MatBas09 - Equacao 1 grau

MÓDULO IX
Exercício Resolvido
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
1. Equação
Toda sentença matemática aberta na forma de
igualdade é chamada de equação.
Exemplo:
2x + 3 = 15
Substituindo x por 6 na equação do exemplo acima,
a sentença matemática aberta se transforma em 2.6 + 3 =
15, que é uma sentença verdadeira.
O número 6 é chamado de raiz ou solução da
equação 2x + 3 = 15.
Assim, resolver uma equação é encontrar sua raiz,
um valor numérico que torna a sentença matemática
aberta em uma sentença verdadeira.
Conjunto solução ou conjunto verdade é o
conjunto de todas as raízes de uma mesma equação.
2. Equação do 1º grau
Uma equação do 1º grau é toda sentença aberta,
redutível ao tipo ax + b = 0, com a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ e x como
incógnita.
Na resolução de uma equação do 1º grau, podemos
ter três situações:
1ª Situação: ax + b = 0, com a ≠ 0 e b ∈ ℝ
Resolvendo a equação, temos:
b
ax + b = 0 ax = – b x = −
a
 b
O conjunto solução, nesse caso, será S = −  .
 a
ER.01) Encontrar o conjunto solução da equação
x + 1 = 2 – 3x
Resolução:
x + 1 = 2 – 3x x + 3x = 2 – 1 4x = 1 x =
1
4
 1
Logo, teremos o conjunto solução S =  
4
Exercícios Propostos
EP.01) Resolver, em ℝ, as equações abaixo:
a) 6 + 8x = 30
b) 3x – 3 = 3.(x – 1)
c) 5.(x – 3) = x – (14 – 4x)
1 − x 2x
d)
−
=1
1 + x 1− x
EP.02) Qual é o número que somado aos seus
2
resulta
3
em 30?
EP.03) (UEM) José gastou tudo o que tinha no bolso em
três lojas. Em cada uma gastou 1 (um) real a mais do que
a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha José
quando entrou na primeira loja?
2ª Situação: ax + b = 0, com a = 0 e b ≠ 0
3. Sistema de equações do 1º grau com duas variáveis
Resolvendo a equação, temos:
b
0
Observe que essa última igualdade obtida nunca
será satisfeita qualquer que seja o valor de b, pois não
existe um número b ≠ 0 que seja divisível por 0.
0x + b = 0 0.x = – b x = −
O conjunto solução, nesse caso, será S = ∅.
3ª Situação: ax + b = 0, com a = 0 e b = 0
Resolvendo a equação, temos:
0
0
Observe que essa última igualdade irá determinar
0
infinitos valores para x que satisfazem a igualdade, pois
0
é uma indeterminação e qualquer que seja o valor de x, a
igualdade será sempre satisfeita.
0x + 0 = 0 0.x = 0 x =
O seu conjunto solução, nesse caso, será S = ℝ.
3.1. Definição
A equação 4x + 3y = 12 é uma equação linear do 1º
grau com duas variáveis, onde:
• x e y são as incógnitas ou variáveis;
• 4 e 3 são os coeficientes das variáveis;
• 12 é o termo independente.
Um sistema de equações lineares do 1º grau, ou
simplesmente um sistema de equações do 1º grau, é um
conjunto de duas ou mais equações do 1º grau, que
devem ter a mesma solução.
Exemplo:
50x + 100y = 150

x+y=2

Se substituirmos x por 1 e y por 1 nesse sistema,
verificamos que as duas igualdades serão satisfeitas.
Então, indicamos que o par ordenado (1, 1) é solução do
sistema de equações do 1º grau apresentado.
Também podemos representar a solução desse
sistema como sendo S = { (1, 1) }.
Matemática Básica IX 1
3.2. Resolução de um sistema de equações do 1º
Exercícios Propostos
grau
Para resolver um sistema de equações do 1º grau,
podemos utilizar um dos três métodos apresentados a
seguir, sempre optando por aquele que facilitar a
resolução do sistema.
3.2.1. Método da substituição
Em uma das equações do sistema isola-se o valor
de uma incógnita, substituindo-a na outra equação.
Exercícios Resolvidos
 x + y = 12
.
ER.02) Determine a solução do sistema 
 x−y = 4
Resolução:
Na primeira equação do sistema dado, isolamos a
variável x, obtendo a equação ( 1 ):
x + y = 12 x = 12 – y ( 1 )
EP.04) Determine o valor de k e de t para que o sistema
 kx + y = 4
de equações do 1º grau 
, nas variáveis x e y,
 x − t = −1
tenha como solução o par ordenado (1, 2).
EP.05) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O
número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o
triplo do número de automóveis. O número total de
veículos que se encontram no pátio é:
a) 43
b) 46
c) 49
d) 52
e) 55
3.2.2. Método da Adição
Somar as duas equações do sistema, com o
objetivo de anular uma das incógnitas.
Exercícios Resolvidos
Substituímos a variável x da segunda equação do
sistema pelo x encontrado na equação ( 1 ), obtendo:
(12 – y) – y = 4 12 – y – y = 4 12 – 2y = 4 8
12 – 4 = 2y 8 = 2y y =
y=4
2
Substituindo o valor de y encontrado na incógnita y
da equação ( 1 ), temos:
x = 12 – 4 x = 8
Logo, teremos o conjunto solução S = { ( 8, 4) }.
ER.03) A soma de dois números é 17. O triplo de um deles
é três unidades maior que o outro. Determine esses
números.
Resolução:
Equacionando o problema, temos os números x e y,
cuja soma é 17, ou seja, x + y = 17.
O triplo de um deles é três unidades maior que o
outro, ou seja, 3x = y + 3.
Com essas informações, formamos um sistema de
duas equações com duas incógnitas:
 x + y = 17
 x + y = 17


 3x = y + 3
 3x − y = 3
Utilizando o método da substituição, obtemos:
• x + y = 17 x = 17 – y
• 3x – y = 3 3.( 17 – y) – y = 3 51 – 3y – y = 3
– 4y = 3 – 51 – 4y = – 48 (x – 1) 4y = 48
48
y=
y = 12
4
Sendo x = 17 – y, temos:
x = 17 – 12 x = 5
Portanto, a solução do sistema será S = {(5, 12)}.
 2x + y = 15
.
ER.04) Resolver o sistema de equações 
 3x − y = 5
Resolução:
Somando membro a membro as duas equações do
sistema, obtemos:
 2x + y = 15
 2x + y = 15
 3x − y = 5 + x = 4


 3x − y = 5
5x = 20
Substituindo o valor de x encontrado em uma das
equações do sistema, obtemos:
2x + y = 15 2.(4) + y = 15 8 + y = 15 y = 7
Logo, teremos o conjunto solução S = { ( 4, 7) }.
 2x + y = 13
ER.05) Resolver o sistema 
.
5x − 2y = 10
Resolução:
Neste sistema devemos tomar cuidado, pois se
somarmos as duas equações membro a membro não
anulamos uma das incógnitas. Assim, devemos preparar o
sistema para anularmos uma das variáveis.
Multiplicando a primeira equação por 2, iremos
anular a variável y quando somarmos as duas equações.
Assim:
 2x + y = 13
2x + y = 13 (× 2)
4x + 2y = 26



5x − 2y = 10
 5x − 2y = 10
 5x − 2y = 10
4x + 2y = 26
 5x − 2y = 10 + x = 4

9x = 36
Substituindo o valor de em uma das equações do
sistema original, temos:
2x + y = 13 2.(4) + y = 13 8 + y = 13 y = 5
Logo, os dois números procurados são 5 e 12.
Logo, teremos o conjunto solução S = { (4, 5) }
Matemática Básica IX 2
Exercícios Propostos
EP.06) Uma pessoa tem 18 notas em sua carteira,
totalizando a quantia de R$ 57,00. Se ela tem apenas
notas de R$ 2,00 e de R$ 5,00, quantas são as notas de
R$ 2,00?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 11
e) 13
EP.07) Dois tipos de comprimidos I e II são fabricados de
modo que a cada comprimido do tipo I contenha 10
unidades de vitamina A e 5 unidades de vitamina B e cada
comprimido do tipo II contenha 3 unidades de vitamina A e
2 unidades de vitamina B. O número total de comprimidos
I e II (juntos) que uma pessoa deve ingerir de modo a
absorver 35 unidades de vitamina A e 20 unidades de
vitamina B é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
3.2.3. Método da Comparação
Dado um sistema de equações do 1º grau com duas
variáveis, para resolvê-lo pelo método de comparação,
basta isolar a mesma variável nas duas equações dadas e
comparar as duas equações obtidas.
Exercício Resolvido
x + y = 5
ER.06) Resolver o sistema 
.
x − y =1
Resolução:
Isolando a variável x nas duas equações do
sistema, obtemos:
x + y = 5
x = 5 − y


x − y =1
 x = 1+ y
Igualando os valores de x obtido nas duas
equações, determinamos o valor da variável y:
5 – y = 1 + y – 2y = – 4 2y =4 y = 2
Substituindo o valor de y encontrado em uma das
equações do sistema, obtemos o valor da variável x:
x = 5 – y x = 5 – (2) x = 3
Logo, a solução do sistema será S = { (3, 2) }
Exercício Proposto
EP.08) Um copo cheio de água pesa 385g; com 2/3 da
água pesa 310g. Pergunta-se:
a) Qual é o peso do copo vazio?
b) Qual é o peso do copo com 3/5 da água?
Exercícios Complementares
EC.01) Resolver, em ℝ, as equações abaixo:
a) 2y + 4 = 5
b) 2x – [1 – (x – 2)] = 3
x x −5
2.(x − 5 )
c) −
= 1+
4
6
3
x+3
x−2
d) 3x −
=5−
2
3
x
1
e) − 2 = − .(4 − x )
2
2
EC.02) (Vunesp) O tempo t, em segundos, que uma pedra
leva para cair de uma altura x, em metros, é dado
aproximadamente pela fórmula t = 0,05x. Se o tempo t da
queda é de 4 segundos, a altura x é:
a) 80m
b) 75m
c) 55m
d) 45m
e) 40m
EC.03) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num
total de 360. Se o número de bolas brancas é o quádruplo
do de pretas, o número de bolas brancas é:
a) 18
b) 72
c) 120
d) 240
e) 288
EC.04) Numa loja, alguns cds e fitas estão em oferta
Estão sendo vendidas 3 fitas e 2 cds por R$ 56,00 ou
então 2 fitas e um cd por R$ 34,00. O preço de cada uma
das fitas e de cada um dos cds pode ser determinado a
partir da solução do sistema:
2x + y = 56
3x + 2y = 56
a) 
b) 
x + 2y = 34
 2x + y = 34
3x + 2y = 56
x + y = 56
c) 
d) 
 x + 2y = 34
x + y = 34
EC.05) Um professor tem um sistema muito curioso para
dar notas. O aluno ganha 5 pontos a cada resposta certa e
perde 3 pontos a cada resposta errada ou não feita.
a) Pedro obteve 52 pontos em uma prova com 20
questões. Quantas questões ele acertou?
b) Quantos pontos obteve um aluno desse professor que
acertou metade das questões de uma prova com 20
questões?
EC.06) Para colaborar com uma campanha contra a fome,
o Circo do Arrelia apresentou um espetáculo em que
crianças até 6 anos não pagavam entrada. De 6 a 16
anos, a entrada custava 2kg de feijão. Acima de 16 anos
cada pessoa pagava 3kg de feijão. O espetáculo e a
campanha foram um sucesso. Foram arrecadados 1498kg
de feijão com as entradas de 666 pagantes. Quantas
pessoas maiores de 16 anos pagaram? (sugestão: faça x
= pessoas de 6 a 16 anos e y = maiores de 16 anos)
Matemática Básica IX 3
EC.07) Ao saírem do colégio, Viviane e Pedro
conversavam a respeito do “peso” que carregavam em
suas mochilas. Diante das queixas de Viviane, Pedro
argumentou:
– Se eu transferir o equivalente a 1kg da sua mochila para
a minha, levarei o dobro do “peso” que você passará a
carregar. Entretanto, se, em vez disso, eu transferir o
equivalente a 1,5kg da minha mochila para a sua,
passaremos a carregar o mesmo “peso”.
Acreditando que esse raciocínio esteja correto,
determine o “peso” que cada um, ao sair do colégio,
levava em sua mochila.
EC.12) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O
primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma
porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3
latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas.
Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma
porção de batatas fritas e o preço de uma lata de
refrigerante era de:
a) R$ 2,00
b) R$ 1,80
c) R$ 1,75
d) R$ 1,50
e) R$ 1,20
EC.08) Para a realização de um baile, foi veiculada a
propaganda abaixo:
Sexta-feira - 8 de setembro
ás 22 horas
Ingressos antecipados
DAMAS
R$ 6,00
CAVALHEIROS
R$ 8,00
“O Dia”, 03/09/2000.(adaptado)
Após a realização do baile, constatou-se que 480
pessoas pagaram ingressos, totalizando uma arrecadação
de R$ 3.380,00.
Calcule o número de damas e de cavalheiros que
pagaram ingresso nesse baile.
EC.09) Supondo-se que 48kg de chumbo custam o
mesmo que 56.000g de aço e 7kg de aço custam R$
300,00, então o preço de 150kg de chumbo é igual a:
a) R$ 7.500,00
b) R$ 9.000,00
c) R$ 12.600,00
d) R$ 13.500,00
e) R$ 16.500,00
EC.10) Dois produtos químicos P e Q são usados em um
laboratório. Cada 1g (grama) do produto P custa R$ 0,03 e
cada 1g do produto Q custa R$ 0,05. Se 100g de uma
mistura dos dois produtos custam R$ 3,60, a quantidade
do produto P contida nesta mistura é:
a) 70g
b) 65g
c) 60g
d) 50g
e) 30g
EC.11) (UnB-DF) Em uma competição, participaram
caminhões (seis rodas), motocicletas (duas rodas) e jipes
(quatro rodas). Devido ao desgaste, todos os pneus foram
substituídos uma única vez durante a prova. Ao final
desta, foram contabilizadas as quantidades de pneus
trocados, constatando-se que, no total, para caminhões e
motocicletas, foram substituídos 132 pneus e para
caminhões e jipes, 212 pneus. Ao todo, foram trocados
260 pneus.
Determine a quantidade total de veículos que participaram
da competição.
GABARITO
Exercícios Propostos
EP.01) a) S = {3}
EP.02) 18
EP.03) 14
EP.04) k = t = 2
EP.05) D
EP.06) D
EP.07) C
EP.08) a) 160g
b) S = ℝ
c) S = ∅
d) S = {0}
b) 295g.
Exercícios Complementares
 1
EC.01) a) S =  
2
b) S = {2}
 38 
c) S =  
7 
 43 
d) S =  
e) S = ℝ
 17 
EC.02) A
EC.03) E
EC.04) B
EC.05) a) 14 questões
b) 20 pontos.
EC.06) 166 pessoas
EC.07) Pedro = 9kg e Viviane = 6kg
EC.08) 250 cavalheiros e 230 damas
EC.09) A
EC.10) A
EC.11) 70
EC.12) B
Matemática Básica IX 4