Introdução à Estatística
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Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] EDITAL RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO E CONHECIMENTOS DE ESTATÍSTICA: 1. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios; dedução de novas informações das relações fornecidas, e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. 2. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. 3. Lógica de Argumentação. 4. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. 5. Séries Estatísticas. 6. Distribuição de Frequências - Distribuição Normal. 7. Medidas de Dispersão e Posição. 8. Medidas de Variabilidade. 9. Noções Básicas de Probabilidades. Amostragem - Principais Tipos de Amostras. Item Descrição Modelo de questões ESAF 1 Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios; dedução de novas informações das relações fornecidas, e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. ESAF_Cargo: Auditor Fiscal do Tesouro Nacional - 1996) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, o outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza. O carro de César é um Santana. O carro de Bernardo não é verde e não é Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são respectivamente: a) cinza, verde e azul. b) azul, cinza e verde. c) azul, verde e cinza. d) cinza, azul e verde. e) verde, azul e cinza. 2 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. ESAF_ Cargo: Agente de Fazenda - Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro – 2010) A partir da lei de formação da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., calcule o valor mais próximo do quociente entre o 11° e o 10° termo. a) 1,732 b) 1,667 c) 1,618 d) 1,414 e) 1,5 Lógica de Argumentação. ESAF_Cargo: Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil - 2012) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. ESAF_Cargo: Assistente Técnico-Administrativo - ATA – MF - 2012) Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor. Séries Estatísticas Das afirmações: I. Tanto o histograma como o polígono de freqüência são gráficos próprios da distribuição de freqüência, e devem ser feitos só quando a variável for contínua. II. Tanto o polígono de freqüência como o histograma são gráficos próprios da distribuição de freqüência, e só devem ser feitos quando a variável for discreta. III. Tanto o histograma como o polígono de freqüência são gráficos de análise e podem ser feitos para qualquer tipo de variável, desde que ela seja quantitativa. IV. O histograma é um gráfico em colunas, mas nem todo gráfico em colunas é um histograma. a) II e III são falsas b) a IV é falsa c) apenas I é verdadeira. d) todas são verdadeiras e) todas são falsas 3 4 5 [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 1 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística 6 7 Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Distribuição de Frequências - Distribuição Normal. ESAF_Cargo: Especialista em Regulação – Aneel - 2006) Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Sabe-se que a probabilidade de X ser maior do que 1,96 desvio padrão é igual a 2,5%. Desse modo, se Y é uma variável normal com média 10 e variância 4, então probabilidade de Y ser maior do que 6,08 e menor do que 10 é igual a: (a) 97,5% (b) 95% (c) 47,5% (d) 5% (e) 90% Medidas de Dispersão e Posição. ESAF_ATPS_2012) Em um experimento, obteve-se uma amostra de 15 valores da variável discreta x. A amostra é dada pelo conjunto {1, 2, 3, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 4, 5}. Assim, para esta amostra, a média aritmética, a moda, a mediana e o tipo de distribuição obtidas são, respectivamente: a) 3, 5, 3, assimétrica positiva b) 3, 5, 3, assimétrica negativa c) 3, 5, 3, simétrica d) 3, 3, 3, simétrica e) 3, 3, 5, assimétrica negativa ESAF_TCU) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das localidades B: Localidade Média Desvio-Padrão A 50 10 B 75 15 8 Ae Medidas de Variabilidade. Assinale a opção correta: a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15]. b) A renda da localidade A é mais homogênea que a da localidade B. c) O coeficiente de variação é 50/75. d) A renda da localidade B é mais homogênea que a renda a localidade A. e) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais. Noções Básicas de Probabilidades. Amostragem - Principais Tipos de Amostras. 9 1 ESAF_Analista de Finanças e Controle – AFC/STN/2013) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: a) se A e B são eventos independentes, então P(A B) = P(A) + P(B). b) se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) ≠ 0, então P(A B|C) = P (A|C) + P(B|C). c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do experimento. d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(AB C) = P(A). P(B). P(C). e) P(A) + P( A ) = 0. Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas, ou eventos fictícios; dedução de novas informações das relações fornecidas, e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. 1. ESAF_Cargo: Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil - AFRFB – 2009) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja – ; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra, calopsita. b) cão, calopsita, cobra. c) calopsita, cão, cobra. d) calopsita, cobra, cão. e) cobra, cão, calopsita. 2. (AFC/SFC 2000) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 2 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a. Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo. b. Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo. c. Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo. d. Biologia em Belo Horizonte, Medicina em Florianópolis, Psicologia em São Paulo. e. Medicina em Florianópolis, Biologia em São Paulo, Psicologia em Belo Horizonte. 3. (ESAF ANEEL 2006) Os filhos de Matilde, Benta e Penélope são, não necessariamente nesta ordem, Marcos, Beto e Paulo. Uma delas é irmã de Oscar, a outra é irmã de Fernando, e a outra é irmã de Sérgio. Matilde é irmã de Oscar , Penélope é mãe de Paulo.Benta não é irmã de Sérgio e não é mãe de Marcos. Assim, os filhos e os irmão de Benta e Penélope são respectivamente, a. Beto e Sérgio, Paulo e Fernando b. Beto e Fernando, Marcos e Sérgio c. Paulo e Fernando, Beto e Sérgio d. Marcos e Sérgio, Paulo e Fernando e. Beto e Fernando, Paulo e Sérgio 4. (ESAF AFC CGU 2006) Três meninos estão andando de bicicleta. A bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do outro é branca. Eles vestem bermudas destas mesmas três cores, mas somente Artur está com bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo, a) a bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta. b) a bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é preta. c) a bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é branca. d) a bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos é branca. e) a bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos é azul. 5. (ESAF AFC CGU 2006) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respectivamente, a) psicóloga, economista, arquiteta. b) arquiteta, economista, psicóloga. c) arquiteta, psicóloga, economista. d) psicóloga, arquiteta, economista. e) economista, arquiteta, psicóloga. 6. (ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo: b. o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. c. o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos; d. os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos; e. os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco; [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 3 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] f. o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. 7. (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul, 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, do corsa e do fiesta são, respectivamente: a. branco, preto, azul; b. preto, azul, branco; c. azul,branco, preto; d. preto, branco, azul; e. branco, azul, preto. 8. (ESAF MPU 2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a. professor, médico, músico b. médico, professor, músico c. professor, músico, médico d. músico, médico, professor e. médico, músico, professor 9. (ESAF AFRF 1996) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada á esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada nomeio diz: “eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”, a que está sentada á esquerda, a quês está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente: a. Janete, Tânia e Angélica b. Janete, Angélica e Tânia c. Angélica, Janete e Tânia d. Angélica, Tânia e Janete e. Tânia, Angélica e Janete 10. (ESAF AFC 1996) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia- foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria ás vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente, a. preto, branco, azul b. preto, azul, branco c. azul, preto, branco d. azul, branco, preto e. branco, azul, preto [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 4 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 11. ESAF_ Cargo: Analista - MPU – 2004) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fôra eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para, a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa. b) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia. c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa. d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô. e) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô. 12. (ESAF MPU 2004 TEC) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas, Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira, Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca encontra-se à frente de Paulo. Assim, a. Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. b. Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c. Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. d. Norton é carioca e Vasconcelos é Paulista. e. Norton é baiano e Vasconcelos é Paulista 2 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais – operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. 13. (ESAF TFC 2000) Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. a) 52/68 b) 54/66 c) 56/64 d) 58/62 e) 60/60 14. (TTN) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em quantos dias? a) 90 b) 84 c) 72 d) 128 e) 60 15. (ESAF – AUX JUD) Se 20 datilógrafos fazem 2000 páginas em 10 dias de 8 horas, quantos datilógrafos serão necessários para fazer 3.000 páginas do mesmo trabalho, em 8 dias de 12 horas? [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 5 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística a) b) c) d) e) Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 15 22 24 25 18 16. (ESAF) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4, então a razão de 2X – Y para X, em termos percentuais, é igual a: a) b) c) d) e) 75% b) 25% c) 57% d) 175% e) 200% 17. Se A, B e C são inteiros positivos e consecutivos tais que A < B < C, qual das seguintes expressões corresponde, necessariamente, a um número inteiro ímpar? a) ABC b) A + B + C c) A + BC d) (AB) + (BC) e) (A + B) . (B + C) 18. (TTN ESAF) Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? a. b. c. d. e. 7h 40 min 7h 4h 5h 6h e 24 min 19.(ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingindo 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, à contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a: a) R$ 25,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 60,00 3 Lógica de Argumentação. 20.(ESAF) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é: a) “Todas as mulheres são boas motoristas”. b) “Algumas mulheres são boas motoristas”. c) “Nenhum homem é bom motorista”. d) “Todos os homens são maus motoristas”. e) “Ao menos um homem não é bom motorista”. Gabarito: E [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 6 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 21. (ESAF) A negação da afirmação condicional “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva; b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva; c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva; d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva; e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. Gabarito: E 22. (ANEEL ANALISTA 2006) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e)se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. Gabarito: C 23. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira e)Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista Gabarito: E 24. (ESAF) Dizer que “André é Artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista e)André não é artista e Bernardo é engenheiro. Gabarito: D 25. (AFC ESAF 2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto Gabarito: A 26. (SEFAZ MG 2005 ESAF) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em Paris” b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris” c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris” d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris” [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 7 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] e) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris” Gabarito: D 27. (ANEEL ESAF TA 2006) Uma sentença logicamente equivalente a”Se Ana é bela, então, Carina é feia” é a) Se Ana não é bela, então, Carina não é feia b) Ana é bela ou Carina não é feia c) Se Carina é feia, Ana é bela d) Ana é bela ou Carina é feia e) Se Carina não é feia, então, Ana não é bela Gabarito: E 28. (ANEEL ESAF TA 2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar c) Elaine não ensaiar é condição necessária par a Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar Gabarito: E 29. (AFC-STN 2005 ESAF) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. Gabarito: E 30. ESAF_Cargo: Técnico Aministrativo / DNIT/2012) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente equivalente a: a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico. b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico. c) Paulo é médico ou Ana trabalha. d) Ana trabalha e Paulo não é médico. e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha. 31. (ESAF AFC CGU 2006) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Podese, então, concluir corretamente que a) Ana não é artista e Carlos não é compositor. b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma. d) Ana não é artista e Mauro gosta de música. e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa. [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 8 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística 4 Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. 32. (ESAF AFTN) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados 33. (ESAF) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao Bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia. b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia. c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz. d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. 5 Séries Estatísticas 34. ESAF) De acordo com a distribuição de frequência transcrita a seguir, pode-se afirmar que a moda da distribuição: Pesos (kg) 02 I----------- 04 04 I----------- 06 06 I----------- 08 08 I----------- 10 10 I----------- 12 Total Frequência Simples 9 12 6 2 1 30 a) Pertence a um intervalo de classe distinto do da média aritmética. b) Coincide com o limite superior de um intervalo de classe. c) Coincide com o ponto médio de um intervalo de classe. d) É maior do que a mediana e do que a média. e) É um valor inferior à média aritmética e à mediana. GABARITO: E 35. (TRF) Assinale a alternativa correta, considerando a série 8, 5, 14, 10, 8 e 15: a) a média aritmética é 10 e a mediana é 12. b) a amplitude total é 7 e a moda é 8. c) a mediana é 9 e a amplitude total é 10. d) a média aritmética é 10 e a amplitude total é 7 e) a mediana é 12 e a amplitude total é 7. GABARITO: C [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 9 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 36. (BACEN) Calcular a mediana da seguinte série: 46 - 49 - 54 - 47 - 58 - 55 - 65 - 62 - 46 – 65 a) 54,7 b) 54,5 c) 54 d) 56,5 e) 58 GABARITO: B 37. (AFC) Os valores da mediana e da moda da série: 2 3 3 4 4 5 6 6 6 7 7 9 11 11 12 13 13 13 13 15 são respectivamente: a) 4 e 15 b) 7 e 12 c) 6 e 13 d) 7 e 13 e) 9 e 13 GABARITO: D 38. (SEFAZ - SP) Considere o seguinte conjunto de medidas: 21, 18, 26, 37, 23, 43, 24, 47 ,18, 24 Então, a mediana e a média são, respectivamente: a) 33 e 30 b) 24 e 28,1 c) 23 e 30,3 d) 24 e 28,5 e) 33 e 28,9 GABARITO: B 39. (ICMS – CE – 2007- ESAF) O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: a) 3, 6 e 5. b) 3, 4 e 5. c) 10, 6 e 5. d) 5, 4 e 3. e) 3, 6 e 10. GABARITO: A 40. (SEFAZ-APOFP/SP – 2009 - ESAF) Determine a mediana das seguintes observações: 17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9. a) 13,5 b) 17 c) 14,5 d) 15,5 e) 14 GABARITO: B [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 10 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 41. (AFRFB – 2009 - ESAF) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. b) A moda e a média das idades são iguais a 27. c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. GABARITO: E 42. Esaf) A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda: a) Têm intervalos de classe distintos. b) Sempre são normais. c) Tipicamente são do tipo uniforme. d) Geralmente se mostram bastante assimétricos. e) Sempre são bimodais GABARITO: D 43. IGEPP 2013_Simulado ATPS) Beatriz fez sete ligações de seu aparelho celular. Os tempos, em minutos, de cada ligação, estão relacionados a seguir: 30; 15; 7; 20; 35; 25; 15 Sejam a, b e c, respectivamente, os tempos médio, modal e mediano do rol de tempos apresentado. É correto afirmar que (A) a < b < c (B) a < c < b (C) b < a < c (D) b < c < a (E) c < a < b GABARITO: D 44. ESAF_ATPS_2012) Em um experimento, obteve-se uma amostra de 15 valores da variável discreta x. A amostra é dada pelo conjunto {1, 2, 3, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 4, 5}. Assim, para esta amostra, a média aritmética, a moda, a mediana e o tipo de distribuição obtidas são, respectivamente: a) 3, 5, 3, assimétrica positiva b) 3, 5, 3, assimétrica negativa c) 3, 5, 3, simétrica d) 3, 3, 3, simétrica e) 3, 3, 5, assimétrica negativa GABARITO: C 45. (GESTOR MG/ – ESAF) Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de observações (91,91.....140,145,158) do atributo X. Assinale a opção que dá a mediana das observações de X. [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 11 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111 GABARITO: C 46. (AFPS/ – ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde às observações (82,...,158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor mediano de X. a) 105 b) 110 c) 104 d) 107 e) 115 [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 12 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística 7 8 Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Medidas de Dispersão e Posição. Medidas de Variabilidade. 47. (TRF/2006 – ESAF) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a média. a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. b) geométrica das velocidades médias observadas. c) aritmética das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. e) harmônica dos inversos das velocidades médias GABARITO: D 48. (AFRF/2005 – ESAF) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): a) G ≤ H ≤ X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. b) G ≤ X ≤ H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. c) X ≤ G ≤ H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. d) H ≤ G ≤ X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. e) X ≤ H ≤ G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. GABARITO: D 49. (SEFAZ CE 2007 - ESAF) Indicando por: - x : a média aritmética de uma amostra; - mg : a média geométrica da mesma amostra; e - mh : a média harmônica também da mesma amostra. E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: a) x < mg < mh b) x > mg > mh c) mg < x < mh d) x < mg = mh e) x = mg = mh 50. ESAF- MI - CENAD – 2012- Cargo: Estatístico - Campo de atuação: Estatística) A distribuição de frequências em classes do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amostra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir. Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais próximo da média amostral do salário mensal. a) 14,5 b) 15,0 c) 15,8 d) 16,1 e) 16,5 GABARITO: B [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 13 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 51. ESAF- MI - CENAD – 2012- Cargo: Estatístico - Campo de atuação: Estatística) Determine o valor mais próximo da mediana do salário mensal da distribuição de frequências apresentada acima, interpolando linearmente dentro das classes, se necessário. a) 15 b) 14,3 c) 13,7 d) 12,3 e) 7,3 GABARITO: D 52. (AFRF) Frequências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais da Cia. Alfa. Classes de salário Frequências acumuladas 03 ; 06 12 06 ; 09 30 09 ; 12 50 12 ; 15 60 15 ; 18 65 18 ; 21 68 Suponha que a tabela de frequências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a frequência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponda a este número. A) 150 B) 120 C) 130 D) 160 E) 180 GABARITO: E As notas finais de Analistas de Finanças e Controle da Secretaria do Tesouro Nacional no curso de capacitação na ESAF estão representadas no gráfico abaixo. Sobre este gráfico, responda as quatro (04) questões a seguir. 53. IGEPP 2013_Simulado ATPS adaptado) A média da turma foi, aproximadamente, igual a: (A) 5,8 (B) 6,0 (C) 6,2 (D) 6,4 (E) 6,6 GABARITO: E [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 14 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 54. IGEPP 2013_Simulado ATPS adaptado) A nota mediana da turma foi de: (A) 4,5 (B) 6,0 (C) 6,5 (D) 7,0 (E) 8,0 GABARITO: D 55. IGEPP 2013_Simulado ATPS adaptado) A nota modal da turma foi: (A) 8,0 (B) 7,0 (C) 6,0 (D) 5,0 (E) 4,0 GABARITO: B 56. IGEPP 2013_Simulado ATPS adaptado) Pode-se afirmar que os alunos que superam a nota 7,0 correspondem a: (A) 20 % (B) 15 % (C) 10 % (D) 9 % (E) 8 % GABARITO: A 57. (AFRF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes 070 I----- 090 090 I----- 110 110 I----- 130 130 I----- 150 150 I----- 170 170 I----- 190 190 I----- 210 P (%) 5 15 40 70 85 95 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X, menores ou iguais a 145. A) 62,5% B) 70,0% C) 50,0% D) 45,0% E) 53,4% GABARITO: A [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 15 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 58. (AFRF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1.000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguintes: Classes Frequências 29,5 I----------- 39,5 4 39,5 I----------- 49,5 8 49,5 I----------- 59,5 14 59,5 I----------- 69,5 20 69,5 I----------- 79,5 26 79,5 I----------- 89,5 18 89,5 I----------- 99,5 10 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população, com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. A) 700 B) 638 C) 826 D) 995 E) 900 GABARITO: C 59. (AFRF) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. CLASSES 02.000 I----------04.000 I----------06.000 I----------08.000 I----------10.000 I----------12.000 I----------- 04.000 06.000 08.000 10.000 12.000 14.000 FREQUÊNCIAS ACUMULADAS (%) 5 16 42 77 89 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 b) 12.000 c) 12.500 d) 11.000 e) 10.500 GABARITO: E (AFRF) Para efeito das questões de nº 60 e 61, faça uso da tabela de frequências abaixo. Frequências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais da Cia. Alfa. Classes de salário 03 ; 06 06 ; 09 09 ; 12 12 ; 15 15 ; 18 18 ; 21 [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL Frequências acumuladas 12 30 50 60 65 68 16 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 60. Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação desta estatística, calculada com base na distribuição de frequências. A) 9,93 B) 15,00 C) 13,50 D) 10,00 E) 12,50 GABARITO: A 61. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de frequências. A) 12,50 B) 9,60 C) 9,00 D) 12,00 E) 12,10 GABARITO: B (AFRF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Obs.: As questões nº 62 a 64 refere-se a esses ensaios. Classes 070 I----- 090 090 I----- 110 110 I----- 130 130 I----- 150 150 I----- 170 170 I----- 190 190 I----- 210 P (%) 5 15 40 70 85 95 100 62. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. A) 140,10 B) 115,50 C) 120,00 D) 140,00 E) 138,00 GABARITO: E 63. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. A) 138,00 B) 140,00 C) 136,67 D) 139,01 E) 140,66 GABARITO: C 64. Assinale a opção que dá o valor modal amostral de X. a) 132 b) 135 c) 137 d) 140 e) 145 GABARITO: B [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 17 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Para solução das questões de nº 65 a 67, utilize o enunciado que segue. (AFRF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100, obtida de uma população de 1.000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguintes: Classes 29,5 I----------- 39,5 39,5 I----------- 49,5 49,5 I----------- 59,5 59,5 I----------- 69,5 69,5 I----------- 79,5 79,5 I----------- 89,5 89,5 I----------- 99,5 Frequências 4 8 14 20 26 18 10 65. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. A) 71,04 B) 65,2 C) 75,03 D) 68,08 E) 70,02 GABARITO: A 66. Assinale a opção que corresponde à média amostral do atributo X. a. 69,5 b. 70 c. 70,5 d. 71 e. 71,5 GABARITO: A 67. Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X, no conceito de Czuber. A) 69,5 B) 73,79 C) 71,2 D) 74,53 E) 80,10 GABARITO: B 68. (TRF/2006 – ESAF) No gráfico abaixo, as colunas representam as frequências relativas do número de aparelhos de rádio por domicílio em uma certa área da cidade: [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 18 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] O exame da forma da distribuição das frequências relativas permite concluir corretamente que, nesse caso, e para essa variável: a) A moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média. b) A média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana. c) A média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda. d) A moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana. e) A mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que a média. GABARITO: C 69. (IRB – ESAF) Sendo a moda menor que a mediana e, esta, menor que a média, pode-se afirmar que se trata de uma curva a) Simétrica. b) Assimétrica, com frequências desviadas para a direita. c) Assimétrica, com frequências desviadas para a esquerda. d) Simétrica, com frequências desviadas para a direita. e) Simétrica, com frequências desviadas para a esquerda. GABARITO: B 70. (SEFAZ – RIO – 2009 - ESAF) Para comparar as rendas de dois grupos de pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir: A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. Assinale: (A) se somente a afirmativa I for verdadeira. (B) se somente a afirmativa II for verdadeira. (C) se somente a afirmativa III for verdadeira. (D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. (E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. GABARITO: B 9 Noções Básicas de Probabilidades. Amostragem - Principais Tipos de Amostras. ______________________________________________________________________ AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. . .AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos. [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 19 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, supondo, que, dos 100 alunos, 47 sejam meninos e 53 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos: SEXO MASC. FEMIN. Total POPULACÃO 38 62 100 10 % AMOSTRA 3,8 4 6,2 6 10,0 10 Numeramos então os alunos de 01 a 100, sendo 01 a 38 meninos e 39 a 100, meninas e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios. . AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA: Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. Ex: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS) Ex: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. MÉTODOS NÃO PROBABILÍSITCOS São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população. AMOSTRAGEM ACIDENTAL Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. Ex: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades; AMOSTRAGEM INTENCIONAL De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. Ex: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram. _______________________________________________________________________________ IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 20 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 71. (ESAF TFC) Em um campeonato participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De quantas a) b) c) d) e) maneiras diferentes poderemos ter a classificação para os três primeiros lugares? 240 270 420 720 740 72. (ESAF – MPU 2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados, e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1.112 e 1.152 b) 1.152 e 1.100 c) 1.152 e 1.152 d) 384 e 1.112 e) 112 e 384 73. (ESAFMPOG 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeiras vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56 74. (ESAFAFRE-MG 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 75. (ESAF AFT 2006) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenha, idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferentes das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionadas a partir deste conjunto de candidatas é igual a, a) 120 b) 1220 c) 870 d) 760 e) 1.120 IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 21 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 76.(ESAF TCU – 2000) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262103 c) 226210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3 77. (ESAF AFC/STN – 2002) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842 78. (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma, podem ser formadas com 10 funcionários de uma empresa? a) 120 b) 210 c) 720 d) 4050 e) 5040 79.(ESAF AFTN-98) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se podem formar com 3 homens e 2 mulheres é: a) 5400 b) 165 c) 1650 d) 5830 e) 5600 80.(ESAF FT – 1996) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneira pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 22 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 81.(ESAF GESTOR – 2000) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem juntas é igual a: a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 82.(ESAF TFC-2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) 128 b) 495 c) 545 d) 1485 e) 11.880 83.(ESAF ANEEL 2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650 84.(ESAF ANEEL 2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com vértice em quaisquer dos 25 pontos é igual a: a) 2.180 b) 1.180 c) 2.350 d) 2.250 e) 3.280 85. (ESAF ANEEL 2004) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas que esta fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos é igual a a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8! 86. (ESAF) Num sorteio, concorrem 50 bilhetes com número de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. a probabilidade de o número sorteado ser 25 é: a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 30% IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 23 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 87. (ESAF) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 88. (TFC ESAF 2000) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos pra o jogo de futebol é: a) 123,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30% 89. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em paris é 1/7. Carlos então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 5/7 e) 4/7 90. (ESAF) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e a oura face, mostrada ao jogador ser amarela é igual: a) 16 b) c) d) e) 1 3 2 3 4 5 5 6 91. (ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é igual a 2 3 . Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número x do intervalo {x N / 1 x 3} : se ocorrer coroa seleciona-se aleatoriamente um número y do intervalo { y N / 1 y 4} , onde N representa o conjunto dos números naturais. Assim a probabilidade de ocorrer um número par é igual a: IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 24 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística a) b) c) d) e) Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 7 18 1 2 3 7 1 27 2 9 92. (ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3 5 , é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 15 b) c) d) e) 3 10 2 5 3 5 7 10 93. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é anos é a) b) c) d) e) 4 5 3 5 . A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 . Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: 2 25 8 25 2 5 3 25 4 5 94. (ESAF MPU 2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a a) 0,15. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,20. e) 0,40. 95. (TFC ESAF CGU 2008) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 25 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 96. (ESAF ANEEL 2004) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos nascimento de menino e nascimento de menina são eventos independentes. Deste modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a a) 2/3. b) 1/8. c) 1/2. d) 1/4. e) 3/4. 97. (ESAF MPU 2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624 b) 0,064 c) 0,216 d) 0,568 e) 0,784 98. (ESAF MPU 2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 605 das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a: a) 0,62 b) 0,60 c) 0,68 d) 0,80 e) 0,56 99.(ESAF MPU 2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus é igual a: a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0,65 100. (AFC ESAF 2001) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chagar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chagar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) b) c) d) e) 10% 30% 40% 70% 82,5% IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 26 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] FORMULÁRIO Média Mediana n x xi i 1 ; n xi x n ou md = li + n x xi fi i 1 ; fi ou x xi fi fi n FACA 2 . h fmed Moda 1 md = li + ____________________; . h mo = li + 1 2 Variância Populacional n 2 xi x i 1 2 n 2 1n xi 2 n i 1 nx i i 1 n 2 x i n 2 2 i 1 n x 2 média aritmética média geométrica média harmônica . MEDIDAS DE ASSIMETRIA distribuição com classes simétrica : Média = Mediana = Moda Escalas de assimetria: distribuição com classes Assimétrica à esquerda ou negativa : Média < Mediana < Moda distribuição com classes Assimétrica à direita ou positiva : Mediana > Moda Média > | AS | < 0,15 assimetria pequena 0,15 < | AS | < 1 assimetria moderada | AS | > 1 assimetria elevada Obs: Suponhamos AS = - 0,49 a assimetria é considerada moderada e negativa Coeficiente de assimetria: A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por esse motivo, daremos preferência ao coeficiente de assimetria de Person: Suponhamos AS = 0,75 a assimetria é considerada moderada e positiva As = 3 ( Média - Mediana ) / Desvio Padrão IGEPP Asa Sul: Av. W2 SUL, Qd.507, Bl. B, loja 22. Telefones: (61) 3443.0369 - - 3242.8695 - 8252.0033 Cargo: Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental - EPPGG 27 EDITAL ESAF Nº 48, DE 06 DE JUNHO DE 2013 Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística MEDIDAS DE CURTOSE Denominamos CURTOSE o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade). Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais fechada que a normal (ou mais aguda ou afilada em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta que a normal (ou mais achatada em sua parte superior), ela recebe o nome de platicúrtica. A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica. Coeficiente de curtose C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10) Este coeficiente é conhecido como percentílico de curtose. Relativamente a curva normal, temos: C1 = 0,263 C1 < 0,263 C1 > 0,263 curva mesocúrtica curva leptocúrtica curva platicúrtica O coeficiente abaixo análises: (C2 )será utilizado em nossas Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Propriedades: 1. E(aX) = a.E(X) 2. E(X±a)=E(X)±a 3. E(X±Y)=E(X)±E(Y) 2. Variância: Seja X uma variável aleatória discreta com expectância finita. Então, a variância de X é dada por: Var (X ) E (X 2 ) [E (X )]2 ,onde E (X 2 ) n xi .f (xi ) i 2 1 Propriedades: 2 1. Var(aX)=a .Var(X) 2. Var(X±a)=Var(X) 3. Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y), se X e Y são v.a. independentes. 3. Desvio Padrão: O desvio padrão de X é dado por; x Var (X ) 3.2. Distribuições Contínuas de Probabilidade: Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade se: (a) f(x) 0, f(x)dx 1 (b) b OBS: P(a<X<b)= f(x).dx a Exemplo: Considere a função densidade dada abaixo. onde S é desvio padrão C2 = 3 curva mesocúrtica C2 > 3 curva leptocúrtica C2 < 3 curva platicúrtica 1. Expectância: Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores x1, x2, ... , xn , com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), respectivamente. Então, a expectância de X é dada por E (X ) n xi .f (xi ) i 1 2 x , se 0 x 3 f(x) 9 0, caso contrári o Função de Distribuição Acumulada: A função de distribuição acumulada de uma v.a.c. X é definida por F(X)=P(X x) x = f(u)du 1 [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 28 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Exemplo: Considerando a função densidade do exemplo anterior, a função Então, 2 Var(X) = 5,40 – (2,25) = 0,3375 e de distribuição de X é dada por: 0; se x 0 1 3 F(x) x ; se 0 x 3 27 1; se x 3 OBS: 4.1. Distribuição Binomial: Parâmetros de uma v.a.c.: Expectância: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x). Então, a expectância de X é dada por Exemplo: Para a função densidade dada anteriormente, 3 0 x. 1 2 1 4 x .dx x 9 36 2,25 A distribuição Binomial é o modelo probabilístico adequado para casos em que se consideram repetidas provas de Bernoulli, isto é sucessões de experimentos aleatórios independentes, em cada um dos quais se observa a ocorrência (“sucesso”) ou não (“fracasso”) de um determinado acontecimento, de probabilidade p, constante de observação para observação. Seja a v.a.d. X: número de sucessos em n provas. A distribuição de probabilidade f(x) é dada por: x E(X) x.f(x).dx E(X) 0,5809 4. Distribuições Discretas de Probabilidade: dF (x) f(x) dx 1. x 0,3375 3 0 x n-x f(x) = P(X=x) = Cn .p .q , onde x= 0,1,2,3,......n e p: probabilidade de sucesso Então, X tem distribuição Binomial e escreve-se simbolicamente X~B(n, p), para indicar que à diferentes valores de n e p, correspondem diferentes distribuições. Propriedades: 1. E(X)=n.p 2. Var(X)=n.p.(1-p) 3. σ = n.p.(1 - p) 2. Variância: Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). Então, a variância de X é dada por: Var (X ) E (X 2 ) [E (X )]2 , onde E(X 2 ) x 2 .f(x).dx 3. Desvio Padrão: O desvio padrão de X é dado por: x Var(X) Exemplo: Considerando a função densidade dada por 1 2 x , se 0 x 3 f(x) 9 0, caso contrári o E(X 2 ) 3 x 0 2 . 1 5 x 45 5,4 1 2 x .dx 9 3 0 [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 4.2. Distribuição de Poisson: Seja X uma variável aleatória discreta que designa o número de sucessos que ocorrem durante um dado intervalo de tempo ou em uma região especificada, cuja função de probabilidade f(x) é dada por: P(X=x)= e x! - x onde 0, constante, e designa o número médio de sucessos ocorrendo em um dado intervalo de tempo ou região especificada e X pode assumir os particulares valores 0,1,2,3,... A função f(x) assim definida é denominada de distribuição de Poisson, e escreve-se simbolicamente X~P ( ). Propriedades: 1. O número de sucessos em um intervalo de tempo ou região especificada é independente daquele que ocorre em qualquer outro intervalo de tempo exclusivo ou região do espaço. 2. A probabilidade de um único sucesso ocorrer durante um intervalo de tempo muito curto ou em uma região pequena é diretamente proporcional ao “comprimento” desse intervalo ou do tamanho da região e não depende do número de sucessos ocorrendo fora desse intervalo de tempo ou região. 29 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística 3. A probabilidade de termos mais de um sucesso em um intervalo de tempo pequeno ou em uma região pequena é desprezível. 4. Parâmetros de uma v.a.d. que segue o modelo de Poisson, com parâmetro : (a) E(X) = (b) Var (X) = Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Distribuição Normal Padrão: Seja X uma v.a.c. tal que X~N( ; σ). Então, a v.a.c. Z= X-μ σ tem distribuição Normal com média 0 (zero) e desvio padrão 1 (um), isto é, Z~N(0;1). A função densidade de Z é dada por: f(z) = Obs.: Aproximação Binomial-Poisson: - z2 1 2 e 2π Quando, numa distribuição Binomial, n50 e n.p<5, podemos determinar as probabilidades através da distribuição de Poisson, com =n.p. 5. Distribuições Contínuas de Probabilidade: Distribuição Exponencial: A v.a.c. X tem distribuição Exponencial com parâmetro se sua função densidade de probabilidade é dada por: -x e , se x 0 f (x ) 0, caso contrári o A função de distribuição de X é dada por 0; se x 0 -x ; se x 0 1 e 2 distribuição Normal, tal que E(X)=x Var(X)= 2x , E(Y)=y , Var(Y)= y , F (x ) a, b e c constantes. Então, a variável aleatória distribuição Normal com z = E(Z)=ax + by + c Propriedades: 1. E(X)= 1 α 2. Var(X)= 6. Teorema da Combinação Linear: Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com Z=aX+bY+c tem 2 Var(Z)=a 2x + b y 2 Em particular, a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis aleatórias Normais é também uma variável aleatória Normal. 1 α 2 2 Exemplo: O tempo de vida de certo tipo de lâmpada tem distribuição Exponencial com média de 1500 h. Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 3000h? 7. Teorema do Limite Central: Sejam X1, X2, X3, ... , Xn, variáveis aleatórias independentes e 2 identicamente distribuídas, com média e variância , finitas. Então, se Sn=X1+X2+ X3+ ... +Xn , lim P(a P(X<3000)=F(3000) = 1- e 3000 / 1500 n 0,86 Distribuição Normal: Seja X uma v.a.c. tal que E(X)= e Var(X)= 2 , onde S n n x e σ > 0. Então, X tem distribuição Normal com média e variância 2 , n S n n n b) 1 2 b e u2 2 du , isto é, a ~N(0;1) OBS: O teorema vale também quando X1, X2, X3, ... , Xn são variáveis aleatórias independentes com mesma média e mesma variância, mas não necessariamente a mesma distribuição. se sua função densidade de probabilidade é dada por: 2 ( x ) 1 22 f ( x) e 2 Notação: X~N( ; σ) [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 30 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística MACETES Para a MÉDIA, MEDIANA ou MODA I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua MÉDIA, MEDIANA ou MODA fica multiplicada ou dividida pela constante. II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua MÉDIA, MEDIANA ou MODA fica acrescida ou diminuída dessa constante. Para a VARIÂNCIA: III) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua VARIÂNCIA fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante. IV) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua VARIÂNCIA fica INALTERADA, pois a variância de uma constante é igual a zero. Para o DESVIO PADRÃO: V) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), o seu DESVIO PADRÃO fica multiplicado ou dividido pela constante. VI) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), o seu DESVIO PADRÃO fica INALTERADO, pois o desvio padrão de uma constante é igual a zero. EXERCÍCIOS 1- AFRF 2000 Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S = 13 da variável transformada (X - 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X. a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] d) 31,2% e) 10,0% 4- BACEN 1994 Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de: b) 10.000 b) 10.100 c) 10.500 d)10.900 e) 11.000 GABARITO 1- B 2- D 3- C 4- E MÉDIA GLOBAL Suponha que dois conjuntos tenham N1 e N2 números de observações e médias 1 e 1 , respectivamente. Então, a média global de ambas as distribuições é dada por: G N1 1 N 2 2 N1 N 2 VARIÂNCIA CONJUNTA PARA MÉDIAS IGUAIS Suponha que dois conjuntos tenham N1 e N2 números de observações, variâncias σ12 e σ22 , respectivamente, e a mesma média . Então, a variância conjunta de ambas as distribuições é dada por: σ2 N1σ12 N2σ22 N1 N2 2- AFC 1994 A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma 10 empresa eram de $285.000 e 1,1627x10 , respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 7 A) 1,1627x10 6 b) 1,1627x10 5 c) 1,1627x10 4 d) 1,1627x10 3 e) 1,1627x10 3- AFRF 2003 O atributo Z = (X - 2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X. a) 12,9% b) 50,1% c) 7,7% [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 31 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística 6 Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Distribuição de Frequências - Distribuição Normal. [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 32 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 33 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] 34 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística Raciocínio Lógico Quantitativo & Conhecimentos de Estatística Professor: Vanderlan Marcelo [email protected] Distribuição Contínuas Uniforme e Normal (página 7) 1) K = 1/4 2) c 3) e 4) a 5) d 6) a) -0,8; b) 1,4; c) 0; d) 57; e) 48 7) a) -39,25%; b) 41,15%; c) 90,22%; d) 9,23%; e) 9,51%; f) 7,35%; g) 82,89%; h) 89,44% 8) 9) a) -24,2%; b) 97,1%; c) 43,3%; d) 94,5%; e) 25,4%; f) 89,7% 10) a) 78,8%; b) 46,4%; c) 24,2%; d) 18,9% 11) a) -0,8; b) -1,5; c) 0,9; d) 0,9; e) 0,8; f) 1,5; g) 0,5 12) a 13) a)6,68%; b) 22,34% 14) b 15) c 16) a 17) b 18) d 19) c 20) c 21) d 22) e 23) a 24) a 25) c [email protected] Cargo: ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL 35 Raciocínio Lógico Quantitativo e Conhecimentos de Estatística
