Lista de Exercício - Estatística - INPE

1a Lista de Exercício – Estatística 2016
1. Responda: a) se A e B são eventos independentes sendo que P(A)=0,5 e P(AB)=0,25, qual a
probabilidade de B? b) se A e B são eventos mutuamente exclusivos sendo que P(A)=0,3 e
P(AB)=0,4, qual a probabilidade de B? c) se P(A)=0,5, P(B)=0,3 e P(A/B)=0,8, quanto vale
P(B/A)?
2. Um mapa é formada por 3 classes: A, B e C, sendo que cada classe ocupa respectivamente,
80%, 18% e 2% do mapa. Se 3 pontos forem sorteados aleatoriamente, responda qual a
probabilidade de que: a) todos sejam da classe A; b) pelo menos 1 deles seja da classe C; e c)
nenhum seja da classe A.
3. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Se 4 bolas forem sorteadas, qual a
probabilidade de que todas sejam da mesma cor? Considere que as bolas sejam sorteadas com
e sem reposição.
4. Exemplifique, através de um histograma, uma v.a. discreta X de modo que 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≠ 0
sempre que 0 ≤ x ≤ 10, e moda(X) = mediana(X) = média(X), e outra Y com as mesmas
características de X, de modo que moda(Y) > mediana(Y) > média(Y).
5. Suponha que X representa uma v.a. cujos valores seguem uma progressão aritmética que se
inicia em -5 e termina em 292, com passo igual a 3, todos igualmente prováveis. Qual a média
e variância de X? Se dois valores de X fossem escolhidos ao acaso (independentemente) e
fosse obtida a diferença entre eles, qual seria o mínimo, o máximo, a média e a variância
dessa diferença?
6. Deseja-se estudar mudanças de uso da terra através de uma seqüência temporal de 3 imagens.
Para tanto, optou-se pelo uso da Transformação por Componentes Principais. Um
determinado autor sugere que as imagens utilizadas nessa transformação devam ter a mesma
variância. Suponha que as imagens analisadas A, B e C possuam média igual a 180, 130 e
170, e variância 30, 45 e 67, respectivamente. Que transformação linear você sugere a fim de
que as imagens B e C passem a ter a mesma variância de A? Caso se desejasse ter a mesma
média e variância para as três imagens, qual a transformação sugerida? Use a imagem A como
referência.
7. A seguir é apresentado um trecho de uma imagem de 8 bits (256 níveis de cinza – valores
inteiros de 0 a 255). Responda:
11
11
14
24
23
23
22
21
27
29
10
11
17
24
26
25
28
26
25
25
13
14
21
25
26
24
29
28
26
23
24
25
27
27
19
17
25
25
23
25
30
26
25
23
18
19
25
25
24
23
19
18
21
21
23
26
23
23
23
22
12
16
21
24
25
26
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23
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24
26
26
24
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23
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25
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22
21
22
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25
23
23
25
24
21
21
23
a) Sabendo-se que esta imagem possui média igual a 22,55 e variância igual a 16,25, qual a
transformação linear deveria ser aplicada de modo que a nova imagem tenha variância
igual a 70, mas conserve a mesma média da imagem original?
b) Aplique a transformação sugerida no item (a) na imagem e verifique qual a média e
variância obtida (lembre-se que a imagem só admite valores inteiros entre 0 e 255). Por
que os valores calculados divergem daqueles teóricos obtidos a partir da equação de
transformação?
c) Qual a transformação linear a ser aplicada de modo que os valores mínimo e máximo
correspondam aos valores 0 e 255 na imagem transformada? Após a transformação, qual
a média e variância resultante (teóricos e reais)?
8. Uma área qualquer pode ser dividida em 3 áreas disjuntas, sendo 30% de floresta, 65% de
cerrado e 5% de água.
a) Uma v.a. definida como o número de pontos da classe água em 10 pontos amostrados
pode ser considerada uma v.a. com distribuição binomial mesmo tendo 3 classes
envolvidas no processo? Explique.
b) Se 10 pontos fossem selecionados ao acaso (com reposição) nesta área, qual a
probabilidade de que exatamente 5 pontos sejam da classe água?
c) Se pontos fossem selecionados ao acaso (com reposição) até que 3 deles representassem a
classe água, em média, qual seria o tamanho dessa amostra?
d) Se 1000 pontos fossem selecionados ao acaso (com reposição), qual a probabilidade de
que pelo menos 320 pontos sejam da classe floresta? Calcule o valor exato e o valor
aproximado considerando que a distribuição binomial se aproxima à normal quando n é
grande.
9. Uma variável X tem média igual a 100 e variância igual a 16. Outra variável Y tem média
igual a 110 e variância igual a 25. Considerando que ambas são independentes e têm
distribuição normal, calcule:
a) P(99 < X < 115)
b) P(X = 100)
c) P(X > 200)
d) P(Y > 110)
e) P(X-100 > 3)
f) P(2X > Y+95)
g) P(Y > 110; X > 110)
h) P(Y > 110 / X > 110)
10. Comente as seguintes sentenças, indicando se são verdadeiras ou falsas:
a) É fundamental que um estimador seja não tendencioso;
b) Um estimador ideal é aquele que produz estimativas sempre iguais ao próprio parâmetro
que se deseja estimar;
c) A estimativa é o valor do estimador obtido a partir de uma amostra;
d) O estimador é uma variável aleatória;
e) Um estimador com variância mínima produz estimativas “próximas” ao valor do
parâmetro desejado.
f) Quanto maior o tamanho da amostra melhor, mesmo que cada valor não tenha sido obtido
de forma aleatória (valores independentes entre si).
11. Os termos “variância amostral” e “variância da média amostral” são equivalentes? Explique
cada um deles.
12. Uma pessoa me disse que para se garantir que a média amostral tenha distribuição normal,
deveria ser checado e confirmado que a população original (a partir da qual foi retirada a
amostra) tenha também uma distribuição normal. Comente esta afirmação.
13. Uma pessoa construiu o intervalo de confiança de 99% para média e variância populacionais.
No entanto, a pessoa observou que seus IC eram muito amplos. De que forma ela poderia
obter IC mais estreitos conservando-se o mesmo nível de confiança?
14. Como posso saber se o intervalo de confiança para a média deve utilizar um valor z ou t? Por
que os intervalos de confiança baseados na distribuição normal padrão (z) são mais estreitos
que aqueles obtidos a partir da distribuição t de Student quando utilizamos o mesmo tamanho
de amostra e nível de confiança?
15. Uma amostra de 100 valores foi coletada e agrupada segundo a tabela abaixo. Construa os
intervalos de confiança para média e variância populacionais, considerando um nível de
confiança de 95%. Se outros 100 valores fossem amostrados para construir novos intervalos
de confiança, o resultado seria o mesmo? Explique.
X
10
11
12
13
14
15
Freq.Abs.
11
16
23
25
17
8