Quinta Aula

Quinta Aula
Introdução à Astrofísica
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 5!
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A Interação da Luz com a Matéria!
- Linhas Espectrais!
- Fótons!
- O Átomo de Bohr!
- Mecânica Quântica e a Dualidade partícula onda!
Linhas Espectrais
William Wollaston (1766-1828) observou que a luz solar passando através de um
prisma produz um espectro tipo “arco íris”, embora tivessem várias linhas escuras
superpostas ao contínuo manifestando que a luz do Sol tinha sido absorvida em
comprimentos de onda específicos. Em 1814, Joseph von Fraunhofer (1787-1826) já
tinha catalogado 475 destas linhas escuras no espectro solar (linhas de Fraunhofer).
Os fundamentos da espectroscopia foram estabelecidos por Robert Bunsen
(1811-1899) e Gustav Kirchhoff (1824-1887). Kirchhoff determinou que 70 linhas de
absorção no espectro solar correspondiam a 70 linhas emitidas pelo vapor de ferro.
Kirchhoff resumiu a produção de linhas espectrais em 3 leis, agora conhecidas como
Leis de Kirchhoff.
Leis de Kirchhoff
1- Um corpo opaco e quente, como um corpo negro, ou um gás denso e quente produz
um espectro contínuo.
2 - Um gás difuso e quente produz um espectro com linhas de emissão.
3 - Um gás difuso e frio em frente a uma fonte de espectro contínuo produz linhas de
absorção no espectro contínuo.
Exemplo
O comprimento de onda no repouso da linha Hα do Hidrogênio é 6562.81 Å quando
medido no ar. Contundo, o comprimento de onda em absorção de Hα no espectro da
estrela Vega é medido como 6562.51 Å.
No entanto, as estrelas possuem movimento próprio. Neste caso, Vega tem um
movimento próprio μ = 0.35077 ʺ / ano. A uma distância r = 7.76 pc este movimento
próprio se relaciona com a velocidade transversal vθ = r μ = 12.9 km s-1 onde r é em
metros e μ é em radianos. Assim, calculamos a velocidade espacial de Vega como v =
(vθ2+ vμ2)1/2 = 19.0 km s-1
Fótons
A solução de Planck para a radiação de corpo negro levou a uma descrição
complementar à idéia da luz como de natureza ondulatória, e posteriormente ao
desenvolvimento da Mecânica Quântica.
O Efeito Fotoelétrico - quando fótons incidem sobre a superfície de um metal liberam
elétrons do mesmo.
elétrons são emitidos em várias freqüências
mas com uma energia cinética máxima, Kmax.
Aumentando a intensidade de um fluxo
monocromático sobre o metal irá ejetar mais
elétrons da superfície do metal porém não irá
aumentar acima de Kmax. Kmax aumenta com
a freqüência da luz incidente. Na verdade,
cada metal tem uma freqüência de corte, νc
(λc = c/νc).
Elétrons serão emitidos somente se a freqüência da luz incidente for maior do que νc.
Assim, Einstein motivado pela idéia de quantização de Planck para a descrição da
radiação do corpo negro, sugeriu que a luz que incide sobre o metal é de natureza
corpuscular - os fótons.
Exemplo
A energia do fóton de luz visível é pequena para os padrões do dia a dia. Para a luz
vermelha λ = 700 nm.
Quantos fótons de luz visível (λ = 500 nm) são emitidos por segundo por uma
lâmpada de 100 W ?
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Isto significa que a lâmpada emite 2.52 x 1020 fótons por segundo. Eis porque
percebamos o mundo como contínuo, uma vez que o número de fótons por segundo é
tão grande que nos parece contínuo.
Einstein então imaginou que quando um fóton incide sobre a superfície sua energia é
absorvida por um elétron. O elétron usa esta energia para vencer a energia de ligação
do metal e escapar da superfície. Se a energia de ligação dos elétrons no metal é Φ
então a energia cinética máxima dos elétrons ejetados é:
Efeito Compton
Uma outra forma de mostrar a natureza corpuscular da luz, foi através do
espalhamento de fótons em raio X por elétrons. Este experimento foi feito pela
primeira vez por Arthur Holly Compton.
Já que fótons tem massa de repouso nula
então a equação de energia relativística
escreve-se:
Uma vez que o fóton perde energia para o elétron na colisão, então o comprimento de
onda do fóton aumenta. Nesta colisão momento e energia são conservados, logo podese mostrar que:
onde me é a massa do elétron. O termo h/mec é denominado comprimento de onda de
Compton, λC, que para o elétron vale 0.00243 nm. O efeito Compton foi mais uma
evidência experimental que fótons são partículas sem massa mas que carregam
momentum.
O Modelo do átomo de Bohr
Após os trabalhos fundamentais de Einstein e Planck e das contribuições que o efeito
fotoelétrico e o efeito Compton deram à nossa compreensão do mundo microscópico
a pergunta que se colocou foi “Que processo físico era responsável pelas linhas de
absorção e emissão observadas no espectro das estrelas ?”
A Estrutura do átomo
Os comprimentos de onda do Hidrogênio - No início do século XIX era abundante a
quantidade de dados experimentais sobre os elementos químicos. Em 1885, Johann
Balmer (1825 - 1898) encontrou uma expressão para reproduzir os comprimentos de
onda medidos do Hidrogênio (hoje denominado série de Balmer).
n = 3 ⇒ dá o comprimento de onda da linha de Balmer Hα.
n = 4 ⇒ dá o comprimento de onda da linha de Balmer Hβ.
A equação pode ser generalizada como:
com m < n e ambos inteiros. Hoje em dia temos para m = 1 linhas de Lyman, que se
encontram na região do ultravioleta do espectro eletromagnético. Para m = 3 temos
as linhas de Paschen, que se encontram na região do infravermelho.
Mas tudo isto não tinha sustentação física, era puramente experimental. O modelo de
um átomo com um próton e um elétron orbitando em torno era instável. Segundo as
equações de Maxwell uma carga acelerada emite energia e assim o elétron iria
espiralar em direção ao próton numa escala de tempo de 10-8 s. Obviamente a
matéria é estável sobre um período de tempo muito maior.
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O aparecimento das idéias sobre quantização era a grande esperança de resolver o
problema.
O Átomo semi-clássico de Bohr
A exemplo do que acontece com a energia que deveria ser quantizada, o momentum
angular também deveria, L = nh/2π. Assim, o elétron seria estável e o elétron não
liberaria energia mesmo sob a ação da aceleração centrípeta. A partir da lei de Coulomb
Em relação ao centro de massa podemos escrever
Podemos então descrever o átomo de Hidrogênio como um próton de massa M em
repouso e um elétron de massa μ em órbita circular de raio r.
A atração elétrica entre próton e elétron produz uma
aceleração centrípeta v2/r, logo
Podemos então escrever as equações de energia como:
A energia total ser negativa indica que o próton e o elétron estão “ligados”. Para
ionizar o átomo é preciso fornecer esta energia ao sistema.
Bohr então propôs que o momentum angular fosse quantizado, ou seja, L = μvr = nh/2π
Na hipótese de Bohr quando o elétron está numa órbita ele não
emite radiação
n é denominado número quântico principal. As energias
permitidas no átomo de H de Bohr são:
Se os elétrons não irradiam em uma dada órbita qual a origem das linhas espectrais
observadas ?
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Bohr propôs que um fóton é emitido ou absorvido quando o elétron realiza uma
transição entre dois níveis. Para o átomo de Hidrogênio quando o elétron está no
nível mais baixo de energia, n = 1, E1 = 13.6 eV, é necessário esta quantidade de
energia para ionizar o átomo.
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Assim, podemos calcular o comprimento de onda do fóton emitido para cada
transição como :
Leis de Kirchhoff
1 - Um objeto sólido ou gasoso, quente, produz um espectro contínuo sem linha de
absorção ou emissão. Isto é radiação contínua de corpo negro, emitida numa
temperatura definida, descrita pela função de Planck, Bλ(T). O comprimento de
onda λmax no qual a função Bλ(T) alcança seu valor máximo é dado pela lei de Wien.
2 - Gás difuso e quente produz linhas de emissão. Linhas de emissão são produzidas
quando um elétron faz uma transição de uma órbita mais externa para uma mais
interna. A energia perdida pelo elétron é carregada por um fóton.
3 - Um gás difuso e frio em frente de uma fonte de espectro contínuo produz linhas de
absorção. Linhas de absorção são produzidas quando um elétron faz uma transição
de uma órbita interna para uma mais externa. Se um fóton incidente sobre o átomo
tem o exato valor de energia correspondente à transição entre dois níveis, o fóton é
absorvido pelo átomo e o elétron faz uma transição para um nível mais externo.
Mecânica Quântica - Dualidade Partícula-Onda
Após a descoberta da dualidade partícula-onda, de Broglie (1892-1987) colocou uma
importante questão
- se a luz (que era assumida como onda) pode apresentar
características de partícula, poderiam as partículas manifestar propriedades de onda ?
Fótons carregam energia, E, e momentum, p. Estas quantidades
estão relacionadas por 𝝂 = E/h e λ = h/p. de Broglie propôs que
todas as partículas têm um comprimento de onda ou freqüência.
Exemplo: Calculemos o comprimento de onda de um elétron livre que se move a uma
velocidade de 3 x 106 m s-1 e de um homem de 70 kg correndo a uma velocidade de 3 m/
s.
Para o elétron λ = h/p = h/mev = 0.242 nm, o qual é muito menor do que o comprimento
de onda da luz visível.
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Para o Homem λ = h/p = h/mhomemv = 3.16 x 10-36 m, o qual é desprezível na escala de
nossa experiência do dia a dia. Assim, o corredor não precisa se preocupar com efeito de
difração quando volta pra casa e entra pela porta!
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Princípio da Incerteza de Heinsenberg
Na mecânica quântica, a onda é interpretada como uma probabilidade e sua
amplitude é denotada por 𝛙. O quadrado da amplitude, | 𝛙 |2, em uma certa posição
descreve a probabilidade de se encontrar a partícula nesta referida posição. No
experimento de dupla-fenda, por exemplo, quando temos interferência destrutiva
então | 𝛙1 + 𝛙2|2 = 0.
λ é conhecido com precisão. Uma
vez que |𝛙|2 varia entre -∞ e +∞,
a posição da partícula é incerta.
Neste caso |𝛙|2 é grande somente sobre um
pequeno intervalo, logo bem determinado, mas
λ não porque são várias ondas de λ’s diferentes.
Exemplo
Imagine um elétron confinado na região das dimensões de um átomo de Hidrogênio.
Podemos estimar a velocidade mínima e a energia cinética do elétron usando o
principio da incerteza. Como sabemos que o elétron está dentro da região de um
átomo, Δx = 5.29 x 10-11 m. Isto implica que a incerteza na medida do momentum
do elétron é Δp = / Δx = 1.98 x 10-24 kg m s-1 . Para obter uma estimativa da
velocidade mínima e portanto da energia do elétron, igualamos pmin = Δp, pmin =
mevmin .
Este valor está em acordo com o valor estimado anteriormente para o modelo de
Bohr, de 13.6 eV.
Efeito de Tunelamento
A dualidade partícula-onda implica que partículas podem ser submetidas a
“tunelamento” através de uma região do espaço (barreira) na qual elas não podem
existir classicamente. A barreira não pode ser muito larga (pouco mais do que alguns
comprimentos de onda) senão a amplitude da onda cai muito rapidamente e a
probabilidade torna-se virtualmente zero. Isto é consistente com o princípio da
incerteza que implica que a localização de uma partícula não pode ser determinada
com uma incerteza menor do que seu comprimento de onda.
Video do efeito de tunelamento
Tunelamento X geração de energia em estrelas
Vamos considerar o que acontece quando um próton encontra uma barreira como a repulsão
elétrica entre ele e um outro próton. Como uma onda, o próton é parcialmente refletido pela
barreira e é também parcialmente transmitido. Suponha que a amplitude da onda após a
penetração é somente 1/10 da amplitude inicial incidente. A probabilidade de encontra a
partícula é proporcional ao quadrado da amplitude e portanto a chance de encontrar o próton
do outro lado da barreira é 1/100. É impossível ter somente 1/100 de uma partícula em forma
corpuscular de um lado da barreira e 99/100 de uma partícula do outro lado. Assim, dizemos
que a chance de penetração é 1/100 e que para cada 100 partículas incidentes em média 99 são
refletidas e uma é transmitida. Duas etapas devem ser entendidas:
Primeira etapa: No encontro entre prótons existe uma pequena chance de penetração da
barreira de repulsão elétrica. Mesmo no centro do Sol, onde a temperatura é elevada, prótons
movem-se rapidamente e no entanto a chance de penetração ainda é pequena. Cada próton tem
uma colisão direta com outro próton um trilhão de vezes a cada segundo e a cada segundo
penetra a barreira de penetração e encontra-se face a face com outro próton.
Segunda etapa: Quando prótons encontram-se face a face após a penetração ainda assim
possuem um tempo de interação consideravelmente longo. A cada 10 bilhões de anos, em média,
um próton no centro do Sol encontra-se face a face com outro próton e reage violentamente.
Neste processo, energia é liberada e o resultado é uma partícula chamada dêuteron. O dêuteron
contém um próton e um neutron. Após este primeiro passo, o dêuteron captura rapidamente um
próton liberando energia e formando um núcleo de He-3, que contém dois prótons e um
neutron. O He-3 combina-se também rapidamente com outro próton formando átomos de
He-4, que é estável.
Equação de Schrödinger
A equação de onda que governa o movimento de elétrons e outras partículas de
massa de repouso diferente de zero, que é análoga à equação de onda clássica, foi
proposta por Schrödinger no final de 1925. A equação de Schrödinger relaciona as
derivadas da função de onda em relação ao tempo e em relação ao espaço.
Além do número quântico principal, n, Schrödinger encontrou outros dois números
quânticos importantes para a descrição orbital do elétron, ℓ e mℓ . Estes números
descrevem o momentum angular do átomo.
onde ℓ = 0,1,2 … n-1 (n é o número quântico principal). Historicamente as
designações eram s, p, d, f, g, h … para estes valores de ℓ. Por exemplo, (n=2 e ℓ = 1)
corresponde a 2p, e (n=3 e ℓ = 2) corresponde a 3d. A componente z do momentum angular, Lz, assume somente valores Lz = mℓ , com
mℓ igual a qualquer um dos 2ℓ+1 inteiros entre -ℓ e + ℓ. Mas os valores de energia
para um átomo isolado não dependem de ℓ e mℓ. A direção do momentum angular
não tem efeito sobre a energia do átomo. Assim, temos orbitais denominados
degenerados, mesmo nível de energia mas diferentes ℓ e mℓ .
Spin e Princípio de Exclusão de Pauli
Os físicos em 1925 descobriram um quarto número quântico. Além do momentum
orbital o elétron possui um SPIN. Este spin não está ligado a rotação clássica de uma
partícula mas é um efeito puramente quântico. A magnitude do vetor momentum
angular de spin S é dada por :
com uma componente-z Sz = mS
. Os únicos valores que mS assumem são ± 1/2.
Assim, a pergunta natural que os físicos formularam foi “quantos elétrons, num
átomo de muitos elétrons, podem ocupar o mesmo estado quântico” ? a resposta veio
com o trabalho do físico austríaco Wolfgang Pauli.
dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico, ou seja os mesmos quatro
números quânticos.
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Mas Pauli não tinha uma teoria bem justificada para explicar em detalhe o sucesso
desta formulação, que era adequada para explicar as propriedades dos elementos da
tabela periódica.
As idéias de Dirac
Paul Dirac combinou a equação de onda de Schrödinger com a teoria da relatividade
especial de Einstein. Ele percebeu que escrevendo a equação de onda relativística
para o elétron a solução matemática automaticamente incluiu o spin do elétron. Ele
também explicou e estendeu o princípio de Pauli dividindo as partículas em dois
grupos fundamentais: férmions e bósons. !
Férmions - partículas de spin 1/2
ou qualquer número ímpar de /2 como 3/2 , 5/2
etc. Férmions obedecem o princípio de exclusão de Pauli. (prótons, elétrons,
neutrons etc)
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Bósons - partículas de spin integral, 0,
, 2 , etc. (fótons, glúons). Bósons não
obedecem o princípio de exclusão de Pauli, logo vários bósons podem ocupar o
mesmo estado quântico.
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As equações de Dirac também permitiram prever a existências de anti-partículas.
Partículas e anti-partículas são idênticas exceto pelas cargas elétricas e momentum
magnético que são opostos.
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Pares de partículas e anti-partículas podem ser criadas a partir da energia de fótons
de raios 𝛾. Da mesma forma que partículas e anti-partículas podem se aniquilar
formando dois fótons de raios 𝛾 (E = mc2 ).
Espectros Complexos de átomos
Com a lista completa de números quânticos (n, ℓ, mℓ , mS) que descrevem o estado
detalhado de um elétron num átomo, o número de possíveis níveis de energia aumenta
rapidamente com o número de elétrons. Espectros podem tornar-se muito
complicados.
O exemplo ao lado mostra alguns níveis de energia
para os dois elétrons num átomo de He. Imagine para o
átomo de Ferro com 26 elétrons. Mas nem todas as
possíveis transições ocorrem. Existe um conjunto de
regras de seleção que restringem certas transições. Na
figura ao lado podemos perceber que somente
transições com Δ ℓ = ± 1 são mostradas. Estas
transições são chamadas de permitidas e podem
acontecer espontaneamente em escalas de tempo de 10-8
s.
Por outro lado, transições que não satisfazem a condição Δ ℓ = ± 1 são denominadas
transições proibidas. Existe ainda um outro conjunto de regras de seleção para Δ mℓ
= 0 ou ± 1. !Embora transições proibidas possam ocorrer, elas requerem um tempo muito grande
para que aconteçam com uma probabilidade significativa. Já que colisões entre
átomos iniciam transições e competem com transições espontâneas, gás de densidade
muito baixa é requerido para que intensidades devido a transições proibidas sejam
observadas. O meio interestelar difuso de uma galáxia é um exemplo deste tipo de
ambiente no Universo.
Exercícios
1 - Mostre que as unidades da constante de Planck são unidades de momentum
angular.
2 - Calcule as energias e comprimentos de onda de todos os possíveis fótons que são
emitidos quando o elétron, num átomo de Hidrogênio, faz transições em cascata do
nível n =3 para n =1
3 - Encontre o menor comprimento de onda de um fóton emitido por uma transição
que leva o elétron ao nível fundamental nas séries de Lyman, Balmer e Paschen.
Estes comprimentos de onda são conhecidos como limites das séries (Limite de
Lyman, Limite de Balmer etc)
4 - Um elétron numa televisão alcança uma velocidade de 5 x 107 m s-1 antes de se
chocar com a tela. Qual o comprimento de onda deste elétron ?
5 - Uma estrela anã branca é um objeto de alta densidade com seus íons e elétrons
empacotados numa região muito pequena. Cada elétron pode ser considerado como
sendo localizado numa região de Δ x ≈ 1.5 x 10-12 m. Use o princípio da incerteza de
Heinsenberg para estimar a velocidade mínima do elétron. Efeitos relativísticos são
importantes para estas estrelas ?
6 - Cada estado quântico do átomo de Hidrogênio é designado por um conjunto de
quatro números quânticos (n, ℓ, mℓ , mS). a) liste o conjunto de números quânticos
para o átomo de Hidrogênio para n = 1, 2, e 3; b) mostre que a degenerescência do
nível de energia n é dada por 2 n2.