moléculas neste -ao

TEORIA
CINÉTICA
Neste modelo o gás é estudado de
uma forma microscópica,
onde a temperatura, a pressão e a
energia interna são interpretadas como
o resultado do movimento dos átomos
e moléculas.
Pressão
é interpretada como o resultado das
constantes colisões das moléculas do
gás com o corpo.
Temperatura
é a medida da energia cinética média das
moléculas
Energia Interna é a energia total das
moléculas
19.2 Número de Avogadro NA,
é o número de átomos ou moléculas em um mol
do material.
(NA é o número de átomos em 12g de carbono-12)
NA = 6,02 x 1023
Número de mols n é a razão entre o número de
átomos e/ou moléculas e o número de Avogadro.
n = N / NA
n = Mamostra / Mmolar
n = Mamostra / Mmolar
Mmolar é a massa de um
mol da substância.
(1 mol de água = 18 g)
M molar = NA mmolécula
18 cm3 de água =
6 x 10 23 moléculas
Gás ideal
é aquele que satisfaz a equação de estado
19.3
pV = nRT
onde n é o número de moles, e R a constante dos
gases
-1
-
R = 8,31 J . mol . K 1)
Constante de Boltzmann, k
R
(equivalente molecular do R)
k=
NA
pV = N kT
k = 1,38 x 10-23 J/K
O filme ilustra o comportamento de um gás.
A colisão das partículas com a parede ilustra a
pressão exercida pelo gás.
Trabalho realizado por um Gás Ideal à
temperatura constante
W =
∫ pdV
pV = nRT
⇒
nRT
p =
V
dV
W = nRT ∫
V
Vf
W = nRT l n
Vi
Exemplo: 1 mol de O2 expandindo-se de 12 L
para 19 L à temperatura de 310 K
dV
W = nRT ∫
V
Vf
W = nRT l n
Vi
19
W = 1 × 8 . 31 × 310 × l n
12
W = 1 . 18 × 10 3 J
(J )
19.4 Pressão, temperatura e velocidade
média quadrática
Considere um gás formado de uma única molécula em uma
caixa cúbica de lado L e volume V= L3.
A molécula colide
com as paredes do
recipiente em uma
colisão
perfeitamente
elástica.
Considere a projeção do movimento em um plano
perpendicular a uma das face do cubo.
A variação do momento linear total por unidade de
tempo, é a força que a parede exerce sobre a esfera na
colisão.
pf = mv
x
pi = mv
A componente x do momento linear antes da colisão é
pix = - mvx
pf = mv
pi x = - mvx
x
Depois de a esfera colidir com a parede, o momento linear
é
pfx = +mvx
pf x = +mvx
x
pi = mv
A variação do momento linear é
∆px = pfx – pix = +mvx – (-mvx)
∆px = 2mvx
A força média exercida pela parede sobre a
molécula é ∆px / ∆t , sendo ∆t o intervalo de tempo
entre duas colisões sucessivas.
∆p x 2 m v x
=
F =
∆t
∆t
L
∆t = 2L / vx
Força média
2mv x mv x 2
F =
=
2L
L
vx
A pressão p = Força / área(L2)
p = mvx2 / L3
(de uma só molécula)
A pressão total exercida por todas as moléculas será a
soma das pressões parciais.
p = p1 + p2 + B
p = 1/L3 (mv1x2 + mv2x2 + B)
2
2
Nm ( v1x + v 2 x + ..)
p=
N
L3
Média dos quadrados da componente x das velocidades:
2
2
(
v
+
v
+ ..)
2
1
x
2
x
vx =
N
Desta forma, a pressão total pode ser escrita como:
1
2
p = N m < vx >
V
N é o número total de moléculas do gás, V é o volume e
m é a massa de cada molécula.
como <v2> = <vx2> + < vy2 > + < vz2>
e <vx2> = < vy2 > = < vz2>
1
1
2
p= Nm <v >
V
3
2 1
pV = N  m < v 2
3 2

>

2
pV = N Ec
3
<Ec> é a energia de cada molécula e N é o número
total de moléculas, logo N <Ec> é a energia total ou
energia interna do gás.
2
pV = Eint
3
A equação do gás perfeito:
como
2
pV = N
3
Ec
pV = n RT
2
⇒ nRT = N Ec
3
mas
Energia cinética média de
translação por molécula
Ec
N
n=
NA
3 R
3
=
T =
kT
2 NA
2
Ec
3
= kT
2
A Temperatura é uma medida da energia
cinética média da molécula do gás.
A partir da temperatura absoluta T, pode-se
determinar a velocidade quadrática média da
molécula.
2
v rms = < v >
A energia interna será o número total de
moléculas multiplicado pela energia de cada
molécula.
Eint = N Ec
3
= N kT
2
A energia interna de um gás ideal é
função exclusiva da temperatura.
Eint
3
= n RT
2
(Gás monoatômico)
19.8 Calores específicos molares de um gás
ideal
No processo de troca de calor,
a quantidade de calor trocada é
dQ = m c dT ,
onde c é o calor específico da substância.
Define-se calor específico molar (C) como sendo o
calor específico por mol (não confundir com capacidade
térmica):
dQ = n C dT
Como o calor trocado depende da trajetória, o calor
específico também vai depender.
Calor específico a volume constante Cv
Cv é o calor específico medido
com uma transformação a
volume constante.
dQ = nCv dT
Q = nCv ∆T
V constante →
trabalho realizado
nulo, W=0
50
p
40
Primeira Lei da
Termodinâmica:
∆E int = Q − W
30
20
10
Tb
0
Ta
0
5
10
15
20
V
∆Eint = nCV ∆T
Sempre pois
∆Eint independe
da trajetória
A Energia Interna de 1 mol do gás ideal é função
apenas da temperatura.
3
E int = nRT
2
Logo,
A tabela mostra os
valores do calor
específico Cv para
diversos gases.
Notar que gases
diatômicos não têm
CV previsto pela
teoria.
Como
CV
E int = nC V T
3
= R
2
cv ( J/molK)
He
12,5
3/2 R
Ar
12,6
3/2 R
N2
20,7
5/2 R
O2
20,8
5/2 R
Os valores medidos do calor específico
levaram James Clerk Maxwell a postular
o Teorema da Equipartição da energia.
A energia associada a
cada grau de liberdade é
½ kT.
(1831-1879)
Desta forma, uma molécula
monoatômica que tem somente
movimento de translação possui três
graus de liberdade.
Ec = 3 (1/2 kT)
z
y
x
Numa molécula diatômica, o número de
graus de liberdade (f) é 5.
Rotação
f = 3+2
<Ec> = 5 (1/2 kT)
Eint = n cvT ;
cv= 5/2 R
Moléculas poliatômicas
f = 3(translação) + 3(rotação) = 6
e o calor específico molar a volume
constante Cv
Cv = 6/2 R = 3R
Eint = n 3RT
Calor específico a pressão constante Cp
Seja uma transformação à pressão constante.
50
p
Q = nCp ∆T
40
cp é o calor específico molar
à pressão constante.
30
a
20
b
Tb
W
10
Ta
0
0
5
10
15
20
V
Pela Primeira Lei da Termodinâmica
∆Eint = Q − W = n Cp ∆T − p∆V
Mas vimos que a variação da energia interna é
∆Eint = nCv ∆T
Então:
Usando
n C v ∆ T = nC p ∆ T - p ∆ V
pV = nRT
n Cv ∆T = nC p ∆T - nR∆T
C p = Cv + R
Pressão
constante
TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA
Nesta transformação não há troca de calor: Q = 0
Primeira Lei da Termodinâmica
Equação do gás ideal:
∆ E int = Q − W
pV = n RT
n C V ∆T = − W
1
n C V dT = − p dV
2
p dV + V dp = n R dT
p dV p dV + V dp
−
=
CV
R
(R = C p − C V )
Separando as variáveis:
dp C p dV
+
=0
p CV V
γ
pV = cte
TV
γ −1
C p /C V
V
p
ln = − ln C p /C V
p0
V0
onde
γ = Cp/CV
= cte
para transformações adiabáticas do gás ideal.
50
Adiabática Q=0
40
pVγ= cte
p
30
Isotérmica ∆Eint=0
pV= cte
20
10
Tb
Ta
0
0
5
10
15
20
V