Campo Magnetico e Forcas Magneticas

NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
CAMPO MAGNÉTICO E FORÇAS MAGNÉTICAS
1 INTRODUÇÃO
Todas as pessoas utilizam a força magnética. Ela está presente em motores elétricos, nos cinescópios de TV, nos
fornos de micro-ondas, em alto-falantes, nas impressoras de computadores e nos discos magnéticos usados nos
computadores. Um dos aspectos mais familiares do magnetismo é aquele associado ao ímã permanente, que atrai
objetos de ferro não imantados e também atrai ou repele outro ímã. A agulha de uma bússola alinhada ao campo
magnético da Terra fornece um exemplo da interação magnética. Contudo, a natureza fundamental do magnetismo é a
interação produzida por cargas elétricas que se movem. Diferentemente da força elétrica, que atua sempre sobre uma
carga, quer ela esteja em movimento ou em repouso, as forças magnéticas só atuam sobre cargas em movimento.
Embora as forças elétricas sejam diferentes das forças magnéticas, usamos o conceito de campo para descrever
ambos os tipos de força. Já vimos que a força elétrica surge em duas etapas: (1) uma carga produz um campo elétrico no
espaço na sua vizinhança e (2) uma segunda carga reage a esse campo. As forças magnéticas também surgem em duas
etapas. Em primeiro lugar, uma carga em movimento ou um conjunto de cargas em movimento (ou seja, uma corrente
elétrica) produz um campo magnético. A seguir, uma segunda corrente ou carga em movimento reage a esse campo
magnético e sofre a ação de uma força magnética.
Neste capítulo, estudaremos a segunda etapa da interação magnética, ou seja, como as cargas em movimento
reagem aos campos magnéticos. Estudaremos principalmente como calcular as forças magnéticas e os torques, e
descobriremos por que os ímãs conseguem atrair objetos metálicos, como clipes de papel. No próximo capítulo,
completaremos a abordagem à interação magnética, examinando como as cargas em movimento e as correntes
produzem os campos magnéticos.
2 PROPRIEDADES DOS ÍMÃS
Os fenômenos magnéticos foram observados, inicialmente há pelo menos cerca de 2500 anos, em fragmentos
de minério de ferro imantados nas proximidades da antiga cidade de Magnésia (agora chamada de Manisa, no oeste da
Turquia). Esses fragmentos hoje são conhecidos como ímãs permanentes. Verificou-se que um ímã permanente exerce
uma força sobre outro ímã ou sobre um pedaço de ferro não-imantado. Vejamos algumas propriedades desses ímãs:
● PÓLOS DE UM ÍMÃ
Verificou-se que os pedaços de ferro eram atraídos com maior intensidade por certas partes do ímã, as quais
foram denominadas polos do ímã. Se tomarmos, por exemplo, um ímã em forma de barra e distribuirmos limalha de
ferro (pequenos pedaços de ferro) sobre ele, notaremos que a limalha se acumulará nas extremidades da barra (figura
1), isto é, ela é atraída com maior intensidade para estas extremidades. Portanto, um ímã possui dois polos, situados em
suas extremidades.
FIGURA 1 – Polos de um ímã
Suspendendo-se um ímã em forma de barra, de modo que possa girar livremente em torno de seu centro,
observa-se que ele se orienta sempre ao longo de uma mesma direção (figura 2). Tal direção coincide aproximadamente
com a direção norte-sul da Terra. Esta propriedade dos ímãs foi utilizada na construção das bússolas magnéticas, as
1
quais tornaram possível a realização de extensas viagens marítimas desde tempos muito remotos. Como você sabe,
estes instrumentos continuam sendo amplamente empregados até nossos dias.
FIGURA 2 Um ímã (ou agulha magnética) suspenso
orienta-se na direção norte-sul.
Os polos de um ímã recebem as denominações de "polo norte magnético" e "polo sul magnético", de acordo
com a seguinte convenção: polo norte de um ímã é aquela extremidade que, quando o ímã pode girar livremente,
aponta para o norte geográfico da Terra. A extremidade que aponta para o sul geográfico da Terra é o polo sul do ímã
(figura 2).
É possível que você já tenha observado experimentalmente que, ao tentarmos aproximar o polo sul de um ímã
do polo sul de outro ímã, notaremos que haverá uma força magnética de repulsão entre estes polos. Do mesmo modo,
observaremos que há uma força de repulsão entre os polos norte de dois ímãs, enquanto entre o polo norte de um ímã
e o polo sul de outro haverá uma força de atração magnética (figura 3). Em resumo: polos magnéticos de mesmo nome
se repelem e polos magnéticos de nomes contrários se atraem.
FIGURA 3 Quando os polos opostos (N e S, ou S e N) de um ímã se aproximam, ocorre atração entre os ímãs. Quando os
polos iguais (N e N, ou S e S) de um ímã se aproximam, ocorre repulsão entre os ímãs.
● INSEPARABILIDADE DOS PÓLOS
Uma outra propriedade interessante dos ímãs consiste na inseparabilidade de seus polos: verificou-se
experimentalmente que não se consegue obter um polo magnético isolado. Qualquer ímã apresenta sempre, no
mínimo, dois polos. Assim, se tomarmos um ímã em forma de barra, como o ímã da figura 4, e o partirmos em dois
pedaços, obteremos dois novos ímãs, como mostra a figura. Observe que as extremidades continuam a se comportar
como um polo sul e um polo norte. Entretanto, na região em que o ímã foi cortado, aparecerão dois novos polos.
FIGURA 4 É impossível obter um polo magnético isolado.
● LINHAS DO CAMPO MAGNÉTICO
Podemos representar qualquer campo magnético por linhas do campo magnético. A ideia é idêntica à que
empregamos para as linhas de campo elétrico. Desenhamos as linhas de tal modo que a linha que passa em cada ponto

seja tangente ao vetor campo magnético B no ponto considerado (figura 5). Tal como no caso das linhas de campo
elétrico, desenhamos apenas algumas linhas representativas; se não fosse assim, essas linhas deveriam preencher todo
o espaço. Nos locais onde as linhas de campo são agrupadas mais compactamente, o módulo do campo magnético é
elevado; quando a distância entre as linhas for grande, o módulo do campo magnético será pequeno. Além disso, como

B só pode ter uma direção e um sentido em cada ponto, concluímos que duas linhas de campo não podem se
interceptar.
2
FIGURA 5 Linhas de campo magnético de um ímã
permanente. Note que as linhas de campo passam pelo
interior do ímã.
● A TERRA É UM GRANDE IMÃ
Durante muitos anos, vários filósofos e cientistas tentaram encontrar uma explicação para o fato de um ímã
(como a agulha magnética de uma bússola) se orientar na direção norte-sul da Terra. Entretanto, a explicação que hoje
sabemos ser correta só veio a ser formulada no século XVII pelo médico inglês W. Gilbert. Em sua obra, denominada De
magnete, publicada em 1600, Gilbert descreve um grande número de propriedades dos ímãs, observadas
experimentalmente por ele, e formula hipóteses procurando explicar estas propriedades.
Uma das principais ideias que ele apresenta em sua obra é a de que a orientação de uma agulha magnética se
deve ao fato de a Terra se comportar como um grande ímã. Segundo Gilbert, o polo norte geográfico da Terra seria
também um polo magnético que atrai a extremidade norte da agulha magnética. De modo semelhante, o polo sul
geográfico da Terra se comporta como um polo magnético que atrai o polo sul da agulha magnética. Em virtude destas
forças de atração, a agulha magnética (ou qualquer outro ímã em forma de barra) tende a se orientar ao longo da
direção norte-sul. É fácil perceber, de acordo com esta explicação, que o polo norte geográfico da Terra é um polo sul
magnético (pois ele atrai o polo norte da agulha) e o polo sul geográfico é um polo norte magnético. Então, para efeitos
magnéticos, podemos imaginar a Terra representada por um grande ímã, como se procura ilustrar na figura 6.
FIGURA 6 O norte geográfico da Terra é um polo sul magnético e o sul geográfico é um polo norte magnético.
3
3 A DESCOBERTA DO CAMPO MAGNÉTICO
O Magnetismo foi se desenvolvendo com o estudo das propriedades dos ímãs, algumas das quais foram
descritas na secção anterior. Não se suspeitava, então, que pudesse existir qualquer relação entre os fenômenos
magnéticos e os fenômenos elétricos. Em outras palavras, o Magnetismo e a Eletricidade eram considerados dois ramos
da Física totalmente independentes e distintos um do outro.
Entretanto, no início do século XIX um fato notável determinou uma mudança radical neste ponto de vista. Este
fato, observado pelo professor dinamarquês H. C. Oersted, veio mostrar que há uma íntima relação entre a Eletricidade
e o Magnetismo, ao contrário do que se pensava até então.
Em 1820, trabalhando em seu laboratório, Oersted montou um circuito elétrico, tendo nas proximidades uma
agulha magnética. Não havendo corrente no circuito (circuito aberto), a agulha magnética se orientava na direção
norte-sul, como já sabemos. A montagem apresentada na figura 7 é semelhante àquela feita por Oersted. Observe que
o fio é colocado paralelamente à agulha, isto é, orientado também na direção norte-sul.
Ao estabelecer uma corrente no circuito, Oersted observou que a agulha magnética se desviava, tendendo a se
orientar em uma direção perpendicular ao fio. Interrompendo-se a corrente, a agulha retornava à sua posição inicial, ao
longo da direção norte-sul. Estas observações realizadas por Oersted mostravam que uma corrente elétrica podia atuar
como se fosse um ímã, provocando desvios em uma agulha magnética. Verificava-se, assim, pela primeira vez, que
existe uma relação entre a Eletricidade e o Magnetismo: uma corrente elétrica é capaz de produzir efeitos magnéticos.
FIGURA 7 Montagem da experiência de Oersted
Percebendo a importância de sua descoberta, Oersted divulgou o resultado de suas observações, que
imediatamente atraiu a atenção de grandes cientistas da época. Alguns deles passaram a desenvolver pesquisas
relacionadas com o fenômeno, destacando-se o trabalho de Ampère. Em pouco tempo, graças a estas pesquisas,
verificou-se que qualquer fenômeno magnético era provocado por correntes elétricas, isto é, conseguia-se, de modo
definitivo, a unificação do Magnetismo e da Eletricidade, originando o ramo da Física atualmente denominado
Eletromagnetismo.
Como resultado dos estudos que acabamos de citar, foi possível estabelecer o princípio básico de todos os
fenômenos magnéticos: quando duas cargas elétricas estão em movimento, aparece entre elas uma força que é
denominada força magnética.
Todas as manifestações de fenômenos magnéticos são explicadas através desta força entre cargas em
movimento. Assim, o desvio da agulha na experiência de Oersted é devido à existência desta força; é também ela a
responsável pela orientação da agulha magnética na direção norte-sul; a atração e repulsão entre os polos de ímãs é
ainda uma consequência desta força magnética.
Conforme veremos a seguir, existem cargas em movimento na estrutura atômica de um ímã que são
responsáveis pelas propriedades magnéticas que ele apresenta.
4 FORMAÇÃO DE UM ÍMÃ
Conforme as conclusões de Oersted, toda carga elétrica em movimento gera um campo magnético. Assim, o
movimento dos elétrons nos átomos – em torno do núcleo (translação) e em volta de si mesmo (rotação ou spin) – não
foge à regra. Desses dois movimentos, o mais relevante é o campo gerado pelo spin do elétron.
Considere uma substância com distribuição eletrônica em orbital 1s completo. Nela, os elétrons giram em
sentidos contrários (spins opostos), conforme você já conhece da Química. A figura 8 mostra a distribuição de elétrons
nesse orbital e o efeito magnético decorrente.
FIGURA 8 Distribuição de elétrons em um
orbital e o efeito magnético decorrente.
4
Note que os elétrons produzem campos magnéticos opostos e de mesmo módulo. Assim, o efeito magnético
resultante é nulo e substâncias com orbitais completos apresentam comportamento magnético desprezível.
O ferro tem seis elétrons no último nível (3d6), dos quais quatro estão desemparelhados, criando um forte
dipolo magnético resultante. Assim, essa substância apresenta efeito magnético, conforme mostrado na figura 9, sendo

BA o dipolo magnético resultante de cada átomo de ferro, chamado de dipolo magnético elementar.
FIGURA 9 Distribuição eletrônica do ferro.
Normalmente, os dipolos elementares de uma barra de ferro estão orientados ao acaso, gerando um campo
magnético resultante igual a zero. Assim, uma barra de ferro não exerce ação magnética sobre outra. Para que uma
barra de ferro se transforme em um ímã, é necessário promover o alinhamento dos dipolos magnéticos dessa barra.
A natureza nos forneceu alguns ímãs naturais, formados pelo alinhamento dos dipolos magnéticos com o campo
magnético terrestre, em substâncias como a magnetita, durante a sua cristalização em eras remotas. Podemos,
entretanto, criar ímãs artificiais, realizando, por exemplo, uma das três operações seguintes:
1. Deixar uma barra de ferro em contato com um forte ímã por muito tempo.
2. Esfregar um ímã num pedaço de ferro, sempre no mesmo sentido, várias vezes.
3. Enrolar um solenoide em volta de uma barra de ferro e fazer com que esse seja percorrido por uma corrente contínua
de valor elevado por alguns instantes.
As figuras a seguir mostram uma barra de ferro comum e outra com os dipolos magnéticos alinhados, que se
transformou em um ímã.
FIGURA 9 Barra de ferro comum e barra de ferro com os dipolos magnéticos alinhados.
Quando um ímã é aproximado de um objeto de ferro (um prego, por exemplo), este passa a ter os seus dipolos
magnéticos elementares alinhados, ou seja, o objeto se transforma em um ímã, ainda que momentaneamente.
O alinhamento produz, na extremidade do objeto próxima ao ímã, um polo oposto ao deste. Por isso, e só por
isso, ocorrem forças de atração entre o objeto e o ímã. Se quebrarmos um ímã, desde que isso não afete muito a
orientação dos dipolos magnéticos, teremos dois novos ímãs, cada um com os seus polos norte e sul, conforme figura a
seguir. Assim, quando partimos um ímã, não separamos os seus polos, nós obtemos dois novos ímãs. Esse fato, como já
visto anteriormente, é conhecido como inseparabilidade dos polos de um ímã.
FIGURA 10 Ímã quebrado com seus dipolos magnéticos. Cada pedaço com os seus polos norte e sul.
Considere o ímã representado a na figura 11. Partindo-se o ímã ao meio, conforme em A, observamos que as
pontas quebradas se atraem. Porém, quebrando-se o ímã conforme em B, notamos que as partes vão se repelir. O
alinhamento dos dipolos elementares e a lei de interação entre os polos explica essa diferença.
FIGURA 11 Ímã partido ao meio de formas
diferentes.
5
5 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS
Os materiais, de acordo com suas características magnéticas, dividem-se em três classes principais:
paramagnéticos, diamagnéticos e ferromagnéticos.
Os paramagnéticos apresentam dipolos magnéticos elementares muito fracos e, por isso, contribuem muito
pouco para o valor do campo magnético. Dizemos que eles possuem permeabilidade magnética (µ) apenas ligeiramente
maior que a do vácuo (µ0). Por esse motivo, são fracamente atraídos por um ímã. Madeira, alumínio e chumbo são
exemplos de materiais paramagnéticos. Se uma barra de alumínio for colocada no interior de um solenoide percorrido
por uma corrente elétrica, o campo magnético praticamente não sofrerá alteração.
Os materiais diamagnéticos também possuem dipolos magnéticos elementares fracos, porém com uma
característica especial: os seus dipolos alinham-se em sentido contrário ao do campo magnético externo. Assim, esses
materiais são fracamente repelidos pelos ímãs. Eles têm uma permeabilidade magnética () ligeiramente menor que a
do vácuo (0). O bismuto, a água, o cobre e alguns gases são exemplos típicos de materiais diamagnéticos.
Os materiais ferromagnéticos têm permeabilidade magnética () muito superior à do vácuo (0). Os dipolos
magnéticos elementares são fortes e, por isso, esses materiais são fortemente atraídos por ímãs. Os materiais
ferromagnéticos mais conhecidos são o ferro, o níquel, o cobalto e as suas ligas. Assim, se colocarmos uma barra de
ferro, por exemplo, no interior de um solenoide percorrido por corrente elétrica, a intensidade do campo magnético
resultante aumentará consideravelmente (até 20 000 vezes).
6 CAMPO MAGNÉTICO
Para introduzirmos apropriadamente o conceito de campo magnético, vamos fazer uma revisão da formulação
da interação elétrica apresentada no capítulo de Campo Elétrico. Descrevemos as interações elétricas em duas etapas:

1. Uma distribuição de cargas elétricas em repouso cria um campo elétrico E no espaço em torno da distribuição.


2. O campo elétrico exerce uma força F  qE sobre qualquer carga q que esteja presente no campo.
Podemos descrever as interações magnéticas de modo análogo:
1. Uma carga móvel ou uma corrente elétrica cria um campo magnético em suas vizinhanças (além do campo elétrico).

2. O campo magnético exerce uma força F sobre qualquer outra corrente ou carga que se mova no interior do campo.
Neste capítulo, vamos nos concentrar no segundo aspecto da interação: considerando um certo campo
magnético, qual é a força que ele exerce sobre uma corrente ou sobre uma carga que se move? No próximo capítulo,
voltaremos ao problema da determinação de campos magnéticos criados por correntes e cargas que se movem.
Tal como no caso do campo elétrico, o campo magnético é um campo vetorial, ou seja, trata-se de uma

grandeza vetorial associada a cada ponto do espaço. Vamos usar o símbolo B para designar um campo magnético. Em

cada ponto do espaço, a direção de B é dada pela direção da agulha de uma bússola e o sentido aponta para o norte da
agulha. As setas indicadas na figura 6 sugerem a direção e o sentido do campo magnético da Terra; para qualquer ímã, o

vetor B sai do polo norte e entra no polo sul.
7 FORÇAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS EM MOVIMENTO
São quatro as características da força magnética que atuam sobre uma carga em movimento. Em primeiro lugar,
seu módulo é proporcional ao módulo da carga. Se uma carga de 1 C se move com a mesma velocidade de uma carga de
2 C no interior de um campo magnético, a força magnética sobre a carga de 2 C é duas vezes maior do que a força
magnética que atua sobre a carga de 1 C.
Em segundo lugar, o módulo da força também é proporcional ao módulo, ou ‘intensidade’, do campo; se
dobrarmos o valor do módulo do campo (por exemplo, usando dois ímãs idênticos em vez de um) sem alterar o valor da
carga ou de sua velocidade, a força dobra.
A terceira característica é que a força magnética também depende da velocidade da partícula. Esse
comportamento é bastante diferente da força elétrica, que é sempre a mesma, independentemente de a carga estar em


repouso ou em movimento. A quarta é que a força magnética F não possui a mesma direção do campo magnético B ,


porém atua sempre em uma direção simultaneamente perpendicular à direção de B e à direção da velocidade v .

Verifica-se que o módulo F da força é proporcional ao componente da velocidade v perpendicular ao campo; quando
 
esse componente for nulo (ou seja, quando v e B forem paralelos ou antiparalelos), a força magnética será igual a zero.

 
A figura 12 mostra essas relações. A direção de F é sempre perpendicular ao plano com v e B .
O módulo da força é dado por
F = |q|v⊥B = |q|vBsenφ
[1]


em que |q| é o módulo da carga e φ é o ângulo medido no sentido da rotação do vetor v para B , como indicado na
figura 12.
6
FIGURA 12 a) Uma carga que se move paralela ao campo
magnético experimenta uma força magnética igual a zero.
b) Uma carga movendo-se com um ângulo φ em relação a
um de campo magnético experimenta uma força
magnética de magnitude F = |q|v⊥B = |q|vBsenφ.
c) A carga em movimento perpendicular a um campo
magnético sofre uma força magnética máxima de
magnitude Fmax = |q|vB.

A descrição não especifica completamente o sentido de F ; existem sempre dois sentidos opostos na direção


perpendicular ao plano de v com B . Para completarmos a descrição, usaremos a regra da mão esquerda.
A REGRA DA MÃO ESQUERDA.
O sentido da força é dado pela regra da mão esquerda, como mostra a figura abaixo:
FIGURA 13 Regra da mão esquerda.
Onde o dedo indicador representa o sentido do campo magnético, o dedo médio indica o sentido da velocidade
e o polegar indica o sentido da força. (Faça a regra como se fosse um revólver, mas com o dedo médio perpendicular à
palma da mão). Tenha cuidado pois a regra é valida para cargas positivas, caso a carga seja negativa você inverte apenas
o sentido da força (polegar).
Como regra alternativa temos a regra do tapa: Na figura, posicionamos a mão direita para determinar o sentido
da força magnética sobre uma carga. Você deve orientar o polegar no sentido da velocidade da carga e os demais dedos
devem ficar estendidos no sentido do campo magnético. Feito isso, a palma da mão fica virada para cima, como
mostrado. O sentido da força magnética atuante na carga é obtido por meio de um tapa dado pela palma da mão, se a
carga for positiva. Para as cargas negativas, o tapa deverá ser dado com as costas da mão.
FIGURA 14 Regra do tapa.

Essa discussão mostra que a força sobre uma carga q que se desloca com velocidade v em um campo

magnético B possui módulo, direção e sentido dados por
  
F  qv  B
[2]
7
Esse é o primeiro de uma série de produtos vetoriais que encontraremos ao estudar as relações que envolvem
campos magnéticos. É importante notar que a equação 2 não foi deduzida teoricamente, mas obtida com base em
observações experimentais.

OBS: Da definição do módulo do vetor B :
F
B
qvsen
podemos obter sua unidade de medida no S .I. Teremos, evidentemente, a partir desta expressão e lembrando que
senφ é adimensional (não possui unidades):
N
N
N
[B] 


 T(tesla)
C.(m / s) (C / s)m A.m
Esta unidade é denominada 1 tesla = 1 T, em homenagem ao cientista iugoslavo Nikola Tesla, responsável por
importantes descobertas tecnológicas no campo do Eletromagnetismo.
8 MOVIMENTO DE UMA CARGA EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
Em todas as situações a seguir, vamos desprezar o peso da partícula. Dependendo da velocidade inicial da carga

( v 0 ) e do ângulo (φ) entre a velocidade e as linhas do campo magnético, o movimento da partícula no campo pode ser
de quatro tipos:
a) Partícula colocada em repouso em uma região onde há um campo magnético (v0 = 0):
A força é dada por F = qBv.senφ. Se v0 = 0 ⇒ Fm = 0. Logo, a partícula permanece em repouso na posição em que
foi colocada no campo magnético.


b) Partícula lançada paralelamente à linha de campo magnético ( v 0 // B ):
A força é F = qBv.senφ. Para φ = 0° ou φ = 180°, a força magnética vale zero (sen 0° = sen 180° = 0). Por isso,
uma partícula lançada paralelamente às linhas de indução magnética descreve, de acordo com a 1ª Lei de Newton, um
movimento retilíneo uniforme no sentido do movimento inicial.


c) Partícula lançada perpendicularmente à linha de campo magnético ( v 0 ⊥ B ):
A figura 15 representa uma partícula, carregada negativamente, penetrando em uma região na qual o campo
magnético é perpendicular à sua velocidade.
Indicamos o sentido da força magnética sobre a partícula em alguns pontos da sua trajetória circular (regra do
tapa com as costas da mão). Para φ = 90°, o movimento da partícula será circular e uniforme, uma vez que a força
magnética que atua sobre ela exerce o papel de força centrípeta e não altera o módulo da velocidade.
FIGURA 15 Partícula negativa penetrando em uma região
de campo magnético perpendicular à velocidade.
O raio da trajetória pode ser determinado igualando-se a equação da força magnética com a expressão que
fornece o módulo da força centrípeta: Fm = FC.
mv20
qv 0Bsen90 
R
[3]
mv 0
R
qB
A partícula só pode descrever uma trajetória circular completa se ela for lançada do interior da região em que
há o campo magnético.
d) Partícula lançada obliquamente às linhas de campo:
Para 0° < φ < 90° ou 90° < φ < 180°, a trajetória da partícula será uma hélice cilíndrica. Podemos entender o
porquê dessa trajetória se lembrarmos que a velocidade da partícula, nesses casos, é oblíqua em relação às linhas do
campo magnético. Vamos decompor a velocidade em duas componentes, uma paralela às linhas de indução do campo
magnético (vX) e a outra perpendicular a essas linhas (vY).
8
FIGURA 16 Partícula lançada obliquamente às linhas de
campo.
Conforme discutido anteriormente, a componente vX gera um movimento retilíneo uniforme, enquanto a
componente vY proporciona um movimento circular uniforme. A combinação desses dois movimentos corresponde a
um movimento helicoidal uniforme. Esse é exatamente o tipo de movimento descrito por um ponto na hélice de um
avião que se move em linha reta e com velocidade constante.
9 FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE
Já vimos que um campo magnético exerce uma força sobre os elétrons que se movem em um fio. Essa força é
naturalmente transmitida para o fio, já que os elétrons não podem deixá-lo.
Na figura 17a um fio vertical, que não conduz corrente e está preso nas duas extremidades, é colocado no
espaço entre os polos de um ímã. O campo magnético do ímã é dirigido para fora do papel. Na figura 17b uma corrente
dirigida para cima passa a circular no fio, que se encurva para a direita. Na figura 17c o sentido da corrente é invertido, e
o fio se encurva para a esquerda.
FIGURA 17 Um fio flexível passa entre os polos de um ímã (apenas o
polo mais distante aparece no desenho). (a) Quando não há corrente o
fio não se encurva para nenhum lado. (b) Quando há uma corrente
para cima o fio se encurva para a direita. (c) Quando há uma corrente
para baixo o fio se encurva para a esquerda. As ligações necessárias
para completar o circuito não aparecem no desenho.
A figura 18 mostra o que acontece no interior do fio da figura 17b. Um dos elétrons se move para baixo com a

velocidade de deriva vd. De acordo com a equação 1, neste caso com φ = 90°, uma força magnética F de módulo evdB
age sobre o elétron. De acordo com a equação 2, a força aponta para a direita. Esperamos, portanto, que o fio como um
todo experimente uma força para a direita, como mostra a figura 17b.
FIGURA 18 Vista ampliada do fio da figura 17b. O sentido da corrente é
para cima, o que significa que a velocidade de deriva dos elétrons
aponta para baixo. Um campo magnético que aponta para fora do
plano do papel faz com que os elétrons e o fio sejam submetidos a
uma força para a direita.
Se na figura 18 invertermos o sentido do campo magnético ou o sentido da corrente, a força exercida sobre o fio
mudará de sentido e passará a apontar para a esquerda. Observe também que não importa se consideramos cargas
negativas se movendo para baixo (o que na realidade acontece) ou cargas positivas se movendo para cima; nos dois
9
casos o sentido da força é o mesmo. Podemos imaginar, portanto, para efeito dos cálculos, que a corrente é constituída
por cargas positivas.
Considere um trecho do fio de comprimento L na figura 18. Após um intervalo de tempo t = L/vd todos os
elétrons de condução desse trecho passam pelo plano xx.
Assim, nesse intervalo de tempo uma carga dada por
L
q  it  i
vd
passa pelo plano xx. Substituindo na equação 1, temos:
L
F  qv dBsen  i v dBsen90
ou
vd
F  iLB
[4]
Esta equação permite calcular a força magnética que age sobre um trecho de fio retilíneo de comprimento L

percorrido por uma corrente i e submetido a um campo magnético B perpendicular ao fio.
Se o campo magnético não é perpendicular ao fio, como na figura 19, a força magnética é dada por uma
generalização da equação 4:
  
F  iL  B
[5]

onde L é um vetor comprimento de módulo L, com a direção do trecho de fio e o sentido (convencional) da corrente. O

módulo da força magnética F é dado por
F  iLBsen 
[6]
 
onde φ é o ângulo entre as direções de L e B .
FIGURA 19 Um fio percorrido por uma corrente i faz um

ângulo φ com um campo magnético B . O fio tem um

comprimento L e um vetor comprimento L (na direção da
  
corrente). Uma força magnética F  iL  B age sobre o fio.
Como o sentido convencional da corrente elétrica é o mesmo do movimento das cargas positivas, pode-se

utilizar, para o sentido de F , a regra da mão direita, trocando-se v por i.
FIGURA 20 Regra da mão direita.
Se o fio não é retilíneo ou o campo não é uniforme podemos dividir mentalmente o fio em pequenos segmentos
retilíneos e aplicar a equação 5 a cada segmento. Nesse caso, a força que age sobre o fio como um todo é a soma
vetorial das forças que agem sobre os segmentos em que foi dividido. No caso de segmentos infinitesimais, podemos
escrever

 
dF  idL  B
[7]
e calcular a força total que age sobre um dado fio integrando a equação 7 para todo o fio.
Ao aplicar a equação 7 pode ser útil ter em mente que não existem segmentos isolados de comprimento dL
percorridos por corrente; deve sempre haver um meio de introduzir corrente em uma das extremidades do segmento e
retirá-la na outra extremidade.
10 TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE
Boa parte do trabalho do mundo é realizada por motores elétricos. As forças responsáveis por esse trabalho são
as forças magnéticas que estudamos na seção anterior, ou seja, as forças que um campo magnético exerce sobre fios
percorridos por correntes elétricas.
10
A figura 21 mostra um motor simples, constituído por uma espira percorrida por uma corrente e submetida a



um campo magnético B . As forças magnéticas F e – F produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em
torno do eixo central.
FIGURA 21 Os elementos de um motor elétrico. Uma espira retangular
de fio, percorrida por uma corrente e livre para girar em tomo de um
eixo, é submetida a um campo magnético. Forças magnéticas
produzem um torque que faz girar a espira. Um comutador (que não
aparece na figura) inverte o sentido da corrente a cada meia revolução
para que o torque tenha sempre o mesmo sentido.
Embora muitos detalhes essenciais tenham sido omitidos, a figura mostra como o efeito de um campo
magnético sobre uma espira percorrida por corrente produz um movimento de rotação. Vamos analisar esse efeito.
A figura 22a mostra uma espira retangular de lados a e b percorrida por uma corrente i e submetida a um

campo magnético uniforme B . Colocamos a espira no campo de tal forma que os lados mais compridos, 1 e 3, estão
sempre perpendiculares à direção do campo (que é para dentro do papel), mas o mesmo não acontece com os lados
mais curtos, 2 e 4. Fios para introduzir e remover a corrente da espira são necessários, mas não aparecem na figura.

Para definir a orientação da espira em relação ao campo magnético usamos um vetor normal n que é

perpendicular ao plano da espira. A figura 22b ilustra o uso da regra da mão direita para determinar a direção de n .
Quando os dedos da mão direita apontam na direção da corrente em um lado qualquer da espira, o polegar estendido

aponta na direção do vetor normal n .
Na figura 22c, o vetor normal da espira é mostrado fazendo um ângulo qualquer e com a orientação do campo

magnético B . Estamos interessados em calcular a força total e o torque total que agem sobre a espira nessa orientação.
A força total que age sobre a espira é a soma vetorial das forças que agem sobre os quatro lados. No caso do

 
lado 2 o vetor L na equação 5 aponta na direção da corrente e tem módulo b. O ângulo entre L e B para o lado 2 (veja
a figura 22c) é 90° - θ. Assim, o módulo da força que age sobre esse lado é
F2 = ibBsen(90°-θ) = ibBcosθ
[8]



É fácil mostrar que a força F4 que age sobre o lado 4 tem o mesmo módulo que F2 e o sentido oposto. Assim, F2

e F4 se cancelam. A força total associada aos lados 2 e 4 é zero; além disso, como as duas forças estão aplicadas ao
longo de uma reta que coincide com o eixo de rotação da espira, o torque total produzido por essas forças também é
zero.


A situação é diferente para os lados 1 e 3. Como nesse caso L é sempre perpendicular a B , o módulo das forças


F1 e F3 é iaB, independentemente do valor de θ. Como as duas forças têm sentidos opostos não tendem a mover a
espira para cima ou para baixo. Entretanto, como mostra a figura 22c, as duas forças não estão aplicadas ao longo da
mesma reta e, portanto, o torque associado a essas forças não é zero. O torque tende a fazer a espira girar em um


sentido tal que o vetor normal n se alinhe com a direção do campo magnético B . Esse torque tem um braço de
 
alavanca (b/2) senθ em relação ao eixo da espira. O módulo τ' do torque produzido pelas forças F1 e F3 é portanto (veja
a figura 22c):
b
b
 '  (iaB sen)  (iaB sen)  iabBsen
[9]
2
2
11
FIGURA 22 Uma espira retangular de lados a e b percorrida por uma corrente i e submetida a um campo magnético

uniforme. Um torque τ tende a alinhar o vetor normal n com a direção do campo. (a) Vista da espira olhando na
direção do campo magnético. (b) Vista da espira em perspectiva, mostrando como a regra da mão direita fornece a

direção de n , que é perpendicular ao plano da espira. c) Vista lateral da espira, mostrando o lado 2. A espira tende a
girar da forma indicada.
Suponha que a espira única seja substituída por uma bobina de N espiras. Suponha ainda que as espiras sejam
enroladas tão juntas que se possa supor que todas têm aproximadamente as mesmas dimensões e estão no mesmo
plano. Nesse caso, as espiras formam uma bobina plana, e um torque τ' com o módulo dado pela equação 9 age sobre
cada uma delas. O módulo do torque total que age sobre a bobina é, portanto.
τ = Nτ' = NiabB senθ = (NiA)B senθ,
[10]
onde A (= ab) é a área limitada pela bobina. O produto entre parênteses (NiA) foi separado porque envolve as
propriedades da bobina: o número de espiras, a corrente e a área. A equação 10 é válida qualquer que seja a forma
geométrica da bobina plana, mas o campo magnético deve ser uniforme.
O produto (NiA) denomina-se momento de dipolo magnético ou momento magnético da espira, para o qual
usamos a letra grega :
 = NiA
[11]
Em termos de , o módulo do torque sobre uma espira de corrente é
τ = B senθ
[12]


em que θ é o ângulo entre a normal ao plano da espira (dada pela direção e sentido do vetor n ) e o vetor B . Note que
a equação 12 se parece com outro exemplo de produto vetorial, podendo ser escrita como
  
   B
[13]
O torque tende a fazer o corpo girar no sentido de θ decrescente, ou seja, no sentido da posição de equilíbrio

estável no qual a espira fica no plano xy, perpendicular à direção do vetor do campo B . Uma espira de corrente, ou
qualquer outro corpo que sofra um torque magnético dado pela equação 12, é também chamado de dipolo magnético.


Podemos também definir um vetor do momento magnético  com módulo igual a NiA. A direção de  é
definida como a perpendicular ao plano da espira, com sentido determinado pela regra da mão direita, conforme
indicado na figura 23. Enrole os dedos da sua mão direita em torno da periferia da espira no sentido da rotação da
corrente. A seguir, estenda seu dedo polegar de modo que ele fique perpendicular ao plano da espira; sua direção e seu



sentido coincidem com o vetor  . O torque atinge seu valor máximo quando  é perpendicular a B e é zero quando
 
esses vetores são paralelos ou antiparalelos. Na posição de equilíbrio estável,  e B são paralelos.

Em vez de acompanhar o movimento da bobina é mais simples tomar como referência o vetor n , que é
perpendicular ao plano da bobina. De acordo com a equação 10, uma bobina plana percorrida por corrente e submetida

a um campo magnético uniforme tende a girar até que n fique alinhado com o campo. Nos motores, a corrente da

bobina é invertida quando n está prestes a se alinhar com a direção do campo, de modo que um torque continua a
fazer girar a bobina. Essa inversão automática da corrente é executada por um comutador situado entre a bobina e os
contatos estacionários que a alimentam com corrente.
FIGURA 23 A regra da mão direita fornece a direção e o sentido do
momento magnético de uma espira que conduz uma corrente. O

vetor da área A possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor
 
do momento magnético:   iA é uma equação vetorial.
12
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Um ímã, em forma de barra, de polaridade N (norte) e S (sul), é fixado em uma mesa horizontal. Um outro ímã
semelhante, de polaridade desconhecida, indicada por A e T, quando colocado na posição mostrada na figura 1, é
repelido para a direita.
Quebra-se esse ímã ao meio e, utilizando as duas metades, fazem-se quatro experiências, representadas nas figuras I, II,
III e IV, em que as metades são colocadas, uma de cada vez, nas proximidades do ímã fixo.
Indique em cada experiência se haverá atração ou repulsão
SOLUÇÃO
Lembrando que polos magnéticos de mesmo nome se repelem e polos magnéticos de nomes diferentes se atraem,
concluímos que
I
II
III
IV
repulsão
atração
repulsão
atração
02. A figura representa algumas linhas de indução de um campo magnético:
a) Copie a figura e desenhe o vetor indução magnética nos pontos A e B.
b) Em qual desses pontos o campo magnético é mais intenso? Justifique.
SOLUÇÃO
a)
b) Em A, porque nessa região as linhas de indução estão mais concentradas.
13
03. Os ímãs A, B e C representados na figura a seguir foram serrados nas regiões 1, 2 e 3, obtendo-se assim duas partes
de cada um.
Em que caso as partes de um mesmo ímã não podem se unir magneticamente após o corte, de modo a mantê-lo com a
aparência que tinha antes do corte?
SOLUÇÃO
04. Julgue falsa ou verdadeira cada uma das seguintes afirmações:
I. Um portador de carga elétrica imerso em um campo magnético sempre fica submetido a uma força, devido a esse
campo.
II. Um portador de carga elétrica imerso em um campo elétrico sempre fica submetido a uma força, devido a esse
campo.
III. A força magnética atuante em um portador de carga elétrica não modifica o módulo de sua velocidade, porque a
força e a velocidade são perpendiculares. Assim, essa força não realiza trabalho.
SOLUÇÃO
I. Falsa, porque a força magnética só existirá se o portador estiver em movimento e, além disso, se a direção do
movimento for diferente da direção do campo.
II. Verdadeira, porque a força elétrica (Fe = q E ) independe da velocidade do portador.
III. Verdadeira, porque, sendo perpendicular à velocidade, a força magnética só pode alterar a direção da velocidade do
portador. Note, então, que essa força não realiza trabalho.
05. A imagem produzida na tela de um televisor é devida à luminescência causada por elétrons que a bombardeiam.
Quando um ímã é colocado perto da imagem, esta se deforma. Explique por quê. (Não se deve experimentar isso na tela
de um televisor em cores, porque ela ficará ligeiramente magnetizada. Por tratar-se de um sistema de alta precisão, as
imagens ficarão “borradas”.)
SOLUÇÃO
O campo magnético do ímã altera a direção do movimento dos elétrons, que passam a bombardear a tela em outras
posições.

 
06. Dos três vetores na equação FB  qv x B , que pares são sempre ortogonais entre si? Que pares podem formar um
ângulo arbitrário entre si?
SOLUÇAO
Esta questão é apenas uma revisão de álgebra vetorial: o vetor que resulta de um produto vetorial de dois outros


vetores deve sempre ser ortogonal aos vetores dos quais "descende". Portanto os vetores v e B podem fazer um



ângulo arbitrário entre si. Mas F será necessariamente perpendicular tanto a v quanto a B .
14
07. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de
elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua
direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético existente na sala?
SOLUÇAO
 
Vertical, para baixo. Pois fazendo o produto vetorial v x B vemos que a força magnética aponta para a esquerda,
fornecendo a direção para onde partículas carregadas positivamente são desviadas. Elétrons desviam-se para a direita.
08. Como podemos descartar a hipótese de as forças existentes entre imãs serem forças elétricas?
SOLUÇAO
Basta colocar os imãs em contato e, depois separá-los: as forças não se neutralizam e sua magnitude, direção e sentido
não se altera após ter havido o contato e a separação.
09. Se um elétron em movimento for desviado lateralmente ao atravessar uma certa região do espaço, podemos
afirmar com certeza que existe um campo magnético nessa região?
SOLUÇAO
Não. Tal afirmativa será valida apenas se o elétron andar em círculos sem variar sua energia cinética.
10. Um condutor tem uma carga total nula, mesmo quando percorrido por uma corrente. Por que, então, um campo
magnético é capaz de exercer uma força sobre ele?
SOLUÇAO
Numa corrente elétrica os elétrons possuem uma mobilidade grande ao passo que os prótons praticamente não se
movem (porque estão rigidamente ligados na rede cristalina). Portanto, surge uma força magnética macroscópica em
virtude destes movimentos microscópicos dos elétrons.

11. Nas situações esquematizadas nas figuras, uma partícula eletrizada penetra, com velocidade v , perpendicularmente

a um campo de indução magnética B . O sinal da carga elétrica está indicado na própria partícula. Determine, em cada
caso, a orientação do vetor representativo da força magnética atuante:
SOLUÇÃO
15
12. Indique a direção inicial do desvio das partículas que penetram os campos magnéticos das figuras:
SOLUÇÃO
13. A figura abaixo mostra um bastão de cobre XYZ inteiramente mergulhado em um campo magnético uniforme. O
bastão, sempre mantido perpendicularmente ao campo, gira em torno do ponto Y, com velocidade angular constante,
no sentido indicado. Quais serão os sinais das cargas elétricas adquiridas pelas regiões X, Y e Z do bastão.
SOLUÇÃO
Observemos que haverá acúmulo de elétrons livres na região central do bastão e consequente falta deles nas
extremidades.
Resposta: Positivo, negativo e positivo.
14. Um próton (carga q e massa m) penetra numa região do espaço onde existe exclusivamente um campo de indução


magnética B , uniforme e constante, conforme a figura. Determine o módulo de B , para que a carga lançada com

velocidade v , de módulo 1 · 106 m/s, descreva a trajetória circular indicada, de raio R = 2 m.
Dado: m/q = 1 · 10–8 kg/C
16
SOLUÇÃO
Quando uma carga é lançado perpendicularmente ao campo, seu movimento é circular e uniforme. A força magnética é
a própria resultante centrípeta. Assim:
FB  Fcp
qvB 
B
mv2
mv
R 
R
qB
mv (1.108 )(1.106 )

qR
2
B  5.10 3 T
15. A figura mostra as trajetórias seguidas por três partículas (elétron, próton e dêuteron) lançadas de um mesmo ponto

O, perpendicularmente às linhas de indução de um campo magnético uniforme e constante B , todas com a mesma

velocidade inicial v 0 :
Quais são as trajetórias descritas pelo próton, pelo dêuteron (partícula constituída por um nêutron e um próton) e pelo
elétron?
SOLUÇÃO
• Como o elétron, dentre as três partículas, é a única com carga negativa, sua trajetória só pode ser a C.
• qpróton = qdêuteron
• mdêuteron = 2 mpróton
mv
 R  0  Rdéuteron  2Rpróton
qB
Portanto, a trajetória B é a do dêuteron e a A, a do próton.
16. O espectrômetro de massa é um instrumento usado na determinação de massas atômicas e também na separação
de isótopos de um mesmo elemento químico. A figura mostra esquematicamente um tipo de espectrômetro. A fonte
produz íons que emergem dela com carga +e e são acelerados por um campo elétrico não indicado na figura. As fendas
F1 e F2 servem para colimar o feixe de íons, isto é, para que prossigam apenas íons que se movem em uma determinada
direção.
17
Os íons que passam pela fenda F2 invadem o seletor de velocidade, que é uma região onde existem um campo elétrico e
um campo magnético, ambos uniformes e constantes, perpendiculares entre si e perpendiculares ao feixe de íons. Só
prosseguem na mesma trajetória retilínea os íons que têm determinada velocidade v. Os íons que atravessam a fenda F3
entram em movimento circular e uniforme de raio R.
Considerando E = 4,0 · 103 N/C, B = 2,0 · 10–1 T e R = 2,0 · 10–2 m e sendo e = 1,6 · 10–19 C, determine a massa do íon.
SOLUÇÃO
• No seletor de velocidade:
Fe  Fm
E
B
• No movimento circular e uniforme:
mv mE
R

eB eB2
eB2R (1.1019 )(2.102 )2 (2.10 2 )
m

E
4.103
m  3,2.1026 Kg
eE  evB  v 

17. Um elétron animado de velocidade v = 3,7.105 j m/s penetra numa região do espaço tomada por um campo

magnético B = (1,4i + 2,11j)T. Qual a força que o solicita?
SOLUÇÃO

 
FB  qv x B  (1,6.1019 ).[(3,7.105 j)x(1,4i  2,11j)

FB  (1,6.1019 ).(5,8.105 k)  8,3.1014 kN
18. Qual o campo magnético necessário para impor uma trajetória circular de raio 0,5 m a um elétron com energia de
725 eV ?
SOLUÇÃO
Como
2Ec
2(725eV)
v

.1,6.1019 J / eV  1,6.107 m / s
31
m
9,1.10 Kg
então
B
mv (9,1.1031 ).(1,6.107 )

 1,82.10 4 T  182T
19
qR
(1,6.10 ).(0,5)
19. Um campo uniforme de 0,15 T está orientado ao longo do eixo x positivo. Um pósitron (partícula com as mesmas
características do elétron com carga positiva) com velocidade 5.106 m/s penetra no campo segundo uma direção que faz
um ângulo de 85o com o eixo x.
Determine:
a) o raio da trajetória da partícula;
b) o passo p da trajetória helicoidal.
SOLUÇÃO
18
  
 
 
F  qv  B  q(v  v  )  B  qv  B
mv  (9,1.1031 ).(5.106 )sen85

 1,89.10 4 m  189m
19
qB
(1,6.10 ).(0,15)
2R
2R
b) v 
T
T
v
RqB
2R 2m
com v 
T 

RqB qB
m
m
9,1.1031
T  2
 2,38.1010 s
(1,6.1019 ).(0,15)
a) R 
p  v T  (5.106 ).(cos85).(2,38.10 10 )  1,04.104 m
20. Uma bobina quadrada de lado ℓ é constituída por N espiras, sendo I a corrente que percorre cada espira. Ela pode

girar em torno de um eixo y, conforme vemos na figura e está submetida a um campo magnético uniforme B = Bi.
a) Calcule as forças magnéticas sobre os lados da bobina.
b) Calcule o torque em torno do eixo y de cada uma das forças que atuam nos lados da bobina e o torque total.

 

c) Qual é o momento magnético  da bobina? Escreva o torque  em função de  e B .
SOLUÇÃO
a) Definindo I* = NI, temos




Fab  I* ab  B  I*(j)  (Bi)  I* Bk




Fcd  I* cd  B  I*(j)  (Bi)  I* Bk



 

Fbc  Fad  0 pois bc e ad são paralelos a B
b)


1   i
2
 
2  i
2
 


ab  1  Fab   Fab j
2
 


cd  2  Fcd   Fcd j
2
 


  ab  cd   (Fab  Fcd )j  I* 2Bj
2

2
  I*  Bj
c)


  Itotal A  I* 2k  k
  
    B  (k)  (Bi)  Bj  I* 2Bj
19
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Sabendo-se que o Sol mostrado na figura deste exercício está nascendo, responda:
a) Dos pontos M, P, Q e R, qual deles indica o sentido do norte geográfico?
b) Observe os pontos A e B indicados na bússola e diga qual deles é o polo norte e qual é o polo sul da agulha
magnética.
02. Suponha que você possua alguns imãs nos quais assinalou quatro polos com as letras A, B, C e D.
Você verifica que:
- o polo A repele o polo B;
- o polo A atrai o polo C;
- o polo C repele o polo D;
e sabe que o polo D é um polo norte. Nestas condições, o que você pode concluir do polo B? é um polo norte ou um
polo sul? Justifique sua resposta.
03. Responda:
a) O polo norte de uma agulha magnética é atraído ou repelido pelo polo norte geográfico da Terra?
b) Então, o polo norte geográfico da Terra é um polo norte ou um polo sul magnético?
04. Uma barra imantada, apoiada numa superfície perfeitamente lisa e horizontal, é dividida habilidosamente em três
pedaços A, B e C. Explique o que irá acontecer com os pedaços A e C, se a parte B for cuidadosamente retirada.

05. Em cada figura a seguir está representada a velocidade v de uma partícula com carga q >0, que se move numa

região onde há um campo magnético B . Em cada caso, represente a força magnética atuante na partícula.
06. Determine a direção inicial do desvio das partículas carregadas quando elas entram nos campos magnéticos como
mostrados nas figuras abaixo:
20
07. Três partículas se movem através de um campo magnético constante e seguem as trajetórias mostradas no
desenho. Determine se cada partícula está carregada positivamente, negativamente, ou se está neutra. Forneça uma
explicação para cada resposta.
08. Suponha que você use sem querer a sua mão esquerda, em vez da sua mão direita, para determinar a direção e o
sentido da força magnética que atua sobre uma carga positiva se movendo em um campo magnético. Você obtém a
resposta correta? Caso não obtenha, qual a direção e o sentido que você obtém?
09. Qual é o valor do campo magnético uniforme, aplicado perpendicularmente a um feixe de elétrons que se movem
com uma velocidade de 1,30.106 m/s, que faz com que a trajetória dos elétrons seja um arco de circunferência com
0,350 m de raio?
10. A figura mostra uma região limitada R onde existe um campo magnético uniforme, de intensidade B = 10–3T. Um
próton, com velocidade vo = 1,2 . 106m/s, penetra na referida região, paralelamente ao eixo Y, no ponto caracterizado
pelas coordenadas x0 = 50m a y0 = 0. Determine o modulo de diferença x - y, sendo x e y as coordenadas do ponto onde
o próton abandona a região R. Dados: massa do próton = 1,6 . 10-27Kg: carga do próton = 1,6 . 10-19C.
11. (a) Determine a frequência de revolução de um elétron com uma energia de 100 eV em um campo magnético
uniforme de módulo 35,0 T. (b) Calcule o raio da trajetória do elétron se sua velocidade é perpendicular ao campo
magnético.
12. Um imã atrai um pedaço de ferro. O ferro pode, então, atrair um outro pedaço de ferro. Com base no alinhamento
de domínio, explique o que acontece com cada pedaço de ferro.
13. Um prego será atraído para os dois polos de um imã? Explique o que está acontecendo dentro do prego quando ele
é colocado perto do imã.
14. Por que bater em um imã com um martelo faz o magnetismo ser reduzido?
21
15. Uma partícula carregada desloca-se ao longo de uma trajetória circular na presença de um campo magnético
constante aplicado perpendicularmente à velocidade da partícula. A partícula ganha energia do campo magnético?
16. Um fio condutor de eletricidade está embutido em uma parede. Uma pessoa deseja saber se existe, ou não, uma
corrente continua passando pelo fio. Explique como ela poderá verificar este fato usando uma agulha magnética.
17. Uma partícula que inicialmente está se deslocando de norte para sul em um campo magnético vertical orientado de
cima para baixo sofre um desvio para o leste. Qual é o sinal da carga da partícula? Explique sua resposta usando um
diagrama.
18. Em que condição uma carga elétrica num campo magnético uniforme:
a) não fica sujeita à ação da força magnética?
b) fica sujeita a uma força magnética máxima?
19. Descreva o movimento de um elétron nas seguintes circunstâncias:

a) Ele é lançado de modo que sua velocidade de lançamento é paralela ao campo B .

b) Ele é lançado de modo que sua velocidade de lançamento é perpendicular ao campo B .

c) Ele é lançado de modo que sua velocidade de lançamento forma um ângulo de 30° com B .
20. Numa região onde há um campo magnético uniforme, de intensidade B = 0,40 T, foram lançadas três partículas com
as seguintes cargas: qA = 2,0C; qB = 3,0C; qC = 4,0C, e as velocidades: vA = 5m/s; vB = 6m/s e vc = 7m/s, como ilustra a
figura:
Calcule os módulos das forças magnéticas atuantes em cada partícula.


21. Um próton desloca-se com velocidade v = (2i – 4j + k) m/s em uma região na qual o campo magnético é B = (i + 2j k) T. Qual é a magnitude da força magnética que o próton experimenta?

22. Uma partícula com carga igual a -1,24.10-8C se move com velocidade instantânea v = (4,19.104m/s)i + (-3,8.104m/s)j.
Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético

a) B = (1,40T)i ?

b) B = (1,40T)k ?

23. Um elétron se move em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por B = Bx i + (3,0Bx) j. Em um

certo instante, o elétron tem uma velocidade v = (2,0 i + 4,0 j) m/s e a força magnética que age sobre a partícula é (6,4
10-19 N) k. Determine Bx.
24. Se um elétron não sofre desvio ao passar por uma certa região do espaço, podemos afirmar que não existe nenhum
campo magnético nessa região?
25. Se um elétron em movimento é desviado lateralmente ao passar por uma determinada região, podemos afirmar que
existe um campo magnético nessa região?
26. Um fio de cobre retilíneo, conduzindo uma corrente i, é colocado ortogonalmente no interior de um campo


magnético B . Sabemos que B exerce uma força lateral sobre os elétrons livres (ou de condução). Ele também exerce
uma força sobre os elétrons de valência? Afinal, eles não estão em repouso. Discuta.
22
27. Considere um próton e um elétron se deslocando com a mesma velocidade em um campo magnético. Qual deles
terá a maior frequência de revolução?
28. Uma partícula neutra esta em repouso num campo magnético uniforme de modulo B. No instante t = 0 ela decaí em
duas partículas carregadas de massa m cada uma.
a) Se a carga de uma das partículas é +q, qual a carga da outra?

b) As duas partículas saem em trajetórias distintas situadas num plano perpendicular a B . Momentos depois as
partículas colidem, expresse o tempo, desde o decaimento até a colisão, em função de m, B e q.

29. Uma partícula com velocidade inicial v = (5,85.103 m/s)j entra em uma região onde existem um campo elétrico

uniforme e um campo magnético uniforme. O campo magnético na região é dado por B = –(1,35T)k. Determine o
módulo, a direção e o sentido do campo elétrico, sabendo que a partícula atravessa a região sem sofrer nenhum desvio,
considerando uma partícula com carga igual a:
a) +0,640 nC;
b) -0,320 nC. Despreze o peso da partícula.
30. Uma partícula carregada atravessando uma certa região do espaço tem uma velocidade cujo módulo, direção e
sentido permanecem constantes,
a) Caso se saiba que o campo magnético externo é nulo em todos os pontos desta região, você pode concluir que o
campo elétrico externo também é nulo? Explique,
b) Caso se saiba que o campo elétrico externo é nulo em todos os pontos, você pode concluir que o campo magnético
externo também é nulo? Explique.
31. Um campo elétrico de 1,50 kV/m e um campo magnético de 0,400 T agem sobre um elétron em movimento sem
desviar sua trajetória. Se os campos são mutuamente perpendiculares, qual é a velocidade do elétron?
32. Um fio conduz uma corrente de 2,40 A. Uma parte reta do fio de 0,750 m de comprimento está ao longo do eixo x
num campo magnético uniforme B = 1,60k T. Se a corrente está na direção +x, qual é a força magnética sobre esta seção
do fio?
33. Um fio de 1,80 m de comprimento é percorrido por uma corrente de 13,0 A e faz um ângulo de 35,0° com um campo
magnético uniforme de módulo B = 1,50 T. Calcule a força magnética exercida pelo campo sobre o fio.
34. O fio dobrado da figura a seguir está submetido a um campo magnético uniforme.
Cada trecho retilíneo tem 2,0 m de comprimento e faz um ângulo θ = 60° com o eixo x. O fio é percorrido por uma
corrente de 2,0 A. Qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio, na notação de vetores unitários, se o
campo magnético é
a) 4,0 k T;
b) 4,0 i T?
35. Um fio de 50,0 em de comprimento é percorrido por uma corrente de 0,500 A no sentido positivo do eixo x na

presença de um campo magnético B = (3,00 mT) j + (10,0 mT) k. Na notação de vetores unitários, qual é a força que o
campo magnético exerce sobre o fio?
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36. A figura abaixo mostra uma bobina retangular de cobre, de 30 espiras, com 10 cm de altura e 5 cm de largura. A
bobina conduz uma corrente de 0,10 A e dispõe de uma dobradiça em um dos lados verticais. Está montada no plano xy,
fazendo um ângulo θ = 30° com a direção de um campo magnético uniforme de módulo 0,50 T. Na notação de vetores
unitários, qual é o torque que o campo exerce sobre a bobina em relação à dobradiça?
37. Uma corrente de 17,0 mA é mantida em uma espira única circular com uma circunferência de 2,00 m. Um campo
magnético de 0,800 T está direcionada paralelamente ao plano da espira.
a) Calcule o momento magnético da espira.
b) Qual é a magnitude do torque exercido sobre a espira pelo campo magnético?
38. Uma espira retangular consiste em N = 100 voltas próximas e tem dimensões a = 40,0 cm e L = 30,0 cm. A espira é
articulada ao longo do eixo y e seu plano faz um ângulo θ = 30,0° com o eixo x (ver figura abaixo).
a) Qual é a magnitude do torque exercido sobre a espira por um campo magnético uniforme B = 0,800 T direcionado ao
longo do eixo x quando a corrente for i = 1,20 A na direção mostrada?
b) Qual é a direção esperada da rotação da espira?
39. Uma bobina circular de 15,0 cm de raio conduz uma corrente de 2,60 A. A normal ao plano da bobina faz um ângulo
de 41,0° com um campo magnético uniforme de módulo 12,0 T.
a) Calcule o módulo do momento de dipolo magnético da bobina.
b) Qual é o módulo do torque que age sobre a bobina?
40. Considere uma espira quadrada de lados 2a por onde passa uma corrente i. A espira se encontra no plano xy onde

existe um campo magnético uniforme B = Bi, conforme a figura.
Determine:
a) os vetores força resultante sobre cada um dos lados do quadrado.
b) o vetor torque sobre a espira.
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