢( Γ1 + Γ 2 ) ⎥
Rc ⎦
⎠+
⎣
+
2
εD ( Γ1 + Γ 2 ) − ( Γ1 + Γ 2 ) − εk
⎛
r
2Γ 2 εk c 22 exp ⎜ 2Γ 2 w
Rc
⎝
+
2
4εD Γ 2 − 2Γ 2 − εk
⎛ r
εk c 2 exp ⎜ Γ 2 w
⎝ Rc
−
2εD Γ 2 − 1
(F-29)
⎞
⎛ rw
⎟ εk c1 exp ⎜ Γ1
⎠−
⎝ Rc
2εDΓ1 − 1
⎞
⎟
⎠ ⎛ 1 + Γ rw
⎜
1
Rc
⎝
⎞
⎟−
⎠
(F-30)
⎞
⎟
⎠ ⎛ 1 + Γ rw ⎞
⎜
⎟
2
Rc ⎠
⎝
A equação para a aproximação de segunda ordem também é obtida pela
substituição da expansão (F-20) na equação (F-18):
113
εD
d 2C2 dC2
−
− εkC2 + 2εkC1 − 4εkC0C1 = 0
drD 2
drD
(F-31)
A solução para a aproximação de segunda ordem é a seguinte:
C2 ( rD ) = c5 eΓ1rD + c6 eΓ2rD + ( m0 + m1rD ) e2 Γ1rD + ( m2 + m3 rD ) e( Γ1 +Γ2 )rD + ( m4 + m5 rD ) e2 Γ2rD
+ ( m6 + m7 rD ) rD eΓ1rD + ( m8 + m9 rD ) rD eΓ2rD + n1e( 2 Γ1 +Γ2 )rD + n2 e( Γ1 + 2Γ2 )rD
(F-32)
+ n3 e3 Γ1rD + n4 e3 Γ2rD
onde as constantes (mi, i = 0..9) e (nj, j = 1..4) são obtidas a partir da solução da
porção não-homogênea da equação (F-31). As constantes c5 e c6 são obtidas a
partir das condições de contorno:
⎡
⎤
⎡⎛ r
⎞ ⎤
Γ1Ωexp ⎢⎜ w − 1⎟ Γ1 ⎥ − ϕ
⎢
⎥
Ω
⎝ Rc
⎠ ⎦
⎢
⎥
⎣
Γ
−
Γ
−
c5 = − ⎢
exp
(
)
2
1
exp ( Γ1 )
⎛ r ⎞
⎡ r
⎤⎥
⎢ Γ 2exp ⎜ Γ 2 w ⎟ − Γ1exp ⎢ Γ1 w + ( Γ 2 − Γ1 ) ⎥ ⎥
⎢⎣
⎝ Rc ⎠
⎣ Rc
⎦ ⎥⎦
(F-33)
⎡⎛ r
⎞ ⎤
Γ1Ωexp ⎢⎜ w − 1⎟ Γ1 ⎥ − ϕ
⎠ ⎦
⎣⎝ R c
c6 =
⎛ r ⎞
⎡ r
⎤
Γ 2exp ⎜ Γ 2 w ⎟ − Γ1exp ⎢Γ1 w + ( Γ 2 − Γ1 ) ⎥
⎝ Rc ⎠
⎣ Rc
⎦
(F-34)
sendo que as constantes ϕ e Ω são introduzidas para simplificação da solução.
114
Apêndice G - Índice de Produtividade – Poço
O cálculo para variação de pressão entre o contorno e o poço é expresso
através da expressão do gradiente de pressão como obtido a partir da lei de Darcy
modificada (F-4). O intervalo [rw, Re] será dividido região próxima ao poço com
permeabilidade modificada “skin zone” [rw, Rc], e uma zona de permeabilidade não
alterada [Rc, Re]. A queda de pressão é calculada adicionando a expressão do
gradiente de pressão para ambas regiões.
∆p =
Rc
∫
rw
e
∂p
∂p
dr + ∫ − dr
∂r
∂r
Rc
R
−
(G-1)
Substituindo o gradiente de pressão, quarta equação do sistema (F-4) em
(G-1), obtemos a seguinte expressão para queda de pressão entre o poço produtor e
o contorno:
−1 ⎡
MBaSO4
Q ⎛ krw kro ⎞ ⎢ ⎛ Re ⎞
o
∆p =
+
⎜
⎟ ⎢ln ⎜
⎟ + β cBa
2πhk0 ⎝ µw µo ⎠
r
ρBaSO4
⎢⎣ ⎝ w ⎠
⎤
S ( rD ,tD )
drD ⎥
∫
⎥
rD
rw
⎥⎦
Rc
1
(G-2)
A concentração depositada é calculada a partir do sistema (F-8).
1
rw
∫
Rc
1
S ( rD )
C ( rD )Y ( rD )
εk f
drD =
tD ∫
drD
rD
rD 2
2 sw rw
(G-3)
Rc
A expressão final para queda de pressão é dada por:
⎤
−1 ⎡
1
MBaSO4 ε k f
C ( rD )Y ( rD )
Q ⎛ krw k ro ⎞ ⎢ ⎛ Re ⎞
o
∆p =
+
tD ∫
drD ⎥
⎜
⎟ ⎢ln ⎜
⎟ + β cBa
2
⎥
2πhk0 ⎝ µw µo ⎠
r
rD
ρBaSO4 2 sw rw
⎢⎣ ⎝ w ⎠
⎥
Rc
⎦
(G-4)
Quando tD=0 a expressão (G-4) se torna a fórmula de Dupui para o índice de
produtividade:
Q=
2πhk0 ⎛ krw k ro
+
⎜
⎛ Re ⎞ ⎝ µw µo
ln ⎜
⎟
⎝ rw ⎠
⎞
⎟ ∆p
⎠
(G-5)
115
Introduzindo a função impedância adimensional que corresponde ao inverso
do índice de produtividade adimensional
J ( tD ) =
Q 0 ∆p ( tD )
∆p0 Q ( tD )
(G-6)
A expressão para impedância é obtida a partir de (G-4), (G-6):
⎡
⎢
M
εk
IP
f
( tD ) = 1 + ⎢⎢βcBa0 BaSO4
IP
ρBaSO4
⎛R ⎞ s
2ln ⎜ e ⎟ w
⎢
⎢⎣
⎝ rw ⎠
0
⎤
⎥
C ( rD )Y ( rD )
drD ⎥ tD
2
∫
⎥
rD
rw
Rc
⎥
⎥⎦
1
(G-7)
Conseqüentemente, a impedância é uma função linear do tempo.
J ( tD ) = 1 + mtD
m=
o
βεk cBa
f MBaSO4
⎛R ⎞ s ρ
2ln ⎜ e ⎟ w BaSO4
⎝ rw ⎠
1
rw
∫
Rc
C ( rD )Y ( rD )
drD
rD 2
(G-7)
116
Apêndice H - Artigo Publicado em 2005
BEDRIKOVETSKY, P.G.; GLADSTONE, P.M.; MONTEIRO, R.P.; LOPES
JR.; R.P., ROSÁRIO, F.F.; BEZERRA, M.C.: “Caracterização do dano de formação
devido à incrustação de sulfato de bário para previsão da queda de produtividade do
poço,” IBP paper 03904. In: Revista Petro & Química, Brasil, nº 270, p. 91-101, mar
2005.
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
Apêndice I - Artigo Publicado em 2006
BEDRIKOVETSKY, P.G, MONTEIRO, R.P.S., LOPES, JR. R.P., MORAES,
G.P., CARAGEORGOS, T, ROSÁRIO, F.F. AND LIMA, E.A., (2006a). Mathematical
and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling. In: Lakatos, I. (ed.), Mining
and Oilfield Chemistry. Akadémiai Kiadó, Budapest, Hungary.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
129
Mathematical and Laboratory Modeling
of Reservoir Sulphate Scaling
BEDRIKOVETSKY, P. G.1, MONTEIRO, R. P.1, LOPES, Jr. R. P.2, MORAES, G. P.1,
CARAGEORGOS, T.1, ROSÁRIO, F. F.2 and LIMA, E. A3.
1
North Fluminense State University (LENEP/UENF), Brazil
2
PETROBRAS/CENPES AND 3IMPA, BRAZIL
Abstract
The sulphate scaling is a chronicle disaster in waterflood projects with incompatible
injected and formation waters. This is usually due to precipitation of barium/strontium
sulphates from the mixture of both waters. The salt deposition happens in both production
columns and in reservoirs near to wellbore. The salt precipitation in the reservoir near to
producer results in permeability reduction and consequent productivity decline. In the current
paper we study the effect of porous media on the BaSO4 scaling kinetics.
A new methodology for sulphate scaling coreflood tests, allowing for complete
characterization of formation damage system, consists of a sequence of diffusivity tests, of
transient tests with chemical reaction, and of steady state tests on simultaneous injection of
both injected and formation waters. The dispersion coefficient versus flow velocity is found
from the diffusivity tests. Steady state tests allow determination of chemical reaction rate
constant versus velocity and formation damage coefficient. The transient test data as
compared with the mathematical modeling data validates the results of steady state tests
treatment. The test data are treated using semi-analytical and numerical models. Treatment of
laboratory data shows proportionality between the chemical reaction constant and the flow
velocity, which should be accounted for at scaling and damage prediction near to wells.
Introduction
The formation damage in scaled-up production wells caused by incompatibility of
injected and formation waters have long been known. Precipitation of salts in production
columns and in the reservoir near wells results in permeability decline. Among the most
onerous of all scaling species is that of sulphates, particularly barium and strontium sulphates
[1−4]. The chemical reaction rate between incompatible chemical species in injected and
formation waters determines the oilfield scaling intensity in cases where the aqueous solution
is far from equilibrium. The reaction rate in porous media is highly affected by flow velocity
[5]. Therefore, the chemical rate constants inside and outside porous media should be
different.
Nevertheless, presently the chemical rate constants used in mathematical modeling are
obtained in laboratory reactors without porous media [1, 6−8]. In order to obtain the chemical
reaction constant in chemical reactor, usually the solid grains are used during water mixing
for inducing the precipitation centers, but the pore space structure and the relative fluid-rock
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
130
flows are not represented. The mathematical models for flow in porous media accompanied
by chemical reactions and salt precipitation consist of mass balance equations with the
reaction rate sink terms [6, 7, 9−11]. The rate terms should depend on flow velocity and
porous media properties. Nevertheless, the oilfield scaling modeling in the commercial
reservoir simulation software does not account for dependency of chemical reaction constant
on flow velocity [12, 13]. It is important to emphasize that main sulphate scaling takes place
near to production wells (see [1]) where flow velocities are one-two orders of magnitude
higher than that in the reservoir, and neglecting the chemical kinetics velocity dependency
results in significant errors in scaling and formation damage prediction. In order to predict
well behavior during oilfield scaling, the effect of porous media flow on chemical reaction
rate should be studied systematically.
The design and results of sulphate scaling tests have been presented in the literature
[14−17]. Nevertheless, there were no attempts to determine the reaction rate constant and
formation damage coefficient from laboratory tests. The sequence of laboratory coreflood
tests allowing for complete characterization of barium sulphate scaling system was proposed
in some studies [18−20]. This sequence of coreflood tests allowing for determination of the
chemical reaction rate constant, formation damage coefficient and dispersivity from coreflood
tests for various flow conditions includes:
− Displacement of water by traced water at the absence of reaction in order to
determine dispersivity coefficient;
− Displacement of Ba2+-rich formation water by SO42--rich injection water (transient
scaling test);
− Simultaneous injection of Ba2+-rich formation water and SO42--rich injection water
(steady state tests).
The diffusive test allows determining the dispersion coefficient dependency of flow
velocity for a given core. The steady state tests being performed at different velocities
determine the chemical reaction rate constant versus flow velocity. The transient test allows
comparing experimental results with the data of numerical modeling based on the steady state
test data. Two series of steady state tests on simultaneous injection of formation and injection
waters with barium sulphate formation have been performed for different velocities in two
cores. It was shown that the chemical reaction rate constant is proportional to flow velocity.
This paper contains more detailed version of laboratory procedure than that in
references [18−20]. The method for formation damage coefficient determination from
pressure drop dynamics was developed. A new asymptotic solution for steady state flow with
chemical reaction allowing for analytical modeling of quasi steady state tests was derived. We
also discuss an alternative laboratory procedure based on 3-point-pressure method [21] that
simplifies laboratory test measurements. The mathematical model for simultaneous barium
and strontium scaling and corresponding laboratory tests are discussed.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
131
Barium Sulphate Scaling in Porous Media
Salt Deposition in Mixing Zone
We discuss formation damage due to barium sulphate precipitation. Usually seawater
containing SO42− anions is injected in offshore operations. If the formation water contains
Ba2+ cations, mixing of injected and formation waters may cause the BaSO4 deposition (Fig.
1)
Ba 2+ + SO 24− → BaSO 4 ↓
(1)
Due to low solubility of barium sulphate in water, we assume that the chemical reaction (1) is
irreversible.
SO4
2-
Ba2+
BaSO4
Fig. 1a. Precipitation of barium sulphate in the mixing zone
Fig. 1b. In stream tube during displacement of formation water by injection water
in the reservoir
Fig. 1a shows that the chemical reaction takes place in the mixing zone. Salt
precipitation also takes place in the mixing zone only. Movement of the formation water
occurs ahead of the mixing zone, the injected water moves behind the mixing zone. The
mixing zone moves with the carrier water velocity, so the precipitant does not accumulates in
the reservoir. Fig. 1b shows how mixing zone moves from injector to producer during
waterflooding. Barium sulphate precipitation causes permeability decline. Streams of injected
and formation waters intersect near to producers. High flow velocity near to producers
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
132
provides with high dispersivity and intensive mixing. Therefore, precipitant accumulation and
formation damage take place mainly in production well vicinity [1].
Scanning Electron Microscopy
a.
b.
Fig. 2. SEM micrographs of the porous rock taken from the middle of the core
(a) image on the grain scale; (b) zoomed image
a.
b.
Fig. 3. SEM micrographs of the porous rock taken near to the core inlet
(a) image on the grain scale; (b) zoomed image
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
133
The formation of barium sulphate during flow of injection and formation waters in
porous media was observed by scanning electron microscopy (SEM), micrographs show
BaSO4 crystal formation in porous space. Figs. 2 and 3 present SEM micrographs of crosssections taken at the middle of the core and near to inlet, respectively (6.5 cm and 0.7 cm
from the inlet). Pores and other pore space elements are presented in Fig. 2a by black patterns,
grains are given in clearer color, and white crystals represent barium sulphate. Fig. 2b is a
zoom of the pattern highlighted in Fig. 2a. The barium sulphate crystal reference size is about
1−2 mm. The X-ray analysis identified the precipitated crystals to be of barium sulphate. The
amount of precipitant in the inlet cross section is higher than that in the middle of the core
(Fig. 3a, b). The crystal size near to the inlet is also higher 5−6 mm. The grains could be seen
clear in Fig. 3a. In zoomed image (Fig. 3b) one could see the curvilinear grain surface. The
precipitated crystals accompany the grain surface, so they are sticked to the grain surface. The
image analysis shows that barium sulphate precipitation takes place in the overall core and not
in the inlet only.
Mathematical Model for Sulphate Scaling
Basic Equations
The mathematical model for one-dimensional flow of injected and formation water in
porous media includes mass balance equations for barium cations, for sulphate anions and for
precipitated salt (A-1). The salt deposition rate are given by the law of active masses [5]
(another expressions for deposition rate are discussed in Appendix D). The modified Darcy’s
law (A-1) contains the formation damage function, (1+βσ)−1 that describes permeability loss
due to salt deposition. The unknowns in the closed system of four equations (A-1) are three
concentrations and pressure. It is assumed that chemical reaction rate constant, Ka, is
independent of the precipitated salt concentration, σ. The assumption results in separation of
the first and second equations (A-1) from the rest of the system. In dimensionless co-ordinates
(A-3), the system of governing equations takes form (A-4)
⎫
⎧ ∂C ∂C
∂ 2C
− ε k CY ⎪
=
ε
+
⎪⎪
D
⎪
∂T ∂X
∂X 2
⎬
⎨
2
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ Y − ε αCY ⎪
D
k
⎪⎭
⎪⎩ ∂T ∂X
∂X 2
(2)
The system contains two dimensionless constants: the chemical kinetics number, εk, and the
inverse to Peclet number, εD, [10, 22].
For typical velocities in petroleum reservoirs an advective mass flux highly exceeds the
diffusive flux. Therefore, if the particle has already left the core, it would not diffuse back.
The corresponding outlet boundary condition is given by formula (A-8) [22]. The initial
conditions for a reactive transient test (A-5) correspond to sulphate absence and to given
barium concentration in the porous medium before the injection. The inlet boundary
conditions (A-6) correspond to fixed flux of sulphate via the inlet cross-section, and to the
absence of barium flux via the inlet. The assumption of negligible dispersion simplifies the
inlet conditions (A-7). The mathematical model (A-4, 5, 7) describes the transient flow of
formation and injection waters with irreversible chemical reaction. This system has been
solved numerically by finite difference method using Crank-Nicolson linearization [23].
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
134
Table 1. Review of BaSO4 crystal growth rate
Reference
Nielsen, 1959
Nancollas and Liu, 1975
Garder and Nancollas,
1983
Equation
Comments
q = 630 cBa (mµ/s)4
Ka = 6.1 1017
(mol/cm2 s) (cm3/mol)4
Equimolar mixture.
The rate is determined by a surface
adsorption.
2
q = KaAs(cBa− c eq
Ba )
Equimolar mixture.
Precipitation is induced by
solid seeds.
−1
KaAs: 150−1480 (M min)
As: 0.138−0.430 (m2 L−1)
2
q = KaAs(cBa− c eq
Ba )
Provides the seed
concentration instead of
reaction area.
4
Ka (150 °C): 6.33 10
(L2 Mol−1 min−1 m−2)
2
Goulding, 1987
Steefel and Cappelen,
1990
Wat, Sorbie, et al.,1992
⎛⎛ a a
⎜ Ba SO 4
q = K a As ⎜⎜
⎜ ⎜⎝ K sp
⎝
m, n > 0
m
⎞
⎞
⎟ − 1⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
2
As (cBa− c eq
Ba )
Stumm, 1992
⎛⎛ a a
⎜ Ba SO 4
q = Ka ⎜⎜
⎜ ⎜⎝ K sp
⎝
1/ 2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ a Ba a SO 4
q = K a As ⎜
⎜ K
sp
⎝
q = ((2.5±0.5)10-7)
( c Ba cSO
4
− K sp
⎞
⎟
− 1⎟
⎟
⎠
List values for m and n for
some minerals.
Equimolar mixture.
Ka=1.26 102 (M min)−1
q = (126±65)
Aoun et al., 1998
n
2
q = Ka(cBa− c eq
Ba )
Christy and Putnis, 1992
Bethke, 1996
Affirms almost
instantaneous
heterogeneous nucleation in a
reservoir environment.
⎛c
⎞
q = K a A s ⎜ Ba − 1⎟
⎜ c eq
⎟
⎝ Ba ⎠
KaAs ∼ 1.6 106 (M s)−1
2
⎞
⎟
⎟
⎠
)2.1±0.1
Equimolar mixture.
The higher the concentrations
are the higher is the chemical
reaction order.
General equation for the rate
is presented. The exponent
value used is two.
The surface area is taken off
the brackets. For low
concentrated solutions, the
formula tends to active
masses law
Equimolar mixture.
simultaneous measurements
of nucleation and crystal
growth.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
Araque-Martinez and
Lake, 1999
Azaroual et al., 2001
(
q = K a A s a Ba a SO − K sp
4
)
⎞
⎛ a Ba a SO 4
q = K a As ⎜
−1⎟ ,
⎟
⎜ αK
sp
⎠
⎝
-11
α: crit. sat. coef., Ka: 10 −10-10
mol
(600−3700 m)
sKg H O
135
Different surface areas for
dissolution and precipitation
are considered.
The area coefficient As is the
total area multiplied by its
reactive fraction.
2
Rocha et al., 2001
⎛
⎞ ⎞ The precipitation area As was
⎛ a Ba a SO 4
q = 5.310 −6 exp⎜ 0.011⎜
− 1⎟ ⎟ obtained by experimental data
⎜
⎟⎟
⎜ K
sp
⎝
⎠ ⎠ adjustment, and is included in
⎝
the rate expression.
Chemical Reaction Rate Expressions
Different mathematical expressions for chemical reaction rate of BaSO4 formation are
presented in the literature [24−30] (Table 1). The expression for chemical reaction rate used in
(A-1) is the law of active masses [5] that is valid for low reagent concentrations. It assumes
that the salt precipitation is irreversible, i.e. BaSO4 is not solvable in brine. Accounting for
BaSO4 dissolution in water results in the following expression for reaction rate (so called
transition state theory) [24, 25] (Table 1):
⎛ γ 2 c Ba c SO
⎞
4
− 1⎟⎟
q = K a ⎜⎜
K sp
⎜
⎟
⎝
⎠
(3)
where γ is the mean activity coefficient for Ba and SO4 ions, Ksp, is the solubility product
constant for BaSO4. The activity coefficient is assumed to be constant where the solution
ionic strength does not significantly vary during the flow and its composition is kept far from
equilibrium. Another modification of the expression for the reaction rate was proposed in
[26]:
(
)
q = K a c Ba c SO 2
4
(4)
The exponential shape for the chemical reaction rate has been proposed in [7]:
⎞⎞
⎛ ⎛ γ 2 c Ba c SO
4
q = K a exp⎜⎜ A⎜⎜
-1⎟⎟ ⎟⎟
K sp
⎟⎟
⎜ ⎜
⎠⎠
⎝ ⎝
(5)
Further in the current paper, the experimental data are treated by the model (A-4) with the
active mass reaction rate, and also using another expressions for chemical kinetics (3−5).
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
136
Methodology of Laboratory Study
The objective of the laboratory study is characterization of sulphate scaling formation
damage system. The characterization includes determination of reaction kinetics and
formation damage coefficients from the laboratory tests for further application in reservoir
modeling in order to predict scaled-up production well behavior.
Laboratory Set-up
∆P
C
2+
Ba
U
q
2-
SO4
CBa2+
X
BaSO 4
Fig. 4. Photo of the core and schema of quasy steady state test
Basic experimental set-up: inlet valves, core holder and collector
Pump
Diffusor: face B
Fig. 5. Experimental set-up photos
Diffusor: face A
137
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
FW
Ba2+
2
Confinement pressure
manometer
A
e
c
a
f
r
o
s
u
ff
iD
Pressure
Transducers
SW
SO42-
CORE
B
-e
c
a
f
ro
s
u
f
ifD
Automatic
collector
Core Holder
-
Fig. 6. Experimental set-up schema
∆p
C 0Ba
C Ba
0
C Sr
C Sr
0
C SO
C SO
4
4
∆p1
Fig. 7. Schema for advanced coreflood with steady state flow of injected and formation waters
The experimental set-up (Petrobras, Cenpes) consists on core holder with confinement
system, two pumps and pressure transducer. The core holder has two independent entrance
tubes allowing for simultaneous injection of two different reagents. The photo of the core with
the schema for simultaneous injection of two waters and for measurements of the barium
outlet concentration is shown in Fig. 4. Fig. 5 gives the photos of the set-up and its elements.
Fig. 6 shows the schema of the set-up. The schema of full set measurements is presented in
Fig. 7. The study has been carried out for scaling conditions in field Namorado (Brazil). The
formation and seawater compositions can be found in [27].
The formation and seawater compositions as simulated in the current tests are presented
in Table 2. The tests have been carried out for two cores taken from outcrop Rio Bonito
(Brazil) (Table 3). The analogous set-up was mounted in Lenep-UENF [31]. The set-up
schema and legend are shown in Fig. 8. Here 1 is a reservoir for fluids, 2 is a constant flow
pump, 3 are valves, 4 are peek lines, 5 are differential pressure transducers, 6 is a vacuum
pump, 7 is a core holder, 8 is oven, 9 is sampler, 10 is PC with data acquisition software in
order to monitor the whole flowing system. The particle counter 11 is included into set-up in
order to control production of solid barium sulphate particles and account for fine migration
during the sulphate scaling. The oven allows conducting tests at different temperatures and
determine the reservoir temperature effects on the scaling kinetics.
138
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
Fig. 8. Laboratory set-up for sulphate scaling study with oven and particle counter
Table 2. Synthetic brines compositions
Concentration (mg/l)
Solution
Ba2+
Na+
Mg2+
SO42−
Cl−
Formation water
229
38249
−
−
59098
Sea water (Precipitation)
−
15169
−
2834
21299
Sea water (Diffusion)
−
11501
1391
−
21790
Table 3. Samples petrophysical properties
1
2
174
667
φ (%)
20.08
21.16
L (cm)
10.29
12.81
d (cm)
3.67
3.78
21.86
29.58
Sample
k (mD)
PV (ml)
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
139
Sequence of Tests for Characterization of Sulphate Scaling Damage System
The flood sequence allowing for determination of kinetics rate constant from the tests is
as following:
1. Diffusion tests
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Filling of core by simulated formation water;
Injection of simulated seawater without SO42− anions at some velocity;
Injection of simulated formation water at another velocity;
Further alternate injections of simulated formation and seawaters at different
velocity.
2. Transient tests
2.1. Filling of core by simulated formation water;
2.2. Injection of simulated seawater.
3. Steady state flows
3.1. Simultaneous injection of formation and seawaters at some velocity;
3.2. Further simultaneous injections of formation and seawaters at different
velocities.
Diffusivity tests
The diffusivity test goal is determination of dispersivity coefficient versus flow
velocity. Taking off the sulphate anions from the injected water allows avoiding chemical
reaction during alternate injections 1.2−1.4. in diffusivity tests. Three pore volumes were
injected during each diffusion test in order to guarantee the total displacement. Inert tracers
(barium and magnesium) outlet concentrations were measured.
Steady state tests
The steady state test goal is determination of dependency “chemical reaction rate
constant versus velocity”. Simultaneous injection of sea and formation waters has been
carried out in steady state tests. The barium outlet concentration was measured. The outlet
concentration tended to the steady state value during the injection. Ten pore volumes have
been injected during each steady state test (3.1.−3.2.) in order to guarantee the steady state
flow and reaction conditions. The steady state concentration value was used for the data
treatment and calculation of Ka(U). Therefore, the steady state tests have been performed for
different flow velocities.
Transient precipitation tests
Transient precipitation tests were performed in order to verify the model in general, and
specifically the dependency “chemical reaction rate constant versus velocity” as obtained in
steady state tests. The displacement of formation water by seawater has been performed until
the total sweep of the core. Afterwards, the core has been washed up and filled by the
formation water again. Second seawater injection has been carried out at different velocity.
Barium concentration at the core outlet was measured. During each transient test, three pore
volumes have been injected (2.1.−2.2.). The verification of the model developed has been
performed by comparison between laboratory test data and simulation results.
Results of Laboratory Tests
140
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
The pressure buildup on the core has not been measured in the current laboratory study
due to small core sizes and short flooding durations. The kinetics number was calculated from
breakthrough barium concentration during steady state tests (so called first inverse problem).
Diffusivity Test Results
Diffusivity tests have been carried out without sulphate ions in order to avoid chemical
reaction with barium. So, barium served as a tracer. Also, magnesium has been added in the
simulated seawater, so magnesium served as the second tracer. Ten alternate injections were
carried out at velocities varying from 7.88 10−7 to 1.58 10−5 m/s. We adopt the linear shape of
dispersivity coefficient versus flow velocity [1, 22]:
D = αDU .
(6)
Here αD is a linear size of the core micro heterogeneity. In this case, the dimensionless
dispersion, εD, is velocity independent, εD = αD/L, so the diffusion-advection equation (B-1)
in dimensionless co-ordinates is independent of U, see (B-3, 5). It allows plotting the inlet
concentrations as obtained at different flow velocities on the same (T, C) plane. Fig. 9a, b
shows that the “outlet concentration versus dimensionless time” plots as obtained from tests
with different velocities, fit the same curve. The exact solution for advective-diffusive
problem (Appendix B) has been used for determination of dispersion coefficient D.
c 1
0.5
0
0
0.5
0
0.5
1
1.5
1
1.5
a.
PVI
2
c 1
0.5
0
b.
2
1.1.1
Fig. 9. Dimensionless concentrations for Ba2+ and Mg2+ in increasing (a)
and decreasing (b) breakthrough profiles
(cexp: xxx, cadj: ---)
ln(D) ln(U)
141
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
-14
ln(D)
-15
-16
-17
-18
-19
ln(U)
-20
-15
Fig. 10. Diffusion coefficient vs. velocity for two cores
-11
-13
[Sample 1: ◊ (lnD = 1.0859 lnU−3.8995, R2 = 0.875)
Sample 2: □ (lnD = 0.8689 lnU−6.3264, R2 = 0.9933)]
-9
The results are presented in Fig. 10 for two different cores that have been used further in
the tests with chemical reactions. The linear dependence, D(U) = αDU, approximates the
experimental data with high accuracy. The αD values found for two cores are 0.018 m and
0.011 m, which is quite reasonable for 0.1 m long cores. In tests performed, the formation
water contained barium ions, and magnesium ions were presented in the injected water. So,
for the same test, if the outlet barium concentration decreased, the outlet magnesium
concentrations increased, and vice versa (Fig. 9). The dispersion in porous media (6) highly
exceeds the molecular diffusion [22], so the dispersion coefficients as obtained from flow in
porous media tests should be the same for different components. The diffusive coefficient
values as obtained by formulae (B-3, 5) from Ba and Mg concentrations are almost the same.
It validates the results of diffusivity tests. It also allows recommending magnesium to be used
as a tracer.
Reaction Rate Constant for Different Velocities
Numerical procedure
The system of governing equations (A-4) can be reduced to a single second order
ordinary differential equation (C-10) for steady state flows. The boundary conditions for the
second order ODE correspond to given reagent concentrations at core inlet (C-3) and to the
dispersion absence at the core outlet (A-8). The boundary problem (C-3), (A-8) was solved by
Runge-Kutta method with iteration of the lacking boundary condition either at X = 0 or at
X = 1. The numerical solution coincides with first order asymptotic solution obtained in
Appendix F for full range of variation of parameters εk and εD. Usually, the adjustment of a
constant of the model by experimental data is performed by iteration of this constant until
reaching the equality between the modeled and laboratory data. A numerical solution of
boundary problem for ordinary differential equation also requires iterations. Here we take
advantage of the lack of the second boundary condition at X = 1 in the boundary value
problem (A-8), (C-3) and use the same iterative procedure for adjustment of the coefficient εk
and for solution of the boundary problem for equation (C-10).
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
142
The objective of the study was the determination of the kinetics parameter, εk, from the
barium outlet steady state concentration C(X = 1). So, the value C(X = 1) as obtained in
laboratory coreflood, was taken as a second boundary condition at X = 1. The solution C(X)
was found by fourth order Runge-Kutta method. The constant εk was found by the iterative
adjustment of the dimensionless inlet concentration C(X = 0) = 1. Using the asymptotic
solution of the boundary value problem (A-8), (C-3) (Appendix F) allows substitution of the
iterative numerical procedure by solution of one transcendental equation (F-11), where C(1) is
a given measured value, and εk is unknown. Using extra terms (F-4, 5) in the asymptotic
expansion increases the accuracy of εk determination.
Reaction rate constant data
Tables 4, 5 present the outlet concentrations for two cores as obtained experimentally
for different velocities. It allows calculating the chemical reaction rate constant, Ka, as a
function of flow velocity for these cores. Fig. 11a, 12a show the chemical reaction rate
constant, Ka, versus velocity for two cores. A straight line adjusts the experimental points:
Ka = λ U .
(7)
Values of λ for two cores are 3003 and 3951 (M m)−1 (Fig. 11a, 12a). Let us determine the
velocity dependence of a rate constant for another reaction rate expressions (3), (4) and (5).
Table 4. Steady state tests outlet concentrations for sample 1
Sample 1
Seq.
1.1
1.2
1.3
U (m/s)
-5
1.58 10
-5
3.15 10
-6
1.58 10
Ka x U q = KacBacSO4
PVI
CBa (mg/l)
2.82
9.36
3.18
7.19
3.37
9.62
cBa med
8.72
1.77
8.72
2.87
8.69
3.96
7.85
cBa med
8.42
1.23
5.81
1.92
5.42
2.60
5.52
cBa med
5.58
Ka x U q = Ka(cBacSO4)2
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
a.
Ka x U q = Ka(aBaaSO4/Ksp-1)
b.
Ka x U q = Kaexp(A(aBaaSO4/Ksp-1))
c.
d.
Fig. 11. Ka vs. U for different rates expressions
Sample 1
Ka x U q = KacBacSO4
143
Ka x U q = Ka(cBacSO4)2
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
a.
Ka x U q = Ka(aBaaSO4/Ksp-1)
144
b.
Ka x U q = Kaexp(A(aBaaSO4/Ksp-1))
c.
d.
Fig. 12. Ka vs. U for different rates expressions
Sample 2
The systems of governing equations for different forms of rate (3), (4) and (5) for steady
state flows are given in Appendix D. The iterative numerical procedure for determination of
rate constants, Ka, for different rate forms is the same as that applied to the system (C-2). Fig.
11b, c and d shows the dependency of Ka(U) for three shapes of chemical reaction rates (3),
(4) and (5) for the first core. Fig. 12b, c and d show the second core data. Except for the Fig.
12b, the dependencies can be also adjusted by straight lines (7). Substitution of the expression
for chemical reaction rate constant (7) into formula for kinetic constant, εk, (A-3) shows that
the system of governing equations in dimensionless co-ordinates (A-4) is independent of flow
velocity.
It allows treating transient test data on a core outlet C(X = 1, T), as obtained from
different velocity tests, on the same plane (T, C). The outlet concentrations as obtained from
different velocity tests should fit the same curve C(X = 1, T). Fig. 13 confirms this
conclusion. The dependency of chemical reaction rate constant on velocity shows that the
reaction rate should depend on the flow in porous media. The chemical reaction rate constant
as obtained from chemical reactor test does not satisfy this condition [28]. So, Ka data should
be obtained from the coreflood data rather than from the chemical reactors without porous
media. The dependency of chemical reaction rate constant on flow velocity must be used in
reservoir simulators.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
145
Verification of the Model by Transient Tests
Transient tests have been carried out for the second core at two different velocities (3
10 m/s and 8.9 10−5 m/s). The rate constant, Ka, has been calculated for these two velocity
values by formulae (7). The heterogeneity scale for the second core is αD = 0.0108 m, the
reaction kinetics coefficient, λ = 3951 (M m)-1. The Ka values as calculated for two velocities
have been used in the model (2) for laboratory transient test simulation. The system (2) has
been solved numerically by finite difference method using Crank-Nicolson linearisation [23].
The barium concentrations at the outlet as obtained by modeling and from laboratory tests
have been compared.
−5
As it was mentioned above, the dimensionless system (2) is independent ot flow
velocity in case of linear dependency “Ka vs. velocity”, (7). So, outlet barium concentrations
C(X = 1, T) were plotted at the same (C,T) plane for two tests with different velocities. The
results are shown in Fig. 13 a, b. The square and triangle points correspond to outlet
concentrations as obtained during two corefloods with two above-mentioned velocities. The
laboratory data are adjusted by the model (2) with reaction rate given by the law of active
masses (Fig. 13a). The adjustment by the model with the expression (4) for chemical reaction
rate is shown in Fig. 13b. The experimental points C(X = 1, T) from two different velocity
tests are located on the same curve. This observation agrees with the fact that the system (2) is
independent of flow velocity. It validates the model developed. Nevertheless, the simulated
curves do not agree very well with experimental data in both cases of the chemical rate shape.
The simulated concentration wave lags behind the experimentally measured wave in both
cases. Let us explain the difference between the modeling and experimental data.
The difference between the equilibrium and non-equilibrium states during chemical
reaction with precipitation is given by saturation index [25]. In the barium sulphate case, the
saturation index equals
γ 2 c Ba c SO
4
SI =
.
(8)
K sp
In the case of SI = 1, barium sulphate precipitation is equilibrated by its dissolution in water.
Precipitation dominates for SI > 1. The saturation index (SI) of the aqueous solution of Ba2+
and SO42− at the core outlet as obtained from modeling data is shown in Fig. 13a, b. The SI
reaches maximum value, 84, for the case of an active mass law (Fig. 13a). The SI maximum
for the fourth order chemical reaction is 52 (Fig. 13b).
Table 5. Steady state tests outlet concentrations for sample 2
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
146
Sample 2
Seq.
2.1.
U (m/s)
−6
2.97 10
2.97 10−5
2.2.
2.3.
8.91 10−5
2.4.
1.49 10−4
2.5.
1.49 10−6
PVI
CBa (mg/l)
2.09
4.93
5.87
cBa med
1.95
2.42
3.83
4.76
5.70
cBa med
2.49
2.96
3.90
cBa med
2.29
2.76
4.17
5.11
cBa med
1.89
2.22
2.55
3.21
3.88
5.20
cBa med
0.30
0.29
0.29
0.29
2.08
1.58
1.64
2.34
1.81
1.89
3.05
1.94
2.41
2.47
0.86
0.64
0.63
0.77
0.72
0.38
0.40
0.45
0.38
0.40
0.50
0.42
Both values highly exceed unity. Fig. 13 shows that SI > 1 during almost all the period
of mixture production. Therefore, barium sulphate precipitates after passing the core, in the
tubes that connect core outlet with the automatic sample collector. So, the barium
concentration at the core outlet, which is the region modeled, is higher than the one measured
from the samples collected during the tests performed. Another phenomenon that has not been
accounted for in the model (A-2) and can explain the lack of agreement between the modeling
and transient test data is different ionic strength of injected and formation waters. Mixing of
injected and formation brines in steady state tests provides with εk that corresponds to the
mean ionic strength of the flowing aqueous solution, while in transient tests the ionic strength
varies from that of displaced liquid to that of injected brine.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
147
a.
b.
Fig. 13. Transient precipitation results for second order (a.) and fourth order (b.) reactions
Propagation of Chemical Reaction and Diffusion Waves
Let us discuss concentration profiles for inert tracers and for reagents. Fig. 14 presents
concentration profiles for barium and for sulphate with and without chemical reaction for T =
0.25 PVI (Fig. 14a) and for T = 0.50 PVI (Fig. 14b). Dotted lines correspond to inert tracer
concentrations; continuous lines are modeling results using system (2). Chemical reaction
results in decrease of reagent concentrations if compared with the advection-diffusive tracer
flow. The injected inert tracer arrives to the core outlet with small delay comparing with the
sulphate arrival. The difference between the barium and displaced inert tracer concentrations
is higher than that between the sulphate and injected tracer. This is due to excess of sulphate
from seawater over the barium from formation water that took place during laboratory tests
performed. Fig. 14 shows that decrease of Ba2+ concentration at the core outlet happens
before the inert tracer concentration decrease. This fact could be used for interpretation of the
produced water chemical analysis data in scaled-up wells.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
148
a.
b.
Fig. 14. Concentration and saturation index profiles along the core
a: T = 0.25 PVI; b: T = 0.50 PVI
The chemical reaction takes place inside the tracer mixture zone formed by dispersion.
Reagent concentrations outside this zone equal either zero or unity. The chemical reaction rate
is proportional to the concentration product (SI) for the case of active masses law. The plot of
this product is shown in Fig. 14 by continuous line for reagents and by dotted line for tracers.
The position of the product maximum characterises the centre of chemical reaction zone for
reagents, and the centre of diffusive mixture zone for tracers. Fig. 14 shows that the diffusion
wave centre lags behind the chemical reaction wave centre. Comparison between the product
curves at T = 0.25 PVI and T = 0.50 PVI shows that the distance between two peaks increases
with time. The tracer flow could be considered as a particular case of the reaction-diffusion
flow (2) with infinitely slow reaction, εk → 0. The higher is the dimensionless chemical
149
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
reaction rate constant, εk, the higher is the ratio between velocities of the reaction wave centre
and that of the diffusive wave centre.
Determination of Kinetic Coefficient from Another Laboratory Studies
Simultaneous injection of formation and seawaters has been performed in works [16,
17]. The coreflood tests in these works have been performed using simple brine compositions,
and full-component field waters. The formation water contains both barium and strontium.
The ion effluent concentration was measured during the test. Pressure drop on the core and
effluent barium and strontium concentrations have been measured during the flood.
Dispersion coefficient has not been measured in the above-mentioned tests [17]. Let us
analyse how the obtained kinetics numbers depend on unknown rock dispersivity.
Determination of kinetics number from outlet barium concentration during quasi steady state
tests was performed using both numerical and asymptotic solutions as described before.
Fig. 15 presents dependency of kinetics number, εk, as determined from an outlet
concentration in steady state test, on dispersion number, εD. Fig. 15a shows the dependency of
dimensionless kinetics number on εD. Dependency of dimensional kinetic coefficient on λ is
given in Fig. 15b. Four curves correspond to different tests as presented in the work [17].
Variation of εD from 0.005 to 1.0 results in 300% of εk variation (conditions of test BSS0). So,
dispersivity coefficient must be determined during sulphate scaling corefloods. The values of
dispersivity coefficient obtained for two cores were αD = 0.018 m and 0.011 m [18, 19].
Otherwise, the kinetics coefficient cannot be determined from steady state test on
simultaneous injection of formation and sea- waters.
Table 6. Effect of dispersion coefficient on chemical kinetics and
formation damage coefficients as obtained from coreflood tests
Brine
αD = 0.005 m
αD = 0.01 m
αD = 0.03 m
λ (M m)−1
β
λ (M m)−1
β
λ (M m)−1
β
BSS0
23720
78.90
26100
70.62
42200
45.62
BSS1
5540
42.98
6235
38.77
9310
26.81
BSS2
1533
73.25
1760
65.00
2760
43.05
WATER 1
922
96.37
1043
86.65
1578
59.34
As it was mentioned before, solutions of both barium and strontium were used in
corefloods. Nevertheless, for simplification, in the current study we aggregate both barium
and strontium in one single component. As it is known from the literature, kinetics of barium
sulphate formation is several times more intensive than that for strontium. So, the resulting
kinetics coefficient data should represent some average value. The results of the treatment of
four test data are presented in Table 6.
150
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
7
BSS0
6
5
BSS2
εk
4
3
Water 1
2
BSS1
1
0
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
εD
a. Kinetics number vs. diffusion number
80000
70000
BSS0
λ(M m)−1
60000
50000
40000
30000
20000
10000
BSS1
BSS2
Water 1
0
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
εD
b. Kinetics coefficient vs. diffusion number
Fig. 15. Effect of dispersivity coefficient on the reaction kinetics coefficient
As it was mentioned before, the kinetic coefficient is strongly dispersivity-dependent,
and it was impossible to calculate the kinetic coefficient without knowing the dispersivity
coefficient. The calculated values for kinetic coefficient are presented in Table 6 for three
values αD = 0.005, 0.01 and 0.03 m. The larger is the dispersivity the larger is the kinetic
coefficient. The kinetics coefficient varies in the range 922 − 42200 (M m)−1. Two values of
the kinetics coefficient as obtained in the work [18] are 3951 and 3003 (M m)−1. These two
values were determined together with the dispersivity coefficient and, therefore, are
considered to be more reliable. These two values lay in the data interval of Table 6.
In the work [16], simultaneous injection of formation and seawaters has been carried
out. The sandpack with permeability k = 30 mD and porosity φ = 0.37, was flooded
simultaneously by seawater with sulphate concentration cSO40 = 3.1 10−2 M and by formation
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
151
water with barium concentration cBa0 = 1.8 10−3 M. Barium concentration has been measured
at the core effluent. The barium concentration reached at the steady state cBa (X = 1) = 2.55
10-5 M after 1 PVI. The dispersivity has not been measured; so we fixed three values for
dispersivity coefficient that are typical for high permeability homogeneous sandpacks: αD =
0.005, 0.01 and 0.03 m. The kinetic coefficient values for the above mentioned values for
dispersivity are λ = 798, 833 and 963 (M m)−1 respectively. The values for kinetic coefficient
obtained have the same order of magnitude as the ones obtained in the previous section.
Determination of Formation Damage Coefficient from Steady State Tests
If the kinetics coefficient is known, the impedance growth allows determining the
formation damage coefficient. It is called the second inverse problem for characterization of a
sulphate scaling system. From (E-7) follows the expression for formation damage coefficient.
The right hand side of (E-7) depends on the kinetic number that was obtained from the outlet
concentration data. The integral is calculated numerically together with solution of the
problem (C-3), (A-8), (C-10). The kinetics number is calculated by (A-3) using the previously
obtained kinetics coefficient, λ. The data are presented in Table 6. The obtained values of
formation damage coefficient vary in the interval 26.8–96.3. Dispersivity does affect the
formation damage coefficient as much as it affects the reaction kinetics constant.
Simultaneous Sulphate Scaling of Barium and Strontium
Usually formation waters contain significant amount of strontium that, like barium,
forms the sulphate salt after being mixed with seawater. Formation waters used in majority of
laboratory tests contain both barium and strontium cations. The system of governing
equations for simultaneous barium and strontium sulphate scaling consists of three mass
balances for barium, strontium and sulphate ions, of mass balance for two precipitated salts
and of modified Darcy’s law accounting for permeability reduction. Assuming that
permeability reduction depends on the total concentration of deposited salts, we lump mass
balances of two precipitated salts into one equation. Finally, the system of five equations (G1) determines five unknowns: cBa, cSr, cSO4, σ and p.
As in the case of one cation system (A-1), three mass balance equations for ions
separate from the rest of the system. Using dimensionless variables and assuming that
chemical rate constant is proportional to velocity for each cation, we obtain
⎧ ∂C1 ∂C1
⎫
∂ 2 C1
+
=
ε
− ε k1C1Y
⎪
⎪
D
∂X 2
⎪ ∂T ∂X
⎪
2C
⎪ ∂C
⎪
C
∂
∂
⎪ 2
⎪
2
2
+
= εD
− ε k2C2 Y
⎨
⎬.
2
∂X
∂X
⎪ ∂T
⎪
2
⎪ ∂Y ∂Y
⎪
∂ Y
+
= εD
− ε k1C1Y − ε k 2 α 2 C 2 Y ⎪
⎪
∂X 2
⎪⎩ ∂T ∂X
⎪⎭
(9)
Fig. 7 shows the schema for quasi steady state test on simultaneous sulphate scaling of
barium and strontium. After stabilization of effluent barium and strontium concentrations, in
situ concentrations of both cations are time independent. The corresponding system of three
ordinary differential equations is obtained from (9) by canceling all time derivatives. Usually
sulphate concentration in seawater highly exceeds both cation concentrations in formation
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
152
water, so α1, α2<<1, and the analytical model for steady state sulphate scaling of barium and
strontium can be obtained by asymptotic method of the solution of system of three ordinary
differential equations.
Characterization of Sulphate Scaling Damage System from Laboratory Measurements
Inverse Problems
Before show the following procedure of characterization of the barium sulphate scaling
formation damage system: the dispersion coefficient, αD, is determined from the tracer test;
the chemical kinetics coefficient, λ, is calculated from the outlet barium concentration; the
formation damage coefficient, β, is determined from the pressure drop history. The above
procedure follows the physical meaning of the determined system parameters: dispersion and
chemical kinetic coefficients are kinematics parameters related to population balance, and
they are determined from the tracer and ion concentrations; the formation damage coefficient
is a dynamic factor related to additional hydraulic resistivity due to salt deposition, and it is
calculated from the increment of the pressure gradient. The inverse problems are well posed:
the higher is the reaction kinetics constant, the larger is the difference between the outlet and
effluent concentrations; the larger is the formation damage coefficient, the higher is the
pressure drop on the core. Let us show how additional measurements can either simplify the
laboratory procedure or lead to more complete scaling damage model characterization.
3-Point-pressure-method
Usually pressure measurements are relatively precise and cheap while concentration
measurements are more cumbersome and costly. Measurements of pressure in the core
intermediate point (Fig. 7) can substitute the outlet particle concentration measurements for
deep bed filtration of suspensions in porous media [21]. The same technique can be applied
for quasi steady state coreflood tests with injected and formation waters, both chemical
kinetics coefficient, λ, and formation damage coefficient, β, can be calculated from two
pressure drops: pressure drop on the overall core, and pressure drop between the core inlet
and core intermediate point. The solution of this inverse problem is unique and is stable with
regards to small perturbation of measurement values.
Measurements of sulphate outlet concentration
The proposed model (A-1) assumes that stochiometric coefficients of chemical reaction
between ions of Ba2+ and SO42- both equal unity. Nevertheless, several cases of non-firstorder BaSO4 chemical reaction have been reported in the literature [26, 29]. So, the equation
for chemical reaction kinetics becomes
(
)
q = λU c Ba c SO n
4
(10)
and the order, n, along with coefficient λ can be calculated from two outlet concentrations
from that of barium and of sulphate (Fig. 7).
The model also assumes that the chemical rate coefficient, Ka, is independent of the
deposited concentration. Nevertheless, it was found out that the barium sulphate crystals grow
from the pore surface [26], and the surface changes with deposition. Therefore, the chemical
rate coefficient, Ka, should depend on deposited concentration. Actually, development of the
surface between solid deposit and carrier solution accelerates deposition. Introduction of oneparametric deposition-dependent factor like λ(σ) = λ(0)exp(aσ) or λ(σ) = λ(0)(1+aσ) allows to
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
153
account for the deposition effect on the chemical kinetics and permits to determine the
coefficient together with the initial chemical kinetics coefficient, λ(0), from two outlet
concentrations from that of barium and of sulphate.
Measurements of barium and strontium outlet concentrations
The model for flow of solution of cations of Ba2+, Sr2+ and anion SO42- contains two
chemical kinetics coefficients λBa and λSr of reactions between Ba2+ and SO42- and Sr2+ and
SO42-, respectively. Both coefficients λBa and λSr can be calculated from the outlet barium and
strontium concentrations (Fig. 7).
Table 7. Chemical kinetics and formation damage coefficients
as obtained from different corefloods tests
Coreflood tests
Lopes Jr., 2002
Todd et al., 1992
Water 1
BSS0
BSS1
BSS2
Wat et al., 1992
Kinetics coefficient (λ)
1/M m
3951–3003
Formation damage
coefficient (β)
922–1578
23720–42200
5540–9310
1533 –2760
798–963
60–96
45–79
27–43
43–73
-
Summary
Finally, we formulate the mathematical procedure for sulphate scaling: dispersivity
coefficient, αD, is determined from tracer diffusion tests using explicit formulae (B-3, 5);
kinetic number, εk, is calculated from breakthrough barium concentration using the first
inverse problem solver based either on numerical iterative procedure for boundary value
problem (A-8), (C-3) or on asymptotic analytical model (F-11); formation damage coefficient,
β, is calculated from pressure buildup data using formula (E-7) (second inverse problem). The
final data for scaling damage parameters – for reaction kinetics constant, λ, and for formation
damage coefficient, β − are presented in Table 7. The formation damage coefficient varies in
interval 27−96 that is in agreement with the range for β as obtained from injectivity
impairment by particle suspensions [32]. Large variation of the reaction kinetics constant, λ,
in tests performed by A. Todd (lines 2-5) can be explained by unknown dispersion coefficient
resulting in uncertainty of reaction kinetics constant calculations. Nevertheless, the range of λ
variation is much lower than that of Ka.
Conclusions
Coreflood tests with injected and formation waters and the data treatment by
mathematical models allow making the following conclusions:
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
154
1.
A new coreflood scaling methodology for laboratory determination of kinetic
rate constant and formation damage coefficient includes three test series: dispersion
reaction-free tests, transient test with chemical reaction and steady state tests with
chemical reaction. The tests must be performed at different flow velocities.
2.
The kinetic rate constant for barium sulphate scaling is proportional to flow
velocity within the studied range of velocities.
3.
The dimensionless one-dimensional system of governing equations is
independent of flow velocity. So, the outlet concentrations as obtained in different
velocity tests must fit the same breakthrough curve. It was observed in the transient tests
performed.
4.
The lack of agreement between the modeling and transient test data is
explained by possible precipitation in the set-up tubing that was not controlled during
the tests, and also by varying brine ionic strength during the displacement.
5.
The chemical reaction wave propagates in porous media faster than the centre
of the diffusive mixture zone.
6.
The values of kinetic rate constant and formation damage coefficient as
obtained from laboratory tests significantly depend on dispersivity. So, it is important to
include diffusivity tests in the sequence of coreflood for complete characterization of
sulphate scaling formation damage system.
Symbols
c
C
Y
D
k
β
Ka
Ksp
L
M
p
q
t
T
U
x
X
molar concentration in aqueous solution, M
dimensionless Ba concentration
dimensionless SO4 concentration
dispersion coefficient, m/s2
initial permeability, D
formation damage coefficient
reaction rate coefficient, (M s)−1 (2nd order reaction)
solubility product number, M2
core length, m
molar unit for concentration equals gmol/L (equals kgmol/m3)
pressure, Pa
chemical reaction rate, M/s
time, s
dimensionless time
flow velocity, m/s
linear co-ordinate, m
dimensionless linear co-ordinate
Greek letters
α
αD
εD
εk
φ
ratio between the initial concentrations of Ba and SO4 in formation and injected
waters
dispersivity coefficient, m
dimensionless diffusive number
dimensionless chemical kinetics number
porosity
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
ρ
γ
λ
µ
σ
155
density, (g/m3)
mean ionic activity coefficient
reaction kinetics coefficient, (M m)−1
viscosity, Pas
molar concentration of solid deposit, M
Subscripts
Ba, SO4 ions
BaSO4 Barium Sulphate
Superscript
0
concentrations in injected fluid
Appendix A
Governing Equations for BaSO4 Scaling in Porous Media
The system of governing equations for one-dimensional flow of aqueous solution of
barium and sulphate ions with precipitation of the barium sulphate consists of mass balance
equations for barium cations, for sulphate anions, for barium sulphate and of the modified
Darcy’s law accounting for permeability reduction due to salt deposition [7, 8, 19]:
φ
φ
∂c Ba
∂t
∂c SO
+U
∂c Ba
∂x
=D
∂c SO
∂ 2 c Ba
∂x 2
− K a c Ba c SO
∂ 2 c SO
+U
=D
∂t
∂x
∂x 2
∂σ
φ = K a c Ba c SO
4
∂t
k
∂p
U=−
µ(1 + βσ ) ∂x
4
4
4
4
− K a c Ba c SO
4
(A-1)
Here the chemical reaction rate (third equation) is given be the active mass law [5]. The
chemical reaction (1) has second order. The model (A-1) describes the reacting flow during
laboratory coreflooding. The model (A-1) consists of four equations for four unknowns cBa,
cSO4, σ and p. First two equations (A-1) are independent of σ and p, so they separate from the
third and fourth equations.
It is assumed that the dispersion coefficients for Ba2+ and SO42- ions are equal and
proportional to flow velocity [22]:
D Ba ≅ D SO ≅ D = α D U .
4
Let us introduce the following dimensionless parameters:
c SO
c
x
4
C = Ba , Y =
, X=
0
L
c 0Ba
c SO
4
(A-2)
156
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
c 0Ba
Ut
σ
T=
, α=
, S=
0
φL
c SO
c 0Ba
4
D αD
εD =
=
, εk =
LU
L
0
K a LcSO
U
(A-3)
4
.
First two equations (A-1) take the form:
⎧ ∂C ∂C
⎫
∂ 2C
− ε k CY ⎪
+
=
ε
⎪
D
2
⎪ ∂T ∂X
⎪
∂X
⎨
⎬
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ 2 Y − ε αCY ⎪
D
k
⎪⎩ ∂T ∂X
⎪⎭
∂X 2
(A-4)
The displacement of water with Ba2+ cations by SO42--rich water is described by the
following initial conditions:
T = 0: C = 1 , Y = 0 .
2-
(A-5)
2+
The injection of water with SO4 anions into the reservoir, saturated by Ba -rich water,
corresponds to the inlet boundary conditions where fluxes are fixed for both species [15]:
X = 0 : C − εD
∂C
∂Y
= 0 , Y − εD
=1 .
∂X
∂X
(A-6)
Neglecting the diffusive term simplifies the inlet boundary condition (A-6):
X = 0: C = 0 , Y = 1 .
(A-7)
The assumption that an ion does not diffuse back into the core after leaving the outlet together
with the carrier water, results in the Brenner’s boundary condition [22]:
X = 1:
∂C ∂Y
=
=0 .
∂X ∂X
(A-8)
Appendix B
Diffusivity Wave Propagation in Linear Porous Media
Let us discuss displacement of water by traced water in a core. The advection-diffusion
equation describes the process:
φ
∂c
∂c
∂ 2c
+U =D
.
∂t
∂x
∂x 2
(B-1)
If the mixture zone is several times less than the core length, the process can be described by
the following initial conditions:
⎧ 1, x ≤ 0 ⎫
t=0, c=⎨
⎬.
⎩ 0, x > 0 ⎭
(B-2)
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
157
The solution of the problem (B-1), (B-2) is [22]:
C(X, T ) =
⎛ X−T ⎞
1
⎟ .
erfc⎜⎜
⎟
2
ε
2
T
⎝
D ⎠
(B-3)
Here the dimensionless co-ordinate, X, time, T and concentration, C, are given by
formulae (A-3). The solution for the displacement of traced water by the sweet water is
obtained from solution (B-1), (B-2) as 1-C(X, T):
⎧ 0, x ≤ 0 ⎫
t=0, c=⎨
⎬
⎩ 1, x > 0 ⎭
⎛ X−T ⎞
1
⎟ .
C(X, T ) = 1 − erfc⎜⎜
⎟
2
ε
2
T
⎝
D ⎠
(B-4)
(B-5)
Appendix C
Steady State Linear Flow
Let us consider the steady state linear flow in a core:
∂C ∂Y
=0 .
=
∂T ∂T
(C-1)
Substituting (C-1) into the first and second equations (A-4), we obtain the following ordinary
differential equations:
⎧ dC
⎫
d 2C
=
ε
− ε k CY ⎪
⎪
D
⎪ dX
⎪
dX 2
⎨
⎬ .
2
ε
1
dY
d
Y
⎪
⎪
D
⎪⎩ α dX = α dX 2 − ε k CY ⎪⎭
(C-2)
As a consequence of dispersion neglecting on the core inlet, the injected concentrations for
both reagents are fixed at X = 0:
X = 0: C = Y = 1 .
(C-3)
If the particle already left the core, it would not diffuse back. The corresponding outlet
boundary condition is (A-8). So, the steady state chemicals distribution along the core during
the flow is described by a boundary problem (C-3), (A-8) for the system of two ordinary
differential equations (C-2). Let us introduce the following linear combination of two
concentrations:
Y(X)
V ( X ) = C( X ) −
.
(C-4)
α
The subtraction of the second equation (C-2) from the first one results in the following
equation for V(X):
dV
d 2V
= εD
.
(C-5)
dX
dX 2
158
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
The following entrance boundary condition for V(X) follows from (C-3):
X = 0: V = 1-α−1 .
(C-6)
The outlet boundary condition for V(X) follows from (C-4):
X = 1:
dV
=0 .
dX
(C-7)
Integrating both parts of (C-5) accounting for boundary conditions (C-6, 7) results in the
solution:
(C-8)
V(X) = 1-α−1 .
So, the concentration difference (C-4) is constant along the core during the steady state flow.
Expressing the concentration Y(X) from (C-8):
Y(X) = 1 + α (C(X)-1 ,
(C-9)
and substituting it into the first equation (C-2), we obtain an ordinary differential equation:
εD
d 2C
dX 2
=
dC
+ ε k C(1 + α(C − 1)) .
dX
(C-10)
The boundary problem (C-3),(A-8) for the second order ordinary differential equation
(C-10) is solved by the Runge-Kutta method using an adjustment for both boundaries. It is
interesting to mention that application of both inlet boundary conditions (A-6,7) results in the
same solution (C-8) for V=V(X). So, the equation (C-10) is the same for both boundary
conditions. The boundary condition (C-3) at X=0 was used in steady state flow modeling by
equation (C-10).
Appendix D
Steady State Modeling for Different Types of Reaction Rate
Assuming the following reaction rate for the barium sulphate precipitation [17]
q =Ka(cBacSO4)2 ,
(D-1)
and substituting it into (A-1), one obtains the following expression for the reaction rate
parameter εk:
0
K a Lc 0Ba (c SO
)2
4
εk =
.
(D-2)
U
Finally, the dimensionless system for steady state flow becomes:
⎧ ∂C ∂C
⎫
∂ 2C
− ε k (CY ) 2 ⎪
+
=
ε
⎪
D
2
⎪ ∂T ∂X
⎪
∂X
⎨
⎬
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ 2 Y − ε α(CY ) 2 ⎪
D
k
⎪⎩ ∂T ∂X
⎪⎭
∂X 2
(D-3)
The method for the single equation derivation and its solution are the same as that
presented in Appendix C, eq. (C-10). For the following two reaction rate expressions, the
159
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
dimensionless sulphate concentration Yα = Y/α is used. The kinetics equation provided by the
transition state theory [24] is:
⎛ γ 2 c Ba c SO
⎞
⎜
4
− 1⎟⎟ .
q = Ka ⎜
(D-4)
K sp
⎜
⎟
⎝
⎠
The dimensionless system for steady state flow is:
⎧ ∂C ∂C
⎫
∂ 2C
+
=
ε
− ε kα CYα + κ α
⎪
⎪
D
∂X 2
⎪ ∂T ∂X
⎪
⎨
⎬
∂ 2 Yα
⎪ ∂Yα ∂Yα
⎪
⎪⎩ ∂T + ∂X = ε D ∂X 2 − ε kα CYα + κ α ⎪⎭
(D-5)
Here the new dimensionless parameters are:
ε kα =
K a Lγ 2 c 0Ba
, κα =
KαL
.
(D-6)
⎞⎞
⎛ ⎛ γ 2 c Ba c SO
4
− 1⎟⎟ ⎟⎟ ,
q = K a exp⎜⎜ A⎜⎜
K sp
⎟⎟
⎜ ⎜
⎠⎠
⎝ ⎝
(D-7)
UK sp
Uc 0Ba
Accounting for the exponential reaction rate [7]:
one can obtain the following dimensionless system:
⎧ ∂C ∂C
∂ 2C
+
=
ε
− ε kα exp(CYα ) κ α
⎪
D
2
∂X
⎪ ∂T ∂X
⎨
∂ 2 Yα
⎪ ∂Yα ∂Yα
+
=
ε
− ε kα exp(CYα ) κ α
D
⎪⎩ ∂T
2
∂X
∂X
⎫
⎪
⎪
⎬ .
⎪
⎪⎭
(D-8)
Here the new dimensionless parameters obtained are:
ε kα =
KaL
, κα =
Uc 0Ba e A
γ 2 (c 0Ba ) 2 A
K sp
.
(D-9)
The value for the constant, A, was obtained experimentally, A = 0.0185 [7].
Appendix E
Coreflood “Productivity Index”
Let us calculate the pressure drop on the core during the flow with salt precipitation:
L ∂p
∆p = − ∫
0 ∂x
dx =
Uµ L
∫ (1 + βσ )dx .
k0 0
(E-1)
160
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
Substituting dimensionless deposited concentration (A-3) for steady state flow, we obtain
∆p =
⎞
M BaSO4 1
Uµ ⎛
S(X)dX ⎟ .
⎜ 1 + βc0Ba
∫
⎟
k 0 ⎜⎝
ρ BaSO4 0
⎠
(E-2)
The deposited concentration is calculated from system (A-4):
1
1
0
0
∫ S(X)dX = ε k T ∫ C(X)Y(X)dX .
(E-3)
The final expression for the pressure drop on the core is:
∆p =
⎞
M BaSO4 1
Uµ ⎛
T ∫ C(X)Y(X)dX ⎟ .
⎜ 1 + βε k c0Ba
⎟
k 0 ⎜⎝
ρ BaSO4 0
⎠
(E-4)
Let us introduce the following dimensionless impedance function that is an inverse to
dimensionless productivity index
J (T ) =
U 0 ∆p
.
∆p 0 U
(E-5)
The impedance expression follows from (E-4, 5)
⎞
M BaSO4 1
PI0 ⎛
T ∫ C(X)Y(X)dX ⎟ .
= ⎜ 1 + βε k c0Ba
⎟
PI ⎜⎝
ρ BaSO4 0
⎠
(E-6)
So, the impedance is a linear function of time
J(T) = 1 + mT
βεk c0Ba M BaSO4 1
.
m=
∫ C(X)Y(X)dX
ρ BaSO4
0
(E-7)
Formula (E-7) allows for determination of formation damage coefficient, β, from the pressure
drop and flow rate data.
Appendix F
Asymptotic Solution for Steady State Concentration Profiles
The dimensionless concentration, C, varies from zero to unity. In the current work we
investigate the case of significant excess of sulphate. Therefore, in our case α<< 1 (A-3). An
ordinary differential eq. (C-10)
εD
d 2C
dX 2
=
dC
+ ε k C(1 + α(C − 1))
dX
(F-1)
can be solved by the method of regular asymptotic expansions. Let us discuss the asymptotic
expansion of unknown C(X) with respect to small parameter α.
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
C(X) = C 0 (X) + αC1 (X) +
α2
C (X) .
2 2
161
(F-2)
Eq. (F-3) is obtained for zero order approximation; (F-4) is the first order approximation
and (F-5) is the second order approximation:
εD
d 2C0
dX 2
d 2 C1
−
dC 0
dX
dC1
− ε k C0 = 0 ,
− ε k C1 − ε k C 02 + ε k C 0 = 0 ,
dX
2
d C 2 dC 2
εD
−
− ε k C 2 + 2ε k C1 − 4ε k C 0 C1 = 0 .
dX
dX 2
εD
dX 2
−
(F-3)
(F-4)
(F-5)
The boundary value problem (A-8), (C-3) becomes
X = 0: C0 + αC1 +
X = 1:
dC k
dX
α2
C2 = 1 ,
2
= 0 , k = 0, 1, 2 .
(F-6)
(F-7)
The boundary problem (F-6, 7) for equation (F-3) allows for exact solution:
C 0 (X) = c1e Γ1 X + c 2 e Γ2 X
,
1 + 4ε D ε k
1
,
+
2ε D
4ε 2D
1 + 4ε D ε k
1
.
Γ2 =
−
2ε D
4ε 2D
Γ1 =
(F-8)
Two constants c1 and c2 are found from boundary conditions:
c1 =
c2 =
− Γ2 e (Γ2 − Γ1 )
(F-9)
Γ1
(F-10)
(Γ1 − Γ2 )e Γ2
(F-11)
Γ1 − Γ2 e (Γ2 − Γ1 ) + ε D Γ2 Γ1e (Γ2 − Γ1 ) − ε D Γ2 Γ1
Γ1 − Γ2 e (Γ2 − Γ1 ) + ε D Γ2 Γ1e (Γ2 − Γ1 ) − ε D Γ2 Γ1
The outlet concentration is calculated from (F-9, 10)
C(1) =
Γ1 − Γ2 e (Γ2 − Γ1 ) + ε D Γ2 Γ1 (e (Γ2 − Γ1 ) − 1)
Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
162
Appendix G
Basic Equations for Simultaneous Sulphate Scaling of Barium and Strontium
The system of governing equations for simultaneous barium and strontium sulphate
scaling is:
∂c
∂c
∂ 2 c Ba
− K a1c Ba c SO
φ Ba + U Ba = D
4
∂t
∂x
∂x 2
φ
∂c Sr
∂t
∂c SO
+U
∂c Sr
∂x
=D
∂c SO
∂ 2 c Sr
∂x 2
− K a 2 c Sr c SO
∂ 2 c SO
4
4
− K a1c Ba c SO − K a 2 c Sr c SO
+U
=D
4
4
∂t
∂x
∂x 2
∂σ
φ
= K a1c Ba c SO + K a 2 c Sr c SO
4
4
∂t
k
∂p
U=−
µ(1 + βσ ) ∂x
φ
4
4
(G-1)
References
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Mathematical and Laboratory Modeling of Reservoir Sulphate Scaling
165
Apêndice J - Artigo Publicado em 2006
BEDRIKOVETSKY, P.G., MACKAY, E.J., MONTEIRO, R.P.S., MORAES,
G.P., ROSÁRIO, F.F., (2006) Laboratory- and Field Prediction of Sulfate Scaling
Damage. SPE paper 100611, SPE International Oilfield Scale Symposium,
Aberdeen, Scotland, U.K., 30 May–1 June.
166
SPE 100611
Laboratory- and Field Prediction of Sulfate Scaling Damage
P. G. Bedrikovetsky, SPE, North Fluminense State University (LENEP/UENF); E. J. Mackay, SPE, Heriot-Watt University;
R. P. Monteiro, North Fluminense State University (LENEP/UENF); P. M. Gladstone, Cefet-Campos/UNED Macaé; F. F.
Rosário, SPE, Petrobras/CENPES
Copyright 2006, Society of Petroleum Engineers
This paper was prepared for presentation at the 2006 SPE International Oilfield Scale
Symposium held in Aberdeen, Scotland, U.K., 30 May–1 June 2006.
This paper was selected for presentation by an SPE Program Committee following review of
information contained in an abstract submitted by the author(s). Contents of the paper, as
presented, have not been reviewed by the Society of Petroleum Engineers and are subject to
correction by the author(s). The material, as presented, does not necessarily reflect any
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Box 833836, Richardson, TX 75083-3836, U.S.A., fax 01-972-952-9435.
Abstract
BaSO4 scaling can have a disastrous impact on production in
waterflood projects with incompatible injected and formation
waters. This is due to precipitation of barium sulphate from
the mixture of both waters, the consequent permeability
reduction resulting in loss of well productivity.
The system where sulphate scaling damage occurs is
determined by two governing parameters: the kinetics
coefficient characterising the velocity of chemical reaction and
the formation damage coefficient reflecting permeability
decrease due to salt precipitation.
Previous work has derived an analytical model-based
method for determination the kinetics coefficient from
laboratory corefloods during quasi-steady state commingled
flow of injected and formation waters. The current study
extends the method and derives formulae for calculation of the
formation damage coefficient from pressure drop
measurements during the coreflood.
The proposed method can be extended for axi-symmetric
flow around the well allowing calculation of both sulphate
scaling damage coefficients from field data consisting of
barium concentrations in the produced water and well
productivity decline.
We analyse several laboratory test data and field data, and
obtain values of the two sulphate scaling damage parameters.
The values of kinetics and formation damage coefficients as
obtained from either laboratory or field data vary in the same
range intervals. These results validate the proposed
mathematical model for sulphate scaling damage and the
analytical model-based method “from lab to wells”.
Introduction
It has been long recognised that formation and well damage
may be caused by incompatibility of injected and formation
waters. Precipitation of salts results in permeability decline.
Among the most significant of all scaling species are the
sulphates, particularly barium and strontium sulphates1-3.
Decision making on scale prevention and removal is based
on prediction scale precipitation and damage is provided by
mathematical modelling.
The mathematical models for sulphate scaling during
waterflooding consist of mass balance equations for all species
with the reaction rate sink terms8-10,15. Chemical reaction rate
must obey law of acting masses9,17,19 or another more complex
kinetics law18-20,23-25.
Several numerical4,5 and analytical6-8,14 models describing
sulphate scaling under laboratory and field conditions are
available in the literature.
Nevertheless, the problem of determining model
coefficients from either laboratory or field data to use in
sulphate scaling simulation is far from resolved. This
introduces significant uncertainty in prediction of scaling
damage.
The design and results of barium sulphate quasi-steady
state scaling tests have been presented in the literature11-13. The
analytical model for quasi-steady state commingled flow of
injected and formation waters in cores allows us to solve the
inverse problems of determining scaling model parameters
from laboratory test data14.
The chemical reaction rate depends on the reaction rate
coefficient. The reaction rate coefficient can be determined
from effluent barium concentration using the analytical
solution14. Treatment of laboratory data shows that the
reaction rate is proportional to flow velocity, as it should be
for reactive flows in porous media17. The proportionality
coefficient is called the kinetics coefficient.
The kinetics coefficient depends on rock and fluid
properties. It cannot be predicted theoretically for real
reservoirs and fluids. Therefore, it must be determined from
either laboratory or field data by solution of inverse problems.
The second important parameter determining permeability
impairment during sulphate scaling is the formation damage
coefficient, which shows how permeability decreases with
solid deposition.
SPE 100611
The analytical model for axi symmetric quasi-steady state
commingled flow of injected and formation waters, describes
the accumulation of sulphate salts near to production wells16.
The model is based on the statement that the most significant
scale formation damage during a waterflood occurs in the
neighbourhood of production wells due to the intensive mixing
and deposit accumulation1 that occurs in this location. The
model allows us to determine the kinetics coefficient of the
barium sulphate reaction from barium concentration in
produced water and to determine the formation damage
coefficient from the productivity index history. The model is
one-dimensional and does not account for inter layer diffusive
transfer of reacting ions, which may impacts the well
productivity damage. Nevertheless, the model can be used to
evaluate orders of magnitude of kinetics and formation
damage coefficients from production well data.
In the current work, we propose a method for calculation
of the formation damage coefficient from the pressure drop in
the core during quasi-steady state commingled flow of injected
and formation waters. Treatment of several laboratory tests1113,27,28
reveals that the formation damage coefficient has the
same order of magnitude as that obtained from deep bed
filtration of colloid particles.
Several field cases were treated in order to estimate orders
of magnitude for kinetics and formation damage coefficients,
and it was found out that both coefficients have the same order
of magnitude as those obtained from laboratory tests. It
validates the proposed mathematical model with reaction rate
coefficient proportional to flow velocity. It also validates the
use of scaling damage coefficients “from lab to wells”.
Assumptions of the Barium Sulphate Scaling Model
We discuss formation damage due to barium sulphate
precipitation (oilfield scaling) causing productivity
impairment. Usually seawater is injected in offshore
operations, and it contains SO42- anions. If the formation water
contains Ba2+ cations, then mixing of injected and formation
waters may cause BaSO4 deposition (Fig. 1a).
Ba 2+ + SO 42− → BaSO4 ↓
(1)
A schematic of injected and formation water mixing in a
reservoir undergoing waterflooding is shown in Fig. 1b.
The main assumptions of the physical-mathematical model
of barium sulphate scaling are:
• the chemical reaction between barium and
sulphate ions is irreversible;
• this reaction is a second order chemical reaction
obeying the mass action law;
• the chemical reaction rate coefficient is
proportional to flow velocity;
• brine is incompressible;
• volume is conserved during brine mixing and salt
precipitation;
• the dispersion coefficient is proportional to flow
velocity;
• rate coefficient is independent of the precipitant
concentration;
• the permeability decline versus precipitant
concentration takes a hyperbolic form.
Irreversibility of chemical reaction between barium and
sulphate ions can be assumed because of the low solubility of
barium sulphate salt in water23-25.
The mathematical model for flow of injected and
formation waters in porous media includes mass balance
equations for barium cations, for sulphate anions and for salt
molecules, (A-1). The salt deposition rate is given by the law
of mass action 6-9,17-20, (A-2). The modified Darcy’s law (A-3)
contains the formation damage coefficient β that describes
permeability loss due to salt deposition.
The unknowns in the closed system of four equations (A4) are three concentrations and pressure.
The assumption that the reaction rate coefficient Ka is
independent of the precipitated salt concentration σ, which is
valid for small deposited concentrations, results in separation
of the first and second equations (A-4) from the rest of the
system.
Proportionality between the dispersion coefficient and flow
velocity was reported in numerous studies1,15:
D = αD U
(2)
Here αD is a linear size of the core micro heterogeneity.
Proportionality between the reaction rate coefficient Ka and
flow velocity was observed generally for reactive flows in
porous media17 and specifically for the sulphate scaling
reactions13,14:
K a = λU
(3)
The proportionality coefficient λ is called the kinetics
coefficient. It is equal to the reciprocal of the average distance
that the mole of the ion travels in the rock before being
consumed by the chemical reaction.
In dimensionless co-ordinates (A-6), the system of
governing equations takes the form (A-7)
⎧ ∂C ∂C
∂2C
+
= εD
− ε k CY
⎪
∂x D 2
⎪ ∂t D ∂x D
(4)
⎨
2
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ Y − ε αCY
D
k
⎪ ∂t
∂x D 2
⎩ D ∂x D
where α is a ratio between the initial concentrations of Ba2+
in formation water and of SO42- in injected seawater.
System (4) contains dimensionless chemical kinetics
number εk, and the diffusive number εD, which is the inverse
of the Peclet number15,17
0
K a cSO
L
D αD
0
4
(5)
εk =
= λcSO
L , εD =
=
4
U
LU
L
The inlet boundary conditions (A-8) correspond to fixed
fluxes of sulphate and of barium via the inlet cross-section.
The assumption of negligible diffusion simplifies the inlet
conditions, as seen in (A-9).
For the range of velocities occorring in petroleum
reservoirs, advective mass transfer greatly exceeds the
diffusive flux. So, if the species particle has already left the
core, it would not diffuse back. The corresponding outlet
boundary condition is given by (A-10)15.
For quasi-steady state tests, the system (4) is reduced to a
system of ordinary differential equations (B-2). The boundary
conditions (B-3), (B-4) correspond to simultaneous injection
SPE 100611
of sea and formation waters with fixed barium and sulphate
concentrations.
For the case where sulphate and barium concentrations
have the same order of magnitude (α~1), Runge-Kutta method
was used to solve the ordinary differential eq. (B-12).
For the case where the sulphate concentration in seawater
greatly exceeds the barium concentration in formation water
(α<<1) the steady state concentration profiles are described by
explicit formulae (C-2)-(C-5).
Methodology of Laboratory Tests
The objective of the laboratory study is the determination of
the kinetics and formation damage coefficients for rock flow
conditions.
The experimental setup13,14 consists of a core holder with
confinement, two pumps, and pressure transducers. The core
holder has two independent inlet tubes allowing for
simultaneous injection of two different reagents. The set-up
schema is given in Fig. 2. Similar set-ups were used in other
laboratory studies11,12,27,28.
The flood sequence that allows determination of the two
sulphate scaling damage parameters is:
1. Diffusion tests:
1.1. Saturation of core with synthetic formation water;
1.2. Injection of synthetic seawater without SO42- anions
at some given velocity;
1.3. Injection of synthetic formation water at another
given velocity;
1.4. Further alternate injections of synthetic formation and
seawaters at different velocities.
2. Transient tests:
2.1. Saturation of core with synthetic formation water at
the final stage of the diffusive tests;
2.2. Injection of synthetic seawater at some given
velocity;
2.3. Injection of synthetic formation water at another
given velocity.
3. Quasi steady state tests (Fig. 3):
3.1. Simultaneous injection of formation and seawaters at
some given velocity;
3.2. Further simultaneous injections of formation and
seawaters at different velocities.
Diffusivity tests. The objective of the diffusivity tests is
to determine of core rock dispersivity αD.
Fig. 4 shows the dependencies “dispersion versus velocity”
for two cores13,14. The linear dependence D(U) = αDU allows
good adjustment of the data.
For two cores, the αD values found are 0.018m and
0.011m, which is quite reasonable for 0.1 m long real reservoir
cores.
It is important to emphasise that tracer tests must
accompany sulphate scaling tests: otherwise the dispersivity
αD becomes an additional unknown parameter. The number of
unknowns together with kinetics and formation damage
coefficients would become three. Nevertheless, the number of
measured values is two (effluent concentration and pressure
drop on the core). Therefore, the sulphate scaling system could
not be fully characterised.
For example, the tracer test data for sulphate scaling
tests12,27,28 are not available. Therefore, the kinetics and
formation damage coefficients have been determined
assuming some typical αD values (tables 1,2 and 4).
Steady state tests. The objective of the quasi-steady
state tests is the determination of kinetics and formation
damage coefficients from outlet concentration and pressure
drop data for the core.
The system of governing equations (B-2) as applied for
steady state flows may be reduced to a single second order
ordinary differential equation (ODE) (B-12).
The boundary conditions for the second order ODE
correspond to given reagent concentrations at the core inlet
(B-3) and to the absence of diffusion at the core outlet (A-10).
For the case α<<1 the equation (B-12) is subject to boundary
conditions (B-3) and (A-10) allows for the explicit asymptotic
solution. Zero order approximation is given by formulae (C3)-(C-5). First and second order approximations are expressed
by explicit but rather cumbersome formulae; see (C-7)-(C-10).
The expansion (C-1) converged rather fast. Even for α=1
first order approximation gives a good match with numerical
solution (Fig. 5). The second order approximation almost
coincides with the numerical solution.
Fig. 6 presents relative error for zero-, first- and secondorder approximations if compared with numerical solution.
Calculations have been performed for εk=9.37. Plots allow
determining relative error for different order approximations.
For example, for α=0.2, error for second order approximation
is equal to 0.02; first order approximation provides with the
error 0.11, and zero order approximation gives 0.45.
The analytical model-based calculations have been
performed in the current paper using the second order
approximation.
The first objective of the study was to determine the
kinetics number εk from the barium steady state effluent
concentration C(xD =1). Thus, the value C(xD =1), as obtained
from laboratory coreflood data, was fitted to the analytical
solution at the effluent (C-6) by adjusting the kinetics number
εk.
Figs. 7a,b show the reaction rate coefficient Ka versus
velocity for two cores13,14.
Values of λ for two cores are 3003 and 3951 (M∗m)-1 (Fig.
7a, 7b).
The proportionality between the reaction rate number and
flow velocity (3) takes place for catalytic chemical reactions
for low flow velocities, where the reaction is controlled by
diffusion17.
The dependency of reaction rate coefficient on flow
velocity must be used in reservoir simulators5 when
performing scaling reaction calcutations.
The second objective of the steady state tests is the
calculation of the formation damage coefficient β.
If kinetics coefficient λ and dispersivity αD are known, the
impedance growth allows us to determine the formation
damage coefficient. The impedance slope m is calculated from
pressure drop data using first eq. (D-7). From the second eq.
SPE 100611
(D-7) follows the expression for the formation damage
coefficient. The right hand side of (D-7) depends on the
kinetic number that was obtained from the outlet concentration
data. The integral is calculated either analytically or
numerically together with the solution of the concentration
problem (B-2), (B-3) and (A-10). The kinetics number is
calculated by (5) using the previously obtained kinetics
coefficient, λ.
Now let us describe the results of the treatment of
laboratory data presented in the literature11-14,27,28.
Outlet barium concentration and pressure drop were
measured in coreflood studies12,27,28. Unfortunately, tracer tests
have not been performed. Therefore, the results for two
sulphate scaling damage parameters are presented in tables 1,2
and 4 as functions of rock dispersivity.
Tables 1 and 2 present treatment results from laboratory
data12,27. The brine sample compositions and rock properties
can be found in the original paper12.
Table 1 corresponds to a temperature of 20°C, table 2
corresponds to a temperature of 70°C.
We took a reference value for dispersivity αD=0.01 m
which is quite typical for homogeneous sandpacks, and
performed a sensitivity study with respect to dispersivity. The
range interval for the kinetics coefficient for αD=0.01 m is
250-20000 (M*m)-1. Variation of dispersivity does not change
the lower bound; it doubles the upper bound – 40000 (M*m)-1.
The formation damage coefficient varies in the range [10100]. The formation damage coefficient as calculated from
deep bed filtration tests varies in a wider interval [102000]32,33.
Another set of laboratory tests is presented in28. The
dispersivity has not been measured; so we fixed three values
for dispersivity coefficient that are typical for high
permeability homogeneous sandpacks: αD=5*10-3, 10-2 and
3*10-2 m. Table 3 shows compositions of sample brines used
in the tests. Table 4 presents the obtained values for two
scaling damage parameters.
For dispersivity value αD=0.01 m, kinetics coefficient
varies from 40000 to 120000. Variation of dispersivity from
αD=0.005 m to αD=0.03 m almost does not change this
interval.
The derived kinetics coefficient values are one order of
magnitude higher than those obtained in other tests due to the
very low effluent barium concentrations. The author28 also
noticed that effluent barium concentrations are very low and
attributed it to a delay in analysis of the produced samples.
Nevertheless, the formation damage coefficient varies in
the usual interval [30,3000].
In the work11, simultaneous injection of formation and
seawaters has been carried out. The sandpack with
permeability k=30 mD and porosity φ=0.37 was flooded
simultaneously by seawater with sulphate concentration
cSO40=3.1*10-2 M and by formation water with barium
concentration cBa0=1.8*10-3 M. Barium concentration were
measured at the core effluent. The barium concentration
reached at the steady state cBa (xD=1)=3.5 ppm after 1 p.v.i.
The results are placed in table 5. The values obtained for
the kinetics coefficient lay in the interval covered by the
above-mentioned tests.
During coreflooding by reacting seawater and formation
water in work13,14, tracer outlet concentrations were monitored.
Therefore, the derived kinetics constant data are more reliable.
Table 5 presents interval [3000,4000]. The pressure drop did
not increase significantly during the short flood period;
therefore it was not enough information to make a reliable
calculation of the formation damage coefficient.
The scaling damage parameters as obtained from the four
above-mentioned sets of laboratory tests are presented in table
5. Depending on the reservoir temperature, the brine ionic
strength and rock permeability, the kinetics coefficient varies
from 200 to 130000 (M*m)-1. The formation damage
coefficient varies from 30 to 3000.
Probabilistic distributions of the kinetics coefficient λ and
the formation damage coefficient β as obtained from
laboratory corefloods are presented in Figs. 8a and 8b
respectively. Large interval for λ variation is caused by
unknown dispersion coefficient in majority of tests; the results
include λ-values as calculated for various dispersivities
(Tables 1,2 and 4). The formation damage coefficient β varies
from 9 to 3000; the variation interval almost coincides with
that obtained for deep bed filtration of particle suspensions in
porous media32,33.
Transient precipitation tests. Transient precipitation
tests were performed in order to verify the unsteady state
model (4) in general, and specifically the dependence of
reaction rate coefficient versus velocity, as obtained from the
quasi steady state tests.
The verification of the model (4) has been performed by
comparison between the laboratory test data and the
simulation results using the data obtained from the steady state
tests. The laboratory and modelling data are in a reasonable
agreement13,14.
Determination of Kinetics and Formation Damage
Coefficients from Field Data
The method for calculation of kinetics and formation damage
coefficients from barium concentration in produced water and
productivity index history is also based on analytical solution
of reactive flow equation around production wells16. The
analytical axi-symmetric model and corresponding inverse
problems are similar to those for corefloods presented in
previous sections of the current paper.
The main model assumptions are based on the fact that salt
accumulation during waterflooding occurs mainly near to
production wells1.
The main assumptions of the model are steady state flow in
the neighbourhood of the production well, second order
chemical reaction between barium and sulphate ions, the
irreversibility of the reaction, and proportionality of the
relationships “dispersion versus velocity” and “chemical rate
coefficient versus velocity”. These assumptions correspond to
near well flow conditions.
The model is one-dimensional, i.e. vertical diffusive flux
between layers with different permeability is neglected. Also,
it is assumed that reaction is occuring only near to the
production wells. This assumption limits the model
applicability.
SPE 100611
Nevertheless, while not being able to determine the exact
values for scaling damage parameters from well data, the
model does provide us with their order of magnitude.
The results of determining the kinetics and formation
damage coefficients from seven oilfields undergoing
waterflooding are presented in tables 6-9 and in Figs. 9-19.
Figs. 9 and 10 present data for a highly permeable, low
heterogeneity, large net pay offshore sandstone field X
(Campos Basin, Brazil)29,30. Production well X1 is completed
with a gravel pack where intensive barium sulphate
accumulation takes place. It confirms the model assumption
that significant chemical reaction and deposition occurs only
in the well vicinity. The best fit of the curve “barium
concentration in produced water versus seawater fraction in
produced water” using least square method was achieved for
λ=117234 (M*m)-1.
The formation damage coefficient was obtained by
adjustment of the productivity index curve. Three
measurements of productivity index were performed shortly
after one another, so effectively just one PI value is available.
Linear approximation results in the value for formation
damage coefficient β=0.5. We attribute the small value of the
formation damage coefficient to the fact that precipitation
occurs mostly in the gravel pack for the well discussed. The
porous medium in the gravel pack is highly permeable and
homogeneous, so some permeability decline occurs only after
significant deposition.
Fig. 11 presents the barium concentration in the produced
water for another well with gravel pack from the field X. The
obtained kinetics coefficient is lower than that obtained from
another well (table 6).
Figs. 12-14 present data of three production wells from
sandstone reservoir N (Campos Basin, Brazil)22. The reservoir
has medium permeability and heterogeneity. The productivity
index was calculated for well tests four times for wells N-16
and N-37 and just once for well N-52. The data on scaling
damage coefficients are presented in Table 7.
Figs. 15-19 present data for five North Sea fields31. All
points of barium concentration are located below the
hypotenuse that corresponds to non-reactive tracer. It indicates
that barium concentration in the produced water decreases if
compared with the tracer concentration due to chemical
reaction with sulphate anions. The values for kinetics
coefficient λ are presented in table 8.
The radius of the well neighbourhood where flow is steady
state is taken as Rc=1 m.
Several wells present extremely low kinetics coefficient
values, from 1.2 to 20. These wells were treated as scale free
in the original paper31.
Probabilistic distributions of kinetics constant λ and
formation damage coefficient β as obtained from well data are
presented in Figs. 20a and 20b respectively; corresponding
data are given in Table 9. Large interval for λ variation is
caused by unknown dispersion coefficient in majority of tests;
the results include λ-values as calculated for various
dispersivities (Tables 6, 7 and 8). The formation damage
coefficient β varies from 0.5 to 2000; the variation interval
almost coincides with that obtained for deep bed filtration of
particle suspensions in porous media32,33. Low values for
formation damage coefficient for field X (Table 9) are
explained by the fact that scaling happens mainly in gravel
packs of the wells29,30.
Discussions
The main result of the current paper is that the kinetics
coefficient as obtained from laboratory and field data varies in
the same range interval. The same was observed for the
formation damage coefficient.
The kinetics coefficient varies from 50 to 100000
depending on brine ionic strength and temperature for either
coreflood or well data. The interval covers all cases between
no reaction and intensive barium sulphate deposition.
The interval is huge, and it is the same for either coreflood
or well cases. It supports the statement that the physical
processes occurring in cores and near production wells and the
resulting permeability decrease, are the same.
It is well known that the permeability as obtained from
well test and from the same field cores can differ by one order
of magnitude. Nevertheless, the permeability varies 104 times
from field to field, so comparison between core and well test
data may provide important information about the reservoir.
The same applies to sulphate scaling damage parameters.
Unfortunately, the data on productivity index decline for
scaled-up wells and on permeability impairment during
scaling in the core taken from the same well are not available
in the literature.
Under the circumstances, we conclude that both sulphate
scaling damage parameters as obtained from corefloods, vary
in the same intervals as those obtained from well histories.
Conclusions
1. An analytical model for quasi steady state reactive
flow of injected and formation waters allows
calculation of formation damage coefficient from the
history of pressure drop on the core during coreflood
test along with the calculation of the kinetics constant
from the barium effluent concentration.
2. The kinetics and formation damage coefficients, as
obtained from corefloods, vary in the same range
intervals as those calculated from well data.
3. A database for kinetics and formation damage
coefficients obtained from twenty-two laboratory
tests and nineteen wells from seven fields must be
used in reservoir simulation of waterflooding that
includes sulphate scaling calculations.
Acknowledgement
The authors thank Dr. Maria Carmen Bezerra, Dr. Antonio
Luis S. de Souza, Alexandre G. Sequeira, Dr. Farid Shecaira
and Maylton Silva (Petrobras), Prof. Themis Carageorgos
(UENF-Lenep), Dr. Oleg Dinariev and Prof. A. D. Polianin
(Russian Academy of Sciences) for fruitful discussions.
Many thanks are due to Eng. Sergio Daher (Petrobras) for
several useful discussions and for proof reading the paper
before its publication.
The authors thank Petrobras for permission to publish the
paper
SPE 100611
Nomenclature
C = dimensionless Ba2+ concentration
cBa= Ba2+ molar concentration in aqueous solution, M
cSO4= SO42- molar concentration in aqueous solution, M
D = dispersion coefficient, m2/s
h = thickness, m
PI= productivity index, m3/(s⋅Pa)
J = dimensionless impedance
k0 = initial permeability, D
Ka = chemical reaction rate constant, (M⋅s)-1 (2nd order
reaction)
m = slope of the impedance straight line
M = molar unit for concentration equals gmol/L (same
as kgmol/m3)
MBaSO4 = molecular weight for Barium Sulphate equals
0.23339 Kg/mol
p = Pressure, Pa
P = dimensionless pressure
Q = total rate, m3/s
Rc = contour radius, m
rw = well radius, m
S = dimensionless BaSO4 concentration
t = time, s
tD = dimensionless time
U = flow velocity, m/s
V = concentration difference
x = linear co-ordinate, m
xD = dimensionless coordinate
Y = dimensionless SO4 concentration
Greek letters
2+
α = ratio between injected concentrations of Ba and
2SO4
αD= dispersion coefficient, m
β = formation damage coefficient
εD = dimensionless diffusive (Schmidt) number
εk = dimensionless chemical kinetics number
φ = porosity
λ = kinetic coefficient, (M⋅m)-1 (2nd order
reaction)
µ = viscosity, kg/(m⋅s)
3
ρBaSO4= density of the Barite, 4193.9 Kg/m
σ = BaSO4 molar concentration in solid deposit
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Appendix A. Governing Equations
The mass balance for ions Ba2+, SO42- and for BaSO4
molecules is6-8,14:
⎧ ∂c
⎪φ Ba + U∇c Ba = ∇ ( D∇c Ba ) − q
⎪ ∂t
⎪⎪ ∂cSO4
(A-1)
+ U∇cSO4 = ∇ D∇cSO4 − q
⎨φ
⎪ ∂t
⎪ ρBaSO4 ∂σ
=q
⎪φ
⎪⎩ M BaSO4 ∂t
(
)
The law of mass action is assumed for the chemical
reaction (salt deposition) rate17
(A-2)
q = K a c Ba cSO4
The modified Darcy’s law includes the permeability
damage due to salt precipitation:
k
∇p
(A-3)
U =−
µ (1 + βσ )
The system of five equations (A-1)-(A-3) is closed. The
unknowns are three concentrations cBa, cSO4, σ , pressure p.
The linear problem describes one-dimensional flow during
laboratory coreflooding:
∂c
∂c
∂ 2 c Ba
φ Ba + U Ba = D
− K a c Ba cSO4
∂t
∂x
∂x 2
∂cSO4
∂cSO4
∂ 2 cSO4
φ
+U
=D
− K a c Ba cSO4
(A-4)
∂t
∂x
∂x 2
ρBaSO4 ∂σ
φ
= K a c Ba cSO4
M BaSO4 ∂t
U =−
∂p
k
µ (1 + βσ ) ∂x
It is assumed that the diffusion coefficients for Ba2+ and
SO42- ions are equal and proportional to flow velocity:
(A-5)
D Ba ≅ DSO4 ≅ D = α D U
Let us introduce the following dimensionless parameters:
cSO
c
x
C = 0Ba Y = 0 4 x D =
c Ba
cSO4
L
tD =
ρBaSO4 σ
c0
Ut
α = 0Ba S =
M BaSO4 c0Ba
φL
cSO4
(A-6)
0
K a LcSO
D αD
4
=
εk =
U
LU
L
First two equations (A-4) take the form:
⎧ ∂C ∂C
∂2C
+
= εD
− ε k CY
⎪
∂x D 2
⎪ ∂t D ∂x D
(A-7)
⎨
2
⎪ ∂Y + ∂Y = ε ∂ Y − ε αCY
D
k
⎪ ∂t
∂x D 2
⎩ D ∂x D
Simultaneous injection of seawater containing SO42- anions
with Ba2+-rich formation water corresponds to the inlet
boundary conditions where fluxes are fixed for both species15:
εD =
SPE 100611
∂C
∂Y
= 1 , Y − εD
=1
(A-8)
∂x D
∂x D
Neglecting the diffusive term simplifies the inlet boundary
condition (A-8):
xD = 0 : C = 1 , Y = 1
(A-9)
The assumption that an ion does not diffuse back into the
core after leaving the outlet together with the carrier water,
results in the Brenner’s boundary condition15:
dC
dY
x D = 1:
=
=0
(A-10)
dx D dx D
x D = 0 : C − εD
Appendix B. Steady State Linear Flow
Let us consider steady state linear flow in a core:
∂C
∂Y
=
=0
(B-1)
∂t D
∂t D
Substituting (B-1) into the first two equations (A-7), obtain
the following ordinary differential equations:
⎧ dC
d2C
= εD
− ε k CY
⎪
dx D 2
⎪ dx D
(B-2)
⎨
2
⎪ 1 dY = ε D d Y − ε CY
k
⎪ α dx
α dx D 2
⎩
D
Advection-diffusion fluxes of both components are fixed at
the core inlet15:
dC
x D = 0 : C − εD
=1
(B-3)
dx D
dY
=1
(B-4)
dx D
As a consequence of neglecting diffusion at the core inlet,
the injected concentrations for both reagents are fixed at xD=0:
xD = 0 : C = Y = 1
(B-5)
If the particle has already left the core, it would not diffuse
back. The corresponding outlet boundary conditions are given
by (A-10)
So, the steady state chemical distribution along the core
during the flow is described by a boundary problem (B-3),(B4) for the system of two ordinary differential equations (B-2).
Let us introduce the following linear combination of two
concentrations:
Y ( xD )
V ( xD ) = C ( xD ) −
α
(B-6)
The subtraction of the second equation (B-2) from the first
one results in the following equation for the function V(xD):
dV
d2 V
= εD
(B-7)
dx D
dx D 2
The following inlet boundary condition for V(xD) follows
from (B-3):
1
xD = 0 : V = 1−
(B-8)
α
The outlet boundary condition for V(xD) follows from (A10):
x D = 0 : Y − εD
dV
=0
(B-9)
dx D
Integrating both parts of (B-7) accounting for boundary
conditions (B-8) and (B-9) results in the solution:
1
V ( xD ) = 1−
(B-10)
α
So, the concentration difference (B-6) is constant along the
core during the steady state flow.
Expressing the sulphate concentration Y(xD) from (B-10)
Y ( x D ) = 1 + α ( C ( x D ) − 1)
(B-11)
xD = 1 :
and substituting it into the first equation (B-2), we obtain an
ordinary differential equation for C(xD):
d2C
dC
εD
=
+ ε k C (1 + α ( C − 1) )
2
dx D
dx D
(B-12)
Appendix C. Asymptotic Expansions Solutions for
Concentration Profiles
Usually the sulphate concentration in seawater
significantly exceeds the barium concentration in formation
water. In this case, parameter α is negligibly small, α << 1, (A6).
Let us find asymptotic solution for the steady state flow
problem (B-12), (A-10),(B-3) for small parameter α:
α2
C(x D ) = C0 (x D ) + αC1 (x D ) +
C2 (x D )
(C-1)
2
The term [C(xD)-1] varies from minus unity to zero, so the
second term in brackets on the right hand side of (B-12) can be
neglected comparing it with unity. Substituting expansion (C1) into eq. (B-12) obtain a linear second order ordinary
differential equation for zero order approximation:
d 2 C0
dC
εD
=
+ εk C
(C-2)
2
dx D
dx D
The boundary problem (B-3), (A-10) for equation (C-2)
allows for exact solution:
C ( x D ) = c1eΓ1x D + c 2 eΓ2 x D
Γ1 =
1 + 4ε D ε k
1
+
2ε D
4ε D 2
(C-3)
1 + 4ε D ε k
1
−
2ε D
4ε D 2
Two constants in (C-3) are found from boundary conditions
(B-3) and (A-10):
Γ −Γ
−Γ 2 e( 2 1 )
c1 =
(CΓ1 − Γ 2 e( Γ2 −Γ1 ) + ε D Γ 2 Γ1e( Γ2 −Γ1 ) − ε D Γ 2 Γ1
Γ2 =
4)
c2 =
Γ1 − Γ 2 e
( Γ2 −Γ1 )
Γ1
+ ε D Γ 2 Γ1e( Γ2 −Γ1 ) − ε D Γ 2 Γ1
(C-
5)
The outlet concentration is calculated by (C-3),( C4) and (C-5)
SPE 100611
C (1) =
( Γ1 − Γ 2 ) eΓ
2
(
)
Γ1 − Γ 2 e( Γ2 −Γ1 ) + ε D Γ 2 Γ1 e( Γ2 −Γ1 ) −1
(C6)
It is worth mentioning that application of both inlet
boundary conditions (B-3), (B-4) and (B-5) results in the same
solution (B-10) for V=V(xD). So, the equation for barium
concentration C(xD) (B-12) is the same for both cases. An
application of inlet boundary conditions (B-5) also results in
explicit solution that differs from (C-3)-(C-5). Nevertheless,
the calculations show that the difference in distributions of
C(xD) and Y(xD) for both types of inlet boundary conditions is
negligibly small for the range of parameters εD and εk in oil
reservoirs.
The equation for first order approximation is:
d 2 C1 dC1
εD
−
− ε k C1 − ε k C02 + ε k C0 = 0
(C-7)
dx D 2 dx D
Substituting expansion (C-1) into boundary conditions (A10), (B-3) and integration of linear non-homogeneous eq. (C7), obtain first order approximation:
Γ +Γ x
C1 ( x D ) = c3 eΓ1x D + c4 eΓ2 x D + K1e 2 Γ1x D + K 2 e( 1 2 ) D
(C-8)
+ K 3 e2 Γ2 x D + K 4 x D eΓ1x D + K 5 x D eΓ2 x D
Here constants c3 and c4 are obtained from boundary
conditions; constants K1, K2…K5 are calculated during
solution of inhomogeneous linear eq. (C-7) where C0 is a zero
order approximation (C-3).
The equation for second order approximation is also
obtained by substitution of expansion (C-1) into eq. (B-12):
d 2 C 2 dC 2
(C-9)
εD
−
− ε k C 2 + 2ε k C1 − 4ε k C0 C1 = 0
dx D 2 dx D
The solution provides with second order approximation
C 2 ( x D ) = c5 eΓ1x D + c6 eΓ2 x D + ( m 0 + m1 x D ) e 2 Γ1x D
+ ( m 2 + m 3 x D ) e(
Γ1 +Γ 2 ) x D
+ ( m 4 + m5 x D ) e 2 Γ2 x D
+ ( m 6 + m7 x D ) x D eΓ1x D + ( m8 + m9 x D ) x D eΓ2 x D
+ n1 e (
2 Γ1 +Γ 2 ) x D
+ n 2 e(
Γ1 + 2 Γ 2 ) x D
(C-10)
+ n 3 e3Γ1x D + n 4 e3Γ2 x D
Appendix D. Coreflood “Productivity Index”
Let us calculate the pressure drop in the core during flow
with salt precipitation
L
L
Uµ
∂p
(D-1)
∆p = − ∫ dx =
(1 + βσ ) dx
k o ∫0
∂x
0
Substituting dimensionless deposited concentration (A-6),
we obtain
⎞
M BaSO4 1
Uµ ⎛
0
S(x D )dx D ⎟
(D-2)
∆p =
⎜ 1 + β c Ba
∫
⎜
⎟
k0 ⎝
ρ BaSO4 0
⎠
The deposited concentration is calculated from system (A7).
1
1
0
0
∫ S(x D )dx D = εk t D ∫ C(x D )Y(x D )dx D
(D-3)
The final expression for the pressure drop on the core is:
∆p =
⎞
M BaSO4 1
Uµ ⎛
0
t D ∫ C(x D )Y(x D )dx D ⎟
⎜ 1 + βε k c Ba
⎜
⎟
k0 ⎝
ρ BaSO4
0
⎠
(D-4)
Let us introduce the following dimensionless impedance
function that is an inverse to dimensionless productivity index
U 0 ∆p
(D-5)
J (tD ) = 0
∆p U
The impedance expression follows from (D-4,5)
⎞
M BaSO4 1
PI0 ⎛
(D-6)
= ⎜1 + βε k c0Ba
t D ∫ C(x D )Y(x D )dx D ⎟
⎟
ρBaSO4
PI ⎜⎝
0
⎠
So, the impedance is a linear function of time
J(t D ) = 1 + mt D
m=
βε k c0Ba M BaSO4
ρBaSO4
1
∫ C(x
D
)Y(x D )dx D
(D-7)
0
Formula (D-7) allows for determination of formation
damage coefficient, β, from the pressure drop and flow rate
data.
SPE 100611
Table 1. Kinetics and formation damage coefficients as obtained from coreflood tests, at temperature 20°C, by
Todd, A. and Yuan, M., 1989
Brine
αD = 0.005 m
-1
BSS0
BSS1
BS2
BS2
BS3
αD = 0.01 m
-1
αD = 0.03 m
-1
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
10740
4974
239
410
1969
79.06
98.50
63.35
14.50
17.07
12200
5575
263
454
2266
70.79
89.18
58.07
13.25
14.45
18585
8268
371
658
3554
48.18
62.01
41.82
9.39
9.12
Table 2. Kinetics and formation damage coefficients as obtained from coreflood tests, at temperature 70°C, by
Todd, A. and Yuan, M., 1989
Brine
αD = 0.005 m
-1
BA
BSS0
BSS1
BSS2
Water 1
αD = 0.01 m
-1
αD = 0.03 m
-1
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
17450
23720
5540
1533
922
37.71
78.90
42.98
73.25
96.37
20200
26100
6235
1760
1043
33.23
70.62
38.77
65.00
86.65
31850
42200
9310
2760
1578
21.92
45.62
26.81
43.05
59.34
Table 3 – Compositions of simple brines used in coreflood tests, by Goulding P. S.,
1987
Mixed Incompatible
Brine
waters
Ba
rich
D
SO4 rich
Ba
rich
E
SO4 rich
Ba
rich
F
SO4 rich
Ba
rich
H
SO4 rich
Ba
rich
I
SO4 rich
Ba
rich
J
SO4 rich
Ba (M)
2+
SO4 (M)
2+
0.0025
0.0
0.00125
0.0
0.0006
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.0
0.0025
0.0
0.00125
0.0
0.0006
0.0
0.004
0.0
0.004
0.0
0.004
Table 4. Kinetics and formation damage coefficients as obtained from corefloods, by Goulding P. S.,
1987
Brine
αD = 0.005 m
-1
C221515DD
C221515DD
C167.57.5EE
C237.57.5FF
C167.57.5FF
C267.57.5HH
C247.57.5II
C247.57.5II
C247.57.5JJ
C247.57.5JJ
αD = 0.01 m
-1
αD = 0.03 m
-1
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
λ (M∗m)
β
63390
80700
68800
107780
72260
31900
45990
49440
51320
52900
1228.02
177.48
2954.54
246.63
164.50
60.89
156.53
78.10
111.23
52.06
77300
101250
79350
122480
81860
38025
57075
61860
64200
66450
1015.44
143.13
2565.81
217.22
146.48
51.38
127.48
63.13
98.46
46.02
133590
183850
123100
184450
121560
62950
101640
111840
115910
120740
607.16
81.50
1695.45
147.32
101.13
32.01
73.97
36.09
72.54
33.71
SPE 100611
Table 5. Values of kinetics and formation damage coefficients as obtained from corefloods
Kinetics coefficient λ, (Mm)
Formation damage
coefficient β
3003 – 3951
-
BSS0 (20ºC)
10740 – 18585
48 – 79
BSS1 (20ºC)
4974 – 8268
62 – 98
BS2 (20ºC)
239 – 658
42 – 63
BS3 (20ºC)
1969 – 3554
9 – 17
BA (70ºC)
17450 – 31850
22 – 38
BSS0 (70ºC)
23720 – 42200
46 – 79
BSS1 (70ºC)
5540 – 9310
27 – 43
BSS2 (70ºC)
1553 – 2760
43 – 74
922 – 1578
60 – 97
C221515DD-2S
63390 – 133590
607.16 – 1228.02
C221515DD-8S
80700 – 183850
81.50 – 177.48
C167.57.5EE-11S
68800 – 123100
1695.45 – 2954.54
C237.57.5FF-1S
107780 – 184450
147.32 – 246.63
C167.57.5FF-2S
72260 – 121560
101.13 – 164.50
C267.57.5HH-1S
31900 – 62950
32.01 – 60.89
C247.57.5II-1S
45990 – 101640
73.97 – 156.53
C247.57.5II-2S
49440 – 111840
36.09 – 78.10
C247.57.5JJ-1S
51320 – 115910
72.52 – 111.23
C247.57.5JJ-2S
Wat et al., 1992
52900 – 120740
798 – 963
33.71 – 52.06
-
Coreflood test
-1
Lopes Jr., 2002
Yuan et al., 1989
Water 1 (70ºC)
Goulding P. S., 1987
Table 6 – Kinetics coefficient values based on wells data from field X
0
0
Field X
CBa (ppm)
CSO4 (ppm)
Rc (m)
Well X1
46
2990
0.127
Well X2
46
2990
0.127
-1
αD (m)
λ (M∗m)
0.03
0.01
0.005
0.03
0.01
0.005
409126
117234
5174
30112
4039
205
SPE 100611
Table 7 – Kinetics and formation damage coefficients based on well data from field N
0
0
Field N
CBa (ppm)
CSO4 (ppm)
Rc (m)
NA-16
230
2850
1
NA-37
230
2850
1
NA-52
230
2850
1
-1
αD (m)
λ (M∗m)
β
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
209
108
13
145
73
7.4
972
481
46
34.42
66.54
565.41
99.71
195.66
1835.56
774.10
1436.45
9821.08
Table 8 – Kinetics coefficient as calculated from well data of North Sea fields
North Sea
0
0
CBa (ppm)
CSO4 (ppm)
Well A1
80
2990
Well B1
255
2990
Well B2
255
2990
Well B3
255
2990
Well B4
255
2990
Well B5
255
2990
Well B6
255
2990
Well B7
255
2990
Well B8
255
2990
Well B9
255
2990
Well B10
255
2990
Field C
Well C1
220
2990
Field D
Well D1
450
2990
Field E
Well E1
390
2990
Field A
Field B
-1
αD (m)
λ (M∗m)
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
881
485
98
325
178
36
249
133
26
739
437
89
47
26
5
21
11
2
35
19
4
12
7
1.2
133
73
14
25
13
3
36
19
4
3043
1641
313
580
316
61
971
504
106
SPE 100611
Table 9 - Values of kinetics and formation damage coefficients as obtained from field data.
Kinetcs coefficient
Field Data
-1
λ, (Mm)
Formation Damage
coefficient β
Field X. (Campos Basin)
Poço X1
5000 – 120000
0.5 – 2
Poço X2
200 - 3000
-
NA-16
10 – 210
35 – 565
NA-37
7 – 150
100 – 1800
NA-52
50 - 1000
700 - 2000
Field A
100 – 900
-
Field B
2 – 750
-
Field C
300 – 3000
-
Field D
60 – 600
-
Field E
100 - 1000
-
Field N. (Campos Basin)
North Sea
SPE 100611
Mixture
zone
-15
Ba2+
SO42-
Ln(D) x
-14
-16
Ln(D)-17
BaSO4
-18
a)
-19
-20
-15
-11
-13
-9
Ln(U)
Fig. 4. Diffusion coefficient vs. velocity for two cores
2
[Sample 1: ◊ (lnD = 1.0859 lnU−3.8995, R = 0.875)
2
Sample 2: □ (lnD = 0.8689 lnU−6.3264, R = 0.9933)]
Barium Concentration Profile
b)
1
α=1
0.8
Fig. 1. Precipitation of barium sulphate in the mixing zone a) in
stream tube during displacement of formation water by injection
water; b) in the reservoir
εk = 2,04
0.6
C(xD)
0.4
Numerical Solution
Zero order asymptotic solution
First order asymptotic solution
Second order asymptotic solution
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xD
Fig. 5. Barium Concentration profile for numerical and asymptotic
approximation solution
0,4
C(xD ) = C0 (xD )
Fig 2. Experimental setup schema
2+
Ba
δ (α )
0,3
∆P
C
q
S
O4
SO
BaSO 4
first order
second order
0,2
0,1
C(xD ) = C0 (xD ) + αC1(xD ) +
U
2-
zero order
C(xD ) = C0 (xD ) + αC1(xD )
0
CBa2+
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
α2
C2 (xD )
2
0,8
0,9
α
X
Fig. 3. Photo of the core and schematic of quasy steady state test
Fig. 6. Function of the relative error between numerical solution
and asymptotic expansions solution versus concentrations ration
α.
180
Barium Concentration Profile
CBa (ppm)
50
actual
40
λ = 4000
30
λ = 10000
λ = 117234
20
Adj. Reservoir
Simulation
10
0
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90% 100%
%SW
7a)
Fig. 9. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well X1, Campos Basin.
Production Index Profile
1
Actual
0,6
Adj. Reservoir
Simulation
PI
0,8
7b)
Adjust from data
0,4
Fig. 7. Dependence of chemical rate coefficient versus flow
velocity; a) test 1; b) test 2
Predict for PI
0,2
0
Distribution function for lambda values
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Fig. 10. Productivity index decline versus real time in days, for
Well X1, Campos Basin.
Barium Concentration Profile
0
10
00
0
20
00
0
30
00
0
40
00
0
50
00
0
60
00
0
70
00
0
80
00
0
90
00
0
10
00
00
11
00
00
12
00
00
f(x)
t (days)
50
actual
-1
λ (M m)
Distribution function for beta values
5
f(x)
4
λ = 4039
40
CBa (ppm)
8a)
λ = 500
30
λ = 10000
20
Adj. Reservoir
Simulation
10
3
0
2
0%
1
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
% SW
0
0 - 20
21 - 40
41 - 60
61 - 80
81 - 100 101 - 120 121 - 140 141 - 160 161 - 180 181 - 200 201 - 220
β
8b)
Fig. 8. Distribution function for parameter λ and β due all
laboratorial tests
-1
a) Kinetics coefficient λ (M∗m)
b) Formation damage coefficient β
Fig. 11. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well X2, Campos Basin.
181
NA-16
Actual
Dilution Line
200
λ = 209
150
NA-37
250
Barium Concentration (ppm)
Barium Concentration (ppm)
250
100
50
Actual
Dilution Line
200
λ = 145
150
100
50
0
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0%
20%
40%
60%
% Seawater
% Seawater
12a)
13a)
Impedance
80%
Impedance
y = 0,0022x + 1
R2 = 0,9425
3
100%
y = 0,0062x + 1
R2 = 0,9929
2
2,5
1,5
J(tD )
J(tD )
2
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
100
200
300
400
500
600
0
700
0
tD (pvi)
20
40
60
80
100
120
13b)
Productivity Index decline for NA-16
Productivity Index decline for NA-37
1
actual
0,8
actual
0,8
Adjust from data
Predict for PI
Adjust from data
Predict for PI
0,6
PI
PI
0,6
160
tD (pvi)
12b)
1
140
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0
500
1000
1500
2000
2500
T (days)
0
500
1000
1500
2000
2500
T (days)
13c)
12c)
Fig. 12. Adjustment of kinetics coefficient λ and formation
damage coefficient β from Namorado field data.
a) Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well NA-16, Campos Basin.
b) Impedance growth versus time (pvi) for well NA-16, Campos
Basin.
c) Predict for productivity index decline for well NA-16.
Fig. 13. Adjustment of kinetics coefficient λ and formation
damage coefficient β from Namorado field data.
a) Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well NA-37, Campos Basin.
b) Impedance growth versus time (pvi) for NA-37, Campos Basin.
c) Predict for productivity index decline for well NA-37.
182
NA-52
90
200
80
Dilution Line
70
Well A1
60
λ = 881
λ =972
150
Dilution line
Actual
CBa (ppm)
Barium Concentration (ppm)
250
100
50
Adj. Reservoir
Simulation
40
30
20
50
10
0
0
0
0%
20%
40%
60%
80%
20
100%
40
60
80
100
% Seawater
% Seawater
14a)
Fig. 15. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well A1, Field A, North Sea.
Impedance
300
y = 0,0497x + 1
5
CBa (ppm)
J(tD )
4
3
2
1
Dilution line
250
Well B1
200
Well B2
Well B3
150
100
50
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
20
tD (pvi)
40
60
80
100
% Seawater
Fig. 16. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Field B, North Sea.
14b)
Productivity Index decline for NA-52
1,0
250
actual
Predict for PI
PI
0,6
0,4
CBa (ppm)
Adjust from data
0,8
Dilution line
Well C1
200
λ = 3043
150
100
50
0,2
0
0,0
0
200
400
600
800
1000
1200
T (days)
0
20
40
60
80
100
% Seawater
14c)
Fig. 14. Adjustment of kinetics coefficient λ and formation
damage coefficient β from Namorado field data.
a) Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Well NA-52, Campos Basin.
b) Impedance growth versus time (pvi) for NA-52, Campos Basin.
c) Predict for productivity index decline for well NA-52.
Fig. 17. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Field C, North Sea.
183
Distribution function for lambda values
0
20
40
60
80
00
00
30
00
28
00
26
00
24
00
22
20
00
00
18
00
16
00
100
14
12
0
0
0
50
00
100
10
150
0
200
80
λ = 580
250
0
300
8
7
6
5
4
3
2
1
0
60
Well D1
0
350
f(x)
CBa (ppm)
400
40
Dilution line
20
450
-1
λ (M m)
% Seawater
20a)
Fig. 18. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Field D, North Sea.
Distribution function for beta values
4
3
400
350
Well E1
300
CBa (ppm)
f(x)
Dilution line
λ = 971
250
2
1
200
0
0 - 100
150
101 - 200
201 - 300
301 - 400
401 - 500
501 - 600
601 - 700
701 - 800
β
100
50
20b)
0
0
20
40
60
80
100
% Seawater
Fig. 19. Barium Concentration profile versus seawater fraction in
produced water for Field E, North Sea.
Fig. 20. Distribution function for parameter λ and β due all field
studies
-1
a) Kinetics coefficient λ (M∗m)
b) Formation damage coefficient β
184
Apêndice K - Artigo Publicado em 2006
BEDRIKOVETSKY, P.G., MACKAY, E.J., MONTEIRO, R.P.S., PATRICIO, F.M.R.,
ROSÁRIO, F.F., (2006) Injectivity Impairment due to Sulphate Scaling during PWRI: Analytical Model.
SPE paper 100512, SPE International Oilfield Scale Symposium, Aberdeen, Scotland, U.K., 30 May–
1 June.
185
SPE 100512
Injectivity Impairment due to Sulphate Scaling during PWRI: Analytical Model
P. G. Bedrikovetsky, SPE, North Fluminense State University (LENEP/UENF); E. J. Mackay, SPE, Heriot-Watt University;
R. P. Monteiro, F.M.R. Patricio North Fluminense State University (LENEP/UENF); F. F. Rosário, SPE,
Petrobras/CENPES
Copyright 2006, Society of Petroleum Engineers
This paper was prepared for presentation at the 2006 SPE International Oilfield Scale
Symposium held in Aberdeen, Scotland, U.K., 30 May–1 June 2006.
This paper was selected for presentation by an SPE Program Committee following review of
information contained in an abstract submitted by the author(s). Contents of the paper, as
presented, have not been reviewed by the Society of Petroleum Engineers and are subject to
correction by the author(s). The material, as presented, does not necessarily reflect any
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Box 833836, Richardson, TX 75083-3836, U.S.A., fax 01-972-952-9435.
Abstract
Previous work has derived an analytical model for
simultaneous flow of incompatible waters in porous media
with sulphate salt precipitation, determined typical values of
kinetics reaction coefficient from corefloods and what the
impact would be on productivity impairment during sulphate
scaling.
This paper extends the previous work, by modelling the
injectivity impairment during simultaneous injection of
incompatible waters, i.e. cation-rich produced water (PWRI)
and seawater with sulphate anions. An analytical model with
explicit expressions for deposited concentration and injectivity
decline was developed.
The location of scale deposition and the resulting
injectivity impairment are calculated for a range of
sensitivities, including reaction kinetics (ranging from
minimum to maximum values as obtained from coreflood and
field data), fraction of produced water in the injected mixture
and barium concentration in produced/re-injected water.
The theoretical parameter of the size of formationdamaged zone was introduced. It was found out that almost all
deposition takes place in 2-4 well radii neighbourhood.
Calculations show that simultaneous injection of seawater
with produced water containing even decimal fractions of ppm
of barium would results in significant injectivity decline.
Introduction
Sulphate scaling with consequent deposit formation and
wellbore damage is a well-known phenomenon that occurs
during waterflooding, when mixing of incompatible injection
and formation waters may result in sulphate salt precipitation
and flow restriction1. The most significant damage occurs in
and near production wells, where dispersion and chemical
kinetics are particularly high due to high fluid velocities, and
where the mixing of the different brines is most pronounced2.
The sulphate scaling productivity impairment has been widely
reported for North Sea, Gulf of Mexico and Persian Gulf
fields3,4.
Produced water re-injection (PWRI) involves injection of
some additional water in order to fulfil the injectionproduction volumetric balance. In offshore waterflood
projects, PWRI is complemented by seawater injection. The
produced water may contain barium, strontium, magnesium
and other metal cations, as well as seawater is sulphate-rich.
Simultaneous injection of incompatible waters results in
sulphate salt deposition and consequent injectivity
impairment5.
The injectivity decline depends on metal cation
concentration in injected water, formation damage coefficient,
kinetics of chemical reaction, salt deposition, rock
permeability and injection rate. The injectivity prediction and
consequent decision making on PWRI, on mixing with
seawater and on inhibition/scale removal requires laboratorybased mathematical modelling5.
Mathematical modelling and laboratory studies of sulphate
scaling are widely available in the literature6-17.
The mathematical model for reactive flow consists of mass
balances for all species that account for chemical reactions and
hydrodynamic dispersion8,12,17-20.
Axi symmetric diffusion-free equations of multiple
chemical reactions during injection can be solved analytically
using method of characteristics21. The same applies for quasi
steady state production of injected and formation waters with
sulphate scaling and productivity impairment22; the analytical
model shows that skin factor is proportional to the volume of
produced water.
The dispersion-free model contains two empirical
parameters: the kinetics coefficient characterizing the
chemical reaction velocity, and the formation damage
coefficient reflecting the permeability decline due to salt
precipitation16,17. Both coefficients can be determined from
either coreflood or production well history. The kinetics
coefficient as a kinematics parameter can be determined from
core effluent concentration (from concentration in produced
water in production well case)36. The formation damage
coefficient as a dynamics parameter can be determined from
186
increase of the pressure drop on the core (productivity index
decrease). Both inverse problems are well posed36.
This paper discusses injectivity impairment due to sulphate
scaling during commingled injection of seawater and produced
waters. Irreversibility of the scaling chemical reaction is
assumed, and symmetric radial flow is supposed to take place
around the injector in a reservoir. An analytical model based
on exact solutions of the flow equations and incorporating the
chemical reaction is developed. The main result is a linear
dependency of the reciprocal injectivity index with time, with
the most significant damage occurring within a radius
equivalent to 2-4 times the wellbore radius. The
proportionality coefficient (a so-called impedance slope)
determines the injectivity decline during PWRI.
The maximum barium concentration in the injected brine
that may be tolerated before significant injectivity decline has
order of magnitude of 0.01-0.1 ppm. The particular care must
be taken on produced water composition when used at PWRI
simultaneously with seawater.
Mathematical Model for PWRI Near-Well Sulphate
Scaling
The injectivity impairment during simultaneous injection of
produced water and seawater occurs due to chemical reaction
between sulphate anions from the seawater and barium /
strontium cations from the produced water. The reaction
product – barium sulphate salt – deposits on the rock causing
permeability reduction and consequent injectivity decline.
The schema of sulphate scaling during PWRI is presented
in Fig.1. The accumulation of precipitant occurs near to
injector wellbore.
The mathematical model for sulphate scaling during
simultaneous injection of two incompatible waters is given by
system of four eqs. (A-1)8,12,17.
One phase flow of aqueous solution with Ba2- and SO42+
ions is assumed to occur at the presence of residual oil. Water
and rock are incompressible.
The Amagat law for overall volume balance of reacting
fluid and precipitating solids holds. It results in conservation
of water flux18,19. Therefore, water flux Q in (A-1) depends on
time only and in the considered particular case is assumed to
be constant.
The first and second eqs. (A-1) are mass balances for
barium cations and sulphate anions, respectively. The
equations account for second order chemical reaction between
two species; law of acting masses23-29 determines the chemical
reaction rate in right hand side of mass balance equations.
The chemical reaction rate constant Ka in porous media is
also flow-velocity-dependent29. Following experimental
data16,17 we assume proportionality between the chemical
reaction rate constant Ka and flow velocity, (A-2). The
proportionality coefficient λ is called the kinetics constant; its
dimension is (M*m)-1. The kinetics constant λ is equal the
reciprocal to the reference distance that one mole of reagent
moves in order to almost disappear due to chemical reaction.
The model (A-1) also accounts for hydrodynamic
dispersion of species in water flux; the dispersion coefficient
is assumed to be proportional to flow velocity U, (A-3)18,30.
The proportionality coefficient – the dispersivity αD – is equal
to the reference size of rock micro heterogeneity that causes
the mixing.
Third eq. (A-1) is mass balance for solid deposit that
precipitates due to the chemical reaction.
The Darcy’s law (fourth eq. (A-1)) accounts for
permeability reduction due to solid precipitant. Following, the
hyperbolic dependency of permeability on deposited
concentration was chosen31. The permeability reduction in
this case is determined by one constant - the formation damage
coefficient β.
The model (A-1) consists of four equations for four
unknowns cBa, cSO4, σ and p. First two equations (A-1) are
independent of σ and p, so they separate from the third and
fourth equations.
The model (A-1) describes the reacting flow during
simultaneous produced water re-injection and seawater
injection in offshore oilfield submitted to waterflooding.
Introduction of dimensionless parameters (A-4) transfers
system (A1-3) to dimensional form (A-5). At this point we
assume instant mixing of two simultaneously injected waters
in the reservoir and ignore specie dispersion, (A-6).
The bulk of precipitant accumulates near to wellbore; the
zone size is equal to several well radii. Therefore, the well
radius is selected as a reference size of sulphate scaling
injectivity reduction process and is used to dimensionalise
radial co-ordinate r at axi symmetric flow (A-4).
Barium and sulphate concentrations are dimensionalized
0
0
and c SO4
by their concentrations in the injected water, cBa
respectively.
Seawater and produced water are mixed in proportion N:1.
1
and
For given barium concentration in produced water C Ba
1
sulphate concentration in seawater C SO4
, barium and sulphate
concentrations in injected water are:
C1
N C1SO4
0
c0Ba = Ba , cSO4
=
(1)
N+1
N+1
The dimensionless system (A-5) contains three
dimensionless parameters: εk, εD and α.
The chemical kinetics number εk is a ratio between well
radius and the reference distance that one mole of reagent
moves in order to almost disappear due to chemical reaction.
Calculations based on Table 1 shows that the chemical
kinetics number εk varies in the interval 0.6 - 50.
The diffusion number εD is reciprocal to Peclet number; it
is equal to the ratio between dispersivity αD and well radius rw.
The concentration ratio α is ratio between injected
concentrations of barium and sulphate.
For simplicity, we ignore dispersion in mass balance
equations for both ions, (A-6).
Initial conditions (A-7) for PWRI sulphate scaling
correspond to the absence of barium from the formation water
at the beginning of re-injection. Initial sulphate concentration
in the reservoir is equal to sulphate concentration in previously
injected seawater.
Boundary conditions (A-8) correspond to fixing both
concentrations c0Ba and c0SO4 on injector.
Analytical Model for Sulphate Scaling in Well Vicinity
187
The analytical solution of the problem of simultaneous
injection of two incompatible waters (A-6,7,8) is found in
Appendix B by method of characteristics21.
Fig. 2 shows the structure of the flow zone. The front of
the injected water moves along the reservoir with
dimensionless speed (1-sor)-1. Both specie concentrations are
equal to their initial values ahead of the injected water front.
Concentrations of both ions are steady state behind the
front and are given by formula (B-9) and (B-10). Fig. 3
presents barium concentration profiles for different kinetics
numbers.
The deposit concentration is given by formula (B-11). Fig.
4a shows the deposition profiles and how the deposit
accumulates with time.
The ion concentrations are steady state behind the front
while the deposit accumulates proportionally to time, (B-13),
(Fig. 2). The ion concentrations decrease with distance from
unity on the well to
⎡
⎛
⎞⎤
t
− x ⎟⎥
(1 − α ) exp ⎢ −ε (1 − α ) ⎜ x +
1− s
⎣
⎝
⎠⎦
(2)
C(t ) =
⎡
⎛
⎞⎤
t
− x ⎟⎥
1 − α exp ⎢ −ε (1 − α ) ⎜ x +
1− s
⎣
⎝
⎠⎦
on the front. The frontal concentration decreases exponentially
with time tending to zero as time tends to infinity. The
expression for the frontal concentration is obtained from eq.
(B-9) for barium concentration profile behind the injected
water front.
The deposit concentration decreases from
εk t D
S ( x Dw , t D ) =
(3)
2 x Dw (1 − s or )
D
k
Dw
Dw
or
D
D
k
Dw
Dw
or
on the well to zero on the front. The expression for the
deposited concentration on the well is obtained from eq. (B11) for barium sulphate concentration profile.
Formula (B-11) shows the dynamics of precipitant profile
at negligibly small times, until the concentration front reaches
the boundary of the formation damage zone, and at large times
also. Soon after the beginning of re-injection, the volume of
injected water highly exceeds volume of formation damage
zone, and precipitant concentration becomes proportional to
time, (B-13). The precipitant concentration is
M BaSO4 c0Ba t D
σ ( x D , t D ) = Su ( x D )
,
2 (1 − s or ) ρBaSO4
(4)
εk C ( x D ) Y ( x D )
Su ( x D ) =
xD
Therefore, deposition profile is characterised by the
function of xD - Su(xD). The plots for different kinetics
numbers and concentration ratios are presented in Fig. 4b.
The explicit formulae for both reagents and deposited
concentrations (B-9,10,13) allow deriving the explicit formula
for injectivity index versus time. Following31, let us introduce
the impedance that is reciprocal to dimensionless injectivity
index
II(0) ∆P(t D ) q(0)
J (tD ) =
=
(5)
II(t D ) ∆P(0) q(t D )
While injectivity index decreases, the impedance increases.
The main result of injectivity index derivations from
Appendix C is proportionality between the impedance and
time:
J(t D ) = 1 + mt D
m=
M BaSO4
β c0Ba
⎛ R ⎞ ρBaSO4
2 (1 − s or ) ln ⎜ c ⎟
⎝ rw ⎠
M ( εk , α ) = εk
2
x Dd
∫
1
C(x D )Y(x D )
xD xD
M ( εk , α )
(6)
dx D
Here xDd is the damaged zone size (Appendix D). The
barium sulphate deposition outside this zone does not affect
injectivity, therefore the upper limit of integration in (6) is
equal to xDd.
The impedance slope m depends on two empirical
coefficients εk and β that characterise the sulphate scaling
system, i.e. the porous medium and the fluid. The impedance
slope is proportional to formation damage coefficient β.
Therefore, it is convenient to separate m into two coefficients:
the first coefficient containing β and the impedance constant
M; coefficient M depends on εk and is independent of β.
From (6) follows that skin factor is proportional to number
of p.v.i.:
m ⎛R ⎞
Sf = ln ⎜ c ⎟ t D
(7)
2 ⎝ rw ⎠
Radius of Formation Damage Zone
The analytical solution shows that the precipitation area is the
total space between the injected water front and the injector
(Fig. 2). Nevertheless, the profiles for deposited salt (B-13)
abruptly decrease from well towards the reservoir (Fig. 4). The
larger is the distance of the reservoir point, where the
permeability decreased, from the well, the lower is its impact
on injectivity growth. The precipitation that affects well
injectivity takes place in 1.3 - 2.0 well radius neighbourhood
of the injector. Let us define the formation damage zone radius
rd in such a way, that the effect of the salt deposited in
reservoir points far away from the well r>rd, on well
injectivity, can be neglected.
The damaged zone radius is defined in Appendix D as a
minimum radius of a zone outside which the deposited
precipitant almost does not affect well injectivity, i.e. removal
of precipitant from the well neighbourhood with radius rd
restore injectivity up to the level 1-δ of its initial undamaged
value J=1:
x Dd
x Dc
C(x D )Y(x D )
C(x D )Y(x D )
=
−
δ
(8)
dx
1
(
)
D
∫1 x x
∫1 x x dx D
D
D
D
D
The precision δ depends on precision of the reservoir
simulation in each particular case; it could be 0.01, 0.1, etc.
Fig. 5 shows the plot of impedance constant M(xD) versus
contour radius for the real field case (reservoir A, North Sea):
reservoir thickness h = 152,4 m, half-distance from injector to
producer Rc = 500 m; well radius rw = 0.15 m; sulphate
concentration in injected water cSO40 = 3000 ppm; porosity φ =
0.18; rate Q = 55000 BBL/day. The impedance constant M for
188
this case is given by curve 1. Here we use λ = 4000 (Mm)-1,
where M is molar unit for concentration one gmol/L (the same
as kgmol/m3).
Curves 2, 3 and 4 differ from the real case by values of εk
and α. Curve 1 almost coincides with curve 2, as well as curve
3 almost coincides with curve 4. So, for small values of
concentration ratio α, α value just slightly affects the
impedance constant M.
Let us explain the phenomenon of independence of the
impedance constant M of the concentration ratio α for cases of
small concentration ratio, α<<1. When barium concentration
is negligible lower than that of sulphate, the chemical reaction
does not cause sulphate variation. Asymptotic expansion of
barium profile (B-9) over small α results in zero-order term,
so barium profile (B-9) is proportional to injected barium
concentration. Fixing constant sulphate concentration in eq.
(B-13) we obtain proportionality between impedance constant
m and cBa0, (C-8). The impedance constant M becomes
independent of the concentration ratio α.
In Fig. 5 we used small α values, α<<1, so curves 1 and 2,
3 and 4 almost coincide.
Function M(xD) differs from its asymptotic value by 0.01
at xDd = 1.8 for εk = 18.74, which corresponds to rd =1.3 rw.
For εk = 4.7, M(xD) differs from its asymptotic value by 0.01 at
xDd = 4.8, which is equal to 2.2 rw. The formation damage zone
size is equal to several well radii.
Fig. 6 shows dimensionless size of formation damage zone
xDd versus kinetics number for two values of concentration
ratio – 0.02 and 0.2. The higher is the kinetics number the
faster precipitation happens and the smaller is the zone of
deposit accumulation. For cases where sulphate concentration
highly exceeds barium concentration, the formation damage
zone radius is almost independent of the barium concentration
in the injected fluid.
Fig. 6 illustrates that the concentration radio almost does
not affect the impedance slope – curves with α = 0.2 and 0.02
coincides.
Since the formation damage zone radius is usually equal to
several well radii, in the present work we use the well radius
rw to adimentionalise the radial coordinate r (A-2). Therefore,
dimensionless time is measured in injected fluid volumes,
where the unit corresponds to
V1 = πrw2 hφ
(9)
which has order of magnitude of 1 cubic meter per meter of
the reservoir thickness.
The fact that a damaged zone has size of several well radii
is very important for well stimulation design. For example, the
definition of the necessary volume of acid or solvent32 to
remove the scale is determined by the rd value.
The formation damage zone volume is
Vd = π ( rd2 − rw2 ) hφ
(10)
which has order of magnitude of ten cubic meters per meter of
the reservoir thickness.
Formula (10) can be used for volume estimates of scaling
removing solvent or of acidizing fluid. Using exact formula
(10) is particularly important for horizontal injectors where
length may be hundred times higher than that for horizontal
wells, and consequently huge solvent/acid volumes should be
used.
If additional perforation is planned in order to restore the
injectivity, the perforation depth should exceed the radius of
damaged zone.
Precipitation Profiles
Let us calculate the range variation of dimensionless
kinetics number εk. The kinetics coefficient varies from 200 to
10000 (M*m)-1 (see Table 1). Well radius rw = 0.1 - 0.15 m,
and sulphate concentration in seawater slightly varies near
3*10-2 Molar (3000 ppm).
Fig. 3 shows the effect of kinetics number on barium
concentration profile. As it was mentioned before, the profile
is steady state behind the concentration front. Curves 1,2,3 and
4 correspond to different kinetics numbers - εk = 0.62, 3.12,
12.48 and 31.2 respectively. The above-mentioned kinetics
number values correspond to the following values for kinetics
coefficient: λ = 200, 1000, 4000 and 10 000 (M*m)-1
respectively. The concentration ratio is α = 0.02.
The higher is the kinetics number, the more intensive is the
chemical reaction, and the more abrupt is barium
concentration decline with radius.
Table 1 shows that the most typical kinetics coefficient
values are λ = 1000 and 4000 (M*m)-1, so the typical
concentration profiles are presented by curves 2 and 3. Fig. 3
shows that despite the barium concentration is non-zero in the
overall zone behind the injected water front, it almost
disappears at the distance 1.4-2.5 well radii.
The precipitation profiles are shown in Fig. 4a for different
dimensionless times: tD = 5x105; 106; 5x106; 1.1x107 and εk =
18.72 (λ = 4000 (M*m)-1). The maximum time tD = 1.1x107
corresponds to one pore volume injected when the reservoir
contour radius is 500 m. Deposit accumulates mainly near to
wellbore. Precipitation takes place in well vicinity xDd =
1.6xDw that corresponds to damaged zone radius 1.28 rw .
For the purposes of injectivity forecast we use times
tD>>xDd, where the injected water volume highly exceeds the
damaged zone volume, and the precipitated concentration is
proportional to time, (B-13). Therefore, the precipitation
profile can be expressed by the function
ε C ( xD ) Y ( xD )
Su ( x D ) = k
xD
(11)
Su ( x D ) t D
S( xD , tD ) =
2 (1 − s or )
Fig. 4b presents Su profile for different kinetics numbers
and concentration ratios. The kinetics numbers are εk = 3.7 and
18.72 (λ = 800 and 4000 respectively) and concentration ratios
are α = 0.01 and 0.1.
The higher is the kinetics number the higher is the
precipitant concentration. Curves 3 and 4 lay above curves 1
and 2.
The dimensionless precipitation profile is almost
independent of the concentration ratio α. Here we used small
α values, α<<1, so barium concentration is much smaller than
that of sulphate. In this case, at it was explained above, the
solution σ(xD,tD) is proportional to the injected barium
concentration cBa0, and the dimensionless function S(xD, tD) is
189
independent of the concentration ratio α. Therefore, curves 1
and 2, 3 and 4 in Fig. 4b almost coincide. The concentration
ratio α does not affect the profile Su(xD) for small barium
concentrations.
The profile Su(xD) determines impedance slope M; see
formulae (6,11). Therefore, curves 1 and 2, 3 and 4 in Fig. 5,
that differ from each other by α-value only, almost coincide.
The damaged zone radius is determined by M(xD) plots.
Therefore, the concentration ratio α almost does not influence
the damaged zone size xDd for small α values, α<<1 (Fig. 6).
Injectivity Index Calculations
The injectivity decline is characterised by impedance slope M,
(6). The slope depends on kinetics number and on
concentration ratio. Fig. 7a presents increase of M versus
kinetics number for concentration ratios α = 0.01, 0.05, 0.1
and 1.0 (curves 1,2,3 and 4 respectively). The M-curves
almost coincide for small concentration ratios α<0.1. It was
explained above by small variation of sulphate concentration
where the governing system is linear and the solution is
proportional to injected barium concentration. The M values
slightly decrease for α = 1.
The higher is the kinetics number, the more intensive is
the chemical reaction, so impedance constant M increases
when εk increases. The constant M increases fast at small
kinetics number values, where εk does not exceed 5-7; for
large εk the slope tends to its asymptotic value. The impedance
constant M is almost independent of the kinetics number for
large εk values that exceed 20-30.
The dependency of the impedance constant M on
concentration ratio is shown on Fig. 7b for kinetics numbers εk
= 0.94, 4.68, 18.72 and 46.8. The above-mentioned small
effect of α for α<0.1 and high effect of εk for εk<10 can be
seen from Fig. 7b also.
Time variation of well injectivity index and of impedance
is shown in Fig. 8 for concentration ratio α = 0.02. Impedance
growth is shown in Fig. 8a; injectivity index decline is shown
in Fig. 8b versus tD in pore volumes injected, and in Fig. 8c –
versus real time. The higher the kinetics number the faster are
impedance growth and injectivity decline.
Changing Inlet Concentrations and fractions SW:PW
Fig. 9 shows how injectivity index declines for four different
barium concentrations in injected water. The higher is the
injected concentration the higher is the deposited
concentration the lower is the injectivity index.
Here we calculated the real case of field A (North Sea, UK).
The damaged zone radius was calculated by (D-1) – rd = 0.4m.
The plots on Fig. 9a,b allows to compare different ratios of
mixed produced and sea waters during the injection. The ratio
seawater : produced water is N:1. Recalculation of injected
barium concentration using formula (1) allows plotting
injectivity decline versus fraction N. Fig. 10 presents three
cases of mixing the produced and sea-waters for cBa = 80 ppm
in produced water; cSO4 = 2800 ppm in seawater. Here we took
the most common value for kinetics coefficient λ = 4000
(M*m)-1 that corresponds to εk = 13.92, α = 0.005, εk = 8.7, α
= 0.02 and εk = 3.48, α = 0.08 for curves 1, 2 and 3
respectively. The lower is seawater fraction, the lower is the
sulphate concentration. For all cases, sulphate concentration
highly exceeds that for barium, so α<<1, and the solution is
proportional to the injected barium concentration. The reaction
rate is proportional to sulphate concentration. Therefore, the
lower is the seawater fraction, the lower is the barium
concentration decrease. The location of curves 1, 2 and 3 in
Fig. 10 confirms the conclusion.
Fig. 11 shows profiles for Su(xD) and for deposition
S(xD,tD), tD=1 p.v.i., for three above-mentioned cases. One can
observe that the higher is the seawater fraction, the higher is
deposition near to well (continuous curve lay above two other
curves in well vicinity). The impact of deposition on
injectivity is mostly pronounced near to well, it can be
illustrated by the fact that xD3/2 appears in denominator of
integrant in (C-6). Therefore, the case of high seawater
fraction exposes the higher formation damage: curve 1 in plot
M(xD) lays above two other curves.
Fig. 12 presents impedance constant M versus contour
radius x=xDc. These plots allow calculating formation damage
zone radius rd. The obtained rd values are equal to several well
radii. Maximum value rd = 0.39 m was used in calculation of
impedance and injectivity index for three above-mentioned
cases of PWRI (Fig. 15).
Effects of the ratio N of seawater to produced water on
impedance constant M and on impedance slope m are shown
in Figs. 13,14. Dependency of the impedance constant M on
injected sulphate ion concentration is determined mainly by
the term of εk in front of integral (6); εk is proportional to the
injected sulphate ion concentration. Therefore, the impedance
constant M increases with increase of the ratio N. For high N
and excess of sulphate, M is determined by barium ion
concentration and tends to constant value (Fig. 13).
The impedance slope m is low for the cases of high excess
of either barium or sulphate. Therefore, m is small for large
and small ratios N. It explains non-monotonic dependency of
slope m on ratio N (Fig. 14).
Fig. 15a shows impedance versus pore volume of injected
water tD. Injectivity index decrease versus pore volume of
injected water is presented in Fig. 15b. Injectivity index versus
real time is shown in Fig. 15c. The higher the seawater
fraction, the lower is the injectivity index.
Maximum Barium Concentration in Re-Injected
Water
Formula (6) with correspondent plots from Fig. 9-15 allows
calculating the maximum barium concentration in injected
water causing given injectivity index decline.
The data are presented in Table 2a,b. First column exposes
the period of two times injectivity decrease in pore volume
injected, the second column shows this period in real time, and
third column exposes the corresponding barium concentration.
Here we took the following data from offshore field A,
North Sea, UK: reservoir thickness h = 152,4 m, half-distance
from injector to producer Rc = 500 m; well radius rw = 0.15 m;
sulphate concentration in injected water cSO40 = 3000 ppm;
porosity φ = 0.18; λ = 4000 (Mm)-1; rate Q = 55000 BBL/day.
Table 2a corresponds to the case of two times injectivity
decrease during one pore volume injected, table 2b shows
barium concentration for five times decrease of injectivity.
190
PWRI using produced water with barium concentration of
0.04 ppm results in two times decrease of injectivity after one
p.v.i. If barium concentration is equal to 0.159 ppm, the
injectivity after one p.v.i. decreases five times.
Fig. 16 shows dependencies of maximum barium
concentration on kinetics constant λ and on kinetics number
εk. The more intensive is the chemical reaction, the higher is
the formation damage for a given barium concentration.
Therefore, maximum barium concentration decreases when
the kinetics number increases.
During one p.v.i., number of injected pore volumes of
damaged zone is (Rc/rd)2 that is approximately 4*106. During
simultaneous steady-state flow of two reagents through a rock
during millions of p.v.i., even very small concentration of one
of reagents may cause significant permeability damage.
Characterisation of Sulphate Scaling System from
Injectivity Data
The reactive flow model (A-5) for simultaneous injection of
seawater and produced water with consequent injectivity
damage contains three independent physics constants:
concentration ratio α, kinetics coefficient λ and formation
damage coefficient β. The concentration ratio is known from
the analysis of injected waters while the kinetics and
formation damage coefficients are phenomenological
parameters that characterise the rock-fluid system and cannot
be predicted theoretically for real rocks and fluids. These two
coefficients must be determined from either laboratory or well
data. Nevertheless, just one constant can be determined from
injectivity decline data, which is the impedance slope m.
Dependency of the impedance slope m on λ and β is given
by eq. (6). So, one equation for two unknowns is available for
characterisation of the sulphate scaling system from injectivity
decline data.
One of ways around the problem is using laboratory
coreflood data on simultaneous flow of produced and sea
waters. Outlet barium concentration allows calculating the
kinetics coefficient λ, and pressure drop on the core
determines the formation damage coefficient β17.
Measurements of pressure in the middle of the core along with
pressure at core edges substitutes the effluent concentration
information and allows calculating both λ and β (so called 3point-pressure method33,34).
Another way around is using the pressure build up test for
injector. Wellbore pressure evolution during the test allows
calculating permeability profile around the well35. Appears the
second equation
k0
k (r) =
(12)
1 + βσ ( r, t 0D )
allowing for calculation of both coefficients λ and β.
Discussions
The mathematical model for simultaneous injection of
seawater and produced water with consequent injectivity
damage depends on three dimensionless parameters: kinetics
and formation damage coefficients and concentration ratio.
The kinetics and formation damage coefficients are
phenomenological parameters that characterise the rock-fluid
system and cannot be predicted theoretically for real rocks and
fluids. Two coefficients must be determined from either
laboratory or well data.
Analytical model shows that during simultaneous injection
of incompatible waters, the concentration front moves with the
velocity of injected water. Both reagent concentrations are
zero ahead of this front and are steady state behind the front.
Deposited concentration linearly increases with time.
The precipitant accumulates in each point of the reservoir
after passing the point by the concentration front. The
deposited concentration is proportional to injected water
volume. The reciprocal to injectivity index is also proportional
to injected water volume, and the proportionality coefficient
(impedance slope) determines how fast the injectivity falls
down. The impedance slope is proportional to formation
damage coefficient. The impedance slope can be determined
from the well injectivity decline data.
The accumulating deposit decreases the injectivity only
inside limited area around the injector; the deposit is small
outside this area and does not affect injectivity. The area is
determined by so called formation damage size. Calculations
show that the formation damage size equals several well radii.
This information is important for calculating the amount of
damage removal fluid (solvent, acid), for determining the
perforation depth, and for interpretation of logging data.
If barium concentration in the injected mixture is
significantly lower than that of sulphate, the deposited
concentration and the impedance slope are proportional to
injected barium concentration. They are also proportional to
the fraction of produced water in the injected mixture with
seawater. These facts are important for planning the
produced/injected water management/treatment, including
decision making on mixing sea and produced waters,
treatment of produced water, and frequency of scale removal
operations.
Even 0.1-0.01 ppm concentrations of barium in produced
water being re-injected simultaneously with seawater may
cause significant injectivity damage. Therefore, it is very
important to take care on composition of produced water used
for PWRI.
Conclusions
The analytical modelling of sulphate deposition during
simultaneous injection of produced and sea waters allows to
make the following conclusions:
1. The system of simultaneous injection of two
incompatible waters is fully defined by two empirical
parameters: the formation damage coefficient and the
kinetics number.
2. Despite the precipitation area is the total space
between the injected water front and injector, the
precipitation that affects well injectivity takes place
in 1.5-3.0 well radius neighbourhood of the injector.
3. The defined formation damage zone radius is an
important characteristic of PWRI with simultaneous
seawater injection, allowing calculating necessary
acid volume in case of acidification, and solvent
volume in case of sulphate removal.
4. Deposited concentration in each reservoir point is
proportional to injected water volume.
191
5.
6.
7.
8.
The increase of reciprocal injectivity index
(impedance) is proportional to injected water volume.
The impedance slope is proportional to formation
damage coefficient and depends on kinetics number.
The well injectivity decline data allows calculation
either of two model parameters.
If the injected sulphate concentration highly exceeds
the injected barium concentration, the deposition
profile and impedance increase are proportional to
injected barium concentration. The dimensionless
deposition profile and the damage zone size are
independent of the concentration ratio α.
Simultaneous injection of seawater with produced
water containing even decimal fractions of ppm of
barium would results in significant injectivity decline.
Acknowledgement
Authors thank Dr. A. L. S. da Souza and Alexandre G.
Sequeira (Petrobras), Prof. Themis Carageorgos (UENFLENEP), Dr. Oleg Dinariev and Prof. A. D. Polianin (Russian
Academy of Sciences) for fruitful discussions.
Numerous discussions with Prof Y. Yortsos (USC, USA) on
reactive flows are highly acknowledged.
Nomenclature
C = dimensionless Ba2+ concentration
cBa= Ba2+ molar concentration in aqueous solution, M
cSO4= SO42- molar concentration in aqueous solution, M
D = dispersion coefficient, m2/s
h = thickness, m
II= injectivity index, m3/(s⋅Pa)
J = dimensionless impedance
k0 = initial permeability, D
Ka = chemical reaction rate constant, (M⋅s)-1 (2nd order
reaction)
krwor = relative permeability for water in the presence of
residual oil
m = slope of the impedance straight line
M = molar unit for concentration equals gmol/L (same
as kgmol/m3)
MBaSO4 = molecular weight for Barium Sulphate equals
0.23339 Kg/mol
p = Pressure, Pa
P = dimensionless pressure
Q = total rate, m3/s
r = radial co-ordinate, m
Rc = contour radius, m
rw = well radius, m
rd = damage radius, m
sor = residual oil saturation
S = dimensionless BaSO4 concentration
t = time, s
T = dimensionless time
tD = time in p.v.i.
U = flow velocity, m/s
V = concentration difference
X = dimensionless coordinate
Xw = dimensionless well coordinate
Xd = dimensionless damage zone coordinate
Y = dimensionless SO4 concentration
Greek letters
2+
α = ratio between injected concentrations of Ba and
2SO4
αD= dispersion coefficient, m
β = formation damage coefficient
εD = dimensionless diffusive (Schmidt) number
εk = dimensionless chemical kinetics number
φ = porosity
λ = kinetic intensity, (M⋅m)-1 (2nd order
reaction)
µw = water viscosity, kg/(m⋅s)
3
ρBaSO4= density of the Barite, 4193.9 Kg/m
σ = BaSO4 molar concentration in solid deposit, M
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Appendix A. Governing Equations for Sulphate
Scaling in Porous Media
The system of governing equations for axi symmetric flow of
aqueous solution of barium and sulphate ions with
precipitation of solid barium sulphate consists of mass balance
equations for barium cations, for sulphate anions, for barium
sulphate and of the modified Darcy’s law accounting for
permeability reduction due to solid salt deposition8,12,17:
∂c
∂c ⎞
∂⎛
2πrhφ (1 − sor ) Ba + ⎜ QcBa − 2πrhD Ba ⎟
∂t
∂r ⎝
∂r ⎠
= −2πrhK a cBa cSO4
2πrhφ (1 − sor )
∂cSO4
∂t
+
∂cSO4
∂⎛
⎜⎜ QcSO4 − 2πrhD
∂r ⎝
∂r
= −2πrhK a cBa cSO4
φ (1 − sor )
⎞
⎟⎟
⎠
(A-1)
ρBaSO4 ∂σ
= K a cBa cSO4
M BaSO4 ∂t
k k
∂p
Q
= − 0 rwor
µ (1 + βσ ) ∂r
2πrh
According to numerous coreflood data, we assume that the
chemical reaction rate constant Ka is proportional to flow
velocity16,17
K a = λU
(A-2)
It is assumed that the dispersion coefficients for Ba2+ and
SO42- ions are equal and proportional to flow velocity30:
(A-3)
DBa ≅ DSO4 ≅ D = α D U
U=
Let us introduce the following dimensionless parameters:
C=
cBa
c0Ba
, Y=
cSO4
0
cSO
4
⎛ r ⎞
⎟
⎝ rw ⎠
, X=⎜
2
, T=
Qt
πhφrw
2
P=
ρBaSO4 σ
4πhk 0 k rwor p
, S=
,
µQ
M BaSO4 c0Ba
α
εD = D
rw
0
, εk = λrw cSO
,α =
4
(A-4)
c0Ba
0
cSO
4
Substituting dimensionless co-ordinates and parameters (A-4)
in the system of governing eqs. (A-1), we obtain
ε
∂C ∂C
∂
∂C
(1 − sor ) + = εD ⎛⎜ 2 X ⎞⎟ − k CY
∂T ∂X
∂X ⎝
∂X ⎠ 2 X
∂Y ∂Y
∂ ⎛
∂Y ⎞ ε k
+
= εD
αCY
⎜2 X
⎟−
∂T ∂X
∂X ⎝
∂X ⎠ 2 X
ε
∂S
(A-5)
(1 − sor ) = k CY
∂T 2 X
∂P
X
1= −
∂
X
⎛
⎞
M
BaSO 4
S⎟
⎜ 1 + βc0Ba
⎜
ρBaSO4 ⎟⎠
⎝
First two eqs. (A-5) are separated from the third and fourth
equations. After neglecting the hydrodynamic dispersion,
equations take the form
ε
∂C ∂C
(1 − sor ) + = − k CY
∂T ∂X
2 X
(A-6)
ε
∂Y ∂Y
(1 − sor ) + = − k αCY
∂T ∂X
2 X
Displacement of water with SO42- anions by Ba2+- and
SO42--rich water is described by the following initial
conditions:
T = 0: C = 0 , Y = Y0
(A-7)
The re-injection of water with SO42- anions and Ba2+ cations
into the reservoir, saturated by Ba2+-rich water, corresponds to
the inlet boundary conditions where concentrations are fixed
for both species:
(A-8)
X = Xw : C = 1 , Y = 1
(1 − sor )
Appendix B. Analytical Model for 1d Flow
Both concentrations are equal to their initial values in the zone
ahead of the injected water front
C = 0, Y = Y0 , (1 − s or )( X − X w ) > T > 0
(B-1)
Let us transform eqs. (A-6) to characteristic form behind the
front21
dT
= (1 − sor )
dX
ε
dC
= − k CY
dX
2 X
ε
1 dY
= − k CY
α dX
2 X
(B-2)
Introduce the
concentrations:
V(X) = C(X) −
following
Y(X)
α
linear
combination
of
two
(B-3)
Let us multiply third eq. (B-2) by α and subtract the product
from the second eq. (B-2). It results in the following
conservation equation for V(X):
194
dV
=0
dX
(B-4)
The inlet boundary condition for V(X) follows from (A-8):
1
X = Xw : V = 1 −
α
(B-5)
As it follows from (B-4), V is constant, so
1
V = 1−
α
(B-6)
So, the concentration difference (B-3) is constant along the
characteristics. Expressing the concentration Y versus X from
(B-6)
Y ( X ) = 1 + α ⎡⎣ C ( X ) − 1⎤⎦
(B-7)
and substituting it into second equation (B-2), we obtain an
ordinary differential equation:
ε
dC
= − k C ⎣⎡1 + α ( C − 1) ⎦⎤
dX
2 X
(B-8)
The first order ordinary differential equation (B-8) with
boundary condition (A-8) is solved by separation of variables:
−ε (1−α )( X − X w )
(1 − α ) e k
C(X) =
−ε (1−α )( X − X w )
1 − αe k
(B-9)
Substituting solution (B-9) into (B-7), we obtain sulphate
concentration profile
⎡
−ε k (1−α )( X − X w ) ⎤
⎢ (1 − α ) e
⎥
+1− α
Y (X) = α ⎢
−ε k (1−α )( X − X w ) ⎥
⎢⎣ 1 − αe
⎥⎦
(B-10)
Substitution of (B-9) and (B-10) into kinetics eq. (A-5) results
in explicit formula for deposit accumulation:
ε C(X) Y (X)
⎡ T − ⎡⎣(1 − sor )( X − X w ) ⎤⎦ ⎤
S ( X, T ) = k
⎦
2 X (1 − sor ) ⎣
(B-11)
For large times, when the injected water volume highly
exceeds the damaged zone volume
T >> ⎡⎣(1 − sor )( X d − X w ) ⎤⎦
(B-12)
and formula (B-11) can be simplified
ε C(X) Y (X)
S ( X, T ) = k
T
2 X (1 − sor )
(B-13)
The deposited concentration at large times is proportional to
dimensionless time.
Appendix C. Injectivity Index Calculations
Let us calculate the pressure drop between the contour and the
well using the pressure gradient expression as obtained from
modified Darcy’s law (A-1). The interval [Xw,Xc] is divided
into those of the damaged zone with alternated permeability
[Xw,Xd] and of the undamaged zone [Xd,Xc]:
Xd
∆P =
∫1
∂P
−
dX +
∂X
Xc
∫
X
−
∂P
dX
∂X
(C-1)
Outside the damaged zone, the precipitant does not affect the
injectivity. Deposited concentration at X>Xd can be neglected.
d
Substituting pressure gradient from (A-5) into (C-1), we
obtain the following expression for pressure drop between
injector and contour:
X
2
M BaSO4 d S(X, T)
⎛R ⎞
∆P = ln ⎜ c ⎟ + β c0Ba
dX
ρBaSO4
X
⎝ rw ⎠
1
(C-2)
Substituting dimensionless deposited concentration (B-13)
into (C-2), we obtain expression for the integral:
∫
Xd
∫1
εk T
S(X)
dX =
X
2 (1 − sor )
Xd
∫1
C(X)Y(X)
X X
(C-3)
dX
The final expression for the pressure drop is:
2
⎛R ⎞
βε k c0Ba M BaSO 4
∆P = ln ⎜ c ⎟ +
T
2 (1 − sor ) ρBaSO4
⎝ rw ⎠
Xd
∫
C(X)Y(X)
dX
X X
(C-4)
Let us introduce the following dimensionless impedance
function that is an inverse to dimensionless injectivity index
Q0 ∆P
J(T) =
∆P 0 Q
(C-5)
1
The impedance expression follows from (C-4, 5)
II 0
(T) = 1 +
II
βε k c0Ba
M BaSO4
2
⎛ R ⎞ ρBaSO 4
2 (1 − sor ) ln ⎜ c ⎟
⎝ rw ⎠
Xd
T
∫
1
C(X)Y(X)
dX
X X
(C-6)
So, the impedance is a linear function of time
J(T) = 1 + mT
m=
βε k c0Ba
2 (1 − sor )
M BaSO 4
2
⎛ R ⎞ ρBaSO 4
ln c
Xd
∫
C(X)Y(X)
X X
dX
1
⎜
⎟
r
⎝ w ⎠
(C-7)
Taking constants off the impedance slope m, we introduce
more general constant M:
M BaSO 4
β c0Ba
m=
M
2
⎛ R c ⎞ ρBaSO 4
2 (1 − sor ) ln ⎜
⎟
⎝ rw ⎠
Xd
M(εk , α) = ε k
∫
C(X, εk , α)Y(X, ε k , α)
X X
dX
1
(C-8)
Formula (C-7) allows for determination of formation damage
coefficient, β, from the pressure drop and injection rate data.
Appendix D. Radius of Formation Damage Zone
We choose the radius of formation damage zone rd in such a
way that pressure drop increase between the injection well
r=rw and the damaged zone boundary r=rd is equal to 0.9
(0.99) of the total pressure drop increase between the injector
and the contour r=Rc:
rd
∫
r
∂p
− dr = (1 − δ )
∂r
Rc
∂p
∫r − ∂r dr
(D-1)
Injectivity decline is determined by the slope m, (C-7). So, the
formation damage zone radius rd is defined in terms of M:
w
w
195
removal of deposition from the rd well neighbourhood results
in restoration of injectivity from its initial value J=1 up to
J=1-δ, i.e. incomplete removal is due to some deposit left
outside the damaged zone
X
M ( X, εk , α ) = ε k
C(X)Y(X)
∫
X X
Xw
Xd
∫
1
C(X)Y(X)
X X
dX = (1 − δ )
e
dX
= c1
e
Xc
C(X)Y(X)
∫
+ ε k (1 − α )
2
2
e
∫
⎛
⎜
⎝
X − Xw
(
(
X− X
)
)⎟
X − Xw ⎞
X w X X 1 − αe −ε k (1−α )
⎜
−ε (1−α )
X
(
−2ε k (1−α )
2
ε k α (1 − α )
−ε k (1−α ) X
2
X
)
, instead of X:
−2ε k (1−α )( X −
e
∫
(
⎛
X w X X 1 − αe −ε k (1−α )
⎜
⎜
⎝
= c1αe
ε k (1−α ) X w
e
e
−εk (1−α ) X w
u
)⎟
X − Xw ⎞
⎟
⎠
du
(1 − c2 u )2 ln 2 ( u )
The integral of the second term (D-3) is:
(D-5)
−εk (1−α ) X
1
∫
−εk (1−α ) X w
(1 − c2 u ) ln 2 ( u )
X
∫
C(X)Y(X)
X X
ε 1−α X
+c1αe k ( ) w
)
−εk (1−α ) X
∫
∫
du
e−εk (1−α )
2
dX =
(D-4)
∫
dX = c1
e
e
e
Xw
)
(D-6)
c 2 = αe
Finally, the integral in (D-3) is equal to
Xw
⎟
⎠
(D-3)
Calculate the integral of the first term in (D-3) using a new
variable u = e
X− X
w
e k
dX =
⎛
−ε k (1−α )( X − X w ) ⎞
X w X X ⎜ 1 − αe
⎟⎟
⎜
⎝
⎠
ε k (1−α ) X w
εk
dX +
w
e k
dX
⎛
−ε k (1−α )( X − X w ) ⎞
X w X X ⎜ 1 − αe
⎟⎟
⎜
⎝
⎠
∫
(
−ε (1−α )
X
3 ε 1−α X
c1 = −2ε k 2 (1 − α ) e k ( ) w
(D-2)
where the precision value δ could be taken as 0.01 or 0.1.
Let us calculate the integral in (D-2). Opening the product of
the concentrations inside the integral, we obtain:
M ( X, ε k , α ) = ε k α (1 − α )
2
Eqs. (D-4,5) contain two constants:
dX
X X
1
X
ε k (1 − α )
X
−εk (1−α ) X w
1
(1 − c2 u ) ln 2 ( u )
−ε k (1−α ) X
∫
−εk (1−α ) X w
u
(1 − c2 u )2 ln 2 ( u )
du +
(D-7)
du
Substitution of (D-7) into (D-3) provides with explicit
formula for the impedance slope m.
196
Table 1. Chemical kinetics and formation damage coefficients as obtained from different coreflood tests
Kinetics coefficient (λ)
Formation damage
Coreflood tests
⎛ 1 ⎞
⎜ M ⋅m ⎟
⎝
⎠
coefficient (β)
3003 - 3951
-
Water 1
922 – 1578
60 – 96
BSS0
23720 – 42200
45 – 79
BSS1
5540 – 9310
27 – 43
1533 – 2760
43 – 73
798 – 963
-
Lopes Jr., 2002
16,17
15
Todd et al., 1992
BSS2
Wat et al., 1992
14
Table 2. Barium concentration in injected water causing
a) two times injectivity decline during given time (field case, North Sea, UK)
b) five times injectivity decline during given time (field case, North Sea, UK)
a)
b)
tD (p.v.i.)
t
(months)
m
max CBa2+
(ppm)
tD (p.v.i.)
t
(months)
m
max CBa2+
(ppm)
0,010
0,037
0,074
0,150
0,440
1
1
3
6
12
36
82
1
1
1
1
1
1
3,25
1,10
0,55
0,27
0,09
0,04
0,010
0,037
0,074
0,150
0,440
1
1
3
6
12
36
82
4
4
4
4
4
4
15,90
4,30
2,15
1,06
0,361
0,159
SPE 100512
197
2-
Ba2+
SO4
Seawater
Produced water
De position Profile
1 .10
8
Sor
, T))
SS11(x( XD,t
D
, T)
SS2(x
2 (X
D,tD
σ(r,t 1)
X,t, T))5 .10
SS3(x
3 (D
D
7
σ(r,t 3)
, T)
SS4(x
4 (X
D,tD)
rd
rw
Fig. 1. Schema for barium sulphate deposition in the well vicinity due to
produced water re-injection.
tD
0
1
1.2
1.4
xX D
1.6
1.8
2
a)
0
S(xD ,tD )
0
Y(xD ,t D)
De pos ition Profile
20
0
C(xD ,t D)
1.0
3, 4
SS1
(x( XD))
u1u
SS2
(x( X
u2u
D)
0
t =t0
) 10
SS3
u(X
u3(x
D)
Dw
=x
xD
C=Y=1
SS4
(x( XD))
u4u
t D r)
so
+ (1-
0
1
1 .5
C=S=0 Y=1
Fig. 2. Concentration profiles behind the injection water front on the
plane (xD,tD).
(
)
M
, α)
(X , ,εε k ,α)
M2(x
M3(x
, α)
M
(X ,,εε k,α)
M4(x
, α)
(X , ,εε k,α)
M
M1(xX ,,ε
ε k,α)
,α
M
1 D k
( X) )
CC22(x
D
2
( X) ) 0.5
CC33(x
D
( X)
CC44(x
D)
4
6
X
x
2+
8
3
2
( X) )
CC11(x
D
2
2 .5
xX D
Fig. 4. Profiles for deposited concentration:
a) for different times: tD = 5*105; 106; 5*106; 1.1*107 and εk = 18.72;
b) curve 1: εk = 3.7, α = 0.01; curve 2: εk = 3.7, α = 0.1; curve 3: εk =
18.72, α = 0.01; curve 4: εk = 18.72, α = 0.1.
Barium Concentration Profile
1
2
b)
XD
XDw
0
1, 2
10
D
Fig. 3. Profiles for Ba concentration for different kinetics numbers: εk
= 0.94 ; 4.68 ; 18.72 ; 46.8 (curves 1,2,3 and 4, respectively).
D
1, 2
1.5
3, 4
k
3
D
k
4
D
k
1
0.5
0
rd = 1.3 r w
2
rd = 2.2 r w
4
6
8
10
xXD
Fig. 5. Function M(xD) achieves the asymptotic value at the distance
from the well that equals 1.3 and 2.2 well radiusCurves 1, 2, 3 and 4
corresponds to εk = 18.74 and α = 0.02; εk = 18.74 and α = 0.2, εk =
4.7 and α = 0.02, εk = 4.7 and α = 0.2, respectively.
SPE 100512
198
70
60
xDd
Impedance Growth
2500
alfa = 0.02
alfa = 0.2
50
J 1(t
( T)
J
1 D) 2000
40
)
JJ22(t( T
D)
30
JJ33(t(DT))
20
JJ44(t(DT))
10
1500
1000
500
0
0
10
20
30
εk
40
50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.008
0.01
tDt(D
T)
Fig. 6. Effect of kinetics number on formation damage zone radius for
different concentration ratios.
a)
2
( )
M2 ( ε k )
M3 ( ε k )
M4 ( ε k )
M1 ε k
1, 2, 3
1.5
Injectivity Decline
1
IIII11(t(DT))
4
1
IIII22(t(DT))
2
IIII33(t(DT)) 0.5
1
3
4
IIII44(t(DT))
0.5
0
0
10
20
30
40
0
50
0
0.002
0.004
εk
a)
b)
Impedance Slope
2
0.006
tt
DD( T)
Injectivity Decline
1
IIII11(t(DT))
M5 ( α )
IIII22(t(DT))
M6 ( α ) 1.33
M7 ( α )
IIII33(t( DT)) 0.5
M8 ( α ) 0.67
IIII44(t( DT))
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t)
t(T
months
months
b)
c)
Fig. 7. Sensibility analysis of impedance constant M:
a) M versus kinetics number for various concentration ratios α;
b) Effect of concentration ratio α on impedance constant M for various
εk.
Fig. 8. Effect of kinetics coefficient on injectivity decline (β = 100, rd =
0.2 m, Rc = 500 m):
a) impedance growth for four different values of kinetics number: εk =
0.94 ; 4.68 ; 18.72 ; 46.8;
b) injectivity decline for different values of kinetics number;
c) decline of injectivity index versus real time (months).
SPE 100512
199
Injectivity Decline
1
Deposition Profiles
15
II
II11(t( T
D)
S1
( XD))
Su1u(x
IIII22(t(DT))
1
10
2
S2
( XD))
Su2u(x
IIII33(t( DT)) 0.5
3
S3
( X))
S u(x
u3
IIII44(t(DT))
D
5
0
0
0.0074
0.0148
0.0222
0.0296
0
0.037
1
1.5
2
Injectivity Decline
7
.
7
S2S(x
2 (DX))
IIII33(t(DT)) 0.5
S(x
3 ( X))
S3
IIII44(t(DT))
2
4 .10
7
D
3
2 .10
7
0.5
1
3
1
) 6 10
S1S(x
1 (X
D)
III2I2(t(DT))
0
2.5
Deposi tion Profil es
8 .10
)
IIII11(t( T
D)
0
3
a)
a)
1
2.5
xXD
tD
tD( T)
1.5
2
2.5
0
3
1
1.5
2
X
x
D
t(T
t)
mo
nths
months
m
onths
b)
b)
Fig. 9. Injectivity index versus time: curves 1, 2, 3 and 4 correspond to
different concentration ratios, barium concentrations are 1.1, 5.0, 10.0
and 20.0 ppm:
a) time tD in pore volumes of the reservoir pattern;
b) time t in months.
Fig. 11. Barium sulphate deposition profile for different fractions of
produced water in the injected fluid:
a) S1u(xD): SW : PW = 4 : 1 (εk = 13.92, α = 0.005); S2u(xD): SW : PW =
1 : 1 (εk = 8.7, α = 0.02); S3u(xD): SW : PW = 1 : 4 (εk = 3.48, α = 0.08);
b) S1(xD): SW : PW = 4 : 1; S2(xD): SW : PW = 1 : 1; S3(xD): SW : PW
= 1 : 4 (at tD = 1 p.v.i.).
2
Barium Concentration Profiles
1
1
2
1.5
M1(x
( X))
M
1
D
( X))
CC11(x
D
( X))
CC22(x
D
( X))
CC33(x
D
M2(x
( X)
M
2 D)
1
0.5
3
1
M3(x
( X)
M
3 D)
2
0.5
3
0
0
1
2
3
xXD
4
5
6
Fig. 10. Effect of produced water fraction in the injected fluid on barium
concentration profile: C1(xD) - SW : PW = 4 : 1; C2(xD) - SW : PW = 1 :
1; C3(xD)- SW : PW = 1 : 4.
2
4
6
8
10
xXD
Fig. 12. Function M(xD) achieves the asymptotic value at the distance
from the well that equals 1.45, 1.69 and 2.59 well radius, respectively.
SPE 100512
200
2
Injecti vi ty Decline
b)
1
1.5
IIII11(t( TD))
MN( N)
1
)
IIII22(t( T
D)
)
IIII33(t( T
D)
0.5
0
0
2
4
6
8
0.5
10
0
N
0
0.5
1
1.5
Fig. 13. Sensibility of impedance constant M versus fraction N.
1.5 .10
2
2.5
3
t ( T)
t
months
months
4
c)
1 .10
4
5 .10
5
Fig.15. Effect of different fractions of produced water in the injected
fluid on injectivity decline:
a) impedance growth for three different fractions: (SW : PW = 4 : 1);
(SW : PW = 1 : 1); (SW : PW = 1 : 4);
b) injectivity decline for different fractions;
c) decline of injectivity index versus real time (months)
Rc = 500m; rw = 0.15m; β = 100; Q = 55000 BBL/day; h = 152.4m; φ =
0.356.
mN ( N)
1
0
0
2
4
6
8
m= 4
0,8
max C ba (ppm)
N
Fig. 14. Sensibility of impedance slope m versus fraction N.
Impedance Growth
1500
m= 1
10
0,6
0,4
( T))
JJ1(t
D
0,2
JJ22(t( TD))
0
1000
JJ33(t( TD))
0
2000
500
4000
-1
λ (M m)
6000
8000
a)
1
0
0.2
0.4
a)
0.6
0.8
1
t
tD ( T)
D
Injectivity Decl ine
1
IIII11(t( TD))
)
IIII22(t( T
D)
IIII33(t( TD))
m= 1
m= 4
0,8
max Cba (ppm)
0
10000
0,6
0,4
0,2
0
0.5
0
0
0
0.005
0.01
tD
tD( T)
0.015
0.02
2000
4000
-1 6000
λ (M m)
b)
8000
10000
Fig. 16. Maximum barium concentration in injected water causing given
injectivity index decline: m = 1 (causing two times injectivity decline
during 1 pore volume injected) and m = 4 (causing five times injectivity
decline during 1 pore volume injected):
a) versus kinetics coefficient λ;
b) versus kinetics number εk.