ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
TAMARA DA SILVEIRA
JOINVILLE, 2013
TAMARA DA SILVEIRA
ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Trabalho de Graduação apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática
do Centro de Ciências Tecnológicas,
da Universidade do Estado de Santa
Catarina, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Licenciatura em
Matemática.
Orientador(a):
Maria Beuter
JOINVILLE, SC
2013
Prof.
Ms.
Viviane
TAMARA DA SILVEIRA
ELEMENTOS DA TEORIA DOS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado
de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática.
Banca Examinadora
Orientadora:
Prof. Ms. Viviane Maria Beuter
Universidade do Estado de Santa Catarina
Coorientadora:
Prof. Dr. Elisandra Bar de Figueiredo
Universidade do Estado de Santa Catarina
Membro:
Prof. Ms. Rodrigo de Lima
Universidade do Estado de Santa Catarina
Membro:
Prof. Dr. Rogério de Aguiar
Universidade do Estado de Santa Catarina
Joinville, 06/12/2013.
A minha família.
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer a minha família pelo apoio
constante a minhas escolhas, pela compreensão nos momentos difíceis.
Agradeço a meus pais, Trajano e Isolete, por serem minha base, minha
referência. Agraço a meu irmão, Júnior, pelo companheirismo e pelos
conselhos. Não poderia deixar de agradecer a meus avós, Eudócio e
Rosa, que acreditaram em mim e, apesar de não poderem ver minha
conclusão da graduação, estariam orgulhosos por essa conquista.
Assim, como minha família, meus amigos também me apoiaram
e suportam meus momentos de estresse. Alguns desses amigos estiveram
boa parte da graduação comigo, enfrentando momentos bons e ruins e
por isso lhes sou grata. Eu não poderia ter companheiros melhores do
que vocês, Fran, Luis e Alessandra.
Porém, acredito que, de todas as pessoas que me ajudaram a
concretizar esse projeto, meus professores foram a parte mais significativa, todos eles, desde o começo de minha formação. São poucas as
pessoas que podem afirmar que tiveram tantos mestres bons quanto
tive. Cada um deu sua contribuição, não apenas acadêmica ou profissional. E a todos eles sou grata.
Contudo, gostaria de dirigir um agradecimento especial à professora Elisandra, que acompanhou minha formação acadêmica desde
o início, e esteve presente de alguma forma na maior parte dela, não
apenas como professora, mas também como amiga. Muito obrigada.
Apesar de ter escolhido a professora Elisandra como orientadora há bastante tempo, uma surpresa maravilhosa tornou necessária a
escolha de uma segunda pessoa nessa tarefa. Uma surpresa que também
mostrou-se maravilhosa. Por isso, quero agradecer também à professora
Viviane, que mesmo não tendo me encontrado em sala de aula, aceitou
me orientar e certamente é em grande parte, grande mesmo, responsável pela concretização deste trabalho. Muio obrigada, especialmente
pela compreensão e dedicação.
E por último, e de forma alguma menos importante, agradeço
à professora Tatiana pela grande amizade, pois eu não poderia descrever de outra forma o carinho que lhe sinto. Obrigada por tornar
mais agradável minha caminhada, por dividir comigo a carga, especialmente emocional, pelos conselhos e pela fé em minha capacidade.
Enfim, agradeço aos empecilhos, desafios e erros que trouxeram crescimento, amadurecimento e tornaram mais significativo o alcance dos
meus objetivos.
Obrigada.
“Somewhere, something incredible is
waiting to be known.”
Carl Sagan
Resumo
SILVEIRA, Tamara. Elementos da Teoria dos Números Algébricos. 2013. 131 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado
de Santa Catarina, Joinville, 2013.
Esta monografia tem por objetivo iniciar o estudo na Teoria dos
Números Algébricos. Possui o intuito de investigar e estudar de
que forma as propriedades aritméticas dos números inteiros são
estendidas para estruturas algébricas mais gerais, tais como: corpos de números algébricos e seus anéis de inteiros. Assim, este
trabalho tem por finalidade explorar e compreender as noções
de fatoração única e domínios de Dedekind. Como para isso,
serão necessários alguns resultados e conceitos algébricos já conhecidos, bem como as noções de anéis de polinômios, extensões
algébricas e módulos, este trabalho aborda de forma sucinta esses temas. Os conceitos foram organizados e sintetizados com o
propósito de criar uma base teórica consistente, que possibilite
um futuro aprofundamento na teoria.
Palavras-chave: Álgebra. Números Algébricos. Norma. Traço.
Anéis de Dedekind.
Abstract
SILVEIRA, Tamara. Elements of the Algebraic Number Theory.. 2013. 131 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura
em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina,
Joinville, 2013.
This monograph aims to initiate the study in Algebraic Number Theory. Have the intention to investigate and study how
the arithmetic properties of the integers are extended to more
general algebraic structures, such as bodies of algebraic numbers and their rings of integers. Thus, this study aims to explore
and understand the notions of unique factorization domains and
Dedekind. As for this, and some results already known algebraic
concepts as well as the notions of polynomial rings, Algebraic
extensions and modules will be needed this work addresses these
issues succinctly. The concepts were organized and synthesized
in order to create a consistent theoretical basis, which allows a
further development in theory.
Key-words: Algebra. Algebraic Numbers. Norm. Trace. Dedekind
rings.
Lista de símbolos
N
Conjunto dos números naturais
Z
Conjunto dos números inteiros
Q
Conjunto dos números racionais
R
Conjunto dos números reais
C
Conjunto dos números complexos
U (A)
Conjunto dos elementos inversíveis de A
a|b
O elemento a divide o elemento b
a∼b
O elemento a está relacionado ao elemento b
mdc(a, b)
Máximo diviso comum entre os elementos a e b
hai
Conjunto gerado pelo elemento a
∂p
Grau do polinômio p
A[x]
Conjunto dos polinômios sobre A
A
I
Conjunto quociente de A por I
Im(f )
Conjunto das imagens do homomorfismo f
Ker(f )
Núcleo do homomorfismo f
A[α]
Conjunto obtido pela adjunção de α a A
IB (A)
Conjunto dos elementos de B que são inteiros sobre
A
[L : K]
√
Q[ d]
Grau da extensão L sobre K
Corpo quadrático
T r(α)
Traço do elemento α
N (α)
Norma do elemento α
D(α, β)
Discriminante dos elementos α e β
Sumário
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1
1.2
NASCIMENTO DA ÁLGEBRA . . . . . . . . . . . . .
OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA . . . . .
21
23
2 CONCEITOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS . . . . . . . . . . . 29
2.1.1
2.1.2
2.2
2.3
Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anéis fatoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
33
ANÉIS DE POLINÔMIOS . . . . . . . . . . . . . . . .
MÓDULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
58
2.3.1
71
Módulos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . .
3 ELEMENTOS INTEIROS EALGÉBRICOS . . . . . . . . . . 77
3.1
ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL . . . . .
3.1.1 Anéis Integralmente Fechados . . . . . . . . . . .
77
84
3.2
ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO . .
3.2.1 Extensões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . .
85
92
3.3
NÚMEROS ALGÉBRICOS . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.4
CORPOS QUADRÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4 NORMA, TRAÇO EDISCRIMINANTE . . . . . . . . . . . . 103
4.1
4.2
NORMA E TRAÇO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
DISCRIMINANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 ANÉIS DE DEDEKIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
CONCLUSÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
19
INTRODUÇÃO
A Álgebra é uma importante área de conhecimento da Matemática, que trata, dentre outros conteúdos, do estudo de estruturas
algébricas. As estruturas algébricas mais básicas foram estudadas na
disciplina de Álgebra Moderna do curso de Licenciatura em Matemática. Porém, o conteúdo abordado em tal disciplina ainda é insuficiente
para responder a questões mais elaboradas da Álgebra.
A Teoria dos Números Algébricos é um dos conceitos da área
de álgebra de grande aplicabilidade, mas sua origem se deve em grande
parte aos estudos da Teoria dos Números nos séculos XVII, XVIII e
XIX, principalmente, como explicam Stewart e Tall (2002). A princípio, a Teoria dos Números é, na verdade, uma teoria dos números
racionais e inteiros, que está principalmente relacionada à resolução de
equações diofantinas, segundo Endler (2006), e os números algébricos
são a ferramenta para resolver tal problema.
Porém, ao partir dos estudos realizados na disciplina de Álgebra Moderna visando o entendimento da Teoria dos Números Algébricos, surgem alguns questionamentos, tais como: de que modo a
Teoria dos Números Algébricos estende as propriedades dos números
inteiros para uma estrutura de números mais gerais, tais como: corpos
de números algébricos, e seus anéis de inteiros algébricos? Neste cenário, algumas características familiares dos anéis de inteiros comuns, tais
como a fatoração única e o comportamento dos ideais, nem sempre são
generalizadas para os anéis de inteiros algébricos. Como a Teoria dos
Números Algébricos permite lidar com esses novos fenômenos e ainda
como recuperar parcialmente o comportamento dos inteiros habituais?
Para responder a esses questões, pretendendo-se o alcance dos
objetivos desse estudo e tendo como base os principais conteúdos de
20
Introdução
álgebra estudados durante o curso de Licenciatura em Matemática,
serão estudados os conteúdos de anéis fatoriais e principais, anéis de
polinômios, extensões algébricas e módulos a fim de introduzir o estudo
de números algébricos. Também será estudada a estrutura do anel de
inteiros, bem como as propriedades aritméticas de seus elementos. Será
explorado o conceito de fatoração única dentro desses anéis de inteiros
e investigado os motivos pelos quais a teoria de fatoração de ideais em
um anel de inteiros algébricos é mais satisfatória do que a fatoração de
seus elementos.
Sendo assim, os capítulos desta monografia estão estruturados
da seguinte maneira: o Capitulo 1 traz de forma breve a história dos
números algébricos, a fim de entender seu surgimento; no Capítulo 2
serão apresentados os conceitos preliminares que incluem anéis fatoriais
e principais, anéis de polinômios, e módulos; no Capitulo 3, serão apresentados os elementos inteiros e algébricos, particularmente, as noções
de extensões, números algébricos e corpos quadráticos; no Capitulo 4
estuda-se de forma sucinta os conceitos de norma, traço e discriminante
de um elemento; no capitulo 4 apresenta-se a estrutura dita anel de Dedeking e, finalmente, no Capitulo 5 serão apresentadas às conclusões
deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros.
21
1 A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
Num estudo científico, a importância do conhecimento do contexto histórico do objeto estudado é relevante para melhor compreensão
do próprio tema em si. Acompanhar o desenvolvimento do tema através
da história, a motivação por trás do estudo e as ferramentas utilizadas
para tanto são úteis no entendimento presente do tema, e ajudam a
nortear seu aprofundamento.
Visando a relevância exposta acima, desenvolveu-se este capítulo inicial para esclarecer como a Teoria dos Números Algébricos
surgiu e aperfeiçoou-se gradualmente. Para garantir a veracidade e a
integridade histórica deste capítulo foram utilizados como referencial
teórico os textos de Boyer (1996), Contador (2008), Endler (2006), Eves
(2004) e Stewart e Tall (2002).
1.1 NASCIMENTO DA ÁLGEBRA
A álgebra, no início do século XIX, era vista basicamente como
a aritmética simbólica. Trabalhava-se com letras da mesma forma que
se faz com os números na aritmética, de modo que qualquer uma das
cinco propriedades:
• comutatividade da adição;
• comutatividade da multiplicação;
• associatividade da adição;
• associatividade da multiplicação;
• distributividade da multiplicação em relação à adição;
22
Capítulo 1. A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
que fossem válidas para os símbolos escolhidos se estendesse aos inteiros positivos. A estrutura algébrica formada pelas cinco propriedades
e suas consequências é aplicável a muitos sistemas diferentes. Assim,
pode-se considerar as cinco propriedades básicas como postulados de
determinada estrutura algébrica e possíveis teoremas formalmente decorrentes delas aplicáveis a outras interpretações que se ajustem àquelas propriedades. Dessa forma, a Álgebra torna-se uma área puramente
hipotético-dedutiva formal.
Essa visão mais moderna da Álgebra surgiu aproximadamente
em 1830, atribuída ao inglês George Peacock (1791 – 1858), estudioso
dos princípios fundamentais da álgebra. Alguns britânicos, contemporâneos a Peacock, deram continuidade aos estudos dele, e aproximaram
ainda mais a Álgebra da sua noção mais moderna. As leis comutativa e
distributiva foram “nitidamente trazidas à luz” por Duncan Farquharson Gregory (1813 – 1844), e Augustus De Morgan (1806 – 1871) trouxe
contribuições adicionais acerca dos fundamentos da álgebra.
As ideias britânicas se espalharam pela Europa de tal forma que
o irlandês William Rowan Hamilton (1805 – 1865) e o alemão Hermann
Günther Grassmann (1809 – 1877) publicaram resultados importantes
que levaram à libertação da Álgebra. Hamilton, motivado por considerações físicas, viu-se obrigado a abandonar a comutatividade, uma
ideia até então inconcebida. Primeiramente, ocorreu a Hamilton representar um número complexo a + bi, com a e b números reais, por um
par ordenado (a, b), um grande feito aliás, pois acabou por eliminar a
“aura mística” acerca dos números complexos. Posteriormente, ao perceber que o sistema complexo é conveniente para o estudo de vetores e
das rotações no plano, Hamilton tentou imaginar um sistema análogo
num espaço tridimensional. E assim, Hamilton apresentou a ideia dos
números quatérnios (reais) em que a lei comutativa da multiplicação
não é válida.
Já Grassmann, desenvolveu classes de Álgebra de maior generalidade que Hamilton, pois, em vez de considerar quádruplos ordenados
1.2. OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA
23
de números reais, os quatérnios de Hamilton, Grassmann considerou
conjuntos ordenados de n reais, chamados hipercomplexos. Por fim,
o britânico Arthur Cayley (1821 – 1895) descobriu mais uma álgebra
não-comutativa, a álgebra das matrizes, e desta forma Hamilton, Grassmann e Cayley abriram as portas da álgebra abstrata desenvolvendo
álgebras com leis estruturais diferentes das usuais.
1.2 OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA
A fascinação do homem civilizado pelos números é milenar. Os
pitagóricos estudaram os números naturais e suas propriedades, e até
mesmo o teorema de Pitágoras, apesar de ter origem geométrica, tem
relevância na Teoria dos Números. Na Babilônia, notaram os chamados
ternos pitagóricos, que consistem em três números naturais a, b e c que
respeitam a relação a2 + b2 = c2 .
Apesar dos antigos gregos terem se interessado mais pela Geometria, também tinham interesse nos números em si, tanto que Diofanto
(250 a.C. – 298 a.C.) escreveu um importante tratado sobre equações
polinomiais cujas soluções eram números fracionários. Particularmente,
chamamos de equações diofantinas as que possuem como soluções números naturais.
Aos poucos, o estudo da Álgebra foi evoluindo. Matemáticos
hindus se estabeleceram na área desenvolvendo trabalhos com números
negativos e com o zero. Já os muçulmanos, ao conquistarem Alexandria, bem como norte da África e a Espanha no século VII, trouxeram
enriquecimento matemático, tanto que a palavra Álgebra tem origem
árabe. No século XVI, o italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576) usou
em seu livro Ars Magna, do latim “A Grande Arte”, soluções negativas
e imaginárias, de forma que posteriormente os números complexos têm
sido usados com grande entendimento e flexibilidade.
Já no século XVII, volta-se a Teoria dos Números naturais
com o matemático francês Pierre de Fermat (1601? – 1665). A maior
Capítulo 1. A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
24
contribuição de Fermat constitui na fundamentação da moderna Teoria
dos Números, este que possuía uma notável intuição e talento neste
campo. Provavelmente seu interesse nessa área se deu pela tradução
latina de Aritmética, de Diofanto, feita por Bachet de Méziriac em
1621. Muitas das contribuições de Fermat na Teoria dos Números tem
origem em enunciados e notas escritos nas margens de seu exemplar
desse livro.
Dos teoremas enunciados por Fermat, muitos se mostraram
verdadeiros posteriormente, e provavelmente o item de maior destaque em seus estudos seja o chamado Último Teorema de Fermat, que
afirma a não existência de inteiros positivos x, y, z e n, onde n > 2,
tais que xn + y n = z n . Fermat, ao escrever o enunciado na margem
do referido livro, afirma ter encontrado uma demonstração admirável
para esse fato, mas a pequenez da margem impossibilita explicitá-la ali.
Durante os anos seguintes ao conhecimento público desse teorema, muitos matemáticos tentaram demonstrá-lo. O interesse pela demonstração
se tornou ainda maior depois de Paul Wolfskehl, em 1908, ter legado
uma quantia significativa para a Academia de Ciências de Göttingen
para que fosse dado como prêmio para a primeira pessoa a demonstrar
completamente o Último Teorema de Fermat. Foi assim que a fama e o
dinheiro impulsionaram o surgimento de diversas supostas provas, o que
levou o Último Teorema de Fermat a se destacar na história matemática como o problema matemático com maior número de demonstrações
incorretas publicadas, até hoje.
A repercussão da busca pela demonstração do Último Teorema
de Fermat impulsionou outros estudos matemáticos, e a prova da conjectura avançou de sua área de origem, a Teoria dos Números Naturais,
para uma diferente área de estudo, A Teoria dos Números Algébricos.
No século XIX o desenvolvimento da Teoria da Álgebra amadureceu de
forma que se tornou aplicável à Teoria dos Números. Por isso, naquela
época, os estudiosos da Teoria dos Números não priorizaram completamente o Último Teorema de Fermat. Ernst Eduard Kummer (1810
1.2. OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA
25
– 1893), por exemplo, trabalhava em um tópico chamado de “as maiores leis de reciprocidade”. Neste ponto foi que os números algébricos
entraram na Teoria dos Números, num trabalho de Gauss.
Em 1796, Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855), matemático, astrônomo e físico alemão, prova um fato marcante observado na prática
por Euler em 1783. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) interessou-se
pela congruência p, x2 ≡ p(mod q), quando q é um número inteiro e p
um número primo. Nesse caso, q é dito resíduo quadrático de p. Euler
estudava o caso em que p e q são números primos ímpares distintos e
observou que, se pelo menos um desses primos for da forma 4R + 1,
então q é resíduo quadrático de p se, e somente se, p for um resíduo
quadrático de q. Por outro lado, se p e q forem da forma 4R + 3, então um é resíduo quadrático do outro. E a reciprocidade da relação
entre p e q tornou conhecido esse resultado como a lei da reciprocidade
quadrática. Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), matemático francês,
tentou provar m 1785 a lei da reciprocidade, assumindo para isso que
certas progressões aritméticas têm um número infinito de primos, um
teorema cuja prova se mostrou ainda mais profunda que a própria lei
da reciprocidade quadrática.
Quando em 1796, Gauss provou pela primeira vez a lei da reciprocidade quadrática ele estava insatisfeito, pois seu método não parecia um caminho natural para resolver um teorema aparentemente
tão simples. Entre 1808 e 1832, Gauss estava interessado em leis semelhantes, mas com potências superiores ao quadrado. Ele encontrou leis
de reciprocidade superiores, mas com isso descobriu que seus cálculos
tornavam-se mais fáceis quando trabalhava com os inteiros de Gauss
a + bi, onde a e b são números inteiros e i é a unidade imaginária,
do que apenas com números inteiros. Ele desenvolveu uma teoria de
fatoração para esses números, provou que a decomposição em fatores
primos era única e desenvolveu a lei da reciprocidade biquadrada, para
a congruência x4 ≡ p(mod q). Igualmente, ele considerou a reciproci2πi
dade cúbica usando números da forma a + bw, com w = e 3 , ou seja,
26
Capítulo 1. A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
para a congruência x3 ≡ p(mod q). O uso desses novos tipos de núme-
ros por Gauss é de fundamental importância no Último Teorema de
Fermat, e o estudo das suas propriedades de fatoração é uma profunda
é frutífera fonte de métodos e problemas.
Os números descritos no parágrafo anterior são casos particulares de números complexos, isto é, são raízes de um polinômio de
coeficientes inteiros. Tal número é dito algébrico, e se o polinômio tem
coeficiente dominante igual a 1 é dito inteiro algébrico. Numa configuração mais ampla dos inteiros algébricos, é possível fatorar uma solução
da equação de Fermat xn + y n = z n , se ela existir, escrevendo-a na
forma
(x + y)(x + ζy) . . . (x + ζ n−1 y) = z n ,
2πi
usando uma raiz n-ésima da unidade onde ζ = e n . Se Z[ζ] é um
conjunto de inteiros algébricos da forma a0 + a1 ζ + . . .+ ar ζ r onde cada
ar é um inteiro comum, então essa fatoração ocorre no anel Z[ζ].
Em 1847, o francês Gabriel Lamé (1795 – 1870) anunciou uma
“prova” para o Último Teorema de Fermat. Sua proposta, de maneira
geral, era mostrar que bastava considerar o caso em que x e y não têm
fatores comuns, e deduziu que neste caso x + y, x + ζy, . . ., x + ζ n−1 y
não têm fatores em comum, ou seja, são primos entre si. Então Lamé
argumentou que o produto de primos entre si pode ser igual a uma
potência n se cada um dos fatores do produto for também uma potência
de n. Assim
x + y = un1
x + ζy = un2
···
x + ζ n−1 y = unn
e com isso, Lamé chega a uma contradição.
Então, Joseph Liouville (1809-1882) lhe apontou que sua dedução assumiu sutilmente a fatoração única. Liouville teve sua suposição
1.2. OS NÚMEROS ALGÉBRICOS NA HISTÓRIA
27
confirmada quando, mais tarde, recebeu uma carta de Kummer explicando que a fatoração única poderia falhar em alguns casos, o primeiro
deles em n = 23. No verão de 1847, Kummer passou a elaborar sua
própria demonstração para o Último Teorema de Fermat para certos
expoentes n, superando as dificuldades encontradas pela descoberta da
não-unicidade da fatoração ao introduzir a teoria de número complexo
ideal. Essa teoria pode ser vista como a introdução de números que não
pertencem a Z[ζ] para serem usados como fatores quando os elementos
da fatoração pertencem a Z[ζ].
Posteriormente, a teoria assumiu uma forma diferente do que
Kummer havia posto, mas o conceito essencial de “ideal” impulsionou
a teoria. Usando sua teoria, Kummer demonstrou o Último Teorema
de Fermat para uma ampla gama de potências com expoente primo.
Kummer desenvolveu uma poderosa ferramenta com aplicações para
muitos outros problemas. Na realidade, grande parte da Teoria dos
Números clássica pode ser expressa em termos dos números algébricos.
Essa ideia foi introduzida mais fortemente pelo alemão David Hilbert
(1862 – 1943) em seu Zahlbericht (Relatório sobre os números) de 1897,
que teve grande influência no desenvolvimento da Teoria dos Números.
Como resultado, a Teoria dos Números Algébricos é hoje um ramo da
matemática próspero e importante, com métodos elaborados e intuitivos, e, mais significativamente, aplicações não somente na Teoria dos
Números, mas também na Teoria dos Grupos, na Geometria Algébrica,
Topologia e Análise. Foram essas relações importantes que levaram à
prova final do Último Teorema de Fermat, estabelecendo-o definitivamente como um teorema, e não apenas uma conjectura, como era posto
anteriormente. A prova do Último Teorema de Fermat foi possível pela
utilização de vários conceitos desenvolvidos através dos tempos, muitos
desses posteriores a Fermat, o que leva a crença de que, na realidade,
quando ele pensou ter vislumbrado a demonstração ele provavelmente
cometera algum equívoco em seu raciocínio, ou, caso contrário, ele havia realmente tido um insight impressionante que não foi concebido por
nenhum matemático nos 350 anos seguintes. Ainda assim, ter intuído
28
Capítulo 1. A ÁLGEBRA NA HISTÓRIA
tal teorema mostra a inteligência ímpar de Fermat.
Enfim, o surgimento dos números algébricos é bastante natural,
pois, por exemplo, é a ferramenta para atacar o problema da resolução das equações diofantinas. E como foi posto anteriormente, o anel
Z[ζ] tem grande importância nos estudos dos números algébricos. Mais
geralmente, para qualquer número algébrico α, pode-se considerar um
subanel IL do corpo L = Q(α), sendo IL o “anel dos inteiros algébricos
de L”, que nem sempre é da forma Z[α]. A relação entre o anel IL e L
é análoga a de Z = IQ e Q, e o estudo desse anel IL pode ser considerado o foco principal da Teoria dos Números Algébricos, que apesar de
ter surgido como ferramenta, como visto anteriormente, tem ganhado
impulso como teoria independente.
29
2 CONCEITOS PRELIMINARES
O objetivo principal deste capítulo é apresentar os conceitos
necessários para o entendimento da Teoria dos Números Algébricos,
além dos que já foram estudados na disciplina de Álgebra Moderna do
curso de Licenciatura em Matemática.
O capítulo apresentará noções básicas de Anéis de Polinômios,
Extensões Algébricas e Módulos. Tais conteúdos servem de embasamento teórico para estudos posteriores, e são essenciais para entendimento mais profundo de Álgebra. Nesse capítulo, foram utilizados os
conceitos descritos por Dean (1974), Domingues e Iezzi (2011) e Gonçalves (1999) como embasamento teórico.
2.1 ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
Este Capítulo está baseado em Domingues e Iezzi (2011). Aqui
A será considerado um anel de integridade, ou seja, um anel comutativo com unidade e sem divisores próprios de zero. Além disso, 0 é o
zero (elemento neutro da adição) e 1 é a unidade (elemento neutro da
multiplicação).
2.1.1
Divisibilidade
Nesta Seção serão apresentados alguns conceitos referentes a
divisibilidade em um Anel de Integridade, que são necessários para o
estudo dos Anéis Fatoriais e Principais.
Definição 2.1. Um elemento a ∈ A é dito inversível se existir um
elemento b ∈ A tal que ab = ba = 1, onde 1 é a unidade de A.
O conjunto de todos os elementos inversíveis de A é denotado
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
30
por U (A), ou seja,
U (A) = {a ∈ A : ∃b ∈ A, com ab = ba = 1}.
Definição 2.2. Sejam a, b ∈ A − {0}. Então, a divide b se existir
c ∈ A tal que b = ac, e denota-se essa relação por a | b.
Definição 2.3. Sejam a, b ∈ A. O elemento a é associado a b se a | b
e b | a, e indica-se esta relação em A por a ∼ b.
Exemplo 2.1. Dois elementos não nulos quaisquer de um corpo são
sempre associados. De fato, tomando 0 =
6 a, b ∈ K, onde K é corpo,
−1 −1
−1
existem a , b ∈ K tais que aa = 1 e b−1 b = 1. Então, a = b−1 ba,
donde b | a. Analogamente a | b e, portanto, a e b são associados em K.
Exemplo 2.2. Dois números inteiros são associados se, e somente se,
forem iguais em módulo. A afirmação é verdadeira pois no anel Z,
apenas 1 e −1 são inversíveis. Então, tomando a, b ∈ Z tais que a | b e
b | a, tem-se que existem c, d ∈ Z, com b = ac e a = bd. Assim, a = acd
e cd = 1 então, c = d = 1 ou c = d = −1. Portanto, a = b ou a = −b.
A recíproca é imediata.
Proposição 2.1. Sejam a, b ∈ A dois elementos quaisquer. Então,
a ∼ b se, e somente se, existe um elemento inversível u ∈ A tal que
b = au.
Demonstração: Se a ∼ b, existem x, y ∈ A tais que b = ax e a = by.
Então b = byx, donde yx = 1. Desta forma, x e y são inversíveis, com
x = y −1 .
Reciprocamente, como b = au e u−1 ∈ A, tem-se que a = bu−1 . Assim
a | b e b | a, donde a ∼ b.
Definição 2.4. Um elemento d ∈ A é máximo divisor comum de
a1 , · · · , an ∈ A, denotado por mdc(a1 , · · · , an ) = d, se:
1. d | ai , para todo 1 ≤ i ≤ n,
2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
31
2. se d1 ∈ A e d1 | ai , para todo i ∈ {1, · · · , n}, então d1 | d. Isto é,
todo divisor de a1 , · · · , an , é divisor de d.
Definição 2.5. Quando o máximo divisor comum de elementos quaisquer de A é a unidade do anel esses elementos são ditos primos entre
si.
Proposição 2.2. Seja d um mdc de a1 , · · · , an ∈ A. Temos que d′ é
mdc de a1 , · · · , an se, e somente se, d ∼ d′ .
Demonstração: Suponha que d e d′ sejam máximos divisores comuns
de a1 , · · · , an . Pelo item (i) da Definição (2.4), d e d′ dividem a1 , · · · , an ,
e pelo item (ii) da Definição (2.4), d | d′ e também d′ | d. Portanto,
d ∼ d′ .
Reciprocamente, sejam d, d′ ∈ A tais que, d é máximo divisor comum
de a1 , · · · , an , d | d′ e d′ | d. Como d | ai , para todo 1 ≤ i ≤ n e d′ | d,
então, pela propriedade transitiva da divisibilidade, d′ | ai , para todo
1 ≤ i ≤ n. Supondo que exista c ∈ A, tal que c é um divisor comum
de a1 , · · · , an ∈ A, pelo item (ii) da Definição (2.4), c | d. Mas d | d′ ,
donde c | d′ . Portanto, d′ é mdc de a1 , · · · , an ∈ A.
Nota-se, então, que o máximo divisor comum de elementos de
A, se existir, não é, em geral, único.
Exemplo 2.3. No anel dos inteiros, Z , aplicando a definição, têm-se
dois mdc, um o oposto do outro, como é possível observar do Exemplo
(2.2) e na Proposição (2.2). Porém, comumente, usa-se apenas o mdc
positivo.
Definição 2.6. Seja p ∈ A. Então, p é dito primo se:
1. p 6= 0;
2. p não é inversível;
3. dados a, b ∈ A, quaisquer, se p | ab, então p | a ou p | b.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
32
Mostra-se por indução que sendo p primo e p | a1 · · · an , então
p divide um dos fatores.
Exemplo 2.4. Lembre-se de que se p ∈ Z é um número primo se
p 6= ±1 e os únicos divisores de p são ±1 e ±p. Seja p ∈ Z um número
primo, então p =
6 0 e não inversível. Sejam a, b ∈ Z tais que p | ab.
Suponha que p não divide a, então mdc(a, p) = 1, pois 1 e p são os
únicos divisores de p. Pela Identidade de Bezout, existem x, y ∈ Z tais
que 1 = ax + py. Multiplicando por b, obtém-se b = abx + pby. Como
p | abx, pois p | ab, e p | pby segue que p | b. Portanto p é um elemento
primo.
Agora, seja p ∈ Z um elemento primo. Seja a ∈ Z, supondo que a | p,
existe t ∈ Z tal que p = at e assim p | at. Por hipótese, p | a ou p | t.
Se p | a, e como a | p, segue que a e p são associados e assim, a = ±p.
Se p | t, existe u tal que t = pu. Substituindo em p = at, obtem-se
p = aup. Daí 1 = au e a = ±1. Portanto p é primo.
Definição 2.7. Seja p ∈ A. Então, p é dito irredutível se:
1. p 6= 0;
2. p não é inversível;
3. dados a, b ∈ A, quaisquer, se p = ab, então a é inversível ou b é
inversível.
Prova-se por indução que, dado p ∈ A irredutível e p = a1 · · · an ,
n ≥ 1, então p é associado a algum ai , com 1 ≤ i ≤ n e o produto dos
demais fatores é inversível.
Observação 2.1. Um elemento p ∈ A tal que p 6= 0, p não é inversível
e p não é irredutível é chamado redutível.
É notável que no anel de inteiros os elementos primos são irredutíveis. Isso ocorre pois Z é um anel de integridade, como mostra o
próximo resultado.
2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
33
Proposição 2.3. Todo elemento primo de um anel de integridade A é
irredutível.
Demonstração: Seja p um elemento primo de A. Como p é primo,
segue que p 6= 0 e p não é inversível, então, basta demonstrar o item
(3) da Definição (2.7). Assim, sejam a, b ∈ A tais que p = ab, então
p | ab. Assim, pela Definição (2.6), p | a ou p | b. Supondo que p | a,
existe c ∈ A tal que a = pc. Desta forma, p = ab = pcb, donde cb = 1
e c = b−1 , onde b é inversível em A. De forma análoga, supondo p | b
prova-se a inversibilidade de a no anel de integridade A.
2.1.2
Anéis fatoriais
Nesta seção, serão definidos, dentre outros conceitos, anel fatorial, anel principal e anel euclidiano, e será mostrado como que todo
anel euclidiano é principal, e todo anel principal é fatorial.
Sabe-se, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, que todo
número inteiro pode ser escrito como produto de números primos e
essa fatoração é única a menos da ordem dos fatores. Nesta seção esse
conceito será ampliado para um anel de integridade.
Definição 2.8. Seja A um anel de integridade. A é dito anel fatorial
se são válidas as seguintes condições:
1. se a é elemento qualquer de A, não nulo e não inversível, então
existem p1 , p2 , · · · , ps ∈ A irredutíveis, tais que
a = p1 p2 · · · ps ;
2. sejam {pi }si=1 e {qj }tj=1 famílias de irredutíveis de A. Se a =
p1 p2 · · · ps = q1 q2 · · · qt , então s = t e existe uma permutação σ
de {1, 2, · · · , s} tal que
pi ∼ qσ(i) ,
para i = 1, 2, · · · , s.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
34
Ao definir anel fatorial, a condição (2) exprime a unicidade da
decomposição de a, a menos da ordem dos fatores irredutíveis e de
elementos inversíveis, cuja existência é assegurada pela condição (1).
Ou seja, qualquer elemento não nulo e não inversível num anel fatorial
pode ser decomposto em um produto de fatores irredutíveis. Ainda,
duas decomposições em fatores irredutíveis dum mesmo elemento do
anel, sob as mesmas condições, têm o mesmo número de fatores e as
duas decomposições são associadas fator a fator, através de uma relação
de permutação.
Exemplo 2.5. Todo corpo é um anel fatorial, pois, como apenas o zero
dentre seus elementos não é inversível, não há elementos dum corpo que
não satisfaçam a definição.
Teorema 2.1. Seja A um anel de integridade. Então, A é um anel
fatorial se, e somente se, A satisfaz a condição (1) da Definição (2.8)
e todo elemento irredutível em A é também elemento primo.
Demonstração: Seja A um anel fatorial. Por definição, A satisfaz a
condição (1). Então, sejam p ∈ A um elemento irredutível e a, b ∈ A
tal que p | ab. De acordo com o item (1) da Definição (2.8), existem
elementos irredutíveis p1 , p2 · · · , ps , q1 , q2 · · · , qt tais que
a = p1 p2 · · · ps e b = q1 q2 · · · qt .
Por outro lado, como p | ab, existe c ∈ A tal que ab = pc, assim
pc = p1 p2 · · · ps q1 q2 · · · qt .
(2.1)
Como por hipótese A é fatorial e p é irredutível, pelo item (2) da
Definição (2.8), p está associado a um dos fatores irredutíveis do segundo membro da Equação (2.1). Então, p ∼ pi ou p ∼ qj , para algum
1 ≤ i ≤ s ou 1 ≤ j ≤ t. Ou seja, p | pi ou p | qj . Portanto, p | a ou p | b.
Reciprocamente, seja A um anel de integridade em que, se a é elemento
2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
35
qualquer de A, não nulo e não inversível, então existem p1 , p2 , · · · , ps ∈
A irredutíveis, tais que
a = p1 p2 · · · ps
e em que todo elemento irredutível em A é também elemento primo. Assim, sejam p1 , p2 · · · , ps , q1 , q2 · · · , qt ∈ A elementos irredutíveis, supõese que
p1 p2 · · · ps = q1 q2 · · · qt .
(2.2)
Como a condição do item (1) da Definição (2.8) já está satisfeita, basta
mostrar que s = t e que pi ∼ qσ(i) , para i = 1, 2, · · · , s. Esta demons-
tração se dará por indução finita sobre o número natural s.
(i) Para s = 1, tem-se que
p1 = q1 q2 · · · qt , supondo t > 1.
(2.3)
Como p1 é primo, então p1 | qj , para algum 1 ≤ j ≤ t. Por outro
lado, qj | p1 . Assim p1 ∼ qj e então, existe u inversível tal que
qj = p1 u
(2.4)
Substituindo (2.4) em (2.3) tem-se que
p1 = q1 ...qj−1 p1 uqj+1 ...qt .
Como A é anel de integridade e p1 6= 0, por hipótese, então
1 = q1 ...qj−1 uqj+1 ...qt .
Desta forma, qi é inversível, para todo 1 ≤ i ≤ n, o que é uma
contradição, pois todos os qi são irredutíveis. Donde, t = 1.
(ii) Supõe-se, então, que a condição (2) da definição de anel fatorial
esteja satisfeita para s − 1, sendo s > 1.
(iii) Agora, precisa-se provar que a condição (2) seja satisfeita para s.
Da equação (2.2), p1 | (q1 q2 · · · qt ), mas como p1 é elemento primo,
então p1 | qi , para algum qi , com 1 ≤ i ≤ t. Supondo, sem
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
36
perda de generalidade, que i = 1, então p1 | q1 e, para algum
u é inversível em A, q1 = up1 , donde
p1 p2 · · · ps = up1 q2 · · · qt .
(2.5)
Agora, definindo p2′ = u−1 p2 e dividindo a Equação (2.5) por p1 ,
obtém-se
p2′ p3 · · · ps = q2 q3 · · · qt ,
(2.6)
com p2′ , p3 , · · · , ps , q2 , q3 , · · · , qt irredutíveis. Pela hipótese de indução expressa no item (ii) desta demonstração, temos s−1 = t−
1. Denotação convenientemente, tem-se que p2′ ∼ q2′ , · · · , ps ∼ qs
e, portanto, s = t e pi ∼ qi para 1 ≤ i ≤ s.
Desta forma, com o resultado demonstrado acima, conclui-se
que num anel fatorial, um elemento p é irredutível se, e somente se, p
é primo.
Agora, será definido anel principal, que é um caso particular
de anel fatorial, como se verifica posteriormente.
Definição 2.9. Seja A um anel de integridade. A é dito principal se
todos os seus ideais são principais.
Desse modo, um anel de integridade A é principal se dado qualquer ideal I de A, existe a ∈ A tal que I = hai.
Exemplo 2.6. O anel dos números inteiros Z é um anel principal, pois
cada ideal pode ser gerado por apenas um número, ou seja, todos os
seus ideais são principais, satisfazendo a condição dada na definição.
Proposição 2.4. Seja I um ideal de um anel de integridade A. Se I
contém algum elemento inversível de A, então I = A
Demonstração: Como I é ideal de A, basta mostrar a inclusão A ⊂ I.
Assim, sejam a ∈ A um elemento qualquer e u ∈ I inversível. Então,
2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
37
existe v ∈ A tal que uv = 1. E, assim,
a = a · 1 = a(uv) = (av)u.
Como av ∈ A e u ∈ I, então a = (av)u ∈ I. Assim, A ⊂ I e, portanto,
A=I
Proposição 2.5. Seja A um anel principal. Então, todo elemento irredutível é primo.
Demonstração: Seja p um elemento irredutível de A. Então, p é
não nulo e não é inversível, satisfazendo as duas primeiras condições
de elemento primo, então, suponha-se que p | ab. Seja I = ha, pi ⊂ A.
Como A é anel principal, existe d ∈ A tal que I = hdi. Como p ∈ I,
existe c ∈ A tal que p = dc. Pela irredutibilidade de p, segue que d ou
c é inversível.
1. Se d é inversível:
Pela Proposição (2.4) tem-se que hdi = A, ou seja, ha, pi = I =
hdi = A. Como 1 ∈ A, existem x, y ∈ A tais que 1 = ax + py.
Logo, b = abx + pby. Por hipótese, p | ab e é claro que p | pby,
assim p | b.
2. Se c é inversível:
Como p = dc, então d = pc−1 . Mas a ∈ I, então pode ser escrito
como a = dq, para algum q ∈ A. Então, tem-se que a = qpc−1 e,
logo, p | a.
Portanto, p é primo.
Exemplo 2.7. Pelo Exemplo (2.6), Z é um anel principal, logo, pela
proposição que acima demonstrada, todo elemento irredutível em Z é
um número primo e reciprocamente. Desse modo, um elemento p ∈ Z
é irredutível se, e somente se, os únicos divisores de p são ±1 e ±p.
Proposição 2.6. Seja A um anel principal. Então, p ∈ A − {0} é
irredutível se, e somente se, hpi é maximal.
38
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
Demonstração: Seja p ∈ A − {0} irredutível. Pela Definição (2.7), p
é não nulo e não é inversível. Então, seja a ∈ A tal que hpi ⊂ hai, donde
p ∈ hai. Assim, existe q ∈ A tal que p = aq. Mas p é irredutível, logo
a ou q é inversível. Se a é inversível, então hai = A, pela Proposição
(2.4). Por outro lado, se q é inversível, então q −1 ∈ A e a = pq −1 .
Logo, a ∈ hpi e assim hai ⊂ hpi. Como também hpi ⊂ hai, tem-se que
hai = hpi. Portanto, hpi é maximal.
Reciprocamente, seja hpi um ideal maximal de A, entao hpi =
6 A. Pela
contrapositiva da Proposição (2.4), p não é inversível. Agora, sejam
a, b ∈ A tais que p = ab. Assim p ∈ hai, de forma que, hpi ⊆ hai ⊆ A.
Como hpi é maximal segue que hpi = hai, ou hai = A. Se hpi = hai
então, a ∈ hai = hpi e a = pt, para algum t ∈ A. Tem-se que p | a e a | p,
logo, a ∼ p. Portanto, existe u ∈ U (A) tal que a = up. Assim, p = upb
e ub = 1, donde b é inversível. Se hai = A, tem-se que 1 ∈ A = hai e
existe x ∈ A tal que 1 = ax, consequentemente a é inversível. Portanto,
p é irredutível.
Lema 2.1. Seja I1 ⊆ I2 ⊆ I3 · · · uma sequência de ideais de A, onde
A é anel principal. Então, para algum t ≥ 1, It = It+1 = · · · , em outras
palavras, a sequência I1 ⊆ I2 ⊆ I3 · · · é estacionária.
Demonstração: Primeiramente é preciso mostrar que
[
I=
Ij
(2.7)
j≥1
é um ideal de A. De fato, se x, y ∈ I, existem m, n ∈ N tais que x ∈ Im
e y ∈ In . Tomando s = max{m, n}, tem-se que x, y ∈ Is e, assim,
x − y ∈ Is ⊂ I. Seja x ∈ I e a ∈ A, então existe um r ∈ N tal que
x ∈ Ir , donde ax ∈ Ir ⊂ I.
Como A é anel principal, existe d ∈ A tal que
I = hdi.
Por outro lado, como d ∈ I tem-se que d ∈ It , para algum t ∈ N.
Portanto, I = hdi ⊆ It . Da Equação (2.7), It ⊆ I, de forma que I = It .
Portanto, It = It+1 = · · · .
2.1. ANÉIS FATORIAIS E PRINCIPAIS
39
Lema 2.2. Seja A um anel principal. Então, todo elemento não inversível a ∈ A tem um divisor irredutível nesse anel.
Demonstração: Se a = 0, a demonstração é imediata. Agora, supõese que a é não nulo e não inversível. Considerando o ideal I0 = hai,
tem-se que se esse ideal for maximal, então, pela Proposição (2.6), a é
irredutível, e toma-se a como sendo seu divisor irredutível. Mas, se I0
não for maximal, então existe um ideal I1 = ha1 i ( A, tal que I0 ( ha1 i.
Como anteriormente, se I1 = ha1 i for maximal, a1 é irredutível. Dado
que hai ⊂ ha1 i, então a1 , neste caso, é um divisor de a. Mas, se I1 não
for maximal, usa-se o mesmo argumento, concluindo-se que existe um
ideal I2 = ha2 i ( A, tal que ha1 i ( ha2 i, ou seja
I0 ( I1 ( I2 ( A.
Considerando novamente as duas possibilidades referentes a I2 ser maximal ou não, tem-se que se I2 é maximal, a2 é um elemento irredutível
tal que a2 | a1 | a, e se I2 não for maximal, encontrar-se-á outro ideal
o contendo, e assim sucessivamente.
Mas, pelo Lema (2.1), não há sequência I0 ⊂ I1 ⊂ I2 ⊂ · · · de ideais em
A estritamente crescente. Logo, para algum r + 1 o ideal Ir+1 = har+1 i
será maximal e o elemento ar+1 desta forma obtido é irredutível e divisor de ar , ar−1 , ..., a1 e, portanto, divisor a
Proposição 2.7. Todo anel principal é fatorial.
Demonstração:
Considere A um anel principal. Pela Proposição
(2.5), temos a condição de que todo elemento irredutível em A é também elemento primo, que é a segunda condição do Teorema (2.1), para
que um anel de integridade seja anel fatorial. Logo, basta apenas mostrar a segunda condição da definição de anel fatorial, ou seja, mostrar
a existência da decomposição em fatores irredutíveis dos elementos de
um anel principal.
Se a ∈ A é irredutível, a condição está satisfeita. Então, seja a ∈ A redutível, ou seja, a é um elemento não irredutível e não nulo. Do Lema
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
40
(2.2), a tem um divisor irredutível p1 ∈ A, o que garante a existência
de a1 ∈ A tal que
a = p 1 a1 .
Analogamente, se a1 for irredutível, a demonstração se dá por encerrada. No caso contrário, usa-se o raciocínio anterior para a com a1 ,
chegando, assim, a uma igualdade a1 = p2 a2 , com a2 , p2 ∈ A e p2 é
irredutível. Até o momento
a = p 1 p 2 a2 .
Caso a2 seja irredutível, a demonstração está encerrada. Mas se a2 é redutivo, repete-se o raciocínio de a e a1 com a2 , e assim sucessivamente.
Pode-se assim obter a cadeia de ideias: ha1 i ⊂ ha2 i ⊂ ha3 i ⊂ · · · . Pelo
Lema (2.1), esta cadeia deve ser estacionário, logo os ai , com i ∈ N não
podem ser irredutíveis indefinidamente, ou seja, em algum momento
as = ps será irredutível, de forma que
a = p1 p2 · · · ps
com todos os fatores são irredutíveis.
Durante esta seção, concluiu-se que Z além de fatorial é principal. Agora, estudar-se-á certos anéis que admitem um algoritmo de
divisão análogo à divisão do anel Z dos números inteiros. Estes anéis
são um caso particular de anel fatorial, como verifica-se posteriormente.
Definição 2.10. Seja A um anel de integridade A. A é dito anel φeuclidiano se existir uma função φ : A − {0} → N tal que:
(i) Dados a e b ∈ A − {0}, φ(ab) ≥ φ(a);
(ii) Se a e b ∈ A e b 6= 0, então existem q e r em A, tais que a = bq+r,
com r = 0 ou φ(r) < φ(a).
Caso a função φ esteja subentendida não é necessário explicitála, basta denominar A anel euclidiano.
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
41
Exemplo 2.8. Seja A = Z o conjunto dos números inteiros e tome
φ(x) = |x|, para x ∈ Z. Então, tem-se que
• |xy| = |x||y| ≥ |x|, para todo x, y ∈ Z − {0}.
• Sejam x, y ∈ Z, com y 6= 0. Pelo algoritmo da divisão, existem
q, r ∈ Z tais que x = by + r, com r = 0 ou |r| < |x|.
Portanto, Z é anel euclidiano com a função módulo.
Proposição 2.8. Todo anel φ-euclidiano é principal.
Demonstração: Sejam A um anel φ-euclidiano e I 6= {0} um ideal de
A. O conjunto {φ(a) ∈ N ; a ∈ I e a 6= 0} é não vazio, pois I 6= {0},
logo, este conjunto tem mínimo φ(b), com 0 6= b ∈ I. Ainda, tem-se
que hbi ⊆ I. Seja x ∈ I um elemento qualquer, então, como A é φeuclidiano, existem q, r ∈ A tais que x = qb + r, onde φ(r) < φ(b)
se r 6= 0. Assim, r = x − qb ∈ I, pois x, b ∈ I, de forma que r ∈ I.
Como, dada a escolha de b ser tal que φ(b) é o mínimo de I, segue que
φ(r) < φ(b) não ocorre, logo x − bq = r = 0, donde x = bq e, assim,
x ∈ hbi. Portanto, hbi = I e A é anel principal.
Como foi provado anteriormente, todo anel principal é fatorial,
então, consequentemente, todo anel φ-euclidiano é fatorial.
2.2 ANÉIS DE POLINÔMIOS
Nesta seção estão alguns dos principais conceitos de Anéis de
Polinômios conforme o necessário ao que é proposto neste trabalho.
Inicialmente, o Anel de Polinômios será definido conforme define Dean
(), para que o conceito seja posto de forma mais precisa e significativa.
Definição 2.11. Seja A um anel. Um polinômio p sobre A é uma
sequência (a0 , a1 , a2 , ...) de elementos de A na qual apenas um número
finito de termos é diferente do elemento nulo de A, denotado por 0A ,
ou apenas 0, quando não houver ambiguidade.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
42
Observação 2.2. É comum dizer que p é uma sequência “quase nula”.
Como em um polinômio apenas um número finito de termos
da sequência é diferente do elemento nulo de A, certamente haverá um
último termo não nulo do polinômio.
Definição 2.12. Seja p um polinômio sobre um anel A dado por
p = (a0 , a1 , a2 , ..., an , 0, 0, ...).
Define-se grau do polinômio p o número natural n, tal que para todo
i > n, tem-se ai = 0.
O grau do polinômio p é denotado por ∂p.
Definindo uma variável x e denotando o polinômio (0, ..., 0, a, 0, ...)
por ax quando a é o (m + 1)-ésimo termo da sequência, tem-se
m
ax1 = (a, 0, 0, 0, ...)
ax2 = (0, a, 0, 0, ...)
ax3 = (0, 0, a, 0, ...)
...
Portanto, um polinômio p = (a0 , a1 , a2 , ..., an , 0, 0, ...) é descrito
da forma
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn .
Os termos a0 , a1 , a2 , ... da sequência p são os coeficientes na expressão
a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn . Quando o coeficiente de algum termo ai xi
do polinômino for nulo, usualmente fica oculto na expressão polinomial.
O grau de um termo ai xi é i, ou seja, o expoente de x. Num
polinômio p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn seu grau é o mesmo do
termo de maior grau com coeficiente não nulo. Nota-se, então, que o
polinômio nulo (0, 0, 0, ...), ou 0 + 0x + 0x2 + ..., não possui grau.
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
43
Para cada a ∈ A, o polinômio p = (a, 0, 0, ...), ou p(x) = a +
0x+0x +..., é dito polinômio escalar a, e tem grau 0 se a 6= 0. Apesar
2
do polinômio nulo (0, 0, 0, ...), ou 0 + 0x + 0x2 + ..., não possuir grau,
ele é definido, por conveniência, como um polinômio escalar.
Num polinômio p sobre o anel A, o coefiente do termo de maior
grau é dito coeficiente principal de p, assim, se ∂p = d, ad é o coeficiente principal de p. Caso o coeficiente principal de p seja a unidade
do anel A (se existir), p é chamado de polinômio mônico.
Definição 2.13. Sejam p e q polinômios sobre o anel A, dados por
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + am xm
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + an xn .
Então, p(x) é igual a q(x), se m = n e ai = bi , para cada i ∈ N.
Em outras palavras, dois polinômios são iguais se possuem o
mesmo grau e são iguais termo a termo.
Definição 2.14. Sejam p e q polinômios sobre o anel A, dados por
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + am xm
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + an xn .
Definimos a adição de dois polinômios sobre A da seguinte forma
p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + ...
(2.8)
e a multiplicação por
p(x)q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ...,
onde
ck =
k
X
i=0
ai bk−i =
X
i+j=k
ai b j .
(2.9)
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
44
É fácil ver que a adição e multiplicação de polinômios sobre A
irá resultar em um polinômio cujos coeficientes estão em A, pois tais
coeficientes resultaram da adição e da multiplição de elementos de A,
que é anel, e portanto, fechado para a adição e para a multiplicação.
Observação 2.3. Seja A um anel. Denota-se o conjunto dos polinômios
p na variável x sobre A da forma
A[x] = {a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn : n ∈ N, ai ∈ A, ∀i ∈ {1, ..., n}}.
Observação 2.4. Seja A um anel. É possível identificar cada elemento
a ∈ A como um polinômio constante da forma p(x) = a. Como p(x) ∈
A[x], observa-se que A ⊆ A[x].
Proposição 2.9.
1. Se A é um anel, então A[x] é um anel.
2. Se A é um anel comutativo, então A[x] é um anel comutativo.
3. Se A é um anel com unidade, então A[x] é um anel com unidade.
4. Se A é um anel de integridade, então A[x] é um anel de integridade.
Demonstração: Para demonstrar essa proposição, serão definidos
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ...
r(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ...
polinômios não nulos de A[x].
1. É preciso verificar os 6 axiomas de anel. Lembrando que as propriedades de anel valem para os coeficientes de p, q e r, uma vez
que esses pertencem ao anel A .
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
45
i) Comutatividade da adição:
p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + ...
= (b0 + a0 ) + (b1 + a1 )x + (b2 + a2 )x2 + ...
= q(x) + p(x)
ii) Associatividade da adição:
p(x) + [q(x) + r(x)] = a0 + a1 x + ... + (b0 + c0 ) + (b1 + c1 )x + ...
= [a0 + (b0 + c0 )] + [a1 + (b1 + c1 )]x + ...
= [(a0 + b0 ) + c0 ] + [(a1 + b1 ) + c1 ]x + ...
= (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + ...c0 + c1 x + ...
= [p(x) + q(x)] + r(x)
iii) Existência do elemento neutro da adição (0A[x] ):
Tome o polinômio nulo 0 = 0 + 0x + 0x2 + ... ∈ A[x]
p(x) + 0 = (a0 + 0) + (a1 + 0)x + ...
= a0 + a1 x + ...
= p(x)
Como vale a comutatividade da adição, o polinômio nulo é o elemento neutro da adição em A[x].
iv) Existência do elemento simétrico da adição (oposto):
Para p(x) = a0 + a1 x+ a2 x2 + ..., tome −p(x) = (−a0 )+ (−a1 )x+
(−a2 )x2 +..., onde −an é simétrico de an em A, para todo n ∈ N..
Assim,
p(x) + [−p(x)] = [a0 + (−a0 )] + [a1 + (−a1 )]x + ...
= 0 + 0x + ...
=0
Como vale a comutatividade da adição, −p(x) assim definido é o
elemento simétrico de p(x) em A[x].
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
46
v) Associatividade da multiplicação
É preciso mostrar que
p(x) · [q(x) · r(x)] = [p(x) · q(x)] · r(x)
Definindo as multiplicações:
q(x) · r(x) = d0 + d1 x + ..., onde dk =
p(x) · q(x) = l0 + l1 x + ..., onde lk =
X
b i cj
i+j=k
X
ai b j
i+j=k
p(x) · [q(x) · r(x)] = e0 + e1 x + ..., onde ek =
X
[p(x) · q(x)] · r(x) = m0 + m1 x + ..., onde mk =
pode-se escrever:
ek =
X
ai dj
i+j=k
X
l i cj
i+j=k
ai dj
i+j=k
=
X
(ai
i+j=k
=
X
X
b α cβ )
α+β=j
a i b α cβ
i+α+β=k
=
X
(
X
ai bα )cβ
n+β=k i+α=n
=
X
l n cβ
n+β=k
= mk
Portanto,
p(x)·[q(x)·r(x)] = e0 +e1 x+... = m0 +m1 x+... = [p(x)·q(x)]·r(x)
e vale a associatividade da multiplicaçao em A[x].
vi) Distributividade
É preciso mostrar que p(x) · [q(x) + r(x)] = p(x) · q(x) + p(x) · r(x).
Definindo as multiplicações:
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
47
p(x) · [q(x) + r(x)] = d0 + d1 x + ..., onde dk =
p(x) · q(x) = e0 + e1 x + ..., onde ek =
p(x) · r(x) = l0 + l1 x + ..., onde lk =
pode-se escrever:
dk =
X
X
X
ai (bj + cj )
i+j=k
ai b j
i+j=k
X
a i cj
i+j=k
ai (bj + cj )
i+j=k
=
X
a i b j + a i cj
i+j=k
=
X
ai b j +
i+j=k
X
a i cj
i+j=k
= ek + lk
De modo análogo, verifica-se
[p(x) + q(x)] · r(x) = p(x) · r(x) + q(x) · r(x)
e, então, vale a propriedade distributiva em A[x].
Portanto, A[x] é anel se A for anel.
2. Definindo
p(x) · q(x) = d0 + d1 x + d2 x2 + ..., onde dk =
q(x) · p(x) = e0 + e1 x + e2 x2 + ..., onde ek =
Desde que A[x] é anel comutativo, tem-se
X
dk =
ai b j
i+j=k
=
X
i+j=k
= ek .
b j ai
X
ai b j
i+j=k
X
i+j=k
b j ai .
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
48
Desta forma,
p(x)·q(x) = d0 +d1 x+d2 x2 +... = e0 +e1 x+e2 x2 +... = q(x)·p(x).
Portanto, A[x] é anel comutativo se A também o for.
3. Seja A seja anel com unidade 1. Definindo
u(x) = 1 = 1 + 0x + 0x2 + ...
tem-se que
p(x) · u(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ...
com
ck =
X
ai e j ,
i+j=k
onde e0 = 1 e ej = 0 para todo j ≥ 0. Segue que
ck =
X
ai e j
i+j=k
= 1ak
= 1ak
= ak .
Assim,
p(x) · u(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... = a0 + a1 x + a2 x2 + ... = p(x).
De modo análogo, pode-se verificar que
u(x) · p(x) = p(x)
e, então, o polinômio escalar u(x) = 1 é a unidade de A[x]
Portanto, A[x] é anel com unidade se A também o for.
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
49
4. Basta mostrar que A[x] não possui divisores de zero, pois a comutatividade e a existência da unidade já foram verificados no
itens 2. e 3., respectivamente.
Supondo que A[x] tenha divisores de zero, então, existem p(x), q(x) ∈
A[x], ambos não nulos, tais que p(x) · q(x) = 0. Sendo p(x) 6= 0
e q(x) 6= 0, existem m, n ∈ N, tais que ∂p = m e ∂q = n. Tem-se
que
p(x) · q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... = 0,
onde
ck =
X
i+j=k
ai bj = 0, ∀ k ∈ N
Particularmente,
0 = cm+n
X
=
ai b j
i+j=m+n
= a0 bm+n + a1 bm+n−1 + ... + am−1 bn+1 + am bn +
+ am+1 bn−1 + ... + am+n b0
= am b n
pois bk = 0, para todo k > n e ak = 0, para todo k > m. Desta
forma, am bn = 0, mas am 6= 0 e bn 6= 0, o que contradiz a hipótese
de que A é anel de integridade. Logo, A[x] não têm divisores de
zero e A[x] é anel de integridade se A também o for.
Observação 2.5. Pela Proposição (2.9), verifica-se que
• Z[x] é anel, pois Z também o é.
• (nZ)[x] é anel comutativo, pois nZ é anel comutativo;
• (M2×2 (R))[x] é anel com unidade, pois M2×2 (R) também o é.
unidade.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
50
• Q[x], R[x] e C[x] são anéis de integridade, pois Q, R e C também
o são.
• Zp [x] é anel de integridade, pois Zp também o é se p for primo
positivo.
Antes de enunciar a proposição abaixo é interessante notar que
o grau do polinômio define uma função
∂ : A[x]∗ −→ N
p(x) 7−→ ∂p
Proposição 2.10. Sejam p e q polinômios não nulos sobre o anel A.
1. Se p(x) + q(x) 6= 0, então ∂(p + q) ≤ max {∂p, ∂q}.
2. Se ∂p 6= ∂q, então p(x) + q(x) 6= 0 e ∂(p + q) ≤ max {∂p, ∂q}.
3. Se p(x)q(x) 6= 0, então ∂(pq) ≤ ∂p + ∂q.
4. Se A é um anel de integridade, então p(x)q(x) 6= 0 e ∂(pq) =
∂p + ∂q.
Demonstração: Primeiramente, serão definidos os polinômios p(x) e
q(x) utilizados na demonstração desta proposição. Considera-se
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn ,
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + am xm ,
com ∂p = n e ∂q = m.
1. Supõe-se que n ≥ m (para o outro caso é análogo). Assim
p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + ... + (am + bm )xm +
(am+1 + bm+1 )xm+1 + ... + (an + bn )xn ,
onde bm+1 = bm+2 = ... = 0. Então, ∂(p+q) ≤ n = max {∂p, ∂q}.
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
51
2. Supõe-se que n > m (é análogo para m > n). Então,
p(x)+q(x) = (a0 +b0 )+...+(am +bm )xm +am+1 xm+1 +...+an xn ,
como an 6= 0, tem-se que
p(x) + q(x) 6= 0
e ainda
∂(p + q) ≤ n = max {∂p, ∂q} .
3. Sejam p(x) · q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... 6= 0, onde
ck =
X
i+j=k
ai bj , ∀ k ∈ N,
onde ar = 0, para todo r > m e bs = 0, para todo s > n. Será
demonstrado que cm+n+k = 0, para todo k > 0. Sabe-se que
cm+n+k =
X
ai b j .
i+j=m+n+k
Se i > m ou j > n, é imediato que cm+n+k = 0.
Supondo que i ≤ m, então
i≤m⇒i+j ≤m+j
⇒m+n+k ≤m+j
⇒n+k ≤j
⇒j>n
⇒ bj = 0
⇒ cn+m+k = 0.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
52
Analogamente, supondo que j ≤ n, então
j ≤n⇒i+j ≤n+i
⇒m+n+k ≤n+i
⇒m+k ≤i
⇒i>m
⇒ ai = 0
⇒ cn+m+k = 0.
E assim, ∂(pq) ≤ m + n = ∂p + ∂q.
4. Do item (4) da Proposiçao (2.9) segue que, se p(x) 6= 0 e q(x) 6= 0,
então p(x) · q(x) 6= 0, e ainda, se
p(x) · q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ...,
então cn+m = an bm 6= 0, pois an 6= 0, bm =
6 0 e an e bm pertencem
a um anel de integridade. Como visto anteriormente, cn+m =
an bm é o último termo não nulo e, portanto, ∂(pq) = m + n =
∂p + ∂q.
Observação 2.6. A seguir, será provado que, dado um anel A, os
elementos inversíveis do anel de polinômios sobre A são os próprios elementos inversíveis desse anel. Assim, fica claro que que os elementos de
A são polinômios escalares em A[x] e que esses são os únicos elementos
inversíveis de A[x].
Observação 2.7. Dado um anel qualquer A, o conjunto dos números
inversíveis em A é denotado por U(A).
Corolário 2.1. Se A é anel de integridade, então U(A) = U(A[x]).
Demonstração:
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
53
• U(A) ⊂ U(A[x]) :
Seja a ∈ U(A). Então, existe b ∈ A tal que a · b = b · a = 1. Como
A ⊂ A[x], então a ∈ A[x] e b ∈ A[x]. Portanto, a ∈ U(A[x]).
• U(A[x]) ⊂ U(A) :
Seja p(x) ∈ U(A[x]). Então, existe q(x) ∈ A[x] tal que p(x)·q(x) =
q(x) · p(x) = 1. Tem-se que p(x) 6= 0 e q(x) 6= 0. Como A[x] é um
anel de integridade, segue da Proposição (2.10) que
∂p + ∂q = ∂(p · q) = ∂(1) = 0.
Concluí-se, assim, que ∂p = 0 e ∂q = 0, ou seja, p(x) = a ∈ A.
Além disso, a deve ser inversível, e portanto, p(x) = a ∈ U(A).
Observação 2.8. Se A é corpo, não necessariamente A[x] é também
um corpo. Basta tomar como exemplos os conjuntos Q, R e C, os quais
são corpos, mas os conjuntos Q[x], R[x] e C[x] são apenas anéis de
integridade. De fato, o polinômio p(x) = x ∈ C[x], mas não é inversível.
Para verificar essa afirmação, basta supor que exista q(x) ∈ C[x] tal que
p(x) · q(x) = 1. Então,
0 = ∂(1) = ∂p + ∂q = 1 + ∂q ≥ 1,
que é uma contradição. Logo, p(x) = x não é inversível.
Teorema 2.2. Algoritmo de Euclides: Sejam K um corpo e f (x), g(x) ∈
K[x], com g(x) 6= 0. Então, existem q(x), r(x) ∈ K[x] tais que
f (x) = g(x) · q(x) + r(x)
com r(x) = 0 ou ∂(r(x)) < ∂(g(x)).
Demonstração: Se f (x) = 0, basta assumir q(x) = r(x) = 0.
Suponnhamos que f (x), g(x) 6= 0, com
f (x) = a0 + ... + am xm
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
54
g(x) = b0 + ... + bn xn ,
ou seja, ∂f = m e ∂g = n. Assim, temos que ∂f < ∂g ou ∂f ≥ ∂g.
1o Caso: ∂f < ∂g: Tomamos q(x) = 0 e r(x) = f (x).
2o Caso: ∂f ≥ ∂g:
Vamos usar o segundo princípio de indução sobre ∂f = m.
• Para m = 0, f (x) = a0 , com a0 ∈ K. Como 0 = ∂f ≥ ∂g, segue
que ∂g = 0, ou seja, g(x) = b0 , com 0 6= b0 ∈ K. Assim, b0−1 ∈ K,
pois K é corpo. Tomamos q(x) = b−1
0 a0 e r(x) = 0, daí
g(x) · q(x) + r(x) = b0 (b−1
0 a0 ) + 0 = a0 = f (x).
• Agora, para m ≥ 1 temos a seguinte hipótese de indução: Se
h(x) ∈ K[x], h(x) 6= 0 e ∂h < m, então existem q1 , r1 ∈ K[x]
tais que
h(x) = g(x) · q1 (x) + r1 (x),
com r1 = 0 ou ∂r1 < ∂g.
Consideramos
m−n
h(x) = f (x) − (am b−1
) · g(x).
n x
Se h(x) = 0, então f (x) = g(x) · q(x) + r(x), com r(x) = 0 e
m−n
.
q(x) = am b−1
n x
Se h(x) 6= 0, vamos calcular o grau de h(x). Temos que
m−n
h(x) = f (x) − (am b−1
) · g(x)
n x
m−n
= (a0 + ... + am xm ) − (am b−1
)(b0 + ... + bn xn )
n x
m−n
m−n+1
= (a0 + ... + am xm ) − (am b−1
+ am b−1
+
n b0 x
n b1 x
m−1
... + am b−1
+ am xm )
n bn−1 x
m−n
= a0 + a1 x1 + ... + am−n−1 xm−n−1 + (am−n − am b−1
+
n b0 )x
m−n+1
+ (am−n+1 − am b−1
+ ... + (am−1 − am bn−1 bn−1 )xm−1 .
n b1 )x
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
55
Desta forma, ∂h < m, e pela hipótese de indução, existem q1 (x), r1 (x) ∈
K[x], com r1 (x) = 0 ou ∂r1 < ∂g tais que h(x) = g(x) · q1 (x) +
r1 (x). Então,
g(x) · q1 (x) + r1 (x) = f (x) − (am bn−1 xm−n ) · g(x)
f (x) = g(x) · [q1 (x) + am bn−1 xm−n ] + r1 (x).
Então, definimos q(x) = q1 (x) + am bn−1 xm−n e r(x) = r1 (x), e
portanto, r(x) = 0 ou ∂r < ∂g.
Foi provada a existência de q e r, agora, é preciso provar sua
unicidade. Suponhamos que q, q̃, r, r̃ ∈ K[x] tais que
f (x) = g(x) · q(x) + r(x)
f (x) = g(x) · q̃(x) + r̃(x)
com r(x) = 0 ou ∂r < ∂g e r̃(x) = 0 ou ∂r̃ < ∂g. Então
g(x) · q(x) + r(x) = g(x) · q̃(x) + r̃(x)
g(x) · [q(x) − q̃(x)] = r̃(x) − r(x).
Assim, se q(x) 6= q̃(x) então r(x) 6= r̃(x) e
∂g ≤ ∂[(q − q̃)g] = ∂(r̃ − r) < ∂g.
Isso é uma contradição. Logo, q = q̃ e r = r̃ são únicos.
Lema 2.3. Sejam K um corpo e f (x) ∈ K[x]. Então, α é raiz de f (x)
se, e somente se, (x − α) | f (x).
Demonstração: Seja α raiz de f (x) ∈ K[x]. Usando o algoritmo de
Euclides, existem q(x) e r(x) tais que
f (x) = (x − α)q(x) + r(x),
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
56
com r(x) = 0 ou ∂r < 1, ou seja, existe b0 ∈ K, tal que r(x) = b0 .
Assim,
0 = f (α) = (α − α)q(x) + b0 ,
donde b0 = 0, ou seja, r(x) = 0 e (x − α) | f (x).
Reciprocamente, se (x − α) | f (x), então, por hipótese, existe q(x) ∈
K[x] tal que f (x) = (x − α)q(x). Assim, f (α) = (α − α)q(α) = 0, ou
seja, α é raiz de f (x).
Proposição 2.11. Sejam K um corpo e f (x) = a0 + · · · + an xn um
polinômio não nulo de grau n em K[x]. Então, o número de raízes de
f (x) em K é no máximo igual a ∂f = n.
Demonstração: Se f (x) não possui raízes em K, a proposição está
provada. Supondo que α ∈ K seja uma raiz de f (x), como g(x) =
x − α ∈ K[x], podemos escrever f (x) = q(x)(x − α), pelo Lema (2.3).
Agora, se β ∈ K é uma raiz qualquer de f , então, f (β) = (β − α)q(β) =
0, donde α = β, ou seja, β é também uma raiz de q(x) ∈ K[x]. Assim,
as raízes de f são α e mais as raizes de q(x).
Usando a indução sobre ∂f = n, tem-se que, se n = 0, então f não
possui raízes em K e nesse caso nada há a demonstrar.
Agora, por indução, ∂q < ∂f = n, q(x) possui no máximo ∂q = n − 1
raízes em K e, portanto, f (x) possui no máximo n raízes em K.
Seja K um corpo. Se L ⊃ K é um corpo, dizendo que L é uma
extensão de K.
Corolário 2.2. Seja f (x) = a0 + ... + an xn um polinômio não nulo de
grau n em K[x]. Então., f (x) possui no máximo n raízes em qualquer
extensão L de K.
Demonstração: Basta observar que se f (x) ∈ K[x] e K ⊂ L, então
f (x) ∈ L[x] e agora é só aplicar a Proposição (2.11) para o corpo L.
Na primeira seção deste Capítulo definiu-se elemento irredutível de um anel de integridade. Trazendo esse conceito de elemento irredutível para um anel de polinômios, obtem-se que p(x) é um polinômio
2.2. ANÉIS DE POLINÔMIOS
57
irredutível em K[x], se ∂p ≥ 1 e para quaisquer f (x), g(x) ∈ A[x], se
p(x) = f (x) · g(x), então f (x) é inversível ou g(x) é inversível, ou seja,
f (x) ou g(x) é um polinômio escalar não nulo.
Da mesma forma, um polinômio p(x) ∈ K[x] é primo se ∂p ≥ 1
e para quaisquer f (x), g(x) ∈ K[x], se p(x) | f (x) · g(x), então p(x) |
f (x) ou p(x) | g(x).
A partir do Algoritmo de Euclides em K[x], tem-se o seguintes
resultados sobre o anel de integridade K[x].
Corolário 2.3. Seja K é um corpo, então:
1. K[x] é um anel euclidiano;
2. K[x] é um anel principal;
3. K[x] é um anel fatorial;
4. Todo polinômio irredutível sobre K é primo em K[x].
Demonstração:
1. Tem-se que o grau de um polinômio define uma aplicação de K[x]∗
sobre N e essa aplicação grau, ∂, satisfaz os itens (i) e (ii) da
Definição (2.10). De fato, se f (x), g(x) ∈ K[x], então ∂(f g) =
∂f + ∂g ≥ ∂g, satisfazendo o primeiro item. Agora, pelo Teorema
do Algoritmo de Euclides (2.2), se f, g ∈ K[x] e g 6= 0, então
existem q(x), r(x) ∈ K[x] tais que f (x) = g(x)q(x) + r(x), com
r(x) = 0 ou ∂r < ∂f e o segundo item é satisfeito. Portanto, K[x]
é um anel euclidiano.
2. Segue imediato do item (1) e da Proposição (2.8).
3. Pelo item (2) e pela Proposição (2.7) tem-se que K[x] é um anel
fatorial.
4. Segue do item (2) e da Proposição (2.5).
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
58
Teorema 2.3. Sejam K um corpo e p(x) ∈ K[x] um polinômio irreK[x]
é corpo.
dutível, então
hp(x)i
Demonstração: Há uma proposição segundo Domingues e Iezzi (2013
, pg. 266) que afirma que, dados A um anel comutativo com unidade e
A
é corpo se, e somente se, I é ideal maximal. Então,
I um ideal em A,
I
basta mostrar que I = hp(x)i é maximal.
Sejam o polinômio irredutível p(x) ∈ K[x] e J = hp(x)i = {g(x)p(x) :
g(x) ∈ K[x]}. Como ∂p ≥ 1, por p(x) ser irredutível, segue que os
polinômios escalares não pertencem a J, assim J $ K[x], ou seja, J é
ideal próprio de K[x].
Seja I um ideal de K[x] de forma que J ⊂ I. Provar-se-á que I = J
ou I = K[x]. Pelo item (2.) do Corolário (2.3), existe h(x) ∈ K[x] tal
que hh(x)i = I. Como J ⊂ I tem-se que p(x) = g(x) · h(x), para algum
g(x) ∈ K[x]. Mas p(x) é irredutível, logo g(x) é inversível ou h(x) é
inversível.
Caso g(x) seja inversível, pelo Corolário (2.1), existe a ∈ K ∗ tal que
g(x) = a 6= 0. Assim, h(x) = a−1 p(x) e I = hh(x)i ⊂ hp(x)i = J, ou
seja, I = J.
Agora, se h(x) é inversível, então existe t(x) ∈ K[x] tal que t(x)h(x) =
1. Tome q(x) um elemento arbitrário de K[x]. Tem-se que
q(x) = q(x) · 1 = q(x)t(x)h(x) ∈ hh(x)i = I,
logo, K[x] ⊂ I e I = K[x]. Portanto J = hp(x)i é ideal maximal, e
K[x]
é corpo.
hp(x)i
2.3 MÓDULOS
Estão apresentados nesta seção alguns dos principais conceitos
de Módulos conforme o necessário ao que é proposto neste trabalho.
Para elaboração desta seção, foram usados como base, Ellen, Marcelo
e Samuel.
2.3. MÓDULOS
59
Definição 2.15. Sejam A um anel com unidade e M um grupo abeliano. Diz-se que M é um A-módulo quando houver uma operação
· : A × M −→ M
(a, m) 7−→ am
tal que, dados a, b ∈ A e m, n ∈ M , tem-se:
(i) a(bm) = (ab)m
(ii) a(m + n) = am + an
(iii) (a + b)m = am + bm
(iv) 1m = m
Desta forma definido, diz-se que M é um A-módulo à esquerda,
usando-se, também, a notação
direita é análoga.
AM .
A definição de A-módulo M à
Exemplo 2.9. Todo anel A é um A-módulo, tanto à esquerda quanto
à direita. O grupo abeliano é dado por (A, +), onde + é a operação da
adição do anel A e ·, a operação do produto da definição de Módulo, é
a mesma que · do anel A.
Exemplo 2.10. O grupo trivial {0} é um A-módulo, onde A é anel.
Exemplo 2.11. Todo espaço vetorial V sobre um corpo K é um Kmódulo.
Exemplo 2.12. Vale a pena ressaltar que, dado I um ideal à esquerda
em um anel A, tem-se que I é um A-módulo à esquerda, onde a soma
é induzida pela soma em A e a multiplicação é a mesma que a de A.
Têm-se um resultado análogo para ideal à direita.
Definição 2.16. Sejam A um anel com unidade e M um A-módulo.
Um subconjunto N ⊆ M não vazio é um A-submódulo de M se
também for um A-módulo com as operações herdadas de M , ou seja, se
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
60
(i) N é um subgrupo aditivo de M ,
(ii) N é fechado em relação a ·.
Exemplo 2.13. Os conjuntos M e {0} são A-módulos, estes denominados triviais.
Proposição 2.12. Sejam M um A-módulo e N ⊂ M um subconjunto
não vazio. N é um A-submódulo de M se, e somente se, satisfaz as
condições:
(i) ∀m, n ∈ N, m + n ∈ N ,
(ii) ∀r ∈ R, n ∈ N, rn ∈ N .
Demonstração: Se N for A-submódulo de M , então os itens (i) e
(ii) da Definição (2.16) implicam nos itens (i) e (ii) desta proposição
respectivamente.
Reciprocamente, por hipótese N não é vazio então, existe n ∈ N . Pelo
item (ii) desta proposição 0 = 0n ∈ N . Ainda, como −1 ∈ A (pois é
o oposto da unidade 1 do anel A), tem-se que −n = −1n ∈ N , pelo
item (ii). Por outro lado, + é associativa e comutativa é herdado de M ,
donde N é subgrupo aditivo de M . Por fim, o item (ii) desta proposição
implica diretamente no item (ii) da Definição (2.16). Portanto, N é um
A-submódulo de M .
Exemplo 2.14. Dados I um ideal à esquerda do anel A e m ∈ M , M
um A-módulo, então
Im = {am : a ∈ I}
é um A-submódulo de M .
Proposição 2.13. Seja M um A-módulo. Então, a interseção arbitrária de submódulos de M é um submódulo de M .
Seja {Mi }i∈I uma família de submódulos de M,
\
deseja-se mostrar que
Mi é um submódulo de M , onde I é um
Demonstração:
i∈I
2.3. MÓDULOS
61
conjunto qualquer. Tomando x, y ∈
\
i∈I
Mi , x, y ∈ Mi , para todo i ∈ I.
Então, x + y ∈ Mi , para todo i ∈ I, donde x + y ∈
Por outro lado, tomando a ∈ A e x ∈
\
submódulo de M .
Mi .
i∈I
Mi , tem-se que x ∈ Mi donde
i∈I\
ax ∈ Mi , para todo i ∈ I. Logo, ax ∈
\
Mi . Portanto,
i∈I
\
Mi é um
i∈I
Observação 2.9. Se N e P são A-submódulos de M , pode-se definir
N + P = {n + p : n ∈ N ; p ∈ P },
um A-submódulo de M . Para verificar esta afirmação, basta tomar
x, y ∈ N + P , tais que x = n + p e y = n′ + p′ , e a ∈ A, donde
x + y = (n + p) + (n′ + p′ ) = (n + n′ ) + (p + p′ ) ∈ N + P e
ax = a(n + p) = an + ap ∈ N + P.
Então, pela Proposição (2.13), N é um A-submódulo M .
Definição 2.17. Sejam M um A-módulo e N um A-submódulo de M .
Tomando m1 , m2 ∈ M , defini-se a relação m1 ≡ m2 (modN ) quando
m1 − m2 ∈ N , sendo ≡ (modN ) é uma relação de equivalência, facilmente verificável.
Tem-se que a classe de equivalência, para cada m ∈ M é o
conjunto dos elementos x ∈ M tais que
x ≡ m(mod N ).
Assim,
{x ∈ M : x ≡ m(modN )} = {x ∈ M : x − m ∈ N }
= {x ∈ M : x − m = n; n ∈ N }
= {x ∈ M : x = m + n; n ∈ N }
= {m + n : n ∈ N }
= m + N.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
62
Ainda, uma vez que M é grupo abeliano, N + m = m+ N , para
todo m ∈ M , ou seja, todo submódulo N de M é um subgrupo normal
em N e, portanto, as classes laterais à esquerda e à direita coincidem,
podendo desprezar as classes laterais à direita.
Proposição 2.14. Sejam m1 , m2 ∈ M . Então, m1 + N = m2 + N se,
e somente se, m1 ≡ m2 (modN ), ou seja, m1 − m1 ∈ N .
Demonstração: Tem-se m1 , m2 ∈ M e m1 + N = m2 + N , então
m1 ∈ m2 +N , ou seja, m1 = m2 +n, com n ∈ N . Logo, m1 +(−m2 ) ∈ N
e, portanto m1 ≡ m2 (modN ).
Reciprocamente, dados m1 , m2 ∈ M e m1 ≡ m2 (modN ), então n =
m1 − m2 ∈ N , para algum n. Assim, m1 = m2 + n donde m1 ∈ m2 + N .
Analogamente, chega-se na relação m2 ∈ m1 + N . Portanto, m1 + N =
m2 + N .
M
= {m + N :
N
m ∈ M }, o conjunto de todas as classes de equivalência de N em M .
Definição 2.18. Define-se o conjunto quociente
M
M
conjunto quociente. Então,
é grupo
Proposição 2.15. Seja
N
N
abeliano com a operação
M
M
M
×
−→
N
N
N
(m1 + N, m2 + N ) 7−→ (m1 + N ) + (m2 + N ) = (m1 + m2 ) + N.
+:
Demonstração: Primeiramente, é preciso mostrar que + é bem definida. Assim, tomando m1 , m2 , m3 , m4 ∈ M tais que
(m1 + N, m2 + N ) = (m3 + N, m4 + N ).
Então, m1 + N = m3 + N e m2 + N = m4 + N , donde m1 − m3 ∈ N e
m2 − m4 ∈ N . Assim, (m1 − m3 ) + (m2 − m4 ) ∈ N então, (m1 + m2 ) −
(m3 + m4 ) ∈ N . Portanto, pela Proposição (2.14) (m1 + m2 ) + N =
(m3 + m4 ) + N .
Agora, para verificar se
M
é grupo abeliano é preciso provar que +
N
2.3. MÓDULOS
63
satisfaz a propriedade associativa, a existência do elemento neutro e
M
. Assim, sejam
do elemento oposto e a propriedade comutativa em
N
m1 , m2 , m3 ∈ M , valem as propriedades
(i) Associativa:
Como vale a associatividade em M , tem-se
(m1 + N ) + [(m2 + N ) + (m3 + N )] =
= (m1 + N ) + [(m2 + m3 + N )]
= [m1 + (m2 + m3 )] + N
= [(m1 + m2 ) + m3 ) + N
= [(m1 + m2 ) + N ] + (m3 + N )
= [(m1 + N ) + (m2 + N )] + (m3 + N ).
(ii) Existência do elemento neutro:
Seja 0 o elemento neutro de M , assim
(0 + N ) + (m1 + N ) = (0 + m1 ) + N
= m1 + N
= (m1 + N ) + (0 + N )
então, 0 + N = N é o elemento neutro de
M
.
N
(iii) Elemento oposto:
Seja −m1 é o oposto de m1 em M , o oposto de m1 + N é (−m1 )+
N , tem-se
(m1 + N ) + [(−m1 ) + N ] = (m1 − m1 ) + N
=0+N
=N
= [(−m1 ) + N ] + (m1 + N ),
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
64
(iv) Comutativa:
Como, M é grupo abeliano
(m1 + N ) + (m2 + N ) = (m1 + m2 ) + N
= (m2 + m1 ) + N
= (m2 + N ) + (m1 + N ).
M
é grupo abeliano.
N
M
M
um conjunto quociente então
é um AProposição 2.16. Seja
N
N
módulo com a operação de adição + definida na proposição anterior e
Portanto,
com a operação · definida por
M
M
−→
N
N
(a, m + N ) 7−→ a · (m + N ) = am + N.
·: A×
M
é grupo abelino.
N
Primeiro, verifica-se que · é bem definida. Então, dados m1 , m2 ∈ M e
a ∈ A tais que (a, m1 +N ) = (a, m2 +N ), tem-se que m1 +N = m2 +N ,
Demonstração: Pela Proposição (2.15),
donde m1 −m2 ∈ N . Assim, a(m1 −m2 ) = am1 −am2 ∈ N e, portanto,
am1 + N = am2 + N .
Por fim, tomando a1 , a2 ∈ A e m1 + N, m2 + N ∈
que são satisfeitos
M
, tem-se
N
(i)
(a1 a2 )(m1 + N ) = [(a1 a2 )m1 ] + N
= a1 (a2 m1 ) + N
= a1 (a2 m1 + N ).
(ii)
(a1 + a2 )(m1 + N ) = (a1 + a2 )m1 + N
= (a1 m1 + a2 m1 ) + N
= (a1 m1 + N ) + (a2 m1 + N ).
2.3. MÓDULOS
65
(iii)
a1 [(m1 + m2 ) + N ] = [a1 (m1 + m2 )] + N
= (a1 m1 + a1 m2 ) + N
= (a1 m1 + N ) + (a1 m2 + N )
(iv)
1(m1 + N ) = 1m1 + N
= m1 + N
Assim,
M
é um A-módulo dito Módulo Quociente.
N
A
Exemplo 2.15. Sendo I um ideal de um anel A,
tem estrutura de
I
A
A
são os ideais de .
A-módulo, e os submódulos de
I
I
Neste momento, é importante definir e conhecer algumas propriedades importantes dos Homomorfismos de Módulos. Assim, segue
que
Definição 2.19. Sejam M e N A-módulos. Uma aplicação
f : M −→ N
diz-se um homomorfismo de A-módulos se, dados m1 , m2 ∈ M e a ∈ A
quaisquer, são válidas as condições
(i) f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 ) e
(ii) f (rm1 ) = rf (m1 )
Observação 2.10.
1. Um homomorfismo de um A-módulo nele mesmo
é dito endomorfismo,
2. um homomorfismo injetor é dito monomorfismo,
3. um homomorfismo sobrejetor é dito epimorfismo e
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
66
4. um homomorfismo bijetor é dito isomorfismo.
Proposição 2.17. Sejam M e N A-módulos, e f : M −→ N um
homo- morfismo. Então, são satisfeitas as propriedades:
1. f (0) = 0N , com 0N elemento neutro de N ,
2. f (−m) = −f (m), para todo m ∈ M ,
Demonstração:
1. Seja 0 ∈ M o elemento neutro. Então,
f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0),
donde f (0) = 0N .
2. Como 0N = f (0), então, seja m ∈ M ,
0N = f (0)
= f (m + (−m))
= f (m) + f (−m).
Portanto, como 0N é o elemento neutro de N , f (−m) deve ser o
simétrico de f (m) e, assim, f (−m) = −f (m).
Observação 2.11. Seja f : M −→ N um homomorfismo de A-módulos.
Então, Im(f ) e Ker(f ) são ditos imagem e núcleo de f , onde
Im(f ) = {f (m) : m ∈ M } e
Ker(f ) = {m ∈ M : f (m) = 0}.
Proposição 2.18. Seja f : M −→ N um homomorfismo de A-módulos.
Então, Im(f ) e Ker(f ) são A-submódulos de N e M , respectivamente.
2.3. MÓDULOS
67
Demonstração: Primeiramente, será demonstrado que Im(f ) é submódulo de N . É imediato que Im(f ) é não vazio, uma vez que f (0) =
0N . Então, sejam x, y ∈ Im(f ), ou seja x = f (m1 ) e y = f (m2 ), com
m1 , m2 ∈ M . Assim, x+y = f (m1 )+f (m2 ) = f (m1 +m2 ) ∈ Im(f ). Por
outro lado, para todo a ∈ A, ax = af (m1 ) = f (am1 ) ∈ Im(f ). Logo,
da Proposição (2.12), Im(f ) é submódulo de N . Agora, será provado
que Ker(f ) é um A-submódulo de M . Como f (0) = 0N , 0 ∈ Ker(f )
donde Ker(f ) é não vazio. Então, dados m1 , m2 ∈ Ker(f ), tem-se que
f (m1 ) = 0N e f (m2 ) = 0N , então 0N = f (m1 ) + f (m2 ) = f (m1 + m2 ).
Assim, m1 + m2 ∈ Ker(f ). Ainda, dados a ∈ A, verifica-se que 0N =
a0 = af (m1 ) = f (am1 ), ou seja, am1 ∈ Ker(f ). Portanto, Ker(f ) é
um A-submódulo de M .
A partir deste momento, dado um homomorfismo f : M −→ N
de A-módulos, tanto os elemento neutro de M quanto o de N serão
denotados apenas como 0.
Proposição 2.19. Seja f : M −→ N um homomorfismo de A-módulos.
Então, f é um monomorfismo se, e somente se, Ker(f ) = {0}.
Demonstração:
Primeiramente, é suposto que f é um monomor-
fismo. Tomando m ∈ Ker(f ), obtém-se f (m) = 0, mas f (0) = 0, pela
Proposição (2.17). Como f é injetiva, m = 0.
Reciprocamente, supondo que Ker(f ) = {0} e tomando m1 , m2 ∈ M
tais que f (m1 ) = f (m2 ), deseja-se mostrar que m1 = m2 , a fim de que
f seja injetiva. Assim, f (m1 −m2 ) = 0 donde m1 −m2 ∈ Ker(f ) = {0}.
Assim, necessariamente m1 = m2 . Portanto, f é um monomorfismo.
Proposição 2.20. Sejam f : M −→ N e g : N −→ P homomorfismos
de A-módulos. Então, a aplicação composta
g ◦ f : M −→ P
m 7−→ (g ◦ f )(m) = g(f (m))
é um homomorfismo.
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
68
Demonstração: Sejam m1 , m2 ∈ M . Assim,
(g ◦ f )(m1 + m2 ) = g(f (m1 + m2 ))
= g(f (m1 ) + f (m2 ))
= g(f (m1 )) + g(f (m2 ))
= (g ◦ f )(m1 ) + (g ◦ f )(m2 ).
Por outro lado, seja a ∈ A e m ∈ M , então,
(g ◦ f )(am) = g(f (am))
= g(af (m))
= ag(f (m))
= a(g ◦ f )(m).
Portanto, g◦f satisfaz as propriedades de homomorfismo de A-módulos.
O seguinte teorema chama-se Teorema do Homomorfismo
para Módulos, e possui relevância neste estudo, visto que será bastante usado em demonstrações posteriores. Este teorema é análogo ao
Teorema do Homomorfismos em anéis.
Teorema 2.4. Sejam f : M −→ N um homomorfismo de A-módulos e
M
Ker(f ) seu núcleo. Então, os módulos
e Im(f ) são isomorfos.
Ker(f )
Demonstração: Primeiramente, define-se
φ:
M
−→ Im(f )
Ker(f )
m + Ker(f ) 7−→ φ(m + K) = f (m),
e então, prova-se que φ desta forma posta está bem definida. Assim,
M
sejam m1 + Ker(f ), m2 + Ker(f ) ∈
tais que m1 + Ker(f ) =
Ker(f )
m2 + Ker(f ). Logo, m1 − m2 ∈ Ker(f ), donde 0 = f (m1 − m2 ) =
f (m1 ) − f (m2 ). Desta forma, f (m1 ) = f (m2 ) e φ está bem definida.
2.3. MÓDULOS
69
É preciso mostrar que φ é um homomorfismo de A-módulos. Então,
M
, donde
sejam m1 + Ker(f ), m2 + Ker(f ) ∈
Ker(f )
φ((m1 + Ker(f )) + (m2 + Ker(f ))) = φ((m1 + m2 ) + Ker(f ))
= f (m1 + m2 )
= f (m1 ) + f (m2 )
= φ(m1 + Ker(f )) + φ(m2 + Ker(f ))
e, dados m + Ker(f ) ∈
M
e a ∈ A, tem-se que
Ker(f )
φ(a(m + Ker(f ))) = f (am)
= af (m)
= aφ(m + K).
Portanto, φ é homomorfismo. Agora, supondo que φ(m1 + Ker(f )) =
φ(m2 + Ker(f )), com m1 , m2 ∈ M . Aplicando φ, tem-se que f (m1 ) =
f (m2 ), donde f (m1 − m2 ) = 0 e m1 − m2 ∈ Ker(f ). Assim, m1 +
Ker(f ) = m2 + Ker(f ) e, portanto, φ é injetor.
Ainda, tem-se que Im(φ) = {φ(m + Ker(f )) : m ∈ M } = {f (m) : m ∈
M
e Im(f ) são
M } = Im(f ), donde φ é sobrejetor. Portanto,
Ker(f )
M
isomorfos, e denota-se por
≃ Im(f )
Ker(f )
Observação 2.12. Os homomorfismos de K-módulos, onde K é um
corpo, são as transformações lineares, uma vez que, como exposto no
Exemplo (2.11), espaços vetoriais são exemplos de módulos.
Exemplo 2.16. Seja N um A-submódulo de M . Chama-se de projeção
canônica a aplicação
M
N
m 7−→ m + N.
π : M −→
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
70
Assim, π é um epimorfismo, pois dados m1 , m2 ∈ M
π(m1 + m2 ) = (m1 + m2 ) + N
= (m1 + N ) + (m2 + N )
= π(m1 ) + π(m2 )
e dados m ∈ M e a ∈ A
π(am) = (am + N )
= a(m + N )
= aπ(m).
e, ainda, a sobrejetividade é imediata.
Por fim, segue abaixo algumas definições necessárias posteriormente.
Definição 2.20. Sejam A um anel com unidade e M um A-módulo.
1. Se existem x1 , ..., xn ∈ M tais que M = Ax1 + ... + Axn , então, o
A-módulo M é dito finitamente gerado e, neste caso, x1 , ..., xn
formam um sistema de geradores de M .
2. Os elementos x1 , ..., xn ∈ M são linearmente independentes
(sobre A) se
n
X
ai xi = 0 com ai ∈ A
i=1
implicar que a1 = ... = an = 0.
3. Se x1 , ..., xn ∈ M forem linearmente independentes e geradores
de M , então {x1 , ..., xn } é uma base de M .
Porém, nem todo módulo finitamente gerado possui uma base.
Assim, segue a definição que discrimina os módulos pela existência
ou não de uma base nele. Além disso, uma base pode conter infinitos
elementos.
2.3. MÓDULOS
71
Definição 2.21. Um A-módulo M é dito A-módulo livre se possuir
uma base, e o número de elementos da base é chamado de posto de A.
Observação 2.13. Convencionalmente, diz-se que o grupo {0} é um
A-módulo livre para qualquer anel A, tal que sua base é dada por
B = ∅.
Exemplo 2.17. A[x] é um A-módulo livre com base {1, x, ..., xn , ...}.
Exemplo 2.18. Tem-se {1, i} é linearmente independente sobre R,
então será também linearmente independente sobre Z. Por isso e como
{1, i} gera Z + iZ, o anel dos inteiros de Gauss Z + iZ é um Z-módulo
livre, com a base {1, i}.
2.3.1
Módulos Noetherianos
Para definir o que é um módulo noetheriano é preciso primei-
ramente entender o que é uma sequência estacionária.
Definição 2.22. Sejam M um A-módulo e I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·
uma sequência crescente de A-submódulos de M . Esta é uma sequência estacionária se existir n0 ∈ N tal que
In0 = In ∀n ≥ n0 .
A definição é análoga para sequência decrescente estacionária.
Assim, segue a definição de módulo noetheriano.
Definição 2.23. Seja M um A-módulo. M é dito A-módulo noetheriano se satisfizer uma das condições
(i) Toda família não vazia de A-submódulos de M tem um elemento
maximal.
(ii) Toda sequência crescente de A-submódulos de M é estacionária.
(iii) Todo A-submódulo de M é finitamente gerado.
72
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
Observação 2.14. As três propriedades acima são equivalentes. ????
(Demonstrar)
Definição 2.24. Diz-se que A é um anel noetheriano se A, visto
como um A-módulo, for noetheriano.
Proposição 2.21. Todo anel principal é noetheriano.
Demonstração: Seja A um A-módulo e considere a sequência crescente de A-submódulos
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · ,
deseja-se mostrar que A é noetheriano dado que é principal, para isso,
será provada a condição (ii) da Definição (2.23).
Por hipótese, A é anel principal, ou seja, todos os seus ideais são principais. Mas, os submódulos de A são os próprios ideais de A, como
pode-se verificar pelas definições de submódulo e ideal. Assim, todos os
submódulos de A são principais. Por outro lado, observa-se que
[
I=
In
n∈N
é um ideal de A. Desta forma, tem-se que In ⊂ I = hai, para todo n
natural e a ∈ In0 , para algum n0 ∈ N, pois
[
a ∈ hai = I =
In
n∈N
Dado que a ∈ In0 e a ∈ hai, segue que hai ⊂ In0 . Assim, I = In0 ,
para algum n0 ∈ N. Portanto, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0
tem-se In = In0 .
Observação 2.15. Em Álgebra Linear, define-se forma bilinear uma
função
f : V × V −→ K
onde V é um espaço vetorial sobre o corpo K, de forma que, dados
a ∈ K e u, v, w ∈ V
2.3. MÓDULOS
73
1. f (u + v, w) = f (u, w) + f (v, w),
2. f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w) e
3. f (au, v) = f (u, au) + af (u, v).
Analogamente, define-se uma forma bilinear sobre M um A- módulo.
Proposição 2.22. Sejam A um anel, M um A-módulo e N ⊂ M um
M
e N são
A-submódulo. Então, M é noetheriano se, e somente se,
N
noetherianos.
Demonstração: Sejam M um A-módulo noetheriano e (Mn )n≥0
uma sequência crescente de A-submódulos de N . Consequentemente,
(Mn )n≥0 é uma sequência crescente de A-submódulos de M . Dado que
M é noetheriano, pela Proposição (2.21), (Mn )n≥0 é estacionária. Logo,
N é noetheriano.
M
é noetheriano, sejam
Por outro lado, para mostrar que
N
M
.
S = {submódulos de M que contém N } e T = submódulos de
N
Definindo a aplicação
ϕ : S −→ T
L 7−→
L
N
é uma bijeção de S em T , como é facilmente observável. Desta forma,
M
se (Mn )n≥0 é uma sequência crescente de A-submódulos de
, então
N
−1
ϕ (Mn ) n≥0 é também uma sequência crescente de A-submódulos
de M . Dado que M é noetheriano, segue que ϕ−1 (Mn ) n≥0 é estacioM
nária, donde (Mn )n≥0 é também estacionária. Logo,
é noetheriano.
N
M
Reciprocamente, sejam
e N noetherianos e (Mn )n≥0 uma sequência
N
crescente de A-submódulos de M . Assim, (N ∩ M n)n ≥ 0 é também
Capítulo 2. CONCEITOS PRELIMINARES
74
uma sequência crescente de A-submódulos N . Mas, como N é noetheriano, (N ∩ Mn )n≥0 é estacionária, de forma que existe k ∈ N tal que
Mn ∩ N = Mn+1 ∩ N e
Mn
Mm+1
=
, ∀n ≥ k.
N
N
Tem-se que Mn ⊆ Mn+1 , para todo n ≥ k. Dado um x ∈ Mn+1 , então
existe y ∈ Mn tal que x + M1 = y + N . Segue que, x − y ∈ N ∩ Mn+1 =
N ∩ Mn . Logo, x − y ∈ Mn e, uma vez que y ∈ Mn conclui-se que
x ∈ Mn . Assim, Mn = Mn+1 , para todo n ≥ k e, portanto, M é
noetheriano.
Corolário 2.4. Se M1 , ..., Mn são A-módulos noetherianos, então o
produto M1 × · · · × Mn é um A-módulo noetheriano.
Demonstração:
O teorema será demonstrado através de indução
sobre n.
(i) Para n = 2:
Verifica-se que M1 é isomorfo a M1 × {0}, denotando por M1 ≃
M1 × {0}, e ainda M1 × {0} ⊂ M1 × M2 . Assim, define-se a função
ϕ : M1 × M2 −→ M2
(0, y) 7−→ y.
Assim, ϕ é um homomorfismo sobrejetor, e então, pelo Teorema
do Homomorfismo,
M1 × M2
≃ M2
ker ϕ
onde ker ϕ = M1 × {0}. Dado que M2 é noetheriano,
M1 × M2
≃ M2
M1 × 0
é noetheriano e, pela Proposição (2.22), M1 × M2 é noetheriano.
(ii) Supondo que M = M1 × · · · × Mn−1 é noetheriano, sendo esta a
hipótese de indução.
2.3. MÓDULOS
75
(iii) Sendo Mn noetheriano, analogamente ao item (i) M = M1 ×· · ·×
Mn é um A-módulo noetheriano.
Denota-se o produto cartesiano de A por A n vezes por An .
Corolário 2.5. Sejam A um anel noetheriano e M um A-módulo finitamente gerado. Então, M é um A-módulo noetheriano.
Demonstração: Seja {e1 , ..., en } um conjunto de geradores de M
(como um A-módulo). Assim, a aplicação
ϕ : An −→ M
(a1 , ..., an ) 7−→ a1 e1 + · · · + an en
é um homomorfismo sobrejetor. Pelo Teorema do Homomorfismo,
An
≃ M.
kerϕ
Por A ser noetheriano e pelo Corolário (2.4), segue que An é noetheriano. E, portanto, pela Proposição (2.22) M é um A-módulo noetheriano.
Lema 2.4. Sejam A1 , A2 ⊆ A ideais e A1 + A2 = A então A1 A2 =
A1 ∩ A2 .
Demonstração: Temos que A1 A2 ⊂ A1 e A1 A2 ⊂ A2 , logo A1 A2 ⊂
A1 ∩ A2 . Supondo que x ∈ A1 ∩ A2 . Tem-se, por hipótese, que A1 +
A2 = A, então existem a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 tais que 1 = a1 + a2 .
Assim, x = a1 x + a2 x é a soma de dois elementos de A1 A2 , donde
A1 ∩ A2 ⊂ A1 A2 . Portanto, A1 A2 = A1 ∩ A2 .
Assim, conclui-se os conceitos preliminares para o estudo dos
elementos inteiros e algébricos, estudados no próximo capítulo.
77
3 ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
Com base em Samuel, Ellen, Gonçalves, e Stewart este capítulo apresenta o conceito de elemento inteiro sobre um anel. Estuda-se
ainda, os casos particulares deste objeto: elemento e número algébricos.
As definições e proposições estudadas no capítulo anterior servirão de
apoio para o desenvolvimento dos conceitos estudados neste capitulo.
3.1 ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL
Aqui, em toda seção, considera-se A um anel comutativo com
unidade.
Definição 3.1. Sejam A e B anéis, A subanel de B e α ∈ B. Define-se
o conjunto A adjunção α, denotado por A[α], por
A[α] = {f (α) : f (x) ∈ A[x]}.
Definição 3.2. Sejam B um anel, A um subanel de B e α um elemento
de B. Diz-se que α é inteiro sobre A se existem a0 , · · · , an−1 ∈ A, não
todos nulos, tais que
αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0,
(3.1)
isto é, α é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A.
Observação 3.1. A Equação (3.1) é chamada de equação de dependência integral de α.
√
Exemplo 3.1. Sejam os anéis Z e R tais que Z ⊂ R. Tem-se que 2 3 é
inteiro sobre Z, pois é raiz do polinômio x5 +x4 −12x3 −9x2 −36 ∈ Z[x].
Teorema 3.1. Sejam B um anel, A um subanel de B e α um elemento
de B. As seguintes afirmações são equivalentes:
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
78
(i) α é inteiro sobre A;
(ii) O anel A[α] é um A-módulo finitamente gerado;
(iii) Existe um subanel R do anel B que contém A e α e é um Amódulo finitamente gerado.
Demonstração: (i) ⇒ (ii) Seja o anel
)
(
X
ai αi : ai ∈ A .
A[α] =
i
Como α é inteiro sobre A, existem a0 , · · · , an−1 ∈ A, não todos nulos,
tais que
αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 = 0.
Considerando M um A-módulo finitamente gerado por {1, α, · · · , αn−1 },
ou seja, M = h1, α, · · · , αn−1 i, deve-se provar que M = A[α]. Para verificar a inclusão A[α] ⊆ M , observa-se que αn = −(an−1 αn−1 + · · · +
a1 α + a0 ), donde αj ∈ M , para todo j ≤ n. A prova de que aj ∈ M ,
para todo j > n, será feita por indução sobre j. Assim, supondo que
existam b0 , · · · , bn−1 ∈ A tais que αj = bn−1 αn−1 + . . . + b1 α + b0 ,
tem-se que
αj+1 = αj α
= (bn−1 αn−1 + · · · + b1 α + b0 )α
= bn−1 αn + · · · + b1 α2 + b0 α
= bn−1 (−an−1 αn−1 − · · · − a1 α − a0 ) + · · · + b1 α2 + b0 α
= −bn−1 an−1 αn−1 − · · · − bn−1 a1 α − bn−1 a0 + · · · + b1 α2 + b0 α
= −a0 bn−1 + (−bn−1 a1 + b0 )α + · · · + (bn−2 − bn−1 an−1 )αn−1 ,
logo α ∈ M , para todo j ∈ N e, logo, A[α] ⊆ M . Por outro lado, é fácil
P
ver que M = 1, α, · · · , αn−1 ⊂ { i ai αi : ai ∈ A} = A[α]. Portanto,
A[α] = M e A[α] é finitamente gerado por {1, α, · · · , αn−1 }.
3.1. ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL
79
(ii) ⇒ (iii) Basta tomar R = A[α] ⊂ B que é um A- módulo fini-
tamente que contém α e A.
(iii) ⇒ (i) Seja R = hy1 , . . . , y2 i um A-módulo finitamente gerado,
com A ⊆ R ⊆ B e α ∈ R, donde R = Ay1 + . . . + Ayn e, como R é
subanel de B, αyi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n. Ou seja, existem aij ∈ A, com
1 ≤ i, j ≤ n tais que

αy1 = a11 y1 + . . . + a1n yn




 αy2 = a21 y1 + . . . + a2n yn
.
..


.



αyn = an1 y1 + . . . + ann yn
Assim,

(α − a11 )y1 − a12 y2 − . . . − a1n yn = 0




 −a21 y1 + (α − a22 )y2 − . . . − a2n yn = 0
.
..


.



−an1 y1 − an2 y2 − . . . + (α − ann )yn = 0
Matricialmente, tem-se
(α − a11

 −a21

..


.
−an1

   
0
y1
−a12
···
−a1n
   
(α − a22 ) · · ·
−a2n  y2  0
  .  = . .
..
..
..
  .  .
.
  .  .
.
.
0
y2
−an2
· · · (α − ann )
Definindo M = [aij ] a matriz dos coeficientes do sistema linear e D =
det(M ) seu determinante, tem-se pela regra de Cramer que Dyj = 0,
para j = 1, . . . , n. Tem-se que 1 ∈ R, donde
1=
n
X
j=1
cj y j ,
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
80
onde cj ∈ A, e, desta forma,
D =D·1
=D
n
X
cj y j
j=1
=
n
X
cj Dyj
j=1
=0
Assim, D é uma equação de dependência integral de α, uma vez que
D = αn + bn−1 αn−1 + . . . + b1 α + b0 , donde os bi , com i = 0, . . . , n,
resultam das somas e multiplicações dos elementos da matriz M na
operação do determinante na matriz. Como tais coeficientes pertencem
a A, bi ∈ A, para i = 0, . . . , n. Ou seja, D = αn + bn−1 αn−1 + . . . +
b1 α + b0 = 0 Portanto, α é inteiro sobre A.
Corolário 3.1. Sejam A e B anéis, A ⊂ B e α1 , · · · , αn ∈ B. Se α1 é
inteiro sobre A, α2 é inteiro sobre A[α1 ], α3 é inteiro sobre A[α1 , α2 ] e
αn é inteiro sobre A[α1 , . . . , αn−1 ], então A[α1 , . . . , αn ] é um A-módulo
finitamente gerado.
Demonstração: Pelo Teorema (3.1), se α1 é inteiro sobre A, então
A[α1 ] é um A-módulo finitamente gerado. Supondo que
R = A[α1 , · · · , αn−1 ]
é um A-módulo finitamente gerado por {x1 , x2 , · · · , xn } e que αn é
inteiro sobre R, tem-se, novamente pelo Teorema (3.1), que R[αn ] é um
R-módulo finitamente gerado. Então, existem {y1 , y2 , · · · , ym } ⊂ R[αn ]
de forma que
R[αn ] = A[α1 , α2 , · · · , αn ]
= y1 R + y2 R · · · + ym R
= y1 (x1 A + x2 A + · · · + xn A) + · · · + ym (x1 A + x2 A + · · · + xn A)
= y1 x1 A + y1 x2 A + · · · + ym xn−1 A + ym xn A.
3.1. ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL
81
Assim, {yi xj }, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, gera o A-módulo R[αn ].
Como R[αn ] = A[α1 , . . . , αn ], este é um A-módulo finitamente gerado.
Corolário 3.2. Sejam A e B anéis com A ⊂ B. Se α1 , . . . , αn ∈ B
são inteiros sobre A, então A [α1 , · · · , αn ] é um A-módulo finitamente
gerado.
Demonstração: Se αi inteiro sobre A é também inteiro sobre A [α1 , . . . , αi−1 ],
com 1 ≤ i ≤ n, donde, do Corolário (3.1), segue que A[α1 , . . . , αn ] é
um A-módulo finitamente gerado.
Corolário 3.3. Sejam B um anel e A um subanel de B. Se α, β ∈ B
são inteiros sobre A, então α + β,α − β e αβ são também inteiros sobre
A.
Demonstração: Naturalmente, como α, β ∈ A[α, β] e A[α, β] é um
subanel de B, α + β, α − β e αβ também são elementos de A[α, β]. Pelo
Corolário (3.2), sendo α e β inteiros sobre A, A[α, β] é um A-módulo
finitamente gerado. Assim, pelo Teorema (3.1), como A ⊂ A[α, β] ⊂ B
e A[α, β] contém α + β, α − β e αβ estes são inteiros sobre A.
Corolário 3.4. Sejam B um anel e A um subanel de B. O conjunto
IB (A) do elementos de B que são inteiros sobre A é um subanel de B
que contém A.
Demonstração: O Corolário (3.3) implica que IB (A) é um subanel de
B. Temos que A ⊂ IB (A), uma vez que, se a ∈ A, a é raiz do polinômio
mônico p(x) = x−a, com coeficientes em A. Portanto, A ⊂ IB (A) ⊂ B.
Definição 3.3. Sejam B um anel e A um subanel de B.
(i) O conjunto
IB (A) = {α ∈ B : α é inteiro sobre A}
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
82
é dito anel de inteiros de B sobre A.
(ii) Se todo elemento de B é inteiro sobre A, ou seja, IB (A) = B,
então o conjunto B é dito inteiro sobre A.
Corolário 3.5. Sejam A e B anéis e A ⊂ B. Então, todo subanel de
B que é um A-módulo finitamente gerado contém IB (A).
Demonstração:
Seja R ⊂ B um anel, tal que R é um A-módulo
finitamente gerado e {α1 , . . . , αn } um conjunto de geradores de R. Supondo que α ∈ R, tem-se que A[α] é um A-módulo finitamente gerado,
uma vez que α = a1 α1 + . . . + an αn , com ai ∈ A, para 1 ≤ i ≤ n. Pelo
Teorema (3.1) α é inteiro sobre A, donde α ∈ IB (A). Assim, IB (A) ⊂ R.
Proposição 3.1. Sejam C um anel, B um subanel de C e A um subanel
de B. Então, C é inteiro sobre A se, e somente se, B é inteiro sobre
A e C é inteiro sobre B.
Demonstração:
Se C é inteiro sobre A, então para cada α ∈ C
existem a0 , . . . , an−1 ∈ A, não todos nulos, tais que
αn + an−1 αn−1 + . . . + a0 = 0.
Como ai ∈ A ⊆ B, segue que α é inteiro sobre B e, portanto, C é
inteiro sobre B. Agora, se β ∈ B e B ⊂ C segue que β ∈ C e por
hipótese, β é inteiro sobre A, logo B é inteiro sobre A.
Reciprocamente, considere que C é inteiro sobre B e B é inteiro sobre A.
Seja α ∈ C, então α é inteiro sobre B, ou seja, existem b0 , . . . , bn−1 ∈ B
tais que
αn + bn−1 αn−1 + . . . + b0 = 0.
Segue que α é inteiro sobre A[b0 , . . . , bn−1 ]. Como B é inteiro sobre A,
b0 , . . . , bn−1 são inteiros sobre A. Pelo Corolário (3.1), A[b0 , . . . , bn−1 , α]
é um A-módulo finitamente gerado, donde, pelo Teorema (3.1), α é
inteiro sobre A. Portanto, C é inteiro sobre A.
3.1. ELEMENTOS INTEIROS SOBRE UM ANEL
83
Proposição 3.2. Sejam A ⊆ B anéis, tais que B é um domínio e B
inteiro sobre A. Então, A é um corpo se, e somente se, B é um corpo.
Demonstração: Sejam A um corpo e 0 6= α ∈ B. Como B é inteiro
sobre A, α é inteiro sobre A, assim, pelo Teorema (3.1), A[α] é um Amódulo finitamente gerado, mas como A é corpo segue que, tendo em
vista a Observação (2.11), A[α] é um espaço vetorial finitamente gerado
sobre A. Definindo a aplicação ϕ, por
ϕ : A[α] −→ A[α]
b 7−→ bα,
temos que ϕ é A− linear (uma transformação linear de espaços lineares sobre A), pois dados a, b, ∈ A[α] e β ∈ A, tem-se que ϕ(a + b) =
(a + b)α = aα + bα = ϕ(a) + ϕ(b) e ϕ(βa) = αβa = βαa = βϕ(a).
Nota-se que ϕ(b) = 0 se, e somente se, b = 0, pois B é domínio de
integridade. Desta forma, Ker(φ){0} e ϕ é injetora. Pelos espaços vetoriais considerados como domínio e contradomínio serem de mesma
dimensão e finitos, ϕ é sobrejetora, donde ϕ é bijetora. Por outro lado,
1 ∈ A[α] e a bijetividade de ϕ garante a existência de b ∈ A[α] tal que
ϕ(b) = bα = 1, de forma que, b = α−1 , ou seja, α é inversível em B e,
portanto, B é corpo.
Reciprocamente, sejam B um corpo e 0 6= α ∈ A, tem-se que α ∈ B,
pois B contém A e α−1 ∈ B. É necessário provar que α−1 ∈ A. Por
hipótese, B é inteiro sobre A, então existem a0 , . . . , an−1 ∈ A tais que
(α−1 )n + an−1 (α−1 )n−1 + . . . + a1 (α−1 ) + a0 = 0.
Multiplicando a equação por αn−1 e isolando o termo α−1 , tem-se
α−1 = −(an−1 + . . . + a1 αn−2 + a0 αn−1 ),
e, assim, α−1 é uma combinação linear de elementos de A e α−1 ∈ A.
Portanto, A é corpo.
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
84
3.1.1
Anéis Integralmente Fechados
É importante lembrar que se A é um domínio de integridade,
então existe um corpo K que contém A e que A é um subanel de K. O
menor corpo K que satisfaz essa propriedade é dito o corpo de frações
de A. Por exemplo, Q é o corpo de frações de Z.
Definição 3.4. Sejam A um domínio de integridade e K seu corpo de
frações. Quando IK (A) = A o anel A é dito integralmente fechado.
Exemplo 3.2. ?? Seja A é um domínio de integridade e K seu corpo
de frações, então IK (A) é um anel integralmente fechado, ou seja,
IK (IK (A)) = IK (A. Visto que A ⊂ IK (A) ⊂ K e K é o menor corpo
que contém A, logo K também é o menor corpo que contém IK (A).
Além disso, IK (A) é um subanel de K, assim, K é o corpo de frações
de IK (A). Seja α ∈ K inteiro sobre IK (A). Sendo IK (A) inteiro sobre A,
então, pela Proposição (3.1), α é inteiro sobre A, e α ∈ IK (A). Assim,
A é integralmente fechado.
Proposição 3.3. Seja A um domínio de integridade fatorial. Então,
A é integralmente fechado.
Demonstração: É preciso mostrar que IK (A) = A. A inclusão A ⊂
IK (A) é sempre válida. Assim, sejam K o corpo de frações de A e
b
α ∈ IK (A). Assim, pode-se escrever α = , com b, c ∈ A e mdc(b, c) = 1.
c
Além disso, existem a0 , . . . , an−1 ∈ A, não todos nulos, tais que
αn + an−1 αn−1 + . . . + a0 = 0.
b
Como α = , tem-se que
c
n
n−1
b
b
+ an−1
+ . . . + a0 = 0.
c
c
Multiplicando a equação acima por cn , obtem-se
bn + an−1 bn−1 c + . . . + a0 cn = 0,
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
85
ou seja,
bn = −c(an−1 bn−1 + . . . + a0 cn−1 ).
Desta forma, c | bn . Suponha-se que c não é inversível. Assim, seja p um
elemento irredutível que divide c, segue que p divide bn e isso implica
que p divide b. Mas isso contradiz que mdc(b, c) = 1 e portanto c é
inversível em A. Tem-se que α = bc−1 ∈ A, donde IK (A) ⊂ A. Assim
IK (A) = A e A é integralmente fechado.
Observação 3.2. O anel Z é integralmente fechado, uma vez que é
um domínio de integridade fatorial. Isto é, IQ (Z) = Z.
3.2 ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
Aqui, nesta seção, considera-se que K e L corpos e se L ⊃ K
diz-se que L é uma extensão de K.
Definição 3.5. Seja L uma extensão de um corpo K. Diz-se que α ∈ L
é algébrico sobre K se existe um polinômio não nulo f (x) ∈ K[x] tal
que f (α) = 0, ou seja, existem a0 , a1 , · · · , an ∈ K, não todos nulos,
tais que
an αn + an−1 αn−1 + · · · a1 α + a0 = 0.
(3.2)
Na Equação (3.2) podemos assumir que an 6= 0. Neste caso
∈ K, multiplicando ambos os lados por a−1
n , obtemos a equação de
dependência integral (3.1) da definição de elemento inteiro. Portanto, α
a−1
n
é um elemento inteiro sobre um corpo K se, e somente se, α é algébrico
sobre esse mesmo corpo K.
Nem sempre todos os elementos de um corpo L ⊃ K são raízes
de um polinômio f (x) ∈ K[x]. Um elemento que não é algébrico é
dito transcendente. Por exemplo, R é uma extensão de Q e π ∈ R,
mas não existe nenhum polinômio f (x) ∈ Q[x]∗ tal que π é raiz de
f (x). O teorema que prova que π é transcendente chama-se Teorema
de Ferdinand Lindemann, cuja demonstração encontra-se no livro do
Ian Stewart (1973) p. 74.
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
86
Definição 3.6. Seja L uma extensão do corpo K. Diz-se que L é uma
extensão algébrica de K se todo elemento de L é algébrico sobre K.
Lema 3.1. Sejam L e K corpos, L uma extensão de K e α ∈ L. Então,
α é algébrico sobre K se, e somente se, existe um único polinômio
mônico irredutível p(x) ∈ K[x] tal que p(α) = 0.
Demonstração: Seja α ∈ L um elemento algébrico sobre K e tome
I = {p(x) ∈ K[x] : p(α) = 0}. Agora, considere a função grau ∂
definida em I ∗ e ∂(I ∗ ) = {∂(p(x)) : p(x) ∈ I ∗ }, segue que ∂(I ∗ ) ⊂ N
e, por hipótese, ∂(I ∗ ) 6= {0}. Pelo Princípio da Boa Ordenação, existe
um mínimo para o conjunto ∂(I ∗ ). Desta forma, existe um polinômio
p(x) ∈ I ∗ tal que o grau de p(x) é mínimo para ∂(I ∗ ). Sabe-se, então,
que p(x) ∈ K[x], p(x) 6= 0, p(α) = 0 e p(x) tem o menor grau possível
dentre os polinômios de K[x] que tem α como raiz. Obviamente, pode-se
tomar p(x) mônico, pois em um corpo pode-se multiplicar pelo inverso
do coeficiente principal (a−1
n ) a igualdade p(α) = 0.
Afirma-se que p(x) é irredutível sobre K[x]. De fato, suponha-se
que p(x) = f (x)g(x), com ∂f, ∂g > 1. Claro que ∂g, ∂f < ∂p. Tem-se
que 0 = p(α) = f (α)g(α) e desde que K é um domínio integridade,
tem-se f (α) = 0 ou g(α) = 0, contradizendo a minimalidade do grau
de p(x). Portanto, p(x) é irredutível.
É preciso provar a unicidade e, para tanto, observe que I é ideal
próprio de K. De fato,
• I 6= ∅, pois o polinômio nulo pertence a I;
• se f, g ∈ I, então (f − g)(α) = f (α) − g(α) = 0 e (f − g) ∈ I;
• se f ∈ K[x] e g ∈ I, então (f g)(α) = f (α)g(α) = f (α)0 = 0 e
f g ∈ I;
• como h(x) = 1K ∈ K[x] e h(x) ∈
/ I vem que I $ K[x].
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
87
Sendo p(x) um polinômio irredutível, tem-se que hp(x)i é um ideal ma-
ximal, e como hp(x)i ⊂ I $ K[x], segue que I = hp(x)i. Agora, seja
q(x) ∈ K[x] um polinômio mônico irredutível tal que q(α) = 0, o que
implica que, q(x) ∈ I, logo, q(x) = p(x)t(x), com t(x) ∈ K[x]. Nota-se
que t(x) é inversível em K[x], pois p(x) e q(x) são irredutíveis em K[x].
Assim, t(x) = t ∈ Q e q(x) = t.p(x). Mas p(x) e q(x) são mônicos,
então, t = 1 e q(x) = p(x).
A recíproca é imediata pois se existe um único polinômio mônico irredutível p(x) ∈ K[x] tal que p(α) = 0, isso já satisfaz a Definição (3.6).
Observação 3.3. O polinômio mônico irredutível p(x) ∈ K[x]∗ tal
que p(α) = 0 denomina-se polinômio minimal de α sobre K. Neste
caso, p(x) é o polinômio de menor grau que tem α como raiz.
Definição 3.7. Analogamente a Definição (3.1), define-se K adjunção
α por
K[α] = {f (α) : f (x) ∈ K[x]},
onde L e K corpos, com L uma extensão de K e α ∈ L.
Exemplo 3.3. Seja
R[i] = {f (i) : f (x) ∈ R[x]} ∈ C
e a + bi ∈ C. Tome f (x)a + bx então, f (i) = a + bi, o que implica que
a + bi ∈ R[i] e R[i] = C.
Os elementos de K[α] são somas e produtos de elementos de
L, desta forma, K[α] é subconjunto de L.
Proposição 3.4. Sejam L uma extensão de K e α ∈ L. Então, a
aplicação ψα : K[x] −→ L, definida por ψα (f (x)) = f (α), é um homo-
morfismo tal que:
1. Im(ψα ) = K[α];
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
88
2. se α é algébrico sobre K e se p(x) é o polinômio minimal de α
sobre K, então Ker(ψα ) = hp(x)i é ideal maximal de K[x];
3.
K[x]
≃ K[α],
Ker(ψα )
onde Im(ψα ) é o conjunto imagem de ψα e Ker(ψα ) = {f (x) ∈ K[x] :
ψα (f (x)) = 0} é o núcleo de ψα .
Demonstração: Primeiro, prova-se que ψα é um homomorfismo de
anéis. Sejam f (x), g(x) ∈ K[x]. Considerando h(x) = f (x)g(x) e t(x) =
f (x) + g(x), obtem-se:
• ψα (f (x)g(x)) = ψα (h(x)) = h(α) = f (α)g(α) = ψα (f (x))ψα (g(x));
• ψα (f (x) + g(x)) = ψα (t(x)) = t(α) = f (α) + g(α) = ψα (f (x)) +
ψα (g(x)).
Portanto, ψα é um homomorfismo dos anéis de K[x] em L.
1. Im(ψα ) = {ψα (f (x)) : f (x) ∈ K[x]} = {f (α) : f (x) ∈ K[x]} =
K[α].
2. Como p(x) é irredutível então, pela Proposição (2.6), hp(x)i é
ideal maximal de K[x]. Tem-se que 0 = p(α) = ψα (p(x)), ou
seja, p(x) ∈ Ker(ψα ), que é um ideal de K[x] e assim hp(x)i ⊂
Ker(ψα ). Nota-se que hp(x)i $ K[x], pois 1K ∈ K[x], mas 1K ∈
/
Ker(ψα ). Uma vez que hp(x)i é maximal, vem que Ker(ψα ) =
hp(x)i .
3. No item (1) foi visto que Im(ψα ) = K[α]. Daí, o Teorema dos
K[x]
≃ K[α].
Isomorfismos assegura que
Ker(ψα )
Observação 3.4. Sendo ψα um homomorfismo tem-se que Im(ψα ) =
K[α] é um subanel de L. Notando que 1K ∈ K[α] e que as propriedades
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
89
de comutatividade e sem divisores de zero são hereditárias de L, pode-se
garantir que K[α] é um domínio de integridade. Porém, a inversibilidade
de todos os elementos não nulos não é assegurada.
Corolário 3.6. Sejam L e K corpos, L uma extensão de K e α ∈ L.
Então, α algébrico sobre K se, e somente se, K[α] é corpo.
Demonstração: Supondo que α é algébrico sobre K, vem do item
(2) da Proposição (3.4) que Ker(ψα ) é um ideal maximal de K[x], o
K[x]
, que é
item (3) da mesma proposição afirma que K[α] ≃
Ker(ψα )
corpo, pelo Teorema dos Isomorfismos. Via isomorfismo, K[α] também
é corpo.
Reciprocamente, supondo que α não é algébrico sobre K, então o único
polinômio de K[x] que α é raiz é o polinômio nulo, assim Ker(φα ) =
{0}. Pelo item (3) da Proposição (3.4), conclui-se que K[α] ≃ K[x], que
é apenas um domínio de integridade, contradizendo a hipótese, logo, α
é algébrico sobre K.
Corolário 3.7. Se α, β ∈ L ⊇ K são raízes do mesmo polinômio
irredutível sobre K, então K[α] e K[β] são isomorfos como corpos.
Demonstração: Seja p(x) ∈ K[x], tal que p(x) é irredutível sobre K e
p(α) = p(β) = 0. Pode-se tomar p(x) mônico, assim, p(x) é o polinômio
minimal de α e β sobre K. Considerando os homomorfismos
ψα : K[x] −→ K[α]
f (x) 7−→ f (α)
e
ψβ : K[x] −→ K[β]
f (x) 7−→ f (β),
tem-se, pelos itens (2.) e (3.) da Proposição (3.4), que
K[α] ≃
K[x]
≃ K[β].
hp(x)i
Logo, K[α] ≃ K[β] como corpos.
Proposição 3.5. Sejam α ∈ L ⊇ K algébrico sobre K e n o grau do
polinômio minimal de α sobre K.
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
90
1. Se f (x) ∈ K[x], então f (α) pode ser expresso de forma única
como f (α) = a0 + a1 α + . . . + an−2 αn−2 + an−1 αn−1 , tal que
ai ∈ K, para i = 1, 2, · · · , n − 1.
2. K[α] = {a0 +a1 α+· · ·+an−1 αn−1 : ai ∈ K para i = 1, 2, · · · , n−
1}.
Demonstração:
1. Sejam p(x) o polinômio minimal de α sobre K e n o grau de p(x).
Dado f (x) ∈ K[x] e usando o algoritmo de Euclides obtem-se que
n − 1 é o maior grau possível do resto da divisão de f (x) por p(x).
Sendo f (x) = q(x)p(x) + a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 e p(α) = 0,
implica que, f (α) = q(α)p(α) + a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 =
a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 .
Precisa-se provar a unicidade de f (α). Suponha que a0 + a1 α +
· · · + an−1 αn−1 = f (α) = b0 + b1 α + · · · + bn−1 αn−1 , com ai , bi ∈
K[x], para i = 1, 2, · · · , n − 1 e considere h(x) = (a0 − b0 ) + (a1 −
a2 )α + · · · + (an−1 − bn−1 )αn−1 . Então, h(α) = 0, logo h(x) = 0
ou ∂h < ∂p. Pela minimalidade do grau de p(x), tem-se h(x) = 0,
portanto ai − bi = 0, ou seja, ai = bi , para todo i = 1, · · · , n − 1.
2. É claro que a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 ∈ K[α], para ai ∈ K.
Agora, seja u um elemento de K[α], então existe um polinômio
f (x) ∈ K[x] tal que u = f (α). Pelo item (1.), segue que u =
f (α) = a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 e assim u ∈ {a0 + a1 α + · · · +
an−1 αn−1 : ai ∈ K para i = 1, 2, · · · , n − 1}.
Definição 3.8. Um corpo K é chamado algebricamente fechado
se todo polinômio p(x) ∈ K[x] pode ser expresso com um produto de
fatores lineares, todos em K[x]. Isto é, todas as raízes de p(x) pertencem
a K.
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
91
Exemplo 3.4. O corpo C dos números complexos é um corpo algebricamente fechado, fato esse conhecido como o "Teorema Fundamental da Álgebra"(todas as raízes de p(x) ∈ C[x] estão contidas em C).
Já os corpos Q e R não são algebricamente fechados, por exemplo,
√
f (x) = x2 + 1 ∈ Q[x] ⊂ R[x], mas as raízes ±i = ± −1 de f (x) não
pertencem a R e muito menos a Q.
Proposição 3.6. Seja f (x) ∈ K[x] com ∂f = n > 1 e α ∈ L raiz de
f (x), com L uma extensão de K.
1. α é raiz simples se, e somente se, f (α) = 0 e f ′ (α) 6= 0.
2. f (x) é irredutível sobre K se, e somente se, as raízes de f (x) são
simples.
Demonstração:
1. Seja alpha uma raiz simples de f (x) então, pode-se escrever f (x) =
(x − α)g(x) com g(α) 6= 0. Derivando obtém-se f ′ (x) = g(x) +
(x − α)g ′ (x) e f ′ (α) = g(α) 6= 0. Por outro lado, α é raiz de
f (x), pois f (α) = 0. Seja m a multiplicidade de α como raiz de
f (x). Supõe-se m > 1, então f (x) = (x − α)m q(x) com q(α) 6= 0.
Derivando tem-se f ′ (x) = m(x − α)m−1 q(x) + (x − α)m q ′ (x), logo
f ′ (α) = 0. Isso contradiz a hipótese, portanto m = 1.
2. Tomando α ∈ L ⊇ K tal que f (α) = 0 e f (x) ∈ K[x]. Tem-se que
α é algébrico sobre K. Seja a o inverso do coeficiente dominante
de f (x), assim g(x) = af (x) é o polinômio minimal de α. Supondo
que α tenha multiplicidade m > 1 pelo item (1), f ′ (α) = 0. Assim
g ′ (α) = 0, o que é uma contradição, pois ∂g ′ < ∂g e g(x) é o
polinômio minimal de α.
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
92
3.2.1
Extensões Algébricas
Considere A um anel com unidade e K um corpo tal que K ⊂
A. Como A é um anel, segue que para quaisquer a, b ∈ A implica que
a + b ∈ A, ou seja, a operação de adição é fechada em A, que satisfaz
as seguintes propriedades: Para quaiquer a, b, c ∈ A:
(i) (a + b) + c = a + (b + c);
(ii) a + b = b + a;
(iii) Existe 0 ∈ A tal que a + 0 = a = 0 + a;
(vi) Dado a ∈ A, existe −a ∈ A tal que a + (−a) + 0 = (−a) + a.
Agora, para qualquer a ∈ A e para qualquer k ∈ K ⊂ A implica que
ka ∈ A, pois a operação de multiplicação é fechado em A. E ainda, são
satisfeitas as propriedades abaixo: Para quaisquer a, b, c ∈ A, k, λ ∈ K
(v) (ab)c = a(bc);
(vi) (a + b)k = ak + bk e k(a + b) = ka + kb;
(vii) (k + λ)a = ka + λb e a(k + λ) = ak + aλ;
(viii) Existe 1 ∈ K tal que 1a = a = a1.
Então, pode-se ver A como um K-espaço vetorial.
Sabe-se da Álgebra Linear que todo K−espaço vetorial V tem
base, ou seja, um conjunto de geradores linearmente independentes. E
se V possui uma base com n vetores, então qualquer base para V terá
também n vetores. Lembrando que a dimensão do espaço vetorial V
sobre K é o número de elementos de uma base V .
Definição 3.9. Sejam L e K corpos e L uma extensão de K. Então,
como visto anteriormente, pode-se dizer que L é um K−espaço vetorial. Neste caso, define-se o grau da extensão L de K como sendo a
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
93
dimensão do K−espaço vetorial L e o grau da extensão denota-se por
[L : K].
Se o grau da extensão L de K for finito, diz-se que L é extensão finita
de K. Caso contrário, L é uma extensão infinita de K.
Proposição 3.7. Sejam L uma extensão de K e α ∈ L.
1. L é extensão finita se, e somente se, L é extensão algébrica.
2. Se α é algébrico sobre K e o grau do polinômio minimal de α
sobre K é n, então [K[α] : K] = n e γ = {1, α, α2 , · · · , αn−1 } é
uma base de K[α] sobre K.
Demonstração:
1. Considere [L : K] = m < ∞ e seja α ∈ L ⊃ K. Sendo K[α] um
subespaço de L segue, imediatamente, que [K[α] : K] 6 [L : K] =
m < ∞. Se [K[α] : K] = n, então 1, α, · · · , αn são linearmente
dependentes, pois n é o número máximo de elementos linearmente
independentes, e portanto, existem escalares a0 + a1 + · · · + an ,
não todos nulos, tais que
a0 + a1 α + · · · + an αn = 0,
e isso mostra que α é algébrico sobre K.
2. Pela Proposição (3.5), todo elemento de K[α] se escreve de forma
única como a0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 , com ai ∈ K. Claro que
γ = {1, α, · · · , αn−1 } gera K[α]. Precisa-se verificar que γ é um
conjunto linearmente independente, suponha-se que
b0 · 1 + b1 α1 + · · · + bn−1 αn−1 = 0.
(3.3)
Por outro lado,
0 = 0 · 1 + 0α1 + · · · + 0αn−1 .
(3.4)
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
94
Pela unicidade comentada anteriormente, tem-se que bi = 0 para
todo i = 1, · · · , n − 1. Portanto, γ é um conjunto de geradores
linearmente independentes de K[α], isto é, γ é uma base do espaço
vetorial K[α] sobre K.
Corolário 3.8. Sejam L uma extensão de K e α ∈ L. As seguintes
afirmações são equivalentes:
1. α é algébrico sobre K;
2. [K[α] : K] é finito;
3. K[α] é a extensão algébrica de K.
Demonstração:
(3.7).
O Corolário é consequência direta da Proposição
Observação 3.5. Seja K é um corpo. Se α é algébrico sobre K pode-se
concluir que K[α] é um K-módulo finitamente gerado por {1, α, · · · , αn−1 }.
Além disso, a recíproca também é verdadeira. Na realidade, esse resultado pode ser obtido pelo Teorema 3.1.
Proposição 3.8. Sejam M um domínio e L uma extensão de K tais
que K ⊆ L ⊆ M , [M : L] e [L : K] são finitas. Então, [M : K] é finita
e [M : K] = [M : L][L : K]
Demonstração:
Seja {v1 , · · · , vr } uma base de M sobre L e seja
{u1 , · · · , us } uma base de L sobre K. Basta provar que γ = {vi ui :
i = 1, · · · , r e j = 1, · · · , s} é uma base de M sobre K.
Primeiro vamos mostrar que o conjunto γ é linearmente independente.
Considere que
X
aij vi uj = 0,
(3.5)
i,j
3.2. ELEMENTOS ALGÉBRICOS SOBRE UM CORPO
95
com aij ∈ K , 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j ≤ s. Pode-se reescrever a Equação
(3.5) do seguinte modo:
(a11 u1 + a12 u2 + · · · + a1s us )v1 + · · · + (ar1 u1 + · · · + ars us )vr = 0.
Observa-se que aij uj ∈ L, para 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j ≤ s, pois L é
r
P
aij uj ∈ L. Como {v1 , · · · , vr }
um espaço vetorial sobre K, e então,
i,j
é linearmente independente sobre L, tem-se que
s
P
aij uj = 0, para
j=1
1 ≤ i ≤ r. Como {u1 , · · · , us } é linearmente independente sobre K,
obtém-se que aij = 0, para todos 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j ≤ s.
Agora vamos mostrar que γ gera M . Seja y ∈ M , então y = λ1 v1 +
s
P
aij uj , onde aij ∈ K.
· · · + λr vr , onde λi ∈ L. Por sua vez, λi =
j=1
Assim
y=
r
X
λi vi =
i=1
r X
s
X
i=1 j=1
aij uj vi =
X
aij vi uj .
i,j
Portanto, [M : K] é finita e [M : K] = [M : L][L : K].
Como consequência imediata da Proposição (3.8) [M : L] e
[L : K] dividem [M : K].
Definição 3.10. Seja K um corpo. Diz-se que K tem característica
m se mα = 0, para todo α ∈ K, e m é o menor inteiro positivo com
esta propriedade. Se mα 6= 0 para todo α 6= 0 e todo m inteiro positivo
então, diz-se que K tem característica zero.
Observação 3.6. Note que todo corpo infinito possui característica
zero.
Proposição 3.9. Seja K um corpo de característica zero. Se f (x) ∈
n
Y
(x − αi ) sua
K[x] é um polinômio mônico irredutível, e seja f (x) =
i=1
decomposição em fatores lineares em uma extensão L de K, então as
n raízes α1 , . . . , αm de f (x) são distintas.
Demonstração: Supõe-se que nem todas as raízes α1 , . . . , αm de f (x)
sejam distintas. Pela Proposição (3.6),tem-se que f (x) possui alguma
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
96
raiz em comum com sua derivada f ′ (x). Assim, f (x) | f ′ (x). Uma
vez que ∂f ′ (x) < ∂f , isto significa que f ′ (x) é um polinômio nulo.
Entretanto
f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , ai ∈ K
e
f ′ (x) = n · 1 · xn−1 + (n − 1)an−1 xn−2 + · · · + a1 .
Então n · 1 = 0, jaj = 0, para 1 ≤ j ≤ n − 1, o que é impossível em um
corpo de característica zero. Portanto, as raízes de f (x) são distintas.
Teorema 3.2. Sejam K um corpo de característica zero, L um extensão finita de grau n de K e C um corpo algebricamente fechado
contendo K. Então, existe n distintos K-isomorfismos de L em C.
Demonstração: A afirmação deste teorema é verdadeira para qualquer extensão L de K da forma L = K[α] com α ∈ L. De fato, o
polinômio minimal f (x) de α sobre K é de grau n. E tem n raízes
α1 , . . . , αn em C, todas distintas, de acordo com a Proposição (3.9).
Para cada i = 1, 2, . . . , n, tem-se um K-isomorfismo σi : L −→ C, tal
que σi (α) = αi e σi (a) = a, para todo a ∈ K.
A continuação da demonstração será feita por indução sobre o grau n da
extensão L sobre K. Seja α ∈ L, considera-se os corpos K ⊆ K[α] ⊆ L
e toma-se q = [K[α], K]. Podemos assumir q > 1. Anteriormente,
mostrou-se que existem q distintos K-isomorfismos σ1 , . . . , σq de K[α]
em C. Como, pelo Corolário (3.7), K[σi (α)] = K[αi ] e K[α] são isomorfos, é possível construir uma extensão Li de K[σi (α)] = K[αi ] e
um isomorfismo τi : L −→ Li que estende σi (1 ≤ i ≤ q). Tem-se
que K[σi (α)] é um corpo de característica zero. Uma vez que, [Li :
n
K[σi (α)]] = [L : K[α]] =
< n, a hipótese de indução implica que
q
n
existem distintos K[σi (α)]-isomorfismos θij de Li em C (1 ≤ j ≤ nq ).
q
n
= n KPortanto, as aplicações compostas θij ◦ τi fornecem q ·
q
isomorfismos de Li em C. Os K-isomorfismos são distintos pois para
3.3. NÚMEROS ALGÉBRICOS
97
i 6= k, θij ◦ τi |K[αi ] = σi 6= σk = θkj ◦ τk |K[αk ] , enquanto para i = k e
j 6= t, θij |Lj 6= θit |Lt .
Teorema 3.3. (Teorema do Elemento Primitivo) Sejam K um corpo
de característica zero, L uma extensão de K de grau finito n. Então,
existe um elemento θ de L (chamado de elemento primitivo), tal que
L = K[θ].
Demonstração: Ver Samuel (2002), pg 34.
3.3 NÚMEROS ALGÉBRICOS
Nesta seção considera-se que L e K são corpos tais que Q ⊂
K ⊂ L ⊂ C.
Definição 3.11. Seja L uma extensão K e α ∈ L ⊆ C. Se existe um
polinômio mônico f (x) ∈ Q[x], f (x) 6= 0 tal que f (α) = 0, então diz-se
que α um é número algébrico. No caso em f (x) ∈ Z[x], então α é
dito um inteiro algébrico.
Definição 3.12. Diz-se que L ⊃ Q é um corpo de números se todo
elemento de L é um número algébrico. Isto é, L uma extensão finita de
Q. Se [Ł : Q] = n dizemos que L é um corpo de números de grau n.
Definição 3.13. Define-se o anel dos inteiros algébricos do corpo de
números Ł como
IL = {α ∈ L : ∃f (x) ∈ Z[x]∗ tal que f (α) = 0}
= {α ∈ L : α é inteiro algébrico}.
Exemplo 3.5. O anel de inteiros algébricos de Q é igual a Z.
Definição 3.14. Sejam K um corpo de números de grau n e IK o anel
de inteiros algébricos de K. Chama-se de base integral de K, ou de
IK , uma Z-base para o grupo aditivo IK .
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
98
Observação 3.7. Sejam {α1 , . . . , αn } uma base integral de IK . Todo
elemento α ∈ IK pode ser escrito de modo único, da forma
α=
n
X
ai αi ,
i=1
com ai ∈ Z para 1 ≤ i ≤ n.
Proposição 3.10. Seja K = Q[θ] um corpo de números sobre Q de
grau n. Então existe exatamente n monomorfismos distintos σi : K −→
C (i = 1, · · · , n). Os elementos σi (θ) = θi são as raízes distintas em C
do polinômio minimal de θ sobbre Q.
Demonstração: Segue do Teorema (3.2) uma vez que Q[θ] é
um corpo de característica zero.
A seção a seguir é um exemplo de corpo de números e seu anel
de inteiros algébricos.
3.4 CORPOS QUADRÁTICOS
Anteriormente, foi visto que um corpo de números é uma extensão finita de Q. Nesta seção, serão introduzidos o conceito de corpos
quadráticos e suas principais propriedades.
Definição 3.15. Um corpo quadrático é uma extensão finita de Q
de grau 2.
√
Proposição 3.11. Todo corpo quadrático é da forma Q( d), onde d é
um inteiro livre de quadrados, ou seja, d não é divisível pelo quadrado
de um número primo.
Demonstração: Se K é um corpo quadrático, então todo elemento
α ∈ K tal que α ∈
/ Q tem polinômio minimal sobre K de grau 2 sobre
Q. Pelo Teorema (3.3), tem-se que K = Q[α], para algum α ∈ K. Seja
p(x) = x2 + bx + c o polinômio minimal de α. Resolvendo a equação
quadrática
α2 + bα + c = 0,
3.4. CORPOS QUADRÁTICOS
99
√
√
b2 − 4c. Assim, K = Q[α] = Q[ b2 − 4c] e
u
uv
observando que b2 − 4c é um número racional da forma = 2 , com
v√ v
√
u, v ∈ Z primos entre si, tem-se que Q[ b2 − 4c] = Q( uv). Como
tem-se que 2α = −b ±
uv ∈ Z, podemos representar uv = dm2 , onde d, m ∈ Z, com m > 1,
√
√
d 6= 1 e d livre de quadrados. Assim, Q( uv) = Q( d), com d livre de
quadrados.
Observação 3.8.
√
1. Um elemento α é da forma a + b d com a, b ∈ Q. O conjunto
√
√
{1, d} é uma base da extensão Q[ d] sobre Q.
√
2. O elemento d é uma raiz do polinômio irredutível x2 − d. O
√
√
conjugado de d é − d, ou seja, existe um automorfismo σ :
√
√
√
√
Q( d) −→ Q( d), tal que σ(a + b d) = a − b d.
√
3. Se d > 0, a extensão Q( d) é dita real e se d < 0, a extensão
√
Q( d) é dita imaginária.
√
Lema 3.2. Seja IK o anel de inteiros de K = Q( d), com d livre de
√
quadrados, sobre Z. Se α = a + b d ∈ IK , então 2a ∈ Z e 2b ∈ Z.
Demonstração: Pela Observação (3.8), existe um automorfismo
σ : K −→ K
√
√
a + b d 7−→ a − b d.
Como σ(α) também é raiz da mesma equação de dependência integral
de α, então σ(α) ∈ IK . Como α, σ(α) ∈ IK , pelo Corolário (3.3), tem-se
√
que α + σ(α) ∈ IK e ασ(α) ∈ IK . Ainda, α + σ(α) = (a + b d) + (a −
√
√
√
b d) = 2a ∈ Q e ασ(α) = (a + b d)(a − b d) = a2 − db2 ∈ Q. Pela
Proposição (3.3), segue que Z é integralmente fechado e, portanto,
2a ∈ Z e a2 − db2 ∈ Z.
(3.6)
Por (3.6), tem-se que (2a)2 − d(2b)2 = 4(a2 − db2 ) ∈ Z. Mas, 2a ∈ Z,
então d(2b)2 ∈ Z. Se 2b ∈
/ Z, o seu denominador tem um fator primo p,
Capítulo 3. ELEMENTOS INTEIROS E
ALGÉBRICOS
100
tal que em d(2b)2 este fator aparece como p2 no denominador. Como d
é livre de quadrados, então d(2b)2 ∈
/ Z, o que é um absurdo. Portanto,
2b ∈ Z.
Observação 3.9. Se d é livre de quadrados, então d 6≡ 0(mod 4).
O teorema a seguir tem por finalidade determinar o anel dos
√
inteiros algébricos de um corpo quadrático K = Q( d), com d livre de
quadrados.
√
Teorema 3.4. Seja K = Q( d) um corpo quadrático, com d ∈ Z livre
de quadrados.
(i) Se d ≡ 2(mod 4) ou d ≡ 3(mod 4), então o anel de inteiros IK
√
de K, é consistido de todos os elementos da forma a + b d, com
√
a, b ∈ Z, ou seja, IK = Z[ d].
(ii) Se d ≡ 1(mod 4), então o anel de inteiros IK de K, é consistido
√
1
de todos os elementos da forma (a + b d), com a, b ∈ Z, e de
2"
√ #
1+ d
mesma paridade, ou seja, IK = Z
.
2
√
Demonstração: Seja α = a + b d ∈ IK . Pelo Lema (3.2), segue que
a=
v
u
e b = , com u, v ∈ Z.
2
2
Da equação (3.6), tem-se que
u2 − dv 2 ∈ 4Z.
Assim
(i) Se d ≡ 2(mod 4) ou d ≡ 3(mod 4), então u e v são pares, pois se v
fosse ímpar, então v 2 ≡ 1(mod 4). Como u2 −dv 2 ∈ 4Z, tem-se que
u2 − d(4k + 1) ∈ 4Z, para algum K ∈ Z, donde u2 − d ∈ 4Z. Desta
forma, u2 ≡ d(mod 4). Logo, d ≡ 1(mod 4) ou d ≡ 0(mod 4), o que
3.4. CORPOS QUADRÁTICOS
101
é uma contradição à hipótese. Já que v é par, então v 2 ≡ 0(mod 4)
e, portanto, u2 ∈ 4Z. Assim, u também é par. Logo, a, b ∈ Z e
√
√
√
α = a + b d ∈ Z[ d] e, assim, IK ⊂ Z[ d]. Agora, tomando α ∈
√
Z[ d], segue que α é raiz do polinômio x2 − 2ax + a2 − db2 ∈ Z[x].
√
√
Logo, Z[ d] ⊂ IK . Portanto, Z[ d =]IK .
(ii) Se d ≡ 1(mod 4), então u e v tem a mesma paridade. Se u e
√
√
v são pares então, a, b ∈ Z e, logo, α = a + b "d ∈ Z[ # d].
√
√
v d
1+ d
u
e,
+
∈ Z
Se u e v são ímpares, então α =
2
2
2
"
√ #
√ !
1+ d
1+ d
assim, IK ⊂ Z
. Agora, se α = a + b
∈
2
2
"
√ #
1+ d
, com a, b ∈ Z, então α é raiz do polinômio x2 − (2a +
Z
2
(1 − d)b2
2
b)x + a + ab −
∈ Z[x], pois d ≡ 1(mod 4). Logo,
4
"
"
√ #
√ #
1+ d
1+ d
Z
⊂ IK . Portanto, Z
= IK .
2
2
Exemplo 3.6.
√ √
• Seja K = Q( 6). Como 6 ≡ 2(mod 4) então, IK = Z 6 .
√ √
1 + −3
• Seja K = Q( −3). Como −3 ≡ 1(mod 4) então, IK = Z
.
2
√
• Seja K = Q[i], sendo i = −1. Como −1 ≡ 3(mod 4) então
IK = Z[i], o anel dos inteiros de Gauss.
√
Observação 3.10. Seja Q[ d] um corpo quadrático.
√
1. Se m 6≡ 1(mod 4), então β = {1, d} é uma base integral de
√
Q[ d].
(
√ )
1+ d
é uma base integral
2. Se m ≡ 1(mod 4), então β = 1,
2
√
de Q[ d].
103
4 NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
Seja K um corpo. Na Álgebra Linear tem-se que se T é um operador linear de um K−espaço vetorial V de dimensão finita (dimK V
igual a n), então existe uma matriz quadrada (ordem n × n) associ-
ada a essa transformação, e a partir dessa matriz define-se o traço, a
norma, o determinante e o polinômio característico do operador linear
T. Agora, sejam A um anel, E um A−módulo livre de posto finito e σ
um endomorfismo de E. Do mesmo modo que é feito em Álgebra Linear,
defini-se o traço, a norma e o polinômio característico do endomorfismo
σ.
4.1 NORMA E TRAÇO
Sejam A e B anéis, A ⊂ B, tais que B é um A-módulo livre de
posto n e {e1 , e2 , ..., en } uma base de B sobre A. Para definir as aplicações norma e traço, bem como polinômio característico e discriminante
é preciso primeiro analisar os endomorfismos de B. Seja σ : B −→ B
um endomorfismo de A−módulos. Desta forma,
σ(e1 ) = a11 e1 + a12 e2 + ... + a1n en
σ(e2 ) = a21 e1 + a22 e2 + ... + a2n en
..
.
σ(en ) = an1 e1 + an2 e2 + ... + ann en ,
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
104
com aij ∈ A, para 1 ≤ i, j ≤ n. Matricialmente tem-se

σ(e1 )


a11
a12

 
 σ(e2 )   a21
 . = .
 .   .
 .   .
a22
σ(en )
an1
an2
···
···
a1n

(i) o traço de σ por
T rB|A (σ) =

 
a2n   e2 
 
.. 
 . .
.   .. 
· · · ann
Definição 4.1. Define-se
e1
n
X
en
aii ;
i=1
(ii) a norma de σ por
NB|A (σ) = det(aij );
(iii) o polinômio característico de σ por
χB|A (x) = det(xIn − [aij ]),
sendo In a matriz identidade de ordem n.
Observação 4.1. Sejam X e Y duas matrizes quadradas de mesma
ordem, sabe-se que traço(X +Y ) = traço(X) + traço(Y ) e que det(XY )
= det(X)det(Y ). Devido essas propriedades e do fato que σ e ϕ são
homomorfismos, tem-se que:
• T rB|A (σ + ϕ) = T rB|A (σ) + T rB|A (ϕ)
• NB|A (σϕ) = NB|A (σ)NB|A (ϕ)
• χB|A (x) = det(xIn −[aij ]) = xn −T rB|A (σ)xn−1 +...+(−1)n NB|A (σ).
Definição 4.2. Sejam A e B anéis, A ⊆ B, tais que B é um A-módulo
livre de posto n e {e1 , e2 , ..., en } uma base de B sobre A. Seja α ∈ B
e considere o endomorfismo (de A−módulos) σα : B −→ B dado por
σα (x) = αx. Assim, define-se
4.1. NORMA E TRAÇO
105
(i) o traço de α ∈ B por T rB|A (α) = T rB|A (σα );
(ii) a norma de α ∈ B por NB|A (α) = NB|A (σα );
(iii) o polinômio característico de α ∈ B por χB|A (x) = det(xI −
σα ).
Observação 4.2. Pode-se usar simplesmente T r para traço, N para
norma e χ(x) para o polinômio característico se estiver claro quais os
anéis com que se está trabalhando.
Observação 4.3. Seja A ⊆ B anéis tais que B é um A-módulo livre
de posto finito. Se α, β ∈ B e a ∈ A, então, para qualquer x ∈ B
• (σα + σβ )(x) = αx + βx = (α + β)(x) = σα+β (x);
• σα ◦ σβ (x) = σα (βx) = αβx = σαβ (x);
• σaα (x) = (aα)x = a(αx) = aσα (x).
Além disso, a matriz de σa em relação a uma base {e1 , · · · , en }
de B sobre A é a matriz diagonal onde a é a entrada de todas as
diagonais. De fato,
σa (e1 ) = ae1 = ae1 + 0e2 + · · · + 0en
σa (e2 ) = ae2 = 0e1 + ae2 + · · · + 0en
..
.
σa (en ) = aen = 0e1 + 0e2 + · · · + aen .
Matricialmente, obtém-se
 
a
σa (e1 )
 

 σa (e2 )  0
 .  = .
 .  .
 .  .

σa (en )
0
0
a
···
···
 
e1
0
 
0   e2 
 
.. 
 . .
.   .. 
0
··· a
en
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
106
Proposição 4.1. Considerando ainda que A e B são anéis, A ⊂ B,
B um A−módulo livre de posto n. Se α, β ∈ B e a ∈ A então,
1. T r(α + β) = T r(α) + T r(β);
2. T r(aα) = aT r(α);
3. T r(a) = na
4. N (αβ) = N (α)N (β)
5. N (a) = an
6. N (aα) = an N (α)
Demonstração:
1. T r(α + β) = T r(σα+β ) = T r(σα + σβ ) = T r(σα ) + T r(σβ ) =
T r(α) + T r(β);
2. T r(aα) = T r(σaα ) = T r(aσα ) = aT r(α);
3. T r(a) = T r(σa ) = na
4. N (αβ) = N (σαβ ) = N (σα ◦ σβ ) = N (σα )N (σβ ) = N (α)N (β)
5. N (a) = N (σa ) = an
6. N (aα) = N (σaα ) = N (aσα ) = an N (α)
Proposição 4.2. Sejam K um corpo de característica zero, L uma
extensão de K de grau n, α ∈ L e α1 , α2 , ..., αn as raízes do polinômio
minimal de α sobre K. Então, T r(α) = α1 +, α2 + ... + αn , N (α) =
α1 α2 ...αn e χ(x) = (x − α1 )(x − α2 )...(x − αn ).
4.1. NORMA E TRAÇO
107
Demonstração: Inicialmente será demonstrado para o caso em que
α é elemento primitivo de L sobre K, e, portanto, L = K[α]. Seja
p(x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 onde ai ∈ K para 0 ≤ i ≤ n, o
polinômio minimal de α sobre K. Então,
αn + an−1 + · · · + a1 α + a0 = 0,
e, logo,
αn = −an−1 − · · · − a1 α − a0 .
K[x]
, pela Proposição (3.4), e {1, α, ..., αn−1 }
hf (x)i
é uma base de L sobre K. Para determinar a matriz do endomorfismo
σα , pela base dada acima, faz-se
Tem-se que L é K-isomorfo a
σα (1) = α = 0 · 1 + 1α + 0α2 + · · · + 0αn−1
σα (α) = α2 = 0 · 1 + 0α + 1α2 + · · · + 0αn−1
..
.
σα (αn−2 ) = αn−1 = 0 · 1 + 0α + 0α2 + · · · + 1αn−2 + 0αn−1
σα (αn−1 ) = αn = −a0 1 − a1 α + · · · + an−1 αn−1 .
Assim,

0

0

.
M =  ..


0
a0
1
0
..
.
0
0
1
..
.
0
−a1
−a2
···
···
..
.
0
0
···
0
· · · −an−2
0
0
..
.
1
−an−1









é a matriz associada ao endomorfismo σα . Desta forma


x −1 0 · · ·
0
0



0
x −1 · · ·
0
0



 ..
.
..
..
..
xIn − M =  .

.
.




0
0 ···
x
−1 
0
a0 a1 a2 · · · an−1 x + an−1
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
108
e calculando o determinante por cofatores, tem-se det(xIn −M ) = f (x),
ou seja, o polinômio característico em α é igual ao polinômio minimal
de α. Por definição
χ(x) = det(xIn − M )
= xn − T r(σα )xn−1 + ... + (−1)n det(σα )
Tem-se que α é elemento primitivo, então
χ(x) = (x − α1 )(x − α2 )...(x − αn )
n
n
Y
X
αi ).
αi )xx−1 + ... + (−1)n (
= xn − (
i−=1
i=1
Assim,
T r(σα ) = T r(α) =
n
X
αi
i=1
e
N (σα ) = N (α) =
n
Y
αi .
i=1
É preciso mostrar, agora, para o caso geral, isto é, considera-se
α ∈ L qualquer é um elemento algébrico sobre K. Assim K ⊆ K[α] ⊆ L
e pela Proposição (3.8) tem-se que
[L : K] = [L : K[α]][K[α] : K].
Assim, dadas {y1 , ..., yq } uma base de K[α] sobre K e seja {z1 , ..., zr }
uma base de L sobre K[x], então {yi zi } é uma base de L sobre K e
n = qr. Agora, é preciso mostrar que o polinômio característico χ(x)
de α, em relação a L sobre K, é igual a r-ésima potência do polinômio
minimal de α sobre K. Seja M = (aih ) a matriz do endomorfismo de
K[α] sobre K em relação à base {y1 , ..., yq }. Então,
σα (yi) = 2αyi =
X
h
(aih )yh
4.1. NORMA E TRAÇO
109
e
α(yi zj ) =
X
h
=
X
aih yh
!
zj
aih (yh zj ).
h
Assim,

αy1 z1 = a11 y1 z1 + a12 y1 z1 + · · · + a1q yq z1




 αy2 z1 = a21 y1 z1 + a22 y1 z1 + · · · + a2q yq z1
..


.



αyq z1 = aq1 y1 z1 + aq2 y1 z1 + · · · + aqq yq z1 .
Então, ordena-se a base yi zj de L sobre K, tal que a matriz do endomorfismo seja
M
0

0
M1 = 
 ..
 .
M
..
.

0
0
··· 0
··· 0
.
..
. ..
0


0
.. 

.
··· 0 M
ou seja, M repete-se r-vezes na diagonal como blocos na matriz M1 .
Assim, a matriz xIn − M1 , é formada por r-blocos diagonais da forma
xIq − M , donde det(xIn − M1 ) = det(xIq − M )r . Então, χ(x) =
(det(xIn − M1 )) e (det(xIq − M )) é o polinômio minimal de α sobre K,
como é possível concluir pela primeira parte da demonstração.
Observação 4.4. Pela Proposição (4.2) tem-se que
T r(L|K (α)) = rT rK[α]|K (α),
NL|K (α) = (NK[α]|K (α))r e
χL|K (α) = (χK[α]|K (α))r ,
com r = [L : K[α]].
Exemplo 4.1. Seja o corpo quadrático Q[i].
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
110
1. Seja i ∈ Q[i]. O polinômio minimal de i é p(x) = x2 + 1, cujas
raízes são ±i. Assim,
T r(i) = i − i = 0,
N (i) = i(−i) = 1 e
χ(x) = p(x).
2. Seja = 1 − i ∈ Q[i]. O polinômio minimal de 1 − i é q(x) =
x2 − 2x + 2, cujas raízes são 1 ± i. Assim,
T r(i) = (1 + i) + (1 − i) = 2,
N (i) = (1 + i)(1 − i) = 2 e
χ(x) = q(x).
√
Exemplo 4.2. Sejam o corpo quadrático Q[ d], com d livre de qua√
√
drados e α = a + b d ∈ Q[ d]. Então,
1. Se b = 0 então, a ∈ Q e p(x) = x − a é o polinômio minimal de
α. Assim, T r(α) = a e N (a) = a.
2. Se b 6= 0 então, o polinômio minimal de α é q(x) = x2 − 2ax +
√
√
a2 − db2 e suas raízes são a + b d e a − b d. Assim, T r(α) = 2a
e N (α) = a2 − db2 .
√
Exemplo 4.3. Seja K = Q( d), então tem-se duas possibilidades para
o seu anel de integridade IK :
√
1. se d ≡ 1(mod 4), então IK = Z[ d];
2. se d ≡ 2(mod 4) ou d ≡ 3(mod 4), então IK
√ #
1+ d
=Z
.
2
"
√
Para o caso (1) tem-se a base β1 = {1, d} Os monomorfismos de K
√
√
√
√
em C são σ1 (a + b −1) = a + b −1 e σ2 (a + b −1) = a − b −1.
4.1. NORMA E TRAÇO
111
2
X
√
√
√
σi (a + b −1) = 2a e N (a + b −1) =
Logo, T r(a + b −1) =
i=1
2
Y
i=1
√
σ(a + b −1) = a2 + b2 .
Proposição 4.3. Se A é um domínio, K seu corpo de frações, L ⊇ K
uma extensão finita e α ∈ L um elemento inteiro sobre A, então os
coeficientes do polinômio característico de α são inteiros sobre A. Em
particular, T r(α) e N (α) são inteiros sobre A.
Demonstração: Pela Proposição (4.2), tem-se que χ(x) = (x −
α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ). Os coeficientes de χ(x) são somas e produ-
tos dos αi , com 1 ≤ i ≤ n, basta mostrar que estes αi são inteiros
sobre A. Pela Proposição (3.10) existe um K-homomorfismo definido
da seguinte forma
σi : K[α] −→ K[αi ]
α 7−→ αi ,
com 1 ≤ i ≤ n. Uma vez que α é inteiro sobre A, tem-se que
αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0,
onde ai ∈ A, e 1 ≤ i ≤ n. Aplicando σi , obtemos
σi (α)n + an−1 σi (α)n−1 + · · · + a0 = 0,
donde
αni + an−1 αin−1 + · · · + a0 = 0.
Portanto, αi é inteiro sobre A.
Corolário 4.1. Se A é um anel integralmente fechado, então os coeficientes do polinômio característico de α, T r(α) e N (α) são elementos
de A.
Demonstração: Tem-se que os coeficientes de χ(x), o polinômio característico de α, são elementos de K e são inteiros sobre A. Mas A
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
112
é integralmente fechado, donde os coeficientes estão em A. Portanto,
T r(α) e N (α) são elementos de A.
√
Observação 4.5. Seja α ∈ Q[ d] um inteiro algébrico sobre Z, com
d livre de quadrados e α um inteiro algébrico. Como Z é integramente
fechado, segue que pelo Corolário (4.1), T r(α) e N (α) são números
inteiros. Por outro lado, se T r(α) e N (α) são número inteiros, tem-se
que α é raiz do polinômio p(x) = x2 − T r(α)x + N (α). E, assim, α é
um inteiro algébrico. Disto concluí-se que um elemento de um corpo
quadrático é inteiro algébrico se, e somente se, seu traço e sua norma
são números inteiros.
√
Exemplo 4.4. Sejam K = Q[ −5] um corpo quadrático e µ um ele-
mento do anel de inteiros quadráticos, IK . Então µ é inversível se, e
somente se, |N µ|= 1. De fato, se µ é inversível, então existe um ν ∈ Ik
tal que µν = 1, de onde vem que, 1 = N 1 = N µν = N µN ν e como
N µ e N ν são inteiros, concluímos que, N µ = ±1, portanto |N µ| = 1.
Reciprocamente se |N µ| = 1, temos N µ = µµ = ±1 ou µ(±µ) = 1,
logo µ é inversível.
Proposição 4.4. Sejam A um anel integralmente fechado, K seu corpo
de frações, L uma extensão finita de K de grau n e IL (A) o anel dos
inteiros de A em L. Sejam {α1 , ..., αn } uma base de L sobre K, onde
det(T r(αi αj )) 6= 0 e α ∈ L. Se T r(αβ) = 0 para todo β ∈ L, então
α = 0.
Demonstração:
Tem-se que α = a1 α1 + a2 α2 + · · · + an αn , com
ai ∈ K, para 1 ≤ i ≤ n, é suficiente mostrar que T r(ααj ) = 0, com
1 ≤ j ≤ n, então α = 0. Logo, para j = 1, ..., n,
0 = T r(ααj ) = a1 T r(α1 αj ) + a2 T r(α2 αj ) + · · · + an T r(αn αj ).
4.1. NORMA E TRAÇO
113
Matricialmente, tem-se
   
0
T r(α1 α1 ) T r(α2 α1 ) T r(α3 α1 ) T r(αn α1 )
a1

   
 T r(α1 α2 ) T r(α2 α2 ) T r(α3 α2 ) T r(αn α2 )   a2  0

  .  = .
..
..
..
..

  .  .
.

  .  .
.
.
.
0
an
T r(α1 αn ) T r(α2 αn ) T r(α3 αn ) T r(αn αn )

Mas, det(T r(αi αj )) 6= 0, donde a1 = a2 = · · · = an = 0. Portanto,
α = 0.
Sejam L e K corpos, L uma extensão finita de grau n de K.
Considera-se a aplicação
Sα : L −→ Kβ
7−→ T r(αβ),
segue que Sα é um K-homomorfismo. De fato, sejam β, γ ∈ L e λ ∈ K.
Então
Sα (β + γ) = T r(α(β + γ))
= T r(αβ + αγ))
= T r(αβ) + T r(αγ)
= Sα (β) + Sα (γ)
e
Sα (λβ) = T r(αλβ)
= T r(λαβ)
= λT r(αβ)
= λSα (β).
E, define-se
HomK (L : K) = {f : L −→ K : f é K-homomorfismo}.
Corolário 4.2. Sejam A um anel integralmente fechado, K seu corpo
de frações, L uma extensão finita de K de grau n e IL (A) o anel dos
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
114
inteiros de A em L. Sejam {α1 , ..., αn } uma base de L sobre K, onde
det(T r(αi αj )) 6= 0 e αinL. Se T r(α, β) = 0 para todo β ∈ L, então a
aplicação
ρ : L −→ HomK (L, K)
α 7−→ Sα ,
com Sα(β) = T r(αβ), é um isomorfismo
Demonstração: É fácil ver que ρ é um homomorfismo, visto que se
α1 , α2 ∈ L e a ∈ K, então
ρ(α1 + α2 )(β) = Sα1 +α2 (β)
= T r((α1 + α2 )β)
= T r(α1 β) + T r(α2 β)
= Sα1 (β) + Sα2 (β)
= ρ(α1 )(β) + ρ(α2 )(β)
e
ρ(aα1 )(β) = Saα1 (β)
= T r(aα1 β)
= aT r(α1 β)
= aSα1 (β)
= aρ(α)(β),
para todo β ∈ L. Então, seja α ∈ L tal que ρ(α) = 0. Assim,
ρ(α)(β) = Sα (β) = T r(αβ) = 0, ∀β ∈ L,
donde ρ(α) = 0. Pela Proposição 4.4, α = 0, donde ρ é injetora. E, por
fim, ρ é sobrejetora, pois dimK L = dimK (HomK (L, K)). Portanto, ρ
é um isomorfismo.
4.1. NORMA E TRAÇO
115
Teorema 4.1. Seja A um anel integralmente fechado, K seu corpo
de frações, L ⊃ K uma extensão finita de grau n e IL (A) o anel dos
inteiros de A em L. Então IL (A) é um A-submódulo de um A-módulo
livre.
Demonstração: Seja {α1 , ..., αn } uma base de L sobre K. Então,
uma vez que toda extensão finita é algébrica, tem-se que αi é algébrico
sobre K, com 1 ≤ i ≤ n. Ou seja, existem ai ∈ A, com i = 0, 1, ..., n,
tais que
an αni + an−1 αin−1 + · · · + a0 = 0.
Supondo que an 6= 0 e multiplicando a equação acima por ann−1 , então
0 = ann−1 (an αni + an−1 αin−1 + · · · + a0 )
= (an αi )n + an−1 (an αi )n−1 + · · · + ann−1 a0
e, assim an αi é inteiro sobre A. Seja, an αi = zi ∈ IL (A), com 1 ≤ i ≤ n.
É preciso mostrar que {z1 , ..., zn } é um base de L sobre K. Sejam
b1 , ..., bn ∈ A tais que b1 z1 + b2 z2 + · · · + bn zn = 0. Então,
b1 an α1 + b2 an α2 + · · · + bn an αn = 0.
Mas, {α1 , ..., αn } -é uma base de L sobre K, donde bi an = 0 e, assim,
bi = 0 para 1 ≤ i ≤ n. Logo, {z1 , ..., zn } é linearmente independente e
como possui n elementos,sendo, assim, uma base de L sobre K. Pelo
Corolário 4.2, existe uma base dual {y1 , ..., yn } tal que
ρ(zi )(yj ) = Szi (yj ) = T r(zi yj ) = δij , para i, j = 1, ..., n.
Por outro lado, se α ∈ IL (A) então αzi ∈ IL (A), para 1 ≤ i ≤ n, pelo
Corolário 4.1, T rL|K (αzi ) ∈ A, para 1 ≤ i ≤ n. Mas α = c1 y1 + · · · +
cn yn , com c1 , ..., cn ∈ K, então T r(αzi ) = ci ∈ A, para 1 ≤ i ≤ n.
Portanto, IL (A) é um submódulo de um A-módulo livre gerado por
{z1 , ..., zn }.
116
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
Corolário 4.3. Seja A um anel integralmente fechado, K seu corpo
de frações, L ⊃ K uma extensão finita de grau n e IL (A) o anel dos
inteiros de A em L, se A é um domínio principal, então IL (A) é um
A-módulo livre de posto n.
Demonstração: Pelo Teorema ??, um submódulo de um A-módulo
livre é também livre e possui posto menor ou igual a n. Pelo Teorema
4.1, IL (A) possui uma base de n elementos de L sobre K. Portanto,
IL (A) tem posto n.
Corolário 4.4. Seja A um anel integralmente fechado, K seu corpo
de frações, L ⊃ K uma extensão finita de grau n e IL (A) o anel dos
inteiros de A em L, se A é um domínio principal e A ⊆ IL (A) é um
ideal, então A é um A-módulo livre de posto n.
Demonstração: Sejam {e1 , ..., en } uma base de IL (A) e 0 6= α ∈ A.
Então, αe1 , ..., αen ∈ A e são linearmente independentes sobre A, poi
se α1 αe1 + · · · + α1 αen = 0, onde α1 , ...αn ∈ A, então α1 α = 0, para
1 ≤ i ≤ n. Assim, como A é um domínio principal, αi = 0, com
1 ≤ i ≤ n.
Proposição 4.5. Sejam A um anel noetheriano e integralmente fechado, K seu corpo de frações, L ⊇ K uma extensão finita de grau
n e IL (A) o fecho inteiro de A em L. Então IL (A) é um A-módulo
finitamente gerado e IL (A) é um anel noetheriano.
Demonstração:
Pelo Teorema 4.1, IL (A) é submódulo de um A-
módulo livre de posto n. Pelo Corolário ??, IL (A) é um A-módulo noetheriano finitamente gerado. Mas, ideais de IL (A) são A- submódulos
de IL (A), donde satisfazem a condição de maximalidade da Definição
??. Portanto, IL (A) é anel noetheriano.
4.2. DISCRIMINANTE
117
4.2 DISCRIMINANTE
Definição 4.3. Sejam A ⊆ B anéis tais que B é um A-módulo livre
de posto finito n. Dados (α1 , ..., αn ) ∈ B n = B × B × ... × B (n vezes),
define-se seu discriminante por
DB/A (α1 , ..., αn ) = det(T r(αi αj )).
Caso não haja ambiguidade, o discriminante de (α1 , ..., αn ) será
denotado apenas por D(α1 , ..., αn ).
√
Exemplo 4.5. Sejam o corpo quadrático Q[ d], com d livre de qua√
√
drados e {1, d} uma base de Q[ d] sobre Q. Então,
T r(1) T r(√d) 2 0 √
√ =
D(1, d) = √
= 4d.
tr( d) T r( d2 ) 0 2d
Proposição 4.6. Sejam A ⊆ B anéis tais que B é um A-módulo livre
de posto finito n. Dados (α1 , ..., αn ) ∈ B n . Se (β1 , ..., βn ) ∈ B n tais que
βi =
n
X
j=1
aij αj com aij ∈ A,
então
D(β1 , ..., βn ) = (det(aij ))2 D(α1 , ..., αn ).
Demonstração: Sejam βp , βq ∈ B tais que
n
X
βp =
api αi e βq =
n
X
aqj αj ,
n
X
api aqj αi αj .
j=1
i=1
com api , aqi ∈ A. Então,
βp βq =
n
X
api αi
i=1
n
X
aqj αj =
i,j=1
j=1
Logo,

T r(βp βq ) = T r 
n
X
i,j=1

api aqj αi αj  =
n
X
i,j=1
api aqj T r (αi αj ) .
118
Capítulo 4. NORMA, TRAÇO E
DISCRIMINANTE
Transcrevendo a equação acima na forma matricial, verifica-se que
(T r(βp βq )) = (api )(T r(αi αj ))(aqj )t ,
onde (aqj )t é a matriz transposta da matriz (aqj ). Pela Definição (4.3),
D(β1 , ..., βn ) = det(T r(βp βq ))
= det((api )(T r(αi αj ))(aqj )t )
= det(api )det(T r(αi αj )det(aqj )t
= det(aij )2 D(α1 , ..., αn ).
Observação 4.6. Pela Proposição 4.6 conclui-se que o discriminante
de quaisquer bases de B sobre A são associados. Ou seja, a matriz (aij )
que expressa uma base em termos da outra, possui matriz inversa (bij ),
com bij ∈ A. Assim, tanto det(aij ) quanto det(bij ) = det(aij )−1 são
inversíveis em A?.
Definição 4.4. Sejam A ⊆ B anéis tais que B é um A-módulo livre de
posto finito n. O discriminante de B sobre A é um ideal em A, definido
da forma
DB/A = hD(α1 , ..., αn )i,
onde {α1 , ..., αn } é uma base de B sobre A.
Observação 4.7. É possível mostrar que, dados um corpo K, L uma
extensão finita de K de grau n e σ1 , . . . , σn os n K-isomorfismos distintos de L em um corpo algebricamente fechado F contendo K, se
{α1 , . . . , αn } é uma base de L sobre K, então
D(α1 , . . . , αn ) = det(σi (αj ))2 6= 0.
Esta proposição encontra-se demonstrada em Samuel (2002).
119
5 ANÉIS DE DEDEKIND
Em um anel, a fatoração de seus elementos geralmente não é
√
única. Para observar este fato, basta considerar Z[ −5], encontramos
as seguintes fatorações para o número 9:
9= 3·3
√
√
9 = (2 + −5)(2 − −5).
√
√
√
Os fatores 3, 2 + −5 e 2 − −5 são irredutíveis em Z[ −5]. De
√
fato, ambos têm norma 9. Se 2 − −5 fosse redutível, ou seja, existem
√
√
α, β ∈ Z[ −5] tais que 2 − −5 = αβ, e então, teríamos N (αβ) =
N (α)N (β) = 9. Pela Observação (4.5) e o Exemplo (4.4), segue N (α) =
√
{3, −3}. Porém, isso não é possível, pois N (a + b −5) = a2 + 5b2 ∈
√
{3, −3}, quaisquer que sejam a, b ∈ Z. Para provar que 3 e 2 + −5 é
análogo. Desta forma, o número 9 foi escrito como produto de fatores
√
irredutíveis de duas formas diferentes e assim Z[ −5] não é fatorial.
Como já foi visto, a fatoração única dos elementos é válida
apenas anéis fatoriais. Neste capitulo será a estudada a fatoração dos
ideais não nulos, definindo uma estrutura chamada anel de Dedekind,
em que todo ideal não nulo possui uma fatoração única em potências
de ideais primos.
Definição 5.1. Seja A um anel. Então um ideal P de A é primo se
(i) P 6= A e
(ii) se a, b ∈ A e ab ∈ P então, a ∈ P ou b ∈ P .
Exemplo 5.1. Seja A um anel. O ideal nulo de A é um ideal primo de
A.
Lema 5.1. Seja p um elemento primo de um anel de integridade A.
Então, hpi é um ideal primo próprio de A,
Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND
120
Demonstração: Como p é elemento primo e, assim, não inversível,
tem-se que hpi é um ideal próprio. Se x, y ∈ hpi então, existe um ele-
mento t ∈ A tal que xy = pt. Daí, p | xy. Como p é elemento primo,
então p | x ou p | y. Se p | x então, x = ps, para algum s ∈ A, e x ∈ hpi.
Se p | y é análogo.
Observação 5.1. Há uma proposição segundo Domingues e Iezzi (2013,
pg. 266) que afirma que, dados A um anel comutativo com unidade e
I um ideal em A, tem-se que
• I é um ideal primo se, e somente se,
•
A
é anel de integridade
I
A
é corpo se, e somente se, I é ideal maximal.
I
Proposição 5.1. Todo ideal maximal de um anel A é um ideal primo
de A.
Demonstração: Da Observação (5.1) tem-se que, dado I um
A
A
é corpo, em particular,
é anel de
ideal maximal de A, então
I
I
integridade, e assim, I é um ideal primo de A.
A recíproca nem sempre é verdadeira, por exemplo, sejam A =
Z12 = {0, 1, · · · , 11} e o ideal maximal I = {0, 6}. Nota-se que 2 · 3 =
6 ∈ I, mas 2 ∈
/I e3∈
/ I. Portanto I não é um ideal primo de Z12 .
Lema 5.2. Sejam A um anel e P um ideal de A. O ideal P é primo se,
e somente se, contiver um produto de ideais J1 , ..., Jn de A, implicar
que P contém pelo menos um dos ideais Ji .
Demonstração: Supõe-se que Jj * P , para todo j = 1, ..., n. Então, para cada j existe αj ∈ Jj , com αj ∈
/ P . Dado que P é primo,
α1 · · · αn ∈
/ P . Por outro lado, α1 · · · αn ∈ J1 · · · Jn ⊂ P , o que é uma
contradição. Portanto, P contém Jj , para algum 1 ≤ j ≤ n.
Reciprocamente, seja a, b ∈ A tais que ab ∈ P . Então haihbi = habi ⊆ P .
121
Logo hai ⊆ P ou hbi ⊆ P , donde a ∈ P ou b ∈ P . Assim, a ∈ P ou
b ∈ P . Portanto, P é ideal primo.
Proposição 5.2. Se A ⊆ B são anéis e P ⊆ B é um ideal primo,
então P ∩ A é um ideal primo de A.
B
Demonstração: Seja a aplicação ρ = π ◦ i de A em , onde i : A −→
P
B
B é a inclusão (i(x) = x) e π : B −→
a projeção (π(x) = x̄ = x+ P ).
P
A aplicação ρ desta forma definida é um homomorfismo, pois π e i são
homomorfismos. Tem-se que
Ker(ρ) = {x ∈ A : p(x) = 0̄ = P }.
Assim,
x ∈ Ker(ρ) ⇔ ρ(x) = 0̄
⇔ π ◦ i(x) = 0̄
⇔ π(x) = 0̄
⇔ x̄ = 0̄
⇔ x+P = P
⇔ x ∈ P.
Portanto, Ker(ρ) = A ∩ P . Pelo Teorema dos Isomorfismos, tem-se que
B
B
A
≃ Im(ρ) ⊂ . Como
é um domínio de integridade, então
A∩P
P
P
A
é também um domínio. Portanto, P ∩ A é um ideal primo de A.
P ∩A
Definição 5.2. Um anel A um domínio de integridade é dito anel de
Dedekind se satisfaz as seguintes condições
1. A é integralmente fechado;
2. A é noetheriano;
3. Todo ideal primo não nulo de A é maximal.
Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND
122
Proposição 5.3. Em um anel de Dedekind A todo ideal contém um
produto de ideais primos.
Demonstração: Sejam A um anel de Dedekind então, por definição, A
é um anel noetheriano. Considera-se F o conjuntos dos ideais de A que
não contém um produto de ideais primos. Supondo que F 6= ∅. Dado
que A é noetheriano, então F tem um elemento maximal M . Tem-se que
M não é um ideal maximal pois, caso contrário, M seria ideal primo,
logo M ∈
/ F. Desta forma, existem x, y ∈ A − M tal que xy ∈ M . Visto
que M ( hxi + M e M ( hyi + M , assim hxi + M, hyi + M ∈
/ F Assim,
P1 P2 ...Pn ⊆ hxi + M e Q1 Q2 ...Qn ⊆ hyi + M,
onde Pi , Qj são ideais primos de A, e
(P1 P2 ...Pn )(Q1 Q2 ...Qn ) ⊆ (hxi + M )(hyi + M ) ⊆ M,
o que é uma contradição. Portanto, F = ∅.
Da Proposição 5.3 conclui-se facilmente que num anel de Dedekind, todo ideal não nulo contém um produto de ideais primos não
nulos.
Teorema 5.1. Sejam A um anel de Dedekind, K seu corpo de frações,
L uma extensão finita de K de grau n e IL (A) o anel dos inteiros de
L sobre A. Então IL (A) é um anel de Dedekind.
Demonstração: Pelo Exemplo (??) e pela Proposição (4.5), IL (A)
é integralmente fechado e noetheriano, respectivamente. Resta mostrar
que todo ideal primo não nulo de IL (A) é maximal. Seja P ⊂ IL (A) um
ideal primo não nulo. Como A ⊂ IL (A), pela Proposição (5.2), tem-se
que P ∩ A é um ideal primo de A. Primeiro, é preciso provar que P ∩ A
é não nulo. Seja α ∈ P com α 6= 0, então α ∈ IL (A) . Assim, existem
a1 , ..., an ∈ A, não todos nulos, tais que,
αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0
123
e que n seja o menor expoente possível. Logo, a0 6= 0. Caso contrário,
a equação seria de grau menor do que n. Assim,
a0 = α(−αn−1 − an−1 αn−2 − · · · − a1 ) ∈ αIL (A) ∩ A ⊂ P ∩ A.
Logo, P ∩ A 6= {0}. Uma vez que P ∩ A é ideal primo de A e A é anel de
A
é
Dedekind, então P ∩ A é um ideal maximal de A e, portanto,
P ∩A
corpo. Agora, considera-se a aplicação ρ = π ◦ i tal que i : A −→ IL (A)
IL (A)
é a inclusão e π : IL (A) −→
a projeção. Então, pelo Teorema
P
dos Isomorfismos,
IL (A)
A
≃ Im(ρ) ⊂
P ∩A
P
IL (A)
A
Mas IL (A) é inteiro sobre A, então
é inteiro sobre
e, pela
P
P ∩A
IL (A)
Proposição (3.2),
é um corpo. Portanto, p é ideal maximal.
P
Definição 5.3. Sejam A um domínio de integridade e K seu corpo
de frações. Um ideal fracionário de A é um conjunto F ⊆ K que
satisfaz as seguintes propriedades:
(i) se x, y ∈ F , então x + y ∈ F ;
(ii) se x ∈ F e a ∈ A, então ax ∈ F ;
(iii) existe d ∈ A − {0} tal que dF ⊂ A.
Isto é, um ideal fracionário F é um A-submódulo de K, tal que existe
d ∈ A − {0} e dF ⊂ A.
Observação 5.2. Os ideais usuais de A são ideais fracionários, considerandose d = 1.
Exemplo 5.2. Os ideais fracionários de Z são da forma rZ, onde r ∈ Q.
Definição 5.4. Sejam A um domínio, K seu corpo de frações, e Q, R ⊆
A são ideais fracionários. Diz-se que Q divide R se existe um ideal
inteiro H de A tal que R = QH.
Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND
124
Proposição 5.4. Se A é um anel de Dedekind, então todo ideal fracionário de A é um A-módulo finitamente gerado.
Demonstração: Seja F um ideal fracionário de A. Então, existe d ∈
A − {0} tal que dF ⊆ A. Se x ∈ dF , então existe t ∈ F tal que x = dt e,
assim, t = d−1 x ∈ d−1 A e, portanto, F ⊆ d−1 A. Considere a aplicação
ρ : A −→ d−1 A
x 7−→ d−1 x.
A aplicação ρ é um isomorfismo, pois para quaisquer x, y ∈ A, têm-se
que
ρ(x + y) = d−1 (x + y) = d−1 x + d−1 y = ρ(x) + ρ(y) e
ρ(xy) = d−1 xy = xd−1 y = xρ(y),
uma vez que, pelo Exemplo (2.14), d−1 A é A-submódulo, e para todo
elemento y ∈ d−1 A existe um x ∈ A tal que y = d−1 x. Então, A é
isomorfo a d−1 A. Como A é anel de Dedekind e, assim, noetheriano,
então d−1 A é noetheriano, donde d−1 A é finitamente gerado. Portanto,
I ⊆ d−1 A é um A-módulo finitamente gerado.
Lema 5.3. Sejam A um anel de Dedekind que não é corpo, K seu
corpo de frações e J um ideal maximal de A. Então o conjunto
N = {x ∈ K : xJ ⊂ A}
é um ideal fracionário de A.
Demonstração: Primeiramente, como A não é corpo, então J 6= {0},
ou seja, existe d ∈ J, com d 6= 0. Agora, sejam y, z ∈ N = {x ∈ K :
xJ ⊂ A} e a ∈ A, então, ys, zt ∈ A, para todo s, t ∈ J. Desse modo, se
r ∈ J, tem-se que
• (y + z)r = yr + zr ∈ A, donde y + z ∈ N ;
125
• (ay)r = y(ar) ∈ A, pois J é ideal e, assim, ar ∈ J. Logo, ay ∈ N
e
• se x ∈ A, então xJ = J ⊂ A e, assim, A ⊂ N . Pela definição de
N , tem-se que dN ⊆ A, para todo d ∈ J ⊆ A.
Portanto, N é um ideal fracionário de A.
Proposição 5.5. Sejam A um anel de Dedekind que não é corpo e K
seu corpo de frações. Então, todo ideal maximal M de A é inversível.
Demonstração: Considere o ideal fracionário N = {x ∈ K : xM ⊂
A}. Deseja-se mostrar que N M = A. A inclusão N M ⊂ A já tem-se,
pela própria definição de N . Por outro lado, A ⊂ N , pois M é ideal de
A. Logo, M = M A ⊂ M N ⊂ A. Mas, M é maximal, então M = N M
ou N M = A. Supondo, primeiramente que M = N M e considerando
α ∈ N , tem-se que αM ⊂ M , α2 M ⊂ αM ⊂ M , donde αn M ⊂ M ,
n
para todo n ∈ N. Assim, seja d ∈nM , com d 6= 0, então
o dα ∈ αM ⊆ A,
X
para todo n ∈ N. Logo, A[α] =
ai αi : ai ∈ A é ideal fracionário
de A. Então, como A é noetheriano, segue pela Proposição (5.4) que
A[α] é um A-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema (3.1), α é inteiro
sobre A. Como A é integralmente fechado, α ∈ A. Logo, N ⊂ A e como
A ⊂ N , então N = A. Agora, seja a ∈ M . Pela Proposição (5.3),
hai = hai ⊃ P1 P2 ...Pn ,
onde os P1 , ..., Pn são ideais primos não nulos de A, e n é o menor valor
possível. Assim, M ⊃ hai ⊃ P1 P2 ...Pn . Pelo Lema (5.2), M contém um
dos Pi , para algum 1 ≤ i ≤ n. Sem perda de generalidade, afirma-se que
i = 1, ou seja, M ⊃ P1 . Uma vez que A é anel de Dedekind, M = P1 ,
pois P1 é ideal maximal. Então, considerando agora P = P2 ...Pn , tem-
se que hai ⊃ M P , onde P não está contido em hai, pela minimalidade
b
de n. Logo, existe b ∈ P e b ∈
/ hai tal que M b ⊂ hai. Assim, M ⊆ A,
a
b
b
de forma que ∈ N . Uma vez que b ∈
/ hai tem-se que ∈
/ A, ou seja,
a
a
N 6= A. Portanto, M N = A.
Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND
126
Conclui-se que todo ideal M maximal de A de um anel de
Dedekind é inversível e seu inverso é o ideal fracionário M −1 = {x ∈
K : xM ⊂ A}. Isto é, M M −1 = A.
Lema 5.4. Sejam A um anel de Dedekind, K seu corpo de frações e
L uma extensão de K. Sejam Q, R ideais maximais de IL (A). Então
R ⊆ Q se, e somente se, Q divide R.
Demonstração: Se Q divide R, então existe um ideal H ⊆ IL (A) tal
que R = QH ⊆ Q. Seja x ∈ R = QH daí, existem q ∈ Q e h ∈ H, tais
que x = qh ∈ Q. Como Q é um ideal, segue que x ∈ Q e R ⊂ Q.
Reciprocamente, se R ⊆ Q, então RQ− 1 ⊆ QQ−1 = A. Assim, RQ−1
é ideal inteiro tal que (RQ−1 )Q = R. Portanto, Q divide R.
Teorema 5.2. Sejam A um anel de Dedekind. Então todo ideal I não
nulo de A é um produto de ideais primos de A, ou seja,
I=
n
Y
Piei ,
i=1
onde P1 , ..., Pn são ideais primos de A e e1 , ..., en são inteiros positivos.
Demonstração: Seja F a família dos ideais de A, não nulos, e que não
resultam dum produto de ideais primos de A. Supondo que F 6= ∅. Por
A ser noetheriano, F possui elemento maximal M , com M 6= A, pois A
é o produto da coleção vazia de ideais primos. Logo, M ⊆ P , com P
é ideal maximal de A. Pelo Lema (5.3), T = {x ∈ K : xP ⊂ A} é tal
que P T = A. Dado que M ⊆ P , então M T ⊆ P T = A. Por outro lado,
M = M A ⊂ M T ⊂ A, pois A ⊂ T . Assim M ( M T , uma vez que se
M = M A e se α ∈ T , tem-se que αM ⊂ M , α2 M ⊂ αM ⊂ M e, assim,
αn M ⊂ M , para todo n ∈ N . Logo, se d ∈ M − {0}, então dαn ∈ M ⊆
A. Assim, A[α] é ideal fracionário de A. A é noetheriano, então, pela
Proposição (5.4), A[α] é A-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema
(3.1), tem-se que α é inteiro sobre A, que é integralmente fechado,
donde α ∈ A. Assim, T ⊂ A e T = A. Mas isso é uma contradição,
porque se T = A, então P = P A = P T = A, e P é um ideal primo.
127
Pela maximalidade de M e pela relação M ⊆ M T , M T ∈
/ T, ou seja,
M T = P1 ...Pn , onde P1 , ..., Pn são ideais primos de A. Multiplicando
por P em ambos os lados da equação, tem-se que M = P1 ...Pn P , e isto
é uma contradição, visto que M ∈ F. Portanto, F = ∅.
Proposição 5.6. Seja I um ideal não nulo de A, então I é expresso
como o produto de ideais primos não nulos de forma única.
Demonstração: Seja I um ideal não nulo de IK (A). Suponha-se que
existam P1 , . . . , Pm , Q1 , . . . , Qn ideais primos de IK (A) tais que
P1 · · · Pm = Q1 · · · Qn .
(5.1)
A demonstração será por indução finita sobre o número natural não
nulo m. É importante lembrar que em u anel de Dedekind um ideal
não nulo J é primo se, e somente se, é maximal.
Para m = 1 tem-se
P1 = Q1 · · · Qn .
Então, pelo Lema(5.1), para algum i, Qi ⊂ P1 . Como Qi é maximal,
segue que P1 = Qj , para algum 1 ≤ j ≤ n. Pode-se supor, sem perda de
generalidade, que j = 1. Então, Q1 = Q1 · · · Qn , portanto, n = 1 = m.
Agora, considera-se como hipótese de indução que para algum m > 1
tem-se
P1 , · · · Pm−1 = Q1 · · · Qm−1
e Pi = Qi , para 1 ≤ i ≤ m − 1. Da equação (5.1), resulta que
P1 , . . . , Pm · · · Q1 , logo, de acordo com o Lema (5.1), Pi ⊆ Qi , pois
Pi é maximal. Sem perda de generalidade, suponha que i = 1 e, então
P1 · · · Pm = P1 Q2 · · · Qn
P1−1 P1 · · · Pm = P1−1 Q1 · · · Qn
P2 · · · Pm = Q2 · · · Qn .
Portanto, pela hipótese de indução, tem-se n−1 = m−1 e Pi = Qi , para
1 ≤ i ≤ n. Em resumo, tem-se que m − n e Pi = Qi , para 1 ≤ i ≤ n.
Capítulo 5. ANÉIS DE DEDEKIND
128
Corolário 5.1. Sejam A um anel de Dedekind, então todo ideal fracionário F não nulo de A é um produto de ideais primos de A, de modo
único.
Demonstração: Seja F um ideal fracionário de A, então existe d ∈
A − {0} tal que dF ⊆ A. Tem-se que F = (dF )(d−1 A) é produto de
ideais de A, então pelo Teorema (5.2) F é, de forma única, o produto
de ideais primos de A.
Teorema 5.3. Seja A um anel de Dedekind. Então, A é fatorial se, e
somente se, A é principal
Demonstração: Na proposição (2.7) provou-se que todo anel principal é fatorial. Agora, Considera-se que A é um anel fatorial. Sejam
P um ideal primo de A e α ∈ A, com α 6= 0 então, existem elementos
irredutíveis p1 , ≤, pn ∈ A tais que α = p1 · · · pn . Como P é ideal primo,
então
p1 · · · pn ∈ P,
segue que pi ∈ P , para algum i. Além disso, hpi i ⊆ P . Como pi é
irredutível e, portanto, primo, tem-se pelo Lema (5.1) que hpi i é um
ideal maximal, e assim, hpi i = r, ou seja, P é um ideal principal. Se
J é um ideal próprio de IK (A), pelo Teorema (5.6), existem ideais
primos P1 , . . . , Pm tais que I = P1 , · · · , Pm . Como cada Pi é principal,
conclui-se que I é também principal.
129
CONCLUSÃO
Ao cursar uma graduação, é iniciada a aprendizagem em uma
área de estudo. Essa iniciação, contudo, dá apenas uma noção geral
das muitas ramificações da área de conhecimento. Muitos dos graduados, ao formarem-se, engajam-se em uma carreira, uma profissão para
por em prática sua formação. Outros, porém, preferem aprofundar seus
conhecimentos em um dos ramos da área escolhida para cursar. A Matemática, possui vários ramos em que se pode especializar-se, sendo a
Álgebra um deles.
Assim, a fim de aprofundar os conhecimentos em Álgebra realizouse esse trabalho. Durante a concretização deste, foi possível entender
como se dá a construção de algumas das estruturas algébricas conhecidas hoje. O conhecimento histórico, inclusive, de como se deu esta
construção é bastante relevante, uma vez que tal entendimento possibilita novos questionamentos, e por consequência, a construção de mais
estruturas.
A partir da problemática que surgiu na história da Matemática, buscou-se as respostas, mas estas necessitavam de pré-requisitos.
Assim, apresentam-se os conceitos preliminares. Porém, apesar desses
terem surgido inicialmente com o objetivo de entender os conceitos mais
elaborados que deles necessitam, foi um capítulo de complexa estruturação. Nem todas as propriedades dos conceitos vistos no Capitulo 2
foram exploradas, pois estas são muitas, mas o breve vislumbre das estruturas encontradas no referido capítulo, mostra como pode-se de uma
estrutura, ir para casos particulares, como acontece em anéis fatoriais.
Ou ainda, como é possível expandir um anel qualquer a uma estrutura
de polinômios.
Da mesma forma que acontece com os anéis de polinômios,
Conclusão
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outras estruturas como módulo, extensões algébricas, anel de inteiros,
corpos quadráticos e muitas outras que não foram exploradas neste
trabalho, utilizam de estruturas mais simples para sua construção. São
características que fazem da Álgebra um campo de estudos ainda mais
interessante, pois suas possibilidades são inúmeras.
Assim concluí-se, como dito anteriormente, que a graduação
dá apenas uma base para sua área de estudo e, portanto, conhecer
Álgebra em sua amplitude atual requer o conhecimento de conceitos
além dos estudados durante a graduação e além dos expostos aqui.
Sendo a Álgebra uma área que, ao que tudo indica, tende sempre a
crescer, a ter mais a se saber, novas estruturas a se construir, o estudo
realizado abre portas para um aprofundamento futuro, como norma
de ideais, anel de frações, corpos ciclotômicos, ramificações de ideais,
reticulados, e muitos outros.
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REFERÊNCIAS
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Conclusão
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