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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC
DIRETORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO “LATO SENSU” EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ISRAEL FRANCISCO
AS POSSIBILIDADES DE USO DO RECURSO COMPUTACIONAL DE
UMA PLANILHA ELETRÔNICA E DE UM SOFTWARE ALGÉBRICO
NO ESTUDO DE FUNÇÕES
CRICIÚMA, FEVEREIRO DE 2006
ISRAEL FRANCISCO
AS POSSIBILIDADES DE USO DO RECURSO COMPUTACIONAL DE
UMA PLANILHA ELETRÔNICA E DE UM SOFTWARE ALGÉBRICO
NO ESTUDO DE FUNÇÕES
Monografia apresentada como requisito para a conclusão do
Curso de Pós-Graduação Lato Sensu em Educação
Matemática, à Universidade do Extremo Sul Catarinense
Unesc, para obtenção do Título de Especialista em Educação
Matemática. Professora Orientadora: MSc. Elisa Netto Zanette.
CRICIÚMA, FEVEREIRO DE 2006
RESUMO
O processo de ensino e aprendizagem da Álgebra é considerado um dos campos
conceituais mais importantes da Matemática, integrado a Geometria e ao Cálculo.
No âmbito do estudo das funções, é relevante a análise a partir da representação
gráfica. Observa-se que esta análise muitas vezes é desconsiderada. Sabe-se que,
instigar o aluno a construir gráficos e analisá-los para elaborar as conclusões até
mesmo à formação de um conceito é fundamental nesse processo. O uso do
computador e de softwares que possibilitam a construção e análise de funções pode
contribuir no processo educativo. Utilizando-os como ferramenta pedagógica
intermediadora dos conhecimentos explorados, colaboram com o professor em seu
papel de mediador e contribuem na formação dos conceitos estudados pelo aluno.
Assim, a presente pesquisa objetivou analisar as possibilidades de uso de uma
planilha eletrônica – Excel – e de um software algébrico – Graph – no
desenvolvimento de atividades matemáticas relacionadas ao estudo de funções
matemáticas. Pretendeu-se também, fornecer subsídios que permitam contribuir
para a implantação do uso do computador nas aulas de matemática, de maneira
especial, no ensino da Álgebra, utilizando o computador como ferramenta
pedagógica. Para fundamentar a pesquisa, buscou-se na literatura e apresenta-se
um breve percurso da história do ensino da Matemática no Brasil, a inclusão da
Informática na Educação, a história da álgebra e dos softwares trabalhados. As
atividades relacionadas às funções foram construídas pelo processo de
experimentação e definidas durante a pesquisa. Enfatizou-se o estudo das funções
do primeiro e do segundo grau com a análise entre as variáveis dependentes e
independentes das mesmas e a leitura gráfica. A pesquisa comprova que é possível
trabalhar os conceitos relacionados às funções nos dois softwares.
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática, Informática Educacional, Software
Excel, Software Graph, Funções.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................4
2 METODOLOGIA DA PESQUISA .......................................................................................................11
3 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A INFORMÁTICA APLICADA NO CONTEXTO PEDAGÓGICO 13
3.1 UMA BREVE TRAJETÓRIA HISTÓRICA DO ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL ...................................13
3.2 O COMPLEXO PROCESSO DE ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA ...................................................17
3.3 O TRABALHO DO EDUCADOR NA AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA ..........................................................22
3.4 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ..................................................................24
3.5 O PROCESSO ENSINO E APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA: FUNÇÕES.....................................................28
4 A PLANILHA ELETRÔNICA EXCEL E O SOFTWARE ALGÉBRICO GRAPH ...............................31
4.1 CONHECENDO A PLANILHA ELETRÔNICA EXCEL ...............................................................................31
4.2 CONHECENDO O SOFTWARE GRAPH ................................................................................................33
5 O ESTUDO DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS COM O USO DO EXCEL E DO GRAPH .................35
5.1 O USO DO SOFTWARE EXCEL NO ESTUDO DE UMA SITUAÇÃO PROBLEMA: A RELAÇÃO ENTRE AS ÁREAS
DE QUADRADOS ....................................................................................................................................35
5.1.1
Elaborando um modelo matemático de função do primeiro grau no Excel e
generalizando. ........................................................................................................................................... 37
5.1.2
o
o
A Representação Gráfica das Funções do 1 e do 2 Grau com o uso da planilha
eletrônica Excel ......................................................................................................................................... 40
5.2 O USO DO SOFTWARE GRAPH NO ESTUDO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU ..................................................46
5.3 O USO DO SOFTWARE GRAPH NO ESTUDO DA FUNÇÃO DO 2O GRAU .................................................57
6 CONSIDERAÇÔES FINAIS................................................................................................................62
REFERÊNCIAS......................................................................................................................................64
4
1 INTRODUÇÃO
A prática vivenciada em sala de aula no Ensino Fundamental e no Ensino
Médio, como professor de Matemática, tem mostrado que são muitas as dificuldades
no processo de ensinar e aprender os conceitos algébricos. Apesar de ser
considerado um dos campos conceituais mais importantes da Matemática, integrado
a Geometria e ao Cálculo, a maioria dos alunos, elabora somente noções
superficiais. A essas inquietações, somam-se as insatisfações observadas nos
alunos, quando afirmam não compreender a razão e aproveitamento desses
conceitos algébricos em sua formação. Evidenciam a preocupação em “armazenar”
regras e informações, com o intuito de dar conta dos processos avaliativos e
aprovação na disciplina.
Na Educação Fundamental, o ensino da álgebra elementar - equações,
funções e métodos de resolvê-las – apresenta-se como um desafio ao educador,
visto que os alunos não conseguem se apropriar dos conceitos envolvidos devido ao
fato de muitas vezes não conseguirem visualizar e/ou interagir na produção do
conhecimento algébrico.
Durante a formação escolar como discente, desde a Pré-Escola ao Ensino
Superior, observei que o ensino da matemática como uma ciência ‘pronta e acabada’
faz dela uma disciplina desagradável à grande maioria dos alunos.
Nas práticas observadas, os professores, em geral, seguem os livrostextos que em sua maioria, apresentam-se com uma breve introdução dos conceitos,
definições, exemplos e listas de exercícios para resolver, semelhantes aos
exemplos. Têm-se observado evoluções em alguns dos atuais livros-textos, com
relação a problematizações e metodologias diferenciadas. Não se pretende aqui,
avaliar se é positivo ou não o uso de livros-textos pelo professores de Matemática,
5
entretanto o seu uso, em geral, é limitado a seguir o que nele se apresenta, não
instigando os alunos a procurar novas formas de análise do objeto matemático em
estudo, o que limita a constituição de conceitos matemáticos.
Observa-se que, no âmbito do estudo das funções, a relevância da
análise a partir da representação gráfica, muitas vezes é desconsiderada, ou dada
pouca importância. Sabe-se que, instigar o aluno a elaborar gráficos e analisá-los
para formar conclusões até mesmo à formação de um conceito é fundamental nesse
processo.
O que se utiliza normalmente é a construção de um esboço de gráficos
onde, o aluno executa a tarefa manualmente, sem ter noção da importância da
correta representação do mesmo e não visualiza os resultados obtidos.
Para o professor, que faz as representações gráficas com o auxílio do
quadro e giz, apresentam-se limitações em apresentar a informação ao aluno de
modo que possa proporcionar a apropriação dos conceitos, já que a construção dos
gráficos demanda tempo e dificilmente fica compreensível aos olhos do aluno.
As
inquietações
provenientes
dessas
dificuldades
provocaram
a
necessidade de pesquisar acerca da implantação de novas metodologias que
possibilitem uma melhor apropriação dos conceitos.
Essas pesquisas têm ocorrido concomitantemente à busca de mudanças
na minha prática pedagógica como professor de Matemática. Acrescenta-se a esses
elementos, o interesse despertado durante a Graduação e fortalecido na PósGraduação para o uso de metodologias associadas às Tecnologias da Comunicação
e Informação (TICs) com ênfase nos softwares gráficos e algébricos. O uso do
computador e de programas que tratam os temas estudados pode contribuir como
ferramenta pedagógica intermediadora dos conhecimentos explorados, auxiliando o
6
professor em seu papel de mediador e conduzindo o aluno à formação dos conceitos
da Matemática. Analisando no contexto da representação gráfica das funções
algébricas, por exemplo, Seok (2003, p.05) afirma que:
Esboçar tais gráficos no papel provavelmente se torna uma atividade
demorada, enfadonha, inviável ou qualitativamente muito diferente, já que o
software oferece detalhes do gráfico muitas vezes difícil de se obter com a
mídia lápis e papel.
Buscando na literatura e nas pesquisas desenvolvidas no campo da
Informática Aplicadas a Educação, pode-se verificar que a inserção dos
computadores nas escolas, no contexto pedagógico, necessita de ações mais
efetivas.
A maioria das escolas que têm computadores utiliza somente para o
ensino da Informática, Básica visando a formação técnica do aluno no manuseio do
computador e dos softwares básicos, como editores de texto, planilhas, Internet e
outros, sem ênfase nos processos pedagógicos das demais disciplinas curriculares.
Pode-se comprovar essa realidade, nas escolas da Rede Pública Estadual, na
região da 21a GEREI (Gerência Regional de Educação e Integração) com sede em
Criciúma/SC, por meio de contato com colegas professores de Matemática.
É importante ressaltar que a informática educacional no contexto de
aplicações pedagógicas se efetiva mais facilmente quando o aluno tem os
conhecimentos básicos da informática. Saber operar o computador em suas funções
básicas é atualmente uma habilidade necessária a todos os cidadãos inseridos
numa sociedade tecnológica. Essa também é uma necessidade detectada pelos
alunos e seus pais. Numa das escolas em que atuei como professor, já recebemos
pais de alunos questionando os motivos por que seus filhos usavam a informática na
escola, mas em sua casa, não sabiam sequer ligar o computador ou utilizar
programas simples, como o editor de textos ou planilha eletrônica, por exemplo.
7
Entretanto, é necessário que o educador utilize o computador não apenas
como instrumento técnico de trabalho, mas também como uma ferramenta de auxílio
pedagógico. Segundo Chaves (1988, p.33), "Além das vantagens e os benefícios da
introdução de microcomputadores na Educação, é necessário indicar algumas das
possíveis maneiras de o microcomputador auxiliar o processo pedagógico”.
No processo de formação vivenciado como aluno da Pós-Graduação
observava que, para meus colegas – professores de Matemática – a ênfase nos
questionamentos nessa área, estavam relacionados ao processo metodológico de
uso dos softwares no contexto matemático. Como, quando, de que forma os
conceitos poderiam ser trabalhados com os seus alunos, com o objetivo de ampliar
as possibilidades de elaboração dos conceitos?
No contexto de estudo das funções matemáticas, Borba (1999, p.293)
afirma que, com as potencialidades das mídias informáticas, pode-se transpor a
ênfase dada ao estudo da função para uma “atenção maior à coordenação entre
representações algébricas, gráficas e tabulares”. Isto permite ampliar e aprofundar
as análises acerca da função a partir da sua representação e isso pode contribuir na
compreensão mais ampla dos conceitos matemáticos relacionados.
Assim, definiu-se como finalidade dessa pesquisa, investigar as possíveis
potencialidades de uso dos softwares classificados como planilha eletrônica e
algébrico, na elaboração dos conceitos matemáticos algébricos relacionados às
funções do primeiro e segundo graus e as suas variáveis, normalmente trabalhados
com os alunos, no Ensino Fundamental.
A partir desse diagnóstico pergunta-se: É possível desenvolver atividades
matemáticas relacionadas aos conceitos de funções do primeiro e segundo graus,
com o uso do recurso computacional de uma planilha eletrônica e de um software
8
algébrico, objetivando a melhoria do processo educativo?
Durante a pesquisa se buscou construir possíveis respostas a pergunta
que a norteou: que atividades matemáticas podem ser desenvolvidas com o uso de
uma planilha eletrônica e de um software algébrico, no contexto de elaboração de
conceitos matemáticos algébricos, relacionados as funções do primeiro (1º) e
segundo (2º) graus?
O objeto da pesquisa é o processo ensino e aprendizagem de funções,
com o uso de uma planilha eletrônica.
Estabeleceram-se como objetivos:
Gerais:
Pesquisar sobre as formas de tratamento didático-metodológico para o processo
ensino e aprendizagem de funções no Ensino Fundamental, com o uso do
recurso computacional de uma planilha eletrônica e um software gráfico.
Contribuir para a implantação do uso do computador nas aulas de matemática
como recurso pedagógico no estudo das Funções de 1º e 2º graus.
Específicos:
Pesquisar em livros, artigos e no acervo virtual sobre trabalhos desenvolvidos
sobre o tema;
Pesquisar na Literatura, obras em Educação Matemática, Educação Matemática
e Informática, Álgebra e sobre o uso pedagógico dos softwares relacionados à
planilhas eletrônicas e algébricos, visando a construção do referencial teórico;
Definir o programa computacional que melhor se adequar à proposta de uso no
ensino e aprendizagem de funções;
Investigar, propor e desenvolver atividades matemáticas de formação dos
conceitos algébricos de funções com o uso dos softwares selecionados;
9
Integrar emprego técnico da planilha eletrônica com o ensino da matemática;
Analisar os gráficos gerados pelos softwares, observando e comparando a
veracidade da informação apresentada para a formação dos conceitos;
Elaborar o relatório monográfico;
Publicar e divulgar os resultados obtidos.
Algumas questões foram elencadas e nortearam a pesquisa:
A utilização dos recursos computacionais pode contribuir na apropriação dos
conceitos algébricos relacionados às funções?
É possível utilizar uma planilha eletrônica e um software algébrico na construção
e análise gráfica das funções?
A planilha eletrônica é suficiente para o desenvolvimento dos conceitos propostos
ou necessita-se de um software algébrico?
Quais as alternativas para as escolas que possuem computadores, porém não
dispõe de recursos para a aquisição de softwares que possam ser utilizados
como recurso no processo ensino aprendizagem da Álgebra elementar?
Durante a pesquisa, investigou-se a usabilidade e as possibilidades da
aplicação do software Microsoft Excel® 2002 em atividades matemáticas e do
software algébrico Graph. Enfatizou-se a análise sobre as atividades matemáticas
possíveis de serem aplicadas pelos professores de matemática, em sala de aula, de
pode que pudessem contribuir na elaboração de conceitos.
Para fundamentar essa análise, se buscaram informações nos livros, na
Internet e na experimentação dos softwares. As atividades pesquisadas e propostas
foram experimentadas e construídas num formato passo-a-passo, visando facilitar o
processo de compreensão do leitor. Alguns procedimentos e atividades foram se
definindo no decorrer da pesquisa, por tentativa, erro e acerto. É relevante citar que,
10
a experimentação das atividades nos softwares com os alunos e professores, não
era objeto dessa pesquisa, portanto não foram aplicadas.
A teoria histórico-cultural, que fundamenta a Proposta Curricular de Santa
Catarina (SC/SED), como modelo para a prática pedagógica nas Escolas da Rede
Pública, fundamentou a pesquisa. Na elaboração da monografia, deu-se maior
ênfase aos critérios e normas de pesquisa científica qualitativa.
O relato monográfico está estruturado da seguinte forma: Na Introdução,
apresenta-se a justificativa, o problema, o objeto e os objetivos da pesquisa. No
capítulo 2, apresentam-se os aspectos metodológicos da pesquisa. O referencial
teórico sobre a Matemática e as Mídias Informáticas, consta do capítulo 3. No
capítulo 4, reflete-se acerca da complexidade de ensinar e aprender Álgebra. No
capítulo 5, apresentam-se algumas sugestões sobre atividades matemáticas para
serem aplicadas com o uso dos softwares visando a elaborações dos conceitos
matemáticos. Para concluir, têm-se as considerações finais da pesquisa e as
referências.
11
2 METODOLOGIA DA PESQUISA
Com o objetivo de buscar respostas aos questionamentos é que se
constitui a pesquisa. Conforme Takahashi (2005, p.04), a pesquisa é uma “ação
metódica para se buscar uma resposta”.
Dentre as várias modalidades de pesquisa o método aplicado neste
trabalho foi a pesquisa bibliográfica que segundo Takahashi (2005, p.32), é
“desenvolvida com base em material já elaborado, constituído principalmente de
livros e artigos científicos”.
Já para Suassuna (2005, p.04), a pesquisa bibliográfica é baseada em
livros e periódicos científicos e compreende o universo de trabalho teóricos
desenvolvidos em campos como o da filosofia, sociologia e antropologia.
A presente pesquisa foi desenvolvida no ano de 2005. Inicialmente,
buscou-se na literatura os fundamentos teóricos que permitiram a construção do
referencial. Assim, para dar sentido à pesquisa utilizou-se como instrumentos, a
bibliografia disponível no acervo da universidade, artigos publicados na rede mundial
de computadores, um computador pessoal com sistema operacional Windows 2000,
o software de planilha eletrônica Excel 2000 e o software gráfico algébrico Graph.
A partir desse conhecimento, os softwares foram experimentados no
desenvolvimento de atividades diversas relacionadas as funções matemáticas.
Nesse processo de experimentação, foi-se selecionando aquelas que melhor se
adequavam à proposta pedagógica de uso no Ensino Fundamental. Dessa forma, as
atividades pesquisadas e propostas foram experimentadas e construídas num
formato passo-a-passo, visando facilitar o processo de compreensão do leitor.
Alguns procedimentos e atividades foram se definindo no decorrer da pesquisa, por
tentativa, erro e acerto. É relevante citar que, a experimentação das atividades nos
12
softwares com os alunos e professores, não era objeto dessa pesquisa, portanto não
foram aplicadas.
13
3 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A INFORMÁTICA APLICADA NO CONTEXTO
PEDAGÓGICO
3.1 Uma Breve Trajetória Histórica do Ensino da Matemática no Brasil
A origem da educação formal no Brasil está relacionada com os padres
Jesuítas cuja missão era educar e catequizar os índios, os filhos dos portugueses e
outros imigrantes.
Predominava o ensino da língua portuguesa e sua gramática, a filosofia e
teologia. Pouco ou quase nada foi ensinado de Matemática principalmente nos
primeiros anos da colonização, conforme Miorim (1998).
A Matemática não era bem vista pelos padres, pois a busca por relações
abstratas, incógnitas e medidas desconhecidas era tida como ‘ciência vã’
evidenciando uma resistência dos jesuítas a essa área do conhecimento
resguardando alguns colégios onde a Matemática teve um pouco mais de incentivo.
A partir da ‘revolução cartesiana’ na metade do século XVIII, “as
Matemáticas passariam a ser consideradas como um dos melhores elementos
culturais” (MIORIN, 1998, p.82).
Com a expulsão dos Jesuítas do Brasil o sistema educacional nacional
sofreu um retrocesso. Foram criadas as chamadas ‘aulas régias’ onde disciplinas
isoladas eram oferecidas com o objetivo de preencher o espaço deixado pela
extinção do sistema de educação Jesuíta. Com a criação dessas aulas, os
conteúdos matemáticos escolares começaram ser modificados a partir da introdução
de disciplinas como a Aritmética, a Álgebra e a Geometria.
Onde antes, o ensino literário e religioso como o latim, a filosofia e a
teologia predominavam, agora se incluía a Matemática e, futuramente introduziriam
14
o desenho e o francês. Apesar da inclusão da Matemática no ensino brasileiro,
continuaram limitados ao estudo da aritmética e da geometria, pois, como eram
aulas avulsas a freqüência a estas, era reduzida e, também existia uma resistência
dos alunos em estudar essas ciências. “No período colonial e no império há pouco a
registrar. O ensino era tradicional. Modelado no sistema português, a pesquisa era
incipiente. Não havia universidade nem imprensa”. (D’AMBRÓSIO, 1996, p.55)
Com a criação do Colégio Pedro II no Rio de Janeiro em 1837, nos
padrões dos colégios franceses onde os alunos eram promovidos por séries, o
ensino da Matemática em suas disciplinas avulsas (aritmética, geometria e álgebra)
teve o seu lugar garantido.
A implantação da República em 1889 não trouxe muitas mudanças na
escola secundária. Para suprir as necessidades nacionais foram criadas escolas
técnicas que concentravam seu empenho na agricultura e na indústria. Nesse ciclo
já começam a surgir as idéias positivistas de Augusto Comte.
Com o advento da República ouve uma forte influência francesa,
particularmente do positivismo. Pouco se fez em pesquisa até o início do
século, quando surgem Otto de Alencar, Teodoro Ramos, Amoroso Costa e
Lélio Gama, todos no Rio de Janeiro.(D’AMBROSIO, 1996, p.57).
A partir da primeira década do século XX novas correntes educacionais
começaram a modificar a educação brasileira. O Movimento da Escola Nova
agregava várias correntes pedagógicas entre elas o princípio da atividade e o
princípio de introduzir na escola situações da vida real, esta última ainda defendida
por muitos educadores.
Estes dois princípios resumem-se da seguinte forma:
[...] os problemas deviam ser propostas de acordo com os interesses da
classe, de modo que os alunos, sentindo necessidade de resolvê-los, se
apliquem à solução, movidos por verdadeiro interesse (Brasil MEC, 1955,
p.137 apud MIORIM, 1998, p.90).
Nessa fase se constata fragmentos da atual Teoria da Atividade citada por
15
Abrel [et. al] (2002, p.71) como “A atividade de aprendizagem constitui-se num
conjunto de Ações e Operações, direcionadas por um Motivo para atingir
determinada Finalidade”.
Mas, no período citado, o movimento não atingiu a escola secundária que
ficou ainda restrita aos processos de memorização e apropriação passiva aos
conteúdos.
[...] princípios da assim chamada escola nova, nesse período, contribuíram para
a expansão da oferta educacional, para a mudança de um ensino baseado na
memorização de conhecimentos em um ensino baseado na inter-relação
pessoal, na valorização do aluno enquanto indivíduo e no enfraquecimento do
conteúdo curricular. (Santa Catarina - SED, 1998, p.6).
Outras reformas vieram com poucas mudanças agrupando e separando
ordem e conteúdos. Entretanto, o ensino da Matemática ficava sempre em destaque,
pois desde os primórdios até o final do movimento da Matemática Moderna, na
década de 70 essa disciplina vem sendo instrumento de classificação e exclusão. A
essa Ciência se atribui parte de responsabilidade na evasão escolar no Brasil.
Nas décadas de 60/70, auge do regime militar, disciplinas como filosofia e
sociologia não faziam parte dos currículos escolares nacionais. Isso contribuiu no
fortalecimento da ideologia positivista do regime (Ordem e Progresso) onde a
sociedade não possuía a jurisprudência de refletir sobre as decisões tomadas por
seus governantes sendo reprimida toda vez que tomasse alguma atitude para tentar
mudar sua realidade.
[...] o golpe militar de 64 calou educadores e educandos e as possibilidades
de reflexão e discussão sobre a realidade brasileira e suas relações com a
educação foram cerceadas. Desta forma, a ditadura militar impede o avanço
do debate e do aprofundamento na discussão do papel da educação escolar
e, especificamente, daquilo que seria transformador. E muito mais, impede a
prática educativa escolar mais reflexiva, crítica e transformadora. Entram na
moda a inovação e a modernização dos meios, passando para segundo
plano os próprios conteúdos do ensino. (FUSARI, 2005. p.01)
Concomitante a esse momento histórico surge no Brasil um movimento
educacional conhecido como Matemática Moderna onde a lógica abrangia um
16
desempenho essencial na linguagem da Matemática.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, PCN’s (BRASIL/MEC
1996 p.05) “ao aproximar a Matemática escolar à Matemática pura esse movimento
reformista desconsiderou um ponto básico que foi seu grande problema: a proposta
apresentada estava fora do alcance dos alunos”.
A demasiada importância com as abstrações da Matemática voltadas
mais à teoria do que a prática fez com que a teoria dos conjuntos, por exemplo, em
sua linguagem formal, fosse introduzida com ênfase onde a aprendizagem de termos
e símbolos era relevante para o ensino do cálculo e da geometria.
Os livros didáticos por sua vez apresentavam os conteúdos com ênfase
nas técnicas de memorização. A pedagogia tecnicista estava aliada ao Movimento
da Matemática Moderna.
Segundo D’Ambrósio (1996, p.59) o Movimento da Matemática Moderna
deixou alguns pontos positivos:
[...] Não há como negar que desse movimento ficou um outro modo de
conduzir as aulas, com muita participação dos alunos, com uma percepção
da importância de atividades, eliminando a ênfase entes exclusiva a contas
e correções.
A ascendência de técnicas para aprender não era presente só nas
escolas, mas também no ensino superior, e ainda hoje conforme D’Ambrósio (1996),
temos professores de curso superior que não conseguiram se desprender da
Matemática tecnicista que a ele foi imposta pela Matemática Moderna.
Sobre a modernização do ensino da Matemática nos cursos de
licenciatura, D’Ambrósio, (1996, p.59) afirma que:
Já é tempo de os cursos de licenciatura perceberem que é possível
organizar um currículo baseado em coisas modernas. Não é de se estranhar
que o rendimento esteja cada vez mais baixo, em todos os níveis. Os alunos
não podem agüentar coisas obsoletas e inúteis, alem de desinteressante
para muitos. Não se pode fazer todo aluno vibrar com a beleza da
demonstração do teorema de Pitágoras e outros fatos matemáticos
importantes.
17
Atualmente evidencia-se mudança no ensino da Matemática que se
refletem nos estudos que apontam novos caminhos à Educação Matemática no
Brasil, de um ensino de Matemática que conforme os PCN’s, (Brasil/MEC 1997,
p.28) era “apresentado de forma descontextualizada, atemporal e geral, porque é
preocupação do matemático comunicar resultados e não o processo pelo qual os
produziu” para “uma postura político-pedagógica de quem se propõe ensinar
Matemática”.(Santa Catarina - SED, 1998, p.92).
A Educação Matemática almejada vem de encontro à produção de
conhecimentos baseados em pesquisas pedagógicas sobre ensino e aprendizagem
de Matemática, a busca de uma Educação Matemática que não está apoiada
apenas em regras e macetes, mas, diretamente conectada com a vida diária.
A Matemática como ciência da quantidade e do espaço, uma vez que se
originou da necessidade de contar, calcular, medir, organizar o espaço e as formas,
sugere hoje uma nova maneira de ensinar, onde as tecnologias fazem parte do
cotidiano das aulas, da escola e da casa, de quem aprende e de quem ensina. Uma
Educação Matemática jovem e atual onde se sabe o porquê e para que é ensinada,
sua importância e utilidade.
3.2 O Complexo Processo de Ensinar e Aprender Matemática
As perguntas mais comuns que ouvimos de nossos alunos são: Porquê /
Para quê eu tenho que estudar / saber isso? Onde vou usar? As repostas de alguns
professores, em geral, é: para o desenvolvimento do raciocínio lógico; ou para ser
aprovado em concursos e vestibulares e ainda tem aqueles que afirmam ser
necessário apenas para cumprir currículo.
Se o professor não compreende porque é preciso conhecer Matemática e
suas aplicações, e também não conhece seu desenvolvimento histórico, como vai
18
proporcionar que alguém se aproprie de algo que ele só conhece de um certo ponto
em diante?
O sentido de ensinar segundo Bicudo (1995, p.50) “está ligado a
aprender, mas ensinar e aprender são atos diferentes, realizados por pessoas
diferentes e um não é garantia do outro”. O ato de ensinar também está ligado a
conhecer, pois ensinar implica num certo modo de criação em frente ao aluno.
A função do educador é mediar os processos procurando a participação
de todos. Ao ingressar no curso superior, acreditava que ser professor de
Matemática era um ofício simples e fácil. Bastava apresentar a matéria na lousa
acompanhando e seguindo no livro didático. Com essa técnica, o aluno teria acesso
a alguns exemplos diferenciados que forneceriam subsídios na memorização de um
procedimento para solucionar um suposto problema. Comparo com a programação
de uma tarefa no computador: se acontecer isso, faça aquilo.
A Matemática vivenciada nesse contexto era considerada como uma
ciência exata, pronta e acabada, o qual apresentava um pseudo-ensinoaprendizagem que se fazia pela memorização e/ou por repetição maquinal de
exercícios de fixação, privilegiando o uso de regras e macetes.
Tradicionalmente, a prática mais freqüente no ensino da Matemática era
aquela em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo de
definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de
exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação e pressupunha que o aluno
aprendia pela reprodução. Considerava-se que uma reprodução correta era
ocorrência de que ocorrera a aprendizagem. (BRASIL/MEC, 1996, p.39).
Caracterizava-se por uma demonstração da metodologia do ensino
tradicional tecnicista de onde segundo Zanette (2005, p.01), “a ênfase desloca-se
para a obtenção de informações específicas e objetivas, cientificamente ordenadas,
tendo em vista a produtividade. O importante é o bom desempenho no trabalho, em
testes ou exames”:
19
[...] percebe-se uma concepção de ensino da Matemática que não privilegia
o caráter utilitário desse conhecimento, ou seja, a matemática é entendida
apenas como ferramenta para a resolução de problemas ou como
necessária para assegurar a continuidade do processo de escolarização,
não contemplando a multiplicidade de fatores necessários ao
desenvolvimento de uma efetiva Educação Matemática.(Santa Catarina SED, 1998, p.105).
Para ensinar Matemática, antes de tudo, o professor deve ter interesse e
conhecer essa matéria, especialmente o assunto a ser abordado. Isso não significa
que se deve ser especialista em toda a Matemática e suas ramificações, mas ter
consciência de que, se tal assunto nos afligi também poderá aborrecer nossa platéia,
ou seja, nossos alunos. Quando um assunto não é claro ao professor, ele não terá
competência para ensiná-lo devidamente.
Interesse é uma condição indispensavelmente necessária, [....] Nenhuma
quantidade de interesse, ou de métodos de ensino, permitirá que você
explique claramente um ponto a seus alunos se você próprio não entender
mais claramente esse ponto.(PÓLYA, 1959 apud REVISTA DO
PROFESSOR DE MATEMATICA. 200?, p. 10)
Além de conhecer e interessar-se por sua matéria o professor também
deve conhecer e se interessar por seus alunos, observar seus pontos de vista e
limitações, colocar-se ao lugar deles para que o ato de ensinar resulte em aprender.
Faz-se necessário estabelecer um vínculo entre professor e aluno. Essa
conexão pode ser definida por um ‘contrato didático’ no qual, sejam especificadas
abertamente suas funções e suas responsabilidades, um perante o outro.
Para Brousseau, (1986 apud MORETTI & FLORES, 2004, p.03) o
contrato didático refere-se como:
Uma relação que determina, explicitamente por uma pequena parte, mas,
sobretudo implicitamente, o que cada parceiro, professor e aluno, tem a
responsabilidade de gerir e da qual ele será responsável, de uma maneira
ou de outra, em frente ao outro.
Esse contrato didático que estará implícito entre professor e aluno não é
certeza de sucesso no processo ensino-aprendizagem, pois como em todos os
contratos poderá existir uma quebra, e a esse rompimento, chamaremos de ruptura
20
didática, que se promoverá quando o aluno “não estiver mais certo de que o
professor possa desempenhar o papel de garantir o bom andamento para seu
avanço nas aprendizagens escolares” (MORETTI & FLORES, 2004, p.03). É nesse
ponto que o professor perde a influência e o crédito perante os alunos, havendo a
necessidade de reformular esse contrato buscando sempre se manter nos pontos
citados anteriormente.
Quanta responsabilidade há em ser educador, pois, precisa-se explanar
com muita firmeza nosso conhecimento, para atrair a confiança de nossos alunos no
propósito de garantir que há importância em se estudar Matemática. Esse conceito
faz parte da identidade entre professor ↔ aluno ↔ escola.
Essa relação professor ↔ aluno ↔ escola em que ambos tem seus
direitos e deveres, serão complementadas pela transposição didática onde as trocas
do conhecimento cientifico será traduzida sob forma de objeto de ensino. Essa
transposição é um trabalho nobre e difícil do professor.
A Transposição Didática é um instrumento que utilizamos o movimento do
saber sábio (aquele que os cientistas descobrem) para o saber a ensinar
(aquele que está nos livros didáticos) e através deste, o saber ensinado
(aquele que verdadeiramente acontece em sala de aula).(CIPRIANI, 2003,
introdução)
Para a Mello (2004, p.18) para fazer a transposição didática:
É preciso levar em conta os objetivos e os valores educativos da escola; e a
idade e a situação sócio-cultural dos alunos; os recursos disponíveis para
ensinar, aprender e avaliar; as expectativas da família e da comunidade; as
demandas da sociedade.
Sendo a Transposição Didática o limite entre a experiência e a teoria
dentro dessa complexa tarefa que é Educar em Matemática, não há mais lugar para
a transferência de definições e conceitos, ou pré-conceitos uma vez que o conceito é
o sujeito quem produz.
21
Uma Transposição Didática bem feita permite que conhecimentos
construídos em outros tempos e espaços possam ser reconstruídos,
compreendidos e aplicados no contexto (espaço) em que aluno e escola
estão inseridos agora (tempo). (MELLO, 2004, p.18)
Para que se possa realizar esse sonho de Ensino de Matemática,
encaminhando o aluno a experimentar a prática mais elevada na busca pelo
conhecimento que é o exercício do pensamento, é imprescindível ter experiência no
campo que o professor está trabalhando.
As didáticas e metodologias diferenciadas são opções para auxiliar na
mediação da aprendizagem, mas a motivação para explorar as aplicações e
considerações que existem nessa ciência, facilitará consideravelmente essa
complexa habilidade de aprender e ensinar Matemática. Instigar o aluno para a
experimentação e para a descoberta dos significados matemáticos, contribui para a
aprendizagem significativa. A descoberta é fascinante e assim motiva a pesquisa na
busca pelo algo mais.
A aprendizagem passiva é momentânea, o aluno recebe a informação e a
devolve exatamente como lhe foi dada. Uma aprendizagem ativa pode desenvolver
habilidades que permitem ao aluno conhecer, identificar, experimentar e vivenciar a
Matemática.
Assim, para aprender os conceitos matemáticos é indispensável à
participação ativa dos alunos. Eles devem opinar, desconfiar, julgar, supor, presumir,
prever, cogitar, meditar, raciocinar, refletir, em fim, pensar. Como cita Pólya (1984,
apud. Revista do Professor de Matemática, 2005 p.01.), “deixemo-los descobrir por
eles mesmos, na medida do possível, não os force a absorver pela força”. Ao
começar a discutir um problema, o professor deve permitir que os alunos elaborem
hipóteses, deduzam a solução, pois o aluno que concebeu um palpite, empenha-se
no desenvolvimento do problema na busca da confirmação da sua hipótese. O
22
enigma deverá ser mediado e não revelado pelo professor. Os alunos vão opinando,
avaliando, comparando, analisando e na medida do possível desvendando por eles
mesmos a solução do problema.
3.3 O Trabalho do Educador na Avaliação em Matemática
A pesquisa internacional realizada pela Organização para a Cooperação e
o Desenvolvimento Econômico (OCDE), informa que os estudantes brasileiros são
os piores em matemática e estão entre os que têm, os menores níveis de
conhecimento em matemática. “Os alunos brasileiros tiveram o pior desempenho, ao
lado da Indonésia e da Tunísia, e ficaram no fim da lista, atrás de outros 37 países”.
(O ESTADÃO, 2004, p.01)
Sabe-se que os currículos proporcionados pelas escolas originam-se nos
Parâmetros Curriculares Nacionais, nas Propostas Curriculares Estaduais e num
Projeto Político Pedagógico. Em pesquisas como a da OCDE, os alunos não são
avaliados exclusivamente pelos professores, mas as escolas e todo o sistema
escolar também são considerados. Além de pesquisas internacionais passa-se
também por testes nacionais, e estes através de dados estatísticos apontam a
deficiência de nossos alunos, escolas e professores, ou seja, todo o sistema
educacional.
D’Ambrósio (1996, p.62) afirma que:
Os resultados da aplicação de instrumentos tradicionais poderão dar, na
melhor das hipóteses e mediante elaborados modelos de interpretação,
apenas informações parciais, focalizadas e geralmente pouco relevantes
sobre a qualidade do sistema como um todo.
A Associação de Professores de Matemática (APM) em Portugal (APM,
2004) alega que o problema das más notas em Matemática está no sistema de
avaliação, que, segundo a APM, não está adequado à realidade.
23
Na prática vivenciada em sala de aula como docente e em debates com
colegas professores da área há consenso sobre o processo atual de aprovação e
reprovação dos alunos, vinculados a programas político-sociais. A reprovação está
sendo abolida das escolas. A análise desse contexto é ampla e exigiria uma
pesquisa específica. Entretanto, numa forma simplista de análise, pode-se afirmar
que no enfoque político-social, este processo é bom, pois mantém o aluno na
escola, atenuando as estatísticas da evasão escolar e marginalização do jovem que
está em idade escolar. Em contra partida, observa-se o aumento das dificuldades
relacionadas aos conceitos básicos matemáticos nas trocas de fases escolares.
O processo de avaliar é complexo e tem provocado reflexões e estudos
entre os educadores, nas escolas.
Entende-se a avaliação como um processo que ocorre a todo o momento e
que envolve todos os elementos da prática pedagógica: professor, alunos e
demais sujeitos que trabalham ou estão envolvidos com a escola, assim
como os objetivos, os conteúdos e as atividades realizadas na escola e em
sala de aula. (Santa Catarina - SED, 1998, p.35).
Isto implica que as observações, os registros e outros instrumentos
avaliativos devem estar presentes desde o primeiro momento de aula, e em todas as
atividades que são realizadas. É a avaliação concebida como processual e
constante.
A avaliação serve para que o professor verifique o que de sua mensagem
foi passado, se seu objetivo de transmitir idéias foi atingido – transmissão de
idéias e não a aceitação e a incorporação dessas idéias e muito menos
treinamento.(D’AMBRÓSIO, 1996, p.70).
O que deve ser repensado é a tradicional prova escrita onde o aluno que
ouve repete e devolve aquilo que lhe foi proferido sem questionar ou aperfeiçoar a
informação que recebeu, como um treinamento.
A avaliação dos alunos na disciplina de Matemática, como nas outras
“envolve interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino
e aprendizagem” (ABRANTES, 2001 apud PONA, SOUSA e DIAS, 2003, p.48).
24
Avaliar nessa concepção é diferente de atribuir nota. A avaliação é um
processo que envolve uma reflexão sobre o aprendizado, com a finalidade de
conferir seu progresso, suas dificuldades e possibilitar uma tomada de decisão sobre
o que fazer para superar os obstáculos. A nota é uma exigência formal do sistema
educacional para que se possa acompanhar o desenvolvimento dos educandos e
talvez ajudá-los em suas eventuais dificuldades.
Deve-se, portanto, repensar sobre a intenção da avaliação, sobre o
porque e como se avalia, num trabalho que abrange um grande número de
situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos,
o uso de recursos tecnológicos, entre outros.
3.4 Educação Matemática e Informática na Educação
Falar sobre o uso da Informática na Educação, em particular, na
Educação Matemática, não é apenas fazer uma análise de onde se pretende
introduzir o uso de novas tecnologias em atividades de ensino, mas, identificar
temas a partir do qual é possível extrair subsídios para a compreensão da relação
que envolve a Educação Matemática e a informática.
Mas qual seria o verdadeiro papel do computador em atividades de
ensino? Várias respostas surge a esta interrogação, uma vez que as aplicações de
recursos tecnológicos são variadas e devem se adequar ao tema em estudo, a
criatividade do professor, ao software disponível, e especialmente, dos objetivos que
se pretendem alcançar.
Calculadoras e computadores devem ser acompanhados por uma
reformulação de conteúdos, deixando de lado coisas que só se justificam
por estar no programa há muito tempo, e passando por coisas modernas,
que não poderiam ser abordadas sem essa tecnologia. (D’AMBRÓSIO
1996, p.69).
Com o rápido desenvolvimento da informática, os serviços e as vantagens
25
que a ela pode oferecer à Educação, em particular, à Educação Matemática, são
infinitamente amplos, uma vez que a rede mundial de computadores está à
disposição e dela se pode tirar muitos recursos para as pesquisas inclusive
programas que auxiliarão na execução das aulas de Matemática. Ter o computador
como um instrumento de trabalho ou até como objeto de lazer, pode ser uma boa
experiência de aprendizagem, tanto para professores quanto para os alunos.
O potencial do computador deve ser empregado com relação à sua
aplicação a um campo específico de atividade. Sendo assim, deve-se verificar onde
é possível utilizar o computador e como usá-lo: em jogos educativos, nas pesquisas
na Internet, para criar desenhos, manipular imagens, entre outras.
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino
(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de
aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades.
(BRASIL-MEC, 1996, p.01).
Uma das questões a se abordar é: como professores que durante a
formação tiveram pouca experiência com computador e também não o utilizam em
seu cotidiano, podem incluir essa importante ferramenta tecnológica em suas
atividades de sala de aula? Faz-se necessário ao professor compreender a
importância do computador para o enriquecimento de seu trabalho e também saber
buscar de forma responsável sua aplicação.
Algumas considerações sobre como o computador pode ser utilizado no
processo educativo e sobre as regras a se adotar, tanto por parte de professores
quanto de alunos, podem servir para diminuir as dúvidas criadas pela insegurança.
O professor precisa encarar esse problema com menos emotividade e
mais realismo e reconhecer que o verdadeiro papel da informática não está nas
respostas que este instrumento possa oferecer, mas na forma de como o professor
consegue configurar.
26
É imprescindível ao professor a compreensão de que a utilização dos
recursos tecnológicos é irreversível, o que não significa, neste momento
histórico, que a máquina o substituirá na sua função de mediador. O acesso
à tecnologia está se tornando cada vez mais comum e, portanto, é
necessária ao sujeito a apropriação do conhecimento que a informatização
disponibiliza. (SANTA CATARINA, 1998, p.01).
A informática e o computador são bons organismos de inovação
tecnológica em qualquer área onde sejam empregados. Se quem os utiliza
consegue inseri-los em um processo educativo no qual sejam claros os objetivos, a
metodologia e as modalidades de avaliação utilizadas, terá nestes mais uma
ferramenta para enriquecer seu trabalho.
Investir na inclusão da Informática na Educação, e de forma especial, na
Educação Matemática é sensibilizar professores e alunos da importância de se
garantir uma participação ativa nesse processo de transformação que atinge a
escola, em conseqüência da presença cada vez maior de computadores em sala de
aula. Ampliar esse debate reduz os riscos de insucesso e de frustrações uma vez
relacionados ao desenvolvimento e a velocidade das mudanças nesta área.
[...] a utilização dos recursos das novas tecnologias de informação e
comunicação no cenário educacional requer mudanças estruturais e
organizacionais profundas, como novo enfoque pedagógico e nova
dinâmica na aprendizagem, incluindo desde o conhecimento da utilização
de ferramentas de informática à mudança radical nos papeis de professor e
aluno. (ABREU, 2002, p. 90).
Deve-se ressaltar que, uma melhora aceitável nas atividades do ensino de
Matemática poderá ser alcançada por meio do emprego de equipamentos de
Informática, mas, com uma certa coerência e com objetivos e metas que devem
envolver a Educação como um todo.
A presença de computadores em sala de aula pode proporcionar grandes
avanços no processo de ensino-aprendizagem, principalmente na Educação
Matemática, por métodos e maneiras diversas de utilização, como trabalhos
individuais ou em grupo.
Com auxílio do computador já é possível ultrapassar limitações antes
27
impossíveis com os recursos aprimorados da computação gráfica e de simulações
onde o software auxilia a elaborar esses novos conhecimentos e habilidades.
Atualmente, é possível encontrar com facilidade bons programas didáticos freeware1
ou shareware2, desenvolvidos para o ensino da Matemática e outras áreas.
Com acesso a Internet professores e alunos podem ampliar seus
conhecimentos, aperfeiçoar suas atuações, melhorar sua experiência profissional. A
Internet é um instrumento consideravelmente útil para a elaboração de novos
saberes, novas informações que podem transformar-se em conhecimento.
A característica fundamental da Internet é a informação. Ela permite acesso
à informação disponibilizada nas mais diversas línguas... Constitui, em fim,
uma importante ferramenta para o trabalho colaborativo e cooperativo,
permitindo que diversas pessoas partilhem recursos e os transforme em
conjunto. (ABREU et al, 2002, p. 95).
Numa análise sobre as perspectivas futuras da Educação, pressupõe que
poderá ser diferente haja vista que a presença dos computadores tanto nas escolas
quanto nos lares é cada vez maior. Enquanto a tecnologia promove grandes
transformações, a Informática está se tornando parte da cultura em evolução,
proporcionando a alunos, professores, escola e comunidade uma maior interação
com todas as áreas do saber. Promove o domínio da máquina pelo homem, como
uma ferramenta de colaboração à evolução da tecnologia educacional.
Embora os computadores ainda não estejam amplamente disponíveis para
a maioria das escolas, eles já começam a integrar muitas experiências
educacionais, prevendo-se sua utilização em maior escala em curto prazo.
Isso traz como necessidade a incorporação de estudos nessa área, tanto na
formação inicial como na formação continuada do professor [...], seja para
poder usar amplamente suas possibilidades ou para conhecer e analisar
softwares educacionais. (BRASIL-MEC, 1996).
É necessário discutir sobre a importância da Informática na Educação,
analisar os efeitos da introdução de computadores na Educação Matemática para
1
Programa distribuído livremente pela Internet podendo ser utilizado sem qualquer tipo de
pagamento.
2
Programa compartilhado pela Internet, uso por tempo determinado mediante pagamento.
28
proporcionar uma maior aproximação professor-aluno-computador através de
softwares que estejam de acordo com os objetivos didáticos e, com a natureza dos
conteúdos a serem desenvolvidos.
A Informática é um recurso à disposição da Educação e para usufruir suas
possibilidades de inovações, professores e alunos devem conhecer suas
potencialidades e limites. Para se obter um maior aproveitamento de instrumentos
tecnológicos na Educação Matemática não é suficiente apenas saber utilizar os
recursos de hardware e software, mas entender como deve ser utilizado para que
possa propiciar benefícios à Educação.
3.5 O Processo Ensino e Aprendizagem da Álgebra: Funções
O surgimento histórico da álgebra, segundo Guelli, (1992) data por volta
de 833 d.C. A álgebra surge com Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, que escreveu
o livro “Al-Kitab al-muhtasar fy hisab al-jabr wa al-muqabalah”, cuja tradução
aproximada, segundo Garbi, (1997, p.22), é “O Livro da Restauração e do
Balanceamento”.
Al-Khwarizmi, do qual conforme Guelli, (1992) originou-se o termo
algarismo, emprega a palavra jabr para designar a nova ciência, pois jabr em árabe
significa redução no sentido de força que obriga a entrar no devido lugar.
Para Al-Khwarizmi, a aplicação prática da Álgebra era evidente, pois, ao
criar esta ciência, sua preocupação fundamental era a de atender à necessidade da
comunidade muçulmana de equacionar as prescrições do Alcorão para os
problemas de partilha de herança, assunto de grande importância para a
comunidade.
Já para os alunos de hoje, o que a matemática contemporânea entende
por Álgebra pode parecer uma fria e objetiva síntese de estruturas operatórias e sem
29
qualquer ligação com o presente. Assim compete ao professor, resgatar essa
aplicabilidade, proporcionando a sua significação, semelhante ao que a álgebra tinha
em suas origens.
Durante seu desenvolvimento, a Álgebra percorreu um longo caminho, até
chegar ao século XX. Sua estruturação exigiu o desenvolvimento do seu simbolismo
e das estruturas operatórias. Isto tem se apresentado como dificuldades em ensinar
álgebra nos cursos de ensino fundamental e médio.
Tradicionalmente o ensino da Álgebra tem início na sexta série, quando as
letras são apresentadas como substitutas de números. Surge assim uma
nova linguagem que tenta traduzir em símbolos matemáticos, idéias da
forma didática. (ABREU et al 2002, p.19).
Esse procedimento é comum nas escolas. O tratamento didático inicia em
geral com as equações, os monômios, os polinômios, etc. A compreensão dos entes
algébricos envolve diversos tópicos, incluindo os conjuntos e as funções. Dentre os
temas trabalhados, observa-se que, o que tem mais aceitação pelos alunos é a
construção gráfica de funções, limitada em geral a criação de tabela e do gráfico,
com pouco ênfase na análise dos mesmos. Talvez por serem mais visíveis suas
aplicações, e serem associados ao estudo da geometria.
Quase na sua totalidade o trabalho [...] é considerado abstrato e difícil, tanto
para os alunos como para os professores. Visto que o conteúdo é
apresentado numa seqüência rígida de regras que precisam ser aprendidas
numa certa ordem, pois acredita-se que cada uma delas depende das
anteriores. (ABREU et al 2002, p.19).
Cury et al (2003) comenta que na Álgebra “há um nível de abstração que
provoca, tanto na educação básica quanto no ensino superior, um momento de
ruptura com conceitos e procedimentos já internalizados pelos alunos”.
A fim de minimizar essas dificuldades são adotados artifícios que trazem
aluno e professor ao mesmo patamar de comunicação adotando simbologias e
linguagens que buscam amenizar as dificuldades no processo de ensinar e
aprender.
30
Os professores de ensino fundamental, conhecedores das dificuldades na
introdução de símbolos para substituir números, procuram muitas vezes
usar recursos baseados na linguagem do aluno ou nos conhecimentos em
outras áreas; assim, aparecem os “quadradinhos” que funcionam como
“marcadores de lugar”, esperando apenas a resposta do cálculo mental para
“cederem seu lugar” ao número que vai ser obtido. Em outros momentos, o
professor usa palavras da linguagem corrente que têm a conotação de algo
desconhecido, como “a coisa” [...] (PINTO e FIORENTINI, 1997 apud Cury
et al 2003, p.01).
Ao propor uma atividade para o ensino das Funções, por exemplo, podese empregar a linguagem da matemática utilizada para expressar fatos genéricos e
apontar quatro funções distintas para o seu uso, que segundo Souza e Diniz (1994
apud Cury et al 2003) são: “generalização da aritmética, estudo de processos para
resolução de problemas, expressão da variação de grandezas e estudo de
estruturas matemáticas”.
No entanto, há outros fatores que não podem ser desconsiderados
quando se planeja uma aula ou um conjunto de atividades que envolvam conceitos
algébricos, como por exemplo, “os estilos de aprendizagem dos alunos”, segundo
Cury et al, (2003 p.01).
Deste modo, uma das formas de se iniciar o estudo da álgebra poderá ser
através da resolução de problemas. Os Parâmetros Curriculares Nacionais indicam a
Resolução de problemas como “um caminho para o ensino de Matemática que vem
sendo discutido ao longo dos últimos anos”. Para Polya (1997, apud ABREU [et. al.]
2002) “resolver um problema é encontrar meios desconhecidos para um fim
nitidamente imaginado.” Divide a resolução de problemas em quatro etapas:
Compreensão do problema; Elaboração de uma estratégia; Execução da estratégia
e Revisão da solução.
A proposta pedagógica de resolução de problemas aplica-se a todos os
campos matemáticos incluindo o estudo de funções. Da mesma forma, pode-se citar
a modelagem matemática, a historia da matemática e outras.
31
4 A PLANILHA ELETRÔNICA EXCEL E O SOFTWARE ALGÉBRICO GRAPH
4.1 Conhecendo a Planilha Eletrônica Excel
Maxim e Verhey (1995, apud COXFORD e SHULTE 1999, p. 205)
definem a planilha eletrônica como “um arranjo bidimensional de células. Cada
célula, intersecção de uma linha com uma coluna, pode conter um rótulo (label), um
valor ou uma expressão”.
Mcconnell (1995 apud COXFORD e SHULTE 1999, p. 163) afirma que os
programas de planilha eletrônica lidam com a conceituação do problema em
símbolos abstratos. O usuário pode resolver um caso específico e deixar para o
programa a tarefa de generalização.
[...] levam em conta que o usuário talvez não seja capaz de falar sobre
regras matemáticas em termos de x e y, ou mesmo usando convenções de
nomes de células.
Assim, explorar pedagogicamente o potencial do software depende da
atitude do professor em relação ao processo de ensinar fórmulas e variáveis a uma
pessoa que venha a utilizar a planilha eletrônica com eficiência, ou seja, “como
podemos usar planilhas para ensinar álgebra com eficácia?”.
Maxim e Verhey (1995, apud COXFORD e SHULTE 1999, p. 205)
afirmam que:
As planilhas eletrônicas podem ser instrumentos eficazes de ensino,
ajudando os alunos a experimentar o processo de fazer matemática. Muitos
tópicos podem ser introduzidos de maneira significativa através de um
programa de planilhas.
Na presente pesquisa, optou-se pelo estudo relacionado ao Microsoft
Excel pois, conforme Abreu et al (2002, p.92), o programa é de utilização cômoda de
fácil e permite interativa aprendizagem. Além disso, está disponível em quase todos
os núcleos de informática que vêm sendo implementados nas escolas públicas da
32
região. Esses motivos foram relevantes na seleção Excel, no presente trabalho.
A planilha eletrônica Excel tem uma iconografia facilmente identificável
com outros programas da Microsoft como os Editores de Texto, bastante utilizados
por usuários de computadores. É formada por uma barra de menu, seguida de
barras de ferramentas que podem ser visualizadas na tela do computador (Figura 1).
Apresenta-se em forma de tabela composta por linhas e colunas. Cada
linha é identificada por um número: 1, 2, 3... e cada coluna, por uma letra: A, B,. C...
A intersecção entre uma linha e uma coluna chama-se célula e cada célula é
identificada pelo endereço. Por exemplo, C5 significa coluna C e linha 5 (Figura 1).
Figura 1 : Tela de abertura do Excel
Fonte: Dados da Pesquisa
A planilha possibilita uma série de cálculos matemáticos, estatísticos e
financeiros, com inserção de fórmulas. Algumas já vêm prontas, mas a planilha
eletrônica permite elaborar as fórmulas que se pretende utilizar. Agiliza os cálculos e
executa-os com muita facilidade trabalha com números decimais de até sete casas.
E a partir dos dados inseridos, constrói gráficos coloridos de maneira simples com
33
grande variedade de opções: gráficos de colunas, de barras, de linha, histogramas,
setores etc.
O uso de planilhas eletrônicas no ensino da álgebra é particularmente
interessante porque permite que o aluno se envolva num processo interativo
de resolução ou modelação de um determinado problema. A sua utilização
pode ser associada com essas abordagens metodológicas, a resolução de
problemas ou a Modelagem Matemática. (ABREU et al, 2002, p.92)
É relevante citar que o software não foi desenvolvido no contexto
pedagógico matemático. Atende as mais diversas áreas e profissionais que o
utilizam para outros fins.
4.2 Conhecendo o software Graph
O Graph é um programa algébrico desenvolvido com objetivos
pedagógicos relacionados ao estudo dos entes algébricos. Permite a construção e a
análises de diversas funções matemáticas incluindo outros temas da área. Atende,
com propriedade o processo de esboçar gráficos num sistema de coordenadas,
objeto dessa pesquisa.
A tela do programa é semelhante às janelas dos programas do Windows,
com menus e caixas de diálogos. Ele é capaz de esboçar funções normais e funções
de parâmetro. Também é possível acrescentar tangentes, avaliar pontos nas
funções, localizar um ponto no gráfico com o mouse, acrescentar matizações as
funções, acrescentar série de pontos, e mais.
O programa foi instalado e avaliado com Windows 95, Windows 98, o
Windows ME, Windows 2000 e Windows XP. Apresentou bom desempenho em
todos os gerenciadores citados. Este programa é distribuído como freeware1 e pode
ser utilizado de forma gratuita por seus usuários O Graph, versão 2.6, está
disponível no endereço eletrônico http://www.pandowan.dk.
A tela de abertura do software Graph (Figura 2) mostra as barras de
34
Menu, de ferramentas e a divisão entre a edição das funções e a sua representação
gráfica.
Figura 2: Tela de abertura do Graph
Fonte: Dados da pesquisa
O software se apresenta na língua inglesa, mas seus menus são bastante
intuitivos e o tutorial da ajuda pode ser facilmente traduzido com um tradutor
eletrônico. Ë um aplicativo de uso simples e apresenta uma iconografia associada a
símbolos matemáticos universais.
35
5 O ESTUDO DAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS COM O USO DO EXCEL E DO
GRAPH
5.1 O uso do software Excel no estudo de uma situação problema: A relação
entre as áreas de quadrados
A atividade matemática proposta no uso do Excel, busca a partir de uma
situação problema, trabalhar o conceito de variável, de constante e da relação de
dependência entre as variáveis. Imenes e Lellis, (1997, p. 347) definem variável
como:
No cálculo algébrico, as letras representam números quaisquer. Por
exemplo, numa expressão como 3ax, o valor das letras a e x pode ser
3 ou -0,6 ou ½ ou qualquer outro número. Isto é, o valor dessas letras
pode variar. Por isso, tais letras chamam-se variáveis.
Esses temas podem ser abordados também pela elaboração de modelos
matemáticos. A atividade é uma releitura da proposta sugerida por Seok (2003) no
artigo “O Ensino da Álgebra Auxiliado pela Planilha Eletrônica” de Maria Cecília
Malta Seok, assistente pedagógica de Matemática da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação (F.D.E. Suzano).
Na atividade, objetiva-se motivar os alunos a definir um modelo
matemático que dê conta de um problema relacionado a área de quadrados com o
uso dos recursos do software Excel.
O problema cita que: Davi está pintando uma grande parede quadrada de
5m de lado por 5m de altura. Os três quadrados (Figura 3) representam a área
pintada, após 1 hora, 2 horas e 3 horas de trabalho do pintor.
A área pintada (em m2) é designada pela variável y. A variável x é
definida como a distância do ponto P ao ponto C (em metros), conforme estão
representados na Figura 3. Assim, y representa a área pintada do quadrado.
36
Figura 3: Ilustração do problema
Fonte: Dados da pesquisa
Considerando que o pintor leva o tempo médio de 1hora para pintar 1m
na altura da parede então, atribui-se a x os valores 1, 2, 3 e 4 (metros). Assim quais
são os valores correspondentes de y? Para obter as respostas, constrói-se uma
tabela com esses valores de x e y.
A resolução do problema com o uso do Excel é bastante simples quando
os alunos já tem algum conhecimento de informática básica. Caso contrário, é
conveniente familiarizá-los com os uso dos recursos básicos.
Para resolver o problema no Excel, basta inserir os dados do mesmo na
tabela ou seja, digitar na tabela os dados abordados no problema, satisfazendo a
relação que há entre as variáveis dependente e independente sem considerar essas
relações (Figura 4). Assim, após 1 hora, Davi pintou 1m da parede quadrada de 5m.
Após 2 horas, conseguiu pintar 2m de altura da parede e assim sucessivamente.
Figura 4: Tabela
Fonte: Dados da atividade
A partir da tabela construída (Figura 4), o professor deve discutir os
aspectos propostos anteriormente: a variável, representada no segmento PC pela
variável x significa a distância do ponto P ao ponto C, que varia de 1 a 4; a
37
constante, que é a distância CD, neste atividade, é sempre igual a 5, representa o
comprimento do lado do quadrado e a dependência entre elas. A área da parede
pintada, é o produto entre CD e PQ e será representado pela letra y. Assim o valor
de y a partir de x são, portanto, y=5 quando x=1, y=10 quando x=2, e assim
sucessivamente até y=4.
Qual é a expressão geral que define as relações entre as variáveis
dependente e independente e, permitem encontrar o valor de y a partir de x? Essa
questão será mais fácil de ser trabalhada durante a confecção da tabela, pois fica
visível ao aluno que o número "5" se repete linha a linha e é multiplicado
sucessivamente por 1, 2, 3 e 4. Assim, o algoritmo CD × PC = y deverá ser
percebido pelos alunos como a expressão solução. Substituindo CD por 5 e PC por
x temos a expressão 5x = y, ou seja, o objetivo é chegar a expressão geral y = 5x,
que representa esta situação-problema. A partir dessa situação sugere-se a
exploração do problema e a produção de um outro modelo matemático que
generalize esta e outras situações problemas envolvendo o conceito estudado.
5.1.1 Elaborando um modelo matemático de função do primeiro grau no Excel
e generalizando.
A partir dessa análise, pode-se propor a análise sobre a trocas das
relações no problema, ou seja, o que fazer se o problema indicar x como a medida
de AP?
Esta hipótese provoca no aluno o repensar nas relações entre variável e
constante, definidas, mesmo que sejam feitas experimentalmente. Isto contribui no
entendimento desse conceito essencial para estudo das funções. Imenes e Lellis,
(1997, p.330) definem função, como o valor de uma grandeza que depende do valor
de outra, ou seja, a primeira está em função da segunda.
38
A representação da área nesse caso equivale a y = 5 AP. O professor
poderá pesquisar com os alunos como representar a área para esta nova questão
incentivando-os a fazer outra tabela.
Nesta etapa do aprendizado o aluno incluirá na tabela por ele construída
o recurso do cálculo. Para registrar o valor 20, o aluno escreve: = 5 * 4 (o asterisco
representa a operação de multiplicação), e a planilha efetua a operação e mostrando
o resultado.
A expressão y = 5 × AP deverá ser proposta pelos alunos em seguida.
Mas, a questão é a elaboração de uma expressão que generalize o nosso problema.
Figura 5: Tabela com o cálculo incorporado
Fonte: Dados da atividade
Aumentando o lado do quadrado para 50m e propondo a mesma questão
do problema inicial, responde-se as mesmas questões, fazendo uma tabela com DP
variando de 1 em 1. Tendo a planilha como aliada, pode-se instigar o aluno a criar
uma fórmula que dê rapidamente o resultado esperado no Excel, usando o recurso
da cópia de fórmulas. Solicita-se que observe como foi feita a primeira tabela (Figura
4) para programar o Excel a fazer esse trabalho de automação do cálculo.
Qual o endereço das células onde estão os valores de x (1, 2, 3 e 4)?
Nesse novo problema, a tabela deverá ser feita substituindo os valores de x pelos
endereços das células (exemplo, trocar 1 por A2).
Registra-se a fórmula para o primeiro valor da tabela onde antes era
x = 1 , será a fórmula 5*A2. Em seguida se repete à fórmula tantas vezes quanto for
necessário, e a planilha automaticamente substituirá os valores de x por seus
39
respectivos endereços.
Para executar esse procedimento sugere-se o seguinte roteiro:
•
Na primeira tabela construída, editar as células: clica-se na célula onde será
editada a fórmula automática, neste caso a célula B2 e pressiona-se a tecla F2.
Esse comando abre o conteúdo da célula selecionada para edição.
•
Para apagar todo o conteúdo da célula, tecla-se Delete.
•
Para reescrever a fórmula 5 × 1 = procede-se da seguinte forma: editar =5*A2 ou
=5* e clicar com o mouse na célula A2. Após teclar Enter.
•
Como resultado dessas ações, surge o número 5. Para dar continuidade em
outra célula deve-se arrastar e soltar a alça de preenchimento que copia o
conteúdo de uma célula para outras células na mesma linha ou coluna.
Para ilustrar essa nova forma de inserir os dados numa planilha, esse
problema será explanado com os valores de x variando de 5 em 5 (nossos alunos
construirão com variação de 1 em 1) para perceber como ficará a planilha.
A Figura 6 mostra a primeira fórmula digitada pelo aluno na célula B2 e
como a planilha copiou essa fórmula para as células de baixo, substituindo
automaticamente os endereços dos valores de x.
Figura 6: Digitação de dados
Fonte: dados do problema
Na Figura 7 a planilha apresenta esses cálculos sem mostrar as fórmulas
40
mas apenas os resultados.
Figura 7: Tabela com os resultados
Fonte: Dados da atividade
Após essa atividade, os alunos perceberão facilmente que os endereços
usados na planilha podem ser identificados com a variável x e que a fórmula que
generaliza a questão proposta inicialmente pode ser expressa por y=5x.
5.1.2 A Representação Gráfica das Funções do 1o e do 2o Grau com o uso da
planilha eletrônica Excel
A expressão geral do problema da área dos quadrados foi definida como
y = 5x que é uma função linear também denominada função do 1o grau. Analisando
a situação problema da área dos quadrados, qual o comportamento gráfico da
expressão y = 5x? Ou como seria o gráfico que representa o ponto P se
movimentando sobre o lado AD do quadrado ABCD, sem atingir suas extremidades?
Para a construção do gráfico que representará a função y = 5x utiliza-se o
comando assistente de gráfico do Excel. (Figura 8)
Figura 8: Botão Assistente de gráfico
Fonte: Dados do Excel
Seleciona-se a tabela com os dados do problema e se pressiona o botão
assistente de gráfico. A janela do assistente de gráfico e suas etapas abrem
41
automaticamente. (Figura 9).
Figura 9: Janela Assistente de gráfico
Fonte: Microsoft Excel
O tipo de gráfico que representa com veracidade as informações da
tabela é o gráfico de Dispersão (XY) e o subtipo é o gráfico de dispersão com pontos
de dados conectados por linhas suaves sem marcadores e consta da etapa 1 da
construção gráfica.
A etapa 2 mostra os dados de origem do gráfico e mostra um esboço do
resultado. A etapa 3 onde são alteradas as opções do gráfico é dividida em cinco
tópicos: Título, Eixos, Linhas de grade, Legenda e Rótulos de dados. (Figura 10)
42
Figura 10: Janela Assistente de gráfico – etapa 3 – opções de gráfico
Fonte: Microsoft Excel
Nesta etapa se configura a aparência do gráfico e as informações que
estarão contidas nele. A etapa 4 apenas define em que local será inserido o gráfico.
Tendo como ponto de partida a tabela construída com x (Figura 11)
assumindo os valores 1, 2, 3 e 4, obtém-se o gráfico (Figura 12) da função:
Figura 11: Tabela de origem
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 12: Gráfico da função y=5x
Fonte: Dados da atividade
Observa-se que na figura 12 foram modificadas as opções do gráfico na
etapa 3 proporcionando uma melhor visualização estética facilitando o entendimento
do assunto abordado.
Analisando o gráfico da situação-problema citada, percebe-se que a área
43
do quadrado varia de 0 a 25, sem, porém assumir o valor 0 e 25, pois o problema
impõe como condição que o ponto P não atinja as extremidades do lado AD, ou seja,
0<y<25. Provocar no aluno a participação na análise e conclusão do problema é
relevante no processo de aprendizagem por tornar-se significativa.
Segundo Seok (2003), na resolução de problemas o uso de gráficos é
insuficiente na escola, a defasagem de leitura gráfica colabora na dificuldade que os
alunos apresentam em relacionar os gráficos representados nas aulas de
Matemática com os gráficos de outras disciplinas, como Física, Química, Geografia
etc.
Como enfatizar essa relação função e gráfico? O que leva nossos alunos
a não transferir os seus conhecimentos para outras áreas? Para Seok (2003), o fato
de montar uma tabela para depois construir o gráfico e a relação: para cada x existe
um y faz o aluno, ao ver uma função qualquer, relacioná-la a uma tabela de pares
ordenados e não a um gráfico. “Fica muito difícil identificar famílias de funções
relacionando-as pelas tabelas construídas, no lugar de observar as características
comuns de seus gráficos”. (SEOK, 2003. p.04). Por isso o aluno não percebe que as
funções y = 2x + 30 e S = 30 + 2t são, ambas, funções lineares do 1ºgrau.
Assim, para superar essas dificuldades, o computador pode ser um
grande aliado. Neste caso, a ferramenta é a planilha eletrônica. Com ela o aluno
poderá construir uma tabela, em seguida facilmente construirá um gráfico e poderá
concentrar-se em efetuar mudanças nos parâmetros de uma função. E assim, reduz
o tempo de construção para ampliar o tempo de análise dos dados do problema que
está representado graficamente. Poderá observar o que acontece com seu gráfico.
As funções do 2o grau também denominadas de funções quadráticas
podem ser também, representadas graficamente, com o uso dos recursos do Excel.
44
De forma similar à função do 1o grau, a sua construção gráfica, depende da tabela
de valores construída. Inserindo os dados na tabela da planilha e ativando os
comandos de construção gráfica, tem-se a sua representação desenhada.
Nessa
atividade,
sugere-se
a
análise
comparativa
das
funções
incompletas do 2o grau, definidas por y=x2, y=x2+5 e y=x2-5 (Figura 13 e 14).
Figura 13: Tabela de funções
Fonte: Dados da atividade
Figura 14: Gráfico comparativo de funções
Fonte: Dados da atividade
A primeira função proposta apresenta coeficiente angular a = 1,
coeficiente b = 0 = c. Na 2a função proposta, o coeficiente a = 1, o coeficiente b = 0 e
o coeficiente linear c = -5. Na análise das funções, pode-se trabalhar com os
elementos comparativos relacionados com o coeficiente angular, coeficiente linear,
concavidade, zeros da função, função crescente e decrescente, Domínio e Conjunto
Imagem.
Alguns questionamentos podem ser feitos, objetivando provocar a
reflexão sobre a análise dos dados. Por exemplo: Se variar os valores do coeficiente
angular de positivo para negativos, ocorrem alterações no comportamento das
funções? Quais são? Se, variarmos o coeficiente linear, num parâmetro, por
exemplo, de –3 a +3, o que ocorre com as funções? Estes e outros questionamentos
devem ser feitos e mediados pelo professor com objetivo de elaboração dos
conceitos.
45
Seok (2003) afirma que ao observar as características comuns dos
gráficos das funções, o aluno pode identificar as famílias de funções. São atividades
matemáticas que se diferenciam com o uso de softwares específicos, pela rapidez
na construção gráfica da função que estes proporcionam, permitindo a análise
comparativa das mesmas. As funções y = 2x + 30 e S = 30 + 2t são, ambas, funções
lineares do 1º grau com possibilidades de atender a distintas situações problemas.
A expressão S = 30 + 2t, neste exemplo, refere-se a distância percorrida
por um móvel a uma velocidade constante de 30m/s, onde o intervalo de tempo (em
segundos) varia duas vezes a cada segundo. Representa uma situação problema
comum a área da Física. Neste caso, a cada segundo o móvel percorre 32 metros.
Analisando a tabela (Figura 15) e o gráfico (Figura 16) se tem uma representação
visual do que aconteceu em um determinado intervalo de tempo.
S
Distancia
45
40
35
30
25
20
15
10
t(s)
5
Figura 15: Tabela da função S = 30 + 2t
Fonte: Dados da atividade
0
0
1
2
3
4
5
6
Figura 16: Tabela S x t
Fonte: Dados da atividade
Como não existe tempo menor do que zero a comparação entre
parâmetros deve ser questionada. Este é um bom momento para introduzir o
processo de generalização dos entes matemáticos - onde antes uma função
representava uma distancia em relação a velocidade e o tempo S = 30 + 2t agora de
forma geral tem-se y = 2x + 30. Variando os valores de x (Figura 17) e até os sinais
de cada parâmetro observa-se a finalidade de cada elemento da função (Figura 18).
46
Figura 17: Tabela comparativa
Fonte: Dados da Atividade
Figura 18: Gráfico com legenda
Fonte: Dados da Atividade
O procedimento de mudança de parâmetro para a análise da
representação gráfica de funções com o uso do Excel implica na alteração dos
valores da tabela e conseqüente construção gráfica a partir dos mesmos. Esse
procedimento, apesar de ser mais rápido que o adotado na construção dos gráficos
com o uso de lápis e papel, toma um tempo relativo da atividade, reduzindo o tempo
de análise dos dados.
Existem outros softwares matemáticos que podem completar e/ou ampliar
essas análises. São softwares desenvolvidos com objetivos pedagógicos e tornamse mais adequado para este fim. Cita-se como exemplo, o Graph.
5.2 O uso do software Graph no estudo da função do 1° Grau
O uso pedagógico do software Graph na construção e análise de funções
de grau 1 e grau 2, tem objetivos diferenciados em relação ao uso da planilha
eletrônica Excel.
O processo de inserção dos dados ocorre de forma diferenciada. No
Excel, o aluno deve interpretar o problema, construir a tabela de valores entre as
variáveis dependente e independente e após representá-los graficamente. A partir
47
daí algumas análises podem ser mediadas. No Graph, o procedimento de
construção da tabela, se ocorrer, deve ser manual, ou seja, com o uso do recurso de
lápis e papel. Em geral, a expressão que representa a função é editada diretamente
no software. A partir dessa inserção, constrói-se o gráfico e elaboram-se as análises.
Na pesquisa foi utilizado o software Graph versão 2.6. Ao iniciar o programa, abre-se
automaticamente a janela principal, que mostra o sistema de coordenadas à direita
onde são exibidos os gráficos editados cujas sentenças são exibidas na coluna da
esquerda (Figura 19). Pode-se usar o menu ou os botões na barra de ferramentas
para inserir uma função, editar funções, apagar funções, etc.
As barras de ferramentas podem ser personalizadas com o botão direito
do mouse clicando na barra e selecionando Customize toolbar do menu popup.
Figura 19: Janela principal
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao trabalhar com o software é importante conhecer o objetivo de suas
ferramentas. A situação problema desenvolvida no software Excel, associada a área
48
dos quadrados, será também analisada no Graph com o objetivo de analisar
comparativamente as potencialidades dos dois softwares no contexto de trabalho
matemático.
Assim, a função desenvolvida no problema do pintor de paredes y=5x, é
representada graficamente no Graph a partir do uso de alguns comandos: Para
editar a função utiliza-se o comando insert a new function, que pode ser acionado
pelo botão
, no menu Function ou no teclado pressionando a tecla insert. Com
isso a janela Insert function abre-se. (Figura 20)
Figura 20: Janela Insert function
Fonte: Dados da Pesquisa
Para inserir ou editar uma função incluída antes utiliza-se a janela Insert
function. Pode-se escolher entre 3 tipos diferentes de funções: Função Standard
(Standard function), função de parâmetro (parameter function) e função polar (polar
function). Nosso estudo será direcionado a função Standard. A função Standard é
definida como y=f(x), onde para cada coordenada x há exatamente uma coordenada
y.
Para inserir no software a equação utiliza-se o recurso Equação da função
49
(Function equation): da função. Estas podem ser f(x), x(t), y(t) ou r(t) dependendo
do tipo de função.
Na análise das funções em geral, define-se um intervalo para a variável
independente. Utiliza-se para isso, o recurso Argument range. De (From) e Para (To)
indica o início o e fim do intervalo. Se for uma função standard, pode-se deixar um
ou os dois intervalos em branco e esboçar um gráfico de grande proporção ou de
proporção menor.
Ao representar uma função graficamente, pode-se escolher entre estilos
de traço diferentes no esboço do gráfico. Pode-se escolher entre sólido, denso,
pontilhado ou uma combinação destes. Também há muitas cores diferentes para
escolha. Para isso, ativa-se no software o recurso Propriedades do gráfico: (Graph
properties).
Assim, para inserir no Graph a função relacionada a situação problema
das áreas dos quadrados, deve-se digitar a sentença f(x)=5x que é a expressão
geral relacionada ao problema do trabalho do pintor de paredes. Clicando na barra
de ferramentas, em insert a new function digita-se 5x (Figura 21).
Figura 21: Edição da Função y=5x
Fonte: Dados da Pesquisa
50
Clicando no botão OK a função f(x)=5x é representada graficamente na
lateral esquerda da tela do computador (Figura 22).
Figura 22: Representação gráfica de y=5x
Fonte: Dados da atividade
Para melhorar a visualização da representação, a fim de proporcionar um
bom entendimento do gráfico pode-se modificar seus eixos na tela. Quando se
seleciona o componente do menu Edit | Axes (Editar | Eixos)
é mostrada a caixa
de diálogo, como se pode verificar analisando a Figura 23.
Nesta janela pode-se configurar todas as opções que são relacionadas
aos eixos. A janela contém quatro menus. O primeiro, (Figura 23), contém opções
para o eixo x. O menu com opções para o eixo y é análogo a este.
51
Figura 23: Janela Edit axes
Fonte: Dados da pesquisa
Assim, analisando os elementos da janela x-axis/y-axis (Eixo x / Eixo y),
tem-se:
Minimum (Mínimo): Representa o menor valor para o eixo. O software traz
como padrão: -10
Maximum: (Máximo): Mostra o maior valor no eixo. Padrão: 10
Tick unit (Escolher unidade): Representa a distância entre grades do eixo,
indicadas por linhas perpendiculares ao mesmo.
Grid unit (Unidade da Grade): Define a distância entre as grades ou linhas
perpendiculares ao eixo. Este recurso é utilizado quando são mostradas linhas de
grade.
Logarithmic scale (Escala logarítmica): Utilizada em funções que
necessitam do eixo logarítmico.
Show numbers (Mostrar Números): Quando este campo é ativado são
mostrados os números no eixo, com a distância escolhida em Tick unit.
Label (Rótulo): Quando este campo é ativado, o texto editado nessa
janela é mostrado no gráfico ao lado direito do sistema de coordenadas no eixo x.
52
Para o eixo y, o texto será mostrado à direita e ao topo do eixo. Pode-se usar este
recurso para mostrar qual unidade é usada para os eixos.
The y-axis crosses at / The x-axis crosses at (O eixo y cruza em / O eixo x
cruza em): Com este recurso define-se o ponto de intersecção dos eixos x e y
matematicamente são definidos como (0,0), ou seja, o padrão é: 0.
Auto tick (Auto marca): Quando ativado o programa escolhe um valor para
Tick unit, ajustando-se as dimensões de eixos e tamanhos da janela.
Auto grid (Auto Grade): Quando acionado a unidade de Grade terá o
mesmo valor que unidade da marca do eixo.
Show ticks (Mostrar marcas): Quando este campo é ativado são
mostradas marcas como pequenas linhas no eixo com a distância escolhida abaixo
na Tick unit.
Show grid (Mostrar grade): Mostra linhas de grade, como linhas
pontilhada, perpendicular aos eixos, na core e com a distância escolhida da unidade
de Grade.
Na janela Settings (Molduras), (Figura 24) pode ser editado um título
(Title) que é exibido sobre o sistema de coordenada. O botão a direita muda a fonte.
Figura 24: Edit axes/Setings
Fonte: Dados da pesquisa
53
A opção Show legend (Mostrar legenda) exibe uma lista de funções.
Pode-se mudar a fonte no Font and color.
A opção Axes style (Modo de eixos) é usada para definir os modos de
apresentação dos eixos x e y. Para mostrar os eixos não se marca nada. Escolhe-se
o Crossed para mostrar um sistema de coordenada normal. O local dos eixos pode
ser modificado em The y-axis crosses at and The x-axis crosses at. Selecionando
Boxed podem-se mostrar o eixo ao fundo e ao lado esquerdo do sistema de
coordenadas.
O recurso Font and color (Fonte e cor) associa as diversas possibilidades
de cores de fonte e representação gráfica (Figura 25).
Figura 25: Edit axes/ Font and color
Fonte: Dados da Pesquisa
Em Colors (Cores), pode-se mudar a cor do fundo, a cor das marcas e a
cor que se utilizou para desenhar as linhas de grade. Em Fonts (Fontes), pode-se
mudar as fontes usadas no gráfico, rótulos e marcas, a fonte utilizada nos números
dos marcadores, e a fonte que aplicada na legenda. O recurso de Save as default
(Salvar como Padrão) é utilizado para salvar todas as modificações atuais que serão
usadas como padrão no futuro. São gravadas em um arquivo nomeado default.grf e
54
poderá ser usado quando escolher criar um novo sistema de coordenada. Para
restabelecer os padrões originais, apaga-se o arquivo criado.
Para adaptar os eixos ao problema colocam-se os dados (Figura 26 à 29):
e após, clicando no comando OK, obtém-se o gráfico da função linear e/ou do 1o
grau (Figura 30).
Figura 26: Edit axes/x-axis
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 28: Edit axes/Setings
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 27: Edit axes/y-axis
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 29: Edit axes/Font and Colors
Fonte: Dados da pesquisa
55
Área pintada por Davi de hora em hora
25
Área em m²
f(x)=5x
20
15
10
5
Tempo em horas
-1
1
2
3
4
5
Figura 30: Gráfico Editado
Fonte: Dados da pesquisa
No Graph, a edição dos gráficos é feita sem a necessidade de dispor
dados em uma tabela. Basta apenas inserir a função e o software desenvolverá o
gráfico.
Pa analisar uma função do primeiro grau tipo f(x)=ax+b a possibilidade de
análise de parâmetro torna-se mais simples. Tomando-se como exemplo a função
y=2x+30, qual é a função dos termos a e b na geração do gráfico?
Modifica-se inicialmente o valor do termo a e gera-se um gráfico para
cada nova função (Figura 31). Nota-se que variação do termo a atua diretamente na
inclinação da reta elaborada no gráfico. Esta variação do termo a chama-se
coeficiente angular. Pode-se observar qual é o emprego do sinal no termo a
percebe-se que o sinal negativo inverte a direção da reta composta no gráfico
(Figura 32).
56
Figura 31: Função f(x)=ax+30 com variação do termo a
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 32: Função f(x)=-ax+30 com variação do termo a
Fonte: Dados da pesquisa
Pode-se fazer a mesma análise variando o termo b da função e observar
qual a função deste no gráfico (Figura 33). Pode-se perceber com este gráfico que o
57
termo b da função dada é o ponto onde a reta toca o eixo y e este se chama
coeficiente linear.
Figura 33: Função f(x)=ax+b com variação do termo b
Fonte: Dados da pesquisa
Outras experiências podem ser feitas com os alunos em uma aula de
laboratório envolvendo funções do primeiro grau, incluindo a análise dos sistemas de
equações lineares do 1o grau.
5.3 O uso do software Graph no estudo da função do 2o Grau
As funções da família das parábolas ou do 2o grau originam-se de
situações problemas aplicáveis em várias áreas do conhecimento. O software Graph
possibilita a analisar uma função do segundo grau f(x)=ax2+bx+c a partir da sua
definição e/ou análise comparativa de seus elementos, em parâmetros definidos.
Nesta atividade, sugere-se a análise de todos os termos da função.
Primeiramente será analisada a variação do termo a e seu sinal (Figura 34).
Observa-se o sinal negativo do termo a coloca a parábola com a concavidade virada
58
para baixo (Figura 35)
Figura 34: Variação do termo a na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 35: Variação do termo a com sinal negativo na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
59
Analisa-se também a função do termo b em uma função de segundo grau
inclusive com operação se adição e subtração. Pode-se concluir que a variação do
termo b determina que a parábola vai passar pelo eixo x no ponto determinado pelo
termo b (Figura 36). A operação de subtração faz a mesma função, mas na direção
oposta (Figura 37).
A relevância está no processo de experimentação, pois se explora ao
máximo as potencialidades do software, no rápido feedback das mídias informáticas
e na facilidade de geração de inúmeras figuras, gráficos, tabelas e expressões
algébricas (BORBA E PENTEADO 2003). Propicia propostas pedagógicas que
estimulam questionamentos, formulação de conjecturas, resolução de problemas,
onde o processo de sistematização ocorre durante o processo investigativo
desenvolvido pelos alunos no software.
Figura 36: Variação do termo b na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
60
Figura 37: Variação do termo b com sinal negativo na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
Pode-se também, trabalhar as variações do termo c. Pode-se notar que
semelhante à variação do termo b a variação do termo c mostra onde a parábola
intercepta o eixo y. Num ponto positivo, quando o coeficiente é positivo (Figura 38) e
no eixo negativo quando o coeficiente também é negativo. Muitas questões podem
ser debatidas a partir desses elementos, incluindo a definição do coeficiente linear.
Figura 38: Variação do termo c na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
61
Figura 39: Variação do termo c subtraindo na função do segundo grau
Fonte: Dados da pesquisa
Essas análises podem ser ampliadas nas variações relacionadas ao
campo da Imagem da função. Permite comparar as funções completas e
incompletas do 2o grau, analisando as semelhanças e as diferenças. Igualmente,
pode-se trabalhar os valores relacionados a concavidade, função crescente e
decrescente, a relação entre a variável dependente e a variável independente, etc.
O software Graph, como recurso aplicável a Educação Matemática nos
conceitos trabalhados, mostrou que tem mais possibilidades de uso no contexto
pedagógico comparado a planilha eletrônica Excel. Entretanto, para usufruir suas
possibilidades de inovações, professores e alunos devem conhecer suas
potencialidades e limites.
62
6 CONSIDERAÇÔES FINAIS
A pesquisa desenvolvida com o uso da planilha eletrônica Excel, na
construção dos conceitos relacionados a função do 1o e do 2o Grau, privilegiou a
construção dos conceitos de parâmetro (representa um número do qual dependem
outros números) e argumento (variável que representa os valores-domínio de uma
função). Tendo esses conceitos construídos, as funções surgem naturalmente, pois
para construir uma função o aluno necessita de um nome para os valores
dependentes (parâmetro), de um nome para a variável e de percepção para verificar
a relação que existe entre eles. A escrita de expressões do tipo y = 5x, apresentado
como atividade-problema, pode ser mais significativa para o aluno quando este a
encontra como solução do problema. E a reflexão sobre variáveis e constantes que a
planilha proporciona mostra que é uma ferramenta útil ao aluno na construção de um
conceito mais abrangente e significativo de uma função.
O uso de gráficos na resolução de problemas é pouco privilegiado na
escola. Essa defasagem de leitura gráfica contribui para a dificuldade que os alunos
apresentam em relacionar os gráficos trabalhados nas aulas de Matemática com os
gráficos trabalhados em outras disciplinas, como Física, Química, Geografia etc.
Com a planilha, o aluno, livre dos cálculos repetitivos e do trabalho
cansativo e maçante da construção de tabelas, terá na tarefa de construir gráficos
uma motivação para a pesquisa, a observação, a tirada de conclusões. E depois
poderá, junto com o professor, formalizar suas descobertas.
A planilha eletrônica é um aplicativo que está disponível no mercado há
muito tempo; já é conhecida dentro da escola, na secretaria, mas ainda não é vista
como uma ferramenta importante no ensino de alguns temas matemáticos.
O software Graph diferencia-se da planilha eletrônica por ter objetivos
63
pedagógicos na sua filosofia de desenvolvimento. Caracteriza-se essencialmente,
por ferramentas que visam desenvolver o pensamento matemático algébrico,
associados a vários temas da Matemática.
A representação gráfica dos elementos relacionados aos problemas em
estudo, independem da construção de tabela, como ocorre na planilha eletrônica. A
investigação mostra que, no campo das funções do 1o e 2o grau, o Graph permite o
desenvolvimento de atividades que podem, com a mediação do professor, estimular
questionamentos, formular conjecturas e resolver de problemas. O processo de
sistematização pode ocorrer durante o processo investigativo desenvolvido pelos
alunos e professor no uso do mesmo.
A relevância do uso do Graph situa-se também, no processo de
experimentação. Pode-se explorar ao máximo as potencialidades do software, no
rápido feedback da construção gráfica das funções, pela facilidade de geração de
inúmeras figuras gráficas. Isto contribui na análise e interpretação das mesmas.
O software Graph, como recurso aplicável a Educação Matemática nos
conceitos trabalhados, mostrou que tem mais possibilidades de uso no contexto
pedagógico comparado a planilha eletrônica Excel. Entretanto, para usufruir suas
possibilidades de inovações, professores e alunos devem conhecer suas
potencialidades e limites.
Espera-se que o presente trabalho contribua com os professores de
Matemática e das outras disciplinas, no intuito de apropriar-se deste recurso,
ampliando as pesquisas e utilizando-os no processo ensino e aprendizagem de
Matemática em nossas escolas.
64
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matemática. Florianópolis: UFSC/LED, 2002.
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