Matemática Básica

Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 6
19 de abril de 2012
Aula 6
Matemática Básica
1
Ainda Sobre
O Princípio da Indução Finita
Aula 6
Matemática Básica
2
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
3
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
4
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
5
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
6
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
7
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
8
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
9
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
10
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4,
. . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5,
. . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2,
. . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1,
. . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto N.
Aula 6
Matemática Básica
11
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
12
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
13
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
14
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
15
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
16
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
17
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
18
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
19
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
20
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
21
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
22
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
23
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
24
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
25
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
26
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
27
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
28
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
29
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
30
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
31
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
32
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
33
Exemplo
Mostre que
∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira.
Agora, se P(k ) é verdadeira, então k 2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos
mostrar que (k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1) − 6
=
k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k 2 − k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k 2 − k − 6 + 2 k =
(k + 1)2 − (k + 1) − 6 ≥ 0.
Aula 6
Matemática Básica
34
O Segundo Princípio da Indução Finita
Aula 6
Matemática Básica
35
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
36
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
37
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
38
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
39
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
40
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
41
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
42
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
43
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
44
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
45
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
46
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
47
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
48
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
49
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
50
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
51
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
52
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
53
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
54
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
55
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
56
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
57
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
58
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
59
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
60
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
61
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
62
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
63
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
64
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2
pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito
como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)
também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode
ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar
que k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para
se fazer: k + 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1).
Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira
usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro
Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Aula 6
Matemática Básica
65
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
66
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
67
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
68
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
69
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
70
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
71
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
72
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
73
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
74
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
75
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
76
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.
Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos
mostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número
primo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode
ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser
escritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto de
números primos.
Aula 6
Matemática Básica
77
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Aula 6
Matemática Básica
78
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Aula 6
Matemática Básica
79
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Aula 6
Matemática Básica
80
O Segundo Princípio da Indução
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Aula 6
Matemática Básica
81
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
n ∈ N. Defina P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
82
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
n ∈ N. Defina P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
83
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
n ∈ N. Defina P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
84
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
85
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
86
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
87
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
88
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
89
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
90
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
91
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
92
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
93
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
e
e
e ) é
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1)
= P(1) é verdadeira. Se P(k
n ∈ N. Defina P(n)
verdadeira, então P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Logo
e + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k
e
e
Indução (aplicado ao predicado P(n)),
P(n)
= P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em
particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
94
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
95
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
96
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
97
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
98
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
99
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
100
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
101
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
102
Demonstração do teorema
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e
(Passo básico )
• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que
P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos
que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k ) é verdadeira, em particular, P(k ) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é
verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Aula 6
Matemática Básica
103
Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução
O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como
Princípio da Indução Completa
ou
Princípio da Indução Forte.
Aula 6
Matemática Básica
104
Outras Aplicações
Aula 6
Matemática Básica
105
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Aula 6
Matemática Básica
106
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
107
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
108
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
109
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
110
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
111
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
112
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
113
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
114
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
115
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
116
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
117
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
118
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
119
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
120
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
121
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
122
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
123
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
124
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
125
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
126
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
127
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
128
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
129
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
130
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
131
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
132
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
133
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
134
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
135
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
136
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
137
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
138
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
139
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
140
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
141
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
142
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
143
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
144
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
145
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
146
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
147
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
148
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
149
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
150
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
151
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
152
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
153
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
154
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
155
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
156
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
···
0
0
5
10
15
20
25
···
1
3
8
13
18
23
28
···
2
6
11
16
21
26
31
···
3
9
14
19
24
29
34
···
4
12
17
22
27
32
37
···
5
..
.
15
..
.
20
..
.
25
..
.
30
..
.
35
..
.
40
..
.
···
..
.
Aula 6
Matemática Básica
157
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
158
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
159
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
160
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
161
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
162
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
163
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
164
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
165
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
166
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
167
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
168
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
169
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
170
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
171
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
172
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
173
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
174
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
175
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
176
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
177
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
178
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
179
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
180
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
181
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
182
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
183
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
184
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
185
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
186
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
187
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),
9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k }, isto é, suponha
que qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k } possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida
com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 e
r + 5 s, com e
r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Aula 6
Matemática Básica
188
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Aula 6
Matemática Básica
189
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
B
Aula 6
B
Matemática Básica
190
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
B
Aula 6
B
Matemática Básica
191
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
192
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
193
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
194
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
195
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
196
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
197
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
198
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
199
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
200
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
201
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
Aula 6
Matemática Básica
202
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k +1
B
Aula 6
Matemática Básica
203
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
B
,
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k +1
B
Aula 6
Matemática Básica
204
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
,
B
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k
2k +1
2k
B
2k
Aula 6
2k
Matemática Básica
205
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
,
B
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k
2k +1
2k
B
2k
Aula 6
2k
Matemática Básica
206
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
,
B
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k
2k +1
2k
B
2k
Aula 6
2k
Matemática Básica
207
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
,
B
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k
2k +1
2k
B
2k
Aula 6
2k
Matemática Básica
208
Exemplo
Para todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe um
ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira:
B
,
,
B
,
B
.
B
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k +1 × 2k +1 . Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese
de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três
quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três
quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
2k
2k +1
2k
B
2k
Aula 6
2k
Matemática Básica
209
Exemplo: A Torre de Hanoi
Aula 6
Matemática Básica
210
Exemplo: A Torre de Hanoi
1
2
3
4
Torre A
Torre B
Torre C
O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duas
regras:
(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.
(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.
Aula 6
Matemática Básica
211
Exemplo: A Torre de Hanoi
1
2
3
4
Torre A
Torre B
Torre C
O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duas
regras:
(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.
(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.
Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz que
existe uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.
Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz que
o mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.
Aula 6
Matemática Básica
212
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
Aula 6
Matemática Básica
213
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
214
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
OK
Aula 6
Matemática Básica
215
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
Aula 6
Matemática Básica
216
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
217
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
218
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
219
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
OK
Aula 6
Matemática Básica
220
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
Aula 6
Matemática Básica
221
Torre de Hanoi com 3 Anéis
2
3
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
222
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
223
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
Anel transferido da torre C para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
224
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
225
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
3
2
Anel transferido da torre B para a torre A.
Aula 6
Matemática Básica
226
Torre de Hanoi com 3 Anéis
2
3
1
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
227
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
228
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
OK
Aula 6
Matemática Básica
229
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Aula 6
Matemática Básica
230
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
3
4
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
231
Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
4
1
2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
232
Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
4
1
2
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
233
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
234
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
4
3
2
Anel transferido da torre C para a torre A.
Aula 6
Matemática Básica
235
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
4
2
3
Anel transferido da torre C para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
236
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
237
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
238
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
3
1
4
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
239
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
4
3
2
Anel transferido da torre B para a torre A.
Aula 6
Matemática Básica
240
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Anel transferido da torre C para a torre A.
Aula 6
Matemática Básica
241
Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
4
1
2
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
242
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
3
4
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Aula 6
Matemática Básica
243
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
3
4
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
244
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
Anel transferido da torre B para a torre C.
Aula 6
Matemática Básica
245
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
2
3
4
OK
Aula 6
Matemática Básica
246
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
247
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
248
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
249
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
250
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
251
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
252
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
253
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
254
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
255
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
256
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
257
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
258
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
259
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
260
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
261
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
262
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
263
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
264
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
265
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
266
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
267
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
268
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
269
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
270
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
271
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
272
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, com
T1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimo
anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéis
superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar
uma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,
usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.
Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un .
Assim, Un =
2n
e, portanto, Tn = 2n − 1.
Aula 6
Matemática Básica
273
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
264 − 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Aula 6
Matemática Básica
274
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
264 − 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Aula 6
Matemática Básica
275
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
264 − 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Aula 6
Matemática Básica
276
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
264 − 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Aula 6
Matemática Básica
277
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
278
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
279
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
280
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
281
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
282
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
283
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?
Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b),
(b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?
Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c),
(a, c, b),
(b, a, c),
(b, c, a),
(c, a, b),
(c, b, a).
E o caso geral?
Aula 6
Matemática Básica
284
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
285
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
286
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
287
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
288
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
289
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
290
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
291
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
292
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
293
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
294
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k| ! + k ! + ·{z
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
295
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
296
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
297
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
298
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
299
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
300
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução.
O número de permutações de uma lista com um único
elemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja
igual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) com
k + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) podem ser divididas
em k + 1 grupos:
a1 , permutações de a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
a2 , permutações de a1 , a3 , . . . , ak , ak +1 ,
..
.
ak , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak +1
ak +1 , permutações de a1 , a2 , . . . , ak −1 , ak
,
.
Logo, o número total de permutações da lista (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , ak +1 ) é igual a
k
· · + k ! + k}! = (k + 1) k ! = (k + 1)!.
| ! + k ! + ·{z
k +1 vezes
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular
permutações de listas.
Aula 6
Matemática Básica
301