Exercícios de exames e provas oficiais ( )6

matA12
complexos
Exercícios de exames e provas oficiais
1.
Na figura, está representado, no plano complexo, um
quadrado cujo centro coincide com a origem e em que
cada lado é paralelo a um eixo.
Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas
dos complexos z1 , z2 , z3 e z4 .
Qual das afirmações seguintes é falsa?
(A)
z3  z1  z4  z2
(B) z1  z4  2Re  z1 
(C)
z4
 z1
i
(D)  z1  z2
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
2.
Em
, conjunto dos números complexos, seja z1  1  i  e z2 
6
8i
.
 6 
cis  

 5 
Sabe-se que as imagens geométricas dos complexos z1 e z2 são vértices consecutivos de um
polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial.
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n.
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3.
Na figura, está representado, no plano complexo,
um triângulo equilátero [OAB].
Sabe-se que:
 o ponto O é a origem do referencial;
 o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa
igual a 1;
 o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a
imagem geométrica de um complexo z.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
11
6
5
(C) z  3cis
3
(A) z  3cis
11
6
5
(D) z  cis
3
(B) z  cis
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4.
Em
, conjunto dos números complexos, seja z1 
1  i
2cis

.
12
Determine os números complexos z que são solução da equação z 4  z1 , sem utilizar a
calculadora.
Apresente esses números na forma trigonométrica.
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5.
Considere em
, conjunto dos números complexos, a condição

3
z  4  4i  3   arg  z  
2
4
No plano complexo, esta condição define uma linha.
Qual é o comprimento dessa linha?
(A) 
(B) 2
(D) 4
(C) 3
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6.
Em
, conjunto dos números complexos, considere z 
2  2i19
.
2cis
Determine os valores de  pertencentes ao intervalo 0,2  , para os quais z é um número
imaginário puro.
Na resolução deste item, não utilize a calculadora.
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7.
Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco
números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 i w ?
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
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8.
Seja
o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.
8.1.
Considere z1 
1  i 1
 
 i e z2  cis    .
2i
 4
Averigue se a imagem geométrica do complexo
quadrantes ímpares.
8.2.
 z1 
4
 z2 pertence à bissetriz dos
 
Considere o número complexo w  sin  2   2i cos2  , com    0,  .
 2
Escreva w na forma trigonométrica.
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9.
Na figura, estão representadas, no plano complexo,
duas semirretas OA e OB e uma circunferência de
centro C e raio BC .
Sabe-se que:
 O é a origem do referencial;
 o ponto A é a imagem geométrica do complexo
2 3
 2i ;
3
 o ponto B é a imagem geométrica do complexo
2 3

 2i ;
3
 o ponto C é a imagem geométrica do complexo 2i .
Considere como arg  z  a determinação que pertence ao intervalo   ,   .
Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira?
(A)
(B)
(C)
(D)
2 3 
3
  arg  z  
3
4
4
2 3 
2
z  2i 
  arg  z  
3
3
3
2 3 
2
z  2i 
  arg  z  
3
3
3
2 3 
3
z  2i 
  arg  z  
3
4
4
z  2i 
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10. Seja
o conjunto dos números complexos.
 z  i .
 
10.1. Considere z  2cis   e w 
1  zi
6
4
No plano complexo, seja O a origem do referencial.
Seja A a imagem geométrica do número complexo z e seja B a imagem geométrica do
número complexo w.
Determine a área do triângulo [AOB], sem utilizar a calculadora.
10.2. Seja   0,  .
Resolva, em
, a equação z 2  2cos  z  1  0 .
Apresente as soluções, em função de  , na forma trigonométrica.
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11. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF]
Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número
complexo z.


O vértice C tem coordenadas 2 2, 2 2 .
Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E?
 13 
(A) 2 2cis 

 12 
 13 
(B) 4cis 

 12 
 17 
(C) 2 2cis 

 12 
 17 
(D) 4cis 

 12 
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12. Seja
12.1.
o conjunto dos números complexos.
 1  3i 
Considere z 
1 i
1
3
e z2  cis , com  0,  .
Determine os valores de  , de modo que z1   z2  seja um número imaginário puro, sem
utilizar a calculadora.
2
12.2. Seja z um número complexo tal que 1  z  1  z  10 .
2
2
Mostre que z  2
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13. Em
, conjunto dos números complexos, considere w  1  i 
2013
.
A qual dos conjuntos seguintes pertence w?
(A)
z 
: z  z  1
(B)
z 
:z  2

(C)
z 
:z  z

(D)
z 
: Re  z   Im  z 
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14. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos
números complexos: z, z1, z2, z3, e z4.
Sabe-se que w é um número complexo tal que z  i  w .
Qual é o número complexo que pode ser igual a w?
(A) z4
(B) z3
(C) z2
(D) z1
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15. Seja
o conjunto dos números complexos, considere
z1 
1  3i
 
e z2  2cis  
 5 
 12 
1  2i cis 

 6 
15.1. Seja z  cis , com  pertencente a 0,2  .
Determine  de modo que
z
seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora.
z1
15.2. As imagens geométricas de z2 e do seu conjugado, z2 , são vértices consecutivos de um
polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de
índice n de um certo número complexo w.
Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.
Comece por calcular n.
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16. Considere, em
, conjunto dos números complexos, z  2  bi , com b  0 .
 
Seja    0,  .
 2
Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z?
(A)
3
cis  
2
(B) 3cis   
(C) 3cis  
(D)
3
cis   
2
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17. Considere, em
, conjunto dos números complexos, a condição
3

2
 z  3  i  3   arg  z  3  i  
2
3
3
Considere como arg  z  a determinação que pertence ao intervalo   ,   .
Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos
definido pela condição dada?
(A)
(B)
(C)
(D)
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18. Seja
o conjunto dos números complexos.
18.1. Considere z1 
1  3i 22
2
 i e z2 
2
iz1
Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que  z2  é um número
real negativo.
n
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18.2. Seja   ,  .


cos      i cos    
2
  cis   2 .
Mostre que


cos   i sin 
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19. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro
números complexos: w1, w2, w3, e w4.
Qual é o número complexo que, com n
(A) w1
, pode ser igual a i 8 n  i 8 n 1  i 8 n  2 ?
(B) w2
(C) w3
(D) w4
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20. Em
, conjunto dos números complexos, considere z  8  6i e w 
i  z 2
.
z
Seja  um argumento do número complexo z.
Qual das opções seguintes é verdadeira?


(A) w  10cis  3 


(C) w  10cis   


2


2


(B) w  2cis  3 


(D) w  2cis   


2


2
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21. Seja
o conjunto dos números complexos, considere z1  2  2cis
21.1. Sabe-se que
3
e z2  1  i .
4
z1
é uma raiz quadrada de um certo número complexo w.
z2
Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.
21.2. Seja z3  cis
Determine o valor de  pertencente ao intervalo 2 ,   , sabendo que z3  z2 é um
número real.
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22. Sejam k e p dois números reais tais que os números complexos z  1  i e w   k  1  2 p i11
sejam inversos um do outro.
Qual é o valor de k  p ?
(A) 
1
4
(B)
1
2
(C)
5
4
(D)
7
4
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23. Na figura, estão representadas, no plano
complexo, uma circunferência, de centro
na origem e de raio 1, e uma reta r, definida
1
por Re  z   .
2
Seja z1 o número complexo cuja imagem
geométrica está no 1º quadrante e é o ponto
de intersecção da com a reta r.
Qual das opções seguintes apresenta uma
equação de que z1 é solução?
(A)
z 1  z  i
(B) Im  z  
3
2
(C)
z
1
1
2
(D) 1  z  2
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24. Seja
o conjunto dos números complexos.
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
24.1. Considere o número complexo z  8 3  8i .
Determine as raízes de índice 4 de z.
Apresente as raízes na forma trigonométrica.
24.2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem
2
geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio
.
2
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25. Seja k um número real, e sejam z1  2  i e z2  3  ki dois números complexos.
Qual é o valor de k para o qual z1  z2 é um imaginário puro?
(A)
3
2
(B) 
3
2
(C) 1
(D) 6
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26. Na figura, está representado, no plano
complexo,
um
polígono
regular
[ABCDEFGHI].
Os vértices desse polígono são as imagens
geométricas das raízes de índice n de um
número complexo z.
O vértice A tem coordenadas  0, 3 .
Qual dos números complexos seguintes
tem por imagem geométrica o vértice F?
(A) 3cis
7
18
(B) 3cis
11
18
(C) 3cis
2
3
(D) 3cis
5
9
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27. Seja
o conjunto dos números complexos.
27.1. Seja n um número natural.
Determine
 
3  i 4 n 6  2cis   
 6  , sem recorrer à calculadora.
 
2cis  
5
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
  
27.2. Seja    ,  .
4 2


Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que z1  cis e z2  cis     .
2

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de z1  z2 , no plano complexo, pertence
ao 2º quadrante.
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28. Na figura, estão representadas, no
plano complexo, as imagens
geométricas de cinco números
complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que
w
pode ser igual a
?
3i
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
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29. Na figura, estão representadas, a sombreado, no
plano complexo, parte de uma coroa circular.
Sabe-se que:
 O é a origem do referencial;
 o ponto Q é a imagem geométrica do
complexo 1  i ;
 a reta PQ é paralela ao eixo real;
 as circunferências têm centro na origem;
 os raios das circunferências são iguais a 3
e a 6.
Considere como arg  z  a determinação que pertence ao intervalo   ,   .
Qual das condições seguintes pode definir, em
a sombreado, incluindo a fronteira?
(A) 3  z  6    arg  z  1  i  
3
4
(B) 9  z  36    arg  z  1  i  
(C) 3  z  6    arg  z  1  i  
, conjunto dos números complexos, a região
3
4
3
4
(D) 9  z  36    arg  z  1  i  
3
4
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30. Seja
o conjunto dos números complexos, considere z1   2  i  e z2 
3
1  28i
.
2i
30.1. Resolva a equação z 3  z1  z2 , sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.
30.2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se w e
ou z  1 .
1
são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z  1
w
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31. Sejam k e p dois números reais e sejam z1   3k  2  pi e z2   3 p  4   2  5k  i dois
números complexos.
Quais são os valores de k e de p para os quais z1 é igual ao conjugado de z2 ?
(A) k  1 e p  3
(B) k  1 e p  3
(C) k  0 e p  2
(D) k  1 e p  3
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32. Considere, em
, um número complexo w.
No plano complexo, a imagem geométrica
de w é o vértice A do octógono
[ABCDEFGH], representado na figura.
Os vértices desse polígono são imagens
geométricas das raízes de índice 8 de um
certo número complexo.
Qual dos números complexos seguintes tem
como imagem geométrica o vértice C do
octógono [ABCDEFGH]?
(A) w
(C) i  w
(B) w  1
(D) i 3  w
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33. Seja
o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
33.1. Considere z1  2  3 i  i 4n2014 , n  .
Sabe-se que z1 é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z. Determine z.
Apresente o resultado na forma algébrica.
 
33.2. Considere z2  cis   .
4
No
plano
complexo,

a
região
definida
pela
condição
 arg  z   2  z  z  z2 está representada geometricamente numa das
2
opções I, II, III e IV, apresentadas na página seguinte.
z  z2  1 
(Considere como arg  z  a determinação que pertence ao intervalo 0,2  )
Sabe-se que em cada uma das opções:
 O é a origem do referencial;
 C é a imagem geométrica de z2 ;
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 OC é o raio da circunferência.
Apenas uma das opções está correta.
I
II
III
IV
Elabore uma composição na qual:
 indique a opção correta;
 apresente as razões que lhe levam a rejeitar as restante opções.
Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada.
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34. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.
Sabe-se que:
 o ponto A é a imagem geométrica da número complexo  3  i ;
 o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro
na origem do referencial e raio igual a OA
Qual das condições seguintes define, em
, a região sombreada, incluindo a fronteira?
(Considere como arg  z  a determinação que pertence ao intervalo 0,2  ).
(A)
z  2
2
 arg  z   
3
(B)
z  2
5
 arg  z   
6
(C)
z  4
2
 arg  z   
3
(D)
z  4
5
 arg  z   
6
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35. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números
complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6.
Qual é o número complexo que pode ser igual a  z2  z4   i ?
(A) z1
(B) z3
(C) z5
(D) z6
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36. Seja
o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
36.1. Considere z1  1  2i e w 
z1  i 4 n 3  b
, com b
5
2cis
4
e n .
Determine o valor de b para o qual w é um número real.
36.2. Seja z um número complexo tal que z  1
Mostre que 1  z  1  z  4 .
2
2
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37. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro
números complexos: z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a i 4 n  i 4 n 1  i 4 n  2 ?
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
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38. Na figura seguinte, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.
Sabe-se que:
 o ponto A está situado no 1º quadrante;
 o ponto B está situado no 4º quadrante;
 [AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas
das raízes de índice 5 do complexo 32cis

2
;
 o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual
a OA .
Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB?
(A)

5
(B)
4
5
(C)
2
5
(D)
8
5
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
39. Seja
, o conjunto dos números complexos, considere:
 n 
z1  1 , z2  5i e z3  cis 
 , n
 40 
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
39.1. O complexo z1 é raiz do polinómio z 3  z 2  16 z  16 .
Determine, em
, as restantes raízes do polinómio.
Apresente as raízes na forma trigonométrica.
39.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de z2  z3 , no plano
complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
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40. A figura representa um pentágono [ABCDE] no
plano complexo.
Os vértices do pentágono são as imagens
geométricas das raízes de índice n de um
número complexo w.
O vértice A tem coordenadas 1,0
Qual dos números complexos seguintes tem por
imagem geométrica o vértice D do pentágono?
 6 
(A) 5cis 

 5 
 6 
(B) cis 

 5 
 
(C) cis   
 5
 
(D) cis  
5
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
41. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura abaixo.
A qual das retas seguintes pertence a imagem geométrica de w6 ?
(A) Eixo real
(B) Eixo imaginário
(C) Bissetriz dos quadrantes ímpares
(D) Bissetriz dos quadrantes pares
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
42. Seja
 
, o conjunto dos números complexos, considere z1  2cis   e z2  3 .
4
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
z14  4i
.
i
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
42.1. Determine o número complexo w 
42.2. Escreva uma condição, em , que defina, no plano complexo, a circunferência que tem
centro na imagem geométrica de z2 e que passa na imagem geométrica de z1 .
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complexos
43. Em


, conjunto dos números complexos, considere z  3cis     , com  
8


.
Para qual dos valores seguintes de  podemos afirmar que z é um número imaginário puro?
(A) 

2
(B)

2
(C)

8
(D)
5
8
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
44. Na figura abaixo, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano
definido pela condição Re  z   3 .
Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada
a sombreado?
(A)
 
3cis  
6
 
(B) 3 3cis  
6
(C)
 
3cis  
2
 
(D) 3 3cis  
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
45. Em
 
, conjunto dos números complexos, considere z1  cis   e z2  2  i .
7
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
45.1. Determine o número complexo w 
3  i   z1 
7
z2
.
(i designa a unidade imaginária, e z2 designa o conjugado de z2 ).
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
2
 
 
45.2. Mostre que z1  z2  6  4cos    2sin  
7
 
7
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complexos
46. Seja k um número real, e z1   k  i  3  2i  um número complexo.
Qual é o valor de k, para que z1 seja um número imaginário puro?
(A) 
3
2
(B) 
2
3
(C)
2
3
(D)
3
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
47. Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas
 2, 1 .
Qual das condições seguintes define em
sombreada, incluindo a fronteira?
, conjunto dos números complexos, a região
(A)
z  1  z   2  i   Re  z   2  Im  z   1
(B)
z  1  z   2  i   Re  z   2  Im  z   1
(C)
z  1  z   2  i   Re  z   2  Im  z   1
(D)
z  1  z   2  i   Im  z   2  Re  z   1
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
7
   
3
 cis  7     2  i 
 
48. No conjunto dos números complexos, seja z  
.
 3 
4cis  
 2 
Determine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.
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complexos
49. Considere, em , um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é
um ponto A, situado no 1º quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, as imagens
geométricas w (conjugado de w) e de ( w ).
Sabe-se que BC  8 e que w  5 .
Determine a área do triângulo [ABC].
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
50. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é
Qual dos valores seguintes é um argumento de
(A)

6
(B)
2

3

.
3
2i
, sendo z o conjugado de z?
z
(C)
5

6
(D)
7

6
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
51. Seja b um número real positivo, e z1  bi um número complexo.
Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números
complexo z1 ,  z1  e  z1  ?
2
3
(A)
(B)
(C)
(D)
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complexos
52. Em
, conjunto dos números complexo, considere z1 
i
5 
 i18 e z2  cis    .
1 i
6 
52.1. Determine z1 na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.
52.2. Determine o menor valor de n
, tal que  i z2   1 .
n
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
53. Seja z um número complexo de argumento

.
6
Qual dos seguintes valores é um argumento de   z  ?
(A) 

(B)
6
5

6
(C) 
(D)
7

6
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
54. Considere a figura abaixo, representada no plano complexo.
Qual é a condição, em
(A) Re  z   3  

(C) Im  z   3  

4
4
, que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?
 arg  z   0
(B) Re  z   3  0  arg  z  
 arg  z   0
(D) Re  z   3  

4

4
 arg  z   0
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complexos
55. Em
, conjunto dos números complexos, considere z1  1  i (i designa a unidade
imaginária).
55.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor
2 z1  i18  3
.
1  2i
Apresente o resultado na forma algébrica.
55.2. Considere z1 uma das raízes quartas de um certo número complexo z.
Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertence ao 3º
quadrante.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
56. Seja z  3i um número complexo.
Qual dos seguintes valores é um argumento de z?
(B)
(A) 0
1

2
(C) 
(D)
3

2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
57. Considere, em
, a condição z  z  2 .
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjugado de
pontos definidos por esta condição?
(A)
(B)
(C)
(D)
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complexos
58. Em , conjunto dos números complexos, considere z1  1  3 i e z2  8cis0 (i designa a
unidade imaginária).
58.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que   z1  é uma raiz cúbica de z2 .
58.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z1 e de z3  z1. i 46 ,
respetivamente.
Determine o comprimento do segmento [AB].
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
59. Em
, conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.
Seja n um número natural tal que i n  i .
Indique qual dos seguintes é o valor de i n 1 .
(A) 1
(D)  i
(C) 1
(B) i
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
60. Em
, conjunto dos números complexos, sejam:
z1  3  yi
z2  4i z1
e
(i é a unidade imaginária e y designa um número real).
60.1. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, Arg  z  designa o argumento
de z que pertence ao intervalo 0,2  .
Admitindo que Arg  z1    e que 0   

2
, determine o valor de Arg   z2  em função
de  .
60.2. Sabendo que Im  z1   Im  z2  , determine z2 .
Apresente o resultado na forma algébrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
61. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?
(A) 1 e i
(B) 1 e i
(C) 1  i e 1  i
(D) 1  i e 1  i
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complexos
62. Em

  
, conjunto dos números complexos, considere z  cis ,     0,   .
 2 

62.1. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC].
A e B são as imagens geométricas de z e z , respetivamente.
C é a imagem geométrica de um número complexo w.
Justifique que w  2cos .
z3
 
62.2. Determine o valor de    0,  para o qual
é um número real.
i
 2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
63. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro
no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.
A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências.
Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A)
z 1  1  z  2  2
(B)
z 1  2  z  2  1
(C)
z 1  1  z  2  2
(D)
z 1  2  z  2  1
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complexos
64. Em
o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

1  

64.1. Considere z1   2  i   2  cis  e z2  cis    .
2
5  7

z1
na forma trigonométrica.
z2
64.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no primeiro quadrante.
Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo
Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.
Seja O a origem do referencial.
Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6.
Represente o triângulo [AOB] e determine z na forma algébrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
65. Os pontoa A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo,
das raízes quadradas de um certo número complexo z.
Qual dos números complexos seguintes pode ser z?
(A) 1
(D)  i
(C) 1
(B) i
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
66. Em
o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
 
4  2i  cis 
6

66.1. Sem recorrer à calculadora, determine
apresentando o resultado final na
3i
forma trigonométrica.
6
66.2. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg  z  designa o argumento
de z que pertence ao intervalo 0,2  .
Represente a região do plano complexo pela condição, em
,
1
3
5
 z 1 
 arg  z  
2
4
4
e determine a sua área.
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complexos
67. Em qual das opções seguintes estão duas raízes de um mesmo números complexo?
(A) cis
(C) cis

6

4
e cis
5
6
(B) cis
e cis
3
4
(D) cis

3

2
e cis
2
3
e cis
3
2
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
68. Em
o conjunto dos números complexos, considere
w1  1  i , w2  2cis
 
e w3  3cis   
12
 2

68.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de
w1  w2  2
.
w3
Apresente o resultado na forma algébrica.
68.2. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição
Re  z   Re  w1   z  w3  3
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
69. Em
o conjunto dos números complexos, considere z1  2cis

4
e z2  2i .
Sejam P1 e P2 as imagens geométricas, no plano complexo, de z1 e de z2 , respetivamente.
Sabe-se que o segmento de reta  PP
1 2  é um dos lados do polígono cujos vértices são as
imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.
Qual é o valor de n?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
70. Em
o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
2i
i .
1 i
Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica.
70.1. Considere w 


70.2. Considere z1  cis   e z2  cis     .
2

Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de z1  z2 pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
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complexos
71. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano
complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w.
Qual poderá ser esse quadrilátero?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
72. Em
o conjunto dos números complexos, considere
w  4  3i
(i designa a unidade imaginária)
72.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, 2i 
w2
.
i
72.2. Seja  um argumento do número complexo w.
Exprima, na forma trigonométrica, em função de  , o produto de i pelo conjugado de w.
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complexos
73. Na figura abaixo está representado, no plano complexo, um triângulo retângulo isósceles.
Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais.
Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial.
Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) Re  z   0  Im  z   0  z  1
(B) Re  z   0  Im  z   0  z  1
(C) Re  z   1  Im  z   0  z  i  z  1
(D) Re  z   1  Im  z   0  z  i  z  1
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
74. Em
, considere os números complexos: z1  6  3i e z2  1  2i .
Sem recorrer à calculadora, determine
z1  i 23
, apresentando o resultado final na forma
z2
trigonométrica.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
75. Seja z um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixos
não incluídos).
Justifique que a imagem geométrica de z 3 , não pode pertencer ao quarto quadrante.
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matA12
complexos
76. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco
números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que pode ser igual a 1  w ?
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
77.

é o conjunto dos números complexos;
 i designa a unidade imaginária.
77.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do
número complexo 1  3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas.
77.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no segundo quadrante e pertencente à reta definida pela condição Re  z   2 .
Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.
Seja O a origem do referencial.
Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições
enunciadas.
Sabendo que área do triângulo [AOB] é 8, determine, z, na forma algébrica.
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matA12
complexos
78. Considere, em
, a condição:
z  3  0  arg z 

 Re z  1
4
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de
pontos definidos por esta condição?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
79.
é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.



  2cis 
9

apresentando o resultado
3
cis
2
3  2i
79.1. Sem recorrer à calculadora, determine

2
3
na forma algébrica.
79.2. Seja  um número real.
Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que:

z1  cis ;

z2  cis     .
Mostre que z1 e z2 não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.
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matA12
complexos
80. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz
dos quadrantes ímpares.
A imagem geométrica de w4 pertence a uma das retas a seguir indicadas.
A qual delas?
(A) Eixo real.
(B) Eixo imaginário.
(C) Bissetriz dos quadrantes pares.
(D) Bissetriz dos quadrantes ímpares.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
81. Em
, conjunto dos números complexos, considere
z1  2  2i , z2  2cis
5
e z3  1  i
4
81.1. Sem recorrer à calculadora, determine
z1
apresentando o resultado na forma algébrica.
z2
81.2. Escreva uma condição em
que defina, no plano complexo, a circunferência que tem
centro na imagem geométrica de z1 e que passa na imagem geométrica de z3 .
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
82. Na figura está representado um retângulo, de
comprimentos 4 e largura 2, centrado na origem do
plano complexo.
Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem
geométrica está situada no interior do retângulo.
Qual dos seguintes números complexos tem também,
necessariamente, a sua imagem geométrica no
interior do retângulo?
(A) z 1
(B) z
(C) z 2
(D) 2z
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002
83. Em
, conjunto dos números complexos, considere
z1  1  i (i designa a unidade imaginária).
83.1. Determine os números reais b e c para os quais z1 é raiz do polinómio x 2  bx  c .
83.2. Seja z2  cis .
Calcule o valor de  , pertencente ao intervalo 0,2  , para o qual z1  z2 é um número
real negativo ( z2 designa o conjugado de z2 ).
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84. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do
conjunto  z  : z  1  z  i  2  Im  z   4 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
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85. De dois números complexos z1 e z2 sabe-se que:
 um argumento de z1 é

;
3
 o módulo de z2 é 4.
85.1. Seja w 
1  i
.
i
Justifique que w diferente de z1 e de z2 .
85.2. z1 e z2 são duas das raízes quartas de um certo número complexo z.
Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de z2 pertence ao segundo
quadrante, determine z2 na forma algébrica.
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86. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?
(A) z  z  0
(B) Im  z   1
(C)
z 0
(D) z  z  0
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
87. Em
 3 
, conjunto dos números complexos: z1  1  i e z2  2cis  
 4 
87.1. Verifique que z1 e z2 são raízes quartas de um mesmo número complexo.
Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.
87.2. Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:
 A é a imagem geométrica de z1 ;
 B é a imagem geométrica de z2 ;
 O é a origem do referencial.
Determine o perímetro do triângulo [AOB].
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88. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens
geométricas das raízes quadradas de 3  4i ?
(A)
(B)
(C)
(D)
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89. Em
, conjunto dos números complexos, considere
w  2  i (i designa a unidade imaginária).
89.1. Determine  w  2  1  3i  na forma algébrica.
11
2
89.2. Averigue se o inverso de w é, ou não,
2cis
3
.
4
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
90. Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regulas inscrito numa
circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo
imaginário.
Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das
raízes de índice n de um número complexo z.
Qual é o valor de z?
(A) 1  i
(B) 1  i
(D)  i
(C) i
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91. Em
, conjunto dos números complexos, seja
z1  4i (i designa a unidade imaginária).
91.1. No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um dos quatro vértices de um losango
de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas
imagens geométricas são os restantes vértices do losango.


91.2. Sem recorrer à calculadora, resolva a equação  2cis   z  2  z1 .
4

2
Apresente o resultado na forma algébrica.
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92. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja
imagem geométrica, no plano complexo, está no
primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos
quadrantes +impares.
Seja w o conjugado de w. Na figura estão
representadas, no plano complexo, as imagens
geométricas de quatro números complexos: z1, z2, z3 e
z4.
Qual deles pode ser igual a
(A) z1
w
?
w
(B) z2
(C) z3
(D) z4
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93. Em
, conjunto dos números complexos, seja z1  2cis
93.1. Sem recorrer à calculadora, verifique que

3
.
z13  2
é um imaginário puro.
i
93.2. No plano complexo, a imagem geométrica de z1 é um dos cinco vértices do pentágono
regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada
na origem do referencial.
Defina, por meio de uma condição em
, a região sombreada, excluindo a fronteira.
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94. Seja z  yi , com y 
\ 0 , um número complexo (i designa a unidade imaginária).
Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser a imagem
geométrica de z 4 ?
(A) O ponto A
(B) O ponto B
(C) O ponto C
(D) O ponto D
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001
95. Em
, conjunto dos números complexos, considere z1  7  24i (i designa a unidade
imaginária).
95.1. Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas
de z1 . Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.
 3 
95.2. Seja z2  cis com    ,   .
 4 
Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de z1  z2 .
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96. Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo?
(A)
z 1  4
(C) 3z  2i  0
(B) arg  z  
(D)

2
z 1  z  i
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97. Seja
o conjunto dos números complexos, e sejam z1
e z2 dois elementos de .
Sabe-se que:

;
6

z1 tem argumento

z2  z14 ;

A1 e A2 são as imagens geométricas de z1 e z2 ,
respetivamente.
97.1. Justifique que o ângulo A1OA2 é reto (O designa a origem do referencial).
97.2. Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição z  z1 .
Sabendo que o perímetro de C é 4 , represente, na forma algébrica, o número complexo
z1 .
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98. Seja z um número complexo de argumento

.
5
Qual poderá ser um argumento do simétrico de z?
(A) 

5
(B)  

5
(C)  

5
(D) 2 

5
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99. Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].
Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B
e D pertencem ao eixo real.
Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade
da origem do referencial.
99.1. Seja w  1  i e z  2cis
3
.
2
Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do
w2
complexo
têm por imagens geométricas os pontos A, B,
z
C e D.
99.2. Defina, por meio de uma condição em
, a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].
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100. Na figura está representado um hexágono
cujos vértices são as imagens geométricas,
no plano complexo, das raízes de índice 6 de
um certo número complexo.
O vértice C é a imagem geométrica do
3
número complexo 2cis
.
4
Qual dos seguintes números complexos tem
por imagem geométrica o vértice D?
(A)
2cis
7
6
(B)
2cis
13
12
(C)
6
2cis
7
6
(D)
6
2cis
13
12
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101. Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do
círculo de centro na origem do referencial e raio 1.
101.1. Define, por meio de uma condição em
(excluindo os eixos do referencial).
, a parte de A contida no segundo quadrante
101.2. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo
1 3 i
4cis

pertence ao conjunto
6
A.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
Bom trabalho!!
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complexos
Principais soluções
1. (C)
2. 10
3. (D)
26. (B)
27.
27.1.

5
4

4. cis    , cis   , cis   , cis  
3
6
6
 


 3 


5. (C)
3
7
e
4
4
7. (D)
1  13 
cis   
2  10 
27.2.
28. (A)
29. (C)
6.
8.
8.1. Pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.


8.2. w  2 cos  .cis    
2

9. (C)
10.
9
2
10.2. z  cis     z  cis
10.1. A AOB 
11. (D)
12.
12.1.

8
e
5
8
12.2.
13. (D)
14. (C)
15.
15.1. 
15.2. 64
16. (C)
17. (A)
18.
18.1. n  6
18.2.
19. (C)
20. (A)
21.
21.1. w  1
3
21.2.   
2
22. (D)
23. (B)
24.
 11 
 23 
24.1. 2cis 
 ; 2cis 

 24 
 24 
 35 
 47 
2cis 
 ; 2cis 

 24 
 24 
24.2.
25. (D)
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30.
30.1. z  2cis 0 , z  2cis
z  2cis
2
3
4
3
30.2.
31. (B)
32. (C)
33.
33.1. z  8
33.2. IV
34. (B)
35. (C)
36.
36.1. b  3
36.2.
37. (B)
38. (B)
39.
 
39.1. 1  cis  0  ; 4i  4cis    ;
 2
 
4i  4cis  
2
39.2. n  30
40. (B)
41. (A)
42.
 
42.1. w  4 2cis  
4
42.2. z  3  5
43. (D)
44. (B)
45.
45.1. w  2cis

4
45.2.
46. (C)
47. (A)
48. z  
11 1
 i
4 4
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complexos
49. A ABC  24 u.a.
50. (C)
51. (C)
52.
70.1.
2

cis
2
4
70.2.
71. (B)
52.1. z1 
52.2. n  3
53. (D)
54. (A)
2 
cis
2
4
55.
4 2
 i
5 5
5
55.2. 2cis
4
56. (B)
57. (B)
55.1.
72.
72.1. 12  11i


72.2. 5cis    
2

73. (C)
 5 
74. 2 2cis  
 4 
75.
76. (C)
77.
58.1.
58.2. AB  4
59. (A)
 4
7
; 2cis
;
12
12
13 4
19
4
2cis
; 2cis
12
12
77.2. 2  4i
78. (B)
60.
79.
3
60.1. Arg   z2     
2
60.2. z2  48  12i
61. (D)
79.1. 3i
79.2.
80. (A)
58.
62.
62.1.
62.2.  

6
63. (A)
64.
64.1. 15cis

7
64.2. z  3  i
65. (D)
66.
 
66.1. 2cis   
 4
3
66.2. A 
u.a.
16
67. (A)
68.
3
68.1. 1 
i
3
68.2.
69. (C)
70.
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77.1. 4 2cis
81.
81.1. 2i
81.2. z  z1  z1  z3
82. (B)
83.
83.1. b  2  c  2
5
83.2.  
4
84. (B)
85.
85.1.
85.2. z2  2 3  2i
86. (A)
87.
87.1. 4
87.2. P  2  2 2
88. (A)
89.
89.1. 6  8i
89.2. Não.
90. (D)
91.
91.1. 4i ; 3 ;  3
91.2. z  2  i
92. (B)
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complexos
93.
93.1.
93.2. z  2 

3
 arg  z  
11
15
94. (A)
95.
95.1. Ordenada é 3.
95.2. Terceiro quadrante.
96. (D)
97.
97.1.
97.2. z1  3  i
98. (B)
99.
99.1.
2
2
(B)
99.2. z 
100.
101.
101.1.
z  1  Re  z   0  Im  z   0
101.2.
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