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E X E R C Í C I OS:
NOTAS DE AULA 2
1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um
campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a
forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico
através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser
dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro).
R: Vamos dividir a área total da superfície do cilindro em três partes, as duas tampas
(superior e inferior) e a área lateral do cilindro, pois, o ângulo entre E e d A será o
mesmo em todos os pontos de cada uma das partes.
E   E  d A   E  d A1   E  d A2   E  d A3
1
2
3
E   EdA cos180   EdA cos 90   EdA cos 0o
o
1
o
2
3
E  EA  EA  E  0
2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do
fluxo do campo elétrico através dessa superfície?
R: Não, o fluxo do campo elétrico depende somente da carga total envolvida pela
superfície.
3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica.
Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes
casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo)
sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da
superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for
deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for
colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada
dentro da superfície gaussiana.
R: O fluxo mudará somente se mudar a carga total envolvida pela superfície, portanto:
a) Não mudará; b) não; c) Sim; d) não; e) sim.
4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir
sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície?
R: Como a carga total envolvida pela superfície é nula, o fluxo também será.
5.
Responda os itens abaixo justificando suas respostas.
a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja
nula . Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os
pontos sobre esta superfície gaussiana?
b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a
lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula?
R: a) Não, se a carga total envolvida pela superfície for nula, podemos afirmar que o
fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo, mas o campo elétrico pode não ser
nulo, mas o campo elétrico pode não ser nulo. Uma carga externa à superfície pode
gerar um campo elétrico em pontos desta superfície.
b) Sim. Na fórmula da lei de Gauss E 
 Ed A  q
env
podemos perceber que se o
campo for nulo em todos os pontos o fluxo através da superfície será nulo e a
carga total envolvida pela superfície também será nula.
6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com
55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície.
R: Pela lei de Gauss temos que:
 oE  qenv  E 
1,8 106
8,85 1012
E  2, 03 105 Nm2 / C
7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma
densidade superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a
esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera?
D  1, 2m  R  0, 6m
  8,1 C / m 2
a) q   A    4 R 2  8,1106  4  3,14   0, 6 
2
q  3, 66 105 C
b)  oE  qenv  E 
qenv
o
3, 66 105

8,85 1012
E  4,14 106 Nm 2 / C
8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente
acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo
elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um
cubo de aresta d)
q
d/2
d
d
R: Se pensarmos no quadrado como uma das faces de um cubo, no qual a carga ficará no
centro, podemos perceber pela simetria da figura, que ao fluxo terá o mesmo valor para
cada uma das seis faces desse cubo. Portanto basta calcular o fluxo total através do cubo e
dividir o resultado por seis (número de faces do cubo).
total 
qenv
o
  face 
total
6
  face 
qenv
6 o
9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico.
Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o
campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei
de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma
distância r, é dado por E = Q / (4o r2 ) (lei de Coulomb).
R: vamos considerar que a carga é positiva e que está no centro de uma superfície
gaussiana esférica de raio r.
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana, temos que:  o
 E d A  q
env
. Para
todos os pontos da superfície gaussiana o campo elétrico tem o mesmo valor e o
ângulo entre E e d A é de 0o , portanto:
 o  EdA cos 0o  qenv   o E  dA  qenv
 o E 4 R 2  qenv  E 
qenv
 o 4 R 2
10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante
propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se
um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão
distribuídas em sua superfície externa.
R: Consideremos um conduto carregado isolado e uma superfície gaussiana
imediatamente no interior do conduto, ou seja, esta superfície está no interior do
condutor, mas muito próxima da superfície real do condutor.
 o  E  d A  qenv  qenv  0
0
O campo elétrico é nulo em todos os pontos no interior do condutor isolado, portanto, a
lei de Gauss exige que a carga total envolvida pela superfície gaussiana seja nula.
Como a carga do condutor não está no interior da superfície gaussiana ela não está no
interior do condutor, portanto, a carga está na superfície externa do condutor.
11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em
sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o
que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No
entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode
ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo
do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito
próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o
valor deste campo é dado por: E = σ /ε0.
R: em pontos externos e bem próximos da superfície de um condutor isolado, o campo
elétrico é perpendicular à superfície deste condutor. O campo elétrico pode não ter o
mesmo valor para todos os pontos próximos de um condutor qualquer, mas podemos
considerar que uma seção de sua superfície seja tão pequena que possamos considerála plana e, além disso, podemos desprezar variação do campo elétrico em pontos
próximos desta seção.
Consideremos uma superfície gaussiana cilíndrica, diminuta, embutida nesta pequena
seção do condutor. Uma base da superfície gaussiana está no interior do condutor, a
outra está fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor, como
pode ser visto em perspectiva na figura abaixo.
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a
tampa que está em pontos externos ao condutor contribui para o fluxo do campo
elétrico através dessa superfície, portanto:
 o  E  d A  qenv   o EA  qenv
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que está na superfície de área A do
condutor, ou seja, qenv   A
 o EA  qenv   A  E 

o
12. Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do
condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme
q  3,0 106 C . Determine a carga: a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a
superfície externa do condutor.
R: a) Consideremos uma superfície gaussiana que contorna a parede da cavidade, mas
está no interior do condutor.
Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos desta superfície gaussiana, a lei de
Gauss exige que a carga total envolvida por esta superfície também deve ser nula.
q  3, 0 106 C
 o  E  d A  qenv  qi  q
0
qi  q  0  qi  q  3, 0 106 C
b) Como a carga total do condutor é nula, temos que:
qi  qe  0  qe  qi  3, 0 106 C
13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de
uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma
densidade linear de carga , é dado por: E =  /(2  o r).
P
r
barra
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a superfície lateral
do cilindro contribui para a o fluxo do campo elétrico através dessa superfície.
 o  E  d A  qenv   o EA  qenv
A área da superfície lateral do cilindro é A  2 rL e a carga envolvida pela superfície
gaussiana é a carga que está no comprimento L da barra, ou seja, q   L , com isso temos:
 o E 2 rL   L
E
L

 E
 o 2 rL
2 o r
14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha
infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 10 4 N/C a uma
distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada
constante.
E  4,5 104 N / C
r  2m
E

   E 2 o r
2 o r
  4,5 104  2    8,85  1012  2
  5 106 C / m
15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os
cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo
λa = - λ e λb = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no
interior da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o campo
elétrico é dado por E =  /(2  o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L,
concêntrica com as duas cascas cilíndricas.
Ao aplicarmos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a
superfície lateral do cilindro contribui para o fluxo do campo elétrico através da
superfícies gaussiana: Portanto temos:
16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de
3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 – 6
C/m, e sobre o cilindro externo é de - 7 × 10 – 6 C/m. Determine o valor do campo
elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm,
onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
a  3, 0cm
b  6, 0cm
a  5, 0 106 C / m
b  7, 0 106 C / m
Do exercício (15) temos que: E 
qenv
2 o rL
a) Em r  4,0cm (o ponto está entre as duas cascas cilíndricas). Com isso temos
qenv  a L
E
qenv
2 o rL
a L
5, 0 106
E

 2, 25 106 N / C
12
2
2 o rL 2    8,85 10  4, 0 10
Como a carga envolvida é positiva, o campo elétrico tem direção para dentro das
cascas cilíndricas.
b) Em r  8,0cm (o ponto é externo às duas cascas cilíndricas). Com isso temos
qenv   a  b  L
E
qenv
2 o rL
   b  L 
E a
2 o rL
5, 0 10
6
 7, 0 106 
2    8,85 10
12
 8, 0 10
2
 4,50 105 N / C
Como a carga envolvida é negativa, o campo elétrico tem direção para dentro das
cascas cilíndricas.
17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro
infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do
eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de
carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce
qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro não é condutor.
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r, concêntrica com o cilindro.
Portanto, somente sua superfície lateral contribui para o fluxo de campo elétrico através
dela (ver exercício 15).
 o  E  d A  qenv   o E 2 rL  qenv
a) Para r < R (os pontos estão no interior do cilindro)temos que:
qenv  V   r 2 L
 o E 2 rL  qenv   o E 2 rL   r 2 L  E 
r
2 o
b) Para r > R (os pontos estão no exterior do cilindro) temos que:
qenv  V   R 2 L
 o E 2 rL  qenv   o E 2 rL   R 2 L  E 
 R2
2 o r
18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo
elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com
uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0).
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente as
duas bases da superfície contribui para o fluxo de campo elétrico através da superfície.
Com isso temos:
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que esta na superfície de área A da
placa.
19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma
pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades
superficiais de cargas de sinais opostos e valores absolutos iguais σ =
7,00 1023 C / m2 . Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à
esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas.
  7 1022 C / m2
20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q
=2x10-8C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não
condutor que faz um ângulo de 30 o com uma placa vertical, não condutora,
uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional q que a
esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a
densidade superficial de cargas σ da placa.
q  2 108 C
m  10 g  10 103 kg
Devemos inicialmente representar as forças que atuam na esfera. Como a esfera está
em equilíbrio, vemos pela figura abaixo que:
F
F
x
 0  F  Tx  F  Tsen30o
y
 0  P  Ty  mg  T cos 30o
F Tsen30o

 F  mgtg 30o
mg Tos30o
temos que:
FqE
 q
E

2 o
mgtg 30o  2 o

 mgtg 30o   
2 o
q
10 103  9,8  tg 30o  2  8,85 10 12

2 108
  5 105 C / m 2
21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e
uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da
esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que:
a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca
esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca
esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4o r2).
b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela
casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática
sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior.
Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a esfera de raio
R. Se a esfera carregada com carga positiva, o ângulo entre E e d A será   0o para
todos os pontos da superfície gaussiana. Além disso, o valor do campo elétrico será o
mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana.
Aplicando a lei de Gauss, temos que:
a) Para r>R (pontos externos à casca esférica) toda carga da esfera está no interior da
superfície gaussiana, e com isso:
b) Para r<R (pontos no interior da casca esférica), a carga no interior da superfície
gaussiana é nula:
22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície
gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície
gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da
carga pontual?
a) Seria o mesmo, pois a carga envolvida pela superfície gaussiana não muda:
b)
23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo
elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 3 N/C e aponta para o
centro da esfera, qual é a carga desta esfera?
r  10, 0cm
E  3000 N / C  (r  15cm)
E
q
4 o r
2
Radialmente para dentro.
 q  E 4 o r 2  3000  4    8,99 x109   0,15 
2
q  7,5 x109 C
Como o campo aponta para dentro, a carga sobre a esfera é negativa.
24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7 C.
Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b)
imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera.
25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa.
Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb.
Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma
distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r2
); e (c) r > b é igual a (qa + qb) / (4o r2 )
Consideremos
uma
superfície
gaussiana esférica de raio r,
concêncentrica com as duas cascas
esféricas. Conforme figura ao lado.
Aplicando a lei de Gauss, temos que:  o
 Ed A  q
env
  o E 4 r 2  qenv (Veja
exercício 21)
a) Para r < a (os pontos estão no interior da casca menor) temos que:
qenv  0
 o E 4 r 2  qenv   o E 4 r 2  0  E  0
b) Para a< r < R (os pontos estão entre as duas cascas esféricas) temos que:
qenv  qa
 o E 4 r 2  qenv   o E 4 r 2  qa  E 
qa
4 o r 2
c) Para r > b (os pontos estão fora da casca esférica maior) temos que:
qenv  qa  qb
 o E 4 r 2  qenv   o E 4 r 2  qa  qb  E 
qa  qb
4 o r 2
26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da
casca menor é 4 × 10 – 8 C, e da casca maior é 2 × 10 – 8 C. Determine o módulo do
campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm.
a  10cm  0,1m
b  15cm  0,15m
qa  4 108 C
qb  2 108 C
a) r = 12 cm (entre as duas cascas esféricas)
E
qa
4 o r 2

4 108
4 8,85 10
12
 0,12 
2
 2,5 104 N / C
b) r = 20 cm (externo a esfera maior)
E
qa  qb
4 108  2 108

 1,35 104 N / C
4 o r 2 4 8,85 1012  0, 2 2
27. Podem duas superfícies equipotenciais diferentes interceptar-se?
R: Não, no ponto de cruzamento teríamos dois valores diferentes para o mesmo
potencial elétrico.
28. Um eletricista foi eletrocutado por acidente e numa reportagem jornalística afirmou-se
que: “Ele tocou acidentalmente um cabo de alta tensão e 20000 V de eletricidade
atravessaram seu corpo”. É adequado citar que 20000 V de eletricidade atravessaram o
corpo do eletricista?
R: não, que passa pelo corpo da pessoa é uma corrente elétrica e não a tensão.
29. Considere uma pessoa em pé sobre uma plataforma isolada. Se o potencial da pessoa for
aumentado de 10 kV ela será eletrocutada?
R: não, para que a pessoa seja eletrocutada tem que existir uma diferença de potencial
no seu corpo.
30. Os elétrons tendem a se deslocar espontaneamente para regiões de maior ou menor
potencial elétrico?
R: maior.
31. Os conselhos dados a alpinistas apanhados em tempestades acompanhadas de trovões e
raios são: a) abandonar rapidamente os picos e b) juntar os pés e agachar-se num
descampado, somente os pés tocando o solo. Em que se baseia tal orientação?
R: a) devido ao poder das pontas, ou seja, maior concentração de cargas nas regiões
de ponta.
b) os pés estando juntos teremos uma menor diferença de potencial entre eles.
32. Na figura abaixo, quando um elétron se desloca de A até B ao longo de uma linha de
campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94x10-19 J. Quais são as diferenças
de potencial elétrico (a) VA – VB ; (b) VC – VA ; (c) VC – VB.
q  1, 6 1019 C
TAB  3,94 1019 J
a)
VA  VB  
TAB
q
VA  VB  
3,94 1019
 2, 46V
1, 6 1019
b) Os pontos B e C estão numa mesma equipotencial, portanto, VC  VB
VC  VA  VB  VA  2, 46V
c) Como VC  VB  VB  VC  0
33. Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e afastadas por uma distância de 12
cm, têm cargas de mesmo valor absoluto e de sinais opostos nas faces que se defrontam.
Um elétron colocado em um ponto entre as duas placas sofre uma força eletrostática de
3,9 × 10 – 15 N. Desprezando o efeito de borda, ou seja, considerando o campo uniforme
em todos os pontos entre as placas, determine (a) o valor do campo elétrico no ponto
onde se encontra o elétron, e (b) o valor da diferença de potencial entre as placas.
34. Seja V o potencial elétrico, gerado por uma carga pontual, Q, e, r, a distância da carga
até um ponto. Represente qualitativamente o gráfico V x r para os seguintes casos: a) Q
> 0; b) Q< 0
35. Considere uma carga puntiforme q = + 1,0C e dois pontos B e A que distam,
respectivamente, 1,0 m e 2,0 m da carga. (a) Tomando tais pontos diametralmente
opostos, como mostra a figura abaixo. Qual é a diferença de potencial Va – Vb? (b)
Repita o item (a) considerando os pontos A e B localizados como mostra a Fig. 10b. R:
a) VAB = - 4,5 . 10 3 V b)V’AB = - 4,5 . 10 3 V
q  1, 0 C
a)

q
1, 0 x106
 8,99 x109
 4500V 

r
2
  V  VA  VB  4500  9000  4500V
6
q
9 1, 0 x10
VB  k  8,99 x10
 9000V 

r
1
VA  k
b)mesmo _ valor
36. Na figura abaixo, qual o potencial resultante no ponto P devido às quatro cargas
pontuais, se V = 0 no infinito?
q1
5q 
 Ko
r1
d 

q2
5q 
V2  K o
 Ko
r2
d 
5q
5q
5q
5q
 Ko
 Ko
 Ko
  VT  V1  V2  V3  V4  K o
q
5q 
d
d
d
2d
V3  K o 3  K o
r3
d 

q4
5q 
V4  K o
 Ko
r4
2d 
V1  K o
VT  K o
q
5
5  5  5  
d
2
VT  K o
q
 2,5
d
37. A figura a seguir mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas
no lugar, com a = 39,0 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,40
pC e q2 = 6,00 pC. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do
retângulo? (sugestão: Examinando o problema com atenção é possível reduzir
consideravelmente os cálculos).
q1  3, 4 pC  4,11012 C
q2  6, 0 pC  6, 0 1012 C
a  39cm  0,39m
Sendo d a distância entre cada carga do vértice e o centro do retângulo, temos que:
38. No retângulo da figura abaixo, os lados possuem comprimentos de 5,0 cm e 15 cm, q1 =
-5,0μC e q2 = +2,0μC. Com V = 0 no infinito, quais os potenciais elétricos (a) no vértice
A e (b) no vértice B? (c) Qual o trabalho realizado pela força elétrica para mover uma
terceira carga q3 = +3,0μC de B para A ao longo de uma diagonal do retângulo? Este
trabalho é maior, menor ou o mesmo exigido se q3 for movida ao longo de trajetórias
que estejam (d) dentro do retângulo, mas não sobre uma diagonal, e (e) fora do
retângulo? R: a) +6,0 x 104 V; b) – 7,8 x 105 V; c) -2,5 J; d) o mesmo; e) o mesmo.
A
q1
q2
B
q1  5 C
q1  2  C
a)
VA  V1  V2  k
 5 x106 2 x106 
q1
q
 k 2  8,99 x109 


2
r1
r2
5 x102 
 15 x10
VA  6 x104 V 
b)
VB  V1  V2  k
 5 x106 2 x106 
q1
q
 k 2  8,99 x109 


2
r1
r2
15 x102 
 5 x10
VA  7,8 x105V 
c)
U
 U  U f  U i  W
q
então :
V
V
f
 Vi  q  W


W   6 x104   7,8 x105   2,52 J
c)mesmo
d )mesmo
39. Seja V o potencial elétrico e E o módulo do campo elétrico, estabelecido por uma esfera
condutora isolada, num ponto a uma distância d do centro da esfera. Represente
qualitativamente o gráfico (para pontos no interior e fora da esfera):
(a) V  d, supondo que a carga da esfera é positiva.
(b) E  d
R:
a) O potencial tem o mesmo valor em todos os pontos no interior da esfera e varia de
forma semelhante ao de uma carga puntiforme para pontos fora da esfera.
b) No interior da esfera i campo elétrico é nulo e para pontos fora da esfera varia de
forma semelhante ao de uma carga puntiforme.
40. Quais são (a) a carga e (b) a densidade de carga sobre a superfície de uma esfera
condutora de raio 0,15 m, cujo potencial é de 200 V (com V = 0 no infinito)?
a) V  K o
b)  
q
V  R 200  0,15
q

 q  3,33 109 C
9
R
Ko
9 10
q
q
3,33 109


   1,18 108 C / m2
a 4 R 2 4  0,15 2
41. Dois condutores esféricos, A e B, de raios R A = R e RB = 2R estão isolados e distantes
um do outro. As cargas das duas esferas são de mesmo sinal e a densidade superficial de
carga de A é duas vezes maior do que a de B. Ligando-se as duas esferas por meio de
um fio condutor, verifique se haverá passagem de carga de uma para outra. Explique.
RA  R
RB  2 R
 A  2 B
Quando as esferas forem ligadas, só haverá passagem de carga de uma para a outra se
existir uma diferença de potencial entre elas.
Vamos determinar o potencial de cada esfera.
qA
 A AA
 A 4 RA2
VA  Ko
 Ko
 Ko
 VA   A 4 RA2
RA
RA
RA
De maneira semelhante
VB  K o
qB
 A
 4 RB2
 Ko B B  Ko B
 VB   B 4 RB2
RB
RB
RB
Sendo: RB  2 R e
A
2
  B , podemos verificar que VA  VB , portanto não haverá
passagem de cargas entre elas.
42. Considere duas esferas condutoras, 1 e 2 separadas por uma grande distância, a segunda
tendo o dobro do diâmetro da primeira. A esfera menor possui inicialmente uma carga
positiva q e a maior está inicialmente descarregada. Agora você liga as esferas com um
fio fino e longo. (a) Como estão relacionados os potenciais finais V 1 e V2 das esferas?
(b) Quais as cargas finais q1 e q2 sobre as esferas, em termos de q? (c) Qual a relação
entre a densidade superficial de carga final da esfera 1 e 2?
R1  2 R2
a) Após a ligação, haverá passagem de cargas entre elas até que atinjam o mesmo
potencial, portanto, V1'  V2' .
b) Temos que:
V1'  V2'
Ko
q1'
q'
q'
q'
 K o 2  K o 1  K o 2  q1'  2q2'
R1
R2
2 R2
R2
Podemos usar a conservação das cargas, ou seja, a soma algébrica das cargas das
duas esferas, antes e após a ligação, são iguais.
q1  q2  q1'  q2'  q . Temos agora um sistema formado por duas equações:
43. Uma gota esférica de água transportando uma carga de 30 pC tem um potencial de 500
V em sua superfície (com V = 0 no infinito). (a) Qual é o raio da gota? (b) se duas
gotas iguais a esta, com a mesma carga e o mesmo raio, juntarem para constituir uma
única gota esférica, qual será o potencial na superfície da nova gota?
q  30 pC  30 1012 C
V  500V
a) V 
Ko q
K q 9 109  30 1012
R o 
 R  5, 4 104 m
R
V
500
b) Vamos calcular a carga e o raio da nova gota:
q'  2q  2  30 1012  60 1012 C
Para calcular o raio da nova gota vamos usar a condição de que seu volume será o
dobro do volume de cada uma das gotas.
3
4
4
3
V '  2V    R '     R   R '  3 2 R
3
3
'
4
3
R  2  5, 4 10  R '  6,8 104 m
V' 
K o q ' 9 109  60 1012

R'
6,8 104
V '  794,12V
44. Considere duas esferas condutoras de raios R 1 = 14 cm e R2 = 16 cm, separadas por uma
distância muito grande. Inicialmente a esfera menor tem uma carga q1 = 7 μC e a esfera
maior uma carga q2 = 2 μC. As esferas são ligadas por um fio longo e fino. Determine o
valor da carga final de cada uma das esferas após ser atingido o equilíbrio eletrostático.
R1  14cm
q1  7 C
R2  16cm
q2  2C
Após a ligação haverá passagem de carga entre elas até que atinjam o mesmo
potencial elétrico. Após o equilíbrio os potenciais serão iguais, portanto, sendo q e q '
as cargas finais, temos que:
Ko q1' K o q2'
q1' q2'
14
V V 

   q1'  q2'
R1
R2
14 16
16
'
1
'
2
Pela conservação das cargas, a soma algébrica das cargas antes da ligação e após a
ligação tem o mesmo valor.
q1  q2  q1'  q2'  7  2  q1'  q2'  q1'  q2'  9 C
14 '
q2  q2'  9  q2'  4,8C
16
14
q1'   4,8  q1'  4, 2 C
16
45. (a) Qual a energia potencial elétrica de um sistema formado por dois elétrons separados
por uma distância de 2 nm? (b) Se a distância entre os elétrons diminuir, a energia
potencial elétrica do sistema aumente ou diminui?
9
19
19
q1q2 9 10  1, 6 10    1, 6 10 
u  Ko

a)
d
2 109
u  1,15 1019 J
b) Aumenta.
46. Duas cargas q = +2,0μC são mantidas fixas a uma distância d = 20 cm uma da outra
conforme figura abaixo. (a) Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto
C? (b) Qual é o trabalho necessário para deslocar uma terceira carga q = +2,0μC do
infinito até o ponto C? (c) Qual é a energia potencial U da nova configuração?
a) Cálculo da distância entre cada carga e o ponto C.
d  12  12  1, 41cm  1, 41102 m
O potencial no ponto C é gerado pelas duas cargas  q1 e q2  .
VC  K o
q q 
 2 106
q1
q
2 106 
 K o 2  VC  K o  1  2   9 109 


2
d1
d2
1, 41102 
 1, 4110
 d1 d 2 
VC  2,55 106V
b) O trabalho realizado por um agente externo será:


C  q3  VC  V   C  2  106  2,55 106V


0 

C  5,1J
c) Para um sistema formado por três cargas puntiformes, a energia potencial é dada
por:
u  Ko
qq
qq
q1q2
 Ko 1 3  Ko 2 3
d12
d13
d 23
q q q q q q 
u  Ko  1 2  1 3  2 3 
d13
d 23 
 d12
 2 106  2 106 2 106  2 106 2 106  2 106 
u  9 109 



2 102
1, 41102
1, 41102


u  6,9 J
47. Na figura abaixo, uma barra de plástico com um carga uniformemente distribuída Q = 25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71 cm e ângulo central
Φ = 120o . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o centro de
curvatura da barra?
48. Um disco de plástico de raio R = 64,0 cm é carregado na face superior com uma
densidade superficial de cargas uniforme σ = 7,73 fC/m2 e, em seguida, três quadrantes
do disco são removidos. A figura abaixo mostra o quadrante remanescente. Com V = 0
no infinito, qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que
está sobre o eixo central do disco original a uma distância D = 25,9 cm do centro do
disco original?
R  64cm
  7, 73 fC / m 2
D  25,9cm
Por simetria, percebemos que o potencial elétrico gerado por cada um dos quatro
quadrantes do disco tem o mesmo valor para o ponto P considerado; Portanto,
devemos dividir o potencial gerado pelo disco no ponto P por 4 (este potencial já foi
calculado).

2 o


D2  R2  D
Vdisco
VP 

4
4
15
2
2
7, 73 10


25,9 102    647 102   25,9 102 
12  
2  8,85 10 

VP 
4
V p  4, 71105V
49. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio 8,2 cm e separação 1,3
mm. (a) Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sobre as placas se a diferença
de potencial aplicada for de 120 V?
r  8, 2cm
d  1,3mm
V  120V
a)
  8, 2 x10
A
C   o  8,85 x10 12
d
1,3 x10 3

2 2
 143, 73 10 12 F
b)
q  CV  143, 73 x10 12 F 120  17, 25 10 9 C
50. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m2, com as quais desejamos
construir um capacitor de placas paralelas. Para obtermos uma capacitância de 1,00 F,
qual deverá ser a separação entre as placas? Será possível construirmos tal capacitor?
51. Duas placas paralelas de folha de alumínio têm uma separação de 1,0 mm, uma
capacitância de 10 pF e estão carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantendose a carga constante, diminuímos a separação entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a
nova capacitância? (c) De quanto varia a diferença de potencial?
52. As placas de um capacitor esférico têm raios de 30 nm e 40 nm. (a) Calcular a
capacitância deste capacitor. (b) Qual deve ser a área de um capacitor de placas
paralelas que tem a mesma separação entre as placas e mesma capacitância do capacitor
do item (a).
53. Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem uma capacitância dada por C. Se duas
destas gotas se combinarem para formar uma única gota maior, qual será a sua
capacitância?
C
R
Ko
Para calcular o raio da nova gota, usaremos a condição de que o volume da nova gota
é o dobro do volume de cada uma das duas gotas anteriores.
3
4
4
3
V '  2V    R '     R   R '  3 2 R
3
3
Com isso a nova capacitância será:
R' 3 2R
R
C 

 C'  3 2
 C '  3 2C
Ko
Ko
Ko
'
C
54. Quantos capacitores de 1,0 μF devem ser ligados em paralelo para acumularem uma
carga de 1 C na associação? Considere que a ddp aplicada à associação seja de 110 V.
VAB  110V ;
C=1 F;
q=1C
Vamos determinar a capacitância equivalente.
Ceq 
q
1

F
VAB 110
Como a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias, temos que:
Ceq  nC 
1
 n 1106  n  9090,9 capacitores.
110
55. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C2 = 5,00
F, C3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente. (b) a carga, (c)
a diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor.
C1 e C2 estão em série, portanto:
1
1
1
1
1
10
 


 C12  106 F
6
6
C12 C1 C2 10 10
5 10
3
C12 está em paralelo com C3, portanto:
Ceq  C12  C3 
10
106  4 106  Ceq  7,33 106 F
3
56. Para a associação representada na figura abaixo, considerando C 1 = 10,0 F, C2 = 5,00 F,
C3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância equivalente, (b) a carga, (c) a
diferença de potencial e (d) a energia armazenada para cada capacitor.
57. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em série com outro de capacitância C 2
= 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a
capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é
a diferença de potencial através de cada capacitor?
58. Um capacitor de capacitância C1 = 6,00 F é ligado em paralelo com outro de capacitância
C2 = 4,00 F e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a
capacitância equivalente da associação. (b) Qual é a carga sobre cada capacitor? (c) Qual é
a diferença de potencial através de cada capacitor?
59. Um capacitor de 100 pF é carregado sob uma diferença de potencial de 50 V e a bateria que
o carrega é retirada. O capacitor é, então, ligado em paralelo com um segundo capacitor,
inicialmente descarregado. Sabendo-se que a diferença de potencial da associação passa a
ser de 35 V, determine a capacitância deste segundo capacitor.
60. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b,
pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação
em série é independente da posição da seção central e é dada por
C
0 A
ab
61. Dois capacitores, de capacitâncias C1 = 2 μF e C 2 = 4 μF, são ligados em paralelo através
de uma diferença de potencial de 300 V. Calcular a energia total armazenada nos
capacitores.
C1  2 F 
  paralelo
C2  4 F 
V  300V
1
1
UT  U1  U 2   C1  C2 V 2   2 106  4 106  3002
2
2
UT  0, 27 J
62. Um capacitor de placas paralelas com ar entre as placas, possui uma capacitância de 1,3 pF.
A separação entre as placas é duplicada e introduz-se cera entre elas. A nova capacitância é
igual a 2,6 pF. Determine a constante dielétrica da cera.
63. Um capacitor de placas paralelas, preenchido com ar entre elas, possui capacitância de 50
pF. (a) Se cada uma de suas placas possuírem uma área de 0,35 m2, qual a separação entre
as placas? (b) Se a região entre as placas for agora preenchida com um material tendo k =
5,6, qual a nova capacitância?
64. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18
MV/m. Se esta substância for usada como dielétrico de um capacitor da placas paralelas,
qual deverá ser, no mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 0,
07 μF e o capacitor suporte uma diferença de potencial de 4 kV?
A rigidez dielétrica é o valor máximo do campo elétrico entre as placas.
A  0, 63m2