Aula 15 – Distribuição t de Student
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Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 1/1 Distribuição t de Student A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística, com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses. Definição 15.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade, denotada por tν , se sua função densidade for dada por: 1 ν +1 Γ 2 νπ Γ ν 2 f (x ) = p 1+ x2 − ν ν +1 2 , ν = 1, 2, 3, . . . ∀x ∈ R A expressão acima é assustadora???? Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades. Mais uma vez, o parâmetro ν , chamado de graus de liberdade, está associado ao número de parcelas independentes em uma soma. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 2/1 Propriedades da distribuição t de Student Propriedades E (X ) = 0 para Var (X ) = ν , ν −2 ν >1 para ν >2 A função geradora de momentos da t de Student não está definida para todos os graus de liberdade, entretanto podemos encontrar os momentos da função t de Student para alguns graus de liberdade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 3/1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 4/1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 5/1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 6/1 Distribuição t de Student Principais Características Cada número de graus de liberdade da origem a uma distribuição t diferente. A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal, mas reflete uma maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas. A distribuição t-Student se aproxima da normal quando aumenta o número de graus de liberdade. A curva é simétrica em torno do zero, ou seja, dado um a ∈ R, tem-se que f (a) = f (−a). Logo P (X ≤ −a) = P (X ≥ a). 1 Se ν = 1 então f (x ) = π(1+ para todo x ∈ R. Esta distribuição é x 2) denominada distribuição de Cauchy. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 7/1 Distribuição t de Student Ao contrário da distribuição normal, não existe uma relação entre as diferentes distribuições t, assim seria necessária uma tabela para cada valor de ν . É comum que os livros didáticos apresentem tabelas da distribuição t que envolvem os valores críticos. O motivo para isso é que a maioria das aplicações da distribuição t envolve a construção de intervalos de confiança ou de testes de hipóteses. Nessas aplicações, nosso interesse está no valor crítico associado a um nível de significância α que, como visto no gráfico a seguir, é o valor da abscissa que deixa probabilidade (área) α acima dela. Na tabela t, cada linha corresponde a um número diferente de graus de liberdade e cada coluna corresponde a uma área α na cauda superior. No corpo da tabela temos a abscissa tα que deixa a área α acima dela. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 8/1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 9/1 Exemplo de Tabela t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 10 / 1 Distribuição t de Student Teorema 15.1: Sejam Y e Z variáeis aleatórias independentes, Y sendo normalmente distribuída com média 0 e variância 1, e Z tendo distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade. Então, a variável T=p Y Z /ν tem distribuição t de Student com ν graus de liberdade. Observação 15.1: Considere X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Então, a variável t= X −µ p s/ n onde s é o desvio padrão amostral, tem distribuição t de Student com n − 1 graus de liberdade. Este fato é decorrente do teorema acima. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 11 / 1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 12 / 1 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 13 / 1
