aula 8 - logica proposicional - UFMT

Cálculo proposicional
O estudo da lógica é a análise de métodos de raciocínio.
No estudo desses métodos, a lógica esta interessada principalmente na forma
e não no conteúdo dos argumentos.
“ Lógica: conhecimento das formas gerais e regras gerais do
pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos
conteúdos pensados; regras para demonstração científica
verdadeira; regras para pensamento não científicos; regras
sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação
da verdade ou falsidade de um pensamento etc.” (Chauí, 2002,
apud Souza, 2002)
Abordagens introdutórias:
 Lógica proposicional
 Lógica de predicados
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Cálculo proposicional
Argumento: sequência de afirmações para demonstrar a validade de uma
asserção.
Forma de um argumento: conceito central da lógica dedutiva.
Como saber que a conclusão obtida de um argumento é válida?
As afirmações que compõem o argumento
– são aceitas como válidas, ou
– podem ser deduzidas de afirmações anteriores.
Em lógica, forma de um argumento é diferente de seu conteúdo.
“Análise lógica” não determina a validade do conteúdo de um argumento.
“Análise lógica” determina se a verdade de uma conclusão pode ser obtida da
verdade de argumentos propostos.
Lógica: Ciência do Raciocínio
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Cálculo proposicional
Argumento (definição):
- Um argumento é uma sequencia de afirmações;
- Todas as afirmações, exceto a última, são chamadas de premissas
ou suposições ou hipótese;
- A última afirmação é chamada de conclusão.
Alguns fatos sobre argumentos do ponto de vista da
matemática e da lógica:
- Um argumento não é uma disputa;
- Um argumento é uma sequencia de comandos que termina
numa conclusão;
- Um argumento válido significa que a conclusão pode ser obtida
necessariamente das afirmações que o precedem;
Em geral utiliza-se o símbolo (
- “de onde se conclui”), para
indicar a conclusão.
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Cálculo proposicional
Forma de um Argumento x Seu Conteúdo
Se a sintaxe de um programa esta errada ou
Se a execução do programa resulta numa divisão por zero,
então o computador irá gerar uma mensagem de erro.
Computador não gera uma mensagem de erro
↓
Sintaxe do programa está correta e
Execução do programa não resulta em divisão por zero.
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Cálculo proposicional
Formas de um argumento x seu conteúdo
Nos exemplos, temos que o conteúdo dos argumentos é diferente. No
entanto, a “forma lógica” é a mesma.
Argumentos na forma lógica são normalmente representados por
letras minúsculas do alfabeto.
Ex.: p, q. r, ...
Em geral, as definições da lógica formal estão de acordo com a lógica
natural ou intuitiva das pessoas de bom senso.
O formalismo é introduzido para evitar ambiguidades e garantir
consistência.
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Cálculo proposicional
Proposições.
Em toda teoria matemática, usam-se termos já definidos na
concepção de novas definições.
Mas como fazer com os termos mais “primitivos”?
- termos “primitivos” ou iniciais não são definidos.
- em lógica, os termos primitivos são: sentenças,
verdadeiro, e falso.
Definição:
Uma afirmação ou proposição é uma sentença que é
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas.
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Cálculo proposicional
Proposições.
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Cálculo proposicional
Proposições compostas.
Usaremos as letras minúsculas (ex.: p, q, r, ...) para representar proposições.
Os seguintes símbolos podem ser usados para definir expressões lógicas mais
complexas, a partir de expressões mais simples:
a) ¬ ou ~ ou “barra sobre a letra” ou “linha”: representam o “não”
¬y: lê-se “não y” outras formas “~y”, “y’ “ e ȳ
a) Λ: representa o conectivo “e”, conjunção de p e q
p Λ q: lê-se “p e q”
a) “v” : representa o conectivo “ou”, disjunção de p e q
p v q: lê-se “p ou q”
Usaremos o termo fórmula (indicado por : α, β, ...) para as proposições
simples (p, q , r) e compostas (p v q; ~p; p→r, [(p v q) →q]...). Ao
resultado do valor lógico atribuído a cada fórmula, denominaremos
interpretação e indicaremos por I.
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Cálculo proposicional
Proposições compostas.
Tradução da linguagem natural para a algébrica
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Cálculo proposicional
Para uma sentença ser uma proposição é necessário ter um
valor-verdade bem definido, isto é, V ou F.
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Cálculo proposicional
Construa a tabela verdade para a expressão:
.
O ponto fundamental em assinalar “valores-verdade” para proposições
compostas é permitir o uso da lógica para decidir a verdade de uma
proposição usando somente o conhecimento das partes.
A lógica não ajuda a determinar a verdade ou falsidade de uma
afirmação em si, ou seja, seu conteúdo.
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Cálculo proposicional
Equivalência lógica.
Definição: duas proposições p e q são equivalentes logicamente se e
somente se os valores-verdade obtidos forem idênticos para cada
combinação possível das variáveis que formam as proposições.
Exemplo:
Como verificar se duas proposições são equivalentes logicamente?
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Cálculo proposicional
Sejam as afirmações:
- p = João é alto.
- q = José é ruivo.
A proposição (p Λ q) é verdadeira se somente se os componentes
forem verdadeiras.
Quando a proposição é falsa?
- quando um dos componentes ou ambos forem falsos, ou seja, quando:
Mostre as seguintes equivalências:
Essas equivalências (
) são conhecidas como Lei de
De Morgan, que foi o primeiro a expressá-las em termos
matemáticos.
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Cálculo proposicional
Apesar das leis da lógica serem extremamente úteis, elas
devem ser usadas como uma ajuda ao raciocínio e não
como um substituto mecânico a inteligência.
Equivalência lógica é muito útil na construção de
argumentos.
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Cálculo proposicional
Proposição condicional ou implicação.
- “Se p então q” (ou p implica q) é representado simbolicamente
por p q ,
- onde p é chamado de hipótese e q de conclusão. Essa sentença
é denominada de condicional.
Esse tipo de sentença é usado tanto na linguagem natural quanto
em raciocínio matemático para dizer que a verdade da
proposição q (conclusão) está condicionada a verdade da
proposição p (hipótese).
- Ex. se (48 é divisível por 6)=[p] , então (48 é divisível por 3)=[q] .
- Se João estuda=[p] , então sai bem na prova=[q].
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Cálculo proposicional
Proposição condicional.
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Cálculo proposicional
Por equivalência mostre:
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Cálculo proposicional
Mostre por equivalência lógica, usando tabela verdade, que é
possível representar :
a)
b)
c) A proposição contrapositiva de
ou
Atenção:
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Cálculo proposicional
Bicondição de duas proposições p e q
p ↔ q, lê-se: “ p se somente se q”
Definição
Chama-se bicondicional uma proposição representada por « p se e
somente se q » ou
« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas,
verdadeiras ou falsas.
A sentença “bicondicional” entre p e q é expressa por p ↔ q, tem a
seguinte tabela da verdade:
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Cálculo proposicional
Por equivalência mostre que:
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Cálculo proposicional
Definição:
a) Admitindo que uma fórmula tenha um valor V numa certa
interpretação. Nesse caso, diz-se que a formula é verdadeira
nessa interpretação.
b) Admitindo que uma fórmula seja verdadeira segundo alguma
interpretação. Nesse caso, diz-se que a fórmula é satisfatível
(ou consistente).
c) Admitindo que uma fórmula tenha um valor F numa
interpretação. Neste caso, diz-se que a fórmula é falsa segundo
essa interpretação.
d) Uma fórmula é válida quando é verdadeira em todas as suas
interpretações.
As fórmulas válidas no cálculo proposicional são denominadas –
tautologias.
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Cálculo proposicional
Definição:
e) Uma formula será insatisfatível (ou inconsistente) quando for falsa
segundo qualquer interpretação.
As fórmulas insatisfatíveis do cálculo proposicional são também chamadas de
contradições. Note que uma contradição é a negação de uma tautologia.
e) Uma fórmula será inválida quando for falsa segundo alguma
interpretação.
Conclusões:
1. Uma fórmula é válida sss sua negação for insatisfatível;
2. Uma fórmula é insatisfatível (inconsistente) sss sua negação for válida;
3. Uma fórmula é inválida sss existir pelo menos uma interpretação em que
ela é falsa;
4. Uma fórmula é satisfatível (consistente) sss existir pelo menos uma
interpretação segundo a qual ela é verdadeira;
5. Se uma fórmula for válida, então é satisfatível;
6. Se uma fórmula for insatisfatível, então é inválida.
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Cálculo proposicional
Argumentos válidos e inválidos
Ex.: “Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal;
Sócrates é um ser humano;
Sócrates é mortal.”
Escrevendo em termos de variáveis:
p = Sócrates é um ser humano; q = Sócrates é mortal
Em forma simbólica teríamos:
Se p então q;
p;
q.
A forma de um argumento é válida se, somente se:
- Para todas as combinações de argumentos que levam as premissas verdadeiras então
a conclusão também é verdadeira.
A verdade da conclusão é obtida analisando os valores-verdade da forma lógica em si.
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Cálculo proposicional
Como analisar a validade dos argumentos?
A validade da forma de um argumento pode ser feita seguindo os
seguintes passos:
1. Identifique as premissas e conclusão do argumento.
2. Construa a tabela da verdade identificando as colunas das premissas e
da conclusão.
3. Identifique as linhas onde todas as premissas são verdadeiras (linhas
críticas).
4. Para cada linha crítica verifique se a conclusão do argumento é
verdadeira.
(a) Se for verdadeira para todas as linhas críticas então a forma do
argumento é válida.
(b) Se existir pelo menos uma linha crítica com conclusão falsa então
a forma do argumento é inválida.
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Cálculo proposicional
Ex.:
Analise a validade dos argumentos:
Tabela verdade das proposições:
Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o argumento é
válido. (Tautologia)
Todas as linhas, exceto as críticas, são irrelevantes para verificar a
validade dos argumentos.
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Cálculo proposicional
Para o exemplo:
“Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal;
Sócrates é um ser humano;
Sócrates é mortal.”
Tabela verdade das proposições
premissas
conclusão
Em lógica:
p
q
p
q
p→q
Se p então q;
1
V
V
V
V
V
p;
2
V
F
F
V
q.
3
F
V
V
F
4
F
F
V
F
Para todas as linhas criticas a conclusão é verdadeira. Logo o
argumento é válido. (Tautologia)
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Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos:
Tabela verdade das proposições
Para todas as linhas críticas, exceto a 4, a conclusão é verdadeira.
Logo o argumento é inválido.
A fórmula é satisfatível segundo as interpretações: I1, I7 e I8
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Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos:
Tabela verdade dos argumentos:
Existem duas linhas críticas, em uma delas a conclusão é falsa.
Logo o argumento é inválido.
A fórmula é satisfatível segundo a interpretação I1
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Cálculo proposicional
Analise a validade dos argumentos:
(p → p v q)
~ (p → p v q)
Tabela verdade das proposições
1
2
3
4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p v q
V
V
V
V
premissas
p→q v q
V
V
V
V
conclusão
~(p→q v q)
F
F
F
F
Para todas as linhas criticas a conclusão é falsa. Logo o argumento é
uma contradição. (Insatisfatível)
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Cálculo proposicional
Validade de sentenças pode ser verificada de duas maneiras
• Tabelas-Verdade
• É uma representação para todos os valores lógicos possíveis para
uma proposição simples e a combinação de várias proposições
simples. É utilizada para verificar o valor lógico de uma proposição
composta, a partir de proposições simples.
• Regras de inferência
• capturam padrões de inferências (sintáticos!!!)
• sempre que algum fato nas premissas casar com o padrão da
sentença acima, a regra de inferência conclui o padrão da sentença
abaixo.
• uma regra de inferência preserva a verdade, se a conclusão é
verdade, em todos os casos onde as premissas são verdadeiras.
Cálculo proposicional
Ex.: Mostre que:
a) (p →q) Λ (p→ ~q) → ~p é uma tautologia.
Algumas equivalências lógicas:
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Cálculo proposicional
Consequência lógica é o elo entre o que o agente “acredita” e aquilo
que é explicitamente representado e sua base de conhecimento.
A tabela verdade é um método semântico que permite verificar
consequências lógicas.
Este método tem a vantagem de ser conceitualmente simples; mas
como o número de linhas da tabela verdade cresce
exponencialmente em função do número de proposições na
formula, seu uso nem sempre é viável.
O raciocínio automatizado vem como uma alternativa mais
eficiente para verificação de consequência lógica, isto é, a
validação de argumentos.
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Cálculo proposicional
Método de inferência
Aplicação das regras de inferência


Geração correta de novas sentenças a partir de antigas;
Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência

Regra de inferência é um padrão de manipulação
sintática que define como uma fórmula (conclusão) pode
ser derivada de outras fórmulas (primitivas).
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Lógica: Inferência
Regras de inferência clássicas
   ,
Modus Ponens:

1   2  ...   n
E-eliminação:
i
 1 ,  2 ,..., n
E-introdução:     ...  
1
2
n
i
Ou-introdução:    ...
1
2
n
Eliminação de dupla negação:
   ,
Resolução unidade:

Resolução
 

   ,   
   ,   

 
  
Lógica: Inferência
Regras de inferência – Modus Ponens (método de afirmar)
Seja o seguinte argumento:
Ex.
Se o último dígito de um nº é zero, então este nº é divisível por 10.
O último dígito deste nº é zero.
Portanto, este nº é divisível por 10.
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Modus Tollens (método de negar)
Seja o seguinte argumento:
Ex.:
Se Zeus é humano então Zeus é mortal. (1)
Zeus não é mortal.
(2)
Portanto, Zeus não é humano.
Suponha que as afirmações (1) e (2) sejam verdadeiras.
- Zeus deve ser necessariamente não humano?
- Sim!
- Porque se Zeus fosse humano, então de acordo com (1) ele seria mortal.
- Mas por (2) ele não é mortal
- Dessa forma, Zeus não pode ser humano.
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Modus Tollens (método de negar)
Ex.: Se existem mais pássaros que ninhos
então dois pássaros terão que chocar no mesmo ninho;
Existem mais pássaros que ninhos;
Portanto, Dois pássaros chocam no mesmo ninho.
Ex.: Se este nº é divisível por 6, então o nº é divisível por 2;
Este nº não é divisível por 2;
Portanto, Este nº não é divisível por 6.
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Adição disjuntiva
As formas de argumentos são válidas:
Essas duas formas servem para fazer generalizações, isto é, se p é
verdadeiro, caso (a), então mais genericamente p v q é verdadeiro para
qualquer afirmação q.
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Simplificação conjuntiva
As formas dos argumentos são válidas:
Essas duas formas servem para fazer particularizações, isto é, se p e q são
verdadeiras, então em particular p é verdadeiro, caso (a).
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Silogismo Disjuntivo
Silogismo é uma dedução formal tal que, postas duas premissas, delas se
tira uma conclusão, nelas logicamente implicadas.
As formas de argumentos são válidas:
Essas formas de argumento expressam a situação onde existem somente
duas possibilidades e uma pode ser excluída, o que leva ao fato de que a
outra deve prevalecer.
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Silogismo hipotético
Esse argumento é válido
Esse argumento equivale ao encadeamento matemático de implicações
(se x →y e y→ z, então x→ z).
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Lógica: Inferência
Regras de inferência – Silogismo Hipotético
Ex.:
Se 18.486 é divisível por 18
então 18.486 é divisível por 9;
Se 18.486 é divisível por 9
então a soma dos dígitos de 18.486 é divisível por 9;
Portanto, Se 18.486 é divisível por 18
então a soma dos dígitos de 18.486 é divisível por 9.
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Lógica: Inferência
Exemplo de uso de regras de inferência (1/3)
Você está saindo para a escola de manhã e percebe que não está usando os
óculos. Ao tentar descobrir onde estão os óculos você começa a pensar sobre
os seguintes fatos que são verdadeiros:
(a) Se os meus óculos estão na mesa da cozinha então eu os vi no café da
manhã;
(b) Eu estava lendo o jornal na sala de estar ou eu estava lendo o jornal na
cozinha;
(c) Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na
mesa do café;
(d) Eu não vi meus óculos no café da manhã;
(e) Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criadomudo;
(f) Se eu estava lendo o jornal na cozinha então meus óculos estão na mesa
da cozinha;
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Lógica: Inferência
Exemplo de uso de regras de inferência (2/3)
Sejam os seguintes argumentos:
p = Os meus óculos estão na mesa da cozinha.
q = Eu vi meus óculos no café da manhã.
r = Eu estava lendo o jornal na sala de estar.
s = Eu estava lendo o jornal na cozinha.
t = Meus óculos estão na mesa do café.
u = Eu estava lendo um livro na cama.
v = Meus óculos estão no criado-mudo.
Tradução dos fatos para proposições:
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Lógica: Inferência
Exemplo de uso de regras de inferência (3/3)
Resolução: Dos argumentos e usando o modo de inferência,
1–p→q
2–rvs
3–r→t
4 - ~q
5- u → v
6 - s→p
podemos deduzir que
De (1) e (4) com Modus Tollens tem-se: ~p (7)
De (6) e (7) com Modus Tollens tem-se: ~s (8)
De (2) e (8) com Silogismo Disjuntivo tem-se: r (9)
De (3) e (9) com Modus Ponens tem-se: t (10)
Assim, t é verdadeiro, conclui-se que os “óculos estão na mesa do café”
Lógica: Inferência
Exemplo de uso de regras de inferência.
1) Considere os argumentos:
Guga é determinado.
Guga é inteligente.
Se Guga é determinado e atleta, ele não é um perdedor.
Guga é um atleta se é um amante do tenis.
Guga é amante do tenis se é inteligente.
A afirmação “Guga não é um perdedor” é consequência lógica dos
argumentos dados?
2) Verifique se os argumentos são satisfatíveis.
José não foi intimidado ou se Flavia faltou ao serviço, então um bilhete foi
encontrado. Flavia não faltou ao serviço se José foi intimidado. Se um bilhete
foi encontrado, então Flavia faltou ao serviço.
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Lógica: Inferência
Tabelas-Verdade para a sentença:
ex. Validade de ((P  H)   H)  P ?
P
H
(P  H)
((P  H)   H) ((P  H)   H)  P
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
Observe que essa sentença é uma tautologia.
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Lógica: Inferência
Mostrar por regra de inferência a sentença.
((P  H)   H)  P ?
((P   H)  (H   H))  P
((P   H)  falso)  P
(P   H)  P
(P   H)  P
P    H  P
P  H  P
P  P  H
Verdade  H
Verdade
distributiva
(F Λ V= F); (V Λ F =F) = Falso (circ. Série)
1 ou 0 = 1 (circ. paralelo)
substituição de → por v e ^
regra de De Morgan
dupla negação
~p v p = verdade ou (0 ou 1 = 1)
1 ou qq coisa = 1
Lógica: Inferência
Exemplo de uso de regras de inferência.
1)Verifique se os argumentos são válidos.
a) Se Ailton está de férias e o dia está ensolarado ele irá a igreja. Ele irá
para a fazenda ou Goiânia. Não há igreja na fazenda. Há igreja em
Goiânia. Ailton está de férias e foi para a fazenda. Portanto, o dia não
está ensolarado.
b) Se Paulo mora em Olinda, ele vive em Recife. Paulo mora em Olinda.
Portanto, Paulo vive em Recife.
c) Se Agnaldo é otimista, então Silvio é pessimista. Se Silvio é otimista
então Wilson é otimista. Portanto, se Agnaldo é otimista ou Wilson é
pessimista, então Silvio é pessimista.
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Lógica de predicados
A linguagem da lógica de predicados é mais rica do que a lógica
proposicional, pois além de conter os os objetos da lógica proposicional, a
lógica de predicados contem quantificadores, símbolos funcionais e de
predicados.
Existem, por exemplo, vários tipos de inferências que não possuem
representação na lógica proposicional, mas podem ser representados na
lógica de predicados. Exemplo:
Todo aluno de ciência da computação é inteligente. Luciano é aluno de
ciência da computação. Logo, Luciano é inteligente.
A soma de dois números impares quaisquer é um número par.
A dificuldade em representar tais inferências na lógica proposicional se
deve as quantificações indicadas pelas palavras “todo” e “qualquer”.
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