Unidade III 1. Ondas Eletromagnéticas

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UNIDADE: Campus Avançado de Natal
Unidade III
1. Ondas Eletromagnéticas
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida
Sumário
1. Ondas Eletromagnéticas;
2. Energia e momento linear em ondas
eletromagnéticas;
3. Ondas eletromagnéticas estacionárias
O Arco-Íres de Maxwell
Na época de Maxwell (meados do século XIX), a luz visível e as radiações
infravermelha e ultravioleta eram as únicas ondas eletromagnéticas conhecidas. Inspirado pelas
previsões teóricas de Maxwell, Hertz descobriu o que hoje chamamos de ondas de rádio e
verificou que se propagam com a mesma velocidade que a luz visível.
Como mostrado na Fig. 1, hoje conhecemos um largo espectro de ondas
eletromagnéticas, que foi chamado por um autor criativo de “arco-íris de Maxwell”. Somos
constantemente banhados por ondas eletromagnéticas de todo este espectro. Nossos corpos são
também atravessados por sinais de rádio e televisão.
Fig. 1 O espectro eletromagnético.
A região visível do espectro é, naturalmente, de particular interesse para nós. A Fig. 2
mostra a sensibilidade relativa do olho humano a radiações de vários comprimentos de onda. O
centro da região visível corresponde aproximadamente a 555 nm; luz deste comprimento de
onda produz a sensação de verde claro.
Os limites do espectro visível não são bem definidos, já que a curva de sensibilidade
do olho tende assintoticamente para a linha de sensibilidade zero, tanto para grandes como para
pequenos comprimentos de onda. Se tomarmos arbitrariamente como limites os comprimentos
de onda para os quais a sensibilidade do olho é 1% do valor máximo, estes limites serão
aproximadamente 430 e 690 nm; entretanto, o olho pode detectar radiações fora deste limites,
contanto que sejam suficientemente intensas.
Fig. 2 Sensibilidade relativa do olho humano a ondas eletromagnéticas de diferentes comprimentos de
onda. Esta parte do espectro eletromagnético, à qual o olho é sensível, é chamada de luz visível.
Descrição Quantitativo de uma Onda Eletromagnética
Vamos agora discutir como é gerado outro tipo de ondas eletromagnética. Para
simplificar a discussão, vamos nos restringir à região do espectro (comprimento de onda λ = 1)
na qual a fonte de radiação (as ondas emitidas) é macroscópica, mas de dimensões
relativamente pequenas.
A Fig. 3 mostra, de forma esquemática, uma fonte externa. O componente principal é
um oscilador LC, que estabelece uma freqüência angular w = (1/√LC). As cargas e as correntes
neste circuito variam senoidalmente com esta frequência.
Fig. 3 Sistema usado para gerar uma onda eletromagnética na faixa de rádio de ondas curtas do espectro eletromagnético:
um oscilador LC produz uma corrente senoidal na antena, que a onda. P é um ponto distante no qual um detector pode
indicar a presença da onda.
Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas
Maxwell provou em 1865 que uma perturbação eletromagnética pode se propagar no
espaço vazio com uma velocidade igual a velocidade da luz e que a luz era uma onda
eletromagnética. Ele descobriu que os princípios básicos do eletromagnetismo podem ser
descritos em quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell:
 
B.d A  0 Lei de Gauss para os campos magnéticos

d 

B.d l    i  
 Lei de Ampère

dt 

d
E.d l  
Lei de Faraday

dt
E.d A 
Qint
Lei de Gauss para os campos elétricos
0
0
C
B
0
E
int
1. Ondas Eletromagnéticas
Ondas eletromagnéticas é formada por campo elétricos e magnéticos variáveis. As
várias frequências possíveis de ondas eletromagnéticas constituem um espectro, do qual uma
pequena parte constitui a luz visível. Uma onda eletromagnética que se propaga na direção do
eixo x possui um campo elétrico e um campo magnético cujos módulos dependem de x e t:
E  x, t   Emáx coskx  wt  j
B x, t   Bmáx coskx  wt k
Eq. 01
Onde Emáx e Bmáx são as amplitudes de e . O campo elétrico induz o campo magnético e
vice-versa. A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é c, que pode ser escrita
como:
E
1
c 
 3  108 m / s
Eq. 02
B
 0 0
Onde E e B são os módulos dos campos em um instante qualquer.
V  . f  c  . f
As curvas senoidais da figura acima representam valores instantâneos dos campos
elétricos e magnéticos em função de x. A medida que o tempo passa, a onda se desloca para a
direita com velocidade c. Em qualquer ponto, as oscilações senoidais de E e B estão em fase.
As amplitudes devem ser relacionadas por
Emáx  cBmáx
Exemplo: 1
Um laser de dióxido de carbono emite ondas eletromagnéticas senoidais que se
propagam no vácuo no sentido negativo do eixo Ox. O comprimento de onda e igual a 10,6 μm,
o campo E é paralelo ao eixo Oz e seu modulo máximo é igual a 1,5 MV/m. Escreva as
equações vetoriais para E e para B em função do tempo e da posição.
Sentido – Ox
λ = 10,6 μm
Ez (x,t) → Emáx = 1,5 MV/m
y
E x, t   Emáx coskx  wt k  E  x, t   Emáx coskx  wt k
B x, t   Bmáx coskx  wt  j  B x, t   Bmáx coskx  wt  j
k
2


2
 5,93 x105 rad / m
6
10,6 x10
2. .3.108
w  2f 

 1,78 x1014 rad / s
6
 10,6 x10
Bmáx
2c
Emáx 1,5 x106


 0,5 x10  2 T
8
c
3x10


E  x, t   1,5 x106 cos 5,93x105 x  1,78 x1014 t k


B x, t   0,5 x10  2 cos 5,93x105 x  1,78 x1014 t j
V
z
0
B
E
x
As ondas eletromagnéticas também podem se propagar na matéria. Podemos estender
nossa analise para ondas eletromagnéticas se propagando em materiais não condutores, ou seja,
em dielétricos. Em um dielétrico, a velocidade de propagação da onda v não é a mesma
velocidade que no vácuo. As equações são substituídas por
E  vB e B  vE
com ε = Kε0 a permissividade do dielétrico e K a constante dielétrica, e μ = Km μ0 a
permeabilidade do dielétrico e Km sua permeabilidade relativa. Encontramos para a velocidade
da onda v a expressão
v
1

1
kk m

1
 0 0

c
kk m
Para quase todos os dielétricos, exceto para materiais ferromagnéticos isolantes, a
permeabilidade relativa Km e aproximadamente igual a 1. Assim,
v
1
k
1
 0 0

c
k
Como K é sempre maior do que 1, a velocidade v da onda é sempre menor do que a
velocidade no vácuo c. A razão entre a velocidade no vácuo e a velocidade em um material e o
índice de refração n do material. Quando Km ≈ 1,
Exemplo: 2
c
 n  kk m  k
v
(a) Ao visitar uma joalheria certa noite, você segura um diamante contra a iluminação de um
poste de rua. O vapor de sódio aquecido do poste emite uma luz amarela com frequência de
5,09.1014 Hz. Determine o comprimento de onda no vácuo, a velocidade da propagação da onda
no diamante e o comprimento de onda no diamante. Nessa frequência, o diamante possui
propriedades K = 5,84 e Km = 1,0.
(b) Uma onda de radio com frequência de 90,0 MHz (na faixa de FM) passa do vácuo para uma
ferrita isolante (um material ferromagnético usado em cabos de computador para suprimir a
interferência do rádio). Calcule o comprimento de onda no vácuo, a velocidade da propagação
da onda na ferrita e o comprimento de onda na ferrita. Nessa frequência, a ferrita possui
propriedades K = 10,0 e Km = 1000.
a)
f = 5,09x1014 Hz
k = 5,84
km = 1,0
b)
f = 90,0M Hz
k = 10,0
km = 1000
a) No vácuo
c
3 x108
7
0  

5
,
9
x
10
m  590nm
14
f 5,09 x10
No diamente
c
3 x108
3 x108
v


 1,24 x108 m / s
kk m
5,84.1 2,4166
v 1,24 x108
 
 244nm
f 5,09 x1014
b) No vácuo
c 3 x108
0  
 3,33m
6
f 90.10
Na ferrita
c
3 x108
3 x108
v


 3 x10 6 m / s
100
kk m
10.1000
v
3 x106
 
 0,03m
6
f 90 x10
2. Energia e momento linear em ondas eletromagnéticas
Como qualquer onda, uma onda eletromagnética transporta energia. A densidade de
energia total u em uma região do espaço vazio onde existem os campos E e B é dada por
1
1 2
u  0E2 
B
2
20
Para a onda eletromagnética no vácuo, os módulos de E e B são relacionados por
B
E
  0 0 E
c
Combinando as duas equações anteriores, podemos expressar a densidade de energia
u em uma onda eletromagnética simples no vácuo por
1
1
u  0E2 
2
20


 0 0 E   0 E 2
Isso mostra que, no vácuo, a densidade de energia associada ao campo E na onda
simples e igual a densidade de energia associada ao campo B. A densidade de energia u de uma
onda eletromagnética senoidal também é uma função do tempo e da posição.
Podemos definir uma grandeza vetorial que descreve o modulo, a direção e o
sentido do fluxo de energia, denominado vetor de Poynting S:
S
1
0
EB
O vetor S aponta sempre no sentido positivo de x, o sentido de propagação da onda. O
valor médio da função cos2(kx – ωt) e igual a ½ . Assim, o valor médio do vetor de Poynting em
um ciclo completo é dado por Sméd = I, em que
S méd
Emáx Bmáx

20
que é a metade do valor máximo de S. Usando as relações Emáx = cBmáx e ε0μ0 = 1/c2, podemos
expressar a intensidade de uma onda senoidal no vácuo:
I  S méd
2
Emáx Bmáx Emáx
1 0 2
1
2



Emáx   0 cEmáx
20
20c 2 0
2
P  S méd .2R 2
Exemplo: 3
Uma estação de radio na superfície terrestre emite ondas senoidais com uma potência
média total igual a 50 kW. Supondo que a emissora irradie uniformemente em todas as direções
acima do solo, determine as amplitudes Emáx e Bmx detectadas por um satélite a uma distância de
100 km da antena.
P = 50 kW
d = 100 Km
 P  S méd .2R 2
1
2
 S méd   0 cEmáx
2
2
Emáx

Emáx
Emáx
P
R  0 c
2
50 x103

 1002 8,85 x10 12.3 x108
50 x103

3 8,85
Emáx  24,48V / m
Emáx  cBmáx
Emáx
c
24,48

3 x108
 8,16 x10 8 T
Bmáx 
Bmáx
Bmáx
Além de energia, as ondas eletromagnéticas transportam momento linear p, com uma
correspondente densidade de momento linear dada pelo módulo
dp
EB
S


dV  0 c 2 c 2
Esse momento linear e uma propriedade do campo, ele não e associado com a massa
de uma partícula se movendo no mesmo sentido.
O volume dV ocupado por uma onda eletromagnética que passou com velocidade c
através de uma área A no tempo dt e dado por dV = Acdt. A taxa de do fluxo do momento linear
por unidade de área e dado portanto
1 dP S EB
 
A dt c  0 c
A taxa media dessa transferência de momento linear por unidade de área e então Sméd/c = I/c.
Esse momento linear e responsável pelo fenômeno chamado de pressão de radiação.
Quando uma onda eletromagnética e absorvida por uma superfície, o momento linear da onda
também e transferido para essa superfície. Consideramos uma superfície perpendicular a
direção de propagação. A taxa dp/dt com a qual o momento linear é transferido para a superfície
absorvedora e a forca realizada sobre essa superfície. A forca média por unidade de área
produzida pela onda, ou pressão da radiação Prad, é igual ao valor médio de dp/dt dividido pela
área A da superfície absorvedora. Quando a onda e totalmente absorvida, temos
Prad 
S méd I

c
c
Quando a onda e totalmente refletida, a variação do momento linear e duas vezes
maior e a pressão de radiação e dada por
Prad 
Exemplo: 4
2 S méd 2 I

c
c
Um satélite em orbita em torno da Terra possui um painel coletor de energia solar
com área total igual a 4,0 m2. Sabendo que a luz solar, de intensidade I = 1,4.103 W/m2, é
perpendicular a superfície do painel e é totalmente absorvida, calcule a potência solar média
absorvida e a força média exercida pela pressão de radiação.
A = 4 m2
I = 1,4x103 w/m2
P  I .A
P  1,4 x10 .4
3
P  5,6 x103W
P  5,6kW
F  Prad . A
I
F  .A
c
P
c
5,6 x103
F
 1,9 x10 5 N
8
3x10
F
3. Ondas eletromagnéticas estacionárias
As ondas eletromagnéticas podem ser refletidas pela superfície de um condutor (uma
lamina metálica polida) ou de um dielétrico (uma placa de vidro). A superposição de uma onda
incidente com uma onda refletida forma uma onda estacionaria.
O principio de superposição afirma que o campo E resultante em qualquer ponto é
dado pela soma vetorial do campo E da onda incidente com o campo elétrico da onda refletida,
e analogamente para o campo magnético B resultante. Portanto, as funções de onda para a
superposição das duas ondas são dadas por
E y  x, t   Emáx coskx  wt   coskx  wt 
Bz  x, t    Bmáx coskx  wt   coskx  wt 
Usando as identidades cos(a ± b) = cos a cos b ± sen a sen b obtemos:
E y  x, t   2 Emáx senkx senwt 
Bz  x, t   2 Bmáx coskx  coswt 
Vemos que para x = 0, o campo elétrico Ey(x = 0,t) é sempre igual a zero, devido a
natureza do condutor perfeito. Além disso, Ey(x,t) e igual a zero em qualquer instante em todos
os pontos sobre os planos perpendiculares ao eixo Ox, para os quais sen kx = 0, ou seja, kx = 0,
π, 2π, … Essas posições são dadas por

3
x  0, ,  , ,.....
2
2
(Planos antinodais)
Esses planos são denominados planos nodais do campo E. Entre dois planos nodais
sucessivos, existem planos para os quais o modulo Ey(x,t) atinge duas vezes por ciclo o valor
máximo possível de 2Emáx. Cada um desses planos constitui um plano antinodal do campo E.
O campo magnético total e igual a zero para todos os instantes dos planos
determinados pela condição cos kx = 0. Isso ocorre para os planos
x
 3 5
,
4 4
,
4
,..... (Planos antinodais)
Consideramos agora um segundo plano condutor paralelo ao primeiro e situado sobre
o eixo + Ox a uma distância L desse plano. Os dois planos condutores devem ser planos nodais
para o campo E; uma onda estacionaria só poderá se formar quando o segundo plano estiver
situado sobre um ponto para o qual E = 0. Para que exista uma onda estacionaria, L deve ser
um múltiplo inteiro de λ/2. Os comprimentos de onda que satisfazem essa condição são dados
por tanto
n 
2L
n
n  1, 2, 3,.....
As frequências correspondentes são
fn 
c
n
n
c
2L
n  1, 2, 3,....
Existe um conjunto de modos normais, cada um dos quais com uma frequência característica,
uma dada forma de onda e uma configuração dos planos nodais.
Exemplos: 5
1) Calcule a intensidade da onda estacionaria discutida nesta seção.
2) Ondas eletromagnéticas estacionarias são produzidas em uma cavidade com duas paredes
fortemente condutoras e separadas por uma distância de 1,50 cm. (a) Calcule o comprimento de
onda mais longo e a menor frequência das ondas estacionarias entre as paredes. (b) Para a onda
estacionaria com o comprimento de onda mais longo, em que pontos da cavidade E possui seu
modulo máximo? Em que pontos E é igual a zero? Em que pontos B possui seu modulo
máximo? Em que pontos B e igual a zero?
1)
1
2
I   0 c2 Emáx 
2
1
2
I   0 c 4 Emáx
2
2
I  2 0 cEmáx
I
2 Emáx Bmáx
0
2)
a)
2L
,n 1
n
1  2 L  3cm
n 
c
3x108
10
f1  

1
x
10
Hz  10GHz
2
1 3 x10
b)

Plano antinodais de B  x 
1 31 51
4
,
4
,
4
,....
x  0,75cm
31 51
,
,....São maiores que o comprimento da cavidade
4 4

3
Planos antinodais de E  x  0, 1 1 , 1 ,....
2
2
x  0, 1.50cm
3
1 , 1 ,....São maiores que o comprimento da cavidade
2

Lista de exercícios: Questão do trabalho (1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 )
1. Uma onda eletromagnética senoidal com um campo magnético de amplitude 1,25 μT e um comprimento
de onda de 432 nm se desloca no sentido +x através do vácuo. (a) Qual e a frequência dessa onda? (b) Qual
e a amplitude do campo elétrico associado? (c) Escreva as equações para os campos elétrico e magnético
em função de x e de t.
2. Uma onda eletromagnética senoidal com frequência igual a 6,10.1014 Hz se desloca no vácuo no sentido
+z. O campo magnético B é paralelo ao eixo Oy e possui amplitude de 5,80.10-4 T. Escreva equações
vetoriais para E(z,t) e para B(z,t).
3. Uma certa estação de radio emite ondas com frequência de 830 kHz. Para uma dada distância do
transmissor, a amplitude do campo magnético da onda eletromagnética é igual a 4,82.10-11 T. Calcule (a) o
comprimento de onda; (b) o número de onda; (c) a frequência angular; (d) a amplitude do campo elétrico.
4. Uma onda eletromagnética com frequência 5,70.1014 Hz se propaga com uma velocidade de 2,17.108 m/s
em um dado pedaço de vidro. Determine (a) o comprimento de onda da onda no vidro; (b) o comprimento
de onda da onda com a mesma frequência que se propaga no vácuo; (c) o índice de refração n do vidro para
uma onda eletromagnética com essa frequência; (d) a constante dielétrica do vidro nessa frequência,
supondo que a permeabilidade relativa seja igual a 1.
5. Podemos modelar de forma razoável uma lâmpada incandescente de 75 W como uma esfera com 6,0 cm
de diâmetro. Tipicamente, somente cerca de 5% da energia vai para a luz visível; o restante vai, em grande
parte, para a radiação infravermelha não visível. (a) Qual e a intensidade da luz visível (em W/m2) na
superfície da lâmpada? (b) Quais são as amplitudes dos campos elétricos e magnéticos nessa superfície,
para uma onda senoidal com essa intensidade?
6. Uma sonda espacial que esta a 2,0.1010 m de uma estrela mede que a intensidade total da
radiação eletromagnética da estrela e de 5,0.103 W/m2. Se a estrela irradia uniformemente em
todas as direções, qual e a potência média total?
7. Uma fonte de luz monocromática possui potência total igual a 60,0 W e irradia
uniformemente em todas as direções uma luz de comprimento de onda igual a 700 nm. Calcule
Emáx e Bmáx para a luz de 700 nm a uma distância de 5,0 m da fonte.
8. Uma fonte de luz intensa irradia uniformemente em todas as direções. A uma distância de 5,0
m da fonte, a pressão de radiação sobre uma superfície perfeitamente absorvedora e 9,0.10-6 Pa.
Qual e a potência média total da fonte?
9. Uma onda eletromagnética estacionaria em certo material possui frequência igual a 2,20.1010
Hz. A distância entre dois planos nodais consecutivos do campo B e igual a 3,55 mm. Calcule:
(a) o comprimento de onda desse material; (b) a distância entre dois planos nodais adjacentes do
campo E; (c) a velocidade de propagação da onda.
10. Uma onda eletromagnética estacionaria em certo material possui frequência de 1,20.1010 Hz
e velocidade de propagação de 2,10.108 m/s. (a) Qual é a distância entre um plano nodal do
campo B e o plano antinodal mais próximo do campo B? (b) Qual é a distância entre um plano
antinodal do campo E e o plano antinodal mais próximo do campo B? (c) Qual e a distância
entre um plano nodal do campo E e o plano nodal mais próximo do campo B?
11. As micro-ondas de um forno de micro-ondas possuem um comprimento de onda de 12,2 cm.
(a) Qual deve ser a largura desse forno para que possa conter cinco planos antinodais do campo
elétrico ao longo da sua largura no padrão de onda estacionaria? (b) Qual e a frequência dessas
micro-ondas? (c) Suponha que, por um erro de fabricação, o forno tenha ficado 5,0 cm mais
comprido do que o especificado no item (a). Nesse caso, qual teria de ser a frequência das
micro-ondas para ainda haver cinco planos antinodais do campo elétrico ao longo da largura do
forno?