SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LINEARES
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
8.1
DEFINIÇÕES
Equação linear é uma equação na forma:
a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  b
na qual x1 , x2 , x3 ,..., xn são as variáveis e a1 , a2 , a3 ,..., an
são os respectivos coeficientes da variáveis, e b é o termo
independente.
Solução de uma equação linear: os valores das variáveis
que transformam uma equação linear em identidade, isto
é, que satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses
valores são chamados de raízes da equação linear.
Sistemas de equações lineares: é um conjunto de equações
lineares.
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  a x  ...  a x  b
23 3
2n n
2
 21 1 22 2
 a31 x1  a32 x2  a33 x3  ...  a3 n xn  b3
...

 am1 x1  am 2 x2  am3 x3  ...  amn xn  bm
8.2
SISTEMA COMPATÍVEL
Sistema compatível é um sistema que admite solução, isto é,
tem raízes.
8.2.1
SISTEMA DETERMINADO
Sistema determinado é um sistema compatível que admite
apenas uma única solução.
Exemplo:
 2 x  3 y  18

3x  4 y  25
é compatível e determinado, pois tem como raízes
unicamente.
x3
y4
8.2.2
SISTEMA INDETERMINADO
Sistema indeterminado é um sistema compatível que admite
mais de uma solução (na verdade infinitas soluções).
 4 x  2 y  100

8 x  4 y  200
8.3
y 0 2 4 6 8 10 12 14 ...
x 25 24 23 22 21 20 19 18 ...
SISTEMA INCOMPATÍVEL
Sistema incompatível é um sistema que não admite solução.
Exemplo:
3x  9 y  12

3x  9 y  15
é incompatível pois 3x+9y não pode ser simultaneamente
igual a 12 e igual a 15 para mesmos valores de x e y.
8.4
SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são equivalentes quando admitem a mesma
solução.
Exemplo:
3x  6 y  42

 2 x  4 y  12
e
 x  2 y  14

x  2y  6
são equivalentes porque admitem a mesma solução:
8.4.1
OPERAÇÕES ELEMENTARES E
SISTEMAS EQUIVALENTES
Um sistema de equações lineares se transforma num
sistema equivalente quando se efetuam as seguintes
operações elementares:
x  10
y2
I)Permutação de duas equações.
II)Multiplicação de uma equação por um número real
diferente de zero.
III)Substituição de uma equação por uma soma com outra
equação previamente multiplicada por um número real
diferente de zero.
 2 x  4 y  6 z  10
 2 x  4 y  6 z  10

1

II
)
2
x

8
y

4
z

24

L


  L1
1
I )  4 x  2 y  2 z  16  L23
 2
 4 x  2 y  2 z  16
 2 x  8 y  4 z  24


1x  2 y  3z  5
 2 x  4 y  6 z  10


 2 x  8 y  4 z  24
 2 x  8 y  4 z  24
 4 x  2 y  2 z  16
 4 x  2 y  2 z  16


1x  2 y  3 z  5

III )  2 x  8 y  4 z  24  L2  L2   2  L1
 4 x  2 y  2 z  16

1x  2 y  3 z  5

 0 x  4 y  2 z  14
 4 x  2 y  2 z  16

x2
y3
z 1
 mesma solução  sistemas equivalentes
8.5
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Quando num sistema de equações lineares os termos
independentes são todos nulos, o sistema é chamado
homogêneo.
Exemplo:
 2 x  5 y  3z  0
7 x  2 y  4 z  0


3x  8 y  5 z  0
9 x  3 y  8 z  0
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma
solução e essa chamamos de trivial é qualquer que seja o
sistema, xi=0.
8.6
ESTUDO E SOLUÇÃO DOS SISTEMA
DE EQUAÇÕES LINEARES
Será separado em:
8.6.1 Sistema com n equações lineares com igual número de
variáveis.
8.6.2 Sistema com m equações com n variáveis (para m≠n)
8.6.3 Sistema de equações lineares homogêneo (para m=n
ou m≠n)
8.6.1
SISTEMA COM N EQUAÇÕES COM N
VARIÁVEIS
8.6.1.1 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Dado o seguinte sistema:
 2 x  4 y  22

5 x  15 y  20
1

2
x

4
y

22

L

L1

1
2


5 x  15 y  20
1x  2 y  11

5 x  15 y  20  L2  L2  (5) L1
1x  2 y  11

1

0
x

25
y


75

L


L2
2

25

1x  2 y  11  L1  L1  (2) L2

 0 x  1y  3
1x  0 y  5

 0 x  1y  3
1x  5

1y  3
sistema equivalente
x5
y3
raízes
 2 x  4 y  22

5 x  15 y  20
 2 4 22 


5

15

20


Matriz ampliada do sistema
Matriz-coluna de termos independentes
Matriz dos coeficientes das variáveis
x e y
variáveis
Escalonamento de matrizes
8.6.1.2 MÉTODO
DA MATRIZ INVERSA
Seja o sistema de n equações lineares com n variáveis:
 a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  a x  ...  a x  b
23 3
2n n
2
 21 1 22 2
 a31 x1  a32 x2  a33 x3  ...  a3 n xn  b3
...

 an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
fazendo
 a11
a
 21
A   a31


 an1
a12
a22
a32
a13
a23
a33
an 2
an 3
a1n 
 x1 
 b1 
x 
b 
a2 n 
2
 
 2
a3n  ;X=  x 3  ;B=  b3 

 
 

 
 
 x n 
bn 
ann 
o sistema pode ser escrito sob a forma matricial:
 a11
a
 21
 a31


 an1
a12
a22
a32
a13
a23
a33
an 2
an 3
a1n   x1   b1 
a2 n   x 2   b2 
a3n    x 3  =  b3 
    
    
ann   x n   bn 
ou utilizando a notação abreviada, vem:
AX  B
Admitindo a existência da matriz A-1 e pré-multiplicando
ambos os membros pela matriz inversa, vem:
A1 AX  A1B
mas:
A1 A  I
IX  A1B
mas:
IX  X
logo:
X  A1B
Observação: o método de Gauss-Jordan é com certeza mais
prático , exige que se transforme a matriz A em uma matriz
I, enquanto o método da matriz inversa exige que se
transforme a referida matriz A em sua inversa A-1, mas é
conveniente no caso em que se tem para resolver um
conjunto de sistema em que a matriz dos coeficientes das
variáveis em cada sistema seja a mesma. Neste caso, só
calculamos uma vez a matriz inversa e resolverá todos os
sistemas.
Exemplo:
 2 x  y  7 z  b1

 x  3 y  2 z  b2
5 x  3 y  4 z  b
3

1) Para b1=16, b2=-5 , b3=11
2) Para b1=25, b2=-11, b3=-5
3) Para b1=3 , b2=5 , b3=-5
Fazendo:
2 1 7
 x
16 
 25 
3
A   1 3 2  ;X=  y  ;B1 =  -5  ;B2 =  -11 ; B3 =  5 
 5 3 4 
 z 
11
 -5 
 -5
Os 3 sistemas se transformam em:
1) AX  B1
2) AX  B2
3) AX  B3
e a solução deles é dada por:
1) X  A1B1
2) X  A1B2
3) X  A1B3
 6
  66

6
A1   
 66

 12
 66
1)
 6
  66

6
X  
 66

 12
 66
17

66
27
66
1
66
17
66
27
66
1
66

19 
66 

3
 
66 

5

66 
19 
66  16
   3
3
    5   4 
66 
  11   2 
5    

66 
2)
3)
 6
  66

6
X  
 66

 12
 66
 6
  66

6
X  
 66

 12
 66
17
66
27
66
1
66
19 
66 
  25   2 
3
    11   7 
66 
  5   4 
5 

66 
17
66
27
66
1
66
19 
66 
  3    3
3
    5    2 
66 
  5  1 
5    

66 


8.6.2 SISTEMA COM M EQUAÇÕES COM N
VARIÁVEIS (M≠ N)
O método é semelhante ao método de Gauss-Jordan, com a
diferença de que a matriz dos coeficientes não pode ser
transformada em matriz-unidade pois não é quadrada.
Exemplos:
1) Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:
 2 x  4 y  16

5 x  2 y  4
10 x  4 y  3

 2 4 16 
1


5

2
4

L

L1
1


2
10 4 3 
 1 2 8


5

2
4

  L2  L2   5  L1
10 4 3 
1
2 8 


0

12

36

  L3  L3   10  L1
10 4 3 
1 2 8 
 1


 0 12 36   L2    12  L2
 0 24 77 
1 2 8 


0
1
3

  L3  L3   24  L2
 0 24 77 
1 2 8 


0
1
3

  L1  L1   2  L2
 0 0 5
1 0 2 


0
1
3


 0 0 5
1x  0 y  2

 0 x  1y  3
 0 x  0 y  5

Ora, como não existem valores
para x e y que satisfaça a 3ª equação,
o sistema é incompatível.
2) Resolver o sistema de 4 equações com 2 variáveis:
 2 x  4 y  16
5 x  2 y  4


3x  y  9
 4 x  5 y  7
 2 4 16 


5

2
4

L  1L
1
1
3 1 9 
2


4

5

7


1 2 8 


5

2
4

  L  L   5  L
2
2
1
3 1 9 


 4 5 7 
1 2 8 


0

12

36

  L  L   3  L
3
3
1
3 1 9 


 4 5 7 
1 2 8 


0

12

36

  L  L   4  L
4
4
1
 0 5 15


4

5

7


1 2 8 


0

12

36

  L   1 L

 2
2
 0 5 15
 12 


0

13

39


1 2 8 


0
1
3

  L  L   2  L
1
1
2
 0 5 15


 0 13 39 
1 0 2 


0
1
3

  L  L   5 L
3
3
2
 0 5 15


0

13

39


1 0 2 


0
1
3

  L  L  13 L
4
4
2
0 0 0 


 0 13 39 
1

0
0

 0
0 2

1 3
0 0

0 0 
x2
y3
3) Resolver o sistema de 2 equações com 4 variáveis:
 2 x1  8 x2  24 x3  18 x4  84

 4 x1  14 x2  52 x3  42 x4  190
 2 8 24 18 84 
1

L

L1


1
2
 4 14 52 42 190 
 1 4 12 9 42 

  L2  L2   4  L1
 4 14 52 42 190 
 1 4 12 9 42 
1

  L2    L2
0
2
4
6
22
 2


 1 4 12 9 42 

  L1  L1   4  L2
0
1
2
3
11


 x1  86  20 x3  21x4
 1 0 20 21 86 



 x2  11  2 x3  3x4
 0 1 2 3 11 
Sistema
compatível e
indeterminado
 x1  86  20 x3  21x4

 x2  11  2 x3  3x4
x3 3 1 0 5 2 4 ...
x4 1 2 0 3 5 4 ...
x1
5 24 86 -77 -59 -78 ...
x2
2
3 11 -13 -8 -9 ...
arbitrários
calculados
8.6.2.1 CARACTERÍSTICAS
DE UMA
MATRIZ
Quando se transforma a matriz ampliada inicial numa
unitária, diz-se que ela foi transformada num matriz em
forma de escada. A matriz ampliada do sistema será
designada por A e a matriz em forma de escada por B.
Nos exemplos anteriores obtiveram-se matrizes em forma
de escada:
Exemplo 1)
1 0 2 


B  0 1 3 
 0 0 5
 2 4 16 


A   5 2 4 
10 4 3 
matriz B em forma de escada
matriz ampliada do sistema
1 0
V   0 1 
 0 0 
matriz V dos coeficientes das variáveis
Examinando as matrizes B e V, verifica-se:
a)a matriz B tem 3 linhas com elementos não todos nulos
b)a matriz V tem duas linhas com elementos não todos nulos
1 0 2 


B  0 1 3 
 0 0 5
1 0
V   0 1 
 0 0 
Chama-se característica de A, e se representa por Ca, ao
números de elementos não todos nulos de B.
No exemplo 1, Ca=3
Chama-se característica de V, e se representa por Cv, ao
números de elementos não todos nulos de V.
No exemplo 1, Cv=2
No exemplo 1, B representa um sistema de 3 equações e 2
variáveis e Ca>Cv. Neste caso, o sistema é incompatível: a
última linha de B representa a equação linear 0x+0y=-5
que não é satisfeita por nenhum valor de x e y.
No exemplo 2, tem-se:
1

0

B
0

 0
0 2

1 3
0 0

0 0 
1
0
V 
0

0
0
1 
0

0
Ca=2
Cv=2
Neste caso Ca=Cv, o sistema é compatível e as duas
primeiras linhas de B informam as raízes.
No exemplo 3, tem-se:
1 0 20 21 86 
B

0
1
2
3
11


Ca=2
1 0 20 21
V= 

0 1 2 3 
Cv=2
No exemplo 3, B representa um sistema de 2 equações e 4
variáveis e Ca=Cv. Neste caso, o sistema é compatível: a
primeira de B informa que x1  86  20 x3  21x4 , enquanto a
segunda linha de B informa que x2  11  2 x3  3x4 , e os
valores de x1 e x2 se obtém atribuindo valores arbitrários a
x3 e x 4 .
Resumindo:
Ca>Cv
sistema incompatível
Ca=Cv=C
sistema compatível
C<n
C=n
indeterminado
determinado
exemplo 3
exemplo 2
n=4
n=2
8.6.3 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
HOMOGÊNEO (PARA M=N OU M≠N)
Um sistema de equações lineares homogêneo pode ter
outras soluções denominadas soluções próprias, além da
solução trivial. O método para encontrar essas soluções, se
existirem, é o mesmo método utilizado para resolver um
sistema de m equações com n variáveis.
8.7 RESUMO
Para classificar qualquer sistema de equações lineares
(m=n, m≠n, homogêneo ou não) será sempre a mesma
notação e utilizado o mesmo critério:
A) A é matriz ampliada do sistema (contém a matriz dos
coeficientes das variáveis e a matriz coluna dos termos
independentes, ambas separadas por um traço vertical).
B)B é a matriz reduzida à forma de escada.
C) Ca é a característica da matriz ampliada (número de
linhas com elementos não todos nulos de B).
D)Cv é a característica da matriz V dos coeficientes das
variáveis (número de linhas com elementos não todos nulos
dessa matriz dos coeficientes das variáveis, contida em B).
E)C (quando Ca=Cv=C, o que nem sempre acontece, pois
Ca pode ser maior que Cv) é a característica da matriz B.
F)m é o número de equações.
G)n é o número de variáveis.
Por outro lado:
H)Se Ca>Cv, o sistema é incompatível.
I) Se Ca=Cv=C, o sistema é compatível. Neste caso:
I1) Se C=n, o sistema é determinado.
I2)Se C<n, o sistema é indeterminado.