VII -C - Sistema de Lorenz e Outros Exemplos de Atratores - IF-USP

VII
Exemplos de
Atratores Estranhos
VII – C
Sistema de Lorenz
Primeira Parte
Convecção de
Rayleigh-Bernard
Equação de Navier-Stokes
dT
2
= κ∇ T
dt
Equação da continuidade
r
dv r r
2r
ρ
= F − ∇p + µ∇ v
dt
Equação de Condução do Calor
∂ρ r
r
+ ∇ ⋅ ( ρv ) = 0
∂t
Equações de Lorenz
dX
= −σ ( X − Y )
dt
dY
= rX − Y − XZ
dt
dZ
= XY − bZ
dt
X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há
movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução.
X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária.
Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido
ascendente e descendente.
Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a
um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.
σ = 10
b = 8/3
r = 28
r=165
r=166
r=166,1
r=166,2
r=166,4
r=166,6
r=166,8
r=165
r=166,2
r=166,8
Sistema de Lorenz
Segunda Parte
• E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow.
Journal of Atmosferic Science 20, 130 (1963)
• Primeiro atrator caótico
• Sensibilidade às condições iniciais em um
fluido (modêlo meteorológico simplificado)
Sistema de Lorenz
•
x = -σ x + σ y
•
y = -x y + rx-y
•
z = x y - bz
Variáveis : x, y, z → espaço de fase tridimensional
Parâmetros de controle : σ , r, b
Atrator Caótico
Sistema de Lorenz
Chaos
Alligood et al.
Ampliação do Atrator de Lorenz
Ampliação do Atrator de Lorenz
Atratores do Sistema de Lorenz
Chaos
Alligood et al.
Mapa de Retorno do Atrator de Lorenz
Chaos
Alligood et al.
Diagrama de Bifurcação para o Sistema de Lorenz
Chaos
Alligood et al.
Transiente Caótico no Sistema de Lorenz
Chaos
Alligood et al.
Sistema de Roessler
•
x = -y -z
•
y = x+ ay
•
z = b + (x - c)z
Variáveis : x, y, z → espaço de fase tridimensional
Parâmetros de controle : a , b, c
Atrator Caótico
de Roessler
Chaos
Alligood et al.
Atratores do
Sistema de Rössler
para diferentes valores
do parâmetro c
a = b = 0.1
Chaos
Alligood et al.
Diagrama de Bifurcação
Sistema de Roessler
Máximos locais
da variável x
a = b = 0.1
Chaos
Alligood et al.
Caos no Circuito Elétrico de Chua
Parâmetros de Controle
Controle das Oscilações
Atratores
• M. S. Baptista e I. L. Caldas - Physica D (1999).
• R. O. Medrano-T., M. S. Batista e I. L. Caldas, Physica
D (2003).
Circuito de Chua
• .
R elemento linear por partes
• Variáveis dinâmicas:
Vc1 tensão
Vc2 tensão
iL corrente
Circuito de Chua
Curva Característica
Linear por partes
Experiment
Periodic Attractor
Vc1 voltage across C1
Vc2 voltage across C2
iL current trough iL
Experiment
• Double Scroll Atrator
O Circuito de Chua
g
L
VC2
C2
Aplicando a lei de Kirchoff ao
circuito:
i R (VC1 )
VC1
C1
R
C 2V&C2
iL
Fig.1. Circuito de Chua. R é a resistência não
linear.
(
= g (V
) ( )
)+ i
C1V&C1 = g VC2 − VC1 − iR VC1
C1
− VC2
L
Li&L = −VC2
Simetria ímpar: f(x)=f(x)=-f(f(-x)
Resistência Linear por Partes
Funç
Função da curva caracterí
característica da
resistência linear por partes:
( )
i R V C1
Fig. 2. Curva caracterí
característica da resistência linear
por partes.
 m 0VC1 + ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≥ B p

=  m1VC1 ,
V C1 ≤ B p

 m 0VC1 − ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≤ − B p
Sistema Adimensional
Mudança de
variáveis:
(
= g (V
x=
VC1
,
y=
VC2
α=
C2
,
C1
β=
C2
,
2
g L
a=
m1
g
Bp
e b=
) ( )
)+ i
C1V&C1 = g VC2 − VC1 − iR VC1
C 2V&C2
C1
− VC2
L
Li&L = −VC2
( )
i R V C1
 m 0VC1 + ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≥ B p

V C1 ≤ B p
=  m1VC1 ,

 m 0VC1 − ( m1 − m 0 ) B p , VC1 ≤ − B p
Bp
e z=
iL
gB p
τ=
g
t,
C2
m0
g
x& = α[ y − x − k ( x )]
y& = x − y + z
z& = − βy
bx + ( a − b ), x ≥ 1

k ( x ) =  ax ,
x ≤1
bx − ( a − b ), x ≤ − 1

Atratores do Sistema
Legenda:
Perí
Período 1
Perí
Período 2
Perí
Período 3
Perí
Período 4
Perí
Período 5
Perí
Período 6
Rossler
Double
Scroll
Fig. 3. Atratores no espaç
espaço dos parâmetros.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 4. Atratores:
Atratores: (a) Perí
Período 1, (b) Perí
Período 2, (c) Perí
Período 3, (d) Tipo Rössler.
ssler.
Atratores do Circuito de Chua
Chaos
Alligood et al.
Atratores do Circuito de Chua
Chua
Alligood et al.
Atratores
e
pontos fixos
instáveis
Atratores no Espaço dos Parâmetros
Variedades do Circuito de Chua
Órbitas
Homoclínicas
Órbitas Homoclínicas
Espaço dos Parâmetros
Família de Órbitas Hoclínicas
Espaço dos Parâmetros
Circuito de Chua Perturbado
Oscilação forçada
Sincronização de dois circuitos
Perturbação Senoidal
(Tese de doutoramento, Murilo Baptista, IF-USP, 1996)
Sincronização de
Dois circuitos de Chua
(tese de doutoramento
Elinei dos Santos
IF-USP, 2001)
Chaos
Alligood et al.