VII -C - Sistema de Lorenz e Outros Exemplos de Atratores - IF-USP
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VII Exemplos de Atratores Estranhos VII – C Sistema de Lorenz Primeira Parte Convecção de Rayleigh-Bernard Equação de Navier-Stokes dT 2 = κ∇ T dt Equação da continuidade r dv r r 2r ρ = F − ∇p + µ∇ v dt Equação de Condução do Calor ∂ρ r r + ∇ ⋅ ( ρv ) = 0 ∂t Equações de Lorenz dX = −σ ( X − Y ) dt dY = rX − Y − XZ dt dZ = XY − bZ dt X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária. Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente. Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente. σ = 10 b = 8/3 r = 28 r=165 r=166 r=166,1 r=166,2 r=166,4 r=166,6 r=166,8 r=165 r=166,2 r=166,8 Sistema de Lorenz Segunda Parte • E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of Atmosferic Science 20, 130 (1963) • Primeiro atrator caótico • Sensibilidade às condições iniciais em um fluido (modêlo meteorológico simplificado) Sistema de Lorenz • x = -σ x + σ y • y = -x y + rx-y • z = x y - bz Variáveis : x, y, z → espaço de fase tridimensional Parâmetros de controle : σ , r, b Atrator Caótico Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al. Ampliação do Atrator de Lorenz Ampliação do Atrator de Lorenz Atratores do Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al. Mapa de Retorno do Atrator de Lorenz Chaos Alligood et al. Diagrama de Bifurcação para o Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al. Transiente Caótico no Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al. Sistema de Roessler • x = -y -z • y = x+ ay • z = b + (x - c)z Variáveis : x, y, z → espaço de fase tridimensional Parâmetros de controle : a , b, c Atrator Caótico de Roessler Chaos Alligood et al. Atratores do Sistema de Rössler para diferentes valores do parâmetro c a = b = 0.1 Chaos Alligood et al. Diagrama de Bifurcação Sistema de Roessler Máximos locais da variável x a = b = 0.1 Chaos Alligood et al. Caos no Circuito Elétrico de Chua Parâmetros de Controle Controle das Oscilações Atratores • M. S. Baptista e I. L. Caldas - Physica D (1999). • R. O. Medrano-T., M. S. Batista e I. L. Caldas, Physica D (2003). Circuito de Chua • . R elemento linear por partes • Variáveis dinâmicas: Vc1 tensão Vc2 tensão iL corrente Circuito de Chua Curva Característica Linear por partes Experiment Periodic Attractor Vc1 voltage across C1 Vc2 voltage across C2 iL current trough iL Experiment • Double Scroll Atrator O Circuito de Chua g L VC2 C2 Aplicando a lei de Kirchoff ao circuito: i R (VC1 ) VC1 C1 R C 2V&C2 iL Fig.1. Circuito de Chua. R é a resistência não linear. ( = g (V ) ( ) )+ i C1V&C1 = g VC2 − VC1 − iR VC1 C1 − VC2 L Li&L = −VC2 Simetria ímpar: f(x)=f(x)=-f(f(-x) Resistência Linear por Partes Funç Função da curva caracterí característica da resistência linear por partes: ( ) i R V C1 Fig. 2. Curva caracterí característica da resistência linear por partes. m 0VC1 + ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≥ B p = m1VC1 , V C1 ≤ B p m 0VC1 − ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≤ − B p Sistema Adimensional Mudança de variáveis: ( = g (V x= VC1 , y= VC2 α= C2 , C1 β= C2 , 2 g L a= m1 g Bp e b= ) ( ) )+ i C1V&C1 = g VC2 − VC1 − iR VC1 C 2V&C2 C1 − VC2 L Li&L = −VC2 ( ) i R V C1 m 0VC1 + ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≥ B p V C1 ≤ B p = m1VC1 , m 0VC1 − ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≤ − B p Bp e z= iL gB p τ= g t, C2 m0 g x& = α[ y − x − k ( x )] y& = x − y + z z& = − βy bx + ( a − b ), x ≥ 1 k ( x ) = ax , x ≤1 bx − ( a − b ), x ≤ − 1 Atratores do Sistema Legenda: Perí Período 1 Perí Período 2 Perí Período 3 Perí Período 4 Perí Período 5 Perí Período 6 Rossler Double Scroll Fig. 3. Atratores no espaç espaço dos parâmetros. (a) (b) (c) (d) Fig. 4. Atratores: Atratores: (a) Perí Período 1, (b) Perí Período 2, (c) Perí Período 3, (d) Tipo Rössler. ssler. Atratores do Circuito de Chua Chaos Alligood et al. Atratores do Circuito de Chua Chua Alligood et al. Atratores e pontos fixos instáveis Atratores no Espaço dos Parâmetros Variedades do Circuito de Chua Órbitas Homoclínicas Órbitas Homoclínicas Espaço dos Parâmetros Família de Órbitas Hoclínicas Espaço dos Parâmetros Circuito de Chua Perturbado Oscilação forçada Sincronização de dois circuitos Perturbação Senoidal (Tese de doutoramento, Murilo Baptista, IF-USP, 1996) Sincronização de Dois circuitos de Chua (tese de doutoramento Elinei dos Santos IF-USP, 2001) Chaos Alligood et al.
