Lista 4

0.1 Trabalho e Energia Mecânica
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0.1 Trabalho e Energia Mecânica
1. Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo OX sob a ação de uma força
total dada por Fx = −kx, onde k > 0. No instante inicial, ela está na posição x0 com
velocidade vx0 . Escolha xp = 0 como a posição onde a energia potencial associada a essa
força é nula.
(a) Obtenha a expressão da energia potencial associada a essa força.
(b) Utilizando o Teorema da Conservação da Energia, determine o módulo da velocidade da partícula quando ela estiver numa posição genérica x do eixo OX .
(c) Mostre, a partir do resultado obtido no item anterior, que essa partícula poderá se
movimentar somente no intervalo
−A ≤ x ≤ A ;
onde
A=
r
x20 +
2
mvx0
.
k
(0.1)
Descreva qualitativamente o movimento dessa partícula e interprete a quantidade A.
2. Considere uma partícula de massa m presa na extremidade inferior de uma mola ideal,
vertical, de constante elástica k e cuja outra extremidade está fixa no teto. A partícula está
restrita a se mover no eixo vertical OY, que aponta para cima e cuja origem foi escolhida
na posição da partícula na qual a mola está com seu comprimento natural ℓ0 (observe que
essa não corresponde à posição de equilíbrio da partícula). O movimento da partícula é tal
que ao passar pela origem o módulo de sua velocidade é v0 (veja a figura). Portanto, ela
oscila verticalmente entre duas posições no eixo OY, de coordenadas y1 e y2 (y1 > y2 ).
Suponha, por motivos óbvios, que ela nunca atinja o teto.
(a) Determine y1 e y2 .
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2
Y
k
ℓ0
m
O v
0
3. Uma pequena esfera de massa m está presa à extremidade inferior de uma mola ideal de
constante elástica k cujo extremo superior está fixo ao teto. No instante inicial, a esfera
está em repouso e a mola está na vertical com seu tamanho natural, isto é, nem distendida,
nem comprimida. Abandona-se a esfera de modo que ela passe a oscilar verticalmente
sob a ação de seu peso, da força elástica e da força de resistência do ar. Depois de muitas
oscilações, a esfera volta ao repouso.
(a) Determine de quanto a mola está distendida na posição final de equilíbrio
(b) Determine as variações das energias cinética, potencial gravitacional e potencial
elástica, desde o instante inicial até o instante em que a esfera volta ao repouso.
(c) Calcule o trabalho total realizado pela força de resistência do ar sobre a esfera desde
o instante inicial até o instante em que volta ao repouso.
4. Um projétil é lançado de duas formas diferentes que passamos a descrever. No primeiro
lançamento, o projétil é arremessado com velocidade de módulo v0 e que faz com a horizontal um ângulo θ0 , como indica a primeira figura. No segundo lançamento, o projétil
é arremessado com a mesma velocidade (mesmo módulo e mesma inclinação com a horizontal), mas sobre uma rampa inclinada de mesmo ângulo θ0 com a horizontal, como
indica a segunda figura. Despreze a resistêntica do ar em ambos os lançamentos e o atrito
com a rampa no segundo.
(a) Utilizando argumentos puramente qualitativos e usando a Conservação da Energia
Mecânica, responda em que lançamento a altura máxima atingida pelo projétil é
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v0
3
v0
θ0
θ0
maior.
(b) Seja h1 a altura máxima do projétil no primeiro lançamento e h2 no segundo. Usando,
novamente, a Conservação da Energia Mecânica e o fato de que no primeiro lançamento a componente horizontal da força resultante sobre o projétil é nula, calcule a
razão h1 /h2 .
5. Um pêndulo é formado por um fio ideal de comprimento ℓ e uma esfera de massa m e
dimensões desprezíveis presa a um dos extremos do fio. A outra extremidade está presa
a um suporte fixo, ponto O representado na figura. O pêndulo é abandonado do repouso,
com o fio esticado (mas não tenso) e na horizontal.
ℓ
θ1
m
F~
vertical
Calcule o ângulo θ1 entre o fio e a vertical no instante em que a força resultante F~ sobre
a esfera aponta na horizontal.
6. Uma partícula de massa m se move sobre uma calha horizontal lisa com velocidade constante de módulo v0 . A calha horizontal transforma-se, suavemente, a partir do ponto A,
em uma calha lisa semicircular de centro C e raio R, tal como indicado na figura. Após
percorrer toda a calha semicircular, a partícula deixa a calha no ponto B e cai de volta na
calha horizontal. As calhas estão orientadas de modo que todo o movimento da partícula
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se passa num mesmo plano vertical. Considere desprezíveis todos os atritos do problema.
B
C
R
~v0
P
2R
A
(a) Levando em conta que mesmo no ponto B, ponto mais alto da calha, a particula
ainda mantém contato com ela, o que você pode afirmar sobre o valor de v0 ?
(b) Suponha, neste item, que a partícula atinja o calha horizontal a uma distância 2R do
ponto A, ponto mais baixo e início da calha semicircular. Determine o valor de v0
para que isso ocorra.
7. Considere um pêndulo simples formado por um fio ideal de comprimento ℓ e uma pequena
esfera de massa m. Em t0 = 0 o pêndulo é abandonado do repouso de uma posição para
a qual o ângulo entre o fio e a direção vertical é π/2 (ou seja, no instante inicial o pêndulo
está na horizontal).
(a) Após oscilar muitas vezes, verifica-se que, num instante t1 (t1 > t0 ), o pêndulo
√
está na vertical e a esfera tem uma velocidade de módulo igual a gℓ. Calcule a
variação da energia mecânica da esfera entre os instantes t0 e t1 , ou seja, determine
∆E = E1 −E0 . Resolva este item utilizando como posição onde a energia potencial
gravitacional da esfera é nula a sua posição inicial.
(b) Resolva novamente o item anterior, mas utilizando como a posição em que a energia
potencial gravitacional da esfera é nula a sua posição quando o pêndulo está na
vertical. Verifique que as respostas dos itens anteriores são iguais e comente esse
resultado.
(c) Supondo que além do peso e da tensão a única força que atura sobre a esfera seja a
resitência do ar, calcule o trabalho realizado por essa última força entre t0 e t1 .
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8. Uma partícula é lançada horizontalmente com uma velocidade de módulo v0 do topo de
um hemisfério emborcado para baixo e de raio R . Sabe-se que v0 é o menor módulo
de velocidade com que a partícula pode ser lançada de modo que ela não deslize sobre o
hemisfério, mas perca imediatamente o contato com ele.
(a) Determine v0 em termos de g e R.
(b) Suponha agora que a partícula seja lançada nas mesmas condições, mas com velocidade de módulo v0 /2. A que altura do solo ela perde o contato com o hemisfério?
(c) Determine a velocidade da partícula no instante em que ela perde o contato com a
superfície do hemisfério.
9. Suponha que uma partícula esteja numa órbita circular em torno da Terra, considerada
como um referencial inercial, sob a ação unica e exclusivamente da força gravitacional
exercida pela Terra. Seja R o raio da Terra e r o raio da órbita circular da partícula, isto é,
a distância entre ela e o centro da Terra. Qual deve ser o valor de r para que o módulo da
velocidade orbital da partícula seja igual a um oitavo da velocidade de escape da Terra?
Escreva a sua resposta em termos do raio terrestre R.
10. Considere um oscilador harmônico unidimensional, isto é, uma partícula de massa m
sujeita a uma força total Fx = −βx, onde β é uma costante positiva, a constante elástica
da mola. Escolha a posição-padrão de tal modo que a energia potencial elástica seja nula
quando a partícula estiver na origem. Suponha que esse oscilador se mova com energia
mecânica E0 .
(a) Determine os pontos de retorno e identifique a amplitude do movimento. Calcule,
ainda, o valor máximo do módulo da velocidade desse oscilador.
(b) Escreva as expressões da energia potencial U e da energia cinética Ec quando a
partícula estiver numa posição genérica x.
(c) Faça, num mesmo desenho, os esboços dos gráficos da energia potencial, da energia
cinética e da energia mecânica versus x.
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(d) Calcule a razão x/A, onde A é a amplitude do movimento, para os pontos nos quais a
razão entre a energia cinética e a mecânica é dada por Ec /E0 = f , onde 0 ≤ f ≤ 1.
Interprete os casos limites em que f = 0 e f = 1.
11. Considere o movimento de uma partícula sob a ação de uma força total conservativa Fx
cuja energia potencial a ela associada é dada por
b
a
U (x) = − + 2 ,
x x
(0.2)
onde a e b são duas constantes positivas.
(a) Determine a expressão de Fx e a única posição de equilíbrio estável xe associada
aos movimentos possíveis da partícula.
(b) Esboce os gráficos de U versus x e Fx versus x. Marque, em ambos os gráficos, a
posição de equilíbrio estável no eixo OX .
(c) Descreva, qualitativamente, os movimentos da partícula nos casos em que:
(i) E = U (xe ); (ii) U (xe ) < E < 0 e (iii) E ≥ 0. Em suas descrições de tais
movimentos, deixe claro se eles são limitados ou ilimitados, se neles existem pontos
de retorno e, em caso afirmativo, quais são esses pontos.
12. Considere o movimento unidimensional de uma partícula sob a ação da força total conservativa Fx , cuja energia potencial correspondente é dada por
U (x) = a (x4 − b x2 ) ,
(0.3)
onde a e b são constantes positivas.
(a) Determine em que unidades do SI se expressam as constantes a e b.
(b) Faça um esboço do gráfico de U (x) versus x.
(c) Obtenha a expressão de Fx e faça um esboço do gráfico de Fx versus x.
(d) Determine as possíveis posições de equilíbrio da partícula e identifique, entre elas,
quais são estáveis e quais são instáveis, justificando a sua resposta.