tales_semelhanca [Modo de Compatibilidade]

> Professor Carlos Andreotti
Teorema de Tales
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Teorema de Tales
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos
correspondentes de outra.
A
B
C
D
AB
A' B '
=
CD C ' D '
A’
B’
C’
As medidas dos segmentos
correspondentes nas transversais são
diretamente proporcionais
D’
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Teorema de Tales
Teorema da bissetriz interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes
A
α
α
c
B
c
b
=
x
y
b
y
x
D
C
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ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um
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deles são semi-retas opostas aos lados do outro.
Na figura abaixo, vamos indicar:
Sabemos que:
X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
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Daí a propriedade:
Dois ângulos opostos pelo vértice
são congruentes.
•Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus,
expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?
ângulos o.p.v
x + 60º = 3x - 40º
x - 3x = - 40º - 60º
-2x
= - 100º
x
= 50º
Logo, o valor de x é
50º.
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Relembrando o que são
ângulos formados por duas
retas paralelas com uma
transversal
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Ângulos alternos-externos . Num sistema de duas retas paralelas
cortadas por uma terceira, chamada secante, chamamse ângulos alternos-externos aos pares a,c e b,d assinalados na figura.
Os ângulos alternos-externos são geometricamente iguais, por
isso têm a mesma amplitude; a amplitude de a é igual à de c, o mesmo
sucedendo entre b e d.
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Ângulos alternos-internos. Num sistema de duas retas
paralelas cortadas por uma terceira, chamada secante, chamamse ângulos alternos-internos aos pares e,g e f,h assinalados na
figura
Os ângulos alternos-internos são geometricamente iguais, por isso
têm a mesma amplitude; a amplitude de e é igual à de g, o mesmo
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sucedendo entre f e h.
Teorema de Tales
Teorema da bissetriz interna
Ângulos
r
correspondentes
α
r//s
A
α
Ângulos
α
c
alternos
internos
b
α
B
y
x
D
C
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Teorema de Tales
Teorema da bissetriz interna
E
r
Logo o triângulo ACE é
isósceles ⇒ AC = AE = b
b
A
α
b
α
B
r//s
Pelo Teorema de
Tales temos:
α
c
α
c
b
=
x
y
y
x
D
C
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Teorema de Tales
Teorema da bissetriz externa
AB AC
=
BD CD
A
α
α
B
C
D
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Teorema de Tales
Teorema da bissetriz externa:
dica para a demonstração
AB AC
=
BD CD
A
α
α
B
C
D
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Teorema de Tales
Teorema da bissetriz externa:
dica para a demonstração
AB AC
=
BD CD
c
b
A
α
B
C
y
α
D
x
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Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se:
* os três ângulos internos são ordenadamente congruentes
* os lados homólogos ( mesma posição ) são proporcionais
k = razão de semelhança
A
A’
c
B
b
a
c’
C
B’
b’
a’
a b c
∆ABC ~ ∆A' B ' C ' ⇒ = = = k
a ' b' c '
C’
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Semelhança de triângulos
Teorema fundamental
C
D
E
Se uma reta é paralela a um dos
lados de um dos lados de um
triângulo e intercepta os outros
dois lados em pontos distintos,
então o triângulo determinado por
ela é semelhante ao primeiro
∆CAB ~ ∆CDE
A
B
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Semelhança de triângulos
Casos ( ou critérios ) de semelhança
1- dois ângulos ordenadamente congruentes
2- LAL lados proporcionais e ângulos entre eles congruentes
3- LLL lados homólogos proporcionais
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Semelhança de triângulos
Base média
b
A
M
x
N
C
B
BC
MN =
2
B
B+b
x=
2
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1) Encontre o valor de x e y indicado em cada feixe de
retas paralelas abaixo:
a)
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b)
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