capítulo 5 – estatística ii - seja bem

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ESTATÍSTICA
PROF. CESÁRIO JOSÉ FERREIRA
JAN/2007
1
ÍNDICE
APLICATIVOS - 03
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1 – CONCEITO DE CONJUNTO - 04
1.2 – SUBCONJUNTOS
1.3 – CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO VAZIO - 05
EXERCÍCIOS
1.4 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS - 06
EXERCÍCIOS - 07
1.5 – NUMERAL DE UM CONJUNTO
EXERCÍCIOS – 08
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA II
5.1 –
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA - 34
5.2 – PARÂMETROS ESTATÍSTICOS PARA DADOS
AGRUPADOS - 36
EXERCÍCIOS - 37
6.12 – CONSTRUINDO GRÁFICOS NO EXCEL
6.13 - CONSTRUINDO GRÁFICO NO STARCALC - 50
EXERCÍCIOS
CAPÍTULO 02 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.0 - INTRODUÇÃO - 09
2.1 - OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM
EXERCÍCIOS
2.2 - ARRANJOS, COMBINAÇÕES e PERMUTAÇÕES SIMPLES 11
2.3 - CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SEM REPETIÇÃO
2.4 - PERMUTAÇÃO SIMPLES - 12
2.5 - COMBINAÇÕES SIMPLES
EXERCÍCIOS - 13
2.6 - ARRANJOS COM REPETIÇÃO
2.7 - PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS - 14
EXERCÍCIOS
CAPÍTULO 03 - PROBABILIDADE
3.1 – EXPERIMENTOS - 15
3.2 – ESPAÇOS AMOSTRAIS
EXERCÍCIOS - 16
3.3 – PROBABILIDADE
EXERCÍCIOS - 17
3.4 – ALGUNS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES
3.5 – PROBABILIDADE CONDICIONAL - 18
3.6 – EVENTOS INDEPENDENTES - 19
EXERCÍCIOS
CAPÍTULO 06 – CONSTRUINDO GRÁFICOS
6.1 – INTRODUÇÃO - 42
6.2 – TABULAÇÃO
6.3 - GRÁFICO EM COLUNAS SIMPLES - 43
6.4 – GRÁFICO EM COLUNAS AGRUPADAS
6.5 – GRÁFICO EM BARRAS HORIZONTAIS - 44
6.6 – HISTOGRAMA
6.7 – GRÁFICO EM LINHA - 45
6.8 – OGIVA - 46
6.9 – PIRÂMIDE ETÁRIA - 47
6.10 - GRÁFICOS CIRCULARES - 48
6.11 – PICTOGRAMAS – 49
CAPÍTULO 7 - TESTES DE HIPÓTESES
7.1 – INTRODUÇÃO - 51
7.2 – QUI-QUADRADO
7.3 – O TESTE DO QUI-QUADRADO - 52
7.4 – TESTE DE FISHER - 54
7.5 - TABELA DE NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA – QUIQUADRADO - 56
EXERCÍCIOS – 57
CAPÍTULO 8 - REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
8.1 – INTRODUÇÃO - 59
8.2 – COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DUAS
VARIÁVEIS - 60
8.3 – COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR - 61
8.4 – REGRESSÃO LINEAR - 62
EXERCÍCIOS - 63
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - 64
ANEXO I
TESTE DE QI (I) – 66
CAPÍTULO 04 - ESTATÍSTICA I
4.1 – POPULAÇÕES E AMOSTRAS - 22
4.2 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - 23
EXERCÍCIOS - 24
4.3 – USANDO PLANILHAS
EXERCÍCIO
4.4 – QUARTIL E PERCENTIL
4.5 – MEDIDAS DE DISPERSÃO - 25
EXERCÍCIOS - 27
4.6 – INTERVALO DE CONFIANÇA - 28
4.7 - TABELA DO COEFICIENTE DE CONFIANÇA (Z) EM
PORCENTAGEM - 30
4.8 - TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT - 31
EXERCÍCIOS
4.9 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS DE UMA
POPULAÇÃO - 32
EXERCÍCIOS – 33
2
APLICATIVOS
Com o objetivo de eliminar cálculos repetitivos e/ou trabalhosos alguns conteúdos apresentarão
aplicativos. No índice os aplicativos estão indicados por aplic.nº - xls, onde xls é o link para as
páginas onde estão os aplicativos.
Ao clicar nos links "xls" serão abertas planilhas de programas que provavelmente estão
instalados em seu computador. Estas planilhas podem ser exibidas no EXCEL ( do Microsoft Office),
no STARCALC (do Staroffice), BROFFICE CALC (do BrOffice ou OpenOffice) entre outros.
Em cada aplicativo são apresentadas informações de como utilizá-los.
Recomenda-se ao aluno que estude o conteúdo e aprenda a resolver os problemas também
sem o uso dos referidos aplicativos, pois, em concursos ou outras disciplinas que cursará, não será
permitido o uso do mesmo.
Para cursos ligados à computação, o aluno deve observar a lógica usada nos aplicativos, pois,
pode servir como exemplo de programação para uso em outras linguagens.
O leitor deve atentar para as informações exibidas nos aplicativos a respeito das células a
serem modificadas. Em geral elas são apresentadas com valores em vermelho. Nos aplicativos as
células que não podem ser modificadas estão travadas. Entretanto, em alguns programas como o
Starcalc, o travamento da célula não é mantido. No Excel e BrOffical Calc o travamento das células é
mantido.
Caso você modifique células que contém cálculos (fórmulas) feche o aplicativo sem salvá-lo e
abra-o novamente.
3
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1 – CONCEITO DE CONJUNTO
O conhecimento das propriedades e operações dos conjuntos é de fundamental importância
para o estudo da probabilidade e da estatística, bem como para a Matemática em geral.
Um conjunto consiste em geral na coleção de objetos que são chamados de elementos ou membros.
Costuma-se indicar os conjuntos por uma letra maiúscula (A, B, C, D, ...) e seus elementos por
letras minúsculas (a, b, c, d, ...).
Um conjunto fica perfeitamente definido quando:
(I) são relacionados todos os seus elementos ou
(II) quando se conhecem as propriedades comuns a todos os seus elementos.
No primeiro caso a identificação do conjunto é feita por listagem. A listagem dos elementos deverá
ser expressa entre duas chaves ou através de diagramas (denominados diagramas de Venn),
conforme exemplos abaixo.
Conjunto das vogais: V = {a, e, i, o, u} – processo de listagem com chaves.
Conjunto dos números inteiros maiores que 2 e menores que 8:
Usando o método da propriedade comum, a indicação seria C = {x | P(x)} onde a barra se traduz
por “tal que” e P(x) é a propriedade comum aos elementos do conjunto C.
Tomando, por exemplo, o conjunto A dos números inteiros positivos menores que 5, indica-se:
A = {x | x  N e x < 5}. Fazendo a listagem, A = {0, 1, 2, 3, 4}. Nota N é o conjunto dos números
naturais, ou seja: N = {0, 1, 2, 3, ...}
Se um elemento x faz parte de um conjunto C, dizemos que tal elemento pertence ao
conjunto, que se representa por x  C. Caso contrário, se o elemento y não pertence ao conjunto
C, escreve-se y  C.
Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} então a
 A, u  A. Porém, p  A.
1.2 – SUBCONJUNTOS
Sejam A e B dois conjuntos, tais que todo elemento do conjunto A pertence também ao
conjunto B. Nestas condições, o conjunto A é denominado subconjunto de B.
Nos exemplos abaixo A é um subconjunto de B.
Exemplo 1: por listagem A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Exemplo 2: por diagrama
B
a
h
g
f
b c
d
e
4
A
A ={b, c, d, e}
B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Para indicar que o conjunto A é um subconjunto de B, escreve-se A  B (lê-se A está
contido em B), ou B  A (lê-se B contém A). Se B  A e B  A então A é um subconjunto próprio
de B.
As relações  - está contido e  - contém são denominadas relações de inclusão. Estas relações
somente podem ser usadas quando se referirem a dois conjuntos.
A negação das relações de inclusão é indicada por  que se lê “não está contido”.
Deve-se tomar o devido cuidado para não substituir a relação de inclusão pela relação de pertinência
(pertence, não pertence). Estas últimas são aplicadas na relação de elemento com conjunto.
Para a relação de inclusão e subconjuntos são válidas as propriedades:
P1 – Qualquer que seja o conjunto A, A  A e A  A. Isto significa que todo conjunto é subconjunto
de si mesmo.
P2 – Se A  B e B  A então A = B. Neste caso, A e B apresentam os mesmos elementos.
P3 – Se A  B e B  C, então A  C. Esta propriedade é denominada “transitividade”.
P4 – O número de subconjuntos de um conjunto com “n” elementos é 2 n.
1.3 – CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO VAZIO.
Na maioria dos casos, o conjunto usado é uma parte (subconjunto) de um conjunto mais
amplo denominado conjunto universo. Tomando por exemplo, o conjunto A = {x | x é inteiro
positivo e menor que 6} = {1, 2, 3, 4, 5}, este conjunto é um subconjunto do conjunto dos
números naturais. Assim, o conjunto dos números naturais, indicado por N, é o conjunto universo
que contém o conjunto A descrito.
Nota: o próprio conjunto N é um subconjunto do conjunto dos números reais (R).
O conjunto universo é comumente representado pela letra maiúscula U. Em diagramas, o conjunto
universo é representado por um retângulo.
No outro extremo, temos o conjunto desprovido de elementos, como por exemplo, o conjunto C =
{x | x é inteiro menor que 7 e maior que 6}. É evidente que não existe nenhum número inteiro
entre 6 e 7. Um conjunto desprovido de elementos, como o do exemplo, é denominado conjunto
vazio que se representa por { } ou .
Importante: {} não é um conjunto vazio. {} é um conjunto cujo elemento é  (mesmo que 
seja um conjunto vazio).
EXERCÍCIOS
01 – Para cada um dos conjuntos abaixo, indicá-los sob a forma de listagem e sob a forma de
diagramas:
(a) A = {x | x é uma consoante entre “d” e “p”}
(b) B = {x | x  N e 5 < x < 12}
(c) C = {x | x  N e 5 < x < 8}
(d) D = {x | x  N e 5 < x < 7}
(e) E = {x | x  N e 50 < x < 51}
(f) F = {x | x  N e 1002 < x < 1003}.
02 – Escreva todos os subconjuntos do conjunto A = {b, i, s, t, e, c, a} composto por dois
elementos.
5
03 – Quantos subconjuntos tem o conjunto A = {b, i, s, t, e, c, a}?
04 – Use um dos sinais , , ,  para tornar verdadeira cada uma das sentenças abaixo:
(a) –2 ___ {-4, -2, 0, 2, 4}
(b) {5} ___ {x | x  N e 1 < x < 26}
(c) {1, 2, 3, 4, 5} ____ {3, 5}
(d) 7 ___ {x | x > 8}
(e) { } ___ {1, 2}
(f) {2, 4, 6, 8} ___ U.
05 – É correto ou não escrever {1, 2}  {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Justifique sua resposta.
1.4 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Sejam A e B dois conjuntos. Para os mesmos são definidas as operações:
(I) UNIÃO – conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união dos conjuntos A
e B é indicada por A  B que se lê A união B. Simbolicamente, x  (A  B)  x  A ou x  B.
O símbolo  é usado para indicar “equivale a”.
Obs. O conectivo “ou” é usado para indicar que x pode pertencer somente ao conjunto A, somente
ao conjunto B ou simultaneamente a ambos os conjuntos.
Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6} então A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Note que no
conjunto A  B os elementos 2 e 4 que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo não se
apresentam repetidos.
Usando diagramas:
(II) INTERSEÇÃO – conjunto formado pelos elementos comuns aos dois conjuntos. A interseção dos
conjuntos A e B é indicada por A  B que se lê “A” interseção “B”.
Simbolicamente indica-se: x  (A  B)  x  A e x  B.
Obs: o conectivo “e” é usado quando as duas condições devem ser ambas verificadas.
Quando a interseção é um conjunto vazio, os dois conjuntos são denominados conjuntos disjuntos.
Exemplo: Exemplo: se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6} então A  B = {2, 4}.
Graficamente:
(III) DIFERENÇA – o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas que não
pertencem ao conjunto B é denominado diferença entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por A
– B.
Simbolizando: x  (A - B)  x  A e x  B.
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Observe o diagrama referente à diferença A – B e B – A.
(IV) COMPLEMENTAR – se o conjunto B está contido no conjunto A, a diferença A – B é chamada de
complemento de B em relação a A. Neste caso denota-se B’A. Quando o conjunto A é o conjunto
universo, a indicação B’U pode ser simplificada para B’ que se lê complemento de B.
Costuma-se também identificar B’, complemento de B, como “não B” escrevendo ~B.
Na figura a seguir estão representados o conjunto U (retângulo inteiro), o conjunto B (azul) e o
complemento de B (verde).
As
P1
P2
P3
P4
P5
P6
operações com conjuntos apresentam as seguintes propriedades:
– A  B = B  A e A  B = B  A - comutatividade.
– A  (B  C) = (A  B)  C e A  (B  C) = (A  B)  C - associatividade.
– A   =  e A  U = U - absorção
- A  U = A e A   = A – elemento neutro.
– A – B = A  B’.
– (A  B)’ = A’  B’ e (A  B)’ = A’  B’ . Leis de De Morgan.
EXERCÍCIOS - 2
1 – Sejam A = {a, b, c, d, e, f}, B = {b, d, f, g}, C = {a, h, m, n} e U = conjunto das letras do
alfabeto latino. Calcule:
(a) A  B;
(b) A  (B  C);
(c) A  B;
(d) (A  B)  C;
(e) A  C
(f) B  C.
(g) B – A
(h) B  U.
(i) A – C
(j) (A’)’  B
(k) A  (B  )
(l) B  (A  ).
2 – Sejam A = {x | x  N e 3 < x < 8} e B = {x | x  N e 5 < x < 11}. Determine:
(a) A  B
(b) A  B
(c) A – B
(d) B – A
1.5 – NUMERAL DE UM CONJUNTO
Define-se o numeral de um conjunto A, que se indica por n(A) como sendo a quantidade de
elementos do conjunto A.
Exemplo: seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. Tem-se que n(A) = 7 pois A tem sete elementos.
Com relação ao numeral de conjuntos podem ser verificadas as propriedades:
P1 – Se A e B são conjuntos disjuntos (A  B = ) então n(A  B) = n(A) + n(B).
Esta propriedade pode ser estendida para diversos conjuntos desde que a interseção entre dois
quaisquer deles for vazia. Nestas condições n(A  B  C ...) = n(A) + n(B) + n(C) + ...
7
P2 – Se A e B são tais que A  B   então n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B).
Deve-se observar que em n(A) + n(B) os elementos da interseção estarão computados duas vezes.
P3 – Para três conjuntos n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) +
n(ABC).
EXERCÍCIOS – 3
1 – O vilarejo Santa Cruz todos os habitantes assistem televisão. No dia 18 de novembro de 2001,
foi constatado que 3200 assistiram programas do canal TVK, 1050 assistiram programas do canal
TVP e 385 assistiram programas dos dois canais. Quantos habitantes tem o vilarejo Santa Cruz?
2 – Em uma cidade são publicados dois jornais “A Notícia” e “Diário da Cidade”. Após uma pesquisa
em que todos os habitantes foram consultados, registrou-se: 6800 habitantes não lêem jornal; 4320
lêem o jornal “A Notícia”, 9230 lêem o jornal “Diário da Cidade” e 915 lêem os dois jornais. Quantos
habitantes têm nesta cidade?
3 – Após a prova final em certa escola, verificou-se que somente os professores de Física e de
Matemática deixaram alunos em recuperação. Dos 100 alunos, 59 não ficaram em recuperação, 26
ficaram em recuperação na disciplina Física e 12 devem fazer recuperação de Física e Matemática.
Quantos alunos ficaram em recuperação:
(a) Somente em Física;
(b) Somente em Matemática;
(d) Em Matemática.
4 – Pesquisando as preferências sobre as frutas: mamão, laranja e maçã, entre os 220 alunos de
uma escola foi obtido o resultado indicado na tabela abaixo:
Quantas pessoas:
(a) não gostam de nenhuma das três frutas?
(b) preferem mamão mas não gostam de laranja ou maçã?
(c) quantas pessoas escolheram mamão ou laranja como frutas preferidas?
8
CAPÍTULO 02
INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.0 - INTRODUÇÃO
Quando duas moedas (consideradas honestas) forem lançadas para cima, os resultados serão
KK, KC, CK e CC onde K significa cara e C significa coroa. Nesta situação temos 4 possíveis
resultados. Se no lugar de duas moedas forem usadas 50 moedas, a listagem dos possíveis
resultados seria praticamente impossível pois a quantidade de resultados é 2 50 =
1125899906842624.
No estudo de Probabilidades e Estatística, situações como esta são comuns. Para tornar possível a
análise de casos em que o número de elementos envolvidos é muito grande torna-se importante a
teoria da formação dos agrupamentos que se intitula Análise Combinatória.
Neste capítulo serão analisados alguns elementos da Análise Combinatória aplicáveis à
Probabilidade e à Estatística.
2.1 - OS PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONTAGEM
1. Princípio Aditivo
Suponha que você tenha três conjuntos A, B e C, três conjuntos disjuntos. O conjunto A
tem 5 elementos, B tem 4 e C tem 3. Existem 5 possibilidades de escolher um elemento do conjunto
A. Da mesma forma, para escolher um elemento dos conjuntos B e C os números de possibilidades
serão 4 e 3, respectivamente. A escolha de um único elemento, seja ele de A, ou de B ou de C, o
número de possibilidades é 5 + 4 + 3 = 12.
Note que, a ocorrência de um dos eventos não está condicionada à ocorrência do evento anterior.
Assim é que se pode concluir:
“se existem m1 possibilidades de ocorrer um evento E1, m2 possibilidades de ocorrer
um evento E2 e m3 para ocorrer o evento E3, o número total de possibilidades de ocorrer o
evento E1 ou o evento E2 ou o evento E3, será de m1 + m2 + m3 “ desde que os eventos não
apresentem elementos comuns.
A afirmação acima é denominada PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM, e que pode ser
estendido para qualquer quantidade de eventos. O conectivo que caracteriza a aplicação do princípio
aditivo da contagem é o conectivo ou, que conforme já foi visto está associado à união de
conjuntos.
Seja então os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Considerando os eventos E1 =
número de A, menor que 7 e E2 = número par pertencente a A, ter-se-á:
- E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O nº de possibilidades de escolher o evento E1 é igual a 6 pois E1 tem 6
elementos.
- E2 = {2, 4, 6, 8, 10}. O número de possibilidades de escolher o evento E2 é igual a 5 pois E2 tem 5
elementos.
Entretanto, o número de possibilidades de escolher um número menor que 7 ou par pertencente ao
conjunto não será igual a 11 (= 6 + 5) e sim igual a 8 pois os elementos 2, 4 e 6 são repetidos nos
dois eventos.
Neste caso, o número de eventos será n(E1 ou E2) = n(E1) + n(E2) -n(E1  E2) = 6 + 5 - 3 = 8, onde
n representa o numeral dos conjuntos indicados (quantidade de elementos do conjunto).
2. Princípio Multiplicativo
A figura a seguir representa estradas que ligam as cidades A até B e B até C.
Como se pode notar existem 4 possíveis escolhas (eventos) para ir de A até B e 3 para se ir de B até
C. Ora, para se ir de A até C, passando por B, o número de caminhos será 4 x 3, pois, para cada
escolha de um caminho de A até B teremos 3 escolhas para ir de B até C.
9
Em situações como essa, os eventos são dependentes e devem ocorrer simultaneamente. O que
caracteriza a simultaneidade dos eventos é o conectivo “e” . Observe que no princípio aditivo o
conectivo usado é o “ou”.
Generalizando:
“sejam E1, E2, E3, ...En, um conjunto de eventos que podem ocorrer de m1, m2, m3, ... mn
maneiras diferentes. A quantidade de possibilidades para os eventos E 1 e E2 e E3 e .... e En
é m1.m2.m3. ... .mn .”
Este princípio é chamado PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA CONTAGEM.
Seguem algumas aplicações sobre os princípios aditivo e multiplicativo descritos acima.
Aplicação 1 - Certa pessoa tem em seu sítio 4 frangos, 2 leitões e 3 carneiros. De quantas
maneiras diferentes poderá ele escolher um frango ou um leitão ou um carneiro para a sua ceia de
natal?
No caso, os eventos são E1 = {x | x é frango}; E2 ={x | x é leitão} e E3 = {x | x é carneiro}. O
número de possibilidades de ocorrerem os eventos E1, E2 e E3 são: 4, 2 e 3, respectivamente.
Como E1  E2  E3 = , o numero total de possibilidades de ocorrer o evento E1, ou o evento E2
ou o evento E3 será 4 + 2 + 3 = 9.
Aplicação 2 - Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia e 8 em Química e 3 .
O número de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Química será
igual a 7 + 8 - 3 = 12.
Nesta situação, os eventos são: E1 = {x | x é reprovado em Biologia} e E2 = {x | x é reprovado em
Química}.
Aplicação 2 - Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia e 8 em Química e 3 . O
número de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Química será
igual a 7 + 8 - 3 = 12.
Nesta situação, os eventos são: E1 = {x | x é reprovado em Biologia} e E2 = {x | x é reprovado em
Química}.
Como n(E1) = 7, n(E2) = 8 e n(E1  E2) = 3, o número de possibilidades de escolher o evento E1
ou o evento E2 é n(E1E2) = n(E1) + n(E2) – n(E1  E2) = 7 + 8 – 3 = 12.
Aplicação 3 - Considere os dígitos 1, 2, 3, 4. Quantos números de 4 algarismos podem ser escritos,
começados com o dígito 1 e usando todos os quatro dígitos?
Existe apenas 1 possibilidade para escolher o dígito da esquerda (dígito 1).
Para o segundo dígito existem 3 possibilidades (2, 3, 4), pois, o 1 já foi usado.
Para o terceiro dígito existem 2 possibilidades, pois, já foram escolhidos os dois dígitos anteriores.
Sobra então apenas 1 possibilidade para o quarto dígito.
Assim, a quantidade de números possíveis é 1 x 3 x 2 x 1 = 6.
Se na aplicação anterior fosse permitida a repetição de dígitos, a quantidade de números seria 4 x 4
x 4 x 4 = 256. Explique!
EXERCÍCIOS
1 – Uma sala tem 10 estudantes matriculados em Inglês, 15 em Espanhol e 12 em Francês, sendo
que nenhum aluno pode estar matriculado em duas disciplinas ao mesmo tempo. De quantas
maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estudo Inglês ou Espanhol ou Francês? Que
princípio foi aplicado na solução?
2 – Uma sala tem 10 estudantes matriculados em Inglês, 15 em Espanhol e 12 em Francês. Destes,
4 estudam Inglês e Espanhol, mas não estudam Francês, 3 estudam Francês e Espanhol mas não
estudam Inglês, 5 estudam Inglês e Francês mas não estudam Espanhol. 2 alunos estudam os três
idiomas. De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Inglês ou
10
Espanhol? De quantas maneiras diferentes podemos escolher um aluno que estude Inglês, ou
Francês ou Espanhol?
3 – Quantos números de 5 algarismos podemos escrever usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
sem que ocorra repetição de um mesmo algarismo no número?
4 – Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra UNIPAC?
5 – Quantos anagramas começados por U podem ser formados com as letras de UNICOR?
6 – Em quantos anagramas da palavra UNIPAC as letras IP ficam juntas e nessa ordem?
7 – Um time de futebol dispõe de 5 jogos de meias, 6 de calções e 4 de camisas. De quantas
maneiras diferentes esse tipo pode se apresentar uniformizado para uma partida?
8 – Quantas palavras diferentes, com 7 letras não repetidas, podem ser escritas com as letras da
palavra IMACULO de modo que as consoantes fiquem separadas pelas vogais?
9 – Quantas palavras diferentes, de 6 letras não repetidas, podemos formar com as letras de
PECADO, de modo que as consoantes fiquem separadas por vogais?
2.2 - ARRANJOS, COMBINAÇÕES e PERMUTAÇÕES SIMPLES
Dados os agrupamentos ABC, ACB e ADB, observe que apesar de ABC e ACB serem formados
pelos mesmos elementos, eles diferem pela ordem. Quanto aos agrupamentos ABC e ADB, estes
diferem pela natureza, pois, são formados por elementos diferentes. É evidente que se dois
agrupamentos apresentam elementos diferentes eles são também diferentes. Entretanto, nem
sempre ABC e ACB podem ser considerados como agrupamentos. Se tomarmos, por exemplo, ABC e
ACB são alunos escolhidos para representar uma classe. Em casos como esse, os grupos ABC e ACB
são considerados como um único agrupamento. Se A, B e C são algarismos, o grupo ABC é diferente
do grupo ACB.
Considerando a ordem e a natureza, são definidos os seguintes tipos de agrupamentos:·
(i) ARRANJOS:- são agrupamentos que diferem pela ordem ou pela natureza.
(ii) COMBINAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela natureza.
(iii) PERMUTAÇÕES:- são agrupamentos que diferem apenas pela ordem. Neste caso, em cada
agrupamento devem figurar todos os elementos do conjunto.
2.3 - CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS SEM REPETIÇÃO
Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos. Formando todos os agrupamentos com 3
elementos, obtém-se: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd,
cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb, num total de 24 agrupamentos. Na formação dos grupos
existem 4 possibilidades para cada uma das letras ocupar a 1ª posição. Escolhida essa letra, restam
3 possibilidades para a 2ª posição e 2 elementos para a 3ª posição. Desta forma vê-se que, pelo
princípio multiplicativo, o número de agrupamentos, ou o número de arranjos de 4 elementos
tomados três a três (taxa 3) é A4,3 = 4.3.2 = 24.
Generalizando, para m elementos tomados à taxa p, teremos: 1ª posição, m possibilidades,
2ª posição, (m - 1) possibilidades, 3ª posição, (m - 2), ...., pª posição, (m - p + 1).
Assim,
Am,p = m.(m - 1).(m - 2).(m - 3) ....(m - p + 1),
ou seja: Am,p = produto de p fatores tomados em ordem decrescente a partir de m.
Tomando, por exemplo, A9,4 = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024.
Multiplicando e dividindo a expressão Am,p = m(m - 1)(m - 2)(m - 3) ....(m - p + 1) por todos os
inteiros de m - p até 1 resultará:
11
Am,p = m.(m - 1).(m - 2).(m - 3) ....(m - p + 1).(m - p).(m - p - 1) ... 3.2.1/(m - p) (m - p - 1) ...
3.2.1.
O produto de todos os inteiros de m até 1 é representado por m! que se lê fatorial de m.
Desta forma:
2.4 - PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações dos elementos de um conjunto com m elementos são agrupamentos que se
formam tomando todos os elementos do conjunto e trocando (permutando) as posições desses
elementos. Seja, por exemplo, o conjunto A = {a, b, c}. As permutações de abc, são: abc, acb, bac,
bca, cab, cba. É fácil observar que as permutações nada mais são que os arranjos de m elementos à
taxa m. Denotando por Pm o número de permutações de m elementos pode-se concluir que: Pm =
m(m - 1)(m - 2) ... 3.2.1 ou seja
Pm = m!.
Exemplos:
1 - Quantos são os anagramas formados com as letras da palavra UNIPAC?
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
2 - Quantos destes anagramas começam com a letra U?
Como os anagramas devem começar com a letra U, devem-se permutar apenas as 5 outras
letras. Neste caso, P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
3 - Em quantos anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes?
A partir do anagrama UNIPAC, permutando apenas as vogais obtém-se P3 = 3! = 3.2.1 = 6. Para
cada distribuição das vogais tem-se P3 = 6 permutações das consoantes. Assim, começadas com
vogais, são 6 x 6 = 36 anagramas. Como os anagramas podem também começar por consoante, o
total de anagramas é então 2 x 36 = 72 .
2.5 - COMBINAÇÕES SIMPLES
A tabela a seguir mostra os arranjos de 5 elementos (a, b, c, d, e) tomados 3 a 3.
Na tabela os elementos dispostos em cada linha diferem apenas pela natureza.
Assim em cada linha são exibidas as combinações dos 5 elementos tomados 3 a 3, num total de 10.
Cada coluna é formada pelas permutações dos elementos que formam cada agrupamento constante
da primeira linha, apresentando 6 elementos por coluna. Os 60 arranjos, constituídos por todos os
elementos do quadro, é igual ao produto do número de elementos de cada linha C5,3 pelo número de
elementos de cada coluna P3.
Em conclusão: A5,3 = C5,3 . P3 ou C5,3 = A5,3/P3
Generalizando,
Cm,p = Am,p/Pp 
Exemplo: Qual é o número de comissões de 3 alunos que se podem formar tirados em um conjunto
de 7 alunos?
Escolhendo três alunos em qualquer ordem, a comissão formada será única. Assim, a situação
12
descreve uma aplicação característica de agrupamentos denominada combinações. Portanto, C7,4 =
7!/[(7 - 4)!.(4!)] = 7.6.5.4.3.2.1/3.2.1.4.3.2.1 = 7.5 = 35.
A situação seria diferente se para os três alunos escolhidos fossem distribuídos presentes
diferentes. Pois, nesse caso, a distribuição ABC seria diferente da distribuição CAB.
Nesta nova situação teremos uma aplicação de agrupamentos denominados arranjos.
EXERCÍCIOS
1 - Calcule: ( a ) A6,2
( b ) A10,4
( c ) P4
( d ) P7
( e ) C8,3
( f ) C10,4.
2 – Considere os conjuntos A = {a,b, c, d, e} e B = {r, s, t}. Escreva:
(a) todos os arranjos possíveis, de 2 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.
(b) todas as combinações possíveis, de 3 elementos, formados pelos elementos do conjunto A.
(c) todas as permutações formadas pelos elementos do conjunto B.
3 - Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades
de bebidas e 3 sobremesas diferentes. De quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia fazer
um pedido contendo, uma salada, um tipo de carne e 1 sobremesa?
4 - Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante o dia. A fim de evitar que os operários saibam
quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordem de suas visitas. De quantas maneiras
diferentes poderão ser feitas as visitas?
5 - Cinco alunos foram escolhidos para representar uma turma de um colégio durante o
hasteamento da bandeira. Se for necessário que os mesmos formem uma fila, de quantas maneiras
diferentes podem ser dispostos os alunos?
6 - De uma sala de 25 alunos devem ser escolhidos 5 alunos para receberem prêmios. De quantas
maneiras diferentes poderão ser distribuídos os prêmios se:
( a ) se todos os prêmios forem iguais
( b ) se os prêmios forem diferentes.
7 - Quantos números maiores que 5000 podem ser escritos se forem usados os algarismos 1, 4, 5,
7, 8 e 9?
8 - Dos 10 alunos de um grupo devem ser escolhidos 6. De quantas maneiras isto é possível se,
( a ) dois dos alunos devem sempre fazer parte do grupo dos 6?
( b ) dois dos alunos não podem ser escolhidos?
( c ) os alunos A e B não podem estar juntos no grupo dos 6?
9 - Qual é o número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética?
10 - Cinco pessoas decidem viajar num automóvel. De quantas maneiras diferentes eles podem se
assentar se: ( a ) todos sabem dirigir ( b ) apenas 1 sabe dirigir
( c ) se dois sabem dirigir.
2.6 - ARRANJOS COM REPETIÇÃO
Para indicar os arranjos com repetição usa-se o símbolo (AR)m,p. Nos arranjos com repetição,
cada um dos m elementos pode ser repetido até p vezes. Observe que nessa situação, p pode ser
maior que m. Tomando, por exemplo, o conjunto {a, b, c, d}, os arranjos dos 4 elementos tomados
3 a 3, com repetições são: aaa, aab, aac, aad, aba, abb, abc, abd, aca, acb, acc, acd, ada, adb, adc,
add, baa, bab,. bac, bad, bba, bbb, bbc, bbd, bca, bcb, bcc, bcd, bda, bdb, bdc, bdd, caa, cab,. cac,
cad, cba, cbb, cbc, cbd, cca, ccb, ccc, ccd, cda, cdb, cdc, cdd, daa, dab,. dac, dad, dba, dbb, dbc,
dbd, dca, dcb, dcc, dcd, dda, ddb, ddc, ddd.
A quantidade destes arranjos pode ser determinada tendo por base o princípio multiplicativo.
Seja o conjunto {a1, a2, a3, ... am} de m elementos. Para se formar os arranjos com n elementos,
são m possibilidades para o primeiro elemento, m para o segundo, m para o terceiro e assim
sucessivamente até o n-esimo elemento. Aplicando o princípio multiplicativo resulta:
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(AR)m,n = m.m.m... m (n fatores) 
2.7 - PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
Estuda-se nesse caso permutações com elementos que aparecem repetidos no conjunto, como
por exemplo, ao escrever os anagramas da palavra ARARA onde o A aparece três vezes e o R
aparece duas vezes, ou nos possíveis números de 5 algarismos que se pode escrever usando todos
os algarismos de 33214.
Seja, por exemplo, o agrupamento aaabc. Seja P53 o número de permutações em que os "as" não
permutem entre si. Para cada uma dessas seriam possíveis P3 se os "as" fossem diferentes. O total
de permutações, considerando os "as" diferentes será P5 = P53 x P3  P53 = P5 /P3. Usando o mesmo
raciocínio para aaabbc, teríamos P6 = P63,2 x P3 x P2  P63,2 = P6/P3.P2.
Generalizando, sejam m elementos onde um certo elemento repete-se x vezes, outro y vezes, outro
z vezes, e assim sucessivamente, teremos:
EXERCÍCIOS
1 - Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
( a ) quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever?
( b ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos?
( c ) quantos números de 4 algarismos podem ser escritos, que comecem com 1 e terminem com 6?
2 - Considere a palavra MATEMÁTICA.
( a ) quantos anagramas são possíveis?
( b ) em quantos destes anagramas as vogais aparecem separadas pelas consoantes?
( c ) em quantos as consoantes aparecem juntas?
3 - Quantos números de 6 algarismos podemos escrever usando os algarismos do número 334223?
Quantos desses números são pares?
14
CAPÍTULO 03
PROBABILIDADE
3.1 – EXPERIMENTOS
Para as ciências, os experimentos são de fundamental importância. É, a partir deles que se
pode induzir as leis que regem os diversos fenômenos. Tendo como base que se um experimento for
realizado diversas vezes, sob condições idênticas, os resultados serão essencialmente os mesmos.
Tomando por exemplo um pêndulo de comprimento 9,8 m. Se o pêndulo for posto a oscilar, ao
nível do mar, o tempo gasto em cada oscilação será de 6,28 s. Assim, é de se esperar que todos os
pêndulos de igual comprimento, no mesmo local, gastarão 6,28 s em cada oscilação.
Entretanto, se de uma urna com 1 000 000 de esferas, numeradas de 1 a 1 000 000,
retirarmos uma esfera de cada vez e a recolocarmos na urna, provavelmente, um resultado obtido
não será repetido. Neste caso, os experimentos são ditos experimentos aleatórios.
O estudo dos experimentos aleatórios é realizado para se obter uma medida da chance de se obter
um determinado resultado. Esse estudo é denominado Probabilidade.
Exemplos de eventos aleatórios:
(1) – Retirada de determinadas cartas em um baralho com 52 cartas.
(2) – Lançamento de dois dados cujas faces são numeradas de 1 a 6.
3.2 – ESPAÇOS AMOSTRAIS
Um conjunto, que indicaremos pela letra U, formado por todos os possíveis resultados de um
experimento aleatório é denominado espaço amostral.
O espaço amostral pode ser representado sob a forma de conjunto (elementos expressos entre
chaves) ou em tabelas.
Cada subconjunto E, do espaço amostral consiste em um evento.
O conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é denominado
espaço amostral. Este conjunto é representado pela letra maiúscula U.
O espaço amostral pode ser representado sob a forma de conjunto (elementos expressos entre
chaves) ou em tabelas.
Cada subconjunto E, do espaço amostral é denominado evento.
Seguem alguns exemplos de espaços amostrais e eventos.
(1) - Lançamento de duas moedas. Na indicação K representa o aparecimento de uma cara e C o
aparecimento de uma coroa.
O espaço amostral será U = {KK, KC, CK, CC} representado em notação de conjunto.
Do espaço amostral podemos extrair eventos como: E(1,K) - aparecimento de pelo menos 1 cara =
{KK, KC e CK}; E(2,K) - aparecimento de duas caras = {KK}.
(2) – Lançamento de dois dados. O quadro abaixo mostra o espaço amostral indicado sob forma de
tabela.
15
São eventos do espaço amostral acima: E(3) - soma das duas faces igual a 3 = {(1, 2), (2, 1)};
E(7) = soma das faces igual a sete = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.
EXERCÍCIOS
Construa os seguintes espaços amostrais:
(1) Casal com três filhos. Use M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino.
(2) Lançamento de três moedas.
(3) Números de três algarismos distintos obtidos com os dígitos 4, 5, 6.
3.3 – PROBABILIDADE
Ao passar em frente a uma casa lotérica é comum observar uma fila de pessoas apostando
em algum tipo de jogo. Este fato não é nada novo. Desde a Antiguidade os jogos e as apostas são
uma das paixões do homem.
A partir do século XVII, os matemáticos Pierre de Fermat (França 1601-1665) e Blaise Pascal
(França 1623-1662) iniciaram um estudo organizado sobre a teoria dos jogos com o objetivo
principal de prever um próximo resultado e assim obter êxito em suas apostas. Esta teoria é hoje
aplicada principalmente no estudo da Física Quântica e nas teorias sobre o Caos.
Seja nos jogos ou em qualquer outro experimento aleatório é possível associar uma medida para a
incerteza quanto à ocorrência, ou não, de algum evento. Essa medida, denominada probabilidade,
tem valor que pode variar de 0 a 1.
Para eventos em que a ocorrência é garantida, a probabilidade é igual a 1 (certeza absoluta).
Entretanto, para eventos que nunca ocorrerão a probabilidade é avaliada como 0 (evento
impossível).
Tomando, por exemplo, o espaço amostral U = {2, 4, 6, 8, 10} e E(par) = escolha de um número
par, a probabilidade de ao se escolher um número de U se ele par é igual a 1 ou 100%. Isto é:
existe 100% de chance de o número ser par. Entretanto, para o evento E(ímpar) = escolha de um
número ímpar, a probabilidade de ocorrer o evento E(ímpar) é igual a 0, pois nenhum dos números
de U é ímpar.
Quando se diz que a probabilidade de ocorrer um certo evento é 2/5 ou 40%, significa que a chance
de ocorrer este evento é de 2/5 ou 40% e da não ocorrência é de 3/5 ou 60%.
Sistematizando o conceito de probabilidade, devem ser levados em consideração dois
métodos:
(1) Probabilidade “a priori” (antecipada)
Se um evento E, em um espaço amostral U, pode ocorrer de p maneiras diferentes, para um
total de n maneiras possível, todas igualmente prováveis, então a probabilidade do evento é
Em outras palavras: se o evento E tem n(E) elementos e o espaço amostral U em n(U) elementos,
então a probabilidade de ocorrer o evento E será
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É costume denominar n(E) como número de casos favoráveis e n(U) como número total de casos
possíveis.
Assim, a definição se apresenta na forma:
(2) Probabilidade “a posteriori” (posterior) ou empírica.
Usado principalmente quando n(U) é suficiente grande. Neste caso, se após n repetições de
um experimento (n suficiente grande) forem observadas p ocorrências de um certo evento E, então
a probabilidade de ocorrer tal evento é definida por:
EXERCÍCIOS
1 - Três moedas são lançadas para cima.
(a) Construa o espaço amostral.
(b) Qual é a probabilidade de se obter duas caras e uma coroa?
(c) Qual a probabilidade de serem obtidas três coroas?
2 - No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter:
(a) duas faces iguais?
(b) Uma soma igual a 7?
(c) uma soma igual a 11?
(d) uma soma maior ou igual a 7?
(e) Duas faces diferentes?
3 - Uma sala tem 40 alunos, sendo 25 rapazes. Qual é a probabilidade de:
(a) escolher uma moça?
(b) escolhidos dois alunos ser o par formado por uma moça e um rapaz?
(c) Escolhidos três alunos serem todos eles rapazes?
4 - Num baralho de 40 cartas, qual é a probabilidade de, se retiradas 4 cartas serem elas 4 azes?
5 - De um baralho de 40 cartas, retiram-se 3 cartas. Qual é a probabilidade de sair pelo menos um
Ás?
6 - Num jogo da Sena com 50 números são marcados 6 números. Qual é a probabilidade de um
cartão, marcado com 6 números, não acertar nenhum?
3.4 – ALGUNS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES
A partir da definição de probabilidades podem ser demonstrados os teoremas abaixo:
T1 – Para todo evento E, 0 < P(E) < 1. O número de eventos favoráveis nunca será negativo bem
como nunca será maior que o número total de eventos.
T2 – A probabilidade da certeza absoluta é igual a 1.
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T3 – O evento impossível tem probabilidade zero.
T4 – A probabilidade de não ocorrer o evento E, que se indica por P(E’) é P(E’) = 1 – P(E).
Aplicação: Uma urna contém 20 esferas sendo que somente 8 delas são vermelhas. Qual é a
probabilidade de, se retirada uma esfera, não ser ela vermelha?
A probabilidade de ser retirada uma esfera vermelha é 8/20. Assim, a probabilidade de a esfera não
ser vermelha é 1 – 8/20 = 12/20 = 60%.
T5 – Se os eventos E1, E2, E3, ... são mutuamente excludentes, isto é, se nenhum elemento é
comum a dois ou mais eventos então, a probabilidade de ocorrer E 1 ou E2 ou E3 ou ... ou En, que
indicamos por P(E1E2E3...En) é P(E1) + P(E2) + P(E3) + .... + P(En).
Aplicação: Uma urna contém 8 esferas vermelhas, 4 azuis, 5 amarelas e 3 verdes. Retirada uma
esfera, qual é a probabilidade de ser a esfera retirada azul ou amarela.
Como nenhuma esfera é azul ou amarela ao mesmo tempo. Deste modo, os eventos E1 = ser bola
azul e E2 = ser bola amarela são excludente. Tem-se que: P(E1) = 4/20 e P(E2) = 5/20.
Assim, P(E1E2) = 4/20 + 5/20 = 9/20 = 45%.
T6 – Se E1 e E2 são dois eventos tais que E1  E2  , então P(E1E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1  E2).
Aplicação: Dos 30 alunos de uma classe, 13 foram reprovados em Biologia, 12 foram reprovados em
Química, sendo que entre estes, 7 foram reprovados em Biologia e Química. Qual é a probabilidade
de, se escolhido um dos 30 alunos, ser ele reprovado em Biologia ou Química?
A probabilidade de ser aluno reprovado em Biologia é P(B) = 13/30, a de ser reprovado em Química
é P(Q) = 12/30 e a de ser reprovado em Química e Biologia é P(Q  B) = 7/30.
Portanto, P(QB) = P(B) + P(Q) - P(Q  B) = 13/30 + 12/30 – 7/30 = 18/30 = 60%.
Note que, se 7 alunos foram reprovados nas duas disciplinas, estes sete estão contados tanto na
Biologia quanto na Química. Assim, o número de alunos reprovados é 13 + 12 – 7 = 18. Seguindo
este raciocínio, a probabilidade será também 18/30 = 60%.
3.5 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
No lançamento de um dado, a probabilidade de uma jogada resultar em um número par e
menor que 4 é 1/6 pois apenas o resultado 2 satisfaz às condições.
O evento “ser par e menor que 4” é a probabilidade de ocorrer a interseção dos eventos E1 = ser
par e E2 = menor que quatro.
Se, entretanto, alguém ao lançar o dado, informar que o resultado foi par, o novo espaço amostral
passa a ter apenas 3 elementos. A probabilidade é então 1/3.
Assim, a probabilidade de se o resultado é um número par, a probabilidade de ser ele par e menor
que 4 seria 1/3 = n(E1E2)/n(E1) = [n(E1E2)/n(U)]/[n(E1)/n(U)] = P(E1E2)/P(E1) = (1/6)/(1/2) =
1/3.
Designando P(E2/E1) a probabilidade da ocorrência de E2, se E1 já ocorreu, pode-se escrever:
Exemplo: De um baralho de 52 cartas (13 de ouros, 13 de espadas, 13 de copas e 13 de paus) qual
é a probabilidade de, ao ser retirada uma carta, se ela um 9 de ouros, sabendo-se que a carta
retirada é de ouros.
1º processo: como já se sabe que a carta é de ouros, temos apenas 1 nove em um total de 13
cartas. A probabilidade é então: P(9O) = 1/13.
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2º processo: a probabilidade de ser uma carta de ouros é P(O) =13/52 = 1/4 e a probabilidade de
ser um 9 é P(9O) = 1/52 = 1/52. Assim P(9/O) = P(9O)/P(O) = (1/52)/(13/52) = 1/13.
3.6 – EVENTOS INDEPENDENTES
Se em uma urna existem 20 bolinhas coloridas, sendo 12 vermelhas e 8 azuis qual
será a probabilidade de retirar uma bola vermelha, repor essa bola, e a seguir uma bola azul?
Isoladamente, a probabilidade ser retirada uma bola vermelha é 12/20 = 60% e a probabilidade de
ser retirada uma bola azul é 8/20 = 40%. Entretanto, condicionado à retirada da bola azul após a
vermelha, a probabilidade de sair uma azul na segunda retirada é 40% dos 60%, ou seja 40% x
60% = 0,4 x 0,6 = 0,24 = 24%.
Observe, então, que a retirada da segunda bola condicionada à retirada da primeira, corresponde
ao produto das duas probabilidades individuais.
Concluindo:- Sejam eventos E1, E2, E3 ... tais que a interseção de quaisquer dois
deles é um conjunto vazio. Se P(E 1), P(E2), P(E3), ..., são as probabilidades de ocorrência
destes eventos, a probabilidade de ocorrer cada evento um após o outro, será
P(E1).P(E2).P(E3)....
Exemplo 1: Um dado é lançado para cima. Qual é a probabilidade de sair um 3 na primeira jogada
e um 5 na segunda?
Tem-se: a probabilidade de sair um 3 é 1/6 e a de sair um 5 é também 1/6. Assim, a probabilidade
de sair um 3 na primeira jogada e um 5 na segunda é (1/6).(1/6) = 1/36.
Exemplo 2: De um baralho com 40 cartas são retiradas 4 cartas. Qual é a probabilidade de saírem
as cartas:
(a) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, nessa ordem e sem reposição.
Tem-se: P(2O) = 1/40; P(5C) = 1/39; P(3E) = 1/38. Note-se que o denominador foi modificado pois
se não houver reposição, o número de cartas no baralho diminui.
Assim, P(2O5C3e) = (1/40).(1/39).(1/38) = 1/59280.
(b) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, nessa ordem e com reposição
Como há reposição, P(2O) = P(5C) = P(3E) = 1/40 pois o número de cartas no baralho será sempre
40. Deste modo: P(2O5C3E) = (1/40).(1/40).(1/40) = 1/64000
(c) 2 de ouros, 5 de copas, 3 de espadas, em qualquer ordem e com reposição.
Para estas condições P(Evento) = P(2O5C3E) + P(2O3E5C) + P(5C3E20) + P(5C2O3E)
+ P(3E2O5C) + P(2O3E5C) + P(2O5C3E) = (1/64000).6 = 6/64000 = 3/32000.
Note de P(evento) = P3. P(2O5C3E) onde P3 é o número de permutações das 3 cartas.
EXERCÍCIOS
1 - Qual é a probabilidade de um casal ao ter 4 filhos, serem eles, na ordem menina, menino,
menina, menino.
2 - Qual é a probabilidade de se obter uma soma sete, no lançamento de dois dados, por 4 vezes
consecutivas?
3 - Uma urna contém 50 bolas, sendo 10 vermelhas, 15 azuis e 25 amarelas. Qual é a probabilidade
de se retirar:
a) uma bola amarela?
b) Uma bola vermelha, uma azul e outra vermelha, sem reposição?
c) Uma bola vermelha, uma azul e outra vermelha, sem reposição?
4 - Paulinho tem 12 miniaturas de automóveis azuis e 8 miniaturas vermelhas. Paulinho, querendo
agraciar seu irmão menor, resolve dar para ele algumas miniaturas. Paulinho propôs ao irmão três
situações:
(I) – Se o irmão, com os olhos vendados, retirar um carrinho vermelho, o carrinho lhe seria doado.
(II) – Se o irmão retirar, com os olhos vendados, um carrinho, não repor o mesmo na coleção e
retirar outro, sendo os dois vermelhos, os dois carrinhos seriam doados para ele.
(III) – Se o irmão retirar, com os olhos vendados, um carrinho, repor o mesmo na coleção e a
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seguir retirar outro, se o primeiro for vermelho e o segundo azul, os dois carrinhos seriam doados
para ele.
a) Calcule as probabilidades para cada uma das três situações.
b) Considerando que é melhor um pássaro na mão do que dois voando, em qual das situações seria
mais garantido o irmão ganhar algum carrinho? Justifique sua resposta
5 - A figura mostra um jogo usado em um parque de diversões. Na parte inferior da figura está
indicado quanto você recebe ao acertar a respectiva bandeira. A indicação 2 x 1 significa que se
você jogar R$10,00 e ganhar, você receberá R$20,00 (incluindo os seus R$10,00). A bola vermelha
pertence ao organizador do jogo. Supondo o jogo honesto,
a) qual é a probabilidade de você ganhar se jogar na bandeira do Brasil?
b) após um certo número de jogadas, “provavelmente” você ganhará. Quantas vezes você deverá
jogar na bandeira que aparece 3 vezes para “provavelmente” ganhar?
c) se você for dobrando a sua aposta, e supondo que no número de jogadas previstas no item “b” ,
ao ganhar você receberá ou não todo o seu dinheiro de volta?
(Observação: considerando a possibilidade de ao final de determinado número de jogadas
provavelmente você ganhará, isto é se a probabilidade de ganhar ao jogar em uma das bandeiras é
¼, provavelmente você ganhará uma vez ao jogar 4 vezes no mesmo time.
6 - Em uma certa cidade foi feita uma pesquisa sobre assistência a determinados canais de
televisão. Das 500 pessoas entrevistadas, 290 assistem ao canal A, 280 assistem ao canal B e 150
assistem outros canais, mas não assistem nem A nem B. Qual é a probabilidade de, se escolhido um
dos 500 entrevistados,
a) ser ele um dos que assistem A e B?
b) ser ele um dos que assistem A ou B?
7 – Uma igreja tem 4 portas. Qual é a probabilidade de uma pessoa entrar por uma das portas e
sair por uma porta diferente?
8 – Qual é a probabilidade de num sorteio com figuram 10 números você acertar 4 deles?
9 – Quatro moedas são lançadas para cima. Após quantas jogadas você provavelmente acertará a
ordem cara, cara, coroa, coroa?
10 – Uma prova é formada por 10 questões, cada uma com 5 opções. Qual é a probabilidade de um
aluno “chutar” todas as questões:
a) e acertar todas;
b) e acertar as duas primeiras;
c) e acertar duas quaisquer;
d) não acertar a terceira questão.
11 – Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de, se retirada uma
bola, sendo ela par, ter ela um número terminado em zero?
12 – Em um estádio de futebol compareceram 2000 pessoas. Destas 800 torcem pelo time A sendo
que 120 vestiam a camisa de seu time, 900 torcem pelo time B estando 150 vestidas com a camisa
deste time. As que não torcem por nenhum dos times não vestem camisa de nenhum dos dois
times. Qual é a probabilidade de, escolhida uma pessoa:
a) ser ela torcedora do time B.
b) estar ela vestida com a camisa do time A.
20
c) sendo ela do time A, estar sem a camisa de seu time.
Qual é a probabilidade de, se escolhidas duas pessoas:
d) serem elas torcedoras do time B.
e) ser a primeira torcedora do time A e a segunda do time B.
f) nenhuma das duas torcerem por nenhum dos dois times.
g) ser uma torcedora do time A e outra do time B.
12 - Ao fazer um levantamento em uma turma de 3ª série, com 50 alunos, verificou-se que: 16 se
matricularam em inglês, 15 matricularam-se em espanhol e 7 matricularam-se para cursar os dois
idiomas.
Determine a probabilidade de, se escolhido um aluno dessa turma:
(a) ser ele estudante de inglês ou espanhol;
(b) ser ele estudante de inglês ou espanhol;
(c) não estar ele matriculado em nenhuma das duas disciplinas.
13 - Numa pesquisa em Barbacena sobre assistência a canais de TV, foram entrevistadas 1000
pessoas.O resultado foi tabelado e o resultado está apresentado na tabela
Com base na tabela, calcule a probabilidade da pessoa escolhida
(a) não assistir nenhum dos canais especificados
(b) assistir apenas o canal A
(c) assistir os canais A ou B, mas não assistir o canal C
(d) assistir o canal A, ou B ou C
(e) assistir o canal A e B e C.
(f) assistir o canal A e B mas não assistir o canal C.
21
CAPÍTULO 04
ESTATÍSTICA
4.1 – POPULAÇÕES E AMOSTRAS
A Estatística tem por objetivo principal analisar uma distribuição de dados e a partir dos
mesmos inferir resultados futuros. O processo estatístico tem duas áreas bem distintas: a primeira
consiste em coleta e agrupamento dos dados, enquanto que a segunda, mais ligada diretamente à
Matemática tem por objeto a análise destes dados.
Muitas vezes à pesquisa dos dados deve-se referir a um determinado grupo que denominada
população. Entretanto, nem sempre há necessidade de se pesquisar todos os elementos da
população e assim, a pesquisa é feita em uma parcela da população. Esta parcela da população é
chamada de amostra.
Exemplos de populações e amostras:
População:- Todos os eleitores brasileiros
Amostra:- 2500 eleitores entrevistados
População:- Todos os cidadãos de uma cidade
Amostra:- 1200 habitantes maiores de 21 anos
População:- Peças produzidas por uma indústria
Amostra:- peças que são testadas para garantir qualidade
É importante observar que o termo população nem sempre se refere a habitantes de uma
região, como é usado correntemente.
O estudo de amostras pode levar a conclusões não exatas sobre toda a população. Entretanto,
existem inúmeras razões que levam ao uso de amostras no lugar de pesquisar toda a população. As
principais razões para se adotar esse processo estão na relação custo/benefício e na impossibilidade
de acesso a toda a população.
É evidente que quanto mais próxima da população estiver a amostra, mais corretas serão as
conclusões que se pode tirar a respeito dos dados levantados.
Um outro fato a respeito das amostras é que o processo de pesquisa pode destruir o elemento
pesquisado. Se for desejo pesquisar a tensão máxima suportada por peças produzidas em uma
indústria, as peças testadas provavelmente serão destruídas e deste modo a firma não poderá
colocar tais peças à venda.
Dependendo das informações desejadas, na coleta dos dados, pode-se optar por um dos dois
métodos: dados individualizados e dados agrupados.
As tabelas abaixo mostram dados coletados usando os dois processos:
Na primeira tabela a coluna “Notas” representa um conjunto discreto (valores bem determinados).
Este é um exemplo característico de dados individualizados. Na segunda tabela, a coluna “Salários”
os dados estão listados em intervalos. Nesta, os dados se apresentam agrupados.
22
QUESTÕES
Responda:1 – Porque, na maioria das vezes, são estudadas amostras e não população?
2 – É possível dizer se uma determinada amostra representa adequadamente uma população?
3 – Suponha que você deseje pesquisar a preferência de uma população com relação aos candidatos
em uma eleição para a prefeitura de sua cidade. Como você escolheria a amostra se:
a) sua intenção é obter um resultado não direcionado a um determinado candidato?
b) sua intenção é obter um resultado direcionado a um determinado candidato?
4.2 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Uma simples listagem dos dados pesquisados pode não levar a nenhuma conclusão. Por este
motivo é importante verificar como os dados se distribuem em relação a um valor mais provável.
Consideram-se como parâmetros para análise de uma distribuição as medidas: média, moda e
mediana, denominadas medidas de tendência central. Tais medidas são definidas como segue:
(I) MÉDIA
Sejam x1, x2, x3, ... , xn um conjunto de “n” medidas. Define-se a média destas medidas,
que se indica , por
Exemplo: para o conjunto de medidas 25, 18, 41, 48, 29, 37, a média é
X = (25 + 18 + 41 + 48 + 29 + 37)/6 = 33
(II) MEDIANA 11
Ordenadas as medidas, a mediana (Md) é a medida que ocupa a posição central da
distribuição. Se a quantidade de medidas for um número par, ter-se-ão duas medidas ocupando a
posição central. Nesse caso, a mediana será a média destas duas medidas.
Exemplo: Seja o conjunto 25, 18, 41, 48, 29, 37, 19.
Ordenando os dados temos: 18 – 19 – 25 – 29 – 37 – 41 – 48,
a mediana é 29 pois esta é a medida que se posiciona no centro da distribuição (3 valores antes e 3
valores depois).
No caso do conjunto 19 – 25 – 29 – 37 – 41 – 48, as medidas centrais são 29 e 37. Neste caso,
devemos tomar o valor (29 + 37)/2 = 33 como mediana.
Dependendo dos valores das medidas, a mediana é melhor que a média para analisar
a distribuição.
Tomando por exemplo os valores 180, 20, 30, 25, 26, 27, 18, a média é 46,6 enquanto que a
mediana vale 26 que está bem mais próximo dos demais valores. No cálculo da média, o número
180 fez com que a média fosse levada para um valor bem acima dos demais. Em situações como
essa, a mediana é mais representativa da distribuição do que a média.
23
(III) MODA
A moda é usada quando na distribuição onde aparecem valores repetidos. Define-se a
moda, (Mo), como sendo a medida que aparece em maior número de vezes. Uma distribuição em
que não há elementos repetidos ela é dita amodal. Se dois valores aparecem com a igual
quantidade de vezes a distribuição é dita bimodal. Para três valores, trimodal, e assim,
sucessivamente.
A distribuição 19 – 25 – 29 – 37 – 41 – 48 é amodal pois não nenhum elemento repetido. A
moda da distribuição 19 – 25 – 19 - 29 – 37 –19 – 29 - 41 – 48 é 19 pois 19 aparece um maior
número de vezes.
Para a série 19 – 25 – 19 - 29 – 37 –19 – 29 - 41 – 48 – 29, o 19 e o 29 aparecem 3 vezes
cada. Esta distribuição é bimodal pois tem duas modas que são: o 19 e o 29.
Numa distribuição simétrica, a média, a moda e a mediana são valores bem próximos ou
coincidentes.
A partir de agora serão usados os símbolos Mo e Me para designar a moda e a mediana,
respectivamente.
EXERCÍCIOS
Calcule a média, a moda e a mediana para os conjuntos de medidas abaixo:
(a) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 57
(b) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 27
4.3 – USANDO PLANILHAS
Os softwares que apresentam planilhas permitem o cálculo direto da média, moda e mediana
quando as medidas são todas digitadas. Não há formula direta para cálculo destas medidas quando
a tabela apresentar uma distribuição de freqüência. Neste último caso será disponibilizado um
aplicativo para o cálculo da média. (Ver site http://www.cesariof.xpg.com.br ou CDRom).
No EXCEL, para calcular a média,
(1) Digite os valores em uma mesma coluna
(2) Clique na célula onde será calculada a média, a moda ou a mediana.
(3) Para calcular a média, digite na célula = MÉDIA(
(4) Selecione as células onde constam os valores tabelados.
(5) Complete a fórmula fechando os parêntese. Na célula deverá ser exibido algo como =
MÉDIA(B4:B15) onde B4:B15 são respectivamente a primeira e a última célula com os valores
tabelados. Pressione a seguir, a tecla ENTER.
Os passos são semelhantes para o cálculo da mediana e da moda.
Para a mediana, na célula deve ser digitado =MED( e para a moda digite =MODO( . A
seguir selecione as células com os valores e feche o parêntese.
No STAROFFICE, no OPENOFFICE e no BROFFICE, utilize os mesmos procedimentos. As
fórmulas são =MÉDIA() para a média, =MEDIANA( ) para a mediana e =MODAL( ) para a moda.
Obs.: - No caso de tabelas bimodais, trimodais, etc., somente será calculada uma das modas.
EXERCÍCIO
Usando o STARCALC ou o EXCEL calcule a moda, a mediana e a média dos valores:
(a) 50, 10, 40, 30, 20, 80, 40, 15, 30, 10, 30.
(b) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 57
(c) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 27
4.4 – QUARTIL E PERCENTIL
24
A diferença entre o maior e o menor valor de uma distribuição de dados coletados é
denominada dispersão. Tomando por exemplo a tabela, já ordenada, 1,12, 15, 17, 19, 19, 21, 23,
25, 26, 105 teremos uma dispersão igual a 104, ou seja 105 – 1.
Observando a tabela nota-se que os extremos 1 e 105 estão bem afastados das demais
medidas. Se da mesma forem retirados apenas estes dois valores a dispersão torna-se bem menor
(igual a 14) e as medidas restantes parecem bem mais centradas em relação aos valores tabelados.
Os valores bem afastados da maioria das medidas, denominados valores espúrios (outliers em inglês) podem não condizer com a realidade da distribuição e, com isso, levar a erros grosseiros
nas tomadas das decisões quando se faz uma análise dos dados coletados.
Algumas técnicas são usadas para eliminar os valores que estejam muito afastados das
demais medidas. Entre as diversas técnicas destacamos: o quartil e o percentil que são usadas em
partições dos dados.
A partição dos dados, pelo método dos quartis, é feita obedecendo às normas:
I – Ordena-se o conjunto
II – Divide-se a tabela em quatro partes, cada uma delas contendo 25% (ou seja ¼) dos
valores tabelados.
A primeira, que contem os 25% valores menores é chamada de 1º quartil. A última, que
contem os 25% valores maiores, é chamada de 4º quartil.
Para a análise dos dados, despreza-se os 1º e 4º quartis.
A tabela com os valores restantes é chamada de intervalo interquartil.
Pode-se também utilizar outras divisões, como por exemplo, dividir a tabela em 100 partes.
Cada uma chamada de percentil, e escolher uma determinada faixa a ser desprezada, não
esquecendo de que a quantidade de valores menores a serem desprezados deverá ser igual à
quantidade de valores maiores.
Exemplo: Considerando a tabela 12, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 21, 23, 23, 24, 25, 26, 28,
28, 30, 31. O conjunto tem 20 elementos. Para obter os quartis, divide-se a tabela em 4 partes.
Cada uma terá 5 elementos. O primeiro quartil é formado por 12, 13, 13, 14, 14. O quarto quartil
será 25, 26, 28, 28, 30.
Para analisar a tabela, levando em consideração os quartis, (intervalo interquartil) seriam
considerados apenas os valores: 16, 18, 19, 20, 21, 21, 23, 23, 24.
Usando o intervalo 10º percentil, calcula-se 10% do total de medidas. Para a tabela do
exemplo anterior, 10% de 20 são dois. Eliminam-se então os dois valores menores (12, 13) e os
dois valores maiores (28, 30). O conjunto de valores restantes constitui o intervalo 10º percentil.
Nos dois exemplos citados, a amplitude passará a ser a diferença entre o maior e o menor valor
da tabela restante e não a diferença entre o maior e menor valor na tabela inicial.
A escolha do intervalo fica a critério do analista dos dados levando em conta uma série de fatores,
inclusive a dispersão dos valores iniciais.
4.5 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
É de extrema importância para a análise dos dados, verificar o comportamento dos valores
tabelados em relação à média. Isto é, estudar a dispersão dos dados em relação à média. No estudo
dessa dispersão são usadas as medidas: desvio em relação à média, desvio absoluto, desvio
médio absoluto, variância e desvio-padrão.
Estas grandezas são definidas como segue:
(I) desvio em relação à média, ou simplesmente desvio (d i)
É a diferença entre medida e a média. Se xi é uma das medidas, X a média, o desvio de cada
uma das medidas é definido por:
25
(II) desvio absoluto. (Di)
É o valor absoluto do desvio.
(III) desvio médio absoluto
É a média dos valores absolutos dos desvios.
(IV) variância (v)
Duas considerações devem ser feitas para o cálculo da variância.
(a) Variância da amostra – quando se deseja apenas uma análise da amostra, ou a amostra é
coincidente com toda a população.
v=
D12 + D22 + D32 + ... + Dn2
n
(b) Variância da população – quando, a partir da amostra se deseja inferir sobre a população. Devese também ser usada para uma distribuição em classes com intervalos.
(V) desvio padrão (s)
A variância envolve a soma de quadrados, portanto, a unidade em que se exprime não é a
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as
mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância que é denominado desvio
padrão. Através do desvio padrão pode-se fazer estimativas da dispersão das medidas em relação à
média.
De acordo com a definição:
Os dois valores obtidos para a variância, ao dividir a soma dos quadrados dos desvios por n ou
por n –1 devem ser levados em conta para o desvio padrão.
Nos itens a seguir, o termo desvio padrão, estará se referindo desvio padrão calculado
com relação à população. Isto é, no cálculo da variância, a soma dos quadrados dos
desvios será dividida por n - 1.
As medidas de dispersão devem acompanhar a precisão das medidas apresentadas na
amostra. Isto é, o número de casas decimais das medidas de tendência central e as
medidas de dispersão devem apresentar o mesmo número de casas decimais das medidas
apresentadas na amostra.
26
Para que tal fato seja observado, devem ser usados os critérios adotados pela Resolução
886/66 do IBGE, que regulamenta a aproximação de medidas.
Tal resolução estabelece:
1 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0,1,2,3 ou 4, fica inalterado o último algarismo
a permanecer.
Ex: 146,63 é arredondado para 146,6 ; 95,02 é arredondado para 95,0.
2 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6,7,8, ou 9, aumenta-se de uma unidade o
algarismo a permanecer.
Ex: 146,87 é arredondado para 146,9 ; 95,06 é arredondado para 95,1; 361,96 é arredondado para
362,0.
3 - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções:
a) Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao
algarismo a permanecer.
Ex: 14,651 é arredondado para 14,7; 14,6502 é arredondado para 14,7; 14,650002 é arredondado
para 14,7.
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser
conservado só será aumentando de uma unidade se for ímpar.
Exemplos: 132,35 é arredondado para 24,4 pois o 3 é ímpar; 132,85 é arredondado para 132,8
pois o 8 é par; 132,750000 é arredondado para 132,8 e 132,45000 é arredondado para 132,4.
Obs: O arredondamento deve ser feito de uma só vez e não através de arredondamentos
sucessivos.
COMPENSAÇÃO
Aplicando as regras do arredondamento, podem ser obtidos diferentes resultados, caso o
arredondamento seja feito antes ou após a operação. Veja:
25,32 + 17,85 + 10,44 + 31,17 = 84,78 (efetuando as operações sem arredondamento)
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,2 = 84,7 (efetuando as operações após arredondamento)
Entre os dois processos há uma pequena discordância: a soma é exatamente 84,7 quando, pelo
arredondamento, deveria ser 84,8. No caso, o resultado aceitável é 84,8.
Para evitar diferença entre os resultados, efetua-se a operação com as medidas não arredondadas e
aplicam-se as regras de arredondamento no resultado.
Conforme dito anteriormente, os valores espúrios, ou estranhos, são valores muito altos ou
muito baixos, quando comparados com os demais. Esses valores distorcem tanto a média como o
desvio padrão, podendo ser descartados para o cálculo desses parâmetros. Assim, é interessante,
separar os valores que dispersam da maioria dos demais valores tabelados e recalcular a nova
média e o novo desvio padrão.
A exclusão de valores espúrios para o cálculo de parâmetros de uma amostra não significa que
esses valores devam ser simplesmente ignorados; a exclusão é feita apenas para o cálculo dos
parâmetros (média e desvio padrão), pois eles, em geral, distorcem esses valores.
Os procedimentos de exclusão de valores espúrios devem sempre levar em conta o tamanho
da amostra, compensando o maior efeito da presença de valores espúrios em amostras menores.
No Excel e no StarCalc a variância e o desvio padrão podem ser calculados automaticamente.
Para a variância, em ambos, a fórmula é VARP() para a amostra e =VAR() para inferência sobre a
população.
No cálculo do desvio padrão, as fórmulas são:
- para o Excel = DESVPADP() (desvio padrão para a amostra) e = DESVPAD() (para inferências
sobre a população ou distribuição de freqüências em intervalos)
- para o StarCalc, os correspondentes são = DESV.PAD.P() e DESV.PAD().
Após digitadas as fórmulas, clique entre os dois parênteses e selecione as células onde estão
exibidos os valores da tabela. A seguir pressione a tecla ENTER.
EXERCÍCIOS
Para cada um dos conjuntos de valores abaixo, determinar (I) a média, (II) a variância da amostra,
(III) a provável variância da população, (IV) o desvio padrão da amostra, (V) o provável desvio
padrão da população.
(a) 50, 10, 40, 30, 20, 80, 40, 15, 30, 10, 30.
(b) 32, 34, 45, 46, 35, 32, 34, 45, 37, 48, 56, 45, 57, 39, 18, 26, 36, 45, 57
27
(c) 16, 18, 30, 24, 42, 37, 30, 38, 35, 23, 32, 24, 27
(d) 2, 3, 5, 9, 11, 8, 7, 5, 2.
4.6 – INTERVALO DE CONFIANÇA
Seja uma distribuição amostral de média X e desvio padrão s. Esta distribuição é dita normal
quando o gráfico desta distribuição apresentar a forma semelhante à indicada na figura abaixo.
Numa distribuição amostral aproximadamente normal é de se esperar que 68,27% das
medidas da amostra estejam no intervalo [ – s,
+ s], 95,45% estejam no intervalo [ – 2x, +
2s] e 99,73% estejam no intervalo [ – 3x, + 3s].
Estes intervalos são denominados intervalos de confiança de 68,27%, 95,45% e 99,73%,
respectivamente. Os extremos dos intervalos são chamados de limites de confiança de 68,27%,
95,45% e 99,73%.
É comum representar o intervalo de confiança, com percentual P%, por
 zs, onde z é o
coeficiente de confiança.
A tabela abaixo mostra valores para coeficientes de confiança e os respectivos percentuais.
Conforme dito anteriormente a tabela deverá ser usada para uma distribuição normal ou uma
distribuição com um tamanho suficientemente grande. Em geral para amostra de tamanho maior ou
igual a 30, a distribuição amostral se aproxima de uma distribuição normal.
Quando o tamanho da amostra é menor que 30, costuma-se usar o coeficiente “t” de
confiança de Student. O coeficiente “t” depende do grau de liberdade da amostra. Para uma
distribuição aproximadamente normal, com amostras de tamanho maior ou igual a trinta, os valores
de "z" e de "t" levam praticamente aos mesmos resultados.
Considera-se o grau de liberdade de uma amostra de tamanho “n” como sendo “n – 1”. Ao
usar a tabela de Student deve ser observado que a primeira coluna corresponde ao tamanho da
28
amostra menos 1.
Veja a tabela de Student na página a seguir.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
(1) A média e o desvio padrão das alturas de 1000 alunos são 1,657 m e 0,012 m. Supondo uma
distribuição normal das alturas, determine o intervalo que agrupa 866 das alturas (86,6%) da
amostra.
Solução: considerando o tamanho da amostra que é de 1000 alunos, deve-se usar o coeficiente "z"
que para 86,6% (aproximadamente 86,64%) vale 1,5 (ver tabela de valores para z). Isto resulta em
1,657 + 1,5x0,012 = 1,657 + 1,018.
Assim, 866 alturas, provavelmente estarão entre 1,639 m e 1,675 m.
Analisando graficamente:
No gráfico a área preenchida corresponde a 86,6% da área total. São então (1000 – 866)/2
= 67 alunos com altura superior a 1,675 m e 1,639 alunos com altura abaixo de 1,639.
É comum usar os limites de confiança para selecionar elementos de um grupo.
(2) As notas de 21 alunos de uma classe têm média 6,60 e desvio padrão 1,50. Provavelmente,
quantos alunos tiraram notas:
(a) entre 5,31 e 7,89?
(b) acima de 8,59?
Para uma amostra de tamanho inferior a 30 (no caso, o tamanho da amostra é 20) usa-se a
tabela de distribuição de Student.
(a) tomando o limite 7,89 teremos para o produto ts = 7,89 - 6,60 = 1,29. Sendo o desvio padrão s
= 1,50, o valor de t é t = 1,29/1,50 = 0,86.
Localizando o valor 0,86 na tabela de Student, para um grau de liberdade igual a 21 - 1 = 20
(lembre que o grau de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1), encontra-se o percentual
de 80%.
Portanto, 80%x21 = 0,80x21 = 16,8 alunos terão notas entre 5,31 e 7,89. Como não há fração de
alunos o número de alunos com notas entre 5,31 e 7,89 é 16.
(b) o desvio em relação à média é 8,59 – 6,60 = 1,99 que corresponde ao produto ts. Como s =
1,50, o valor de t é t = 1,99/1,5 = 1,327. Localizando o valor 1,327 para 21 – 1 = 20 graus de
liberdade, obtém-se o valor 90% (usar o valor mais próximo de 1,327 que é 1,325).
Assim, são 90% dos alunos entre 6,60 – 1,327x1,5 = 4,61 e 6,60 + 1,327x1,5 = 8,59. Portanto,
100% - 90% = 10% estarão fora desse intervalo. Deste modo, 5% (10%/2) dos alunos têm notas
abaixo de 4,61 e 5% dos alunos terão notas superior a 8,59.
Concluindo, o número de alunos com nota superior a 8,59 é 5% de 21 = 0,05x21 = 1,05. Como não
existe fração de aluno, 1 aluno terá nota superior a 8,59.
Veja o gráfico correspondente
29
4.7 - TABELA DO COEFICIENTE DE CONFIANÇA (Z) EM PORCENTAGEM
Nas células em azul estão exibidos os valores de z. Tomando por exemplo o percentual 55,28 (em
vermelho) o valor de z é 0,76 obtido a partir da linha 0,7 e da coluna 6 que contém o percentual
55,28.
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,00
0,80
1,60
2,40
3,20
3,98
4,78
5,58
6,38
7,18
0,1
7,96
8,76
9,56
10,34
11,14
11,92
12,72
13,50
14,28
15,08
0,2
15,86
16,64
17,42
18,20
18,96
19,74
20,52
21,28
22,06
22,82
0,3
23,58
24,34
25,10
25,86
26,62
27,36
28,12
28,86
29,60
30,34
0,4
31,08
31,82
32,56
33,28
34,00
34,72
35,44
36,16
36,88
37,58
0,5
38,30
39,00
39,70
40,38
41,08
41,76
42,46
43,14
43,80
44,48
0,6
45,16
45,82
46,48
47,14
47,78
48,44
49,08
49,72
50,36
50,98
0,7
51,60
52,24
52,84
53,46
54,08
54,68 55,28
55,88
56,46
57,04
0,8
57,62
58,20
58,78
59,34
59,92
60,46
61,02
61,56
62,12
62,66
0,9
63,18
63,72
64,24
64,76
65,28
65,78
66,30
66,80
67,30
67,78
1,0
68,26
68,76
69,22
69,70
70,16
70,62
71,08
71,54
71,98
72,42
1,1
72,86
73,30
73,72
74,16
74,58
74,98
75,40
75,80
76,20
76,60
1,2
76,98
77,38
77,76
78,14
78,50
78,88
79,24
79,60
79,94
80,30
1,3
80,64
80,98
81,32
81,64
81,98
82,30
82,62
82,94
83,24
83,54
1,4
83,84
84,14
84,44
84,72
85,02
85,30
85,58
85,84
86,12
86,38
1,5
86,64
86,90
87,14
87,40
87,64
87,88
88,12
88,36
88,58
88,82
1,6
89,04
89,26
89,48
89,68
89,90
90,10
90,30
90,50
90,70
90,90
1,7
91,08
91,28
91,46
91,64
91,82
91,98
92,16
92,32
92,50
92,66
1,8
92,82
92,98
93,12
93,28
93,42
93,56
93,72
93,86
93,98
94,12
1,9
94,26
94,38
94,52
94,64
94,76
94,88
95,00
91,52
95,22
95,34
2,0
95,44
95,56
95,66
95,76
95,86
95,96
96,06
96,16
96,24
96,34
2,1
96,42
96,52
96,60
96,68
96,76
96,84
96,92
97,00
97,08
97,14
2,2
97,22
97,28
97,36
97,42
97,50
97,56
97,62
97,68
97,74
97,80
2,3
97,86
97,92
97,96
98,02
98,08
98,12
98,18
98,22
98,26
98,32
2,4
98,36
98,40
98,44
98,50
98,54
98,58
98,62
98,64
98,68
98,72
2,5
98,76
98,80
98,82
98,86
98,90
98,92
98,96
98,98
99,02
99,04
2,6
99,06
99,10
99,12
99,14
99,18
99,20
99,22
99,24
99,26
99,28
2,7
99,30
99,32
99,34
99,36
99,38
99,40
99,42
99,44
99,46
99,48
2,8
99,48
99,50
99,52
99,54
99,54
99,56
99,58
99,58
99,60
99,62
2,9
99,62
99,64
99,64
99,66
99,68
99,68
99,70
99,70
99,72
99,72
3,0
99,74
99,74
99,74
99,96
99,96
99,78
99,78
99,78
99,80
99,80
3,1
99,80
99,82
99,82
99,82
99,84
99,84
99,84
99,84
99,86
99,86
3,2
99,86
99,86
99,88
99,88
99,88
99,88
99,88
99,90
99,90
99,90
3,3
99,90
99,90
99,90
99,92
99,92
99,92
99,92
99,92
99,92
99,94
3,4
99,94
99,94
99,94
99,94
99,94
99,94
99,94
99,94
99,94
99,96
3,5
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
99,96
3,6
99,96
99,96
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
3,7
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
30
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
3,8
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
99,98
3,9 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
4.8 - TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT
GL - grau de liberdade = tamanho da amostra - 1
GL\%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95% 97,5%
99% 99,5% 99,95%
1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619
2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920
4,303
6,965
9,925
31,598
3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353
3,182
4,541
5,541
12,924
4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132
2,776
3,747
4,604
8,610
5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015
2,571
3,365
4,032
6,869
6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943
2,447
3,143
3,707
5,959
7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895
2,365
2,365
3,499
5,408
8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860
2,306
2,896
3,355
5,041
9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833
2,262
2,821
3,250
4,781
10 0,129 0,260 0,397 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812
2,228
2,764
3,169
4,587
11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796
2,201
2,718
3,106
4,437
12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782
2,179
2,681
3,055
4,318
13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771
2,160
2,650
3,012
4,221
14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761
2,145
2,624
2,977
4,140
15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753
2,131
2,602
2,947
4,073
16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746
2,120
2,583
2,921
4,015
17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740
2,110
2,567
2,898
3,965
18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734
2,101
2,552
2,878
3,922
19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729
2,093
2,539
2,861
3,883
20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725
2,086
2,528
2,845
3,850
21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721
2,080
2,518
2,831
3,819
22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717
2,074
2,508
2,819
3,792
23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714
2,069
2,500
2,807
3,767
24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711
2,064
2,492
2,797
3,745
25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708
2,060
2,485
2,787
3,726
26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706
2,056
2,479
2,779
3,707
27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,856 1,057 1,314 1,703
2,052
2,473
2,771
3,690
28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,856 1,056 1,313 1,701
2,048
2,467
2,763
3,674
29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699
2,045
2,462
2,756
3,659
30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697
2,042
2,457
2,750
3,646
40 0,126 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684
2,021
2,423
2,704
3,551
60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671
2,000
2,390
2,660
3,460
120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658
1,980
2,358
2,617
3,373
>120 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645
1,960
2,326
2,576
3,291
EXERCÍCIOS
1 - Ao pesquisar a variação do comprimento dos pregos produzidos por uma firma obteve-se uma
média de 10,32 cm e desvio padrão 0,12 cm em uma amostra de 2000 pregos.
(a) Determine o intervalo de comprimentos que, provavelmente, agrupará 91,08% dos parafusos;
31
(b) Determine o número de parafusos cujo comprimento esteja compreendido entre 10,08 cm e
10,56 cm.
(c) Determine o número de parafusos cujo comprimento é maior que 10,62 cm.
(d) Qual foi o tipo de score (z ou t) usado na resolução dos itens acima? Justifique.
2 - As alturas de 20 alunos de uma classe apresentam média 1,60 m e desvio padrão 0,02 m.
(a) Determine o intervalo de alturas que, provavelmente, agrupa 90 % dos alunos?
(b) Quantos alunos têm, provavelmente, altura superior a 1,64 m?
(c) Qual foi o tipo de score (z ou t) usado na resolução dos itens acima? Justifique.
4.9 – INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS DE UMA POPULAÇÃO
Ao se calcular a média de uma amostra deve-se precisar o intervalo em que se deve
encontrar a média da população.
Para uma média
e um desvio padrão s da amostra, pode-se demonstrar que a média
da população tem um limite de confiança com percentual P é
para uma população infinita ou amostragem com reposição de uma população finita, e
para uma população finita.
Para pequenas amostras (n < 30) deve-se substituir o coeficiente z pelo coeficiente “t” de
Student.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
(1) Das arruelas produzidas por uma máquina foi retirada uma amostra de 100 arruelas cujo
diâmetro médio é 20,000 mm e desvio padrão 0,012 mm. Determine o intervalo de confiança de
90,50% para o diâmetro médio de todas as arruelas produzidas por esta máquina.
Solução: para um intervalo de confiança igual a 90,50%, z = 1,67 (ver tabela).
Como não se conhece o tamanho da população (total de peças fabricadas pela máquina) pode-se
considerá-la infinita.
Nota: o número de casas decimais do desvio deverá ser igual ao número de casas decimais da
média.
Assim, o intervalo de confiança da média de todas as arruelas produzidas pela máquina é (20,000 +
0,002) mm, ou seja, existe uma probabilidade de 90,50% de a média das arruelas estar entre
19,998 mm e 20,002 mm.
(2) Das notas de 1200 alunos de uma escola foram separadas as notas de 200 alunos. A média e o
desvio padrão das notas destes alunos foram, respectivamente, 6,50 e 0,30. Para um intervalo de
confiança de 95%, qual deverá ser a média dos 1200 alunos.
Solução: para o intervalo de confiança de 95%, o valor de z é 1,96. Usa-se o z, pois, a amostra é
superior a 30. Como a população é finita, teremos N = 1200, n = 30, s = 0,30,
= 6,50.
32
(3) Em um teste de QI, os scores de 10 alunos foram 90, 92, 92, 95, 98, 99, 100, 100, 100, 117.
Calcule, para um limite de confiança de 95%, a média esperada para todos os alunos desta escola.
Solução: como a amostra é inferior a 30, devemos utilizar o coeficiente "t" de Student, que para um
intervalo de confiança de 95% vale 1,372.
Calculando a média e o desvio padrão da amostra obtém-se:
= 98,30 e s = 7,59.
Não conhecendo o tamanho da população, a fórmula a ser usada é:
Portando, para um intervalo de confiança de 95%, a média dos QIs dos alunos desta escola está
entre 95,01 e 101,59.
EXERCÍCIOS
1 – Em uma plantação de milhos foram retiradas 500 espigas das quais verificou-se que o peso
tinha média 256 g com desvio padrão 14 g. Determine o intervalo de confiança de 90,50% para o
peso médio de todas as espigas da plantação.
2 – Dos 5000 livros de uma biblioteca foi retirada uma amostra de 300 livros. O número de páginas
dos livros da amostra apresentava uma média de 200 páginas com desvio padrão 10 páginas. Faça
uma previsão para a média dos 5000 livros em um intervalo de confiança de 87,88%.
3 – É comum usar um prato como tara em restaurantes self-service de modo que ao pesar a
quantidade de alimento usada pelo cliente seja registrado na balança somente o peso do alimento.
Ao determinar a média e o desvio padrão do peso de 16 pratos verificou-se que estes valiam 420 g
e 20 g, respectivamente. A partir destes valores, calcule, para um intervalo de confiança de 90%, a
média dos pratos usados pelo restaurante.
4 – Com relação ao exercício anterior, se a tara usada foi de 430 g, qual é a probabilidade do prato
que você usar ser mais pesado que a tara?
33
CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA II
5.1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Os parâmetros estatísticos como média, variância, desvio padrão, etc, ficam mais fáceis de
serem obtidos se as medidas da amostra forem agrupadas.
Duas são as formas de agruparem os dados:
(a) para variáveis discretas em que o número de elementos distintos é pequeno, e,
(b) para variáveis contínuas, ou quando o número de elementos é muito grande.
No primeiro caso, as medidas de mesmo valor são agrupadas em classes distintas. Ao
número de vezes que cada elemento se repete chamamos de freqüência da classe, que se indica
pela letra f.
Para a tabela,
21
15
11
10
14
18
15
20
20
18
18
15
28
19
13
14
13
13
11
12
19
16
10
18
16
11
21
Temos 12 classes que são: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 cujas freqüências são
respectivamente: 3, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 0, 5, 2, 2, 2.
Pode-se então, construir a tabela de classes:
Classe
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Freqüência
3
2
1
3
2
3
2
0
5
2
2
2
No segundo caso, as classes são formadas por intervalos. São elementos de uma distribuição
de freqüência com dados agrupados em intervalos:
(1) Xmax – o maior valor exibido na tabela;
(2) Xmin –menor valor exibido na tabela
(3) AA – amplitude da amostra, calculada por AD = Xmax – Xmin.
(4) k – nº de classes
A escolha do número de classes depende da análise que se pretende fazer da amostra. Portanto,
não há uma regra definida obrigatória para esta escolha.
Entretanto, alguns analistas utilizam regras para determinar o número de classes. Entre estes
processos destacam-se:
(a) fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3.log n onde n é o tamanho da amostra.
34
(b) fórmula da raiz quadrada: k = maior número inteiro, menor ou igual à n, onde n é o
tamanho da amostra.
(5) Li – limite inferior da classe.
Deve-se, de preferência, escolher para o limite inferior da primeira classe um valor igual à menor
medida tabelada.
(6) Ls – limite superior da classe.
O limite superior, com exceção do pertencente à ultima classe, coincide com o limite inferior da
classe seguinte.
(7) AI – amplitude do intervalo de classe, definido por AI = Ls – Li.
(8) Lmin – limite inferior do primeiro intervalo de classe
(9) Lmax – limite superior do último intervalo de classe
(10) AD – amplitude da distribuição, definida por AD = Lmax – Lmin.
Deve-se observar que a amplitude da distribuição deverá ser sempre maior que a amplitude da
amostra. Isto é AD > AA.
(11) IC - Intervalo de classe, indicado por Li |------ Ls.
A forma indicada é usada para representar um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.
Isto significa que as medidas de valores iguais ou maiores que Li e inferiores a Ls pertencem ao
intervalo enquanto que valores iguais a Ls pertencem ao intervalo seguinte.
(12) PM – ponto médio da classe, calculado por PM = (Ls +Li)/2.
Nos cálculos dos parâmetros estatísticos o ponto médio da classe substitui todos os valores
contidos na classe.
Um cuidado especial deve ser tomado ao estabelecer a divisão em classes de modo que
nenhuma das classes tenha freqüência igual a zero.
EXEMPLO: A tabela abaixo se refere ao levantamento feito pelo gerente de uma papelaria sobre os
preços de artigos mais vendidos com os objetivos de prever o aumento do estoque e investir em
propaganda tendo em vista os interesses dos clientes.
0,98
1,15
2,12
0,60
3,23
1,24
5,15
0,95
4,56
0,60
2,12
5,54
0,87
1,12
4,24
2,99
1,35
1,98
3,12
4,12
3,99
0,99
0,50
1,24
2,39
1,99
2,99
1,29
1,39
2,12
2,12
2,24
1,19
3,15
1,70
1,28
1,35
3,24
3,32
4,14
2,19
2,00
1,99
1.90
2,99
4,56
1,89
2,12
0,50
2,99
3,45
4,56
3.45
3,15
1,99
2,89
0,97
0,90
1,22
2,99
3,12
4,15
2,12
1,99
1,56
2,15
5,15
1,09
5,00
2,24
4,56
0,95
3,42
0,90
2,02
3,45
2,67
1,09
1,25
1,99
Dividir convenientemente a tabela em intervalos de classe.
Solução:
Para facilidade de contagem é aconselhável ordenar os valores da amostra.
0,50
0,98
1,25
1,98
2,12
2,89 3,24 3,23
0,50
0,99
1,28
1,99
2,12
2,99 3,32 4,24
0,60
1,09
1,29
1,99
2,12
2,99 3,42 4,56
0,60
1,09
1,35
1,99
2,12
2,99 3,45 4,56
0,87
1,12
1,35
1,99
2,15
2,99 3,45 4,56
0,90
1,15
1,39
1,99
2,19
2,99 3,45 4,56
0,90
1,19
1,56
2,00
2,24
3,12 3,99 5,00
0,95
1,22
1,70
2,02
2,24
3,12 4,12 5,15
0,95
1,24
1,89
2,12
2,39
3,15 4,14 5,15
0,97
1,24
1,90
2,12
2,67
3,15 4,15 5,54
ATENÇÃO: os valores podem ser ordenados usando o EXCEL ou o STARCALC.
Para ordenas os valores, digite-os em uma mesma coluna. A seguir selecione a coluna. Clique no
botão “DADOS”. A seguir clique na opção “CLASSIFICAR” (EXCEL) ou “ORDEM” (STARCALC).
Clique no botão OK.
(1) Escolhendo o número de classes:
35
Conforme foi dito, a escolha depende dos objetivos da análise estatística a ser feita. Como os
objetivos não estão definidos, será usado o processos de Sturges:
Tamanho da amostra n = 80, k = 1 + 3,3.log 80 = 7,28. Como o número de intervalos deve ser
inteiro, k = 8.
(2) Calculando a amplitude de cada classe:
Amplitude da amostra: Xmax = 65,70, Xmin = 0,50  AA = 5,54 – 0,50 = 5,04
Amplitude de classe: AC = AA/k = 5,04/8 = 0,63.
(3) Criando as classes: 1ª classe: Li = 0,50; Ls = 0,50 + 0,63 = 1,13.
O limite inferior de classe é igual ao limite inferior da classe anterior somado à amplitude da classe.
Da mesma forma, o limite superior de cada classe é igual ao limite superior da classe anterior
somado à amplitude de classe.
Além disso, o limite inferior de uma classe é igual ao limite superior da classe imediatamente
anterior.
Obtém-se assim, a distribuição:
Lim. inf
Lim. sup
0,50 |-----------1,13
1,13 |-----------1,76
1,76 |-----------2,39
2,39 |-----------3,02
3,02 |-----------3,65
3,65 |-----------4,28
4,28 |-----------4,91
4,91 |-----------5,54
Como o limite superior da última classe coincide com o maior valor da tabela, deve-se usar uma
amplitude de classe ligeiramente superior ao valor calculado. Assim, substituindo a amplitude 0,63
por 0,64, cria-se a nova tabela:
Lim. Inf.
Lim. Sup.
0,50 |---------1,14
1,14 |---------1,78
1,78 |---------2,42
2,42 |---------3,06
3,06 |---------3,70
3,70 |---------4,34
4,34 |---------4,98
4,98 |---------5,62
Estando a divisão das classes pronta, é hora de completar a distribuição com as freqüências,
lembrando que valores iguais a limites inferiores pertencem à classe correspondente.
Assim, completando a distribuição:
Lim. Sup Lim. Sup. Freqüência
0,50 |-----1,14
15
1,14 |-----1,78
13
1,78 |-----2,42
21
2,42 |-----3,06
7
3,06 |-----3,70
10
3,70 |-----4,34
6
4,34 |-----4,98
4
4,98 |-----5,62
4
TOTAL 
80
5.2 – PARÂMETROS ESTATÍSTICOS PARA DADOS AGRUPADOS
36
Sejam x1, x2, x3,..., xn os valores que representam as classes de uma distribuição de dados e
f1, f2, f3, ..., fn as respectivas freqüências. Quando as classes são representadas por intervalos, x 1,
x2, x3,..., xn são os pontos médios das classes.
Definem-se:
(1) MÉDIA DA AMOSTRA
n
X=
x1f1 + x2f2 + .... + xnfn
f1 + f2 + …. + fn
xi.fi
fi
=
i=0
(2) MODA
Medida que apresenta a maior freqüência. No caso de classes representadas por intervalos, a
moda é o ponto médio da classe com maior freqüência.
(3) MEDIANA
A mediana é a medida do elemento (ou os dois elementos) que se encontra no meio da
listagem das medidas, após ordená-las. Para o caso de uma quantidade ímpar, a mediana é o valor
da medida de ordem (n + 1)/2 e para uma quantidade par de medidas, a mediana é o valor da
média das medidas de ordem n/2 e (n/2) + 1.
Para distribuição em classes definidas por intervalos, a mediana é indicada pelo ponto médio da
classe.
Um procedimento que facilita a localização da mediana consiste em acrescentar na tabela uma
coluna contendo a freqüência acumulada, que consiste na soma das freqüências da classe
somada às freqüências das classes anteriores.
No EXCEL e no STARCAL, a freqüência acumulada pode ser obtida a partir do processo:
- digita-se a coluna das freqüências. Suponhamos que a freqüência da primeira classe esteja na
célula C3.
- na célula D3, digita-se =C3
- na célula D4, digita-se =D3 + C4
- seleciona-se a célula D4 clicando sobre ela.
- posicionando o mouse sobre o quadrinho no canto inferior direito da célula selecionada e mantendo
o botão esquerdo do mouse pressionado, arrasta-o até a célula da coluna D à frente da célula
contendo a última freqüência.
(4) VARIÂNCIA
n
(x1 – X)2.f1 + (x2 – X)2.f2 + … + (xn – X)2.fn
v=
(xi – X)2.fi
n-1
=
n-1
i=0
(5) DESVIO PADRÃO
s=
v
O cálculo para a média, a variância e o desvio padrão estão editadas em aplicativos.
EXERCÍCIOS
01 – As notas obtidas em Matemática pelos alunos da 3ª série do ensino médio de certa escola
foram tabuladas agrupadas em intervalos conforme indicado na tabela:
Notas
Nº alunos
0a 2
2a4
4a6
6a8
8 a 10
5
10
18
25
10
37
(a) Qual é a amplitude da tabela?
(b) Qual é a amplitude de cada classe?
(c) Calcule o ponto médio de cada classe?
(d) Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão desta distribuição?
(e) Usando a média com apenas uma casa decimal, e supondo que alunos cujas notas sejam igual
ou superior à média mais 1,3 - (
+ 1,3) - ficam dispensados da prova final, quantos alunos
estarão dispensados desta prova?
(f) Se os alunos que têm notas 1,7 abaixo da média ( – 1,7) estão reprovados sem direito à prova
final, quantos alunos já estariam reprovados?
02 – Supondo que os alunos cujas notas estão tabeladas no exercício anterior representem uma
amostra de uma população de 200 alunos, calcule, para um limite de confiança de 95%, a média
esperada para todos os alunos desta escola.
03 – As idades de um grupo de pessoas selecionadas em certa pesquisa estão distribuídos na
tabela:
21
15
11
10
14
18
15
20
20
18
18
35
22
19
27
14
13
13
11
12
19
16
10
18
24
11
21
10
26
22
28
27
11
23
18
12
(a) escolha um número de classes para analisar os dados?
(b) Calcule a amplitude de cada classe.
(c) Faça a tabulação dos dados distribuindo-os pelas classes.
(d) Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão.
(e) Quantos elementos pertencem ao intervalo
+ s?
(f) calcule, para um limite de confiança de 90%, a média das idades da população.
(g) calcule a moda e a mediana da distribuição
04 – Para cada uma das tabelas
Calcule:
(a) a média amostral das notas e o salário médio amostral;
(b) o desvio médio das notas e o desvio médio dos salários
(c) a média das notas da população e a média dos salários da população, para um intervalo de
confiança de 97,5%.
(d) a moda e a mediana da distribuição.
05 – A tabela mostra o número de alunos matriculados no período de 1993 a 2003 em universidades
públicas e privadas. Fonte UFJF.
Ano
Total
Pública
Privada
1993
3,7
6,6
2,4
1994
3,9
7,3
2,4
1995
4,3
7,9
2,9
1996
4
7,5
2,6
1997
3,9
7,4
2,6
1998
3,6
7,5
2,2
1999
3,5
8
2,2
38
Considerando a coluna referente à universidade pública, divida a amostra em quatro intervalos.
(a) Qual é a amplitude da amostra?
(b) Qual é a amplitude de cada intervalo?
(b) Qual é a média, a moda, a mediana, a variância e o desvio padrão da amostra?
06 – A tabela mostra a avaliação feita pelo MEC em 30 universidades brasileiras.
Fonte UFJF
Class Instituição
Status Índice
Nº Cursos
Class Instituição
Status Índice
Nº Cursos
1
UFMG
Fed
92,3
24
16
UNESP
Est
80,4
16
2
UFU
Fed
92,2
12
17
UFES
Fed
80
24
3
UFRS
Fed
92
32
17
UFBA
Fed
80
26
4
UFRJ
Fed
90,8
16
19
U. Caxias do Sul Priv
79,5
22
5
UNB
Fed
90,8
49
20
Univ. Mackenzie
Priv
78,8
31
6
UFJF
Fed
90
21
21
UFGO
Est
78,8
17
7
UFSM
Fed
87,7
24
22
U. Centro-Oeste
Est
78,2
14
8
UFV
Fed
85,7
22
23
UNIMONTES
Est
78,2
29
9
UERJ
Est
84,8
22
24
U. Ponta Grossa
Est
78,1
20
10
UNIOESTE
Est
84,5
16
25
UFSC
Fed
77,5
26
11
Univ. R. Grande
Fed
83,5
32
26
UNICAMP
Est
76,3
24
12
UFPR
Fed
83,1
26
27
U. Est da Bahia
Est
75,5
24
13
Univ. Maringá
Est
82,7
40
28
UFPE
Fed
75
23
14
PUC - RJ
Priv
82,5
53
29
C. Newton Paiva
Priv
73,3
25
15
UFCE
Fed
81,7
25
30
PUC - RS
Priv
73,1
26
Utilize a divisão em classes de intervalos, para determinar:
(a) A média e o desvio padrão do índice e do nº de cursos.
(b) Qual é o percentual das universidades que apresentam no intervalo
+ 1,5s?
(c) Compare com o resultado que seria obtido se fossem usados o coeficiente “z” e o coeficiente “t”
de Student.
(d) Supondo que a distribuição dos índices e do número de cursos seja uma distribuição normal,
qual seria, num intervalo de confiança de 95%, a média dos índices de todas as universidades e a
média do número de cursos de todas as universidades?
(e) Qual é a mediana da distribuição?
Repita os itens (a) e (b) para a coluna referente à universidade privada.
07 – A tabela mostra a variação do dólar no período de 01/10/2004 a 17/12/2004.
tabela em reais.
2,85
2,83
2,85
2,86
2,83
2,76
2,74
2,77
2,85
2,83
2,85
2,86
2,82
2,76
2,73
2,77
2,85
2,84
2,85
2,86
2,82
2,76
2,71
2,79
2,83
2,86
2,85
2,83
2,80
2,77
2,72
2,79
2,82
2,86
2,88
2,82
2,80
2,74
2,71
2,79
2,84
2,86
2,87
2,82
2,80
2,75
2,71
2,77
2,85
2,86
2,86
2,82
2,80
2,75
2,71
2,76
2,82
2,85
2,86
2,82
2,78
2,73
2,72
2,75
2,82
2,87
2,86
2,82
2,77
2,73
2,73
2,73
2,82
2,88
2,86
2,83
2,76
2,73
2,77
2,72
39
Valores da
Sugestão: Selecione cada uma das colunas (individualmente), copie e cole-as numa mesma coluna
no EXCEL ou no STARCALC para facilitar a ordenação.
Calcule:
(a) o valor médio do dólar no período.
(b) o desvio padrão
(c) o número de dias em que o dólar foi cotado entre 2,75 e 2,81.
08 – A tabela mostra os valores do índice econômico TBF. (Taxa básica financeira)
DIA JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1
1,21 1,05 1,31 1,13 1,18 1,22 1,25 1,26 1,10 1,17 1,19 1,43
2
1,19 1,10 1,33 1,08 1,23 1,21 1,19 1,32 1,21 1,17 1,20 1,37
3
1,20 1,08 1,33 1,02 1,30 1,21 1,19 1,31 1,15 1,17 1,27 1,27
4
1,26 1,11 1,27 1,08 1,31 1,13 1,24 1,29 1,08 1,22 1,30 1,29
5
1,33 1,11 1,21 1,13 1,29 1,07 1,30 1,26 1,14 1,23 1,20 1,36
6
1,34 1,11 1,21 1,14 1,25 1,13 1,31 1,20 1,19 1,20 1,15 1,44
7
1,33 1,04 1,27 1,13 1,16 1,19 1,30 1,20 1,20 1,15 1,21 1,45
8
1,28 1,04 1,32 1,14 1,16 1,21 1,24 1,20 1,26 1,11 1,28 1,43
9
1,21 1,11 1,29 1,09 1,23 1,20 1,14 1,26 1,25 1,10 1,28 1,36
10
1,20 1,11 1,29 1,09 1,30 1,17 1,16 1,25 1,19 1,16 1,30 1,32
11
1,26 1,11 1,20 1,14 1,24 1,13 1,22 1,26 1,15 1,20 1,28 1,33
12
1,31 1,11 1,16 1,21 1,35 1,11 1,30 1,20 1,21 1,22 1,24 1,39
13
1,32 1,11 1,16 1,20 1,19 0,17 1,31 1,15 1,23 1,30 1,17 1,46
14
1,32 1,05 1,22 1,20 1,13 1,27 1,32 1,15 1,18 1,24 1,23 1,42
15
1,25 1,05 1,29 1,19 1,13 1,26 1,26 1,20 1,23 1,20 1,30
16
1,19 1,11 1,26 1,11 1,19 1,26 1,13 1,26 1,21 1,13 1,35
17
1,20 1,11 1,29 1,07 1,25 1,24 1,16 1,26 1,18 1,19 1,37
18
1,25 1,11 1,21 1,12 1,24 1,20 1,22 1,28 1,12 1,24 1,35
19
1,32 1,09 1,15 1,19 1,25 1,14 1,31 1,20 1,18 1,22
20
1,28 1,10 1,15 1,17 1,19 1,20 1,30 1,14 1,24 1,25
21
1,31 1,01 1,21 1,18 1,13 1,25 1,32 1,14 1,19 1,21
22
1,27 1,01 1,21 1,25 1,13 1,25 1,23 1,20 1,22 1,13
23
1,23 1,06 1,18 1,19 1,19 1,24 1,20 1,26 1,20 1,13
24
1,17 1,12 1,22 1,13 1,26 1,26 1,19 1,26 1,17 1,19
25
1,17 1,14 1,16 1,19 1,26 1,18 1,25 1,26 1,10 1,26
26
1,22 1,21 1,06 1,24 1,25 1,14 1,31 1,21 1,16 1,27
27
1,23 1,22 1,07 1,25 1,22 1,20 1,32 1,13 1,21 1,25
28
1,21 1,15 1,13 1,25 1,15 1,26 1,31 1,14 1,21 1,21 1,24
29
1,18 1,15 1,21 1,25 1,14 1,25 1,23 1,20 1,23 1,16 1,30
30
1,11 1,20 1,21 1,17 1,20 1,26 1,21 1,27 1,25 1,14 1,37
31
1,05 1,25 1,19 1,12 1,25 1,25 1,20 1,27 1,17 1,20 1,37
Conforme sugestão do item anterior, ordene os dados no EXCEL ou no STARCAL.
Calcule, usando os processos de medidas discretas e o processo da divisão em intervalos:
(a) o valor médio diário do índice TBF
(b) a variância e o desvio padrão.
(c) o percentual em que os índices estiveram entre
+ 1,2s.
(d) consulte a tabela dos coeficientes “z” e “t” e confira percentual com o obtido no item (c).
09 - Em um mês, uma loja de assistência técnica em computares recebeu os seguintes serviços:
Tipo do serviço
Limpeza de vírus
Troca de HD
Troca de placa mãe
Preço p/ serviço
(R$)
30,00
45,00
60,00
40
Quantidade
1000
450
600
Up grade
Instalação de programas
50,00
25,00
350
250
Qual o preço médio cobrado por serviço?
10 - Encontrar a freqüência correspondente à terceira classe da distribuição a seguir,
sabendo-se que a média é igual a 11,50.
Xi
fi
5
4
8
5
13
...
18
3
25
1
11 - Obter a moda e a variância para a distribuição amostral:
Classes
fi
0 l---25
20
25 l---50
140
50 l---75
180
75 l---100
40
100 l---125
10
12 - O tempo de acesso na internet das 50 primeiras conecções de um dia num determinado
provedor:
Xi 1 2
3
fi
6 11 6
Calcular a variância populacional e o desvio padrão.
4
7
5
9
6
11
13 - Calcule a média e a variância amostral: Fac = freqüência acumulada
Xi
Fac
30000
10
30002 30004
22
36
41
30006
46
30008
50
30010
52
CAPÍTULO 06 – CONSTRUINDO GRÁFICOS
6.1 – INTRODUÇÃO
A distribuição em tabelas dos levantamentos dos dados estatísticos dá uma idéia geral de
como cada grupo de medidas influenciam nas medidas de dispersão. Entretanto, para uma melhor
visualização, as informações podem ser apresentadas em forma de gráficos.
Gráficos de dados estatísticos estão presentes em jornais, revistas, manuais escolares,
apresentações públicas pois eles apresentam a grande vantagem de transmitir informações que em
tabelas não seriam percebidas.
Diversas são as formas de se construir um gráfico. A forma do gráfico depende principalmente das
informações que se quer transmitir. Neste capítulo daremos destaque às formas mais comuns que
são: tabulação, gráficos em barras horizontal e vertical, histograma, linhas, setores, pizza, pirâmide
etária e pictograma.
Também serão fornecidas, neste capítulo, informações sobre construção de gráficos no EXCEL
e no STARCALC.
6.2 – TABULAÇÃO
A tabulação é a forma mais simples de construção de gráfico. O processo consiste em
registrar, por meio de traços, a contagem das medidas de mesmo valor ou que pertencem ao uma
mesma classe.
Tomemos, por exemplo, a tabela:
3.37
3.34
3.38
3.32
3.33
3.28
3.34
3.31
3.33
3.34
3.29
3.36
3.30
3.31
3.33
3.34
3.34
3.36
3.39
3.34
3.35
3.36
3.30
3.32
3.33
3.35
3.35
3.34
3.32
3.38
3.32
3.37
3.34
3.38
3.36
3.37
3.36
3.31
3.33
3.30
3.35
3.33
3.38
3.37
3.44
3.32
3.36
3.32
3.29
3.35
3.38
3.39
3.34
3.32
3.30
3.39
3.36
3.40
3.32
3.33
3.29
3.41
3.27
3.36
3.41
3.37
3.36
3.37
3.33
3.36
3.31
3.33
3.35
3.34
3.35
3.34
3.31
3.36
3.37
3.35
Ordenando e contando as medidas que pertencem a mesma classe temos:
xi
Tabulação
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
|
||
||
||||
||||| |
||||| |||
||||| ||||| |||
||||| ||||| ||||
||||| ||||| ||
||||| |||||
||||| ||||
||||| ||||
|||||42
|||
|
3.40
3.35
3.37
3.35
3.32
3.36
3.38
3.35
3.31
3.34
3.35
3.36
3.39
3.31
3.31
3.30
3.35
3.33
3.35
3.31
A tabulação, representada pelos traços verticais, dá uma visão gráfica da concentração das medidas.
A partir da distribuição, verifica-se que a moda é Mo = 3,36 (medida que aparece uma maior
número de vezes).
Como a amostra tem dimensão 100 (100 medidas) a mediana é a média das medidas de número 50
e 51. Contando os 50 primeiros traços verifica-se que a medida correspondente às posições 50 e 51
é 3.36. Assim, a mediana vale Me = (3.36 + 3.36)/2 = 3.36.
6.3 - GRÁFICO EM COLUNAS SIMPLES
Os gráficos de colunas e barras são uma das formas mais populares de representar
informação, em parte pela facilidade quer de execução, quer de leitura. São usados para apresentar
um conjunto de dados e também para comparar vários conjuntos de dados. Devem ser utilizados
para representar variáveis discretas ou qualitativas, em termos absolutos ou relativos, ou para
comparar categorias de variáveis quantitativas.
Podem, igualmente, representar a evolução de uma variável ao longo do tempo.
Notas
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
Totais
Obtém-se os gráficos:
Não formatado
Turma A
3
5
6
9
4
2
2
31
Formatado
Quando for usado o Excel, a largura da coluna pode ser modificada clicando com o botão direito do
mouse sobre uma das colunas e a seguir clicando na opção "Formatar seqüência de dados". Na
janela "Formatar seqüência de seleção, clique na aba "Opões". No campo "Espaçamento" substitua o
número exibido por um menor. Se nesse campo for digitado o valor "0" (zero) as colunas serão
exibidas agrupadas.
No Starcalc, não é possível formatar a largura da coluna. Neste, pode-se usar a ferramenta de
desenho retângulo. Com ela constroem-se os retângulo (fora da área do gráfico) e a seguir arrastaos para a área do gráfico, ajustando a altura e a largura da coluna construída.
6.4 – GRÁFICO EM COLUNAS AGRUPADAS
Usado quando se deseja comparar duas ou mais distribuições de freqüências referentes a uma
mesma medida.
43
Tomando por exemplo a tabela referente às notas de um grupo de alunos de duas classes de uma
escola:
Notas
Turma A
Turma B
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
Totais
3
5
6
9
4
2
2
31
2
6
7
10
5
3
1
34
Usando o Excel temos os gráficos
Antes da formatação
Após a formatação
6.5 – GRÁFICO EM BARRAS HORIZONTAIS
O gráfico em barra deve substituir o gráfico em colunas quando o número de colunas for
grande fazendo com que os rótulos das colunas se sobrepõem, tornando-os confusos.
Para a mesma tabela anterior são obtidos os gráficos:
Antes da formatação
após a formatação
6.6 – HISTOGRAMA
O histograma é usado para mostrar a distribuição de valores de uma variável contínua
através de um gráfico de barras unidas. Contudo, se uma variável discreta apresentar muitos
44
valores distintos, também pode ser usado o histograma. Normalmente, os histogramas são
representados por barras com larguras iguais em que a altura (ou o comprimento) varia em função
da freqüência relativa ou absoluta.
Usando a tabela do item 6.3, teremos os gráficos
Sem formatação
Formatado
Para que a primeira classe seja deslocada para a direita, complete a tabela com classes
anteriores à primeira. Deixe os espaços acrescentados para as classes em branco ou preencha com
valores inferiores à primeira classe. Nos espaços acrescentados para as freqüências, preencha com 0
(zero).
O histograma no EXCEL, é construído a partir de um gráfico em coluna. Quando o gráfico for
exibido, clique com o botão direito do mouse sobre uma das colunas. Ao abrir uma janela de opções
clique em “Formatar sequência de dados”. Será então aberta a janela “Formatar sequência de
dados”. Clique então na aba “Opções”. No campo “Espaçamento” substitua o número exibido por 0
(zero). Clique no botão OK.
Quando se trabalha com classes definidas por intervalos, pode-se marcar no eixo horizontal
os intervalos ou os pontos médios das classes.
6.7 – GRÁFICO EM LINHA
O gráfico de linhas é indicado para mostrar tendências ou relações entre duas variáveis
contínuas. Para um número grande de classes pode-se também usar o gráfico em linhas.
Para a tabela já usada, obtém-se:
Notas da turma A
Comparando as turmas A e B
45
O gráfico em linha é construído unindo os pontos médios as classes, como pode ser visto na figura
abaixo.
6.8 – OGIVA
O gráfico denominado ogiva é um gráfico em linha usado para registrar a freqüência
acumulada. O processo de construção é o mesmo usado para o gráfico em linhas. Este gráfico é útil
para verificar quandos elementos da amostra estão abaixo de uma determinada medida.
Considerando a tabela das notas dos alunos da turma A, à qual se acrescenta a freqüência
acumulada tem-se:
Notas
Turma A
Freq. Acum.
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
Totais
3
5
6
9
4
2
2
31
3
8
14
23
27
29
31
O gráfico correspondente é
Do gráfico pode-se obter informações como,
(1) o número de alunos com nota igual ou inferior a 7 é igual a 27.
(2) o número de alunos com notas entre 5 e 8, incluindo estes valores é 29 – 8 = 21 (note que foi
subtraida a freqüência total até a nota 4 pois a nota 5 é incluida na seleção.
46
6.9 – PIRÂMIDE ETÁRIA
A pirâmide etária é também um histograma e é muito utilizada em análises demográficas por
permitir visualizar numa única imagem a distribuição da população por idades e simultaneamente
compará-la entre os dois sexos. A sua representação é feita em dois eixos horizontais (um para os
efectivos masculinos e outro para os femininos) podendo esta ser em valores absolutos ou relativos.
A tabela abaixo, mostra a distribuição da população brasileira, por sexo, no ano 2000.
POPULAÇÃO RESIDENTE TOTAL, POR SEXO E
GRUPOS DE IDADE - 2000
Faixa etária
TOTAL
total
homens
mulheres
169 799 170
83 576 015
86 223 155
0 a 4 anos
16 375 728
8 326 926
8 048 802
5 a 9 anos
16 542 327
8 402 353
8 139 974
10 a 14 anos
17 348 067
8 777 639
8 570 428
15 a 19 anos
17 939 815
9 019 130
8 920 685
20 a 24 anos
16 141 515
8 048 218
8 093 297
25 a 29 anos
13 849 665
6 814 328
7 035 337
30 a 34 anos
13 028 944
6 363 983
6 664 961
35 a 39 anos
12 261 529
5 955 875
6 305 654
40 a 44 anos
10 546 694
5 116 439
5 430 255
45 a 49 anos
8 721 541
4 216 418
4 505 123
50 a 54 anos
7 062 601
3 415 678
3 646 923
55 a 59 anos
5 444 715
2 585 244
2 859 471
60 a 64 anos
4 600 929
2 153 209
2 447 720
65 a 69 anos
3 581 106
1 639 325
1 941 781
70 a 74 anos
2 742 302
1 229 329
1 512 973
75 a 79 anos
1 779 587
780 571
999 016
80 anos e mais
1 832 105
731 350
1 100 755
FONTE - IBGE, Diretoria de Pesquisas, Departamento de População e
Indicadores Sociais. Censo Demográfico 2000.
A partir da tabela, temos o gráfico no formato “pirâmide etária”.
FONTE: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Departamento de População e Indicadores Sociais. Contagem de População de
1996.
47
A pirâmide etária pode também ser apresentada na forma
6.10 - GRÁFICOS CIRCULARES
O gráfico circular tornou-se muito comum em publicações direcionadas para um público mais
amplo, apesar de ser constetado pela falta de capacidade de transmitir informações bem como a
dificuldade em se comparar, visualmente, as dimensões dos ângulos, dificuldade esta não
encontrada quando se comparam os comprimentos das barras ou colunas.
Os gráficos circulares exibem as partes do todo como fatias de um bolo (gráfico em setor), queijo ou
pizza (gráfico em pizza). Nestes gráficos cada ângulo é proporcional à freqüência da classe.
Seu uso é desaconselhável quando o número de intervalos é superior a 5 ou quando a distribuição
apresenta freqüências próximas para alguns intervalos.
Também é comum apresentar gráficos circulares para uma visão tridimensional, o que leva a
tranformar o círculo em elipse. Isto faz distorcer as medidas das fatias levando a impressões falsas
sobre a distribuição das freqüência.
Outro fato na apresentação de gráficos circulares consiste em destacar fatias. Este fato leva também
a falsas conclusões sobre o tamanho das fatias.
Veja algumas formas de gráficos circulares:
(1) Bidimensional - em setores
(2) Tridimensional – Pizza
(3) Fatias separadas
48
6.11 – PICTOGRAMAS
Os pictogramas são gráficos comuns, mas com características decorativas. A sua utilização é
indicada numa apresentação superficial em que o contato com a imagem é breve, nomeadamente,
em jornais ou revistas de âmbito alargado ou quando o público-alvo tem um nível educacional médio
ou baixo.
Nos pictogramas as colunas são substituidas por imagens relativas .
O exemplo abaixo mostra um gráfico no formato pictograma
6.12 – CONSTRUINDO GRÁFICOS NO EXCEL
Abaixo está descrito um conjunto de passos para se construir um gráfico no EXCEL.
1 - Digite os dados em colunas vizinhas.
2 - Selecione a coluna das freqüência (2ª coluna)
3 - Clique no botão (Assistente de gráfico) que se encontra na barra de ferramentas padrão. Se o
botão não constar da barra de ferramentas, clique no menu INSERIR e a seguir na opção GRÁFICO.
4 - Ao abrir a janela Assistente de gráfico, etapa 1 de 4, selecione o "Tipo de Gráfico" desejado e, a
seguir, no "Subtipo de gráfico".
5 - Clique no botão Avançar.
Na janela "Assistente de gráfico", etapa 2 de 4, clique na aba "Sequência". No campo "Rótulos do
eixo das categorias (X)" clique na seta vermelha (canto esquerdo). Isto irá transformar a janela em
uma barra horizontal.
Selecione a coluna de valores (1ª coluna) e a seguir clique na seta vermelha da barra horizontal
para retornar à janela.
6 - Clique no botão Avançar para exibir a etapa 3 do Assistente de gráfico.
Dê um título para o gráfico e identifique os eixos digitando os nomes nos campos respectivos.
Nesta etapa você pode formatar os eixos, as linhas de grade, a legenda, fazer exibir ou não os
valores tabelados.
49
7 - Clique em AVANÇAR para exibir a etapa 4. Marque a opção "Como nova planilha" para exibir o
gráfico em outra folha, ou "Como objeto em" para exibir o gráfico na planilha onde está a tabela.
8 - Finalize clicando no botão CONCLUIR.
A partir destes passos o gráfico será exibido na mesma planilha onde foi criada a tabela.
Após a construção pode-se modificar vários de seus elementos, o que também pode ser feito nos
passos para a construção do gráfico.
1 - Área de plotagem - clicando sobre a mesma com o botão direito do mouse será aberta uma
janela de opções. Clicando sobre a opção "Formatar área de plotagem" pode-se modificar as bordas
e a cor do fundo.
2 - Eixos - clicando, com o botão direito do mouse, sobre os valores exibidos será exibida a opção
"Formatar eixo". Clicando sobre esta opção, será aberta uma nova janela onde pode-se modificar o
tipo de linhas, a fonte, a escala, o tipo de número e o alinhamento.
3 - Linhas de grade - usando o procedimento anterior podem ser modificadas as linhas de grade
(paralelas aos eixos) ou retirá-las.
4 - Sequência - clicando com o batão direito será aberta um quadro com as opções: "Formatar
legenda" e "Limpar". Na primeira opção podem ser modificadas a cor da área, a fonte e a posição.
Esta última pode ser substituída arrastando a caixa com a legenda. Caso não queira exibir a
legenda, clique em "Limpar".
5 - Transformando colunas separadas em colunas agrupadas. Clique sobre uma das colunas como o
botão direito do mouse. A seguir clique em formatar "Sequência de dados". Na janela "Sequência de
dados" clique na aba "OPÇÕES". No campo "ESPAÇAMENTO" substitua o valor indicado (defaut =
150) por 0. Clique no botão OK.
6.13 - CONSTRUINDO GRÁFICO NO STARCALC
1 - Digite os dados em colunas vizinhas.
2 - Selecione as duas colunas
3 - No menu Inserir, clique na opção "Gráfico".
Será aberta a janela "Auto formato (1-4)".
No campo Selecção marque a opção "Primeira coluna como legenda".
Clique no botão "Continuar".
4 - Na janela "Auto formato (2-4), selecione o tipo de gráfico e marque a opção "Colunas". Clique no
botão "Seguinte".
5 - Na janela "Auto formato (3-4), selecione uma das variantes do gráfico.
Se desejar exibir linhas de grades (paralelas aos eixos), no campo Linhas de grelha marque uma ou
as duas opções. Caso não deseje exibí-las, desmarque as opções "Eixo X" e "Eixo Y". Marque a
opção Colunas se não estiver marcada.
Clique em no botão "Seguinte".
6 - Na janela "AutoFormato Gráfico (4-4),
(a) campo Título do gráfico marque a opção se desejar exibir o título e substitua o texto "Título
principal" por outro desejado. Para não exibir título desmarque a opção "Título do gráfico".
(b) campo Inserir legenda - marque Sim ou Não de acordo com sua escolha.
(c) campo Título do eixo, marque a opção referente a cada eixo e digite o(s) título(s) para o(s)
mesmo(s).
(d) campo Série de dados em - se a opção Colunas não estiver marcada, marque-a.
Clique no botão "Criar".
Para formatar o gráfico é necessário selecioná-lo. Ao ser exibido o mesmo já estará
selecionado. Caso contrário, clique sobre o mesmo.
Clicando sobre a área do gráfico com o botão direito do mouse será exibida uma lista de opções.
Clique então sobre a opção "Editar".
Novamente, com o botão direito clique sobre a área do gráfico. Clique sobre a opção desejada para
formatar os elementos desejados.
Para apagar a legenda, basta clicar sobre a mesma e a seguir pressionar a tecla "Delete".
No STARCALC não há como modificar a largura das colunas para transformar gráficos em colunas
separadas em gráficos em colunas agrupadas (histograma). Entretanto, pode-se construir o gráfico
em colunas separadas e, usando as ferramentas de desenho construir colunas agrupadas.
50
EXERCÍCIOS
1 – Para as tabelas da série de exercícios 1 a 13, apresentados após o item 5.2, escolha uma das
formas de gráfico tabulação, colunas simples, colunas agrupadas, barras horizontais, histograma,
linha, ogiva, setores, pizza, pizza fatiada e construa-o. Quando possível, utilize mais de um tipo de
gráfico e escolha o que melhor atende à transmissão de informações.
2 – Construa a pirâmide etária para a distribuição:
menos que 5 anos = 20000, entre 5 e 10 anos = 35000, entre 10 e 15 anos = 50000, entre 15 e 20
anos = 30000.
CAPÍTULO 7
TESTES DE HIPÓTESES
7.1 – INTRODUÇÃO
Existem vários tipos de testes para verificar o comportamento de uma distribuição de
freqüência obtida a partir de uma coleta de dados e a freqüência esperada que pode ser calculada.
Entre eles destacam-se: o teste de Bowman-Shelton, o teste de Kolmogorov-Smirnov e o teste do
qui quadrado proposto por Karl Pearson.
Neste capítulo serão descritos os testes qui-quadrado e Fisher por serem os métodos mais
utilizados para:
- verificar se a freqüência observada de um determinado acontecimente em uma amostra apresenta
desvio significativo em relação às freqüência esperadas;
- comparar distribuições de diferentes amostras relativas a uma mesma medida;
- comparar proporções.
De uma maneira geral, pode-se dizer que dois grupos se comportam de forma semelhante
se as diferenças entre as freqüências observadas e as esperadas em cada categoria forem muito
pequenas, próximas a zero. Consideram-se significativos ou aceitáveis os níveis iguais ou inferiores
a 0,05 ou 5%.
7.2 – QUI-QUADRADO
Sejam f1, f2, f3, ..., fn as freqüências em uma dada amostra e e1, e2, e3, ..., en as freqüências
esperadas para a mesma amostra.
Define-se a estatística qui-quadrado, indicada como 2, pela expressão
2 =
(f1 – e1)2
e1
(f2 – e2)2
+
e2
n
(f3 – e3)2
(fn – en)2
+ ... +
+
e3
en
ou
(fi – ei)2
2 =
i=0
ei
Se os dados estão distribuídos em tabelas 2 X 2 e qualquer uma das freqüências esperadas for
menor que 10, deve-se usar a correção de Yates, sendo então o qui-quadrado calculado por
n
 =
2
i=0
(|fi – ei| - 0,5)2
ei
Quando se conhece a lei de distribuição da probabilidade do evento, o valor esperado é calculado a
partir dessa lei.
Por exemplo: para uma moeda a probabilidade de obter o evento “cara” em um lançamento é 50%
(= ½). Assim, em 100 lançamentos é de se esperar uma freqüência igual a (1/2)*100 = 50.
Quando não se conhece a lei de distribuição das probabilidades, geralmente são usadas várias
amostras. Neste caso, a freqüência esperada para cada evento de cada amosta é calculada por
51
(soma das amostra*soma das freqüências das amostras para aquele evento) dividido pela soma das
freqüências dos eventos. Ou seja
fia
fie
x
fta
Onde
fia
= soma das freqüências das amostras;
fie
= soma das freqüências do evento e
fta
= soma das freqüências totais das amostras
O cálculo do qui-quadrado da distribuição será obtido a partir da soma dos valores (fo – fe)2/fe ou
pelo processo de correção de Yates.
EXEMPLO 1 - Suponha que em 100 lançamentos de uma moeda os resultados foram:
Evento
Cara
Coroa
Total
Freqüência
Observada
45
55
100
Como a probabilidade de obter cara (ou coroa) é ½, em 100 lançamentos deveríamos ter (1/2).100
= 50 caras e (1/2).100 = 50 coroas.
Completando a tabela com as freqüências esperadas resultaria:
Evento
Cara
Coroa
Total
Freqüência Freqüência
observada esperada
45
50
55
50
100
100
O valor do qui-quadrado para a tabela é:
 =
2
(45 –50)2
+
(55 – 50)2
50
= 1
50
EXEMPLO 2 – A tabela mostra a distribuição de fumantes por dois grupos selecionados na praça
central de uma cidade em horários diferentes
Fumantes
Sim
Não
Totais
Calculando as freqüências esperadas:
Fumantes Tarde
Sim (obs) 40
(esperada) 130.240/500 =
62,4
Não (obs) 200
(esperada) 370.240/500=
177,6
Totais
240
Tarde
40
200
240
Noite
90
170
270
Noite
90
130.260/500 =
67,6
170
370*260/500 =
192,4
260
Totais
130
370
500
Totais
130
370
500
Calculando o qui-quadrado:
2 = (40 – 62,4)2/62,4 + (200 – 177,6)2/177,6 + (90 – 67,6)2/67,6 + (170 – 192,4)2/192,4 = 20,90
52
7.3 – O TESTE DO QUI-QUADRADO
Com base nas amostras, podem ser tomadas decisões sobre a população, decisões como se
uma moeda é viciada ou não, se um determinado processo educacional é melhor que outro, se o uso
de drogas em uma universidade é característica do curso, etc. Estas decisões são denominadas
decisões estatísticas. Na tomada das decisões é importante formular hipóteses ou suposições sobre
a população.
Em alguns casos a hipotese formulada consiste em rejeitar ou anular a hipótese como no
caso de se desejar decidir se uma moeda é viciada ou não. Em outros a hipótese formulada consiste
em verificar se há ou não diferença entre dois processos ou resultados de amostras diferentes para
uma mesma população.
Temos, inicialmente que se 2 = 0, as freqüências observadas são iguais às freqüências
esperadas enquanto que se 2 > 0 elas são discordantes. O teste consiste então, verificar se o quiquadrado obtido é limitado a um nível de significância, geralmente de 0,05 (5%) ou de 0,01 (1%),
em que a hipótese deve ser rejeitada. Isto é, se for escolhido o nível de significância 0,05 significa
que existe uma probabilidade de 5% de rejeitarmos a hipótese ou 95% da hipótese.
Na prática, o teste consiste em comparar o valor do 2 calculado com o valor do 2 crítico
para o nível de significância desejado, que é obtido em tabela, levando em conta o grau de
liberdade que é calculado por:
(1) – para uma amostra: nº de linhas – 1. O número de linhas é igual ao número de eventos.
(2) – para várias amostras: (nº de linhas – 1).(número de colunas – 1).
Observação: ao contar o número de colunas deve-se computar a coluna das somas das
freqüências das amostras.
O teste do qui-quadrado pode ser aplicado nas condições:
Comparação entre duas ou mais amostras
Dados nominais fornecidos em freqüências
Amostragem aleatória
As freqüências esperadas não devem ser muito pequenas.
Em uma tabela 2 x 2 nenhuma freqüência esperada deve ser menor que 5.
Em tabelas maiores do que 2 x 2 recomenda-se que cada uma das freqüências esperada não
apresente valor inferior a 5.
5 - Sempre que em uma tabela 2 x 2, qualquer das freqüências esperadas for menor que 10, devese usar a fórmula de correção de Yates.
6 – O teste deve ser evitado quando a soma das freqüências esperadas (que é igual à soma das
freqüências observadas) for inferior a 30. Caso seja menor e ocorra em uma tabela 2 x 2, deve-se
usar o Teste Exato de Fisher.
1
2
3
4
-
EXEMPLO 1 – Considere a tabela relativa ao lançamento de uma moeda dada no item 7.2. Testar a
hipótese de que a moeda é honesta ao nível de significância (a) 0,01, (b) 0,005.
1º passo: determinar o grau de liberdade.
Como a tabela contém apenas uma amostra, sendo o número de eventos igual a 2 (cara, coroa) o
grau de liberdade é GL = 2 – 1.
2º passo: consultar a tabela para o GL e nível de significância crítico 2 c.
Para GL = 1 e nível de significância 0,01 – temos 2 1;0,01 = 6,635 e
Para GL = 1 e nível de significância 0,005, 2 1,0,005 = 7,879.
3º passo: calcular o 2 da tabela.
O valor do 2 calculado para a referida tabela (ver item 7.2) foi
2 = 1.
4º passo: comparar o 2 encontrado com o 2 crítico (da tabela).
(a) Como 2 < 6,635 existe 0,01 ou 1% de probabilidade da moeda ser desonesta ou 99% de
probabilidade da moeda ser honesta. (b) Da mesma, 2 < 6,635 existe a probabilidade de 0,5% da
moeda ser desonesta ou 99,5% da moeda ser honesta.
EXEMPLO 2 – Verificar se as duas amostras da tabela relativa a fumantes e não fumantes exibida no
item 7.2 diferem ou não significativamente ao nível de significância (a) 0,01 e (b) 0,005.
1º passo: determinar o grau de liberdade.
53
No caso são duas amostras, tendo a tabela três colunas onde a terceira é a soma. O número de
eventos (linhas) é igual a dois (fumantes, não fumantes).
Assim, o grau de liberdade é GL = (3 – 1).(2 – 1) = 2.1 = 2.
2º passo: consultando a tabela:
GL = 2, 2 2;0,01 = 6,635 e GL = 2, 2 2;0,005 = 7,879.
3º passo: calcular o 2 da tabela.
O valor encontrado foi de 20,90
4º passo: comparando o 2 com o 2 crítico (da tabela).
Como 2 encontrado é maior que os valores críticos de 2 crítico, as duas amostras diferem
significativamente aos níveis 0,01 (1%) e 0,005 (5%).
EXEMPLO 3 – A tabela mostra a distribuição de filhos de duas famílias:
Masc
Femin
totais
Fam A
7
13
20
Fam B
11
9
20
totais
18
22
40
Verificar se as duas amostras da tabela diferem ou não significativamente ao nível de significância
(a) 0,01 e (b) 0,005.
Solução: GL = (3 – 1).(2 –1) = 2.
2
2;0,01
= 6,635
e
2
2;0,005
= 7,879.
Calculando as freqüências esperadas: indicação célula (a, b) – linha a, coluna b
Célula (1,1) = 18*20/40 = 9; célula (2,1) = 22.20/40 = 11; célula (1,2) = 18.20/40 = 9; célula (2,
2) = 22.20/40 = 11.
Como se tem uma tabela 2 x 2 e nas freqüências esperadas aparecem valores menores que 10 –
células (1, 1) e (1,2) devemos usar a correção de Yates.
2 = (|7 – 9| - 0,5)2/9 + (|13 – 11| - 0,5)2/11 + (|11 – 9| - 0,5)2/9 + (|9 – 11| - 0,5)2/11 =
0,9090.
Como 2 = 0,9090 < 2 2;0,01 = 6,635 e 2 = 0,9090 < 2 2;0,005 = 7,879, as duas amostras não
apresentam uma diferença significativa aos níveis 0,01 e 0,005.
Se não fosse usada a correção de Yates, teríamos 2 = 1,6162 que leva à mesma conclusão. Assim,
nesta situação, não há necessidade de utilizar a correção.
EXEMPLO 4 – Para a tabela abaixo deve-se usar o teste exato de Fisher pois a soma das freqüências
é menor que 30.
Masc
Femin
totais
Fam A
6
8
14
Fam B
7
6
13
totais
13
14
27
7.4 – TESTE DE FISHER
O teste de Fisher é usado para amostras pequenas e produz menos erro em relação ao teste
do qui-quadrado. O teste de Fisher permite calcular a probabilidade de associação das
características que estão em análise, ou seja, de elas serem independentes. Assim, o teste de Fisher
é utilizado nas seguintes situações:
(a) n < 20
(b) n > 20 e < 40 e a menor freqüência esperada for menor que 5.
O teste de Fisher calcula a probabilidade de que a tabela usada tenha sido obtida por acaso e,
portanto, sem mudar os totais das colunas e linhas, o teste de Fisher contrai todas as tabelas
possíveis.
54
1º caso: n < 20 e um dos eventos de é nulo.
Seja a tabela:
eventos X
Y
Totais
1
9 (A)
7 (B)
16 (C)
2
0 (D) 3 (E)
3 (F)
totais
9 (G) 10 (H) 19 (N)
Identifiquemos as células por letras para facilitar a referência. Ver a indicação na tabela.
A probabilidade de dependência das duas amostras é definida por:
P = (C!.F!.G!.H!) / (N!.A!.B!.!D!)
Notas: (1) C! é a indicação de fatorial de C. (2) 0! = 1.
Temos então, para a tabela: P = (16!.3!.9!.10!)/(19!.9!.7!.0!.3!) = 0,1238 = 12,38 %.
Isto significa que a probabilidade das amostras apresentarem uma diferença significativa é de
12,38% e a probabilidade das amostras não apresentarem diferença significativa é de 100% 12,38% = 87,62 %.
2º caso – n < 20 e não existe evento nulo.
Neste caso, calcula-se a probabilidade p1 conforme definido anteriorme.
A seguir reconstroi a tabela subtraindo 1 unidade da menor freqüência de cada amostra e
acrescenta-se 1 unidade à maior freqüência.
Calcula-se, usando a mesma fórmula, a probabilidade p2.
Continua o processo até que uma das freqüências das amostra se anule.
A probabilidade das amostras apresentarem diferença significativa é dada pela soma das
probabilidades calculadas.
Vejamos um exemplo:
eventos
1
2
totais
X
2
8
10
Y
5
3
8
Totais
7
11
18
Calculando p1: p1 = 10!.8!.7!.11!/18!.2!.5!.8!.3! = 0,0792
Reduzindo 1 unidade das menores freqüências de cada eventos e aumentando 1 unidade à maior
freqüência de cada evento
eventos X
Y
Totais
1
1
6
7
2
9
2
11
totais
10
8
18
Calculando p2: p2 = 10!.8!.7!.11!/18!.1!.6!.9!.2! = 0,0088
Como nenhuma das freqüências dos eventos foi anulada, repete-se o processo.
eventos
1
2
totais
X
0
10
10
Y
7
1
8
Totais
7
11
18
Calculando p3: p3 = 10!.8!.7!.11!/18!.0!.7!.10!.1! = 0,0003.
A probabilidade de as amostras apresentarem uma diferença significativa é:
P = 0,0792 + 0,0088 + 0,0003 = 0,0883 = 8,83%.
55
Assim, as tabela são discrepante ao nível de confiança de 8,83% ou não apresentam diferença
significativa ao nível de 100% - 8,83 = 91,17%.
3º caso: 20 < n < 40 e a menor freqüência esperada é menor que 5.
eventos X
Y
1
12 (A) 18 (B)
2
4 (C) 2 (D)
totais
16
20
Totais
30
6
36
Calculando as freqüências esperadas: célula (A) fA = 30*16/36 = 13,3; célula (C) fC = 6*16/36 =
2,7; célula (B) = 30.20/36 = 16,7; célula (D) = 6*20/36 = 3,3.
Como a menor freqüência (célula C = 2,7) de uma das células da distribuição dos eventos é menor
que 5, a aplicação do teste exato de Fisher é conveniente.
Aplicando o mesmo procedimento usado no 2º encontramos:
P1 = 0,1775; P2 = 0,1901 e P3 = 0,1905.
A probabilidade de as amostras serem discrepantes é 0,1775 + 0,1901 + 0,1905 = 0,5581
(=55,81%). Portanto, a hipótese de as amostras apresentarem alguma relação deve ser descartada
pois a probabilidade de não haver relação é de 55,81% ou a de existir uma relação é 44,19%.
7.5 - TABELA DE NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA – QUI-QUADRADO
Significativos
Não significativos
GL
1
0,995
0,99
0,975
0,95
0,9
0,75
0,5
0,25
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
0
0
0,001
0,004
0,016
0,102
0,455
1,323
2,706
3,841
5,024
6,635
7,879
10,827
2
0,01
0,02
0,051
0,103
0,211
0,575
1,386
2,773
4,605
5,991
7,378
9,21
10,597
13,815
3
0,072
0,115
0,216
0,352
0,584
1,213
2,366
4,108
6,251
7,815
9,348
11,345
12,838
16,266
4
0,207
0,297
0,484
0,711
1,064
1,923
3,357
5,385
7,779
9,488
11,143
13,277
14,86
18,466
5
0,412
0,554
0,831
1,145
1,61
2,675
4,351
6,626
9,236
11,07
12,832
15,086
16,75
20,515
6
0,676
0,872
1,237
1,635
2,204
3,455
5,348
7,841
10,645
12,592
14,449
16,812
18,548
22,457
7
0,989
1,239
1,69
2,167
2,833
4,255
6,346
9,037
12,017
14,067
16,013
18,475
20,278
24,321
8
1,344
1,647
2,18
2,733
3,49
5,071
7,344
10,219
13,362
15,507
17,535
20,09
21,955
26,124
9
1,735
2,088
2,7
3,325
4,168
5,899
8,343
11,389
14,684
16,919
19,023
21,666
23,589
27,877
10
2,156
2,558
3,247
3,94
4,865
6,737
9,342
12,549
15,987
18,307
20,483
23,209
25,188
29,588
11
2,603
3,053
3,816
4,575
5,578
7,584 10,341
13,701
17,275
19,675
21,92
24,725
26,757
31,264
12
3,074
3,571
4,404
5,226
6,304
8,438
11,34
14,845
18,549
21,026
23,337
26,217
28,3
32,909
13
3,565
4,107
5,009
5,892
7,041
9,299
12,34
15,984
19,812
22,362
24,736
27,688
29,819
34,527
14
4,075
4,66
5,629
6,571
7,79 10,165 13,339
17,117
21,064
23,685
26,119
29,141
31,319
36,124
15
4,601
5,229
6,262
7,261
8,547 11,037 14,339
18,245
22,307
24,996
27,488
30,578
32,801
37,698
16
5,142
5,812
6,908
7,962
9,312 11,912 15,338
19,369
23,542
26,296
28,845
32
34,267
39,252
17
5,697
6,408
7,564
8,672 10,085 12,792 16,338
20,489
24,769
27,587
30,191
33,409
35,718
40,791
18
6,265
7,015
8,231
9,39 10,865 13,675 17,338
21,605
25,989
28,869
31,526
34,805
37,156
42,312
19
6,844
7,633
8,907 10,117 11,651 14,562 18,338
22,718
27,204
30,144
32,852
36,191
38,582
43,819
20
7,434
8,26
9,591 10,851 12,443 15,452 19,337
23,828
28,412
31,41
34,17
37,566
39,997
45,314
21
8,034
8,897 10,283 11,591
24,935
29,615
32,671
35,479
38,932
41,401
46,796
22
8,643
9,542 10,982 12,338 14,041
17,24 21,337
26,039
30,813
33,924
36,781
40,289
42,796
48,268
23
9,26 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 22,337
27,141
32,007
35,172
38,076
41,638
44,181
49,728
24
9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,337
28,241
33,196
36,415
39,364
42,98
45,558
51,179
25
10,52 11,524
13,12 14,611 16,473 19,939 24,337
29,339
34,382
37,652
40,646
44,314
46,928
52,619
26
11,16 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,336
30,435
35,563
38,885
41,923
45,642
48,29
54,051
27 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 21,749 26,336
31,528
36,741
40,113
43,195
46,963
49,645
55,475
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,336
32,62
37,916
41,337
44,461
48,278
50,994
56,892
29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,336
33,711
39,087
42,557
45,722
49,588
52,335
58,301
30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336
34,8
40,256
43,773
46,979
50,892
53,672
59,702
33,66 39,335
45,616
51,805
55,758
59,342
63,691
66,766
73,403
50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335
56,334
63,167
67,505
71,42
76,154
79,49
86,66
13,24 16,344 20,337
40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051
56
60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335
66,981
74,397
79,082
83,298
88,379
91,952
99,608
70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 69,334
77,577
85,527
90,531
95,023 100,425
104,215
112,317
80 51,172
53,54 57,153 60,391 64,278 71,145 79,334
88,13
96,578 101,879
106,629 112,329
116,321
124,839
90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 89,334
98,65
107,565 113,145
118,136 124,116
128,299
137,208
100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 90,133 99,334
109,141
118,498 124,342
129,561 135,807
140,17
149,449
EXERCÍCIOS
1 - Um pesquisador deseja verificar se há associação entre três cursos de uma universidade e
dependência de drogas. Entrevistou 120 alunos, sendo 25 da Medicina, 35 de Farmácia e 60 de
Biologia, perguntando sobre o uso de drogas, admitindo somente duas respostas: sim ou não.
Após o processamento dos dados ficou com a seguinte tabela de distribuição de freqüências:
Medicina
Farmácia
Biologia
Total
Usa droga
10
20
30
60
Não usa
droga
15
15
30
60
Total
25
35
60
120
Usando o teste do qui-quadrado verificar se há associação entre o curso e o número de usurário de
drogas aos níveis (a) 0,01 (b) 0,005.
2 - Exemplo: um pesquisador quer saber se a proporção de crianças acometidas por uma
determinada doença é a mesma entre dois grupos de estudo (A e B). Estudou uma amostra
com 28 casos, obtendo a seguinte distribuição de freqüências:
GRUPO A
GRUPO B
SADIOS
6
7
ACOMETIDOS
6
9
Total
12
16
Testar a hipótese de que a proporção de crianças acometidas entre os dois grupos é igual, ao nível
0,05.
3 - Com o objetivo de investigar a associação entre história de bronquite na infância e presença de
tosse diurna ou noturna em idades mais velhas, foram estudados 1.319 adolescentes com 14 anos.
Destes, 273 apresentaram história de bronquite até os 5 anos de idade sendo que 26 apresentaram
tosse diurna ou noturna aos 14 anos. Número de adolescentes segundo história de bronquite aos 5
anos e tosse diurna ou noturna aos 14 anos de idade. Local X, ano Y.
TOSSE
SIM
NÃO
TOTAL
SIM
26
247
273
BRONQUITE
NÃO
44
1002
1046
TOTAL
70
1249
1319
Holland, WW et al.. Long-term consequences of respiratory disease in infancy.
Journal of Epidemiology and Community Health 1978; 32: 256-9.
Verificar se há ou não uma associação entre bronquite e a tosse noturna ao nível 5% a partir das
duas amostras.
4 - Sugere-se que comer algo muito quente e logo após ingerir algo frio (ou vice versa) expõe
57
os dentes a choque térmico. Um efeito do choque térmico em material vítreo é a indução a
pequenas fissuras que podem acelerar rachaduras mecânicas.
Em um experimento, 50 dentes extraídos, não obturados, foram expostos a choques térmicos.
Outros 50 dentes foram submetidos a água fria mas não a água quente, evitando choque térmico.
Observou-se que dos 50 dentes que foram expostos a choque, 21 quebraram. Entre os 50
dentes que não foram expostos a choque térmico, 11 quebraram. Estes resultados
indicam associação entre choque térmico e resistência mecânica do dente, ao nível 1% e ao nível
5%?
5 - Investigue a existência de associação entre níveis de β-caroteno (mg/L) e hábito de fumar, em
puérperas. (Lembre-se que a hipótese de associação é válida para níveis iguais ou inferior a 5%)
β-caroteno (mg/L)
Baixo (0 – 0,213)
Normal (0,214 – 1,00)
Total
Fumante
56
22
78
Não fumante
84
68
152
Total
140
90
230
6 - Investigue a existência de associação entre níveis de β-caroteno (mg/L) e hábito de fumar, em
puérperas.
β-caroteno (mg/L)
Baixo (0 – 0,213)
Normal (0,214 – 1,00)
Total
Fumante
5
4
9
Não fumante
6
0
6
Total
11
4
15
7 - Investigue a existência de associação entre níveis de β-caroteno (mg/L) e hábito de fumar, em
puérperas.
β-caroteno (mg/L)
Baixo (0 – 0,213)
Normal (0,214 – 1,00)
Total
Fumante
5
4
9
Não fumante
6
2
8
Total
11
6
17
8 – Tome uma moeda e lance-a (I) 20 vezes, (II) 60 vezes. Para cada uma dos casos
(a) Construa a tabela dos eventos cara e coroa.
(b) Decida se a moeda é ou não honesta ao nível de 5% e ao nível de 1%.
9 – Escolhendo 30 alunos de sua sala divida-os em dois grupos, um com 20 alunos e outro com 10
alunos. Peça para cada um dos alunos para escrever em uma folha de papel um número variando de
1 a 5.
(a) Construa a tabela de eventos.
(b) Decida, ao nível de 5%, se há ou não uma associação entre os dois grupos.
10 – Aplique um teste de QI (quociente de inteligência) em três turmas de um mesmo curso.
Decida se há alguma associação ou não entre o período e o grau de QI.
11 - Aplique um teste de QI (quociente de inteligência) em três turmas (mesmo período) de cursos
diferentes.
Decida se há alguma associação ou não entre o curso e o grau de QI.
12 – Pesquise se há ou não uma associação entre o curso escolhido e a renda familiar. Construa
para isso um formulário e faça a pesquisa em todos os cursos (Campus Magnus).
13 – Pesquise se há ou não associação entre a escolha do curso e o gosto pela Matemática.
Crédito: Alguns exercícios foram copiados com algumas modificações do site da UFMT/Instituto de Saúde
Coletiva/USP/Faculdade de Saúde Pública – Programa PQI/CAPES.
58
CAPÍTULO 8
REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
8.1 – INTRODUÇÃO
Após uma coleta de dados referentes a duas ou mais variáveis para uma mesma amostra é
comum tentar estabelecer uma relação matemática entre estas variáveis.
A primeira providência para se determinar a relação é construir um gráfico em um sistema de
coordenadas retangulares obtendo então o que normalmente é chamado de diagrama de
dispersão.
Pelo diagrama, muitas vezes, é possível visualizar a curva que se aproxima dos pontos da
distribuição. Esta curva é denominada curva aproximadora.
Tomando por exemplo as distribuições:
(1)
(2)
59
(3)
(4)
Podese notar que: em (1) não há previsão da curva aproximada; em (2) a curva aproximada é uma
parábola (y = ax2 + bx + c); em (3) a curva aproximadora é uma reta ( y = ax + b) e em (4) a
curva aproximadora é uma hipérbole (y = a/x + b).
O processo de ajustamento de uma distribuição de variáveis a uma curva é denominada
regressão. A relação matemática entre as variáveis pode ser obtida em função de x ou em função de
y.
A equação de y em função de x, y = f(x) é denominada equação de regressão de y sobre x e a
equação de x em função de y, x = f(y) é denominada equação de regressão de x sobre y. É
aconselhável obter as duas equações e verificar qual delas é a de melhor ajuste. As duas formas
também são interessantes quando se deseja interpolar, isto é, dado um valor (fora da tabela) de x
calcular o valor de y a ele associado ou quando dado um valor de y (fora da tabela) determinar um
valor de x associado a ele.
Tendo em vista os objetivos deste curso analisaremos apenas as regressão linear usando o método
dos mínimos quadrados.
Para um estudo mais amplo, veja o conteúdo de Cálculo Numérico contido no site
http://www.cesariof.xpg.com.br .
8.2 – COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS
A avaliação quantitativa do ajuste das variáveis a equação de uma curva é denominada O
coeficiente de correlação. Este coeficiente indica o grau em que as duas variáveis se ajustam
segundo uma equação matemática.
Definição: Sejam x e y duas variáveis pesquisadas e y = f(x) a equação ajustada ao
conjunto de valores obtidos para x e y. Define-se o coeficiente de correlação R entre as duas
variáveis por
R=
60
(yesp – y.)2
 (y – y.)2
Onde: (yesp – y.) – denomina-se variação explicada;  (y – y.) – denomina-se variação total;
yesp são os valores de y calculados a partir da relação matemática determinada para as duas
variáveis, e y é a média dos valores tabelados para y.
A expressão acima, pode também ser escrita na forma
R2 =
variação explicada
variação total
Os valores de R pertencem sempre ao intervalo [-1, 1]. Se R = 1 ou R = -1 as variáveis
apresentam uma correlação perfeita. À medida que R se aproxima de 0 por valores menores ou
maiores que zero, as variáveis não apresentam correlação.
Entretanto, é bom não confundir correlação com dependência. Duas grandezas podem ter um ótimo
grau de correlação (próximo de –1 ou de + 1) e não apresentar nenhuma dependência. Neste caso,
a equação de regressão não tem nenhuma validade.
Tomando por exemplo as variáveis X = eleitores que escolheram um candidato A e Y = eleitores
fumantes selecionados em uma mesma amostra. A tabela amostral pode apresentar um alto grau de
correlação, mas, provavelmente, as duas variáveis não apresentam nenhuma relação de
dependência.
8.3 – COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
A definição do coeficiente de correlação apresentada no item anterior pode ser usada para
qualquer curva de regressão. Entretanto, no seu uso, é necessário determinar a equação dessa
curva antes de calcular o coeficiente.
No caso específico de uma regressão linear, outras fórmulas podem ser usadas. Entre elas
destacamos a fórmula de Pearson, que é dada por
R=
n.(xy) –(x).(y)
[n. x2 – (x)2].[ny2 – (y)2]
Onde n é o número de pares de observações.
Os limites de r são –1 e +1, ou seja –1  r  1, isto é r pertence ao intervalo [-1, +1].
Se:
r = +1, a correlação linear entre X e Y é perfeita positiva
r = -1, a correlação linear entre X e Y é perfeita negativa.
r = 0, não existe correlação linear entre X e Y.
Geralmente se estabelece uma classificação para a intensidade da correlação linear, ou seja, qual é
a qualidade do ajuste dos dados à reta de regressão.
A classificação é assim constituída:
0 < | r | < 0,3, correlação muito fraca, provavelmente a relação matemática se afasta dos dados .
0,3 < | r | < 0,6 correlação relativamente fraca.
0,6 < | r | < 1 dados fortemente correlacionado.
61
A tabela a seguir mostra os dados coletados para as variáveis x e y bem como os elementos
necessários para o cálculo do coeficiente de correlação linear.
O valor do coeficiente de correlação linear é r = 0,999452. Como r > 0 e 0,6 < r < 1, as
variáveis x e y são fortemente correlacionada. Ou seja, a reta de regressão linear, terá declividade
positiva e apresentará um bom ajuste ao conjunto de pontos da tabela.
O coeficiente de correlação pode ser calculado facilmente no EXCEL e no STARCALC.
Para o EXCEL, após digitar a tabela, clique em uma célula fora da área da tabela.
Nesta célula digite =PEARSON( . A seguir posicione o mouse sobre o primeiro valor de x e,
mantendo o botão do mouse pressionado, arraste o ponteiro até o último valor de x.
Na célula deverá ser exibido =PEARSON(C1:C5 onde C1 é a célula contendo o primeiro valor de x e
C5 a célula contendo o último valor de x. Observe que C1 e C5 deve variar de acordo com a
localização dos valores de x.
Digite à frente da fórmula o sinal de ponto e vírgula (;). Selecione os valores de y conforme feito
para selecionar os valores de x. Complete a fórmula com o sinal que fecha parenteses.
A célula deverá então exibir: =PEARSON(C1:C5;D1:D5) dependendo das células usadas na tabela.
Pressione o botão ENTER. Na célula será exibido então o valor do coeficiente de correlação.
O processo usado no STARCALC é semelhante. Substitua apenas o comando PEARSON pelo
comando CORREL.
8.4 – REGRESSÃO LINEAR
O processo de regressão linear consiste em determinar a equação da reta que melhor se
ajusta ao conjunto de pontos de uma distribuição.
No processo de regressão linear é aconselhável expressar
(1) y em função de x obtendo uma equação do tipo y = ax + b.
Neste caso, x é a variável independente e y é a variável dependente, isto é, y é estimado em função
de x. A equação obtida é denominada equação de regressão de y sobre x.
Usa-se essa equação quando se deseja obter valores de y que correspondem a valores de x não
constantes da tabela (interpolação – valores no intervalo da tabela e extrapolação – valores fora do
intervalo da tabela).
(2) x em função de y obtendo uma equação do tipo x = cy + d.
Para esta equação, y é a variável independente e x a variável dependente. Deve ser usada quando
se quer determinar valores de x, quando são dados valores de y que não constam da tabela.
A equação obtida é denominada equação de regressão de x sobre y.
Pode-se demonstrar que a reta, y = ax + b, que melhor se ajusta a uma distribuição de
valores x e y é tal que:
a=
n(xy) – (x)(y)
n.x2 – (x)2
e
62
b=
(y)(x2) – (x)(xy)
n.x2 – (x)2
Para obter a equação de x em função de y, x = cy + d as expressão são semelhantes. Basta
fazer trocar x por y e y por x nas expressões anteriores.
EXEMPLO: Determinar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos da tabela:
Completando a tabela com os valores necessários para os cálulos de a e de b, temos:
Calculando a e b, sendo n = 8 = números de pares:
a = (8*244,193 – 27,30*62,68)/(8*108,31 – 27,302) = 2
b = (62,68*108,31 – 27,30*244,193)/(8*108,31 – 27,302) = 1,01.
Assim, a reta de regressão de y sobre x é y = 2x + 1,01.
EXERCÍCIOS:
1 – A tabela mostra os notas de 10 alunos nas disciplinas Matemática e Física.
(a) determine o coeficiente de correlação linear entre as notas de Matemática e Física e decida se há
ou não uma correlação significativa entre elas.
(b) estabela a equação de regressão de linear da disciplina Física sobre a disciplina Matemática.
(c) estabela a equação de regressão de linear da disciplina Matemática sobre a disciplina Física.
(d) Construa os gráficos (em linha), referentes às duas equações.
Matemática (X)
5,0
8,0
7,0
10,0
6,0
7,0
9,0
3,0
8,0
2,0
Física (Y)
6,0
9,0
8,0
10,0
5,0
7,0
8,0
4,0
6,0
2,0
2 – A tabela mostra a resistência de ruptura (tensão) para colunas de mesma altura e áreas
transversais diferentes.
Área (cm2)
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Resistência (Kg)
640
720
800
880
960
1040
63 1120
1200
1280
1360
(a) verificar se a correlação linear entre os valores tabelados é significativa.
(b) estabela a equação de regressão de linear da resitência sobre a área.
(c) estabela a equação de regressão de linear da área sobre a resistência.
(d) Construa os gráficos (em linha), referentes às duas equações.
3 – Selecione 50 pessoas de diversas idades e aplique um teste de QI a estas pessoas. Verifique se
correlação linear entre o grau de QI e a idade.
Se o módulo do coeficiente de correlação estiver compreendido entre os valores 0,6 e 1, determine
a equação de regressão linear que melhor se ajusta ao conjunto de valores.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) (Werkema): Uma indústria fabricante de eletrodomésticos da chamada “linha branca” , tem
como objetivo resolver o problema apresentado pelo elevado índice de refugo da gaveta de
legumes de um modelo de refrigerador produzido pela empresa. A observação do problema indicou
que a maior parte das gavetas refugadas era considerada defeituosa por apresentarem corte fora de
esquadro. Os técnicos da empresa suspeitaram que a ocorrência do corte de gavetas fora de
esquadro pudesse estar relacionada à variação de tensão na rede elétrica, que poderia prejudicar o
desempenho do equipamento de corte. Para a verificação da validade desta hipótese, foram
coletados dados sobre a tensão na rede elétrica (x) e a variação no corte (y), os quais estão
apresentados na tabela abaixo.
Nº OBS
Tensão
(Volts)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
222,7
217,7
219,4
220,9
214,4
216,5
213,0
221,7
224,7
215,5
220,0
218,6
223,5
217,0
221,5
218,4
213,6
Variação
no Corte
(mm)
15,7
17,0
16,3
16,1
18,6
17,8
19,5
16,0
15,3
18,3
16,3
16,7
15,7
17,4
16,1
16,8
19,3
Nº OBS
Tensão
(Volts)
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
221,2
219,9
222,2
213,9
216,0
218,1
222,0
224,1
214,9
214,2
223,3
216,7
215,3
223,8
220,6
215,8
217,3
219,2
64
Variação
no Corte
(mm)
16,2
16,2
15,9
19,1
18,0
17,0
16,0
15,4
18,6
18,7
15,6
17,6
18,5
15,5
16,1
18,2
17,3
16,5
Verifique a existÊncia de correlação e identifique se possível através da regressão linear uma
equação de forma que a tensão na rede elétrica explique a variação no corte.
2) Uma indústria produz grandes quantidades de alumina (Al2O3 de elevado teor de pureza) para a
fabricação de alumínio metálico. A matéria prima para a fabricação da alumina é a bauxita, um
mineral com cerca de 55% de óxido de alumínio (Al 2O3).
No processo de produção da alumina, o teor da Na2O (óxido de sódio) incluído no produto é um fator
importante do ponto de vista da qualidade da alumina fabricada. O Na 2O é uma impureza, e
portanto é desejável que o seu teor na alumina seja o mais baixo possível.
Com o objetivo de minimizar o teor da Na2O incluído no produto durante a etapa de precipitação,
um dos estágios do processo de produção da alumina, a indústria iniciou trabalhos para melhoria.
Os técnicos da empresa sabiam que a razão Al 2O3 / NaOH era um dos fatores responsáveis pelas
variações no teor de Na2O da alumina. Nesta razão, o símbolo Al 2O3 está representando a massa de
óxido de alumínio proveniente da bauxita que entra no processo de produção, e o símbolo NaOH se
refere à massa de hidróxido de sódio, um dos reagentes do processo, que é empregada na
fabricação de alumina.
Durante a etapa de observação do problema, para se conhecer melhor a relação entre estas duas
variáveis (variável resposta: Na2O e variável preditora: Al2O3 / NaOH), os técnicos da indústria
coletaram os dados apresentados na tabela abaixo. A partir destes dados, avaliar a relação linear
entre essas duas variáveis.
Tabela: Teor de Na2O incluído na Alumina em Função da Razão Al 2O3 / NaOH
Índice Razão
Al2O3 /
NaOH
1
0,645
Teor Na2O Índice Razão
(%)
Al2O3 /
NaOH
0,46
14
0,635
Teor Na2O
(%)
2
0,643
0,46
15
0,64
0,41
3
0,648
0,45
16
0,646
0,43
4
0,639
0,44
17
0,636
0,41
5
0,641
0,45
18
0,639
0,4
6
0,648
0,47
19
0,634
0,39
7
0,635
0,42
20
0,636
0,38
8
0,646
0,47
21
0,643
0,4
9
0,646
0,45
22
0,647
0,43
10
0,643
0,44
23
0,637
0,42
11
0,641
0,4
24
0,631
0,37
12
0,643
0,42
25
0,633
0,41
13
0,637
0,42
0,42
3) Uma empresa localizada na cidade de São Paulo, produtora de pneumáticos, possui uma rede
distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que
ligava o preço do produto e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo. Os dados
são os seguintes:
Preço
Distânci
a (Km)
36
50
48
50
70
42
58
91
69
240
150
350
100
175
485
335
(a) Calcule o coeficiente de correlação;
(b) Estimar a reta de regressão;
(c) Calcule um intervalo de confiança para o preço quando a distância é 250Km.
(d) A empresa tem uma filial no Rio de Janeiro e o preço de venda do pneumático lá produzido, na
cidade B, é de R$160,00. Sabendo-se que a distância entre São Paulo e a cidade B é de 250 km,
pergunta-se qual produto deve ser vendido: o produzido no Rio de Janeiro ou o fabricado em São
Paulo.
65
4) Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha financiado um estudo dos gastos com
mercadoria para famílias de 4 pessoas. A investigação se limitou a famílias com renda líquida entre
$8.000 e $20.000. Obteve-se a seguinte equação:
Y = -200 + 0,10X
onde: Y = despesa anual estimada com mercadorias
X = renda líquida anual
Suponha que a equação proporcione um ajustamento razoavelmente bom .
a) estime a despesa de uma família de quatro com renda de $15.000. Resp.: 1.300,00
b) um dos vice-presidente da firma ficou intrigado com o fato de a equação aparentemente sugerir
que uma família com $2.000 de renda não gaste nada em mercadorias. Qual a explicação?
5) Os dados a seguir dão um custo líquido por real de prêmio (Y) e o tempo de apólice em meses
(X).
X
8
57
14
66
Y
1,26
0,61
1,11
0,67
X
29
45
70
55
Y
1,15
0,88
0,58
0,70
X
24
39
40
47
Y
1,14
0,99
0,74
0,81
(a) Analise a correlação entre as variáveis;
(b) Analise a correlação pelo método visual;
(c) Estimar e plotar a reta de regressão;
(d) Estime o custo líquido por real de prêmio para um tempo de 50 anos.
6) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A:
X
Y
11
13
14
14
19
18
19
15
22
22
18
17
30
24
31
22
34
24
37
25
(a) Verifique pelo diagrama, se existe correlação retilínea.
(b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.
(c) Escreva, em poucas linhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas variáveis.
7) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria:
ANOS
1980
1981
1982
1983
1984
QT(ton)
34
36
36
38
41
ANOS
1985
1986
1987
1988
-
QT(ton)
41
42
43
44
-
Calcule:
a) O coeficiente de correlação; b) A reta ajustada;
8) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia
conforme a temperatura:
Temperatura (°C)
Comprimento (mm)
10
1003
15
1005
20
1010
25
1011
30
1014
Determine:
(a) O coeficiente de correlação;
(b) A reta ajustada a essa correlação;
(c) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C;
(d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C.
9) A tabela abaixo apresenta os pesos respectivos, X e Y, de uma amostra de 12 pais e de seus
filhos mais velhos.
(a) construir um diagrama de dispersão;
(b) Determinar e traçar a equação da reta de X para Y;
66
(c) Determinar e traçar a equação da reta de Y para X;
Peso X dos
pais (Kg)
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
Peso Y dos
filhos (kg)
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
Crédito: ASPER – Associação Paraibana de Ensino Superior - Professora: Cristiana Vidal Accioly
ANEXO I
TESTE DE QI (I)
(1) Este teste pode ser aplicado em computador (Site – http://www.cesariof.xpg.com.br). Neste
caso, as pontuações serão obtidas automaticamente.
(2) Para aplicação em formulário de papel, imprima o teste mas não imprima a
classificação e a distribuição de pontos de modo a não alertar o examinando.
1. Que objeto não pertence a este grupo?
( ) Satélite ( ) Sol ( ) Planeta ( ) Cometa
( ) Asteróide
2. Um frasco contém um casal de melgas. As melgas reproduzem-se e o seu número dobra todos os
dias. Em 50 dias o frasco está cheio, em que dia o frasco esteve meio cheio?
( ) 25 ( ) 24 ( ) 26 ( ) 49
3. Que palavra é o oposto de ACORDADO?
( ) Sonhando ( ) Descansado ( ) Adormecido
( ) Relaxado
( ) Cansado
4. Se alguns Amerdis são Mailotes e alguns Mailotes são Perdalocos, então, algum Amerdis são
definitivamente Perdalocos. ESTA ORAÇÃO É LOGICAMENTE:
( ) Verdadeira ( ) Falsa ( ) Nem uma coisa nem outra
5. Usando três cores diferentes é possível colorir os lados de um cubo de forma que dois lados da
mesma côr nunca se toquem?
( ) Verdadeiro ( ) Falso
6. Se reorganizar as letras "TBREUEI", obterá o nome de um:
( ) Oceano ( ) País ( ) Estado ( ) Cidade ( ) Animal
7. João é mais alto que o Pedro, e o Bernardo é menor que o João.
Qual das declarações seguintes será a mais precisa?
( ) o Bernardo é mais alto que o Pedro.
( ) o Bernardo é mais baixo que o Pedro.
( ) o Bernardo é tão alto quanto o Pedro.
( ) é impossível saber se o Bernardo ou o Pedro é mais alto.
8. Madalena tinha vários biscoitos. Depois de comer um, deu metade do que restou para a irmã.
Depois de comer outro biscoito, deu a metade do que restou ao irmão. Agora só lhe restam cinco
biscoitos. Com quantos biscoitos começou ela?
67
( ) 11
( ) 22 ( ) 23
( ) 45 ( ) 46
9. Num concurso de saltos, Octávio foi, simultaneamente, o 13º melhor e 13º pior. Quantas pessoas
estavam em competição?
( ) 13 ( ) 25 ( ) 26 ( ) 27 ( ) 28
10. Que objeto não pertence a este grupo?
( ) Castelo ( ) Espada ( ) Fortaleza ( ) Capacete ( ) Proteção
11. Se algumas vacas tiverem chifres. E todos os porcos comerem animais com chifres. Quais das
seguintes afirmações podem ser verdade:
( ) Todas as vacas seriam comidas por porcos.
( ) Todos os porcos seriam comidos por vacas.
( ) Algumas vacas seriam comidas por porcos.
( ) Nenhuma das anteriores.
12. Se o Catarino, ao ver-se ao espelho, tocar a sua orelha esquerda, a imagem do Catarino toca
também na orelha certa.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
13. Bernardino é mais alto que Joaquim. Renato é mais baixo que o Bernardino. Então, Joaquim é o
mais alto dos três.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
14. Se todos os machos são verdes, e todas as fêmeas forem vermelhas...
( ) Todos os meninos são rosas
( ) Todas as meninas são laranja
( ) Todos os meninos são verdes
( ) Todas as meninas são verdes
15. Um avião com 100 pessoas a bordo caiu junto à fronteira de Espanha. A cabine da primeira
classe caiu na Espanha e a cabine principal caiu no lado português.
Que país têm a obrigação de enterrar os 18 sobreviventes portugueses que viajavam na primeira
classe?
( ) Portugal ( ) Espanha ( ) Nenhum
( ) O país onde está registrado o avião
16. Se dois mecanógrafos podem digitar duas páginas em dois minutos, quantos mecanógrafos
serão necessários para digitar 18 páginas em seis minutos?
( ) 3 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 12 ( ) 36
17. Pêra está para maçã como batata está para:
( ) Banana ( ) Rabanete ( ) Morango ( ) Pêssego ( ) Alface
18. Os cães verdes são animais verdadeiros.
Todos os animais verdadeiros precisam de comida.
Significando:
( ) O meu cão é verde porque precisa de comida.
( ) Cães todos verdes precisam de comida.
( ) Certos cães verdes não precisam de comida.
( ) Alguns cães verdes não são animais verdadeiros.
de 155 a 161 - Gênio
de 135 a 154 - Muitíssimo inteligente
de 110 a 135 - Muito inteligente
71 a 109 - Média
menos de 70 - Abaixo da média.
68
Pontos atribuídos aos itens:
1 – 5; 2 – 12; 3 – 7; 4 – 9; 5 – 12; 6 – 6; 7 – 9; 8 – 8; 9 – 8; 10 – 7; 11 – 11; 12 – 10; 13 – 10;
14 – 14; 15 – 5; 16 – 13; 17 – 4; 18 – 11.
69
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