questão 16 resolução questão 17

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Colégio
PARA QUEM CURSA A 2.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2013
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
(OBMEP) – Se dividirmos um cubo de 1 m de aresta em cubinhos de 1 mm de aresta, que
altura terá uma coluna formada por todos os cubinhos, dispostos sucessivamente um em cima
do outro?
a) 1 m
b) 1 km
c) 10 km
d) 100 km
e) 1000 km
RESOLUÇÃO
Convertendo metros em milímetros, temos que 1m = 1000 mm.
Assim, o cubo ficou dividido em 1000 x 1000 x 1000 = 109 cubinhos de lado 1 mm de
altura cada um. Colocando-se um sobre o outro os 109 cubinhos, teremos uma coluna de
comprimento, igual a
1000 x 1000 x 1000 = 109 mm = 109 x 10–3 m = 106 m = 103 km = 1000 km
Resposta: E
QUESTÃO 17
Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
Sendo V(x) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo , o resto da divisão de V (x)
por x2 + 2x + 1 é igual a:
a) zero
b) 24x + 12
c) 12
d) 24x
e) 12x + 12
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
O volume do paralelepípedo é dado pelo produto do comprimento (a), pela altura (b),
pela largura (c), ou seja, V = a . b. c
Assim,
V(x) = (2x + 6) . (2x + 2) . (x + 1)
V(x) = (4x2 + 4x + 12x + 12) (x + 1)
V(x) = 4x3 + 4x2 + 4x2 + 4x + 12x2 + 12x + 12x + 12
V(x) = 4x3 + 20x2 + 28x + 12
Dividindo-se V(x) por x2 + 2x + 1, obteremos:
4x3 + 20x2 + 28x + 12
x2 + 2x + 1
– 4x3 – 8x – 4x
––––––––––––––––––––––––
12x2 + 24x + 12
– 12x2 – 24x – 12
–––––––––––––––––
0
Resposta: A
4x + 12
QUESTÃO 18
Observe o paralelepípedo reto retângulo representado na figura:
Qual a distância de A até B?
2
a) –––– m
4
OBJETIVO
3
b) –––– m
2
c) 3 m
2
2
d) –––– m
2
e) 2 m
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Podemos dividir o quadrilátero ABCD em duas figuras, o retângulo BCDE e o triângulo
ABE.
^
^
O triângulo A EB é retângulo em E. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
1 2
1 2
x2 = ––– + –––
2
2
1 + 1
x2 = –––
–––
4
4
2
2 , pois x > 0
x2 = ––– fi x = –––
4
2
Resposta: D
QUESTÃO 19
Resolvendo a equação x2 + 5x – 24 = 0, em ⺢, obtêm-se as raízes x’ e x”.
Podemos afirmar que:
[(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 é igual a:
a) 0,208333...
b) 4,8
c) 3,444...
d) 208,333...
e) 48
RESOLUÇÃO
1.a solução:
Lembrando que as raízes x’ e x”, da equação do 2 o. grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) são tais
– b e x’ . x” = P = c , temos:
que x’ + x” = S = –––
–––
a
a
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
x2 + 5x – 24 = 0 fi
– (+ 5)
x’ + x” = ––––––– = – 5
1
– 24
x’ + x” = ––––– = – 24
1
Então
5
[(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 = [(– 5) : (– 24)]–1 = –––
24
–1
24
= ––– = 4,8
5
2.a solução:
Aplicando Bháskara, temos:
D
– b ± x = –––––––––
2.a
52 – 4 .1 . (– 24)
– (+ 5) ± x = –––––––––––––––––––––––––––
2.1
121
– 5 ± x = ––––––––––––
2
– 5 ± 11
x = ––––––––
2
x’ = 3
x” = – 8
Dessa forma, [(x’ + x”) : (x’ . x”)]–1 = {[3 + (– 8)] : [3 . (– 8)]}–1 = [(– 5) : (– 24)]–1 =
5
= –––
24
–1
24
= ––– = 4,8
5
Resposta: B
QUESTÃO 20
2x2 + x
(UFF-RJ – ADAPTADO) – As soluções inteira da equação ––––––– = 2x + 1 não é um número:
11
3
a) igual a
1331
d) Divisível por 1
OBJETIVO
b) Divisor de zero
c) Múltiplo de zero
e) Primo
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
Resolvendo a equação do 2.o grau, aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
2x2 + x
2
2
––––––––– = 2x + 1 € 2x + x = 22x + 11 € 2x – 21x – 11 = 0
11
– b + b2 – 4ac , temos:
Lembrando que x = –––––––––––––––––
2.a
(– 21)2 – 4 . 2 . (– 11)
– (– 21) ± x = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2.2
441 + 88
21 ± x = –––––––––––––––––
4
529
21 ± x = –––––––––––––––––
4
21 ± 23
x = ––––––––
4
11
–1
–––
2
O número 11 é primo, é divisível por 1 (como todo número inteiro), é tal que
3
3
1331 = 113 = 11 e, é divisor de zero (como todo número inteiro) só não é múltiplo de
zero, pois o único múltiplo de zero é zero.
Resposta: C
QUESTÃO 21
(UFPA) – Observe a figura:
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
A parte hachurada da figura, onde ⺥ é o conjunto universo, e A, B, C são conjuntos
representa:
a) A B C
b) A B C
c) (A B) (A C)
d) (A B) (A C)
e) (A B C) – (A B C)
RESOLUÇÃO
A única parte não hachurada é a intersecção entre os conjuntos A, B, C. Assim temos
a união entre os três conjuntos menos a intersecção entre os três conjuntos.
Resposta: E
QUESTÃO 22
(FGV-SP) – Seja n o resultado da operação 3752 – 3742. A soma dos algarismos de n é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
RESOLUÇÃO
Fatorando a diferença de dois quadrados temos que:
3752 – 3742 = (375 + 374) . (375 – 374) = 749 . 1 = 749
Assim, n = 749, e a soma de seus algarismos é 7 + 4 + 9 = 20
Resposta: C
QUESTÃO 23
O Sudoku é um jogo de desafio lógico, inventado pelo matemático Leonhard Euler (17071783). Na década de 70, esse jogo foi redescoberto pelos japoneses, que o rebatizaram como
Sudoku, palavra com o significado de “número sozinho”. É jogado em um quadro com 9 por
9 quadrados, que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados
quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os espaços em
branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna,
linha ou quadrante.
4
7
5
9
6
2
6
3
5
8
8
6
9
X
1
7
7
4
3
2
1
2
1
6
2
7
Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com X no quadro
anterior é
a) 2
OBJETIVO
b) 5
c) 7
d) 6
6
e) 3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
I. x {1, 4, 6, 7, 8, 9}
II. x {2, 7}
III. x {5, 7}
IV. Por exclusão: x = 3
Resposta: E
QUESTÃO 24
(PUC-SP – 2004) – Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas,
também retangulares, como mostra a figura abaixo:
Se A1, A2, A3 e A4 são as áreas das salas pretendidas e considerando que A1 + A2 + A3 = 36 m2,
A1 – A2 = 12 m2 e A3 = 2 . A2, a área da quarta sala, em metros quadrados, é:
a) 4
b) 4,5
c) 4,8
d) 5
e) 5,5
RESOLUÇÃO
Em metros quadrados, temos:
1) A partir da figura, temos:
A1 = a . c
A2 = a . d
A1 . A4 = a . b . c . d
€
A3 = b . c
A2 . A3 = a . b . c . d
A4 = b . d
Portanto:
A1 . A4 = A2 . A3 €
OBJETIVO
A2 . A3
A4 = –––––––
A1
(I)
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
2) Das equações dadas, tem-se:
A1 + A2 + A3 = 36
A1 + A2 + A3 = 36
A1 – A2 = 12
€ A1 = 12 + A2
A3 = 2 . A2
A3 = 2A2
€
4 . A2 = 24
A1 = 12 + A2 €
A3 = 2A2
(II)
€
(12 + A2) + A2 + 2A2 = 36
A1 = 12 + A2
€
A3 = 2 A2
A1 = 18
A2 = 6
A3 = 12
3) Substituindo na igualdade (I), vem:
6 . 12
A4 = –––––– = 4
18
Resposta: A
QUESTÃO 25
(OBMEP) – As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo
que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a
mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura a seguir.
Qual é o produto dos números das faces coladas?
a) 42
b) 48
c) 60
d) 70
e) 72
RESOLUÇÃO
I.
II.
III.
IV.
V.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78
A soma de 2 faces opostas é 78 ÷ 6 = 13
A face “colada” do dado da direita é 10, pois 3 + 10 = 13
No dado da esquerda, a face oposta ao 1 é 12 e a oposta ao 5 é 8.
A face “colada” no dado da esquerda é 6, pois o único par que sobrou é 6 e 7, e 6 é
par.
VI. O produto dos números das faces coladas é 6 . 10 = 60.
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
Observação:
Resposta: C
QUESTÃO 26
(OBMEP) – As duas figuras a seguir são formadas por cinco quadrados iguais.
Observe que elas possuem eixos de simetria, conforme assinalado a seguir.
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
As figuras a seguir também são formadas por cinco quadrados iguais.
Quantas das figuras anteriores possuem pelo menos um eixo de simetria?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
RESOLUÇÃO
Os que possuem pelo menos um eixo de simetria são:
Resposta: B
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 27
Os números inteiros a, b, c e d são os maiores possíveis e tais que a < 2b, b < 3c e c < 4d.
Se d < 100, então, o maior valor de a será:
a) 2367
b) 2375
c) 2391
d) 2399
e) 2400
RESOLUÇÃO
1) Se d < 100, então, o maior valor inteiro de d será 99.
2) Se c < 4d e d = 99, então, c < 396.
3) Se c < 396, então o maior valor inteiro de c será 395.
4) Se b < 3c e c = 395, então b < 1185.
5) Se b < 1185, então o maior valor inteiro de b será 1184.
6) Se a < 2b e b = 1184, então a < 2368.
7) Se a < 2368, então o maior valor inteiro de a será 2367.
Resposta: A
QUESTÃO 28
Cada quadrado da sequência a seguir é formado por quadradinhos claros e por apenas um
escuro.
1.a
2.a
3.a
4.a
Admitindo-se que a regularidade dessa sequência permaneça para os demais quadrados, a
equação que permite determinar a posição n do quadrado que tem 399 quadradinhos claros é:
a) n2 – 1 = 399
b) n2 + n – 399 = 0
c) n2 + 2n – 399 = 0
d) n2 + n + 399 = 0
e) n2 + 2n + 399 = 0
RESOLUÇÃO
quadrado
1
2
3
n
..................... quadradinhos claros
.....................
22 – 1
.....................
32 – 1
.....................
42 – 1
⯗
.....................
(n + 1)2 – 1
Assim, (n + 1)2 – 1 = 399 € n2 + 2n – 399 = 0
Resposta: C
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 29
O resultado da expressão:
1
––
5
2
3 . 81
pode ser representado por:
–––––––
1
––
3
243
17
17
a) 3 3
15
b) 315
15
c) 3 9
17
d) 314
e) 3 34
RESOLUÇÃO
Resolvendo a expressão, temos que:
1
––
5
32
32
1
––
5
4
(3 )
32
4
––
35
4
2 + ––
5
14
14
5
17
––– 15
––– – –––
––– ––
.
.
15
. 81
3 5
15
5
3
3
5
17 = 3 =
=
=
=
3
:
3
=
3
=
3
=
3
9
–––––––
–––––––––
–––––––––––
–––––––––
1
5
5
1
––
3
––
(35)3
243
––
3
––
33
3
Resposta: C
QUESTÃO 30
Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de
comprimento em 17 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo
canal em 25 dias de 7 horas de trabalho?
a) 60 operários
b) 70 operários
c) 80 operários
d) 90 operários
e) 100 operários
RESOLUÇÃO
Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número
de operários com as demais, temos:
Número de
operários
Número de horas
por dia
Comprimento
Número de dias
25
10
238
17
x
7
686
25
GDP
GIP
OBJETIVO
12
GIP
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
A grandeza “número de operários” é diretamente proporcional ao comprimento e
inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia.
Assim, sendo:
1
25
7
10 . 686 . 17
25
238
7
238
25
25
––– = ––– . –––– . ––– € –––– = ––– . –––– . –––– € x = ––––––––––––– € x = 70
17
10
7 . 238
x
686
10
686
17
x
Resposta: B
OBJETIVO
13
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE