Turma

Escola Secundária de Caneças
12ºAno
2º Teste de Avaliação de Matemática I
Dez. 2004
Nome _________________________________________N º _______ Turma _____
Para cada uma das sete questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas
que lhe são apresentadas. Não apresente cálculos
Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de
resposta ambígua
Cotação: cada resposta certa +9 pontos; cada resposta errada –3 pontos.
1. Lança-se, uma vez, um dado tetraédrico viciado em que a probabilidade de sair a face com o número 1
é dupla da de sair qualquer outra face ( com os números 2, 3 e 4) .
Considere que X designa a variável “número saído após o lançamento”.
Qual da seguintes distribuições de probabilidades é a da variável X?
(A)
xi
P  x  xi 
(C)
xi
P  x  xi 
1
2
3
4
2
1
1
1
1
2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
(B)
xi
P  x  xi 
(D)
xi
P  x  xi 
1
2
3
4
0,3
0,15
0,15
0,15
1
2
3
4
2
5
1
5
1
5
1
5
2. Considere 10 pontos marcados num plano, dos quais 3 são colineares.
Quantos triângulos se podem definir com os 10 pontos?
(A) 35
(B) 59
(C) 119
(D) 120
3 . Numa empresa os homens e mulheres distribuem-se por fumadores e não fumadores da seguinte forma:
Fumadores
Não fumadores
Mulheres
30
75
Homens
50
130
Escolhido, ao acaso, um dos funcionários da empresa, a probabilidade de ser mulher, sabendo que é
fumador, é:
(A) 28,6 %
(B) 10,5 %
(C) 37,5 %
(D) 76 %
4. No triângulo de Pascal, existe uma linha com 23 elementos.
Seja a o maior número dessa linha.
Qual é o valor de a?
(A) 23C12
(B) 23C11
(C) 22C11
(D)
22
C12
5. Quantas sequências de quatro letras, formadas apenas por vogais, têm exactamente duas letras iguais?
(A) 72
(B) 120.
(C) 240.
(D) 360.
6. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Considere dois acontecimentos possíveis A e B desse conjunto de resultados.
Qual é a afirmação é necessariamente verdadeira?
(A) P A  PB  0
(B) P A  1  PB 
(C) P A  B  P A  PB
(D)

P A  B   1  P  A  B 
V.S.F.F.
Escola Secundária de Caneças
12ºAno
2º Teste de Avaliação de Matemática J
Dez. 2004
Nome _________________________________________N º _______ Turma _____
Para cada uma das sete questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas
que lhe são apresentadas. Não apresente cálculos
Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de
resposta ambígua
Cotação: cada resposta certa +9 pontos; cada resposta errada –3 pontos.
1. Lança-se, uma vez, um dado tetraédrico viciado em que a probabilidade de sair a face com o número 1
é dupla da de sair qualquer outra face ( com os números 2, 3 e 4) .
Considere que X designa a variável “número saído após o lançamento”.
Qual da seguintes distribuições de probabilidades é a da variável X?
(A)
xi
P  x  xi 
(C)
xi
P  x  xi 
1
2
3
4
2
1
1
1
1
2
3
4
2
5
1
5
1
5
1
5
(B)
xi
P  x  xi 
(D)
xi
P  x  xi 
1
2
3
4
0,3
0,15
0,15
0,15
1
2
3
4
1
2
1
4
1
4
1
4
2. Considere 10 pontos marcados num plano, dos quais 3 são colineares.
Quantos triângulos se podem definir com os 10 pontos?
(A) 120
(B) 119
(C) 59
(D) 35
3 . Numa empresa os homens e mulheres distribuem-se por fumadores e não fumadores, da seguinte forma:
Mulheres
30
75
Fumadores
Não fumadores
Homens
50
130
Escolhido, ao acaso, um dos funcionários da empresa, a probabilidade de ser homem, sabendo que é
fumador, é:
(A) 28,6 %
(B) 17,5 %
(C) 37,5 %
(D) 62,5 %
4. No triângulo de Pascal, existe uma linha com 25 elementos.
Seja a o maior número dessa linha.
Qual é o valor de a?
(A) 25C12
(B) 25C13
(C) 24C13
(D)
24
C12
5. Quantas sequências de quatro letras, formadas apenas por vogais, têm exactamente duas letras iguais?
(A) 360
(B) 240
(C) 120
(D) 72 .
6. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Considere dois acontecimentos possíveis A e B desse conjunto de resultados.
Qual é a afirmação é necessariamente verdadeira?
(A) P A  PB  0
(B) P A  1  PB 


(C) P A  B  1  P A  B 

(D) P A  B  P A  PB
V.S.F.F
Segunda parte
Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos
que tiver de efectuar e todas as justificações que entender necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pretende, pretende-se sempre o valor exacto.
(18) 1- Seja  o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos possíveis desse espaço de resultados  A   e


Sabe-se que P A  0,4 e PB   0,3  P A  B .
Prove que A e B são acontecimentos incompatíveis.
B  .
2.Numa turma há quinze alunos: nove raparigas e seis rapazes.
(18) 2.1 Para apresentar um trabalho, são escolhidos, de forma aleatória, três alunos .
Qual é a probabilidade de os alunos nomeados não serem todos do mesmo sexo?
Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível.
2.2 No decorrer do ano lectivo, entraram para a turma mais rapazes.
Nessa altura, escolhido um aluno da turma, ao acaso, a probabilidade de ser rapariga é 45% .
(16) 2.2.1 Quantos rapazes entraram para a turma?
(18) 2.2.2 Com esta nova constituição da turma, escolhendo um grupo de 4 elementos, qual é a
probabilidade do grupo ter mais raparigas do que rapazes?
Nota: Não é obrigatório o grupo ter elementos dos dois sexos.
Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades
3. O peso, em Kg, de 250 recém- nascidos de uma maternidade segue uma distribuição normal de média
2,8 Kg e com desvio padrão 0,7 Kg.
(14)3.1Escolhido, ao acaso, um desses bebés, qual é a probabilidade de ter nascido com um peso
compreendido entre 2,1 Kg e 4,2 Kg?
(16) 3.2 Se o recém-nascido pesar menos de 2100 gramas necessita de cuidados especiais.
Quantos desses 250 recém-nascidos necessitaram desses cuidados especiais?
4. Um dos membros do casal Silva (o Miguel ou a Rita) vai todos os dias de manhã comprar pão à padaria
da rua onde moram, mal ela abre.
Em 40% dos dias é o Miguel Silva que vai comprar o pão. Nos restantes dias é a Rita Silva que se
encarrega dessa tarefa.
Sabe-se que, nas vezes em que a Rita vai à padaria, ela compra apenas pão de trigo (o que acontece em 20%
das vezes) ou apenas pão de centeio.
(12) 4.1 Num certo dia, um vizinho da família Silva vai à mesma padaria, mal ela abre.
Quem é mais provável que ele lá encontre o Miguel, ou a Rita? Justifique a sua resposta.
(16) 4.2 Calcule a probabilidade de que, num dia escolhido ao acaso, seja a Rita a ir à padaria e traga pão de
centeio. Apresente o resultado na forma de percentagem.
(18)5. Considere o seguinte problema:
“ Num saco existem quinze bolas, indistinguíveis ao tacto.
Cinco dessas bolas são amarelas, cinco são verdes e cinco são brancas.
Para cada uma das cores as bolas estão numeradas de 1 a 5.
Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila, qual é a probabilidade de as bolas da
mesma cor ficarem todas juntas? ”
3

5 !   3!
Uma resposta correcta para este problema é
15!
Numa pequena composição com cerca de 10 linhas, explique esta resposta, organizando a sua composição de
acordo com os seguintes tópicos:
 referência à regra de Laplace
 explicação do número de casos possíveis.
 explicação do número de casos favoráveis.
Proposta de resolução do 2º teste do 12ºB versões I e J
Primeira parte
Versão I
VersãoJ
1. P(sair face 1) = 2x
P(sair face 2) = P(sair face 3) = P(sair face 4) = x
1. P(sair face 1) = 2x
P(sair face 2) = P(sair face 3) = P(sair face 4) = x
2 x  x  x  x  1  5x  1  x 
1
5
D
2. 10C3  1  120  1 = 119
C
Os três pontos colineares não definem um plano
3. P(M/F) =
30
30

 0,375  37,5% C
30  50 80
4. Se a linha tem 23 elementos é a linha 22, e o maior
termo é o 12º , logo
22
C11 .
C
2 x  x  x  x  1  5x  1  x 
1
5
C
2. 10C3  1  120  1 = 119
B
Os três pontos colineares não definem um plano
3.
P(H/F) =
50
50

 0,625  62,5%
30  50 80
D
4. Se a linha tem 25 elementos é a linha 24, e o maior
termo é o 13º , logo
24
C12 .
D
5- O número de formas de colocação das duas vogais
5. O número de formas de colocação das duas vogais iguais
iguais é C 2  5 (porque há 5 vogais)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4

3
Para cada uma destas existem
modos diferentes de
colocação das restantes vogais nas duas posições.
6  5  4  3 = 360
D
é 4 C 2  5 (porque há 5 vogais)
x
x
x
x
x
x
4
x
x
x
x
x
4

3
Para cada uma destas existem
modos diferentes de
colocação das restantes vogais nas duas posições.
6  5  4  3 = 360
A
x
6. A só seria verdadeira se os acontecimentos A e B fossem 6. A só seria verdadeira se os acontecimentos A e B fossem
equiprováveis e enunciado não dá essa garantia.
equiprováveis e enunciado não dá essa garantia.
B é sempre falsa porque a probabilidade de um B é sempre falsa porque a probabilidade de um
acontecimento nunca é superior a 1, e sendo B um acontecimento nunca é superior a 1, e sendo B um
acontecimento possível a sua probabilidade é superior a acontecimento possível a sua probabilidade é superior a
zero e a sua soma com 1 era superior a 1.
zero e a sua soma com 1 era superior a 1.
C só seria verdadeira se A e B fossem incompatíveis e D só seria verdadeira se A e B fossem incompatíveis e
enunciado não dá essa garantia.
enunciado não dá essa garantia.
Então e resposta correcta é a D porque
Então e resposta correcta é a C porque

 


P A  B  P A  B  1  P A  B 
 

P A  B  P A  B  1  P A  B 
Versão F
Versão F
1 . A média de ambas é igual a 5 logo x A  x B
Em B os valores estão mais concentrados junto á média por
isso o desvio padrão é menor  A   B
A
2. Como P  A  B   P(A) + P(B) - P  A  B 
40% = 20% + 30% - P  A  B   P  A  B  =10 %


P  A / B   P A  B  10  1
P( B)
3.
1456
C123  1456C124 =
1457
C124
B
30
então
C
3
4 . 2 A' 3  A3 . O código pode começar por vogal ou
5
10
número - 2.
Os algarismos são todos diferentes e há 10 algarismos para
ocupar 3 posições
-
10
A3 .
As 3 das 5 vogais popdem ser repetidas 5 A'3
B
5. C só seria verdadeira se os acontecimentos A e B fossem 6. 10C  1  120  1 = 119
3
equiprováveis e enunciado não dá essa garantia.
Os
três
pontos colineares não definem um plano B
B é sempre falsa porque a probabilidade de um
acontecimento nunca é superior a 1, e sendo B um
10
3
acontecimento possível a sua probabilidade é superior a Ou C3  C3  120  1 = 119
zero e a sua soma com 1 era superior a 1.
D só seria verdadeira se A e B fossem incompatíveis e Ou escolhem-se de entre os 7 não colineares 3, ou
enunciado não dá essa garantia.
escolhem-se de entre os 7 não colineares 2 e um dos
Então e resposta correcta é a A porque
colineares ou escolhe-se 1 de entre os 7 não colineares e 2
dos colineres.
P A  B  P A  B  1  P A  B 
A

 

 

C3  3C17 C2  3C2 7 C1  35  63  21  119
Segunda parte
7

1- P A  B  P A  B  1  P A  B  , então 0,3  1  P A  B  P A  B  0,7
Como P A  B  P A  PB  P A  B
 P A  B  0  A e B são incompatíveis.
substituindo vem 0,7 = 0,4 + 0,3 - P A  B
9 raparigas
15 alunos 
Vão ser escolhidos 3
 6 rapazes
Vamos começar por determinar a probabilidade de serem todos do mesmo sexo
P(serem todos do mesmo sexo) = P(serem todos rapazes) + P(serem todos raparigas)
6
9
C
C
20  84 104 8
8 27
= 15 3 + 15 3 =
logo P(não serem todos do mesmo sexo) = 1  


455
455 35
35 35
C3
C3
2.1
 9 raparigas
2.2.1 15  x alunos 
6  x rapazes
2,25
9
 x x5
P(ser rapariga) = 0,45 
 0,45  9  6,75  0,45x  9  6,75  0,45x 
0,45
15  x
Entraram 5 rapazes para a turma.
2.2.2 Terá que ter três raparigas e um rapaz ou quatro raparigas.
Logo o número de casos favoráveis é 9C3 11C1  9C4  84 11  126  1050
O número de casos possíveis é 20C4  4845
1050
A probabilidade pedida é =
 22%
4845
3.1 x  2  2,8  2  0,7  4,2 x    2,8  0,7  2,1
Logo, atendendo a que se trata de uma distribuição normal, P(2,1<x < 4,2)  82 %
3.2
P(x < 2,1)  16 %
250  0,16 = 40
Necessitaram de cuidados especiais 40 recém-nascidos.
4.1 Se em 40% dos dias é o Miguel Silva que vai comorar o pão então em 60% dos dias é a Rita que se
enacarrega dessa tarefa. Atendendo a que 60% > 40% , então é mais provável que o vizinho da família Silva lá
encontre a Rita.
4.2 Designemos por R e C os acontecimentos:
R: “A Rita vai à padaria” e C:”O pão que é comprado é de centeio”
P(R) = 100 % - 40 % = 60 % = 0,6
e
P (C / R) = 100 % - 20 % = 80 % = 0,8
Então a probabilidade de que, num dia escolhido ao acaso, seja a Rita a ir à padaria e traga pão de centeio é
P R  C  e PR  C  = PR   PC / R  = 60%  80 % = 48 %
5. De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de
casos casos favoráveis a esse acontecimento e número de casos casos possíveis, quando estes são todos
equiprováveis.
O número de casos possíveis é o número maneiras de dispor ordenadamente, em fila, as 15 bolas diferentes, ou seja 15!
Quanto ao número de casos favoráveis existem 5! formas dispor ordenadamente as cinco bolas de cada cor; para cada
uma destas maneiras existem 3! modos diferentes de dispor ordenadamente as 3 cores
3
Portanto o número de casos favoráveis é 5!5!5!3! ou seja 5!  3!