Aula 15 – Distribuição t de Student

Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Distribuição t de Student
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Distribuição t de Student
A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística,
com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses.
Definição 15.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student
com ν graus de liberdade, denotada por tν , se sua função densidade for dada por:
1
€ ν +1 Š
Γ
€2Š
νπ Γ ν
2
f (x ) = p

1+
x2
‹−
ν
€
ν +1
2
Š
,
ν = 1, 2, 3, . . .
∀x ∈ R
A expressão acima é assustadora????
Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades.
Mais uma vez, o parâmetro ν , chamado de graus de liberdade, está associado ao
número de parcelas independentes em uma soma.
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Propriedades da distribuição t de Student
Propriedades
E (X ) = 0 para
Var (X ) =
ν
,
ν −2
ν >1
para
ν >2
A função geradora de momentos da t de Student não está definida para todos os
graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de
Student para alguns graus de liberdade.
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Distribuição t de Student
Principais Características
Cada número de graus de liberdade da origem a uma distribuição t diferente.
A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal,
mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de
se esperar em amostras pequenas.
A distribuição t-Student se aproxima da normal quando aumenta o número
de graus de liberdade.
A curva é simétrica em torno do zero, ou seja, dado um a ∈ R, tem-se que
f (a) = f (−a). Logo P (X ≤ −a) = P (X ≥ a).
1
Se ν = 1 então f (x ) = π(1+
para todo x ∈ R. Esta distribuição é
x 2)
denominada distribuição de Cauchy.
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Distribuição t de Student
Ao contrário da distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes
distribuições t, assim seria necessária uma tabela para cada valor de ν .
É comum que os livros didáticos apresentem tabelas da distribuição t que
envolvem os valores críticos.
O motivo para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a
construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses.
Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de
significância α que, como visto no gráfico a seguir, é o valor da abscissa que
deixa probabilidade (área) α acima dela.
Na tabela t, cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade
e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela
temos a abscissa tα que deixa a área α acima dela.
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Exemplo de Tabela t de Student
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Teorema 15.1: Sejam Y e Z variáeis aleatórias independentes, Y sendo
normalmente distribuída com média 0 e variância 1, e Z tendo distribuição
qui-quadrado com ν graus de liberdade. Então, a variável
T=p
Y
Z /ν
tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade.
Observação 15.1: Considere X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias independentes
com distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Então, a variável
t=
X −µ
p
s/ n
onde s é o desvio padrão amostral, tem distribuição t de Student com n − 1 graus
de liberdade.
Este fato é decorrente do teorema acima.
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