O desenvolvimento da teoria de gravitação

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O desenvolvimento da teoria de gravitação
Desenvolvimento histórico da gravitação
No desenvolvimento da teoria da gravitação, ocorreu um encadear de trabalhos que irão culminar na
obra monumental de Isaac Newton “Princípios matemáticos de filosofia natural”, conhecido vulgarmente
pelo seu primeiro nome em latim, Principia. São importantes as discussões feitas por Christopher Wren
(1632-1723), Edmond Halley (1656 – 1742) e Robert Hooke (1635-1702) sobre as leis que governavam as
formas precisas das órbitas dos objectos celestes e as suas relações com as leis da mecânica, tais como a lei
de inércia e a lei de força central e atractiva (dirigida para o Sol). Entre 1662 e 1664, Robert Hooke tentou
provar experimentalmente que a força exercida pela Terra sobre qualquer corpo variava com a altura. Para
este fim, Robert Hooke, que era o responsável experimental da Royal Society (Curator of Experiments),
efectuou algumas experiências com o objectivo de medir o peso de vários corpos a diversas alturas do solo.
Para tal, ele próprio se suspendia na cúpula da Abadia de Westminster e na da Catedral de São Paulo
procurando, desta forma, encontrar eventuais diferenças no peso dos corpos quando estes estavam a
diferentes distâncias da superfície da Terra. Apesar dos seus esforços, como hoje sabemos, devido à pequena
variação da distância ao centro da Terra, não conseguiu detectar qualquer variação entre os valores medidos
nas diversas situações consideradas.
Em 1674 Robert Hooke num trabalho chamado “Tentativa de Demonstrar o Movimento da Terra”,
apresentou os progressos que havia conseguido até então. Nesse trabalho, Hooke escreveu um apêndice no
qual incluiu três “suposições”, que revelam bem a importância do seu trabalho. Essas três “suposições”
traduziam em termos gerais as seguintes ideias:
- Todos os corpos celestes têm uma atracção ou força gravitacional em direcção aos seus centros, através
da qual atraem não só a si próprios, mas também todos os outros corpos celestes que estão dentro da sua
própria esfera de acção.
- Todos os corpos que são postos em movimento simples e directo continuarão a mover-se numa linha recta,
até que sejam desviados por alguma outra força, para um movimento descrevendo um círculo, uma elipse ou
alguma outra linha curva composta.
- Tais forças atractivas são tanto mais poderosas a operar sobre um dado corpo, quanto mais perto esse
corpo se encontra dos centros de atracção.
Destes três resultados verificamos que Hooke “suspeitava” que estas forças atractivas diminuíam
com a distância. No entanto ainda não se conhecia a forma como a força dependia da distância. A questão
que se colocava era então a de descobrir esse tipo de dependência: Seria a força atractiva inversamente
proporcional à distância, ao quadrado da distância, a outra potência da distância, ou seria mesmo um outro
tipo de dependência ainda mais complexo?
Para além de Robert Hooke também Christiaan Huygens se interessou por este tipo de questões.
Sabia-se que quando se largava uma pedra que se encontrava a rodar no extremo de uma corda, a trajectória
circular que a pedra tinha imediatamente antes de se soltar, parecia resultar do balanço entre a força exercida
pela pessoa que segurava a corda e a “força exterior” com que a pedra “puxava” a corda. Em 1673, Huygens
Este material faz parte da tese de mestrado em ensino de Astronomia de António Manuel Alves Morais
Todas as referências das imagens e afirmações do texto estão lá contidas.
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publica o livro “Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum” onde, entre outros trabalhos, obtém a
lei de força para o movimento circular e uniforme: a tal força exterior. Nesse livro ele demonstra que o valor
dessa “força exterior” exercida pela pedra, era proporcional ao quadrado da velocidade a dividir pelo raio da
circunferência, que é a trajectória da pedra presa à corda:
v2
R
Admitindo que os planetas se movem em órbitas circulares com velocidade de módulo v constante,
vamos aplicar esta proporcionalidade aos planetas. A terceira lei de Kepler, que estabelece que o período T
da órbita de um planeta em torno do Sol, satisfaz a equação:
Fexterior ∝
T 2 = k R3
(1)
onde k é uma constante e R o raio médio da órbita. Com esta aproximação, o módulo de v é dado por:
v=
d
t
⇔ v=
2π R
T
isolando o período, virá:
T=
2π R
v
(2)
e utilizando a lei de Kepler, obtém-se:
2
4 π 2 R3
2π R
3
=
k
R
⇔
= k R3


2
v
 v 
4π 2
(3)
kR
Finalmente, substituindo v2, que determinamos pela equação (3), da proporcionalidade acima, após
as simplificações, obtemos:
v2 =
4π 2 1
(4)
k R2
deste modo, demonstra-se que a “força exterior” de Huygens é proporcional ao inverso do quadrado da
distância ao centro.
Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe no Lincolnshire, Inglaterra, no dia 25 de Dezembro de 1642
(o ano da morte de Galileu) e faleceu em 1727. Estudou no Trinity College em Cambridge, não sendo um
aluno brilhante. Devido a um grave surto de peste, a universidade encerrou por diversos períodos durante os
anos de 1665 e 1666. Estes períodos coincidiram com uma época de excepcional produção do trabalho
intelectual de Newton. Foi durante estes períodos, em que trabalhou sozinho e sobretudo em casa, que
Newton lançou as sementes do trabalho que viria a desenvolver nos anos seguintes em áreas tão diversas
como a óptica, a dinâmica e a matemática. Em 1669 sucedeu a Isaac Barrow como professor de Matemática
na Universidade. Será em 1687 que Newton, estimulado por Halley, irá publicar o seu trabalho “Princípios
Matemáticos de Filosofia Natural”. Esta obra em três livros, toma em conta todo o conhecimento até então
sobre os movimentos dos corpos e explica as causas dos movimentos. Em particular, no livro III, Newton
expõe o seu sistema de mundo, onde está a lei da gravitação universal. A obra de Newton irá estabelecer a
união entre a Física terrestre e a Física celeste.
Fexterior ∝
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Figura 1 Isaac Newton
Em 1703 Newton foi eleito presidente da Royal Society, a academia inglesa de ciências, que segundo
consta dirigiu com mão de ferro até à sua morte em 20 de Março de 1727. Depois da publicação de Óptica
em 1704, o livro onde expõe a sua teoria para a Luz, Newton desviou a sua atenção para assuntos teológicos.
Podemos afirmar que nos últimos 20 anos de sua vida, Newton não fez mais nenhuma contribuição
significativa para a ciência. É dessa época o seu livro Observações sobre as profecias de Daniel e do
apocalipse de São João, publicado em 1733.
Retomando a obra científica newtoniana, é um marco crucial a visita de Edmond Halley em 1684 a
Newton em Cambridge, onde este era professor. Nessa visita, Halley perguntou-lhe qual seria a órbita de um
planeta que se movesse sob a acção de uma força de atracção com origem no Sol e que variasse com o
inverso do quadrado da distância. Ele explicou que ele próprio, Wren e Hooke haviam falhado na resposta.
Newton respondeu que essa órbita seria uma elipse.
Neste seu primeiro encontro com Newton, Halley encorajou-o a escrever este resultado e pediu-lhe
que lho enviasse o mais rapidamente possível. Entre estes desafios e as frequentes trocas de opinião com
Robert Hooke, Newton começou a lançar os fundamentos de uma teoria que explicasse o movimento dos
planetas. Muito mais que isso, os contributos de Newton para a gravitação foram uma obra digna de um titã.
Estabeleceu que a atracção gravitacional ocorre entre todos os corpos do universo. Para além disto,
concluiu que o Sol não pode estar em repouso no centro do universo pois está sujeito às forças dos outros
corpos celestes. Determinou as perturbações nas órbitas planetárias devido aos outros planetas, mostrou que
a órbita dos cometas não é irregular como na concepção do universo cartesiano (ver figura 1-16). Estudou a
atracção gravitacional dum corpo extenso não esférico (elipsóide de revolução). Estabeleceu que a terra
deveria ser achatada e determinou esse achatamento, prevendo a variação gravitacional com a latitude e
propôs um método para determinar experimentalmente esse efeito utilizando pêndulos. Explicou ainda a
precessão dos equinócios e as marés.
Convém aqui salientar que o astrónomo Jean Richer (1630-1696), em 1671, observou que o período
dum mesmo pêndulo era menor na Guiana francesa, do que em Paris. Os seus dados sobre a gravidade foram
utilizados por Newton e também por Huygens, que no livro já citado também analisou o problema, para
mostrar que a Terra é uma esfera oblata. Também as marés já haviam tido uma “explicação” com Galileu, ou
melhor, uma desconfiança relativamente a influência da Lua.
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Um teorema importante demonstrado por Newton foi o seguinte: num corpo uniforme e esférico (o
que corresponde em boa aproximação ao nosso planeta), a soma de todas as forças que o corpo exerce sobre
outro corpo exterior é equivalente à força correspondente à totalidade da matéria, se esta estiver concentrada
no centro do corpo esférico.
Newton formulou uma experiência conceptual, e que o tempo se terá encarregado de poeticamente
corresponder ao famoso episódio da queda da maçã, segundo o qual Newton terá tido a ideia da atracção
universal entre os corpos ao observar a queda duma maçã.
Numa linguagem moderna, a lei da gravitação de Newton estabelece que o valor da força de atracção
entre dois corpos de massas m e m1 é dada por (ver figura 2):
r r
r
mm r r
F = −G r r1 3 ( r − r1 )
r − r1
Onde r − r1 é o vector que une os centros dos corpos e cujo módulo é a distância entre os seus
centros. A constante G é chamada de constante de gravitação universal de Newton. O seu valor foi
determinado experimentalmente em 1798 por Henry Cavendish (1731-1810). Nas unidades do Sistema
Internacional de unidades, o seu valor nas unidades de base é G = 6,67 x 10—11 m3.s -2.kg -1. A força
gravitacional, é a força dominante no universo em grande escala. É esta força a responsável pelo nascimento
das estrelas, pelo movimento dos planetas, cometas, das estrelas nas galáxias, pelo agrupamento de galáxias
em enxames, e etc.
Figura 2 A lei da Gravitação de Newton.
Mas a grandeza massa que aparece na lei da gravitação de Newton, no livro III, não é a mesma que
aparece em seu livro I dos Principia. Em particular nas definições I, III e respectivos comentários do livro I
irá definir e relacionar os conceitos de massa e inércia dum corpo onde irá estabelecer que a massa dum
corpo é uma medida da sua inércia, ou, vis inertiae. Nas palavras de Newton na definição III:
“A vis insita, ou força inata da matéria, é um poder de resistir, através do qual todo o corpo, estando em um
determinado estado, mantém esse estado, seja ele de repouso ou de movimento uniforme em linha recta.”
e no seu comentário:
“Essa força é sempre proporcional ao corpo ao qual ele pertence, e em nada difere da inactividade da
massa, a não ser pela nossa maneira de concebê-la. (…) um corpo não tem seu estado de repouso ou
movimento facilmente alterado. Sob esse ponto de vista, essa vis insita (inata) pode ser chamada, mais
significativamente, de inércia (vis inertiae) ou força de inactividade.”
Utilizando o termo força motriz, Newton irá definir a força que actua num intervalo de tempo muito
pequeno que seria necessária apenas para por alterar o estado de movimento do corpo. Será nesse volume,
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após essas definições, que Newton irá apresentar as suas três leis do movimento e, em particular, a segunda
lei representa a proporcionalidade entre a força e a aceleração, ou seja, a massa do corpo.
Deste modo, a massa m que aparece na 2ª lei de Newton mede a tendência que o corpo tem para
resistir a alteração do seu “movimento natural”, ou seja, rectilíneo e uniforme. Isto está de acordo com a
nossa intuição: quanto maior a massa dum corpo, mais difícil é move-lo quando está em repouso, alterar a
direcção do seu movimento ou o fazer parar. Devido a isto, o nome que damos a massa que aparece na 2ª lei
é de massa inercial, mi, e então escrevemos:
r
r
F = mi a
Entretanto, quando um corpo está em queda livre1, a sua massa que aparece na equação do peso, não aparece
com a característica de preservar o movimento natural do corpo. A própria força não actua num intervalo de
tempo pequeno como a força motriz, mas actua sempre que abandonamos qualquer corpo. Por isso a massa
que aparece na expressão do peso, como na da força gravítica é chamada de massa gravitacional mg. Para
além disto, Newton tinha conhecimento dos trabalhos de Galileu, que no seu livro Duas novas Ciências de
1638 já havia discutido que os corpos em queda livre abandonados da mesma altura relativamente ao solo,
chegam no mesmo instante e com a mesma velocidade na Terra. Este facto experimental não depende da
r
massa desses corpos. Deste modo, a aceleração a , a que fica sujeito o corpo, é a aceleração gravítica:
r r
a=g
r
onde g é aceleração gravítica. Como o corpo está em queda livre:
r
r
r
FR = P
r
Sendo FR a força resultante e P , a força peso. Pelo que foi dito, a igualdade da equação (2.9) é escrita como:
r
r
mi a = mg g
atendendo a igualdade entre as acelerações:
mi = mg
ou seja, as massas inercial e gravitacional são equivalentes. Isto na mecânica newtoniana corresponde a uma
simples coincidência. Não há uma explicação para este facto. A explicação para isto virá em 1916 com o
princípio da equivalência que a aprece na teoria da relatividade geral de Einstein, que será discutido adiante.
A força gravitacional obedece ao princípio da sobreposição: se tivermos um corpo de massa m sobre
r r
r
o qual actuam as forças gravíticas de N massas, m1, m2, …, mN fixas às distâncias r1 , r2 ,K , rN da origem do
r
referencial onde medimos a posição r de m, a força gravítica resultante que actua nesse corpo é:
N Gmm
r
r r
F = −∑ r r j3 ( r − rj )
j =1 r − r
j
Aplicando a equivalência das massas inercial e gravitacional, a aceleração resultante a que fica
sujeito o corpo de massa m:
N
m
r
r r
g = −G ∑ r rj 3 ( r − rj )
j =1 r − r
j
Outras contribuições importantes dadas por Newton em seu livro são as definições de espaço e
tempo absolutos. Estas definições estão descritas no livro I dos Principia[. Sobre o espaço:
“O espaço absoluto, em sua própria natureza, sem relação com qualquer coisa externa, permanece sempre
similar e imóvel. Espaço relativo é alguma dimensão ou medida móvel do espaço absoluto, a qual os nossos
sentidos determinam por sua posição com relação aos corpos, …”.
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Por definição, um corpo em queda livre está apenas sob à acção da força gravitacional.
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É possível estabelecer uma correlação entre o espaço absoluto de newton num sistema inercial. Se o
valor da aceleração depender do sistema de referência utilizado, os valores da força que produziram essa
aceleração irá depender do sistema utilizado, pois são proporcionais. O problema pode ser colocado em
termos de um sistema em que se possa medir valores absolutos de aceleração, ou seja, que não dependa do
referencial adoptado. Decorre então a necessidade de estabelecer um sistema absoluto de referência que
forneça esse valor absoluto da aceleração. Segundo Newton, esse sistema de referência seria um referencial
em repouso em relação às estrelas “fixas”. A Terra não é um referencial inercial pois está acelerada em
relação ao Sol. Mas sendo a Terra o lugar onde fazemos as nossas medidas, decorrerem erros relativos a esse
movimento do observador. Neste caso, ou se desprezam os erros quando as suas magnitudes não forem
relevantes, ou se atribuem os erros a forças fictícias, provenientes de acelerações que advém da própria
aceleração do sistema. Deste modo, podemos inferir que o espaço absoluto newtoniano é uma espécie de
“ferramenta” operacional.
Sobre o tempo:
“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e da sua própria natureza, flúi uniformemente
sem relação com qualquer coisa externa e é também chamado de duração; o tempo relativo, aparente e
comum é alguma medida de duração perceptível e externa (seja ela exacta ou não uniforme) que é obtida
através do movimento e que é normalmente usada no lugar do tempo verdadeiro, tal como uma hora, um
dia, um mês, um ano.”
O facto do tempo para Newton são se relacionar com nada externo, concede ao tempo um carácter de
imutabilidade. Os acontecimentos ocorrem no tempo e este em nada contribui para que ocorram os
acontecimentos. Também aqui podemos inferir que para Newton o tempo é uma ferramenta operacional, um
parâmetro que utilizamos para descrever os acontecimentos.
Após a obra de Newton, os séculos XVIII e XIX assistiram a uma evolução da mecânica sem
precedentes nas mãos de Maupertius, Lagrange, Euler, Laplace, D’Alembert, Poisson, Gauss, Hamilton e
Jacobi entre outros. Depois do trabalho fundamental efectuado por Newton sobre as teorias do movimento e
da gravitação, surge o universo que é conhecido como universo newtoniano. Este é o primeiro modelo de
universo governado por equações e leis quantitativas da Natureza. É um universo infinito e sem centro
definido, em clara oposição aos anteriores modelos geocêntricos e heliocêntricos. Para além disso, o universo
newtoniano era povoado por uma população de estrelas distribuídas uniformemente no espaço
tridimensional. Para Newton, resolver o problema da cosmologia do universo não era mais do que resolver
um problema gravitacional envolvendo os movimentos de muitos corpos como o Sol.
Entretanto, ao estudar o problema, deparou-se com algo estranho. Nem um universo infinito com um
número infinito de estrelas, distribuído uniformemente através do espaço, nem um espaço infinito contendo
um número finito de estrelas interagindo gravitacionalmente daria o universo que observamos. Se o universo
era povoado por estrelas distribuídas uniformemente em número infinito, o campo gravitacional num ponto
aumentaria com o raio duma esfera imaginária que conteria as estelas em seu interior.
Isto é simples de se constatar. Seja uma esfera de raio arbitrário R. O campo gravítico num ponto
dessa esfera só depende da massa interior a essa esfera, que aumenta com o cubo do seu raio, pois a
densidade estrelas seria uniforme:
M=
4
πρR 3
3
o módulo do campo gravítico na superfície dessa esfera varia com o inverso do quadrado da distância:
g =G
M
R2
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atendendo as estas duas últimas equações:
g=
4
πGρR
3
Como podemos escolher o valor de R que quisermos, este universo tenderia a colapsar, a não ser que
as estrelas tivessem movimentos curvilíneos em torno duma massa pontual.
Mais problemas iriam aparecer no universo newtoniano. Um facto trivialmente simples de
observarmos é que o céu nocturno é escuro. Em 1610, Kepler havia usado este facto para defender que o
universo é finito, como que encerrado em paredes escuras. Em 1720, Halley e, em 1744, Jean Phillipe
Cheseaux propuseram duma forma simplificada o que seria conhecido mais tarde por paradoxo de Olbers.
Heinrich Wilhelm Mathaus Olbers (1758-1840) em 1826 estudou um facto interessante. Seja um espaço
infinito, euclidiano, estático e povoado por estrelas de mesma luminosidade (podemos também pensar em
galáxias!). A luminosidade em Astronomia corresponde à grandeza física potência. Se as estrelas tiverem
luminosidade L, e uma densidade numérica média n de estrelas por unidade de volume, o número de estrelas
entre r e r + dr é:
n × 4πr 2 dr
Figura 3 Densidade numérica de estrelas numa casca esférica de espessura dr.
Quando recebemos radiação na Terra, ela advém de um copo extenso. Definimos ângulo sólido Ω
como a abertura angular necessária para observar uma superfície distante a partir de um ponto do espaço. O
ângulo sólido determina-se geometricamente da seguinte forma: a partir do ponto de observação, ligam-se
rectas às extremidades da superfície observada; em seguida, desenha-se uma esfera de raio R que contenha
essa superfície. Se S é a área da calote esférica resultante, então o ângulo sólido é dado por:
Ω=
S
R2
A unidade de ângulo sólido é o esterradiano (sr). Com isto em mente, a luminosidade dentro dum ângulo
sólido Ω da densidade numérica de estrelas por unidade de volume em questão no intervalo citado é:
n × 4πr 2 dr
Ω
= Ωnr 2 dr
4π
O fluxo de energia, intensidade por unidade de área, que incide na Terra devido a essas estrelas é:
L
ΩnL
Ωnr 2 dr ) =
dr
2 (
4πr
4π
deste modo, o fluxo total, dentro do ângulo sólido ω será infinito.
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Portanto, a noite não seria escura mas extremamente luminosa! Olbers tentou resolver este paradoxo
admitindo que um meio interestelar gasoso, e ténue o suficiente para não ser visto, absorveria um parte da
luz dessas estrelas. Entretanto, com o passar do tempo, esse meio atingiria uma temperatura de equilíbrio e
emitiria a radiação que absorveu. Voltamos ao mesmo problema. Este paradoxo teve de esperar pouco mais
de um século para ser resolvido com a Teoria do Big Bang.
Para além do que foi exposto, com o aperfeiçoar dos telescópios e das técnicas de observação tornouse impossível sustentar o modelo de universo newtoniano contra as evidências observacionais que indicavam
claramente uma distribuição não uniforme das estrelas. Em virtude disso, ressurge a ideia da existência de
um centro para o universo, e a discussão sobre o assunto irá se arrastar até ao século XX.
Conforme evoluíram as medidas dentro do sistema solar, a teoria de gravitação newtoniana
apresentou triunfos como a descoberta de Neptuno. Entretanto, medidas do avanço do periélio de Mercúrio
mostravam uma pequena discrepância quanto ao valor previsto pela teoria de gravitação de Newton e o
medido. As leis de Kepler, rigorosamente, só são válidas para um planeta e um sol, ou, de forma geral, para
dois corpos que giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema.
Deste modo, a órbita elíptica prevista pela primeira lei de Kepler só é válida se desprezarmos os
efeitos gravitacionais dos outros corpos. Com esta aproximação, o afélio e o periélio dos planetas são pontos
fixos no espaço. Examinemos o caso de Mercúrio. A sua órbita só será elíptica se desprezarmos o efeito
gravitacional dos outros planetas. Como isto não é verdade, a sua órbita não é fechada, e o seu periélio sofre
um avanço, um deslocamento no espaço. O valor previsto da rotação do seu eixo maior é de cerca de ∆φ =
1,5o por século. Este efeito é chamado de precessão, sendo que ocorre nas órbitas de todos os planetas, mas
no caso de Mercúrio, devido à sua proximidade do Sol, o efeito é maior.
Figura 4 A órbita de Mercúrio seria uma elipse e o seu periélio fixo no espaço, se não houvessem os outros corpos
do sistema solar.
∆φ
Figura 5 A órbita de Mercúrio não é fechada e o seu periélio desloca-se no espaço. A figura está
propositadamente exagerada.
A diferença entre o valor calculado com a teoria newtoniana e o observado é de cerca de 43” por
século. Esta pequena discrepância só foi explicada pela Teoria da Relatividade Geral (TRG) de Albert
Einstein (1879-1955) em 1915. Esta teoria, além de explicar esta pequena diferença no avanço do periélio de
Mercúrio, previa uma série de novos efeitos gravitacionais. Por exemplo, o desvio dos raios luminosos
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quando passam próximos a um corpo massivo como uma estrela. Este efeito foi verificado durante um
eclipse total do Sol por duas expedições científicas: uma na ilha do Príncipe (do arquipélago de São Tomé e
Príncipe, na época colónia portuguesa) e outra na cidade de Sobral, no estado do Ceará, no Brasil, em 29 de
Maio de 1919.
Tentando repor uma verdade histórica, em 1896 Simon Newcomb (1835-1909) detectou seis
anomalias nos movimentos planetários. Todos eles, não são explicados pela teoria newtoniana de gravitação.
Eram elas: as precessões dos quatro planetas interiores, as oscilações do movimento da Lua e, a aceleração
secular dos satélites de Marte. Além do avanço secular do periélio de Mercúrio, o avanço secular do periélio
de Marte são explicados pela TRG. Os outros não são explicados pela TRG. Einstein tentou explicar o
movimento de oscilação da Lua mas não obteve sucesso. A teoria da relatividade geral não fechou um ciclo
no que diz respeito, pelo menos, aos movimentos no sistema solar.
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