Dissertação

PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
Rialdo Luiz Rezende
UTILIZANDO MATERIAIS MANIPULATIVOS E O GEOGEBRA PARA O
ENSINO DA TRIGONOMETRIA
Belo Horizonte
2015
Rialdo Luiz Rezende
UTILIZANDO MATERIAIS MANIPULATIVOS E O GEOGEBRA PARA O
ENSINO DA TRIGONOMETRIA
Dissertação apresentada ao programa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para a obtenção
do título de Mestre em Ensino de Matemática.
Orientadora: Drª. Eliane Scheid Gazire.
Belo Horizonte
2015
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
R467u
Rezende, Rialdo Luiz
Utilizando materiais manipulativos e o Geogebra para o ensino da
Trigonometria / Rialdo Luiz Rezende. Belo Horizonte, 2015.
173 f.: il.
Orientadora: Eliane Scheid Gazire
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Trigonometria - Estudo e ensino. 3. Ensino
- Meios auxiliares. 4. Tecnologia educacional. 5. Aprendizagem por atividades. I.
Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 514:37.02
A Deus, por me amparar em mais esta caminhada.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Deus;
À minha esposa Andreza e aos meus pais, que me apoiaram nessa caminhada,
todos entendendo a minha ausência em função de mais essa fase de minha trajetória
acadêmica;
Aos meus filhos: Iuri, Ingrid e Iasmin, pelo amor incondicional, sempre
esperando meu retorno das viagens que fiz, por conta do mestrado;
À Profa. Dra. Eliane Gazire, pela orientação;
A todos os professores do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática, que sempre me trataram com presteza, cordialidade e parceria,
consolidando uma saudável e fraterna amizade;
A todos, meu sincero:
MUITO OBRIGADO!
“O conhecimento humano é construído; a aprendizagem
significativa subjaz essa construção”.
(NOVAK, 1996).
RESUMO
Esta pesquisa possui, como objeto de investigação, o ensino da trigonometria, tendo
como justificativa principal a deficitária compreensão do tema e a presença dela
constante no cotidiano escolar. Assim, procurando averiguar quanto uma proposta
metodológica complementar de ensino, que emprega a utilização de régua, esquadros,
compasso alternados com o uso do software Geogebra, pode contribuir para o
aprendizado da trigonometria, buscou-se como metodologia o estudo bibliográfico e
documental, além de observações diretas participantes do pesquisador na aplicação de
atividades que, mais tarde, compuseram um caderno, produto desta pesquisa, voltado
tanto para alunos da Educação Básica e Ensino Técnico quanto para as classes básicas
do Ensino Superior e que mescla a utilização de materiais manipulativos (régua,
esquadros e compasso) com o uso do software Geogebra, no processo de ensino e
aprendizagem da trigonometria. No decorrer da pesquisa observou-se que a
compreensão consolidada da trigonometria, fundamentada em conceitos da geometria
plana, se mostrou como um processo lento, crescente e gradativo, assemelhando-se à
forma de uma espiral, que teve, como contribuição para seu entendimento, a inclusão de
situações próximas ao cotidiano vivenciado pelos alunos. Vale, ainda, ressaltar, que os
resultados aqui apresentados fazem parte do Projeto: “Objetos de Aprendizagem de
Matemática na Educação Profissional Técnica de Nível Médio”, cujo objetivo é criar
produtos para as aulas de Matemática do Ensino Técnico Profissional com
intermediação das TIC.
Palavras-chave: Trigonometria. Materiais manipulativos. Geogebra.
ABSTRACT
This research has as object of research, teaching trigonometry, the main cause being
deficient understanding of the subject and her presence constantly in everyday school
life. Thus, seeking to ascertain as a complementary methodological approach to
teaching, which employs the use of ruler, squares, alternating step with the use of the
Geogebra software, can contribute to the learning of trigonometry, he sought as
methodology the bibliographical study and documentary as well direct participants
researcher observations on the implementation of activities that later composed a
notebook, a product of this research, geared both to students of Basic Education and
Technical Education and for the basic classes of Higher Education, which combines the
use of manipulative materials (ruler, squares and compass) using the Geogebra software
in teaching and learning of trigonometry process. During the survey it was observed that
the consolidated understanding of trigonometry, based on concepts of plane geometry,
proved to be a slow, growing and gradual process, resembling the shape of a spiral,
which had, as a contribution to their understanding, the inclusion of close to everyday
situations experienced by the students. It is also worth noting that the results presented
here are part of the Project: "Mathematics Learning Objects in the Mid-Level
Professional Technical Education", whose goal is to create products for the mathematics
classes of Technical Education Professional with intermediation of ICT.
Keywords: Trigonometry. Manipulative materials. Geogebra.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Representação da observação feita por Eratóstenes referente ao
cálculo do perímetro terrestre ..................................................................................... 18
FIGURA 2 - Tábua de Cordas de Ptolomeu .............................................................. 20
FIGURA 3 – O Jiva ...................................................................................................... 20
FIGURA 4 – Construção gráfica com o Winplot....................................................... 33
FIGURA 5- Razão de semelhança, em Iezzi et al (2010) ........................................... 33
FIGURA 6 – Razão de semelhança, por Diniz e Smole (2010) ................................. 34
FIGURA 7 – Declividade, por Dante (2007)............................................................... 34
FIGURA 8 - Circunferências concêntricas ................................................................ 35
FIGURA 9 – Linearização do ciclo trigonométrico ................................................... 35
FIGURA 10 – Seno e cosseno no ciclo ........................................................................ 36
FIGURA 11 – Tangente no ciclo ................................................................................. 36
FIGURA 12 – Diagrama de Venn ............................................................................... 37
FIGURA 13 – Tabela de valores de senos .................................................................. 37
FIGURA 14 – Gráfico senoide..................................................................................... 37
FIGURA 15 – Variações de sinais nos quadrantes .................................................... 38
FIGURA 16 – Seno no ciclo ......................................................................................... 38
FIGURA 17 – Tabela de senos .................................................................................... 38
FIGURA 18 – Tabelas para construção de gráficos .................................................. 39
FIGURA 19 – Comportamento gráfico ...................................................................... 39
FIGURA 20 – A aprendizagem receptiva e aprendizagem por descoberta ............ 45
FIGURA 21 - Triângulo construído pelos alunos a partir do roteiro ...................... 69
FIGURA 22 - Discente construindo o triângulo da atividade 2 ............................... 70
FIGURA 23 - Alunos participantes da pesquisa no laboratório computacional .... 74
FIGURA 24 – Construção do triângulo com o software ........................................... 77
FIGURA 25 – Triângulo obtido da construção da atividade 4 ................................ 77
FIGURA 26 – Registros para preenchimento da tabela ........................................... 78
FIGURA 27 – Tabela da atividade 4, preenchida pelos alunos M e CH ................. 79
FIGURA 28 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos KA e MA ................ 83
FIGURA 29 – Registros realizados pelos alunos KA e MA ...................................... 85
FIGURA 30 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos KA e MA; ............... 88
FIGURA 31 – Registros realizados pelos alunos KA e MA ...................................... 88
FIGURA 32 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos TI e CA ................... 89
FIGURA 33 – Registros dos alunos OT e LU ............................................................ 90
FIGURA 34 – Registros dos alunos MA e KA ........................................................... 91
FIGURA 35 – Registros dos alunos LE e CA............................................................. 91
FIGURA 36 – Registros dos alunos KA e MA ........................................................... 92
FIGURA 37 – Registros dos alunos MA e MR .......................................................... 95
FIGURA 38 – Registros dos alunos LU e IN .............................................................. 98
FIGURA 39 – Registros da generalização da expressão dos arcos, com
especificação da variável e parâmetro ...................................................................... 101
FIGURA 40 – Registros da generalização da expressão dos arcos dos alunos IN e
LE ................................................................................................................................. 101
FIGURA 41 – Construção do ciclo trigonométrico dos alunos JÁ e TI ................ 105
FIGURA 42 – Construção do ciclo trigonométrico dos alunos MA e LU ............. 109
FIGURA 43 – Alunos no laboratório de informática realizando a atividade ....... 111
FIGURA 44 – Construção do ciclo trigonométrico com redução ao primeiro
quadrante .................................................................................................................... 113
FIGURA 45 – Tabela preenchida pelos alunos JA e CH ........................................ 114
FIGURA 46 – Tabela preenchida pelos alunos IN e TI .......................................... 119
FIGURA 47 – Curva Senoide e Cossenoide construída pelos alunos MA e KA ... 122
FIGURA 48 – Registro dos alunos MA e KA ........................................................... 123
FIGURA 49 – Registro dos alunos MA e OT ........................................................... 124
FIGURA 50 – Registro dos alunos MA e OT ........................................................... 127
FIGURA 51 – Registro dos alunos MA e OT ........................................................... 127
FIGURA 52 – Alunos no laboratório de computação realizando a atividade 10 . 128
FIGURA 53 – Registro sequencial de aluno da construção proposta .................... 129
FIGURA 54 – Registro dos alunos KA e MA ........................................................... 131
FIGURA 55 – Registro dos alunos IN e RA ............................................................. 132
FIGURA 56 – Registro dos alunos IN e RA ............................................................. 133
FIGURA 57 – Registro dos alunos IN e RA ............................................................. 135
FIGURA 58 – Registros dos alunos IN e RA............................................................ 137
FIGURA 59 – Registros dos alunos IN e RA............................................................ 137
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 – Obras selecionadas para análise ......................................................... 30
QUADRO 2 – Parâmetros para a análise dos livros didáticos ................................. 31
QUADRO 3 - Assuntos, objetivos e tempo previsto das atividades ......................... 52
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 13
2. ASPECTOS HISTÓRICOS DA TRIGONOMETRIA NA EVOLUÇAO DA
HUMANIDADE ............................................................................................................ 16
3. O ATUAL ENSINO DA TRIGONOMETRIA ...................................................... 25
3.1 Parâmetros, diretrizes e norteadores .................................................................... 25
3.2 Trigonometria nos livros didáticos ....................................................................... 29
3.3 Algumas pesquisas sobre o Ensino da Trigonometria ........................................ 40
4. CONSTRUINDO AS ATIVIDADES ...................................................................... 45
5. O PERCURSO DA PESQUISA .............................................................................. 50
5.1 A elaboração do produto e sua aplicação ............................................................. 51
5.1.1 Descrição das atividades ....................................................................................... 51
5.2 Teste piloto .............................................................................................................. 55
5.3 Aplicação das atividades ........................................................................................ 55
5.3.1 O Instituto Federal Brasília - Campus Taguatinga ............................................ 56
5.3.2 Os sujeitos da pesquisa ......................................................................................... 57
6. APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES .................................................. 59
6.1 Atividades tutoriais 1 e 3 ........................................................................................ 59
6.2 Aplicação e análise da atividade 2 ......................................................................... 68
6.3 Aplicação e análise da atividade 4 ......................................................................... 74
6.4 Aplicação e análise da atividade 5 ......................................................................... 81
6.5 Aplicação e análise da atividade 6 ......................................................................... 92
6.6 Aplicação e análise da atividade 7 ....................................................................... 103
6.7 Aplicação e análise da atividade 8 ....................................................................... 110
6.8 Aplicação e análise da atividade 9 ....................................................................... 119
6.9 Aplicação e análise da atividade 10 ..................................................................... 128
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 139
APÊNDICE A ............................................................................................................. 146
13
1. INTRODUÇÃO
Iniciei minha vida acadêmica cursando Engenharia Florestal, de 1991 a 1997, na
Universidade de Brasília – UnB. Porém, tomando gosto pela Educação, conclui, na
mesma IES, Licenciatura em Matemática, em 2002. Iniciei minha trajetória profissional
no magistério, no Ensino Fundamental II (atual 6º ao 9º anos), seguindo para a atuação
em instituições de ensino de rede privada na Educação Básica até 2013, ano em que fui
aprovado em concurso público, passando a laborar nas redes de ensino públicas federal
e distrital, atuando na Educação de Jovens e Adultos, Educação Técnica de nível médio
e Ensino Superior.
Nessa trajetória, percebi a dificuldade da maioria dos alunos do Ensino Médio
em compreender os conceitos da trigonometria envolvidos em: cálculo de distâncias
inacessíveis, funções circulares, números complexos, geometria analítica, eletricidade,
ondulatória, óptica e outros, sendo, então, uma das minhas preocupações recorrentes, no
ambiente de ensino, as flagrantes dificuldades detectadas na maioria dos alunos de
Ensino Médio no aprendizado da Matemática.
Por sua vez, e da mesma forma como ocorre no Ensino Médio, também no
exercício da docência no Ensino Superior, especificamente na componente Cálculo
Integral e Diferencial 1, passei a identificar o reflexo dessa lacuna, na insatisfatória
compreensão dos conceitos de derivadas ˗ taxa de variação, coeficiente angular da reta e
estudo das tangentes.
Dessa forma, tentando entender os motivos de tamanho fracasso, procurei fazer
cursos de formação continuada para professores, participar de minicursos e simpósios,
todos focados na prática docente, buscando subsídios para melhorar minha atuação e,
consequentemente, minimizar as frustrações dos discentes. Foi aí que me interessei pelo
Programa de Mestrado Profissional no Ensino de Ciências e Matemática da PUCMINAS por abordar, em seu itinerário curricular, o estudo de propostas investigativas
na Educação Matemática, metodologias de ensino e o emprego das tecnologias da
informação (TIC - computadores, celulares, smartphones, tablets e outros) como
recursos pedagógicos.
Com essa perspectiva e juntamente com a leitura das obras recomendadas pelo
programa de Mestrado Profissional Stricto Sensu, escolhi o foco de estudo em
aprendizagem da trigonometria suportada pelos fundamentos geométricos, e, assim,
culminando na elaboração dessa dissertação, que busca responder a seguinte questão:
14
Como uma proposta metodológica complementar de ensino, que emprega a
utilização de régua, esquadros, compasso, alternados com o uso do software
Geogebra, pode contribuir para o aprendizado da trigonometria?
Portanto, tem-se, como objetivo principal, desvelar as contribuições de uma
sequência didática, que mescla a utilização de materiais manipulativos (régua,
esquadros e compasso) e o uso do software Geogebra, no processo de ensino e
aprendizagem da trigonometria.
Como objetivos específicos dessa pesquisa, podem ser listados:
 Elaborar e aplicar um conjunto de atividades sobre trigonometria
procurando propiciar ao estudante a experimentação de uma metodologia que
emprega dois instrumentos distintos;
 Proporcionar um ambiente no qual o aluno possa vivenciar algumas
experiências matemáticas investigativas buscando estimular a prática de
conjecturar, abstrair, argumentar, demonstrar e generalizar.
Para tanto, esse texto foi organizado em sete capítulos, onde este primeiro,
introdutório, descreve, brevemente, a trajetória de formação acadêmica e atuação
profissional do pesquisador revelando os motivos de interesse pelo tema, considerando
a problemática, a relevância e objetivos desta pesquisa, além de um breve relato sobre
cada capítulo apresentado.
No capítulo 2, buscou-se conhecer a evolução histórica da trigonometria e relatála numa sequência cronológica.
Já no capítulo 3, procurou-se perceber o que é preconizado pelas entidades
governamentais de Educação, através da leitura de documentos oficiais relativos ao
assunto. Além disso, ainda nesse ínterim, é feita a análise de três livros didáticos como
adotados em instituições de Ensino do Distrito Federal.
As atividades aplicadas, por sua vez, foram fundamentadas em referenciais
teóricos abordados no capítulo quatro e descritas no capítulo quinto, assim como todo o
percurso da pesquisa, indicando o seu objetivo principal, a metodologia utilizada e todo
caminho trilhado.
Já no sexto capítulo, são descritas as aplicações e análises das atividades
elaboradas, evidenciando os resultados dessa pesquisa qualitativa, através de elementos
e/ou fatores ora previstos, ora não esperados, desvelados ao longo do processo. As
considerações finais são pontuadas no sétimo capítulo, no qual são apresentados os fatos
relevantes vivenciados pelo pesquisador e revelados na investigação.
15
O produto final é apresentado nos apêndices como um caderno, composto por
dez atividades, que busca complementar o processo de ensino e aprendizagem dos
alunos da Educação Básica, no segmento do Ensino Médio, e sendo aplicável em
discentes do Ensino Técnico Profissional ou Superior, revelando-se uma opção de
abordagem do tema, buscando uma mediação docente por meio da qual os sujeitos
possam ser ativos e conscientes da importância de sua mobilização na construção do
pensamento.
Vale ressaltar, ainda, que a pesquisa, cujos resultados são apresentados nesta
Dissertação, faz parte do Projeto: “Objetos de Aprendizagem de Matemática na
Educação Profissional Técnica de Nível Médio”, financiado pela FAPEMIG pelo Edital
13/2012. O objetivo desse Projeto é criar produtos para as aulas de Matemática do
Ensino Técnico Profissional
sempre com intermediação das TIC, ou seja,
disponibilizar material de apoio aos professores de Matemática com atividades que
ampliem as possibilidades de estratégias metodológicas pelo uso do computador,
internet, entre outras mídias. O desenvolvimento deste Projeto se faz pelo Convênio de
Professores da área de Matemática do Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
da PUC Minas e da instituição de Educação Profissional CEFETMG.
16
2. ASPECTOS HISTÓRICOS DA TRIGONOMETRIA NA EVOLUÇAO DA
HUMANIDADE
Nesse capítulo procura-se realizar um estudo histórico das contribuições ao tema
e seus respectivos colaboradores, sendo organizado ao longo da linha do tempo,
mostrando os avanços obtidos em cada época.
A Trigonometria não foi construída em um único momento, por um só homem e
nem por uma só nação. A composição de sua história ocorreu ao longo de milhares de
anos com a participação de grandes civilizações que buscavam fundamentá-la com
elementos da Geometria e da Álgebra. Acredita-se que a sua composição inicial esteja
associada aos estudos em Astronomia, Agrimensura e Navegações.
Conceituar e efetuar medida de ângulo foram decisivos em diversas situações,
inclusive nas razões entre os lados de um triângulo retângulo. Costa (1997) afirma sobre
a existência de tentativas de medi-los, em datas remotas, pela presença de fragmentos de
círculos, que parecem ter feito parte de astrolábios primitivos utilizados para esse fim.
De acordo com Bertoli e Schuhmacher (2013), entre 2700 e 2800 a.C., os
babilônicos, com grande interesse pela Astronomia, construíram o calendário
astrológico motivados por questões religiosas e épocas de plantio. Isso evidencia certos
domínios de geometria dos triângulos, unidades de medidas e escalas, pois esses
conhecimentos estão vinculados à noção de direção pelos pontos cardeais, às fases da
lua e às estações do ano. Esse povo fez, a partir de 747 a.C., uma tábua de eclipses,
utilizada até a atualidade. Para Eves (2004, p.202), nesse sentido, “Os astrônomos
babilônicos dos séculos IV e V a.C. acumularam uma massa considerável de dados de
observações e hoje se sabe que grande parte desse material passou para os gregos. Foi a
astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica”.
No Egito, observa-se, no Papiro de Ahmes, conhecido como Papiro de Rhind,
datado de aproximadamente 1650 a.C., a presença de 84 problemas, em que quatro
deles fazem menção ao seqt de um ângulo. Quando se estuda o Papiro de Ahmes, não
há clareza no significado da palavra seqt, mas acredita-se que essa palavra representava
a razão entre o afastamento horizontal e a elevação vertical. Por volta de 1500 a.C.,
surgia o relógio de sol chamado de Gnômon, cuja principal ideia era associar sombras
projetadas por uma vara vertical a sequências numéricas, relacionando seu comprimento
com as horas do dia. (BERTOLI; SCHUHMACHER, 2013; COSTA, 1997). “A ideia
17
básica era de que uma elevação maior do Sol produzia uma sombra menor”
(KENNEDY, 1992, p.42).
No oriente, por volta do ano de 1110 a.C., são encontradas algumas referências
à trigonometria, quando os triângulos retângulos eram utilizados para medir
profundidades, distâncias e comprimentos. Sua importância na literatura chinesa é
evidente em uma passagem que, traduzida, diz: “O conhecimento vem da sombra, e a
sombra vem do Gnômon” (BERTOLI; SCHUHMACHER, 2013, p.5).
Os motivos que levaram os babilônicos a escolherem o sistema sexagesimal de
numeração são desconhecidos, mas alguns estudos indicam que a escolha pode ter sido
influenciada pela facilidade de dividir o círculo em seis partes iguais usando o raio
como corda. Esse sistema pode ser observado na escrita de frações nas quais os
denominadores normalmente eram expressos em potências de 60. Para Kennedy (1992):
A ideia de 360 partes em um círculo poderia ter resultado de uma estimativa
ligeiramente errônea de 360 dias num ano. Todavia parece provável que o
sistema sexagesimal moderno tenha precedido a divisão de cada parte em 60
subpartes. Seja como for, independente de que o anterior tenha sido 60 ou
360, os babilônicos estudaram astronomia e usaram um sistema numérico
sexagesimal em que as frações eram escritas como denominadores de
potências de 60, empregando até certo ponto a mesma noção posicional com
que escrevemos frações decimais. (KENNEDY, 1992, p. 34).
Eratóstenes de Cirene viveu entre 276 e 196 a.C., trabalhou na biblioteca de
Alexandria em 236 a.C. e calculou a medida do perímetro da terra com maior precisão
para a época. Ele observou que ao meio-dia, de um dia de solstício de verão, os raios
solares atingiam a base de um profundo poço em Siene. No mesmo instante, em
Alexandria, ao norte de Siene (distante 5 mil estádios1), o sol lançava uma sombra
indicando um determinado ângulo entre os raios e o zênite de um círculo, como
ilustrado na figura 1.
1
Unidade de medida utilizada na época.
18
Figura 1 – Representação da observação feita por Eratóstenes referente ao cálculo
do perímetro terrestre
Fonte: BERTOLI; SCHUHMACHER, 2013, p 6.
Assim, utilizando a semelhança de triângulos e razões trigonométricas, ele
conseguiu determinar a circunferência da Terra e despertou o início de uma
sistematização nas relações entre cordas e ângulos.
Contudo, percebeu-se que durante dois séculos e meio, compreendidos entre
Hipócrates e Erastóstenes, houve pouco avanço da trigonometria. Dessa forma, para
Boyer (1996, p.118), [...] de Hipócrates a Eratóstenes os gregos estudaram as relações
entre retas e círculos e as aplicaram na Astronomia, mas disso não resultou uma
trigonometria sistemática.
Hipsicles, por volta de 180 a.C., estudando a estreita relação entre a astronomia e
os ângulos e influenciado pelos babilônicos, foi um dos primeiros astrônomos gregos a
dividir o círculo do zodíaco em 360 partes iguais, dando sequência nos trabalhos dos
Caldeus, que o dividiram em 12 secções, e cada uma delas 30 e às vezes 60 partes.
O astrônomo Hiparco de Niceia (180 a.C. – 125 a.C.), por sua vez, generalizou a
segmentação de Hipsicles e Caldeus para outros círculos em 150 a.C. Após a divisão da
circunferência em 360 partes, nomeou cada unidade do arco como grau. Seguindo a
Astronomia dos babilônicos, ele construiu a primeira tabela trigonométrica, com os
valores das cordas de ângulos de 0º a 180º, utilizando interpolação linear. Sua
trigonometria utilizava uma função em que cada arco de circunferência de raio arbitrário
correspondente ao ângulo central, associado a sua respectiva corda. Isso possibilitou
avanços na astronomia, sendo considerado, então, o “Pai da Trigonometria”.
Outro nome que merece destaque é a de Ptolomeu da Alexandria, cujas datas de
nascimento e morte não são claras. Dentre as contribuições de Cláudio Ptolomeu
(Klaudius Ptolemaios) estão os oito livros em geografia, conhecidos na época como a
“bíblia dos geógrafos”. Essa obra introduzia o sistema de latitudes e longitudes,
19
utilizado ainda hoje; também descrevia métodos de projeção cartográfica, além de
catalogar cerca de 8 mil cidades, rios e outros aspectos relevantes da Terra.
Por volta de 150 d.C., ele escreveu a maior obra trigonométrica da antiguidade:
Syntaxis Mathematica, com treze livros. Para diferenciar esse trabalho de outros menos
notórios,
comentadores
árabes
referiam-se
a
ele
como
magiste,
“maior”.
Subsequentemente antepuseram-lhe o artigo definido al, ficando conhecido como almagest (“o maior”) e, daí, como o Almagesto. Grande parte do Almagesto foi embasada
nas obras de Hiparco (180 a 125 a.C.), incluindo cordas num círculo.
A relevância desse trabalho foi reconhecida pela clareza e elegância de estilo,
sendo considerado trabalho-modelo de Astronomia até os tempos de Nicolau Copérnico
e Johann Kepler, com a teoria heliocêntrica do sistema solar. De acordo com Kennedy
(1992, p.28): “Para os matemáticos, o Almagesto tem interesse devido às identidades
trigonométricas que Ptolomeu divisou para auxiliá-lo a reunir dados para sua tabela de
cordas”. Corroborando com as ideias de Kennedy (1992), também Aaboe (1984, p.129)
cita a mesma obra afirmando que mais do que qualquer outro livro, “o Almagesto
contribuiu para a ideia tão básica nas atividades científicas de que uma descrição
quantitativa matemática dos fenômenos naturais, capaz de fornecer predições
confiáveis, é impossível e desejável”. O autor ainda cita, em seu livro algumas
características do Almagesto, sendo essas “[...] não somente seus modelos
astronômicos, mas também as ferramentas matemáticas, além da geometria elementar,
necessárias para a Astronomia, entre elas a trigonometria” (AABOE, 1984, p.128).
O Almagesto sobreviveu ao tempo, pois ainda utilizamos sua tabela
trigonométrica e dados de sua construção, como ilustra a figura 2, sendo, porém,
utilizada atualmente a partir de sua tradução. Segundo Boyer (1996), para a construção
dessas tabelas, Ptolomeu utilizou o seno da diferença. Nele, os estudos sobre a
trigonometria estão descritos no primeiro volume, capítulo dez, onde explica a forma de
calcular a tabela de cordas, e no capítulo seguinte, a própria tabela. Vale ressaltar, ainda,
que essa tabela é mais completa que a de Hiparco, pois contém ângulos de meio em
meio grau, nos limites de 0º a 180º.
20
Figura 2 - Tábua de Cordas de Ptolomeu
Fonte: AABOE, 1984, p. 129.
Por volta de 400 d.C., com a crise da Europa Ocidental causada pelas invasões
bárbaras e declínio do Império Romano, o centro cultural passa a se deslocar para a
Índia, e os Hindus influenciaram a trigonometria escrevendo a obra Surya Siddhanta
(Sistema do Sol). Surya se diferencia das obras de Ptolomeu, pois existe uma relação
entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, o que eles
nomearam de Jiva. O Jiva possibilita visualizar um triângulo retângulo na
circunferência, como mostra a figura 3.
Figura 3 – O Jiva
Fonte: COSTA, 1997, p.18.
Por volta de 500 d.C., o matemático hindu Aryabhata já calculava semicordas e
utilizava o atual sistema decimal. Além disso, usava-se a notação para os números
21
inteiros e a introdução de uma rudimentar tábua de senos, como substituta da tabela
grega de cordas. Logo em seguida, esse povo introduziu os conceitos de semicorda e de
seno, demonstrando algumas identidades. Varahamihira, em 505 d.C., utilizava o
equivalente verbal sen2 θ + cos2 θ = 1. Nesse sentido, para Boyer (1996, p.147): “As
mais antigas tabelas da função seno que se preservam são as do Siddhantas e do
Aryabhata. Nelas, são dados os senos dos ângulos até 90º, para 24 intervalos iguais a
º cada um.”
Os árabes também agregaram seus trabalhos à geometria e à trigonometria,
talvez pelo grande interesse em astronomia. Porém, as maiores contribuições não
estavam em grandes descobertas, mais sim nos esforços de tradução e preservação de
trabalhos gregos. Segundo Eves (2004):
O papel importante desempenhado pelos árabes em geometria foi mais de
preservação do que de descoberta. O mundo lhes deve um preito de
reconhecimento por seus esforços continuados para traduzir satisfatoriamente
os clássicos gregos. [...] Como os hindus, os matemáticos árabes
consideravam-se a si mesmos primariamente astrônomos e assim dedicavam
interesse considerável em trigonometria. (EVES, 2004, p.264-265).
Al Battani (850 d.C. a 929 d.C.), conhecido como Ptolomeu de Bagdad,
influenciou a trigonometria hindu adotada pelos árabes, quando foi introduzido o raio
unitário validando o Jiva para qualquer triângulo retângulo. Seus estudos se
concentraram no Almagesto e no Siddhanta. Em seguida, com considerações dos
matemáticos daquela época, Abûl Wêfa, em 980 d.C. iniciou uma sistematização e
organização de provas e teoremas de trigonometria e em 1000 d.C., foram calculadas as
tábuas da tangente e cotangente, onde apareceram, também, a secante e cossecante
como razões trigonométricas.
O astrônomo Persa Nasir ed-dên al-tûsî (1201 -1274), foi autor, em 1250, do
primeiro trabalho no qual a trigonometria plana foi visualizada como uma ciência, por
ela própria, desvinculada da astronomia. O matemático europeu Fibonacci (1170 –
1250), conhecido como Leonardo de Pisa, desempenhou um notório papel no século
XIII, publicando, em 1220, sua obra Practica Geometriae, centrada na aplicação da
trigonometria árabe na agrimensura. Estudou no norte da África e depois viajou pelo
Oriente como mercador, sofrendo influência dos Árabes e Hindus. (BERTOLI;
SCHUHMACHER, 2013).
22
Já no século XIV, Peurbach (1460), na Inglaterra, computou uma nova tabela de
senos, quando retomou a obra de Ptolomeu que foi difundida entre os estudiosos
europeus da época.
Por sua vez, Eves (2004) menciona a contribuição histórica de outro ícone
matemático: Johann Müler (1436 -1476), também chamado de Regiomontanus, aluno
de Peurbach. Ele estabeleceu, por volta do século XV na Europa, a trigonometria como
um ramo da Matemática e escreveu um “Tratado sobre triângulos”, cinco livros,
contendo a trigonometria completa, sendo reconhecido pelo trabalho realizado, naquele
período, na trigonometria plana e esférica. Nesse sentido, para Eves (2004):
O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Müler (1436 1476) geralmente conhecido por Regiomontanus, nome latinizado de sua
cidade natal Königsberg (“montanha do rei”). [...] Seu tratado de triangulis
omnimodis, escrito por volta de 1464, mas publicado postumamente em 1553
é a mais importante de suas obras; trata-se da primeira exposição europeia
sistemática de trigonometria plana e esférica, num tratamento independente
de astronomia. (EVES, 2004, p. 296).
Ainda naquele século, as atividades matemáticas: a aritmética, a álgebra e a
trigonometria receberam destaques e estavam centradas, em sua maioria, nas cidades
italianas e na Europa Central: Nuremberg, Viega e Praga. Esse movimento matemático
surgiu nas cidades mercantis em desenvolvimento, por influência do comércio,
navegação, astronomia e agrimensura.
Movidos pela curiosidade e pelo desejo de desvendar o desconhecido, ocorreram
buscas no outro lado do oceano que impulsionaram grandes navegações, o que
necessitava de avanços e que, por sua vez, implicaram a necessidade de elaboração de
mapas cartográficos e topográficos com exatidão posicional para planejamento do
tempo de certas rotas e localização.
Já no ano de 1542, Rhaeticus (1514 – 1576), discípulo de Regiomontanus,
publica um capítulo de seu De Lateribus et Angulis Triangulorum no livro de Nicolau
Copérnico (1473 – 1543), que, com suas obras, se destaca dentro da astronomia e,
consequentemente, estreita a relação com a trigonometria. Portanto, para Boyer (1996):
Quase todos nós hoje pensamos em Nicolau Copérnico (1473-1543) como
um astrônomo que revolucionou a visão do mundo ao conseguir colocar a
Terra movendo-se em torno do Sol (o que Aristarco tentara sem sucesso);
mas como astrônomo era quase inevitavelmente um trigonômetra também, e
devemos a Copérnico também serviços à matemática. (BOYER, 1996,
p.199).
Assim, tem-se que a Grécia foi referência na antiguidade, o mundo árabe na
Idade Média, mas do século XV em diante, com o advento da imprensa e do
23
Racionalismo, a cultura se difunde e, a partir daí, não há bloco de liderança, pois as
atividades matemáticas se pulveriza para as mais diversas partes do mundo.
Viéte (1540 – 1603) adicionou um tratamento analítico à trigonometria em 1580,
sua principal contribuição a aplicação sistemática da álgebra, sendo o primeiro
matemático a usar letras para representar coeficientes gerais, o que representou grande
progresso no campo da álgebra. Ele também aprimorou as tábuas trigonométricas e
calculou o sen 1 com treze casas decimais. Outra decisiva contribuição de Viéte foi o
início do desenvolvimento sistemático de cálculo de medidas de lados e ângulos nos
triângulos planos esféricos, aproximados até minutos e com a ajuda de todas as seis
funções trigonométricas. Em sua obra Canon Mathematicus, ele decompõe triângulos
oblíquos em retângulos para determinar todas as medidas de seus lados e ângulos.
Bartholomeus Pitiscus (1561 – 1613), em 1595, retoma os trabalhos de
Rhaeticus aperfeiçoando suas tábuas, modernizando o tratamento do assunto e
inserindo, como título de seu livro, a palavra trigonometria.
John Napier (1550-1617) era proprietário escocês de grandes extensões de terras
e escrevia sobre vários assuntos. Dentre eles, alguns aspectos da Matemática,
particularmente os que se referiam à computação e à trigonometria. Napier criou os
logaritmos num trabalho que durou 25 anos, publicando-o aproximadamente em 1594.
As tábuas de Napier, também conhecidas como tiras, eram bastões em que itens de
tabuadas de multiplicação eram esculpidos numa forma prática de uso. As “analogias de
Napier” e a “Regra de Napier das partes circulares” eram regras mnemônicas ligadas à
trigonometria esférica.
Outro nome de destaque foi John Newton (1622 – 1678), que publicou, em
1658, o tratado Trigonometria Britannica, embasado nas produções de Gellibrand e
outros escritores. Newton e Gellibrand lançaram a tendência de introduzir divisões
centesimais dos ângulos nas tábuas trigonométricas que se seguem até a atualidade.
Isaac Newton (1642 – 1727), paralelamente aos seus estudos de cálculo
infinitesimal, apoiado fortemente na geometria do movimento, trabalhou com séries
infinitas contribuindo para a trigonometria, pela expansão do arcsen x em séries e
deduzido para sen x. Leibniz foi comunicado por ele, da fórmula geral, para sen (nx) e
cos (nx), abrindo a perspectiva para surgirem sen x e cos x como números. Dessa forma,
incentiva Kastner (1759) a ser o primeiro matemático a definir as funções
trigonométricas de números puros. (COSTA, 1997).
24
Em 1748, Euler (1707 -1783) adota a medida de raio unitário da circunferência
como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais a um ângulo. Assim,
ele esboçou a trigonometria mais próxima da atualidade.
25
3. O ATUAL ENSINO DA TRIGONOMETRIA
Para perceber parcialmente o panorama atual do ensino da trigonometria, foram
realizadas leituras nos Parâmetros Nacionais Curriculares do Ensino Médio –PCNEM
(BRASIL, 2000b), na Matriz de referência para o Exame Nacional do Ensino Médio
(BRASIL, 2009), no PCN+ Ensino Médio – Orientações Educacionais Complementares
aos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000a), e nas análises de três livros
de Matemática aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD). Eles foram
disponibilizados pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento na Educação (FNDE) sendo
adotados em algumas instituições do Ensino Médio das redes pública e privada do
Distrito Federal.
3.1 Parâmetros, diretrizes e norteadores
À medida que se integra uma sociedade de formação, cada vez mais globalizada,
necessita-se desenvolver as diversas capacidades: comunicar, resolver problemas, tomar
decisões, fazer inferências, criar, aperfeiçoar conhecimentos e valores de trabalho
coletivo. A matriz do Exame Nacional do Ensino Médio de 2009 (ENEM-2009) elenca
os seguintes eixos cognitivos a serem desenvolvidos nessa etapa, confirmando essa
necessidade:
EIXOS COGNITIVOS (comuns a todas as áreas de conhecimento)
I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e
fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas
espanhola e inglesa.
II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias
áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de
processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações
artísticas.
III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar,
interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para
tomar decisões e enfrentar situações-problema.
IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em
diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para
construir argumentação consistente.
V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na
escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade,
respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural.
(BRASIL, 2009, p.1).
26
Para tanto, ainda segundo o documento, a Matemática deve ser compreendida
como uma parte do conhecimento humano, necessária para a sua formação,
contribuindo para a construção de uma visão de mundo, a partir de leituras e
interpretações da realidade. Assim, desenvolve-se nas pessoas aquelas capacidades já
citadas que serão exigidas ao longo de sua vida social e profissional.
As concepções da Matemática do Ensino Médio agregam a ideia de que, no
Ensino Fundamental os alunos devem ter se aproximado de vários campos do
conhecimento matemático e, agora, estão em condições de utilizá-los e ampliá-los
desenvolvendo capacidades tão importantes quanto as abstrações, o raciocínio em todas
as suas vertentes, a resolução de problemas de qualquer tipo, a investigação, a análise e
a compreensão de fatos matemáticos, interpretando a realidade que o cerca. (PCNEM,
BRASIL, 2000b).
Portanto, habilidades como filtrar informações, analisá-las, para, a partir disso,
tomar decisões, exigirão linguagem, procedimentos e formas de pensar matemáticos que
devem ser desenvolvidos ao longo do Ensino Médio, bem como a capacidade de avaliar
limites, possibilidades e adequações das tecnologias em diferentes situações. (PCNEM,
BRASIL, 2000b).
Dessa forma, o papel da Matemática, anteriormente descrito e a presença da
tecnologia, permite afirmar que aprender a disciplina deve ser mais do que memorizar
resultados. Acredita-se que a construção desse conhecimento deva estar vinculada ao
domínio de um saber fazer e um saber pensar matemático. Nesse quadro, a Educação
tem de assumir a tarefa de preparar cidadãos para uma sociedade cada vez mais
permeada por novas tecnologias e de possibilitar o ingresso de parcelas significativas de
seus cidadãos a patamares mais elaborados do saber.
O Plano Nacional do Livro didático (PNLD, 2012) detalha que o ensino de
Matemática, deve capacitar os estudantes para:
1. Planejar ações e projetar soluções para problemas novos que exijam
iniciativa e criatividade;
2. Compreender e expor ideias matemáticas, por escrito ou oralmente,
desenvolvendo a capacidade de argumentação;
3. Interpretar matematicamente situações do dia a dia ou do mundo
tecnológico e científico e saber utilizar a Matemática para resolver situaçõesproblema nesses contextos;
4. Avaliar os resultados obtidos na solução de situações-problema;
5. Fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos aproximados;
6. Saber usar os sistemas numéricos, incluindo a aplicação de técnicas
básicas de cálculo, regularidade das operações etc.;
27
7. Saber empregar os conceitos e procedimentos algébricos, incluindo o uso
do conceito de função e de suas várias representações (gráficos, tabelas,
fórmulas etc.) e a utilização das equações;
8. Reconhecer regularidades e conhecer as propriedades das figuras
geométricas planas e sólidas, relacionando-as com os objetos de uso comum
e com as representações gráficas e algébricas dessas figuras, desenvolvendo
progressivamente o pensamento geométrico;
9. Compreender os conceitos fundamentais de grandezas e medidas, sabendo
utilizá-los em situações-problema;
10. Utilizar os conceitos e procedimentos estatísticos e probabilísticos,
valendo-se, entre outros recursos, da combinatória;
11. Estabelecer relações entre os conhecimentos nos campos de números e
operações, funções, equações algébricas, geometrias, estatística e
probabilidades para resolver problemas, passando de um desses quadros para
outro, a fim de enriquecer a interpretação do problema, encarando-o sob
vários pontos de vista. (BRASIL, 2012, p.16).
Dessa forma, tentando atingir tais capacidades citadas, os Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000) mencionam que o processo
de ensino e aprendizagem da Matemática deve seguir um itinerário curricular composto
por variados temas ou tópicos, selecionados a partir de critérios que visam ao
desenvolvimento das habilidades almejadas.
Para tanto, essa organização precisa abarcar conteúdos mínimos da Base
Nacional Comum, assim como fazer algumas indicações sobre possíveis temas para
compor um currículo mais flexível. Ressalta-se, ainda, que essa flexibilidade é
necessária atendendo às especificidades locais da comunidade em que a escola esteja
inserida.
Além disso, metodologias de ensino baseadas em informações, definições,
exemplos, exercícios de aplicação e/ou fixação dificilmente levam o aprendiz a perceber
as inter-relações existentes entre outros campos do conhecimento, assim como suas
aplicações, pois, se os conceitos são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de
maneira completa e profunda, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação
para as ideias isoladas e desconectadas umas das outras. Acredita-se, nesse caso, que,
sozinho, o aprendiz seja capaz de construir as múltiplas relações entre os conceitos e
formas de raciocínio envolvidas nos diversos conteúdos, porém o fracasso escolar e as
dificuldades apresentadas pelos estudantes frente à Matemática evidenciam o contrário.
Assim, sobre esse assunto, o PCNEM (BRASIL, 2000b) preconiza a
contextualização e a interdisciplinaridade como potencializadoras das conexões entre
diversos conceitos e formas de pensamento matemático. Prossegue, ainda, mencionando
sobre a necessidade de considerar a relevância cultural do tema, tanto no que diz
28
respeito às suas aplicações dentro ou fora da disciplina, quanto pela sua importância
histórica no desenvolvimento da própria ciência.
Dessa forma, acredita-se que abordagens contextualizadas e focadas em
aplicações podem auxiliar no processo de ensino e aprendizagem dos discentes,
levando-os a observar e relacionar situações propostas com elementos de seu cotidiano
que até então não associava.
Assim, diante do exposto, percebidos os objetivos a serem atingidos no processo
de ensino e aprendizagem da Matemática e considerando a dificuldade dos estudantes
em significar a trigonometria, esta pesquisa se dedica a conhecer, também, alguns
elementos que contribuem para a mudança dessa problemática, propondo uma
metodologia que auxilie na reversão desse cenário
Então, como mostrado no histórico, a importância da trigonometria é
tradicionalmente reconhecida. Porém, seu ensino é apresentado desconectado das
aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das identidades e equações
em detrimento dos aspectos prioritários, como os cálculos das distâncias inacessíveis, a
trigonometria no círculo, as funções trigonométricas e a análise de seus gráficos.
(PCN+, BRASIL, 2000).
Num olhar investigativo, podemos listar alguns fenômenos, presentes na
Astronomia, Astrologia, Biologia, Engenharias, Climatologia, Geologia, Física,
Química, Medicina e Matemática que podem ser explorados no ensino do tema, entre os
quais podem ser citados:

Comportamento das batidas do coração;

Movimento de subidas e descidas das marés;

A dinâmica de enchimento e esvaziamento dos pulmões;

A variação do número de indivíduos de uma certa espécie e seu predador
que habitam uma mesma região;

Taxas de variação de sentido geral;

Comportamento das ondas mecânicas e eletromagnéticas;

Decomposição vetorial das forças.
Com esses entre outros tópicos sendo abordados no processo de ensinoaprendizagem, acredita-se na melhoria da significação dos conteúdos, através de uma
metodologia de ensino alinhada com as diretrizes dos documentos oficiais norteadores,
procurando distanciar o aluno das memorizações de fórmulas e algorítmicos
29
mecanizados, conduzindo os estudantes à autonomia na resolução de problemas. Nesse
sentido, de acordo com os PCN + (2000):
O que deve ser assegurado são as aplicações da trigonometria na resolução de
problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias
inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos
periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e
tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculo
trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações
trigonométricas. Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato
desse conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em
diferentes épocas, como é o caso do período das navegações ou, atualmente,
na agrimensura, o que permite aos alunos perceberem o conhecimento
matemático como forma de resolver problemas que os homens se propuseram
e continuam se propondo. (BRASIL, 2000, p.122).
3.2 Trigonometria nos livros didáticos
Atualmente, há uma variedade de livros didáticos disponíveis no mercado, e um
dos fatores que pode refletir positivamente nos resultados do processo de ensino e
aprendizagem é a sua acertada escolha. Essa seleção pode ser guiada pelos seguintes
documentos oficiais:

Guia de Matemática de Livros didáticos para Ensino Médio 2012 (PNLD-
2012);

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, BRASIL,
2000b);

PCN+ Ensino Médio (BRASIL, 2000a) – Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Para análise do livro didático presente na pesquisa, foram estabelecidos os
seguintes critérios de seleção das obras:
1.
Obras aprovadas pelo Ministério da Educação no Plano Nacional do Livro
Didático (PNLD, 2012) para o triênio 2012, 2013 e 2014;
2.
Livros adotados em estabelecimentos de Ensino Médio da rede privada de
Brasília;
3.
Coleções adquiridas pela rede de ensino pública da Secretaria de Educação
do Governo do Distrito Federal (SEE-GDF).
Assim, foram selecionadas as seguintes coleções organizadas no quadro 01.
30
Quadro 1 – Obras selecionadas para análise
Nº
01
02
Coleção
Matemática
Contexto e
Aplicações
(2007)
Matemática
Ciência e
Aplicações
(2010)
03 Matemática Ensino
Médio
(2010)
Autor
Luiz Roberto Dante
Editora
Ática
Instituição de Ensino
SEE - GDF e Centro Educacional
Sigma.
Gelson Iezzi; David
Degenszajn; Nilze de
Almeida; Osvaldo
Dolce; Roberto
Périgo
Maria Ignez Diniz;
Kátia Stocco Smole
Saraiva
SEE – GDF, Centro Educacional
Católica e Centro educacional Leonardo
da Vince.
Saraiva
SEE –GDF.
Fonte: Elaborada pelo pesquisador
Em Matemática - Contexto e Aplicações, de Luiz Roberto Dante, 2007,
Editora Ática, o assunto trigonometria é abordado em dois volumes. A trigonometria no
triângulo retângulo é abordada no volume 1, capítulo 11, das páginas 360 até 389. No
volume 2, a trigonometria: resolução de triângulos é abordada no capitulo 1, páginas 8
até 21; conceitos trigonométricos básicos, no capítulo 2, páginas 22 até 48;
transformações trigonométricas, no capítulo 3, páginas 49 até 67; as funções
trigonométricas, no capítulo 4, páginas 68 até 89 e relações trigonométricas, capítulo 5,
páginas 90 até 107.
Já na obra Matemática - Ciência e Aplicações de Gelson Iezzi, David
Degenszajn, Nilze de Almeida, Osvaldo Dolce e Roberto Périgo, 2010, da Editora
Saraiva, o assunto é abordado também em dois volumes. A trigonometria no triângulo
retângulo, no volume 1, capítulo 13, das páginas 262 até 279. No volume 2, a
circunferência trigonométrica é o título do capitulo 1, páginas 8 até 20; razões
trigonométricas na circunferência, no capítulo 2, páginas 21 até 41; triângulos
quaisquer, no capítulo 3, páginas 42 até 50; as funções trigonométricas, no capítulo 4,
páginas 51 até 70 e transformações trigonométricas, capítulo 5, páginas 71 até 78.
No livro Matemática - Ensino Médio, de Maria Ignez Diniz; Kátia Stocco
Smole, 2010, da Editora Saraiva, a trigonometria é tratada nos volumes 1 e 2. A parte
dois do volume 1 foi intitulada de Trigonometria. Trigonometria no triângulo retângulo
é o assunto da Unidade 10, das páginas 233 até 257. Relações trigonométricas em um
triângulo qualquer é o tema da unidade 11, das páginas 258 até 271. A parte 1 do
volume 2 recebe, assim como aconteceu na parte dois do volume anterior, o título de
Trigonometria. A unidade 1 traz a trigonometria: arcos de circunferência e círculo
31
trigonométrico, das páginas 9 até 30; a unidade 2 – Funções trigonométricas: definição,
periodicidade e gráfico, das páginas 31 até 65; a unidade 3 – Equações trigonométricas
e inequações trigonométricas, das páginas 65 até 80 e a unidade 4 – Funções
trigonométricas da soma, das páginas 81 até 92.
Com o objetivo de analisar os capítulos acima citados, estabeleceu-se os
parâmetros elencados no quadro 2, cujos itens foram elaborados após leitura do Guia de
Matemática de Livros Didáticos para Ensino Médio 2012 (PNLD, 2012), dos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, BRASIL, 2000b), dos
PCN+ Ensino Médio– Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN+, BRASIL, 2000a) e da revisão bibliográfica de
referenciais teóricos que compõem essa dissertação. Fez-se, assim, uma comparação
entre as coleções, procurando perceber e relatar, como cada um desses parâmetros são
abordados.
Quadro 2 – Parâmetros para a análise dos livros didáticos
Contextualização
Linguagem adequada e acessível para a faixa etária e nível cognitivo do público-alvo.
Uso de mídias convencionais (régua, compasso, esquadros e transferidor)
Uso de softwares e calculadoras.
Pertinência e relevância das figuras e/ou esquemas.
Fonte: Elaborado pelo pesquisador
Tentou-se, então, diante do exposto, primeiramente, perceber e relatar como as
coleções abordam o contexto nas diferentes perspectivas: no cotidiano, na história da
Matemática e nas inter-relações dentro e fora da Matemática.
Na obra de Dante (2007), a contextualização é percebida desde a introdução dos
capítulos, já que cada um deles é iniciado com textos temáticos, alternando entre as
aplicabilidades da trigonometria e a história da Matemática. Ainda na parte introdutória
de cada assunto, enunciam-se alguns problemas que, além de tentar mostrar os objetivos
a serem atingidos, mostram a possibilidade de exploração do caráter investigativo,
podendo, ainda, auxiliar na motivação do estudo daquele tópico. Essa característica
também é percebida no desenvolvimento do conteúdo por meio de exemplos, exercícios
resolvidos e de fixação.
Na coleção de Iezzi et al (2010), os contextos que envolvem a história da
trigonometria ou as aplicabilidades em outras áreas da ciência aparecem em textos
introdutórios do assunto ou como apêndices, finalizando os capítulos. Percebe-se que os
32
exemplos e exercícios retratam situações-problemas do cotidiano e também abordam
tópicos inerentes à Matemática.
O livro de Diniz e Smole (2010) apresenta, ao longo do desenvolvimento das
unidades, textos de história da Matemática e suas aplicações, o uso de calculadoras
científicas, utilização de softwares (Winplot e Geogebra) e projetos práticos2. No final
de cada unidade, há textos que envolvem tais inter-relações, classificados como
“Matemática e tecnologia”, que evidenciam como a componente está envolvida na
câmera fotográfica, na triangulação a laser, na cristalografia e outros.
Já com relação à linguagem escrita, as demonstrações matemáticas, as figuras e
esquemas, nas três obras, parecem ser adequados e relevantes à faixa etária e ao nível de
escolaridade. Acredita-se que essas características proporcionam aos aprendizes
acessibilidade, levando-os a desenvolver capacidades abstrativas, de raciocínios e
compreensão de fatos matemáticos pertinentes, podendo resultar em melhor significação
e interpretação de sua realidade.
Também nas três obras, a complexidade dos conceitos e definições seguem uma
espiral, necessitando de entendimento consolidado dos anteriores para seguir na
compreensão dos posteriores. Os exercícios resolvidos (como apoio ao estudante) são
apresentados primeiramente e, em seguida, os propostos, selecionados de exames de
vestibulares. Esses últimos foram agrupados por nível de dificuldade, complexidade e
tipos de contextualização que abarcam a história da Matemática, procuram fazer interrelações com outros campos do saber exógenos e endógenos da área.
Percebe-se em Dante (2007) ausência de atividades empregando as mídias
convencionais3. Já em Diniz e Smole (2010) e Iezzi et al (2010) há pouca presença
desse uso, assim como de Tecnologias de Informação e Comunicação4, que busque
melhorar a significação do processo de ensino e aprendizagem da trigonometria.
Diniz e Smole (2010) e Iezzi et al (2010) apresentam textos explicativos sobre o
manuseio da calculadora científica no cálculo das razões e montagem das tabelas
trigonométricas. Além disso, eles abordam os ajustes de configurações das calculadoras
para medidas de ângulos em graus, radianos e grado e auxiliam o estudante na
interpretação dos resultados, mostrando que podem ser decimais ou graus, minutos e
2
A autora inclui textos explicativos de construção de instrumentos de medida de ângulo (teodolito ou
grafômetro) e procedimentos de cálculo de medidas inacessíveis com o uso desse instrumento que os
próprios alunos constroem.
3
Consideramos como mídias convencionais: régua, esquadros, compasso, transferidor, lápis e borracha.
4
Compõem as TICs os softwares de geometria dinâmica e as calculadoras convencionais ou científicas.
33
segundos. Diniz e Smole (2010) explicam, também, como encontrar o ângulo a partir da
razão utilizando as funções inversas, disponíveis nas máquinas calculadoras científicas.
Na mesma obra descrita, o estudo do comportamento dos gráficos das funções
trigonométricas, assim como as translações, inversões, ampliações, reduções e outros
são abordados em um apêndice no final do capítulo “Para Saber Mais”. Diniz e Smole
(2010) convidam, ali, professor e aluno a utilizarem o Winplot5, com sugestões de
atividades, figura 4.
Figura 4 – Construção gráfica com o Winplot
Fonte: DINIZ; SMOLE, 2010, v.2, p.57.
No desenvolvimento dos conteúdos, com relação aos conceitos de razões
trigonométricas, as obras de Iezzi et al (2010) e Diniz e Smole (2010) recordam a
semelhança de triângulos e mostram que as razões entre seus lados homólogos, não se
alteram. Iezzi et al (2010) recorrem à semelhança de triângulos e utilizam a ilustração
da figura 5:
Figura 5- Razão de semelhança, em Iezzi et al (2010)
Fonte: Iezzi, 2010, v 1, p.264.
Já na figura 6, entende-se que Diniz e Smole (2010) se utilizaram do mesmo
conceito.
5
Software de geometria dinâmica.
34
Figura 6 – Razão de semelhança, por Diniz e Smole (2010)
Fonte: DINIZ; SMOLE, 2010, v 1, p.241.
Dante, por sua vez, utiliza o conhecimento prévio de declividade para conceituar
seno, cosseno e tangente, relacionando-os com: afastamentos horizontal, vertical e
deslocamento numa rampa, como mostra a figura 7.
Figura 7 – Declividade, por Dante (2007)
Fonte: DANTE, 2007, v.1, p.322.
Na introdução do conceito de ângulo e arco (elementos básicos da
circunferência), Diniz e Smole (2010) contextualizam recorrendo à noção prévia dos
alunos sobre radar e relógio analógico. Na obra de Iezzi et al (2010), o tópico é
abordado com figuras de circunferências concêntricas mostrando tais elementos, como
mostra a figura 8, assim como acontece também em Dante (2007).
35
Figura 8 - Circunferências concêntricas
Fonte: IEZZI et al, 2010, v 2, p.11.
Os três livros se assemelham no desenvolvimento das definições do ciclo
trigonométrico de raio unitário, radianos como unidade de medida e expressão dos arcos
côngruos. Como sequência de desenvolvimento desses conteúdos, tem-se a
conceituação, apresentação de figuras, exemplificação e, por fim, uma listagem de
exercícios resolvidos e outros nomeados como propostos.
Iezzi et al (2010), após definirem a medida de ângulo em radiano, apresentam
um tópico associando os pontos do ciclo trigonométrico à reta numerada (FIG. 9),
explicando o princípio da linearização do arco numa linguagem de função.
Figura 9 – Linearização do ciclo trigonométrico
Fonte: IEZZI et al, 2010, v.2, p.11.
Para definir as razões seno e cosseno no ciclo trigonométrico, os três autores
utilizam o princípio das projeções ortogonais sobre o sistema de eixos cartesianos,
tomando-se um ponto sobre o ciclo, sendo esse a extremidade de um arco. Eles
explicam que esse ponto no plano possui um par ordenado, formado pela abscissa e
ordenada que representam cosseno e seno, respectivamente, do arco em questão como
ilustra a figura 10.
36
Figura 10 – Seno e cosseno no ciclo
Fonte: DANTE, 2007, v.2, p.36.
Na conceituação da tangente de um arco, todos os autores acrescentam um
terceiro eixo vertical numerado, tangenciando o ciclo trigonométrico em sua origem,
agora nomeado como eixo das tangentes. Inclui-se, nesse ciclo, uma semirreta que
contenha a origem do plano e passe pelo ponto do ciclo que define a extremidade do
arco. Assim, o valor numérico da tangente do arco é definido pelo valor do ponto de
encontro entre a semirreta e o eixo das tangentes (FIG. 11).
Figura 11 – Tangente no ciclo
Fonte: IEZZI et al, 2010, v 2 p.33.
As funções seno, cosseno e tangente são definidas pelos três autores por
caminhos distintos. Dante (2007) retoma os conceitos de domínio, contradomínio e
imagem de função recorrendo ao diagrama de Venn, como mostra a figura 12.
37
Figura 12 – Diagrama de Venn
Fonte: DANTE, 2007, v 2, p.72.
Em seguida, são apresentadas tabelas de valores de senos para os respectivos
arcos em radianos, na figura 13.
Figura 13 – Tabela de valores de senos
Fonte: DANTE, 2007, v. 2, p.72.
Em sequência, mostra os gráficos senoides, cossenoides e tangentoides para cada
tabela. Na figura 14 é mostrado um gráfico de senoide, inserido em Dante (2007).
Figura 14 – Gráfico senoide
Fonte: DANTE, 2007, v 2, p.72.
Os autores, ainda em suas obras, definem o período da função, apresentando
imagens do ciclo trigonométrico com a variação de sinais das funções para cada
quadrante, o que pode ser visto na figura 15.
38
Figura 15 – Variações de sinais nos quadrantes
Fonte: DANTE, 2007, v 2, p.73.
Especificamente Diniz e Smole (2010), por sua vez, conceituam seno, cosseno e
tangente no ciclo trigonométrico apresentando as figuras dos ciclos com alguns ângulos
e suas projeções nos respectivos eixos, como indicado na figura 16.
Figura 16 – Seno no ciclo
Fonte: DINIZ; SMOLE, 2010, v 2, p.33.
Nas imagens, evidenciam as projeções das extremidades de vários arcos nos
respectivos eixos. As autoras mostram, ainda, uma tabela de domínios (ângulos) e suas
respectivas imagens para as funções seno, cosseno e tangente (FIG. 17).
Figura 17 – Tabela de senos
Fonte: DINIZ; SMOLE, 2010, v 2, p.38.
Iezzi et al (2010) nomeiam a unidade 1 do volume 2 como “Funções
periódicas”. Eles iniciam mostrando fenômenos como condição do tempo, movimento
das marés e fases da lua, presentes no cotidiano do aluno e relacionados ao seu estudo.
39
Nas conceituações, resgatam os conceitos de razões trigonométricas de um arco e
propõem que o aluno construa tabelas, partindo de funções mais elementares e,
gradativamente, incluem parâmetros na lei de formação, obtendo gráficos semelhantes
ao da figura 18.
Figura 18 – Tabelas para construção de gráficos
Fonte: IEZZI et al, 2010, v. 2, p.58
Em seguida, mostram os gráficos gerados a partir da tabela, evidenciando os
comportamentos obtidos quando se alteram determinados valores de parâmetros na
função em questão (FIG. 19).
Figura 19 – Comportamento gráfico
Fonte: IEZZI et al, 2010, v. 2, p.58
A partir da análise dos livros didáticos realizada, é proposta uma metodologia
com atividades que busquem auxiliar o processo de ensino e aprendizagem,
enriquecendo os livros didáticos, levando o aluno a ser mais ativo, construindo e
estreitando suas relações com o conhecimento. Portanto, essa pesquisa propõe tarefas
exploratório-investigativas, onde os estudantes possam experimentar uma variabilidade
de recursos de manipulação de instrumentos (régua, esquadros e compasso) e uso de
software de geometria dinâmica (Geogebra), buscando entender os fundamentos
geométricos como consolidadores dos conceitos trigonométricos, elevando o nível de
40
compreensão significativa das definições abarcadas no tema, que serão sedimentadas
nas resoluções de situações-problema, em pesquisas futuras.
3.3 Algumas pesquisas sobre o Ensino da Trigonometria
Com o objetivo conhecer algumas produções científicas sobre o ensino da
trigonometria, serão tecidos alguns comentários a respeito de três obras que aplicam
sequência didática, tecnologias da informação e/ou materiais concretos em suas
metodologias, buscando melhorar o nível de compreensão dos alunos no processo de
ensino e aprendizagem da trigonometria.
Nielce Meneguelo Lobo da Costa, em 1997, apresentou sua dissertação de
mestrado profissional pela PUC–SP, de título: “Funções seno e cosseno: uma sequência
de ensino a partir dos contextos do “mundo experimental” e do computador”, que
investigava a influência de dois diferentes contextos - computador e “mundo
experimental” na aprendizagem da trigonometria. A escolha do tema pela pesquisadora
foi motivada pela deficiente compreensão, por parte dos alunos, de conceitos e
definições de funções trigonométricas, já que os discentes não conseguiam perceber a
proximidade entre esses e o seu cotidiano. Assim sendo, entende-se que a trigonometria,
que é uma das formas matemáticas do ser humano compreender e interpretar a natureza,
poder ser, para os alunos, um assunto desconexo e com pouca ou nenhuma
aplicabilidade.
Ainda nesse trabalho, a autora aborda as funções seno e cosseno, através de
uma sequência didática e como um dos objetivos específicos menciona: “identificar em
qual ordem de introdução do assunto se apresenta mais eficaz para a aprendizagem
significativa: “Mundo Experimental” ou uso do computador com os Softwares Cabri II
e Graphmática”. (COSTA, 1997, p.16).
Portanto, sua metodologia consistia em abordar o tema em dois grupos de
alunos, sendo que em um deles o assunto é iniciado numa abordagem em computador e
é dada continuidade em manipulações no “mundo experimental”; e no segundo grupo, a
ordem é invertida. Para isso, foram aplicados três testes: um antes de iniciar a aplicação
da sequência didática, um ao término das atividades de um contexto e outro no final do
estudo.
41
Vale ressaltar que a autora, durante a elaboração e aplicação das atividades,
baseou-se no princípio básico do construtivismo de Piaget, buscando promover ao aluno
uma postura ativa na construção do seu conhecimento. Tanto que os alunos tiveram
contato com alguns fenômenos periódicos e puderam observar a sua modelagem por
meio das funções seno e cosseno. Procurou-se também nesse trabalho da autora
valorizar a trigonometria evidenciando-a como uma das formas matemáticas de
compreensão e interpretação dos fenômenos da natureza.
Dentre as conclusões citadas, Costa (1997) menciona que os alunos que
obtiveram maior sucesso foram os que passaram primeiro pelas atividades construídas
no contexto do “mundo experimental” e, em seguida, pelo computador, sugerindo que o
aprendizado no contexto computacional torna-se mais eficiente quando o aluno não teve
contato anterior com o assunto e é precedido por manipulações concretas em situações
menos comprometidas com o formalismo.
A sequência didática desenvolvida para o estudo pôde ser considerada uma
contribuição para a Educação Matemática e a utilização de contextos do “mundo
experimental” e do computador mostrou-se como uma possibilidade viável para o
educador que procura ambientes didáticos, possibilitando a criação de situações que
facilitem o entendimento e o processo de construção do conhecimento.
Anderson R. T. Góes e Heliza Colaço publicaram, em 2010, o artigo de título:
“A geometria dinâmica e o ensino da trigonometria”, publicado na revista Varia
Scientia v.09, n.16, p.129-138. Esse artigo relata uma metodologia do ensino da
trigonometria por meio da Geometria Dinâmica. Góes e Colaço mencionam o desenho
como instrumento facilitador do aprendizado da Matemática nos Ensinos Fundamental e
Médio.
Assim, para garantir aos alunos uma formação em que o protagonista faça parte
da construção do conhecimento, criou-se e aplicou-se em uma Escola Municipal uma
metodologia do ensino da trigonometria por meio da Geometria Dinâmica, buscando
resgatar a importância da Geometria.
Para tanto, os alunos utilizaram o software CaR Metal disponível no site
http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal. em uma adaptação do Régua e Compasso (CaR Compas and Ruler) que oferece as mesmas apresentações que o CaR, porém com mais
agilidade, pois elimina alguns passos intermediários no processo de construção do
42
desenho. Além disso, a versão do software utilizada nesta atividade permite realizar
cálculos matemáticos e construção de funções.
Assim os alunos seguiram um roteiro de construção, que pôde ter intervenções
do professor, quando esse achava conveniente, resgatando conceitos e consolidando a
compreensão das relações trigonométricas do triângulo retângulo. Após construírem o
previsto pelo roteiro, os alunos passaram a preencher tabelas e fazer análises, realizando
as etapas da investigação, quer sejam: observar, conjecturar, testar e generalizar, sempre
assistidos pelo educador matemático.
Durante a aplicação das atividades, verificou-se a motivação dos alunos em
realizá-las, explorando a construção e compartilhando resultado. A criatividade e a
empolgação pela construção do conhecimento se manifestaram em todos os alunos, que
participaram ativamente das etapas do processo.
Com o desenrolar da metodologia, percebeu-se que o emprego do software de
Geometria Dinâmica pode e deve ser inserido na disciplina de Matemática, não só para
o ensino de Geometria, mas para suporte de todos os conteúdos possíveis. Os
pesquisadores utilizaram o termo “pode e deve”, pois, segundo eles, apesar de a maioria
das escolas possuírem laboratório de informática, a maioria absoluta dos professores
não usava esta tecnologia em suas aulas.
Com o desenrolar da pesquisa, comprovou-se, portanto, que os softwares de
Geometria Dinâmica devem ser inseridos no processo de ensino e aprendizagem da
disciplina de Matemática como alternativa à metodologia tradicional. Além disso, com
as análises dos seus resultados, conclui-se que a melhoria da qualidade do ensino e,
consequentemente, sua prática estão relacionadas diretamente com o envolvimento do
corpo docente na busca de novas metodologias. Para tanto, porém, os educadores
precisam ter clareza de suas obrigações e assumirem suas responsabilidades como
cidadãos, enfrentando os desafios futuros.
Uma pesquisa realizada por Maria Maroni Lopes concluída em 2010 e
transportada para sua dissertação de mestrado de programa de Pós-Graduação em
ensino de Ciências exatas e Matemática, com título: “Construção e aplicação de uma
sequência didática para o ensino da trigonometria usando o software Geogebra”,
buscava investigar para responder a pergunta norteadora: “Poderíamos utilizar as
condições atuais presentes na escola e os recursos do software Geogebra para otimizar a
situação referente ao ensino e aprendizagem da trigonometria?” (LOPES, 2010, p.12).
43
Segundo a autora, motivou essa investigação o hábito dos professores das
escolas da rede pública de ensino Natal, RN trocarem os assuntos trigonometria,
logaritmos e números complexos, por revisões de tópicos já abordados, acreditando que
os conteúdos acima elencados, seriam demasiadamente difíceis para os alunos. Portanto,
o objetivo da pesquisa foi analisar as potencialidades e limitações do software Geogebra
na aprendizagem dos conceitos básicos da trigonometria.
Foi percebido, através da experiencial profissional e da análise de questionários
realizados que as dificuldades avançavam com os discentes que ingressavam para os
curso superior nas disciplinas de Cálculo diferencial e Integral I e Matemática I para a
os cursos de Engenharia, Estatística, Geofísica e Matemática. Para isso, a pesquisa
realizou um levantamento das dificuldades dos alunos por meio de entrevistas e análises
de provas aplicadas. Confirmadas em diversos estudos, essas dificuldades no ensino e
na aprendizagem de trigonometria têm sido objeto de atenção em diversas publicações,
podendo citar, por exemplo, Briguenti (1994), Nacarato (2007), Brito e Morey (2004).
Lopes (2010) menciona, ainda, que o Geogebra reúne as características de um
software de geometria dinâmica, pois permite construir vários objetos, como pontos,
vetores, segmentos, retas, secções cônicas, gráficos de funções e curvas parametrizadas,
os quais podem, depois, serem modificados dinamicamente. Ele permite, ainda, a
introdução de equações e coordenadas, promovendo a visualização de um lugar
geométrico ao se traçar a trajetória de um ponto escolhido. Ela conclui, então, que essa é
uma das características do software de grande relevância para o estudo da trigonometria,
visto que o aluno pode observar o comportamento das funções seno, cosseno e tangente
ponto a ponto.
No caso da pesquisa de Lopes (2010), os assuntos abordados nas atividades da
sequência foram razões trigonométricas no triângulo retângulo, ciclo trigonométrico e
funções trigonométricas. Essas atividades foram inicialmente aplicadas em um minicurso de formação de professores, com objetivo de evidenciar aos estudantes de
Licenciatura em Matemática sobre os potenciais de exploração do Geogebra no
processo de ensino e aprendizagem da trigonometria.
Num segundo momento, tentou-se aplicar essas atividades em alunos do
Ensino Médio da rede pública, mas por problemas técnicos de instalação do software e
de trabalho com o mesmo na versão on-line, não houve condições de avanço na
pesquisa.
44
Apesar dos problemas apresentados, a autora recomenda uma atividade de
preparação prévia dos alunos, buscando promover familiridade com o software, para
que, no momento seguinte, possam cosntruir o que é indicado, passando a observar,
conjecturar, testar e generalizar de maneira orientada. Alguns licenciandos, no caso da
pesquisa da autora, observaram que seria interessante se os alunos pudessem trabalhar
com réguas, compassos e esquadros antes de realizarem atividades no software, assim,
dessa forma, esse último momento seria um reforço conceitual do tópico estudado.
45
4. CONSTRUINDO AS ATIVIDADES
Num objetivo de elaborar atividades que proporcionem ao aluno uma melhor
compreensão do tema, iniciou-se essa fase, baseando-se na teoria da aprendizagem
significativa de David Ausubel (1918-2008), proposta em 1963 e confirmada por
Moreira, em 2011, propõe-na como uma tendência a incorporar novas informações à
estrutura cognitiva do aprendiz. Para Moreira (2011):
Aprendizagem significativa é aquela em que as ideias expressas
simbolicamente interagem de maneira substantiva e não arbitrária com aquilo
que o aprendiz já sabe. Substantiva quer dizer não literal, não ao pé da letra, e
não-arbitrária significa que a interação não é com qualquer ideia prévia, mas
sim com algum conhecimento especificamente relevante já existente na
estrutura cognitiva do sujeito que aprende. A este conhecimento,
especificamente relevante à nova aprendizagem, o qual pode ser, por
exemplo, um símbolo já significativo, um conceito, uma proposição, um
modelo mental, uma imagem. David Ausubel (1918 – 2008) chamava de
subsunçor ou ideia-âncora. (MOREIRA, 2011, p.13-14).
Nesse sentido, Ausubel (1963) afirma que a aprendizagem em sala de aula
geralmente acontece em duas dimensões independentes: automática até significativa e a
receptiva até descoberta, como mostra a figura 20.
Figura 20 – A aprendizagem receptiva e aprendizagem por descoberta
Fonte: AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 21.
46
Na aprendizagem receptiva ou por recepção, os conteúdos são meramente
apresentados aos alunos e exige-se deles que os relacionem de modo ativo ou
significativo com aspectos relevantes. Espera-se que o estudante retenha, então, tais
conteúdos para posterior recordação ou reconhecimento em esquema referencial básico
para aprendizagem associada a novas informações.
Já na aprendizagem por descoberta, o conteúdo principal daquilo que está para
ser aprendido deve ser revelado independentemente, antes mesmo que possa ser
assimilado pela estrutura cognitiva. Entretanto, aconteceram equívocos, pois acreditavase que toda aprendizagem receptiva (baseada no ensino expositivo) seria automática e
toda a descoberta seria significativa. Porém, nenhuma das duas pode ser tomada como
absolutas. Pelo contrário, cada uma delas pode ser localizada sobre uma base:
automático-significativa ou receptiva – descoberta. (AUSUBEL, 1963).
Nas atuais salas de aula percebe-se a predominância de uma aprendizagem
receptiva onde a postura do discente é passiva, reproduzindo uma transmissão de
conhecimento no sentido professor-aluno. Agravando essa situação, há dois pontos: no
primeiro, ocorre o isolamento de diferentes áreas do conhecimento, que não se
dialogam, cabendo ao estudante, receber as informações expostas, armazená-las e
aguardar o momento oportuno para que aquelas informações sejam aplicadas. Segundo,
pouco se acrescentam, no cotidiano escolar, tarefas de aprendizagem com potencial
significativo, movimentando o aluno para uma postura ativa no processo e, assim,
promovendo uma aprendizagem significativa proporcionada pela descoberta autônoma.
Ausubel, Novak e Hanesian (1980) definem as tarefas de aprendizagem
potencialmente significativas como aquelas que geralmente partem de um acervo de
conceitos e definições já sedimentados na estrutura cognitiva do aprendiz (subsunçores)
e que utilizam materiais plausíveis ou sensíveis, relacionando-se a uma forma não
arbitrária, e essencial a essa estrutura. Para os autores:
[...] a tarefa de aprendizagem em si mesma for potencialmente significativa
(Se ela própria consiste de material plausível ou sensível e se pode estar
relacionada de uma forma não arbitrária e essencial à estrutura cognitiva de
um estudante em particular). (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p.
3).
Além disso, o potencial significativo das tarefas pode ser ampliado se se
acrescentar a elas, os conceitos e fundamentos de sequência didática. Zabala (1999)
afirma que, para tanto, elas precisam ser estruturadas, organizadas e ordenadas com o
propósito de articular definições, conceitos e propriedades do tema estudado. De acordo
com o autor,
47
[...] é o conjunto ordenado de atividades estruturadas e articuladas para a
consecução de um objetivo educacional em relação a um conteúdo concreto.
Esta unidade de análise, como as sequências didáticas, está inserida num
contexto em que se deverá identificar, além dos objetos didáticos e do
conteúdo objeto da sequência, as outras variáveis metodológicas: relações
interativas, organização social, materiais curriculares, etc. (ZABALA, 1999,
p.78).
Nesse caminho, para incrementar o nível de potencial significativo, deve-se
incluir nas atividades: a manipulação, a experimentação e a observação de materiais
concretos que proporcionem ao estudante um aumento do nível de aprendizado
significativo por descoberta e também a afetividade (autoestima), geralmente sinalizada
pela satisfação, envolvimento e prazer no crescente desenvolvimento intelectual,
levando-o a um enriquecimento cognitivo, através da inserção no mundo da cultura e da
ciência.
Gaspari e Gerônimo (2011) mostram que, cada vez mais, o aluno é conduzido a
uma maior compreensão dos conceitos, definições, propriedades, processos, cálculos e
análises, conectando todo esse conjunto a situações de aplicabilidades e, por fim, sendo
instigado à pesquisa pela característica investigativa.
Além disso, Góes e Colaço (2009) afirmam que o desenho, de maneira geral,
facilita o aprendizado da Matemática, pois insere os aprendizes em situações-problemas
de seu cotidiano. No ensino da geometria, o aprendiz se comprova como um formador
do pensamento, pois conhecer um objeto ou situação-problema lhe permite agir sobre
ele e transformá-lo, mobilizando conhecimentos já ancorados, apropriando-se dos
mecanismos dessa transformação e vinculando-os às ações transformadoras.
Goes e Colaço (2009) indicam que o manuseio de materiais manipulativos6
agregado à utilização de softwares de geometria dinâmica no estudo dos conceitos
geométricos envolvidos na trigonometria tende a contribuir na clivagem cognitiva das
definições inter-relacionadas nas duas áreas.
Já Borba e Penteado (2012) mostram a importância da inserção de tarefas de
aprendizado de escrita, leitura, entendimento de gráficos, compreensão de textos,
desenvolvimento de noções espaciais e leitura de novas mídias, utilizando como
instrumento o computador na sala de aula, buscando promover, assim, dois estratégicos
processos: a alfabetização tecnológica e a garantia do direito ao acesso à informática.
Conhece-se a dificuldade na geração de diversos desenhos e gráficos num ambiente em
que predomina o uso do lápis e do papel, mas o emprego do computador associado a
6
Os materiais manipulativos utilizados nesse contexto são: par de esquadros, régua e compasso.
48
aplicativos educacionais com esse propósito podem melhorar a significação. Ainda para
Borba e Penteado (2012, p.38), “O importante a destacar, aqui, é que as mídias
informáticas associadas a pedagogias que estejam em ressonância com essas tecnologias
podem transformar o tipo de matemática abordada em sala de aula.”
Uma pesquisa apresentada por Gravina no VII Simpósio Brasileiro de
Informática na Educação (1996) ressalta que nos livros didáticos são percebidas duas
ausências: a primeira sobre atividades, projetos ou tarefas que levem os alunos à
construção de elementos, sejam eles vinculados à geometria ou que extrapolem esse
universo. A segunda, sobre situações investigativas raramente abordadas, sendo ambas
confirmadas pela autora:
O aspecto de construção de objetos geométricos raramente é abordado;
Dificilmente encontramos no livro escolar a instrução “construa”, e no
entanto esta é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos
geométricos. Mais difícil ainda é encontrar questões do tipo “o que podemos
dizer nesta situação?” ou “que regularidades percebemos?”, onde estratégias
de investigação devem ser estabelecidas. (GRAVINA, 1996, p.2).
Gravina (1996) ainda aponta uma nova forma de ensinar e aprender geometria, a
partir da exploração experimental em ambientes informatizados. Nessa instância, os
alunos conjecturam e, com o feedback constante oferecido pelo computador, as refinam
ou as corrigem, chegando a resultados que nos desenhos a lápis seriam mais difíceis de
atingir, mas que nesse novo ambiente virtual, com o “desenho em movimento”, passam,
então, mais facilmente, para uma fase abstrata de argumentação.
A mesma autora menciona, ainda, o princípio norteador dos softwares de
geometria dinâmica como ferramentas de construção de desenhos de objetos e
configurações geométricas obedecendo suas propriedades. Assim, para um certo objeto,
obtém-se família de desenhos, mantendo-se invariantes suas características geométricas
intrínsecas. As configurações geométricas passam, então, a ser representadas por suas
variantes e não por um ícone único, como o desenho tradicional, e as invariabilidades
das propriedades dos objetos acabam por sobressair no movimento.
Acredita-se, portanto, diante do exposto, que a significação de conceitos,
definições e propriedades se consolidam na resolução de problemas com aplicabilidades
e contextualizações, pois, ao buscar soluções, mobilizam-se e aplicam-se instrumentos
matemáticos disponíveis e adequados, levando o aluno a desenvolver sua estrutura
cognitiva e aprender. Nesse sentido, para Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p.553), “a
Resolução de Problemas refere-se a qualquer atividade na qual tanto a representação
49
cognitiva de experiência prévia e os componentes de uma situação problemática
apresentada são reorganizados a fim de atingir um determinado objetivo”.
50
5. O PERCURSO DA PESQUISA
Neste capítulo será descrito o caminho trilhado pela pesquisa seguindo uma
ordem cronológica, buscando ressaltar os elementos presentes nessa trajetória, tais
como: teorias, literaturas e percepções do pesquisador que o influenciaram na
aproximação da pergunta principal dessa investigação.
Assim, o estudo iniciou por uma busca de pesquisas anteriores em repositórios
de bibliotecas sobre investigações com o tema de ensino da trigonometria. Após essa
fase, procurou-se entender a importância histórica do assunto, as suas aplicações em
diferentes áreas do conhecimento e as atuais propostas de ensino presentes nos livros
didáticos. A partir daí, esta dissertação passou a limitar o objeto de estudo, com uma
proposta metodológica que complementasse o ensino de trigonometria, para que esse
pudesse se tornar uma ferramenta útil ao educador matemático, na tentativa de elevar o
desempenho dos estudantes, buscando atingir níveis de aprendizado satisfatórios.
A partir dessas motivações iniciais, procurou-se entender a evolução da
construção matemática da humanidade através de Costa (1997), Bertoli e Schuhmacher
(2013), Eves (2004), Kennedy (1992), Boyer (1996) e Aaboe (1984), procurando
perceber as influências contextuais da época que direcionavam as contribuições e
tecendo a trigonometria atual.
Logo em seguida, investigou-se a teoria de aprendizagem significativa em
Ausubel (1963), um dos pilares da psicologia de ensino, e Moreira (2011). Nelas, os
conceitos de assuntos subsunçores são amplamente discutidos, com o propósito de
analisar a influência dessa teoria na atual proposta curricular do Ensino Médio. Já em
Zabala (1998), buscou-se os conceitos e discussões sobre sequência didática e
atividades potencialmente significativas.
Para perceber o cenário atual do ensino da trigonometria preconizado pelos
documentos oficiais, leu-se: Guia do Professor do Plano Nacional do Livro Didático
(PNLD, 2012), Matriz do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM, 2009),
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM, BRASIL, 2000b) e
PCN+ Ensino Médio – Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN+, BRASIL, 2000a). Inclui-se, aí, ainda, a análise de três
livros didáticos, quer sejam: Dante (2007), Diniz e Smole (2010) e Iezzi et al (2010),
aprovados pelo PNLD 2012 e adotados nas redes privada e pública do Distrito Federal.
51
5.1 A elaboração do produto e sua aplicação
As leituras realizadas auxiliaram na montagem do produto final, um caderno de
atividades, que emprega o uso de material manipulativo (régua, esquadros e compasso)
e o software de geometria dinâmica Geogebra.
Nessa proposta, portanto, as atividades elaboradas buscam conceitos de
trigonometria fundamentados na geometria. Assim, cada tópico é abordado em dois
momentos sequenciais e distintos: primeiramente, utilizando material manipulativo
(régua, compasso, esquadro e transferidor) na construção das figuras, cujas vantagens
do uso de material concreto no ensino da trigonometria são defendidas por Gaspari e
Gerônimo (2011) e Góes e Colaço (2009).
Num segundo momento, as construções são realizadas em computador, com o
uso do programa Geogebra, quando os possíveis avanços da utilização do computador
em sala de aula são debatidos por Borba e Penteado (2012), Gravina (1996) e Masini e
Moreira (2008). Ressalta-se, ainda, que as atividades foram elaboradas focando-se no
Ensino Médio, porém, com possibilidade de utilização tanto no Ensino Fundamental II
quanto nas classes básicas de cursos superiores afins.
5.1.1 Descrição das atividades
A partir dessas ideias aqui discorridas, esta dissertação apresenta uma proposta
metodológica
complementar
com
tarefas
potencialmente
significativas
disponibilizando-as àqueles educadores matemáticos que buscam inovar em sua
mediação. Além disso, as atividades procuram suprir carências dos livros didáticos de
atividades, tarefas, exercícios e/ou projetos, empregando mídias manipulativas e
softwares de geometria dinâmica.
Tais atividades, como já dito anteriormente, são apresentadas como um produto,
reunidas em um caderno, que buscam complementar o desenvolvimento dos conteúdos.
Nele, é oportunizado ao estudante o contato com o assunto de maneira diferenciada e,
numa postura investigativa, envolvendo-o com a manipulação de instrumentos
(materiais manipulativos) e com o ambiente informatizado.
Para tanto, as tarefas iniciam resgatando os elementos subsunçores da vida
escolar pregressa do sujeito, não-arbitrários e essenciais para o desenvolvimento
cognitivo do pensamento matemático, aplicáveis à trigonometria. Dessa maneira, buscase preencher as possíveis lacunas pedagógicas existentes, para, em seguida, aprofundar
52
no assunto, procurando respeitar a temporalidade e a singularidade do sujeito presente
no processo de aprendizado, oportunizando uma crescente autonomia do saber fazer.
Procurou-se, assim, ao longo das atividades, apresentar aos discentes situações
desafiadoras, objetivando o desencadeamento de sua postura reflexiva na composição
do conhecimento matemático.
As tarefas elaboradas envolvem a trigonometria do triângulo retângulo, do
círculo trigonométrico e as funções trigonométricas, alicerçado pelas construções,
interpretações e fundamentações geométricas. As atividades 1 e 3 são tutoriais,
elaboradas para auxiliar e familiarizar os discentes no manuseio dos instrumentos e do
software Geogebra. Incluíram-se, ainda, nesse manual, traçados com elementos básicos
que preparam para as tarefas seguintes. Cada assunto foi abordado em dois momentos,
onde nas atividades 2, 5, 7 e 9 são empregados materiais manipulativos e nas 4, 6, 8 e
10 utilizam o software Geogebra.
Na montagem do quadro 3 com os assuntos e objetivos previstos para cada
atividade, pautou-se na análise dos livros didáticos e na Matriz de Referência para o
Enem 2009, procurando oportunizar o desenvolvimento das respectivas competências e
habilidades.
Quadro 3 - Assuntos, objetivos e tempo previsto das atividades
(Continua)
Tutoriais
1
Ativ.
Assuntos
 Manual do material de
desenho geométrico.
 Paralelismo.
 Perpendicularismo;
3
 Tutorial do software
Geogebra.
2




Triângulo retângulo.
Razões trigonométricas.
Leitura de texto.
Interpretação de texto.
Objetivos
 Conhecer e manusear os instrumentos.
 Traçar retas paralelas.
 Traçar retas perpendiculares.
Tempo previsto do
encontro e mídias
utilizadas.
 100 minutos.
 Régua, compasso e
esquadros.
 Software Geogebra.
 Conhecer a apresentação do Geogebra.
 Manusear a partir de comandos
básicos.
 Familiarizar com o software.
 Reconhecer um triângulo retângulo.
 Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
 Montar razões trigonométricas.
 Calcular as razões trigonométricas.
 100 minutos.
 Régua, compasso e
esquadros.
53
Ativ.
Assuntos
4
 Razões e proporções.
 Semelhança de
triângulos.
 Reconhecer um triângulo retângulo.
 Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
 Montar razões trigonométricas.
 Calcular as razões trigonométricas.
 Reconhecer triângulos semelhantes.
5
 Medidas de arco central.
 Unidades de medidas de
arcos.
 Linearização do arco.
 Relacionar diferentes unidades de
medidas de ângulo.
 Compreender a representação de arcos
em circunferências de arcos distintos.
 100 minutos
 Régua, compasso e
esquadros.
6
 Expressão geral dos
arcos.
 Determinar uma expressão geral dos
arcos.
 100 minutos.
 Software Geogebra.
7
 Redução ao primeiro
quadrante.
 Perceber o círculo trigonométrico
como campo de estudos dos triângulos
retângulos em seus quadrantes.
 Generalizar expressões de redução ao
primeiro quadrante.
 100 minutos
 Régua, compasso e
esquadros.
8
 Calculo do seno e
cosseno de um ângulo
agudo do triângulo
retângulo inscrito no
círculo trigonométrico.
 Representação do seno,
cosseno e tangente no
plano cartesiano.
 Reconhecer a equivalência de ângulos
no ciclo em quadrantes diferentes.
 Generalizar expressões de redução ao
primeiro quadrante.
 Representar a razão seno e cosseno e
tangente no círculo trigonométrico.
 100 minutos.
 Software Geogebra.
9
 Construir o gráfico da
função seno e cosseno no
plano cartesiano, a partir do
círculo trigonométrico.
 Análise do
comportamento do gráfico
da senoide e cossenoide.
 Identificar o comportamento das
funções seno e cosseno, representando-o
algébrica e graficamente.
 Familiarizar com o comportamento da
função seno e cosseno.
 Identificar regularidade em situações
semelhantes, relacionando padrões a
algoritmos e propriedades a partir do
comportamento dos gráficos das funções
trigonométricas seno e cosseno.
 100 minutos
 Régua, compasso e
 Construir o gráfico da
função tangente no plano
cartesiano, a partir do
círculo trigonométrico.

Análise do
comportamento do gráfico da
tangentoide, gerado a partir
do círculo trigonométrico.
 Identificar o comportamento de
valores trigonométricos com o da
função tangente, representando-o
algébrica e graficamente.
 Familiarizar com o comportamento da
função tangente.
 Identificar padrões de regularidade em
situações gráficas, percebendo
algoritmos e propriedades da função
trigonométrica tangente e como são
suas representações.
Fonte: Elaborado pelo autor
 100 minutos.
 Software Geogebra.
10
Objetivos
Tempo previsto do
encontro e mídias
utilizadas.
 100 minutos
 Software Geogebra
esquadros.
54
Vale ressaltar que, culturalmente, a maioria dos alunos está acostumada com
aulas expositivas, cuja postura em sala pouco extrapola a de assistir. Como reflexos
desse modelo, têm-se poucas interações entre os colegas de sala e, inclusive, com o
próprio professor sobre os assuntos, exercícios e tarefas propostas. Comumente, essa
prática dificulta ao docente perceber o nível de significações construídas pelos
estudantes, devido ao baixo nível de feedbacks, impedindo ou retardando os possíveis
ajustes nas mediações pedagógicas.
Para tanto, Zabala (1999) afirma que, para dialogar sobre uma determinada
ideia, exigem-se habilidades de organização concatenada do pensamento, assim como o
domínio de um vocabulário com palavras específicas de significados próprios. Mas ler,
interpretar, conjecturar, propor, negar ou aceitar determinada tese ou hipótese é um
labor enriquecedor nesse processo de ensino e aprendizagem, que favorece a
socialização e a cooperação, atendendo aos diferentes níveis e ritmos de aprendizagem.
Por isso, as atividades foram elaboradas procurando estimular essas interações
verbalizadas entre alunos e aluno-professor, num ambiente favorável de aprendizagem,
livre de constrangimentos em proposições quaisquer, sejam elas simples, complexas,
corretas, errôneas ou infundadas. Deseja-se, assim, que os estudantes sejam convidados
a exporem os seus pontos de vista e/ou escrever suas conjecturas, seja em papel ou no
quadro, testando e esclarecendo-as, de preferência, verbalmente, permitindo, inclusive,
uma melhor panorâmica do processo pelo professor e esse, em uma constante avaliação
da mediação, poderá optar por manter ou redirecionar os encontros seguintes.
Dessa forma e visando oportunizar o confronto de ideias entre os estudantes, que
requer uma organização concatenada e estruturada do pensamento, sugere-se pelas
duplas flexíveis de trabalho, tanto nas pranchetas da sala de desenho como no
laboratório de informática. Portanto, para realizar as atividades, os aprendizes têm a
liberdade de se agruparem em duplas e, num constante diálogo, confirmarem, rebaterem
e/ou solicitarem explicações, respondendo as atividades e, assim, construírem o seu
conhecimento, refinando-o através de um constante ir e vir ideológico.
Nessa proposta, portanto, cada dupla recebe uma ficha contendo um roteiro de
construção da figura e questões a serem respondidas, com cálculos a executar e/ou
quadros para completar. Durante o encontro, o professor transita entre as duplas de
trabalho acompanhando e mediando, ora esclarecendo questionamentos, ora fazendo
observações sobre o que é produzido, mas sempre respeitando o ritmo do grupo e
procurando estimular a autonomia. Em casos quando a dúvida ou impasse se fazem
55
presentes na maioria, há uma chamada para socialização com a turma. No final de cada
encontro, os alunos enviam os arquivos digitais para o endereço eletrônico do professor
e/ou entregam seus desenhos, além das fichas devidamente preenchidas e, então, os
principais conceitos e conclusões do grupo são expostos e generalizados.
5.2 Teste piloto
Elaboradas as atividades, foi, então, realizado o teste piloto nos voluntários
(professores doutores e mestrandos) integrantes do Grupo de Pesquisa em Educação
Matemática (Grupimem), da Universidade Pontifícia Católica de Minas Gerais (PUCMG) vinculados ao Programa de Pós-Graduação stricto sensu. Esse teste auxiliou os
ajustes necessários, para posterior aplicação nos alunos.
5.3 Aplicação das atividades
As atividades foram aplicadas nos meses de agosto e setembro de 2014. No
primeiro encontro, foi esclarecido que aquelas tarefas faziam parte de uma pesquisa,
procurando resgatar e aprofundar os conhecimentos em trigonometria. Seus conceitos e
definições estavam associados aos tópicos da matéria, e a compreensão do assunto
poderia promover melhores condições na aprendizagem dos tópicos abordados em
Cálculo Diferencial e Integral 1.
Buscando transparência e compromisso com a ementa do curso, foi informado
da existência de um calendário especial por conta do evento da Copa do Mundo de
Futebol 2014 e devido ao excedente de carga horária no planejamento do semestre, a
aplicação das atividades não traria prejuízo no desenvolvimento do conteúdo.
O Professor Pesquisador foi o observador participante na aplicação das
atividades aos alunos, sendo realizados registros desses encontros na forma de gravação
de áudio, fotografias, anotações descritivas, realizadas juntamente com a monitora
disponibilizada ao docente pela Instituição de Ensino.
As transcrições dos diálogos ocorreram geralmente no mesmo dia, para uma
ficha de registro do encontro, tentando assegurar a totalidade e fidelidade dos fatos
ocorridos, procedimento necessário pela caracterização qualitativa da investigação. Para
a aplicação das atividades elaboradas, contou-se com a escola em que o professor
56
pesquisador atuava na época: o Instituto Federal de Ciência e Tecnologia Brasília (IFB)
e um grupo de dezoito alunos.
O Instituto Federal de Ciência e Tecnologia Brasília foi criado em 2008 pela lei
federal 11.892/08, incluindo as Escolas Técnicas Federais e os Centros de Ensino
Federal Tecnológicos (Cefets) à Rede Federal de Educação Profissional. De acordo com
o documento:
Lei 11.892/08 - Lei nº 11.892, de 29 de dezembro de 2008.
Institui a Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica,
cria os Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia, e dá outras
providências.
Capítulo I
Da Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica
Art. 1º Fica instituída, no âmbito do sistema federal de ensino, a Rede
Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica, vinculada ao
Ministério da Educação e constituída pelas seguintes instituições:
I - Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia - Institutos
Federais;
Art. 2º Os Institutos Federais são instituições de educação superior, básica e
profissional, pluricurriculares e multicampi, especializados na oferta de
educação profissional e tecnológica nas diferentes modalidades de ensino,
com base na conjugação de conhecimentos técnicos e tecnológicos com as
suas práticas pedagógicas, nos termos desta Lei. (BRASIL, 2008, p.1).
Essa lei também estabelece os objetivos prioritários dos Institutos que buscam
diminuir a escassez de recursos humanos qualificados atuando em diversos níveis,
inclusive nos técnicos de nível médio e licenciaturas. Nele, portanto, é preconizado que:
Art. 7º - Observadas as finalidades e características definidas no art. 6º desta
Lei, são objetivos dos Institutos Federais:
I - Ministrar educação profissional técnica de nível médio, prioritariamente
na forma de cursos integrados, para os concluintes do ensino fundamental e
para o público da educação de jovens e adultos;
VI - Ministrar em nível de educação superior:
b) Cursos de licenciatura, bem como programas especiais de formação
pedagógica, com vistas na formação de professores para a educação básica,
sobretudo nas áreas de ciências e matemática, e para a educação profissional;
Art. 8º - No desenvolvimento da sua ação acadêmica, o Instituto Federal, em
cada exercício, deverá garantir o mínimo de 50% (cinquenta por cento) de
suas vagas para atender aos objetivos definidos no inciso I do caput do art. 7o
desta Lei, e o mínimo de 20% (vinte por cento) de suas vagas para atender ao
previsto na alínea b do inciso VI do caput do citado art. 7º. (BRASIL, 2008,
p.4-5).
5.3.1 O Instituto Federal Brasília - Campus Taguatinga
O Campus Taguatinga, foi inaugurado em 2010 e atua em três eixos:
Eletromecânica, Informática e Vestuário. A estrutura física, naquela época, era
composta por um bloco administrativo, um auditório com duzentos lugares, um ginásio
57
poliesportivo e uma edificação com quinze salas de aula (equipadas com projetor e
computador), sala de criação e arte (sala de pranchetas) e os seguintes laboratórios:

Corte e modelagem;

Eletricidade;

Informática;

Metrologia;

Pneumática;

Usinagem e Soldagem.
Como recursos humanos, o campus contava com um quadro de 82 servidores e
30 terceirizados. Os 60 professores e 22 técnicos ingressaram na carreira pública
mediante aprovação em concurso público e eram regidos pelo regime estatutário. A
totalidade dos docentes era de mestres, doutores, mestrandos ou doutorandos.
No segundo semestre de 2014, data da aplicação das atividades da pesquisa, a
escola tinha 560 alunos matriculados, nos seguintes cursos:
 Técnicos Subsequentes em: Manutenção, Informática, Eletromecânica e
Vestuário;
 Formação Inicial e Continuada (FICs);
 Área Básica de Informática (ABI7) (Licenciatura e Bacharelado em Ciência
da Computação).
5.3.2 Os sujeitos da pesquisa
Os dezoito estudantes que contribuíram com a pesquisa faziam parte da primeira
turma do Curso Superior em ABI e estavam regularmente matriculados na componente
Cálculo Integral e Diferencial 1, sendo o professor pesquisador o responsável pela
disciplina naquele semestre. A maioria era proveniente de escolas públicas do Distrito
Federal, da modalidade de Educação de Jovens e Adultos e ingressaram no curso
superior do IFB pela nota do Enem. Resolveu-se aplicar os experimentos nesses
estudantes, tendo em vista as lacunas apresentadas por eles no entendimento dos
7
Área Básica em Computação(ABI) é um curso superior de graduação em que os discentes, após
cumprirem as componentes básicas comuns, podem optar por Licenciatura ou Bacharelado em Ciência da
Computação.
58
conceitos da trigonometria, o que, por sua vez, poderia dificultar a compreensão das
definições a serem desenvolvidas no decorrer do curso.
Nesse sentido, para Garnica (2004):
(a) a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma
hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar;(c) a
não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de
suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se
desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões e também os
meios de obtê-las podem ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de
estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios,
estáticos e generalistas. (GARNICA, 2004, p. 86).
Confirmando essa categoria, a pesquisa realizada prioriza procedimentos
descritivos explicitando a visão de conhecimento e admitindo uma certa subjetividade
do pesquisador. Além disso, Fiorentini e Lorenzato (2012) mencionam que, quando a
coleta acontece em sua fonte de forma descritiva, o pesquisador é o observador
participante.
Bogdan e Biklen (1994) e Lüdke e André (1986) reforçam essa tipologia
acrescentando o fato da diversificação das fontes de informação, a acessibilidade, a
fluidez e a facilidade da linguagem utilizada e a ênfase dada à interpretação de um
contexto, buscando revelar, durante o processo, elementos e fatos que apontam os
rumos do trabalho.
Após essa trajetória, passou-se a analisar os dados da pesquisa obtidos na
aplicação, evidenciando fatos relevantes durante o processo, para, então, compor as
considerações finais do trabalho.
59
6. APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Nesse capítulo pretende-se expor sobre a aplicação das atividades realizadas e os
fatos que aconteceram no decorrer dessa aplicação. Para tanto, a fim de localizar melhor
o leitor, procurou-se inserir, no decorrer da análise, a parte da atividade realizada pelo
pesquisador quando foram feitas as observações e ocorreram aqueles diálogos escritos.
6.1 Atividades tutoriais 1 e 3
A ideia inicial da elaboração dessas atividades tutoriais era a de que elas fossem
introdutórias e que tivessem a principal função de instruir os alunos, que nos diálogos
foram nomeados por letras maiúsculas escolhidas aleatoriamente. Os primeiros contatos
com os instrumentos e software visavam, então, desenvolver habilidades de manuseio e
comandos, respectivamente. Para tanto, na atividade tutorial 1, foram propostas
construções simples, com emprego de materiais manipulativos (régua, compasso e
esquadros) para traçados de segmento, retas paralelas ou perpendiculares, arcos e para a
execução de medidas de segmentos e ângulos.
Na atividade tutorial 3, por sua vez, foram apresentadas algumas instruções
introdutórias, deixando o aluno à vontade, por alguns instantes, para experimentar os
recursos disponíveis do programa. Propunham-se, naquele momento, construções com
elementos básicos da geometria (ponto, reta e segmento de reta), incentivando a
manipulação de comandos através de experimentação e da observação em ambiente
informatizado, como demonstrado a seguir:
ATIVIDADE 1 - TUTORIAL DE MANUSEIO DOS INSTRUMENTOS
MANIPULATIVOS
OBJETIVOS
A atividade visa à familiarização do aluno com os instrumentos
manipulativos de desenho, em construções futuras, atentando para certos
cuidados como medições corretas, posicionamento adequado das mãos e
instrumentos, de forma a desenvolver uma habilidade básica.
60
MATERIAIS
Régua flexível transparente, esquadro isósceles, esquadro escaleno,
compasso, folha A4, lápis, lapiseira com grafite, lápis de cor e borracha.
CONHECENDO OS INSTRUMENTOS
ESQUADRO ESCALENO – Trata-se de um triângulo RETÂNGULO
escaleno, onde dois ângulos internos são agudos, com medidas de 30o e 60o.
O terceiro ângulo é reto (90o), conforme mostra a figura abaixo.
Figura 1
ESQUADRO ISÓSCELES - Trata-se de um triângulo retângulo isósceles,
cujos dois ângulos internos são agudos com medidas iguais de 45o. O
terceiro ângulo é reto (90o) conforme mostra a figura abaixo.
Figura 2
POSIÇÃO DA FOLHA – A folha de A4 pode estar em uma das duas
posições, retrato (em pé) ou paisagem (deitada).
COMPASSO – Instrumento utilizado para traçar arcos e circunferências,
com medidas de raios diversos. Formado por duas hastes, com grafite em
uma das pontas. A ponta seca é metálica e serve para fixar o compasso na
folha, evitando que ele escorregue no momento de traçar.
Figura 3
61
LÁPIS OU LAPISEIRA – Esses instrumentos são bem conhecidos por
todos. Porém, poucos sabem que a dureza do grafite recebe uma
classificação de 2H, H, HB, B, 2B e outros. Essa categorização parte do
mais duro (2H), para os mais macios (2B), como mostra a figura abaixo. Os
grafites mais duros (2H e H) são indicados para as pessoas que possuem
uma maior força no traço, enquanto os mais macios (2B e B) são para os
que forçam menos ao traçar. O lápis ou lapiseira devem ser posicionados
levemente inclinados e rotacionados8 ao longo do traçado. Esses
procedimentos melhoram o conforto e mantêm o grafite apontado, refletindo
diretamente na precisão do desenho.
Figura 4
TRAÇANDO ELEMENTOS BÁSICOS
TRAÇANDO UMA RETA HORIZONTAL – Para a construção proposta, leia
as orientações abaixo, observando as imagens 5 e 6. Com a folha A4, na
posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno com a borda
esquerda da folha. Assim, o lado graduado do esquadro estará na posição
horizontal. Trace uma linha horizontal no centro da folha, com o lápis
levemente inclinado e, preferencialmente, da esquerda para direita.
Imagem 5
Imagem 6
Após explicação aos alunos, sobre os objetivos desse tutorial, pediu-se que eles
traçassem uma reta horizontal na folha.
CA e L – O que é uma reta horizontal, professor?
Professor - Imaginem comigo! Vamos num passeio à torre de televisão, aqui em
Brasília. Ao chegarmos ao mirante e olharmos para o Congresso Nacional,
8
A rotação do lápis no próprio eixo deverá ser feita entre os dedos polegar e indicador.
62
observaremos, no fundo, o encontro entre o céu e a terra. Qual o nome dessa linha de
encontro?
L – Horizonte.
CA – Linha horizontal tem a ver com linha do horizonte, né, professor?
Professor – Isso! Entendeu a origem do nome da posição absoluta da reta?
TRAÇANDO UMA RETA VERTICAL - Para a construção, leia as
orientações abaixo, observando as imagens 7 e 8. Na mesma folha A4 e
posição que você utilizou para traçar a reta horizontal, alinhe o menor lado
do esquadro escaleno com a borda superior da folha. Com o lado graduado
(perpendicular ao primeiro), trace uma linha vertical imaginária no centro
da folha.
Imagem 7
Imagem 8
CR e M – O que é reta vertical, professor?
Professor – Agora, vamos descer da torre pelo elevador panorâmico. Porém, um
observador nos vê lá no estacionamento. Qual a trajetória do elevador descrita pelo
observador em nossa descida?
M – Eu imagino uma linha que cruza a linha do horizonte, sendo igual ao
caminho da queda de uma pedra.
Professor – Perfeito!
CR e M – Linha vertical é em pé, e a horizontal é deitada!
Professor – Perfeito!
Os alunos prosseguiram, então, na atividade:
TRAÇANDO RETAS PARALELAS HORIZONTAIS – Nessa mesma folha
A4, alinhe o lado graduado do esquadro escaleno na reta horizontal, que
63
você já traçou. Apoie o maior lado do esquadro isósceles no menor lado do
menor esquadro, conforme imagem 9. Firme o esquadro isósceles e deslize o
escaleno para a posição de interesse e trace a paralela. Sem soltar o
esquadro isósceles, reposicione o escaleno e trace novas retas paralelas.
Observe as imagens 9, 10 e 11 para facilitar o manuseio.
Imagem 9
Imagem 10
Imagem 11
Nesse momento, surge um comentário:
Aluno L – Ah professor! Vamos desenhar retas, uma do lado das outras, né?
Mas com qual distância entre elas?
O professor percebe a oportunidade de verificar o nível de significação do
conceito de retas paralelas e questiona a turma:
Pessoal, o que são retas paralelas?
Os alunos J, M, L e C respondem simultaneamente: – Retas que nunca se
encontram!
Professor – Então, quantos pontos comuns elas possuem?
J e L – Nenhum!
Professor – Mesmo se prolongássemos infinitamente?
L – Sim. Nenhum é nenhum!
Professor – Muito bom! Mas qual pode ser a distância entre elas?
J e C – Qualquer, desde que nunca se toquem?
Professor – Certo!
64
TRAÇANDO RETAS PARALELAS PERPENDICULARES
Com o esquadro isósceles, alinhe o lado igual à reta vertical que você já
traçou. Assim, o lado graduado estará na posição horizontal, onde você
apoiará o maior lado do esquadro escaleno, conforme imagem 12. Firme o
esquadro escaleno, que será o apoio, para o isósceles deslizar e, assim,
coloque-o na posição de interesse e trace um reta paralela perpendicular.
Sem soltar o esquadro escaleno, reposicione o isósceles e trace nova reta
perpendicular. Observe as imagens 12, 13 e 14 para facilitar o manuseio e
traçado.
Imagem 12
Imagem 13
Imagem 14
TRAÇANDO CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS COM O COMPASSO
Marque um ponto no centro da folha A4. Abra as hastes do compasso com
uma abertura qualquer. Pegando no ponto de apoio do compasso, coloque a
ponta seca nesse ponto para firmá-lo e incline-o levemente. Com cuidado,
rode-o traçando a circunferência ou arco desejado, como é demonstrado
nas imagens 15, 16 e 17.
65
Imagem 15
Imagem 16
Imagem 17
Depois de traçar a circunferência, o aluno C pergunta:
– Qual é o nome da distância entre esse ponto (referindo-se ao ponto que fixou o
compasso para girar) e a circunferência?
O professor resolveu investigar o nível de significação conceitual dos elementos
de circunferência, perguntando à turma:
– Qual é o nome desse ponto que vocês firmaram a ponta seca do compasso?
M e L: – Centro!
Professor – E o nome da distância que o colega perguntou?
Com intervenções tumultuadas, percebeu-se que alguns responderam: diâmetro e
outros, raio.
Percebida a pouca ou ausente significação do conceito, o professor resolveu
socializar, com todos as definições de raio e diâmetro, mostrando suas relações.
66
ATIVIDADE 3 - TUTORIAL DE MANUSEIO DO SOFTWARE
GEOGEBRA
O programa Geogebra é um software gratuito de geometria dinâmica, que
permite construções geométricas com fundamentos algébricos. Ele pode ser
instalado em várias plataformas (Windows, Mac, Linux e outros) e on-line,
necessitando de acesso à internet.
Para iniciar, clique no ícone do programa Geogebra
. Ele abrirá e
aparecerá a primeira tela representada pela imagem 18. Observe as escritas
em vermelho, como barra de menu, barra de ícones, janela de álgebra, eixos
ortogonais e barra de entrada.
Imagem 18
Na barra de ícones, há vários deles, e em cada um existe uma seta, que está
na parte inferior direta, como mostra a imagem 19. Quando você clicar
nessa seta, vários outros ícones internos abrirão, conforme a imagem 20.
Imagem 19
67
Imagem 20
Quando sobrepuser a seta na caixa diálogo de cada ícone selecionado,
aparecerá o comando a ser realizado na área de trabalho, conforme mostra
a imagem 20.
A visualização da tela pode ser ajustada, tornando-a mais confortável para
você. Para isso, selecione o ícone “Deslocar eixos” ou “Ampliar” (observe
a imagem 21) ou com o scroll do mouse (Imagem 22), ajuste a tela.
Imagem 21
Imagem 22
Por alguns instantes, os alunos manipularam o programa, tentando criar algo
livre.
J – Professor, posso construir um triângulo aqui na tela?
Professor – Sim!
J – Como faço isso?
CA – Tem um quadradinho escrito “ponto”. Aperte nele e coloque três pontos na
tela. Depois, aperte o quadrado escrito polígono e leia o que ele pede para construir. Fiz
assim, bem fácil!
J – Ah, consegui! Simples mesmo!
68
6.2 Aplicação e análise da atividade 2
Essa atividade tentava resgatar os conceitos básicos de trigonometria no
triângulo retângulo, possivelmente já estudados em dois momentos pregressos da vida
escolar do estudante: no 9º ano do Ensino Fundamental e/ou no 1º ano do Ensino
Médio. Nessa proposta, então, os alunos construíram, seguindo o roteiro, um triângulo
retângulo utilizando os materiais manipulativos. Logo em seguida, a partir dessa
construção, passaram a identificar e reconhecer os elementos do triângulo retângulo,
montando e calculando as razões trigonométricas dos ângulos agudos internos.
Para tanto, foram disponibilizados os esquadros, compasso, transferidor e uma
ficha impressa contendo o roteiro e as tarefas a serem realizadas. O professor explicou,
inicialmente, a importância de seguirem a sequência proposta, evitando possíveis erros
na construção das figuras. Como sugestão do trabalho da dupla, propôs-se que,
enquanto um dos membros lia o roteiro em voz alta, o segundo construía o solicitado.
Depois de construído, ambos realizavam as devidas medições, montavam as tabelas e
respondiam as perguntas, enquanto o professor transitava pelas mesas. Porém, quando
ele percebia alguma dificuldade da maioria dos alunos, decidia por socializar a todos,
esclarecendo a dúvida.
ATIVIDADE 2 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Construção de triângulo retângulo com o uso de esquadros, régua e
compasso
MATERIAIS – Régua flexível transparente, esquadro isósceles, esquadro
escaleno, compasso, folha A4, transferidor, lápis, lapiseira com grafite,
lápis de cor e borracha.
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1.
No centro da folha A4, em posição retrato, trace um segmento
horizontal AB de 10 cm;
2.
Encontre o ponto médio M do segmento AB;
3.
Coloque a ponta seca do compasso no ponto M, abra a haste grafitada
até A e trace a semicircunferência AB;
4.
Em qualquer local do arco AB, marque um ponto C;
5.
Trace os segmentos AC e BC obtendo o triângulo ABC;
6.
Nomeie os ângulos α = CÂB, β = ABC e θ = ACB.
69
7.
Nomeie os três lados a, b, c opostos respectivamente aos ângulos α, β e
θ.
A partir da construção desse triângulo, responda as atividades seguintes.
Acredita-se que as dificuldades percebidas durante a construção podiam estar
associadas à pouca prática de leitura, à falta de habilidade com os instrumentos
manipulativos, ao hábito de resolução de questões de listas e avaliações, sem seguir uma
sequência ordenada, e à não adaptação a um diferente tipo de aula, onde o aluno é ativo
e não passivo, demonstrado pelos diálogos abaixo:
O aluno L argui – Professor, precisa seguir esse roteiro, nessa sequência?
Professor – Sim! Isso é um roteiro de construção, com sequência numerada!
L: E se não seguir essa ordem?
Professor – Sua construção pode ficar incorreta, vocês podem preencher a tabela
erroneamente e, consequentemente, responder as perguntas de forma equivocada. Por
esses motivos, é fundamental seguir o roteiro, na ordem em que foi proposto.
Mesmo sendo questionado somente pelo aluno L, notou-se que outros seguiam
sem dar importância à instrução inicial e perceberam, depois, o erro na construção.
Após esse diálogo, várias duplas refizeram seus triângulos obtendo desenhos próximos
ao da figura 21.
Figura 21 - Triângulo construído pelos alunos a partir do roteiro
Fonte: Dados da pesquisa
Acredita-se que a resistência de seguir a ordem do roteiro pode ser proveniente
da similaridade que os alunos enxergam entre esse e a resolução de questões em listas e
avaliações. É comum a orientação aos estudantes de iniciar por questões mais fáceis,
deixando para um segundo momento as mais difíceis, não havendo uma obrigatoriedade
70
de seguir a ordem em que se apresentam em avaliações. Com isso, eles podem se
tranquilizar, melhorar a autoestima e voltar a resolver questões, anteriormente não
resolvidas, e, possivelmente, melhorar o índice de acertos.
Figura 22 - Discente construindo o triângulo da atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
A necessidade de atividades de resgate desses conceitos subsunçores para esse
grupo de alunos ficou evidente, pois mesmo cursando o Ensino Superior, após serem
selecionados pelo Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), eles demonstraram um
precário entendimento dos conceitos básicos de geometria plana, conforme se
demonstrou nos diálogos a seguir:
Ao ler o item 2 do roteiro:
J – Ponto médio é a metade da reta?
O professor, depois de ser questionado por outras duplas, percebeu que, para a
maioria dos alunos, o conceito estava fragmentado e parcialmente correto, resolvendo
socializar com todos.
Professor – O que é ponto médio, mesmo?
Aluno L – Metade.
Professor – Então, ponto médio tem a ver com metade?
M e K – Sim.
Professor – Metade do quê?
J – Do segmento.
Professor – Da medida do segmento!
Percebendo, ainda, a fragmentação do conceito, o professor escreveu no quadro
o conceito completo: “Ponto médio é o ponto equidistante das extremidades, ou seja, é
aquele ponto que está na metade da medida do segmento de reta”.
L – O que é segmento de reta?
71
O professor, investigando o nível de significação desse conceito, socializou
pedindo para alguém responder.
M, imediatamente: – Parte da reta!
Professor – Qual o início e o fim, no caso do segmento AB?
M – Início no ponto A e término no ponto B!
L se desespera e fala: – Não sei de nada!
O professor pediu, então, para o aluno L seguir trabalhando com calma, na sua
dupla, e explicou que esses e outros conceitos seriam revistos, conforme fossem
surgindo.
B) Os seus lados recebem nomes especiais? Quais e por quê?
Para responder esse item, os alunos precisavam saber identificar o ângulo reto e
o nomear os lados do triângulo retângulo.
Não houve problemas para identificar a hipotenusa, mas o professor decidiu
investigar: – Como vocês identificam a hipotenusa?
M e J: O maior lado. O lado oposto ao ângulo reto!
Professor – Então, qual é o nome dos outros lados do triângulo retângulo?
M, J, CA, L, K e C respondem, apesar de ser percebida insegurança:
– Cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
Professor: Mas oposto e adjacente são qualidades! Antes disso, quais são os
nomes dos lados?
(Passado um minuto...)
J e C: – Cateto ou hipotenusa!
Professor – Isso!
CA e L – Quem é o cateto oposto e cateto adjacente?
Professor – Pessoal, como é que eu identifico o cateto oposto e o adjacente?
(Silêncio)
Professor – Qual é o sinônimo da palavra oposto?
M e J – De frente!
Professor – E adjacente?
M e J – Do lado!
72
Os alunos entenderam a questão, mas C e L se mostraram inseguros. O
professor, então, resolveu questioná-los: – Qual é o cateto oposto e cateto adjacente do
triângulo construído em relação aos ângulos α e β?
Eles respondem corretamente, mostrando que compreenderam o conceito.
C) Existe alguma relação entre os ângulos α e β? Qual?
Nesse
item
desejava-se
que
os
estudantes
conceituassem
ângulos
complementares. Uma boa parte não entendeu essa definição e, consequentemente, qual
a relação entre α e β. Portanto, o professor resolveu socializar tal dúvida:
Professor – No triângulo ABC, retângulo em C, qual é a soma dos ângulos α + β
+ θ?
M – 180º!
Professor – Por quê?
CA e J – Eles são ângulos de dentro do triângulo!
M – Ângulos internos. E nos triângulos, a soma dos ângulos de dentro é sempre
180º!
Professor – OK! E qual o valor de θ?
K – 90º!
Professor – Então, qual o valor da soma de α + β, se θ = 90º?
M, K, J, CA e CR – 90º!.
Professor – Por quê?
Os mesmos alunos responderam num tumulto. O professor pediu para que
somente um falasse, e eles, rapidamente, elegeram o M:
– Se os três juntos dão 180º, e um deles já é 90º, então, a soma de α e β só pode
ser 90º.
Investigando a noção de ângulo, o professor questionou:
– Quais seriam os possíveis valores de α e β?
M – 45 º e 45º.
Professor – Somente?
Nesse
momento,
percebe-se
a
significação
do
conceito
de
ângulos
complementares, pois eles passam a dar vários exemplos: 30º e 60º, 50º e 40º, 20º e
70º...
73
J e C chegaram a generalizar: – Basta que a soma seja 90º!
D) Como se calcula seno, cosseno e tangente de um ângulo, em um triângulo
retângulo?
Para responderem o item D, os discentes precisavam lembrar as definições de
razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, porém, a maior parte da turma não
conseguia relembrar. Nesse momento, o professor achou, então, conveniente socializar e
rever tais definições, registrando no quadro.
E) A partir da construção que você fez e com os conceitos relacionados,
complete corretamente a tabela a seguir. Obs.: A partir das razões
trigonométricas encontradas, calcule as medidas dos ângulos pesquisando
ou utilizando uma calculadora científica.
Compr. lado “a” (cm)
Compr. lado “b” (cm)
Sen α =
Cos α =
Tg α =
Med.do Âng. α=
Sen β =
Cos β =
Tg β =
Med. do Âng. β=
Compr. lado “c” (cm)
“c”(cm)
Med. Âng θ=
No item E, eles mediram o que era solicitado rapidamente. Para encontrar os
valores dos ângulos α e β, a partir das razões trigonométricas, disponibilizou-se uma
tabela com os valores de ângulos e seus respectivos senos, cossenos e tangentes.
Para obter o valor do ângulo θ, esperava-se que os alunos pudessem seguir
caminhos distintos e possíveis. O primeiro seria recorrer ao uso do transferidor para
medir a abertura do arco ACB. Uma segunda opção seria utilizar os conceitos e
propriedades de arcos na circunferência. Outra possibilidade, ainda, seria testar a
relação de Pitágoras confirmando que o lado AB é a hipotenusa e, por consequência,
ter-se-ia o ângulo θ, como reto. Porém, nenhum estudante recorreu, nesse momento, a
esses dois últimos caminhos.
Contudo, surgiu outra forma, não prevista e válida, para certificar a medida do
ângulo em questão, pois alguns alunos sobrepuseram os catetos do esquadro, nos lados
AC e BC do triângulo e perceberam, por comparação, que o ângulo C era reto, assim
74
como o do esquadro. Observa-se que esse método se mostra válido para esse contexto e
induziu alguns pensamentos dos alunos como, por exemplo:
C – Eu nunca tinha entendido sobre o que era cateto oposto e cateto adjacente.
Agora sim, isso faz mais sentido!
Finalizado o tempo previsto, a maioria da turma já tinha concluído, sendo
proposta, então, a atividade 4, no encontro seguinte, com o uso do software Geogebra,
buscando consolidar a significação desses conceitos.
6.3 Aplicação e análise da atividade 4
Essa atividade foi aplicada com a participação de dezesseis alunos, em uma
tentativa de melhorar a significação dos conceitos envolvidos na trigonometria no
triângulo retângulo, utilizando, como recurso de construção, o software Geogebra.
Figura 23 - Alunos participantes da pesquisa no laboratório computacional
Fonte: Dados da pesquisa
ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
COM O USO DO GEOGEBRA
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada (parte inferior esquerda da tela), entre com o
ponto A, digitando o seguinte comando: A=(0,0). Agora aperte a tecla enter
e observe que aparecerá o ponto A sobre o eixo horizontal;
3.
Da mesma forma, entre com o ponto B=(10,0);
4.
Da mesma forma, entre com o ponto C=(10,3);
5.
Selecione o ícone ponto médio
e encontre D, ponto médio de AB;
75
6.
Repetindo a etapa anterior, encontre o ponto E, médio de BD;
7.
Localize o ícone: segmento definido por dois pontos
, trace os
segmentos AB, BC e AC. No final, você terá construído o triângulo ABC;
8.
Localize o ícone: retas perpendiculares
e trace duas
perpendiculares ao segmento AB, uma passando por D e outra por E;
9.
Com a ferramenta ponto de interseção entre objetos
, identifique o
encontro entre a reta perpendicular que passa por E e o segmento AC,
obtendo o ponto F;
10. Com a mesma ferramenta, ponto de interseção entre objetos
,
identifique o encontro entre a reta perpendicular que passa por D e o
segmento AC, obtendo o ponto G sobre AC.
11. Agora, selecione o ícone, medida de comprimento
e identifique as
medidas de todos os lados dos triângulos ABC, AEF e ADG e a medida do
ângulo Â. Observe que as medidas dos segmentos informadas pelo
programa estão em centímetros;
12. Selecione a ferramenta ângulo
e encontre a medida do ângulo
BÂC, clicando nos pontos B, A e C, na seguinte sequência: primeiro no B,
depois no A e, por último, no C. Observe que aparecerá um ângulo α, com a
medida em graus.
Os alunos, logo que começaram a leitura, estabeleceram a semelhança entre as
atividades 2 e 4, devido a ambas seguirem roteiros sequenciados de construção:
M ˗ Professor, esse roteiro é igual aquele da outra atividade em que desenhamos
o triângulo, usando o compasso e esquadro?
Professor ˗ Como assim, igual?
M – Aquele, professor, que não pode pular etapa!
Professor ˗ Perfeito! Lembrem-se de que precisam seguir a ordem do roteiro!
Observou-se, nos diálogos dos discentes, a ausência de significação em vários
conceitos geométricos básicos da geometria plana, o que foi igualmente percebido na
atividade 2. Porém, alguns conceitos foram resgatados ao longo dessas duas atividades:
CA e L – Professor, esses pontos A, B e C, são pontos do plano?
Professor ˗ Como é o nome desse plano?
CA ˗ Ah, professor! Não lembro! Só sei que tem o eixo x e o eixo y!
76
Professor ˗ Ele se chama: plano cartesiano, e seus eixos são: abscissas (x) e
ordenadas (y).
L e M ˗ Esses números dentro dos parênteses significam o quê?
Professor ˗ O primeiro é o valor da abscissa (x) e o segundo é o valor da
ordenada (y).
L e M ˗ Então, no ponto C = (10,3), o x é 10 e o y é 3?
Professor ˗ Sim! Isso mesmo!
M e CA ˗ Ah! Agora lembrei!
CL – Esse eixo horizontal, do segundo passo, é o mesmo da reta horizontal que
desenhamos na atividade passada?
Professor – Quase! Você quer dizer que eles estão na mesma posição?
CL – É professor!
CA – Ah! Esse ponto médio daqui é igual àquele que está no meio do segmento?
O mesmo da atividade passada?
Professor – Perfeito!
L e C – Professor! Na etapa 8, a reta perpendicular aqui é uma vertical, já que o
segmento AB é horizontal, né? É aquela mesma trajetória do elevador da torre de TV,
que o senhor nos contou?
Professor – Sim!
M, CA e L – Professor, o que é interseção?
(E tentando buscar exemplo na própria geometria)
Professor – Pense em várias retas paralelas. Elas possuem pontos comuns?
Percebendo que outros paralisaram, o professor resolveu socializar e refez a
pergunta a todos:
Professor – Hein, gente! Retas paralelas possuem pontos comuns?
Muitos respondem: Não! Paralelas não se cruzam! Logo, não há interseção entre
elas!
Professor - Isso mesmo! Entenderam o que significa interseção?
Eles respondem e confirmam: Sim! No caso da etapa 10, é o ponto de
cruzamento.
K e LU – Consegui professor, são três triângulos?
Professor: Já? E as medidas, obtiveram?
Alguns estudantes respondem rapidamente: Só falta isso!
A figura 24 mostra a construção de um aluno, do triângulo, no Geogebra.
77
Figura 24 – Construção do triângulo com o software
Fonte: Dados da pesquisa
Já a figura 25 mostra a construção completa do triângulo retângulo proposto a
partir do software.
Figura 25 – Triângulo obtido da construção da atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Logo que os discentes construíram os triângulos, passaram a preencher a tabela
com o cálculo das razões trigonométricas do ângulo solicitado para relembrar as
relações.
78
Agora, com a construção que você fez no Geogebra, complete a tabela abaixo
corretamente.
Os alunos calcularam, primeiramente, as razões trigonométricas, de acordo com
os registros da figura 26, para verificar a medida do ângulo Â, informada pelo software.
Para tanto, eles pesquisaram em livros que continham a tabela de senos, cossenos e
tangentes dos ângulos de 0º a 90º e, por aproximação, certificaram se o valor informado
estava coerente.
Figura 26 – Registros para preenchimento da tabela
Fonte: Dados da pesquisa
Com base nos triângulos construídos e nos cálculos realizados, as oito duplas de
trabalho preencheram a tabela, como mostra a figura 27:
79
Figura 27 – Tabela da atividade 4, preenchida pelos alunos M e CH
Fonte: Dados da pesquisa
Finalizado o preenchimento da tabela, os alunos passaram a refletir, questionar e
conjecturar sobre as propriedades envolvidas nos triângulos construídos. A partir de
uma pergunta de uma dupla, o professor percebeu que podia promover uma exploração
investigativa sobre semelhança e congruência de triângulos, não prevista, mas cabível
para o momento. Assim, pediu que os membros daquela dupla anotassem os seus
questionamentos, enquanto aguardavam, por alguns poucos minutos, para que outros
colegas finalizassem e contribuíssem no debate.
Assim que a maioria dos alunos finalizou, iniciou-se a socialização:
Professor – Gente, agora que já construíram e preencheram a tabela, vamos
explorar um pouco mais! Vamos ouvir a pergunta de MA?
MA – Professor, esses triângulos que construímos, são semelhantes ou iguais
(referindo-se a congruentes)?
KA - Congruentes não podem ser, por causa de suas medidas de lados
diferentes!
CH – Acho que semelhantes, pois são triângulos retângulos!
Professor – Porque podemos afirmar isso!
JA – Por causa das perpendiculares! Elas formam 90º em AB!
CH, LU, M - Então, todos os triângulos são retângulos! E porque não são iguais
(referindo-se a congruentes)?
(Um silêncio paira na turma).
CA – E aí Professor, por quê?
80
Professor – Será que triângulos, quadriláteros ou outros polígonos só podem ser
congruentes?
MA e LU – E se a forma for mantida, e eles se diferenciam pelas medidas dos
lados? Nesse nosso caso, todos os ângulos são de medidas iguais. Então podemos dizer
que eles são congruentes?
CH e JA - Não! Mas, então como podemos chamá-los?
Novamente, a turma silencia.
KA e CA – E ai?
Professor – Vamos lá! Vocês têm uma ótima ferramenta de pesquisa, bem aí!
Sugerindo que eles realizem uma pesquisa na internet para resolver a situação.
LU – Professor, eles são proporcionais?
Professor – Por quê?
A e L – São triângulos com ângulos iguais, e as medidas não são iguais, mas os
lados homólogos foram multiplicados por um mesmo valor!
LU – Concordo!
Professor - Isso! No caso de vocês, qual foi o valor?
A e L - Professor, no meu caso, os lados do triângulo ABC medem o dobro do
triângulo ADI.
Professor – Perfeito! Então, o que podemos afirmar sobre esses dois triângulos?
Vários alunos respondem juntos – Semelhantes!
Professor – Então, o que difere triângulos semelhantes, dos congruentes?
M, LU, JA e KA – Os congruentes têm mesma medida de ângulos e lados. Nos
semelhantes, os ângulos são iguais, mas as medidas de todos os lados são multiplicadas
ou divididas por um mesmo valor.
Professor – E os triângulos que vocês construíram, o que são, afinal:
congruentes ou semelhantes?
CA e CH – Congruentes eles não são, porque as medidas dos lados são
diferentes. Mas, pelo que calculamos, são semelhantes. Os lados dos triângulos
retângulos, de mesma posição, estão sendo multiplicados pelo mesmo valor!
Professor – Muito bom! Todos entenderam? Ficou claro o que são triângulos
semelhantes? E por que não se altera o valor das relações trigonométricas para o mesmo
ângulo em triângulos retângulos?
MA e LU: Porque o resultado da divisão é o mesmo!
Professor – Todos concordam?
81
Sim! (vários respondem ao mesmo tempo)
Professor – Alguma dúvida, prezados?
Não! (vários respondem ao mesmo tempo)
Ao término desse diálogo, percebeu-se que a maioria da turma passou a
significar melhor a semelhança entre os três triângulos construídos, a igualdade entre as
suas razões trigonométricas de mesmo ângulo, além dos conceitos de congruência e
semelhança. Assim, entendeu-se que essa atividade possibilitou a exploração de
abordagens investigativas e um bom potencial significativo.
Ficou clara, também, uma facilidade de ambientação dos estudantes no
manuseio do programa, possivelmente por três fatores: a presença quase ininterrupta de
recursos computacionais no cotidiano da maioria desses alunos, o perfil do grupo de
estudantes do curso de ciência em computação e o caráter autoexplicativo do software.
6.4 Aplicação e análise da atividade 5
Nesta atividade, os estudantes utilizaram o material manipulativo para construir
e significar as diferentes unidades de medida de arcos, tanto no ciclo trigonométrico
como em sua linearização na reta numerada. Esperava-se que os estudantes
reconhecessem a relação existente entre distintas unidades de medidas de ângulos,
melhorando a compreensão da representação de arcos. A sua aplicação previu um tempo
de 100 minutos para sua execução, e contou com a participação de sete duplas e um trio
de estudantes presentes.
ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO construindo o significado de radianos com o uso de régua e compasso
Materiais necessários – Régua flexível, esquadro isósceles e escaleno,
compasso, folha A3, lápis, transferidor e borracha.
Para construirmos esse conceito, temos que entender o que é linearizar o
ciclo trigonométrico. Observe a figura 1 e perceba que o processo consiste
em tornar a curva da circunferência, uma reta. O zero (0) da reta real e a
origem do ciclo coincidem, e é necessário “rolar” o ciclo sobre a reta real.
Assim, para a construção da atividade seguinte, oriente-se pelos passos do
82
roteiro de construção. Como reflexão, fica a pergunta: Qual a necessidade
de linearizar o ciclo trigonométrico?
Figura 1
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1. Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda,
trace um sistema de eixos ortogonais, em que cada eixo terá,
aproximadamente, 24 cm e a origem, esteja 12 cm das duas bordas da
folha.
2. Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3. Considerando o centímetro como unidade de medida, marque com a
régua o ponto A de coordenada (10,0);
4. Trace com o compasso, uma circunferência centrada em O, partindo de
A, no sentido anti-horário. Chamaremos essa circunferência de círculo
trigonométrico.
5. No sistema cartesiano, marque os pontos B(0,10), C (-10,0) e D(0,-10).
Observe que teremos a circunferência dividida em quatro partes,
chamadas de quadrantes.
6. Assumindo como o sentido positivo dos arcos, o anti-horário e a origem
do ciclo trigonométrico, o ponto A, nomeie os quadrantes na sequência
como 1º, 2º, 3º e 4º.
7. Com a medida do segmento OA, centre o compasso em A, gire-o no
sentido anti-horário, encontrando o círculo trigonométrico no 1º
quadrante. Marque somente esse encontro e nomeie-o como ponto E.
8. Sem alterar a abertura do compasso, repita o processo centrando-o em
E e obtendo o ponto “F” no segundo quadrante.
9. Novamente, com a mesma abertura do compasso, repita o processo
centrando-o em F e obtendo o ponto G que coincidirá com C.
10. Escolha um local abaixo do círculo trigonométrico que você construiu e
trace uma reta horizontal - h. Em sua extremidade esquerda, marque um
ponto e nomeie-o de Ah, como o ponto A da reta h.
83
11. Iniciaremos o processo de linearização do círculo trigonométrico:
Posicione a régua flexível SOBRE o círculo, meça o comprimento do
arco AE e transfira-o para a reta h, iniciando a medida a partir do ponto
Ah e finalizando na reta, com o ponto Eh da reta.
12. Obtenha a medida do arco EF e transfira-o para a reta h, iniciando a
transferência de medida a partir do ponto Eh e finalizando em Fh.
13. Obtenha a medida do arco FG e transfira-o para a reta h, iniciando a
transferência de medida a partir do ponto Fh e finalizando em Gh.
14. Com a régua flexível, obtenha o comprimento do raio e transfira-o para
o círculo trigonométrico. Essa transferência de medida, será SOBRE o
círculo, iniciará pelo ponto A (origem do ciclo) e finalizará no ponto H,
que estará no primeiro quadrante do círculo.
15. Repita a transferência da medida iniciando por H e obtendo o ponto I.
16. Repita a transferência da medida iniciando por I e obtendo o ponto J.
17. Num processo semelhante ao passo 11, posicione a régua flexível
SOBRE o círculo, transferindo a medida do arco AH para a reta h, a
partir do ponto Ah e marque o ponto Hh na reta;
18. Repita a transferência a partir de Hh, obtendo o ponto Ih na reta.
19. Repita a transferência a partir de Ih, obtendo o ponto Jh na reta.
Aqui houve um maior cuidado dos estudantes na leitura, com mais critério com
o roteiro de construção, cumprimento ordenado dos passos e precisão de medidas, que
resultaram em melhoria na construção proposta pelo roteiro, conforme pode ser
constatado na figura 28.
Figura 28 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
84
Os diálogos evidenciavam dois aspectos relevantes: o resgate de conceitos e
definições de tópicos pregressos necessários para o aprofundamento no estudo da
trigonometria e o entrelaçamento entre os fundamentos da geometria e álgebra
envolvidos no assunto.
Já na etapa 1 do roteiro de construção, surgiu um questionamento dos
estudantes:
LU, KA, CH: Professor, o que são eixos ortogonais?
O aluno JA olha para o professor e sinaliza com os braços e antebraços um sinal,
que parecia o da cruz, mostrando o conceito de perpendicularidade aparentemente
correto.
Professor - Acho que você está pensando certo, mas me explica o que é isso?
Sentindo-se inseguro para responder, prefere calar-se e ouvir, mesmo depois de
o professor o tranquilizar e tentar incentivá-lo, através da seguinte fala:
Professor – JA, aqui é o lugar que podemos errar, corrigir, acertar. Não se
preocupe! Pode falar!
Mas ele prefere não falar. A pergunta, então, é devolvida para a turma tentando
conduzi-la ao conceito que fora visto anteriormente, mas não com o mesmo nome.
Professor – Pessoal, na atividade anterior, trabalhamos com dois eixos. O que
cada um deles representa?
CA e LU – X e Y.
Professor – Como assim? Expliquem melhor?
LU - Abscissa, que é o x, está representada no eixo horizontal!
E completa outro:
LE - Os valores de Y na ordenada.
Professor – Isso! Muito bom!
Buscando investigar o nível de significação desse conceito, já visto na atividade
4, é feita uma inquirição:
Professor – E qual a medida do ângulo formado pelos eixos?
LU – 90º! A gente não viu que quando uma linha horizontal se cruza com a
vertical eles não são perpendiculares entre si? Então eles formam 90º!
MA – Isso mesmo!
Professor – Concordam pessoal?
Vários respondem – Sim!
85
Professor – Mas esses eixos perpendiculares, também podem ser chamados por
outro nome? Alguém sabe?
(A turma se cala, temporariamente).
LE: Professor, repete a pergunta?
Professor – Como é o outro nome dos eixos que formam entre si 90º!
LE – ortogonais!
Professor – Entendeu, turma, o que são eixos ortogonais?
CH – Então, eixos perpendiculares podem também ser chamados de ortogonais!
Professor – Perfeito.
Percebendo que a turma havia entendido o que significavam eixos ortogonais, o
professor registrou no quadro o conceito formal de eixos ortogonais:
“São dois eixos reais, perpendiculares entre si, cuja interseção entre eles é
chamada de origem dos eixos”.
Mas resumidamente, alguns alunos fizeram seus registros, como o da figura 29,
mostrando o entendimento do conceito abordado.
Figura 29 – Registros realizados pelos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
Já sobre as coordenadas do ponto A (10,0), surgiram comentários:
CH, LU e KA - Professor, esses números que estão dentro dos parênteses no A,
também é igual ao da outra atividade, onde o x =1 e o y=0?.
Professor – Sim, perfeito.
Ao tentarem realizar a etapa 11, muitos alunos perguntaram o que significava
“medir sobre”. A questão foi, então, socializada:
Professor – Pessoal, o que significa esse medir sobre o círculo, na etapa 11?
MA e LE – É medir em cima da linha?
JA e MR – É medir acompanhando o círculo?
Professor – Se isso for verdade, como que vocês medirão?
OT – É por isso que a régua é flexível! Para medir acompanhando a curva!
86
Professor – Concorda, turma?
CH e JA – Ah, então esse SOBRE é o mesmo que medir em cima da linha da
curva! Acompanhando, né, professor?
Professor – Isso mesmo! Entenderam?
(Logo em seguida, todos voltaram a realizar a atividade).
NA – Professor, por que há diferença entre a medida do segmento AO (10 cm) e
a medida do Arco AE (10,5 cm), já que o compasso estava com a mesma abertura
(medida do raio AO)? Questionou um aluno.
O professor percebe que aquele pode ser um debate para entendimento sobre o
conceito de radiano e pede para que todos ouçam a pergunta e, juntos, passem a
construir uma resposta.
Professor – Pessoal, parem um pouco e prestem atenção na pergunta do AN.
Repete, por favor!
O aluno refaz a pergunta e complementa:
NA - Porque há diferença entre a medida do segmento AO (10 cm) e a medida
do Arco AE (10,5 cm), já que o compasso e a régua estavam com a mesma medida
(AO)? Ou seja, por que os pontos E e H não coincidem no ciclo?
JA – Quando medimos a AO, estamos medindo em linha reta (se referindo a
segmento de reta) e quando medimos o arco AE medimos uma curva. Uma mesma
medida na reta parece ser maior que na curva. Mas é só uma impressão!
KA, CA e NA – Como assim? Não entendi!
LU e MA – Gente, a medida de AO não é 10 cm? No ciclo, com o compasso, a
medida toca em E, mas na régua flexível, contornando a curva, a medida termina antes,
pois a curva é mais longa, por isso que o ponto H é antes do ponto E.
LU vai ao quadro e desenha uma linha tortuosa, dizendo: Se pegarmos essa
régua flexível e dobrarmos assim (desenha algo, parecendo uma senoide), o 10 cm na
curva vem antes que em uma reta. Por isso, que é só uma impressão! Na verdade, a
medida é a mesma, porém, na curva ela termina antes, que na reta!
AN – Ah, então no compasso é tipo um segmento de reta, pois ele fixa a
distância em linha reta entre dois pontos!
MA e KA – Sim, isso mesmo!
CH – Professor, é isso mesmo, porque na régua flexível, se dobrarmos em curva,
o ponto H estará no 10, mas, agora colocando a régua reta e partindo de A, o E marca
10,5 cm.
87
MA, KA e CL – Isso mesmo, CH! Por isso que na reta, o H vem antes do E!
Professor – Entenderam? Alguma dúvida?
Não! – Resposta geral
Professor – Então, mãos à obra!
Em aproximadamente 45 minutos de desenvolvimento da atividade, surgiu uma
nova dúvida, mas agora sobre a origem dos eixos e origem do ciclo.
CA – Professor, onde é a origem do ciclo? Não pode ser na origem dos eixos,
né?
LE (de pronto): A origem dos eixos cartesianos é o cruzamento deles, o ponto
O!
Professor – De acordo. E a origem do ciclo trigonométrico?
MA e KA – O ponto A, porque está no ciclo, e começamos a medir os ângulos
por ele!
Professor – Entendido, CA?
O Aluno só balança a cabeça fazendo um sinal positivo.
Logo em seguida, os alunos finalizam a construção do ciclo e a linearização,
passando para as questões:
A) O que é a medida de um radiano? Pesquisem, utilizando a internet de
seu celular ou os livros disponibilizados!
A instrução a seguir era que eles realizassem uma pesquisa sobre o que é
radiano, podendo utilizar, para isso, a internet (através do próprio smartphone) e/ou os
livros de Matemática do segundo ano do Ensino Médio disponibilizados em sala,
buscando confrontar conceitos encontrados nas duas fontes. Mas o resultado foi de que
não ocorreu significação do conceito, por isso, se tornou necessária a socialização:
Professor – Pessoal, o que vocês encontraram como resposta a essa questão?
OT – É uma medida de ângulo!
E KA complementa: Achei o seguinte, aqui no livro! É um arco de comprimento
igual ao do raio da circunferência.
A partir de respostas isoladas, o professor avançou na investigação:
Professor – No ciclo que vocês construíram, qual o ponto que indica um
radiano?
TI – H, professor!
Professor – E se adicionarmos mais um radiano, em que ponto estaremos?
88
JA, AN e OT – No ponto I.
Professor – Entendido o que é uma medida de ângulo em radiano?
– Sim, professor!
A figura 30 mostra o registro da correta definição de radiano, realizado por dois
alunos:
Figura 30 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
B)
Complete a tabela corretamente:
Arcos
Medida em radianos
AH
AI
AJ
No preenchimento dessa tabela, não houve questionamentos, talvez pelo fato de
o conceito ter sido debatido e, consequentemente, compreendido por todos.
Figura 31 – Registros realizados pelos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
C) Com o raio do círculo trigonométrico que você construiu, calcule o
comprimento dos arcos em centímetros e sua medida em radianos.
89
Arcos
Comprimento dos arcos
Medida em radianos
AB
AC
AA
Para o preenchimento dessa tabela, os alunos precisariam entender que a medida
do ângulo em radiano é calculada pela razão entre a medida do comprimento do arco e o
raio da circunferência que o contém, ocorrendo o seguinte diálogo:
TI e CA sugerem: – Professor, como um radiano é a divisão entre o
comprimento do arco AH ou AI ou AJ pelo raio que é 10 cm. Então, para encontrar AB,
é só pegar a medida e dividir por 10?
Professor – Dividir por 10, por quê?
TI (de imediato): Porque 10 é o raio!
Professor – Perfeito!
Assim, nos registros o entendimento da questão fica claro, como mostra a figura
32.
Figura 32 – Registros dos cálculos realizados pelos alunos TI e CA
Fonte: Dados da pesquisa
D) Utilizando o transferidor, complete a tabela com as medidas dos arcos
pedidos:
90
Arcos
Medida em Graus
Medida em radianos
AE
AB
AF
AC
AD
Nesse item, foi preciso ensinar o uso do transferidor para toda a turma. Após a
explicação, eles obtiveram os dados para, posteriormente, preencherem a tabela. Todos
os alunos utilizaram esse conceito para completar a coluna de medida em radianos,
como mostram seus registros na figura 33.
Figura 33 – Registros dos alunos OT e LU
Fonte: Dados da pesquisa
E) Complete a tabela abaixo da seguinte maneira: olhe para a reta onde
você linearizou a circunferência. Na coluna central, coloque os pontos mais
próximos, à direita e à esquerda, da extremidade do arco em radiano e na
coluna da direita informe a equivalência da medida do arco em graus
mostrando as etapas do cálculo. Observe o exemplo.
Arco em
Entre quais pontos do ciclo
Medida em Graus a
Radiano
trigonométrico está o arco?
partir de A
0,5
1,3
1,6
2,5
4,2
5,2
AeH
28,66o
91
TI propõe: – Professor, para preencher a segunda coluna, com os pontos, eu
prefiro fazer no ciclo, já que a reta representa a circunferência esticada. Posso?
Professor – Você acha melhor? É mais fácil desse jeito?
TI – Sim, prefiro!
Professor – Tudo bem!
Para o preenchimento dessa tabela esperava-se que os alunos calculassem a
medida do arco em radianos, medissem-no com régua flexível no ciclo, posicionassem
cada ponto e obtivessem os pontos vizinhos. Alguns fizeram o planejado, mas outros
utilizaram outra via de resolução, transformando a medida do arco em radiano para
comprimento de arco, preenchendo a primeira coluna, e registrando as razões na própria
tabela, pois depois precisariam somente multiplicar a medida por 10 (raio da
circunferência construída), como mostra a figura 34.
Figura 34 – Registros dos alunos MA e KA
Fonte: Dados da pesquisa
Contudo, outros recorreram à regra de três para obter essa medida de
comprimento de arco (FIG. 35), e, a partir daí, alocaram o ponto em questão.
Figura 35 – Registros dos alunos LE e CA
Fonte: Dados da pesquisa
F) Marque os locais da reta h, onde temos os primeiros quatro valores de
radianos da tabela do item E.
92
Nessa tarefa, praticamente não houve intervenções, e os alunos acertaram o
solicitado, como mostra a figura 36. Eles simplesmente marcaram na reta o
comprimento do arco em questão, linearizando-o.
Figura 36 – Registros dos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
G) Qual a finalidade de linearizarmos o ciclo?
Esse questionamento foi incluído com o objetivo de provocar uma reflexão sobre
a temática, esperando-se que alguns deles tivessem a iniciativa de pesquisar a
necessidade de linearizar um arco ou circunferência. Mas, com a ausência de respostas,
esse tópico foi abordado em outro momento mais propício ao aprendizado significativo,
o que pode ser visto na atividade 9, descrita mais adiante neste capítulo.
6.5 Aplicação e análise da atividade 6
Nesse encontro, os alunos se agruparam em duplas. Nesse ínterim, foi
estabelecida a seguinte dinâmica: enquanto um dos membros lia o roteiro de construção
em voz alta, o outro manipulava o software Geogebra realizando a construção e,
posteriormente, ambos debateram sobre o preenchimento da ficha. No caso de dúvidas,
eles poderiam requerer esclarecimentos ao professor a qualquer momento.
Com esse conjunto de tarefas, buscou-se consolidar os conceitos e definições sobre
unidades de medida de arcos e seu processo de linearização, reconhecendo a relação
existente entre as distintas unidades de medidas de arcos e a generalização dos arcos
côngruos.
ATIVIDADE 6 – USANDO E GEOGEBRA PARA CONSOLIDAR O
CONCEITO DE RADIANO
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada, entre com o ponto O=(0,0);
93
3.
Entre com o ponto A=(1,0);
4.
Selecione a ferramenta compasso
e trace uma circunferência
centrada em O, com o raio sendo do segmento AO;
5.
No ícone de interseção entre dois objetos
, marque a
circunferência e o eixo das ordenadas (vertical) obtendo os pontos B na
parte positiva do eixo e C na parte negativa. Caso seja necessário, renomeie
os pontos, clicando sobre eles com o botão direito do mouse e selecionando
a opção renomear;
6.
Com o mesmo ícone, interseção entre dois objetos
, encontre o
ponto D, interseção entre a parte negativa do eixo das ordenadas e a
circunferência (encontro da circunferência com o eixo das abscissas);
7.
Caso apareça um ponto não mencionado, na barra de ferramentas,
selecione exibir janela de álgebra. Nessa janela, clique o círculo azul do
ponto indesejado, então, ele se apagará da tela.
8.
Usando novamente a ferramenta compasso, trace outra circunferência
de raio AO centrada em A.
9.
Marque a interseção entre essa circunferência e a primeira traçada,
obtendo o ponto E no primeiro quadrante;
10. Clique com o botão direito do mouse, sobre essa última circunferência
traçada, clique em propriedades e mude sua cor, para cinza claro. Assim,
teremos uma construção com visual mais limpo e visualização menos
carregada.
11. Apague da tela o ponto do quarto quadrante, que surgiu dessa última
interseção e o círculo trigonométrico.
12. Usando novamente a ferramenta compasso, trace outra circunferência
de raio AO centrada em E;
13. Marque a interseção entre essa circunferência e a primeira traçada
obtendo o ponto F, no segundo quadrante;
14. Altere a cor da circunferência que passa no ponto F, repetindo o passo
10;
15. Usando novamente a ferramenta compasso, trace outra circunferência
de raio AO centrada em F;
16. Marque a interseção entre essa circunferência e a primeira traçada
obtendo o ponto G, que coincidirá com o ponto C do eixo das abscissas;
17. Altere a cor da circunferência que passa no ponto G, repetindo o passo
10;
94
18. Com a ferramenta polígono
, trace o polígono OAE;
19. Com a ferramenta polígono
, trace o polígono OEF;
20. Com a ferramenta polígono
, trace o polígono OFG;
21. Utilizando a ferramenta medida do ângulo
, clique sequencialmente
nos pontos A, O e E, obtendo a medida o ângulo agudo AOE referido
anteriormente;
22. Repita o processo do passo 20, obtendo a medida dos ângulos internos
dos três triângulos de vértice em O. Esteja atento na sequência de cliques
sobre os pontos, para obter o ângulo correto (o segundo clique, deverá ser
no vértice do ângulo).
23. Você poderá alternar a medida do ângulo entre graus e radianos,
abrindo a janela OPÇÕES; “avançado” e “unidade de medida de ângulo”,
escolhendo a unidade desejada.
Poucos alunos ainda não estavam ambientados com o programa, mesmo sendo o
terceiro encontro em que utilizavam o Geogebra. Isso pode ser explicado pela dinâmica
de duplas de trabalho, e acredita-se que aqueles que apresentavam as dúvidas pudessem
ser os que tivessem lido o roteiro nas atividades passadas, enquanto o (a) outro (a)
colega manuseava o computador. A alternância de atividades com o material
manipulativo e o Geogebra poderia ser mais uma vantagem em toda a dinâmica, desde
que a orientação às duplas fosse de alternância de atuação entre os membros, nas
leituras ou nos manuseios.
Essa situação fica evidente, logo no início da etapa 3 do roteiro, no diálogo,
abaixo:
CH (em tom de reclamação) - Professor, esse negócio de entrar com o ponto O e
A não está dando certo. Não aparece nada na tela!
Professor – lá na barra de entrada, digite letra O igual, abre parênteses, zero,
vírgula e zero, fecha parênteses e aperte a tecla enter. Exatamente assim!
CH – Ah, bom! Agora sim, apareceu!
A maioria dos alunos conseguiu construir o que se pedia (FIG. 37), como o
previsto nas 22 etapas do roteiro, em aproximadamente cinquenta minutos.
95
Figura 37 – Registros dos alunos MA e MR
Fonte: Dados da pesquisa
No desenvolver desse item, percebeu-se um crescente envolvimento dos alunos
elevando o nível de concentração e a ausência de acessos a sites de redes sociais, uma
forma de distração que normalmente ocorre em atividades não envolventes. Deu para
notar que os alunos passaram a realizar conexões com conceitos e definições já vistos e
necessários nas tarefas, demonstrando compreensão. Os questionamentos se tornaram,
com o passar das atividades, mais reflexivos e analíticos, dentro dos tópicos analisados,
afastando-se dos procedimentos e/ou algoritmos mecânicos e memorizados.
Chamou a atenção, ainda, nesse momento, uma menor solicitação de
intervenções o que levou o pesquisador a acreditar num crescente nível de autonomia e
participação no processo de ensino-aprendizagem, com respeito ao tempo de cada um e
elevando a condição do professor em um mediador.
Foi perceptível, também, uma maior habilidade com o programa Geogebra, pois
os alunos CA e JA, em determinada etapa da construção, perdiam o que já tinham feito,
mas conseguiam reconstruir com rapidez e exatidão, dando sequência e respondendo
às atividades em tempo hábil.
A) Qual o raio do círculo trigonométrico que você construiu?
Nesse item, apenas o aluno LU requisitou uma intervenção:
LU – Professor, lembro dessa palavra raio, mas não lembro do que é!
Professor – LU, você já andou de bicicleta, não já?
LU – Sim!
Professor – Já observou a roda?
LU – Sim! Ela tem uns arames que brilham!
96
Professor – Perfeito! Como é o nome deles?
LU – Ah!! São os raios! Mas é o mesmo daqui do ciclo?
Professor – Vamos ver? O que eles ligam?
LU – O centro (eixo) até a roda!
Professor – Perfeito.
LU – Ah! Lembrei! Raio é esse pedaço que vai do centro até a roda!
Professor – Como é o nome dessa roda na geometria?
LU – Não lembro!
Professor – Circunferência!
E fazendo associação entre contextos e conceitos:
LU -Ah, sim! Então, a roda da bicicleta é a circunferência?
Professor – Perfeito! E o raio é aquele arame, que no nosso caso é o segmento
AO.
LU – Certo! Entendi!
Professor – E qual a sua medida?
LU – 1.
Professor – Entendeu?
LU – Agora sim, professor!
B) Qual o comprimento desse círculo trigonométrico linearizado?
Percebendo que os alunos estavam respondendo o item mecanicamente, o
professor resolveu investigar e chamou a turma para um debate.
Professor - Pessoal, qual foi o comprimento do círculo trigonométrico
linearizado que vocês preencheram no item B?
JA –
.
Por quê? - Arguiu o professor.
(A turma se calou momentaneamente. Ali se confirmou a hipótese de que a
maioria dos alunos não sabia a origem do valor, sinalizando que esse conceito foi
simplesmente, memorizado).
Professor – Olhem para a construção de vocês e me respondam, qual o ângulo
de volta inteira?
Em um tumulto, ouve-se –
, 360º.
97
Vários complementam dizendo que a meia-volta tinha
Professor – Mas por que a volta inteira tem
ou 3,14.
radianos ou a meia-volta ?
LE – Por que o raio é 1!
Professor – Como assim LE?
LE – Professor! Por que o comprimento de uma circunferência é calculado pela
seguinte fórmula C =
, e como o raio do ciclo é 1, substituindo, temos que o
comprimento para a volta inteira é
.
Resistentes à proposta de mudança para outro tipo de aula, alguns alunos pediram:
- Professor, você pode explicar no quadro.
Professor – LE, explica novamente, por favor!
O aluno vai ao quadro e escreve a expressão do comprimento de arcos. E
demonstra que, quando o raio é unitário, seu comprimento resulta em
ou 6,28.
Professor – Entendido, turma?
– Sim. Alguns respondem, mas a maioria se concentra na tela do computador e
volta para a atividade.
C) Qual o comprimento do arco AC?
Nesse item, os alunos não apresentaram dúvidas, possivelmente pela discussão
anterior, quando o conceito foi esclarecido.
D) Qual a medida, em radianos, do ângulo α, β e γ?
Nesse item também não restou dúvidas, já que o programa possui a opção de
medida de ângulos em graus ou radianos. Nesse caso, bastava o aluno observar a figura
e responder. Mas, mesmo assim, o professor achou interessante investigar a significação
dos alunos sobre as propriedades dos triângulos:
Professor – Pessoal, vocês construíram uma figura que tem 3 triângulos, que
podem ser classificados como?
LU e JA – Equiláteros!
Professor – Por quê?
98
MA e LE – Porque as medidas de todos os lados dos triângulos são iguais à
medida do raio AO. Logo, esses triângulos têm medidas de lados iguais.
Professor – Somente os lados são congruentes?
CL – Não professor, os ângulos também!
Professor – E qual a sua abertura?
MA – Em graus ou radianos?
Professor – Os dois!
CL – 60º e 1,05 rad.
Professor – Perfeito! Mas por que eles são classificados assim?
LE – Se o triângulo é equilátero, as medidas dos lados são iguais, e a medida
dos ângulos também. Iguais a 60º, pois sua soma deve ser 180º. O valor de 1,05 rad é só
observar a figura da construção (FIG. 38), pois o programa já dá o valor!
Figura 38 – Registros dos alunos LU e IN
Fonte: Dados da pesquisa
Professor – Mas esse valor está coerente?
LA, MA, JA e KA – Sim, é só fazer regra de três que dá certo!
Percebendo o entendimento, o professor elogia:
– Muito bom! Sigam!
E) Observando a figura 1 e sua construção, complete a tabela abaixo
corretamente. Na coluna do centro, informe o valor do arco com
extremidade no ponto e com uma casa decimal, em radianos. Na coluna da
direita, a extremidade do arco se encontrará em algum local da reta. Na
coluna da direita, escreva os extremos do intervalo numérico, com uma casa
decimal, onde se encontrará cada ponto do referido arco, quando
linearizarmos o círculo trigonométrico, sobre o eixo das abscissas
coincidindo as origens. Siga o exemplo:
99
Pontos
Valor
Intervalo
A
do 0arco
numérico,
0 – 0,1 de
(origem
E
em
1,05
extremidades
1,0 – 1,1
do
B
radiano
com
ciclo)
F
,a
intervalo
G
partir
máximo de
C
da
0,1 u.m.
D
origem
A
do
(volta
ciclo, e
inteira)
em seu
sentido
positivo
No item E, a dificuldade apresentada pelos
alunos não estava na trigonometria
.
nem nos fundamentos geométricos, mas, sim, na interpretação
do comando da questão.
Após perceber que a maioria respondia errado, o professor resolveu socializar,
explicando o enunciado. Após essa intervenção coletiva, eles continuaram e logo
concluíram a atividade com êxito.
F) Escolha um ponto qualquer do círculo trigonométrico, em seguida
informe o arco côngruo para o número de voltas pedido e a medida do arco.
Por fim, escreva uma generalização para os arcos côngruos do ângulo
escolhido.
100
Escolha um ponto no ciclo-
Medida do arco do ponto
escolhido, a partir da
origem do ciclo e no
sentido positivo
Número de voltas
0
1
2
Expressão dos arcos
Medida do arco
côngruos
“n”
Socialize com o grupo da sala e veja como se generaliza uma expressão
geral dos arcos.
No item F, as duplas de trabalho passaram a escolher pontos distintos do ciclo,
após a seguinte explicação:
LU e CA – Professor, o que é essa expressão geral dos arcos?
Professor - Vamos tentar fazer a seguinte analogia: imaginem que a
circunferência que você construiu seja uma roda gigante! Sua amiga só conseguiu
embarcar quando você se encontrava no ponto B de sua construção. As voltas serão
contadas a partir do assento de sua amiga, que inicialmente está no ponto D, e o ângulo
inicial é marcado pelo seu assento! Qual é o ângulo inicial?
180º! – Responde o aluno.
Professor – Certo! Se a roda gigante der uma volta, qual o total do ângulo que a
sua cadeira abriu?
CA – 180º mais 360º.
Professor – Isso! E para duas voltas?
IN - 180º mais 2 vezes 360º
CA – Já entendi Professor!
Outros observaram, perceberam o erro, apagaram o que faziam, e responderam
novamente. Logo em seguida, percebeu-se que a maioria generalizou a expressão do
arco côngruo. O professor, investigando o nível de significação perguntou:
–Qual a expressão para “n” voltas?
IN - n vezes 6,28, mais o arco inicial!
101
A figura 39 mostra que os alunos fizeram a generalização sem a necessidade de
preenchimento total da tabela, evidenciando a compreensão do assunto.
Figura 39 – Registros da generalização da expressão dos arcos, com especificação
da variável e parâmetro
Fonte: Dados da pesquisa
Percebendo o potencial investigativo da atividade, a partir dos registros da
generalização da expressão dos arcos (FIG.40), o professor iniciou, então, um novo
debate.
Figura 40 – Registros da generalização da expressão dos arcos dos alunos IN e LE
Fonte: Dados da pesquisa.
Professor – E esse n? Quais os seus possíveis valores, será que só positivos?
(Momentaneamente os estudantes se calaram)
MA – Ele não pode assumir valor negativo?
102
E aí pessoal? - O professor pede participação dos outros alunos.
L – Ué, a roda só pode girar para um lado? Tá errado! E se gira para o outro? O
que muda?
Nesse momento, percebeu-se uma possibilidade de conceituação sobre arco
positivo e negativo.
LE – Lógico que pode! No anti-horário é o positivo e no horário negativo!
Professor - Negativo? O quê?
JA – O ângulo!
Professor – Mas observem, na expressão, quem fez ele ficar negativo?
(A turma se calou).
MA, LU e LE – Ahhh! O “n” da expressão, professor! Se girar no anti-horário,
será positivo e se girar no horário, será negativo!
Professor – Está certo, povo?
Percebendo a insegurança, o professor explicou:
– Gente, a variável pode assumir valores positivos ou negativos. Isso só muda o
sentido da ou das voltas. Tudo Bem?
CH – Certo, professor!
KA – Mas como garantimos que a roda vai parar em um determinado ponto,
independente do número de voltas e o sentido, professor?
CA e LU – Gente, na tabela só temos valores de n inteiros! Será que tem a ver?
LE – Sim, tem tudo a ver! Porque n é número de voltas e, para garantirmos que
pare no mesmo ponto, o n só pode dar inteiro, senão, ele para em algum local no meio
do caminho!
IN e CH – Como assim?
Nesse momento, o professor foi até o quadro e mostrou que substituindo n por
valores inteiros positivos ou negativos, a extremidade do arco será a mesma.
JA – Ah professor, então se n for quebrado (decimal), ele não para no mesmo
lugar. Por isso n é inteiro!
Professor – Concordam?
Sim! - Vários respondem.
LU – Pelo que estou entendendo, n só pode ser inteiro!
Professor – Por quê?
MA - O ponto precisa parar no mesmo lugar, não pode dar meia volta ou um
pedaço de volta, precisa dar a volta inteira!
103
LU – Ah, sim!
Mesmo com as tabelas preenchidas, generalizações de expressões sendo
construídas pelas duplas e formalizadas com a participação de todos, esses conceitos
foram abordados novamente na próxima atividade para melhor compreensão dos alunos.
6.6 Aplicação e análise da atividade 7
Nessa atividade, os estudantes utilizaram o material manipulativo na construção
do ciclo trigonométrico. Para estabelecer a equivalência entre arcos dos quadrantes, os
aprendizes aplicaram os conceitos e propriedades de triângulos retângulos,
generalizando expressões de redução ao primeiro quadrante.
ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O
USO DE RÉGUA E COMPASSO
Materiais necessários – Régua flexível, transferidor, esquadros isósceles e
escaleno, compasso, folha A3, lápis e borracha.
ATENÇÃO - O retângulo inscrito ao círculo a ser construído será mais
preciso de acordo como seu rigor nos traçados. Portanto, observe bem as
fotos e siga os passos do tutorial ao traçar as retas paralelas solicitadas.
TUTORIAL DO TRAÇADO DE RETAS PARALELAS – Alinhe o lado
numerado do esquadro escaleno
com a reta que deseja traçar a
paralela. Apoie o maior lado do esquadro isósceles
no lado
esquerdo do esquadro escaleno, que permite o deslocamento vertical,
conforme as figuras. Firme o esquadro isósceles e deslize o escaleno para a
posição de interesse e trace a paralela. Observe as imagens para facilitar o
manuseio dos instrumentos.
104
Figura 1
Figura 2
Figura 3
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1.
Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda,
trace um sistema de eixos ortogonais, onde a origem esteja a 12 cm das duas
bordas (vertical e horizontal) e cada eixo com aproximadamente 24 cm.
2.
Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3.
Considerando o DECÍMETRO como unidade de medida, marque com a
régua o ponto A de coordenada (1,0);
4.
Trace com o compasso, o círculo trigonométrico centrado em O e origem
em A, no sentido anti-horário.
5.
No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,1), C (-1,0) e D (0,-1).
Observe que teremos a circunferência dividida em quatro partes, chamadas
de quadrantes.
6.
Assumindo, como o sentido positivo dos arcos, o anti-horário, e a origem
do ciclo trigonométrico, o ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como
1º, 2º, 3º e 4º.
7.
Com o transferidor, marque o ponto E, sobre o círculo trigonométrico
com abertura de 30º em relação a origem A, no sentido positivo.
8.
Utilizando os esquadros, trace uma reta paralela ao eixo das
ABSCISSAS partindo do ponto E, chegando no ciclo, no 2º quadrante, no
ponto F (observe o tutorial no início da atividade).
105
9.
Nomeie o cruzamento do segmento EF, com o eixo das ordenadas como
ponto M;
10. Com um processo semelhante à etapa 8, trace o segmento FG, paralelo
ao eixo das ORDENADAS partindo de F e tocando o círculo trigonométrico
em G, no 3º quadrante.
11. Nomeie o cruzamento do segmento FG, com o eixo das abscissas como
ponto N;
12. Com um processo também semelhante à etapa 8, trace uma reta paralela
ao eixo das abscissas partindo do ponto G, chegando ao ciclo no ponto H, no
4º quadrante.
13. Nomeie o cruzamento do segmento GH, com o eixo das ordenadas, como
ponto R;
14. Com um processo semelhante à etapa 10, trace o segmento HE, paralelo
ao eixo das ordenadas partindo de H e tocando o círculo trigonométrico em
E, no 1º quadrante.
15. Nomeie o cruzamento do segmento HE, com o eixo das abscissas, como
ponto S;
OBSERVAÇÃO – Se os procedimentos e traços foram precisos, ao traçar o
segmento EG e FH, eles passarão pelo ponto O.
As sete duplas presentes não apresentaram dificuldades na proposta de construção
dessa atividade, mesmo havendo necessidade de certa habilidade no manuseio dos
esquadros para traçar retas paralelas e perpendiculares. Acredita-se que, a inclusão do
tutorial, agregada à explicação coletiva sobre o manuseio dos esquadros e compasso,
contribuíram para a construção correta do ciclo, como mostra a figura 41.
Figura 41 – Construção do ciclo trigonométrico dos alunos JÁ e TI
Fonte: Dados da pesquisa
106
Observou-se uma maior facilidade dos estudantes no resgate dos conceitos
subsunçores, como mostram os diálogos seguintes, com o esclarecimento da relação entre
as unidades de medida decímetro e centímetro:
Professor - Um decímetro equivale a quantos centímetros?
JA – Dez centímetros!
Professor – Alguma dúvida sobre essa equivalência?
JA – Não!
Não havendo mais nenhuma dúvida, o professor passou a caminhar entre as
duplas de trabalho, enquanto observava o desenvolver da atividade.
A) Em sua construção há oito triângulos retângulos, cujas hipotenusas estão
sobre os segmentos EG e FH. Encontre os ângulos internos (em graus) de
todos os triângulos retângulos. Marque os valores em sua construção e
justifique seus cálculos.
Algumas interlocuções foram feitas em relação ao nível de abstração em
geometria:
Professor – Quantos triângulos retângulos foram encontrados como resposta da
letra A?
Respostas simultâneas - 8!
CA (discordando): – Eu vejo mais!
Professor: – Quantos?
CA – Esse e esse aqui! Apontando acertadamente para os triângulos GFE e GEH.
Outros – É mesmo, temos mais de 8!
Para calcular os ângulos internos dos triângulos do item A, os alunos precisariam
entender e relembrar as propriedades de ângulos internos suplementares e
complementares de um triângulo. Surgiram, então, várias intervenções:
Professor – Quanto mede o ângulo Ê do triângulo SÊO?
Vários alunos rapidamente respondem: – 60º.
Professor – Por quê?
JA, CA, MA e LU– Por que 60º é complementar de 30º.
107
Buscando rever ou conceituar as propriedades dos ângulos centrais da
circunferência, o professor socializou à turma: – Pessoal, por que um arco da
circunferência e ângulo central de extremidades coincidentes têm o mesmo valor?
(A turma se calou).
Professor – E aí pessoal! Vocês entenderam a pergunta?
(Ninguém respondeu).
Professor – Vou desenhar aqui no quadro!
Percebendo o desconhecimento do assunto, o professor explanou, então, sobre a
propriedade do ângulo central da circunferência. Assim, citou e desenhou no quadro,
mostrando que, quando as extremidades do ângulo central coincidem com a do arco de
circunferência, suas medidas são congruentes. Nesse mesmo instante, abordou, também, a
propriedade entre arco e ângulo da circunferência. Nela, quando se tem as extremidades
do arco e ângulo da circunferência coincidentes, o ângulo da circunferência é a metade da
medida do arco.
Terminada a explanação das propriedades, o professor solicitou que todos
continuassem.
B) Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o
sentido positivo dos arcos (anti-horário), complete a tabela corretamente:
Arcos
AE
AB
AF
AC
AG
AS
AH
AA
Medida em Graus
Medida em radianos
C) O ângulo AÔE tem a mesma medida de abertura que o arco AE? Por
quê? Isso se repete para EOM e a abertura do arco EB? Explique.
D) Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o
sentido positivo dos arcos, complete a tabela corretamente.
108
Arcos
Med. em
graus
AOE
AOB
BOF
AOF
AOC
AOH
Arcos
Med. em
graus
Soma da medida
dos dois ângulos
EOB
BOC
FOC
FOC
COG
HOA
Nos itens B, C e D, os alunos não solicitaram atendimentos, possivelmente devido
às explanações ocorridas anteriormente, evidenciando boa compreensão dos conceitos já
vistos na atividade 6 e aqui reforçaram a sua consolidação.
E) Generalize uma expressão de redução ao primeiro quadrante, para cada
parte do círculo trigonométrico:
2º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante -
Já no desenvolvimento do item E, os alunos apresentaram muitas dúvidas, não
conseguindo generalizar. Portanto, foi necessário um momento de exposição, e, em
seguida, uma solicitação para que eles dissessem as propostas de generalizações da
expressão para cada quadrante. Ressalta-se, aqui, que o resultado da expressão foram
ângulos do primeiro quadrante, ou seja, ângulos agudos, porém, o valor da variável na
expressão representava ângulos do 2º, 3º ou 4º quadrantes, e, para isso, os alunos
deveriam observar o ciclo construído.
MA e LU logo explanaram suas propostas, como visto na figura 42:
109
Figura 42 – Construção do ciclo trigonométrico dos alunos MA e LU
Fonte: Dados da pesquisa
LE e IN – Mas quem é o x de sua expressão?
LU – X é um ângulo do quadrante em questão!
A dupla CH e CL percebeu algo de estranho na proposta e pediu ao professor: –
Coloca a nossa proposta também!
Professor – Diga!
O professor escreveu no quadro, ao lado da primeira:
“Segundo quadrante - (180 – x), terceiro quadrante - (x +180); quarto quadrante (360 – x)”.
Professor – Mais alguém?
Ao escrever no quadro as duas propostas, ele solicitou aos alunos que as
analisassem. LU e MA logo se colocaram contrários à segunda proposta, respondendo: –
Não, não concordo, professor!
Professor – Por quê?
MA – Olhe para a expressão do segundo quadrante (referindo-se à expressão da
outra dupla), o resultado tem que dar até 90º! Qualquer valor de ângulo que some 180º já
fura essa condição!
LU – De zero a 90º é o máximo que o grau pode dar (referindo-se a ângulo).
Como os resultados ultrapassam 90º, então, podemos desconsiderar essa segunda
proposta e voltarmos para a nossa!
Professor – Então, vamos testar a sua proposta LU! Vamos tomar um ângulo do
segundo quadrante, para ser o valor de x. Qual?
CL – 120º.
LE e NA – Dá 300º, realmente não dá certo. Mas na primeira dá 60º, e pelo
triângulo retângulo que fizemos, parece coerente!
110
Professor – Percebem isso que ele falou? Testem outros valores, dois de cada
quadrante e percebam se as respostas estão corretas para cada expressão.
Logo em seguida, todos realizaram os outros testes e confirmaram que as
primeiras expressões reduziam os ângulos ao primeiro quadrante.
CH, LU, KA e JA disseram: Perfeito, professor! As corretas são as expressões da
primeira proposta!
Professor – Alguma dúvida?
Houve uma concordância em uníssono:
- Não, professor, tudo certo!
Pelos diálogos e registros nas fichas dessas atividades, percebeu-se que os alunos
tiveram dificuldades em conseguir elaborar generalizações de expressões para ângulos de
qualquer quadrante, reduzindo-os para o primeiro. Também ficou claro que esse foi um
assunto que pode não ter sido abordado no Ensino Médio ou que sua compreensão tinha
sido insatisfatória.
Salienta-se, aqui, portanto, a importância da inclusão de atividades com
generalizações que promovam o exercício de conjecturar, hipotetizar e testar buscando
desenvolver essa habilidade nos estudantes e, assim, agregando significativamente na
formação de seu pensamento matemático.
6.7 Aplicação e análise da atividade 8
Essa atividade foi aplicada com a presença de oito duplas de trabalho. As tarefas
realizadas no laboratório de informática (FIG.43) buscavam consolidar as equivalências
entre os arcos do 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes no círculo trigonométrico e a generalização de
expressões de redução ao primeiro quadrante. Foram introduzidos alguns tópicos que
levaram os estudantes a familiarizar com a representação das razões seno e cosseno no
ciclo trigonométrico.
111
Figura 43 – Alunos no laboratório de informática realizando a atividade
Fonte: Dados da pesquisa
ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O
USO DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REDUÇÃO AO PRIMEIRO
QUADRANTE
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO – Siga os passos abaixo:
1. Abra o programa Geogebra;
2. No campo exibir, habilite a janela de álgebra, caso ela já esteja sendo
visualizada.
3. Entre com os pontos O=(0,0) e A=(1,0) na barra de comando;
4. Aproxime a tela girando o scroll do mouse;
SCROLL
5. Habilite o ícone mover
e centralize os eixos, visualizando-os
confortavelmente no centro da tela. Se precisar de novos ajustes proceda da
mesma maneira.
6. Com a ferramenta compasso
, clique no ponto O, abra a
circunferência até o ponto A e centralize-a em O;
7. Com o ícone ponto
, crie B, clicando sobre o primeiro quadrante da
circunferência. Renomeie-o se for necessário.
8. Selecione o ícone segmento entre dois pontos
BO.
e trace o segmento
112
9. Selecionando a ferramenta ângulo
, clique nos pontos A, O e B nessa
sequência. Caso na janela de álgebra não esteja aparecendo o ângulo α,
habilite-o na barra de ferramentas no campo exibir.
10. Com a ferramenta girar em torno de um ponto
, clique em O e depois,
arraste B, girando o segmento BO sobre a circunferência dentro do
primeiro quadrante.
11. Com a ferramenta arco circular
, clique em O e depois nos pontos A
e B.
12. Clique com o botão direito do mouse sobre o arco AB, selecione a
propriedade e depois altere a cor, para outra de sua preferência.
13. Utilizando o ícone reflexão com relação a uma reta
, clique em B e
logo em seguida no eixo das ordenadas, obtendo ponto B’ no segundo
quadrante.
14. Renomeie B’ como C, clicando com o lado direito do mouse sobre ele e
selecionando renomear.
15. Utilizando o ícone reflexão com relação a uma reta
, clique em C e
logo em seguida no eixo das abscissas, obtendo ponto C’ no terceiro
quadrante.
16. Renomeie C’ para D.
17. Reflita D, em relação ao eixo das ordenadas, obtenha D’ no quarto
quadrante e renomeie para E.
18. Trace os segmentos BC, CD, DE e EB;
19. Com a ferramenta interseção entre objetos
, obtenha essa interseção
entre o segmento BC e o eixo das ordenadas, nomeando esse ponto como J.
20. Repita o processo do passo 18, criando o ponto N, para o cruzamento do
segmento EB com o eixo das abscissas e renomeie-o.
21. Crie o segmento ON, com a ferramenta segmento de reta
e nas
propriedades, altere sua cor, dando um destaque para o segmento.
22. Crie o segmento OJ, com a ferramenta segmento de reta
e nas
propriedades, altere sua cor, dando um destaque para o segmento.
23. Com a ferramenta girar em torno de um ponto
, clicando no ícone,
depois no ponto O e arrastando B, movimente o conjunto construído.
Observe a janela de álgebra para as solicitações das atividades posteriores.
113
Constatou-se maior autonomia dos estudantes na construção da proposta dessa
atividade, obtendo como resultado o ciclo da figura 44. Essa construção durou
aproximadamente 25 minutos, mesmo após as 23 etapas do roteiro, revelando
familiaridade dos alunos com o Geogebra.
Figura 44 – Construção do ciclo trigonométrico com redução ao primeiro quadrante
Fonte: Dados da pesquisa
A diminuição de questionamentos sobre conceitos e definições de fundamentos
elementares da geometria, tais como segmento de reta, raio de circunferência, eixos do
plano cartesiano, interseções entre elementos e outros presentes nessa atividade revelou
as boas significações dos alunos após todas as discussões realizadas anteriormente.
Além disso, a rápida adaptação ao programa e a facilidade de manuseio
mostraram duas evidências: a característica autoexplicativa do software e a proximidade
desse público com mídias computacionais. Ratificou-se isso pela construção dos alunos
LU e MA de uma estrela de seis pontas com vários polígonos inscritos, enquanto
aguardavam as socializações em conjunto.
A) Em sua construção, rotacione o ponto B, observe e generalize as
expressões de redução ao primeiro quadrante.
114
Quadrantes
Expressão
Segundo
Terceiro
Quarto
Para preencher essa tabela, alguns alunos rapidamente resgataram as
generalizações da atividade anterior, conforme diálogos abaixo:
RA – Professor, essas expressões são aquelas da atividade 6 e 7?
Professor – Isso mesmo! Mas agora, ao rotacionar o ponto B, você observa a
medida dos ângulos correspondentes nos quatro quadrantes.
RA – Interessante, pois quando B muda, os outros mudam também!
Mesmo alguns deles errando inicialmente a generalização, notou-se que o
acréscimo no pensamento matemático estava no desenvolvimento do processo
investigativo que envolveu conjecturar, hipotetizar e testar, reformulando nova proposta
de expressão e repetindo o ciclo. Percebeu-se esse caminho pelas rasuras no
preenchimento da tabela, conforme é pontado na figura 45.
Figura 45 – Tabela preenchida pelos alunos JA e CH
Fonte: Dados da pesquisa
Contudo, em um determinado momento foi dito:
DI - Eu ainda não sei o é que eu vou calcular, quando o exercício pede para
generalizar uma expressão.
Esse questionamento aponta para a distinta temporalidade de significação de cada
aprendiz. O professor, então, interveio na dupla DI e RA, tentando conduzi-la ao
entendimento sobre a generalização da expressão solicitada.
Professor – DI! Gire o ponto C para qualquer ângulo no segundo quadrante.
DI – Tudo bem, professor! Já girei!
Professor – Qual o valor dos ângulos β, γ, δ, respectivamente?
115
RA – O que é respectivamente mesmo, professor?
Professor – Na mesma ordem que aparecem!
RA – Ah, lembrei! 150º; 210º e 330º!
Professor – Será que eles têm alguma relação com o α que aparece no primeiro
quadrante?
(Depois de ficar calada um tempo).
DI - Espera aí, professor!
(Pensando...)
DI – Esse 150º é o x daquelas expressões da atividade passada?
Professor – Depende, em qual quadrante?
DI – No segundo.
Professor – Sim!
DI – Então, entendi!
DI– Se eu colocar 150º no lugar do x, na expressão 180º – x, o resultado é 30º,
exatamente o ângulo α do primeiro quadrante.
Professor – E como ele passa de 180º, no lugar do x entra o 210º! Desse jeito,
fica 210º – 180º, para dar o resultado de α. Por isso que a expressão era x - 180º!
Professor – E no quarto?
RA – 330º é 30º, que é o do primeiro quadrante
Professor - Agora que entenderam, mudem a posição de C para outro ângulo e
veja se dá certo para os outros quadrantes, ok?
Por volta de cinco minutos depois, o professor retorna à dupla:
Professor - E aí, as expressões que vocês colocaram na tabela estão corretas?
– Sim, professor! Respondem.
Professor – Então, qual o equivalente de 100º?
Rapidamente eles fazem conta em um rascunho e respondem:
- 80º no primeiro, 260º no terceiro e 280º no quarto!
Professor – Então! Agora entendem a expressão!
DI – Sim. Agora eu sei que é o x da expressão. Seu resultado faz mais sentido,
agora!
B) Em sua construção, tomemos como origem do ciclo trigonométrico o
ponto A e o sentido positivo. Movimente o ponto O e, observando a janela da
álgebra, escolha vários ângulos completando corretamente a tabela abaixo a
partir do exemplo e confirme ou reformule as expressões da tabela do item A.
116
Ângulo α
10º
CORRESPONDENTE
No segundo
No terceiro
No quarto
quadrante
quadrante
quadrante
170º
190º
350º
Esse item foi planejado para que os alunos confirmassem as conjecturas de suas
expressões a partir de várias experimentações. Inclusive, o aluno CA sugere: – Professor,
essa atividade tinha que ser a A (referindo-se ao item A), porque depois de preencher a
tabela, fica muito mais fácil de montar as expressões!
Professor – Mas, e para verificar; fica ruim?
– Não! Mas o negócio é que o difícil é montar a expressão! Testar é fácil!
Responde CH.
Professor – Certo, concordo com você! Mas você pode mudar a expressão
também. Por isso que é uma tabela que vem depois: para você refletir e comparar. Se
houver necessidade, você muda a expressão! O que acha?
CA – É, não tinha pensado assim. Mas tem razão.
C) Rotacione B, escolha três ângulos para cada quadrante, e complete a
tabela corretamente, observando a janela de álgebra de sua construção.
Como auxilio, siga o exemplo:
Quadrante
Ângulo α
1º
10º
Valor da
abscissa de B
0,98
Comprimento do
segmento ON
0,98
Valor da
ordenada de B
0,18
Comprimento do
segmento OJ
0,18
2º
3º
4º
O aluno LU, logo que iniciou o preenchimento dessa tabela com sua dupla, disse:
117
– Professor, a abscissa está no eixo x - horizontal e ordenada no eixo y - vertical,
né?
Professor – Por quê?
LU – Porque naquele dia, a gente conversou e você me disse que no par ordenado
de um ponto, o eixo x representa os valores das abscissas, e o eixo y representa os valores
das ordenadas!
Professor – E como você tem colocado os valores dos pontos no gráfico?
LU – O primeiro é x e segundo no eixo y.
Professor – Qual o nome do primeiro e do segundo número que aparecem no par
ordenado?
LU – Abscissa e ordenada.
Professor – Esses valores são representados em quais eixos?
LU – O eixo x, a abscissa, e o eixo y, a ordenada!
Professor – Perfeito, realmente você entendeu!
No preenchimento da tabela, a partir da movimentação e observação da tela do
computador os alunos não apresentaram dúvidas nessa questão.
D) Reposicione o ponto B no primeiro quadrante para montar a tabela
abaixo. Informe a fórmula de cálculo e segmento representativo em cada
situação pedida.
Fórmula de
cálculo
Expressão
matemática
Segmento
representativo
Seno de α
Cosseno de α
Logo que começaram essa atividade, os alunos NA, JA e LU questionaram:
– Professor, essa fórmula de cálculo do seno e cosseno é aquela mesma que vimos
na atividade 1?
Professor – Sim. O cálculo dessas razões não muda no triângulo retângulo.
RA e IN questionam: – Mas o triângulo OBN é retângulo?
Percebendo que a turma parou e ficou aguardando resposta, o professor decidiu
socializar com todos:
– Vamos lá! Afinal, temos um triângulo retângulo na figura?
118
– Sim, professor! - Vários respondem juntos.
Professor – Qual?
KA – O triângulo ONB!
Professor – E por que ele é retângulo?
– Por que BN é vertical, e ON é horizontal, e o ângulo BNO é reto! Respondem
LU e MA
Professor – Sim! E qual a medida do raio desse círculo?
LE e LU: – 1.
Professor – Por quê?
LE – Porque a medida do segmento AO é 1, e esse é o raio da circunferência.
Professor – Todos concordam?
– Sim! Respondem vários juntos.
Por esse diálogo, percebeu-se que as razões trigonométricas era um assunto com
boa compreensão, promovido pelas abordagens em atividades anteriores.
Assim, continuando a socialização:
Professor – Pessoal, no caso da tabela do item d, qual expressão do seno do
ângulo α?
KA e CA – Como assim, professor?
Professor – Como vocês fariam para calcular o seno de α nesse triângulo?
LE e MA – Seria BN sobre BO!
Professor – Isso!
MA – É isso que é para colocar aqui nessa linha (referindo-se à célula)!
Professor – Perfeito! E o cosseno?
LE e NA – BO sobre O
Professor – Pessoal, e quanto mede o segmento ON?
– 1. Respondem vários alunos.
Professor – Então, nesse caso, quem estaria representando o seno e cosseno de α?
JA – Repete a pergunta, professor!
Professor – Nessa situação da figura que vocês construíram, que segmento estaria
representando, o seno e cosseno de α?
LE – O seno seria BN, e o cosseno ON!
Professor – Todos concordam? Ou seja, o segmento ON representa o cosseno, no
eixo das abscissas e o segmento BN o seno de α. Entendido turma? Generalizou o
professor, mas esperando que algum aluno perguntasse sobre o seno de α.
119
IN e TI – Mas, professor, se o cosseno está sendo representado pelo segmento
ON, que está no eixo das abscissas, e seno pelo BN, será que podemos dizer que o seno
está no eixo das ordenadas?
LE e MA – Isso mesmo! Veja que JO está no eixo y (ordenadas) e tem o mesmo
comprimento de BN, pois no primeiro quadrante tem o retângulo ONBJ, e OJ está sobre o
eixo Y.
– Não entendi! Falam três alunos simultaneamente.
Dessa forma, recorrendo à experiência de didática e de alternância de recursos, o
professor resolveu mostrar a situação relatada pelos alunos LE e MA a todos, através de
projeção da figura construída pelos dois alunos. Dessa maneira, conforme ele repetia a
explicação, destacava com cores fortes, na figura projetada, os segmentos em questão.
Professor – Pessoal, todos entenderam?
– Sim! Alguns respondem, mas a maioria já estava preenchendo a tabela do item
d, como mostra a figura 46.
Figura 46 – Tabela preenchida pelos alunos IN e TI
Fonte: Dados da pesquisa
Observou-se nos diálogos e no preenchimento das tabelas o bom nível de
conceituação das razões seno e cosseno no círculo trigonométrico. Portanto, com essas
definições consolidadas, esperava-se que os alunos conseguissem realizar a atividade
seguinte de montagem do gráfico da função seno e cosseno.
Essa montagem alinhava com a literatura que tratava da formação do pensamento
matemático, que segue uma forma de espiral, ora avançando, ora resgatando conceitos,
mas sempre tecendo o conhecimento.
6.8 Aplicação e análise da atividade 9
120
Essa atividade foi aplicada com a presença de oito duplas de trabalho. Pelo
planejamento, o alunos deveriam construir os gráficos da função seno e cosseno a partir
de medidas de ângulos realizadas em uma volta completa no círculo trigonométrico,
levando-os a compreender a necessidade de linearizar o ciclo e o comportamento da
senoide e cossenoide, em gráficos.
ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E
COSSENO
Materiais necessários – Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno,
transferidor, compasso, folha A3, lápis, lápis de cor e borracha.
1.
Na folha entregue pelo professor, com o círculo trigonométrico e eixos já
impressos, marque dois pontos no primeiro e outros dois no segundo
quadrante. Nomeie esses pontos, como E, F, G e H, onde o primeiro é o E, o
segundo é o F e assim sucessivamente;
2.
Reflita ortogonalmente ao eixo das abscissas esses pontos para o terceiro
e quarto quadrantes seguindo a ordem: ponto E gera o ponto L, ponto F gera
o ponto K, G gera J, e H gera I;
3.
Nomeie o cruzamento dos segmentos com a reta numerada da seguinte
maneira: EL - M, FK – N; GJ – P e IH – Q.
4.
Utilizando a mesma régua flexível, inicie a linearização do ciclo,
transferindo o comprimento do arco AE (sobre a circunferência), para o eixo
horizontal, em que o início dessa transferência será o ponto A (origem dos
eixos ortogonais), e o final o ponto E’;
5.
Continue a linearização transferindo o arco EF para o eixo, obtendo o
ponto F’ e dando sequência até chegar em A’, quando se lineariza
completamente o círculo;
6.
Meça o comprimento do segmento ME e transfira essa medida vertical
sobre o ponto E’. Prossiga da seguinte forma: NF sobre F’; OB sobre B’; PG
sobre G’; QH sobre H’, QI sobre I’; PJ sobre J’; OD sobre D’; NK sobre K’,
ML sobre L’;
7.
Partindo do ponto A, una as extremidades dos segmentos obtendo uma
curva chamada senoide;
8.
No mesmo sistema de eixos ortogonais e ciclo, transfira o segmento OA,
para o eixo vertical sobre A.
121
9.
Repita o passo 8 para OM, porém, transferindo-o verticalmente sobre o
ponto E’. Prossiga da seguinte forma: ON sobre F’; OP sobre G’; OQ sobre
H’; OC sobre C’, OQ sobre I’; OP sobre J’; OD sobre D’; ON sobre K’, OM
sobre L’ e OA sobre A’.
10. Partindo da extremidade do segmento OM marcada sobre o eixo vertical
em A, una as extremidades dos segmentos obtendo uma curva chamada
cossenoide.
No momento inicial da construção dessa atividade, alguns alunos apresentaram
dúvidas sobre a etapa 2, que trata da reflexão ortogonal:
CH e CA – Professor, nós vimos numa das atividades anteriores, mas não
lembramos o que é refletir ortogonalmente!
Professor – Você sabe o que significa a palavra ortogonal?
CH – Tem a ver com 90º?
Professor – É por aí! Mas e a reflexão? O que significa?
CA – Ahhh! É por que está do outro lado do eixo, onde a linha cruza
perpendicularmente até atingir o ciclo, né?
Professor – Isso mesmo! Entendeu agora?
CA – Entendi!
Professor – E você CH?
CH – Também!
Logo em seguida, houve outro resgate de conceito, quando na etapa 4, pedia-se
que iniciasse o processo de linearização:
OT – Professor, essa linearização é aquela da atividade que fomos medindo os
arcos sobre o círculo e transferindo a medida para uma reta horizontal?
Os próprios alunos que estavam próximos responderam prontamente:
– É OT! Exatamente isso!
Professor – E para que precisamos linearizar o ciclo?
IN – Simples professor, para saber em que pontos do eixo AA’, que é o ciclo
linearizado, deveremos colocar as medidas verticais obtidas no ciclo trigonométrico para
formar a curva da senoide?
CA e KA – Como assim?
Professor – Atenção, turma! Explique novamente IN, sobre a necessidade do
processo de linearização.
122
IN – Posso ir no quadro?
Professor – Sim.
IN – Vamos medir o segmento ME no ciclo! Como saberei onde colocar essa
medida sobre o eixo AA’?
MA e LU – Tem que ser sobre o ponto E!
IN – Isso! Por esse motivo que precisamos linearizar o ciclo, senão, a gente não
sabe onde colocar a medida do segmento ME, assim como o FN, que estará sobre o ponto
F e assim sucessivamente.
Professor – Muito bom IN, Obrigado! Entenderam, turma?
DI e CH – Agora entendi a pergunta daquela atividade lá de trás!
Esperava-se que alguns alunos pudessem apresentar outras dúvidas sobre como
plotar os valores negativos de senos e cossenos no sistema de eixos cartesianos, mas não
houve questionamentos no desenvolver dos itens dessa atividade.
Enquanto caminhava por entre as duplas de trabalho, o professor observou a
construção dos alunos proposta no roteiro, que resultou na figura 47.
Figura 47 – Curva Senoide e Cossenoide construída pelos alunos MA e KA
Fonte: Dados da pesquisa
No processo de ensino e aprendizagem, a descoberta e a autoestima agruparam-se
solidarizando para potencializar a vontade de aprender. Percebeu-se isso nitidamente em
situações nas quais o aprendizado proporcionava conexões anteriormente não
estabelecidas, como nos comentários dos alunos:
KA e JA – Essa é a curva do seno e cosseno! Por isso que o nome do gráfico é
senoide ou cossenoide!
OT – Muito louco isso, professor!
123
LU (que sempre tinha muita dificuldade), quando percebeu a curva senoide em
sua construção, comentou: A matemática é linda, né, professor?
Professor - Que bom que você acha! Eu sou suspeito para falar!
Esses comentários demonstraram o reforço positivo da autoestima, quando os
sujeitos ativos passaram a ter o contato com a descoberta em atividades ou tarefas que
traziam sentido ao que era estudado.
A) No ciclo que você recebeu há dois eixos, um vertical e outro horizontal.
Qual deles REPRESENTA o eixo dos senos? Qual deles REPRESENTA o
eixo dos cossenos? Explique.
As figuras 48 e 49, obtidas dos registros das atividades, revelaram a boa
compreensão dos alunos, quando eles associaram as razões trigonométricas senos e
cossenos com os eixos das ordenadas e abscissas, respectivamente. Ressalta-se, ainda,
que essa era uma tarefa inicial visando resgatar esses conceitos já abordados na atividade
8.
Figura 48 – Registro dos alunos MA e KA
Fonte: Dados da pesquisa
Enquanto na figura 48 os alunos demonstraram, através da linguagem matemática,
utilizando a manipulação algébrica, que o seno do ângulo corresponde ao segmento EM,
que está no eixo das ordenadas, enquanto o cosseno do mesmo ângulo corresponde ao
segmento OM no eixo das abcissas, na figura 49, eles se utilizam da demonstração por
meio do registro em língua portuguesa.
124
Figura 49 – Registro dos alunos MA e OT
Fonte: Dados da pesquisa
B) Sobre a senoide, qual o máximo e o mínimo valor que o seno admite,
indicando os pontos (abscissas) onde isso acontece? Agora, qual o máximo e
o mínimo valor do cosseno, indicando o ponto onde isso acontece?
Valor
MÁXIMO
Valor
MÍNIMO
Valor
MÁXIMO
Valor
MÍNIMO
SENOIDE
Ponto(s) do EIXO
Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
atinge o valor
linearizado (no
máximo
eixo horizontal)
Abertura do ARCO
em GRAU (a partir
da origem)
SENOIDE
Ponto(s) do EIXO
Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
atinge o valor
linearizado
mínimo
(no eixo
horizontal)
Abertura do ARCO
em GRAU (a partir
da origem)
COSSENOIDE
Ponto(s) do EIXO
Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
atinge o valor
linearizado
máximo
(no eixo
horizontal)
COSSENOIDE
Ponto(s) do EIXO
Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
atinge o valor
linearizado
máximo
(no eixo
horizontal)
Abertura do ARCO
em GRAU (a partir
da origem)
Abertura do ARCO
em GRAU (a partir
da origem)
125
C) Complete a tabela com os pontos onde a curva senoide e cosssenoide
CRUZAM O EIXO DA ABSCISSA. Logo em seguida, informe o grau de
abertura do ângulo que esse ponto faz a partir da origem do ciclo?
Ponto
SENOIDE
Arco
COSSENOIDE
Ponto
Arco
Nos itens b e c, os alunos não recorreram ao professor para esclarecimentos,
possivelmente pelo fato de a atividade requerer observação do gráfico construído,
fazendo com que os alunos passassem a elaborar respostas baseadas em conceitos de seno
e cosseno de ângulos no ciclo trigonométrico já vistos anteriormente.
D) Observando sua construção, a origem do ciclo trigonométrico no ponto
A e o ciclo positivo do arco, complete a tabela corretamente, colocando se o
seno e cosseno são POSITIVOS, NEGATIVOS OU NULOS, no ponto que é
extremidade do arco em questão.
Arcos
AA
AE
AF
AB
AG
AH
AC
AI
AJ
AD
AK
AL
AA
Quadrante
seno
cosseno
Agora, generalizando o comportamento do sinal das funções seno e cosseno a
partir do gráfico que você construiu:
Quadrante
I
II
III
IV
seno
cosseno
126
Nesse item, duas duplas apresentaram dúvidas em relacionar o sinal do seno e
cosseno para a extremidade do arco em questão, mas um breve diálogo fez com que eles
entendessem e preenchessem as tabelas corretamente:
CA, LU, RA e MA – Professor, onde é que o eixo x é negativo?
Professor – Vocês sabem onde está o zero, nesse eixo?
MA – No cruzamento! Na origem dos eixos.
Professor – E onde estão os valores positivos desse eixo?
LU e CA – Do lado direito do zero!
Professor – Perfeito! E do outro lado?
LU – Ah, sim. Os negativos! É lógico, isso aqui é uma reta numérica (referindo-se
à reta real).
Professor – E o eixo y?
MA e CA – É um eixo numerado, igual ao x!
Professor – Então, onde está o zero?
LU – Na origem também!
Professor – E acima dele estão os números com quais sinais?
LU, MA e CA– Positivos e abaixo dos negativos.
Professor – Essa é análise que vocês farão ao observar os pontos do ciclo para
preencher as tabelas do item D.
CA – Show, professor! Deixa com a gente agora!
No final dessa atividade, procedeu-se à generalização das tabelas, conforme a
figura 50, ficando nítida a participação de todos nesse debate, bem como os
entendimentos necessários para sua resolução.
127
Figura 50 – Registro dos alunos MA e OT
Fonte: Dados da pesquisa
A partir do preenchimento, pelo aluno, da tabela apresentada no item D, como
indica a figura 50, foi possível completar a outra tabela do mesmo item, conforme
demonstrado na figura 51.
Figura 51 – Registro dos alunos MA e OT
Fonte: Dados da pesquisa
Nessa atividade chamou a atenção o bom nível de satisfação com que os alunos
finalizaram esse encontro, conforme comentários deles, descritos abaixo:
JA e CH – Professor, isso deveria ser dada numa matéria de pré-cálculo. Iria nos
ajudar a entender direito aquelas questões de taxa de inclinação das derivadas e outras
coisas!
KA – Professor, se eu tivesse aprendido assim, eu estava em Harward!!
128
6.9 Aplicação e análise da atividade 10
Essa atividade contou com dezessete alunos que se agruparam em oito duplas de
trabalho e mais um que preferiu produzir sozinho. Nela, o educando teve acesso a um
arquivo do programa Geogebra previamente montado, e as orientações do roteiro
direcionavam o seu manuseio. Optou-se por essa forma de condução, devido aos
discentes já estarem hábeis na manipulação do software, priorizando o tempo do encontro
para as análises gráficas e para as investigações matemáticas, promovidas por
questionamentos, perguntas e preenchimentos de tabelas.
Figura 52 – Alunos no laboratório de computação realizando a atividade 10
Fonte: Dados da pesquisa
ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO
TANGENTE NO GEOGEBRA
1.
Abra o programa Geogebra;
2.
No ícone ARQUIVO, abra o ATIV. 10 - tangente;
3.
Com a ferramenta girar em torno de um ponto
, clique em O e depois
no ponto B;
4.
Gire o ponto B sobre a circunferência até obter α próximo de 90º;
5.
Se o ponto T não estiver traçando o rastro, habilite, clicando com o
botão direito do mouse no ponto no T e clique em exibir rastro;
6. Gire o ponto B sobre a circunferência para qualquer valor de α, observe o
gráfico gerado para realizar as atividades propostas.
129
Após os alunos manusearem o mencionado arquivo e observarem a dinâmica
proposta, o professor solicitou que eles gravassem a tela na forma de uma imagem e a
enviassem para o seu endereço virtual. Essas imagens estão na figura 53.
Figura 53 – Registro sequencial de aluno da construção proposta
Fonte: Dados da pesquisa
Explorando a parte de observação e investigação, o professor pediu: – Pessoal,
observando a tela, girem o ponto B do ciclo aumentando o arco α e habilitem a
ferramenta rastro, do ponto T. O que vocês observam?
LU e CA – Professor, o rastro de T vai formar uma reta?
Professor – Abram mais o ponto B, de modo que o ângulo α aumente seu valor
até perto de 180º. Mas há contraposição.
CA – Ah, parece uma perna da parábola!
Professor – Mais ou menos! Pelo menos não é uma reta! Mas como é o nome
dessa curva?
Eles não respondem, abrindo a chance de um debate com oportunidade de
questionamentos e observações:
Professor – Pessoal, quando vocês rotacionam o ponto B, o ângulo α abre, e
temos um ponto que movimenta no eixo x. Certo?
Alunos – Sim, professor.
Professor – O que esse ponto ou esse segmento representa nessa situação?
LE, JA e KA – Esse é o arco linearizado!
Professor – Como vocês têm certeza?
130
LE – É só olhar o valor da abscissa do ponto H na janela de álgebra do lado.
Quando se abre B até perto de E, α se aproxima de 180º, e o valor de H de 3,1, que é o
comprimento do arco do ciclo trigonométrico.
CH – Ah, é mesmo! Inclusive, professor, é por isso que teve aquela atividade de
linearização do arco. Linearizar o arco é para sabermos onde a ponta do arco está no eixo
x! Não é?
Professor – O que vocês acham? Ajudem! Opinem!
LE – Sim, professor! Percebemos isso na atividade passada, que tínhamos que
montar a senoide e cossenoide!
AN – Como assim?
LE – Quando a gente pegava a medida de segmento vertical no ciclo, só
podíamos colocá-lo na reta no ponto de equivalente. Ou seja, que o comprimento do arco
estivesse esticado na reta. Não era? Então, a linearização servia para isso! Para sabermos
que ponto do ciclo tinha equivalência na reta.
– Entendi! Alguns exclamam! Isso mesmo! Mas repete!
LE – Professor, posso desenhar no quadro?
Professor – Lógico!
O aluno foi ao quadro e repetiu toda a dinâmica da atividade 9. Outros alunos
solidarizaram, passando a consolidar o conceito de linearização de arcos mostrando sua
aplicabilidade na construção gráfica.
Professor – Alguma dúvida?
Todos se calam.
Finalizada essa primeira parte, o professor propôs uma nova pergunta:
Professor – Gente, esse ponto T que está sobre um eixo vertical, que eixo é esse?
E essa figura que o ponto T está traçando? O que é isso?
OT – Esse eixo é o eixo da tangente, professor!
DI – Como você sabe?
OT – Vamos lá! Abre B até ter α =45º!
Todos foram para a máquina e fizeram o que ele propunha.
DI – Eita! É difícil! .
CA – É só aumentar a tela com o scroll do mouse!
– Consegui! E daí? (fala coletiva).
OT – Olhem para o ponto T, qual o valor de sua ordenada?
– 1! (fala coletiva).
131
Professor – Não é o mesmo de D? Olhem para o triângulo OAC, como é o nome
dele?
JA – Retângulo Isósceles!
OT – Então, qual o valor da tangente de α?
CA – 1.
OT – Por quê?
LU – Porque tangente calcula pela divisão entre cateto oposto e cateto adjacente.
Como no triângulo retângulo isósceles, os catetos têm a mesma medida, a tangente de 45º
é 1. Logo, o eixo vertical é o eixo das tangentes, e T representa o valor numérico da
tangente de α.
LU – Muito bom! (elogios gerais).
Professor – Pessoal, agora vocês podem seguir preenchendo os itens da atividade.
A) Posicione o ponto B no primeiro quadrante. Observando a figura gerada,
qual a razão entre segmentos do triângulo OAC que representa a tangente de
α?
B) Monte essa razão e mostre qual o segmento que equivale à tangente de
α? Explique seu raciocínio.
Nesse item, o professor não foi chamado para nenhuma intervenção. Isso pode ter
ocorrido devido à socialização inicial do encontro, que resgatou os conceitos
subsunçores, mostrando que sua boa significação deve ser indispensável para responder
esses dois itens.
Toda a turma acertou as respostas, como mostra a resposta da figura 54. Vale a
pena ressaltar que após a análise das respostas dadas à questão, observou-se que as
respostas e registros passaram a ser mais elaborados, assemelhando-se às demonstrações
formais, conforme o aprendizado ia acontecendo.
Figura 54 – Registro dos alunos KA e MA
Fonte: Dados da pesquisa
132
C) Para o ângulo α no PRIMEIRO quadrante, qual é o menor e maior
valor da tangente?
D) Para o ângulo α no SEGUNDO quadrante, qual é o menor e maior valor
da tangente?
E) Para o ângulo α no TERCEIRO quadrante, qual é o menor e maior
valor da tangente?
F) Para o ângulo α no QUARTO quadrante, qual é o menor e maior valor
da tangente?
Sobre esses quatro itens, esperava-se que os alunos percebessem que os pontos
das as tangentes se anulavam, assim como sua tendência ao infinito quando se
aproximavam da extremidade maior nos arcos do primeiro e terceiro quadrantes. Essas
conclusões surgiriam após uma simples movimentação do ponto B no ciclo e observação
dos valores da ordenada de T.
Nos registros, percebeu-se que os alunos estabeleceram conexões com os
conceitos estudados na componente Cálculo Diferencial e Integral 1, que não eram
previstas. Isso pode ser convalidado pelo contexto, revelando um alto nível de
significação das definições de limites laterais aplicadas às tendências de valores das
tangentes nos extremos de cada quadrante, como mostra a figura 55 do registro das
fichas.
Figura 55 – Registro dos alunos IN e RA
Fonte: Dados da pesquisa
G) Complete a tabela com os pontos do círculo trigonométrico, onde a curva
tangentoide cruza o eixo da abscissa. Logo em seguida, informe o grau de
abertura do ângulo α
133
Ponto
Graus
rad
Nesse item, também não houve pedido de atendimento para esclarecimento de
dúvidas, da mesma forma como ocorrido anteriormente, possivelmente devido ao assunto
ter sido debatido, esclarecido e compreendido na socialização inicial do encontro, como
mostram os diálogos anteriores e o registro da figura 56.
Figura 56 – Registro dos alunos IN e RA
Fonte: Dados da pesquisa
H) Observando sua construção com a origem do ciclo trigonométrico no
ponto A e sentido positivo do arco, complete a tabela corretamente:
QUADRANTE
I
II
III
IV
SINAL
POSITIVO/NEGATIVO
COMPORTAMENTO
CRESCENTE/DECRESCENTE
Logo que os alunos começaram a responder esse item, procedeu-se o seguinte
diálogo:
134
IN e RA – Professor, esse eixo vertical, que chamamos de eixos das tangentes,
também é um eixo real? Igual ao eixo do seno que vimos na atividade do encontro
passado, né?
Professor – Perfeito! E onde está o zero desse eixo?
IN – No ponto A, que é onde ele toca o ciclo!
Professor – Certo. E os números negativos e positivos onde estão localizados?
RA – Negativos abaixo do zero e positivo acima dele!
Professor – Perfeito!
IN e RA – Agora já entendemos!
Na análise de crescente e decrescente da tangente, algumas duplas solicitaram
intervenção, apresentando dúvidas. Por isso, o professor resolveu socializar:
Professor – Pessoal, como sabemos qualificar se uma função é crescente ou
decrescente?
JA – Se os valores aumentam é crescente, se os valores diminuem ela é
decrescente.
Professor – Mas e os valores de ângulos, precisamos tomar algum cuidado?
LE – O ângulo já está aumentando quando giramos o ponto B no sentido positivo
no ciclo. É só observar!
Professor – Correto! Então, se os ângulos aumentarem e os valores das tangentes
aumentarem também, temos uma função crescente. Certo?
– Sim! - Vários afirmam.
Professor – Mas como se dá isso do lado negativo do eixo? Por exemplo, se para
certo ângulo do segundo quadrante o valor da tangente for -10, e outro ângulo maior,
dentro do mesmo quadrante, for -5, então, nesse quadrante, a tangente terá qual
comportamento?
LU – Ela é decrescente professor!
CH – Não, está errado! Por quê, LU?
LU – Porque -10 é maior que -5.
De imediato vários alunos refutam:
RA – Não! -10 é menor que -5. Ele é mais negativo!
Professor – Alguém sabe explicar por quê?
RA – Pessoal, vamos imaginar na reta real. Do lado positivo, quando um número
está mais à direita, ele é maior e quando está à esquerda ele é menor. Certo!
CA – Explica lá no quadro!
135
O aluno foi ao quadro e representou na reta real os valores positivos 3 e 7 e
também os negativos -10 e -5, repetindo a explicação dada, mostrando que o
comportamento dos números negativos é semelhante ao do lado positivo da reta,
simplificando que essa comparação está associada à posição do número na reta real, que
quanto mais à direta o número se posicionar, maior será. E quanto mais à esquerda,
menor será. Assim, entre eles bastava perceber que quem estava à direta era maior, e à
esquerda, menor.
Esse momento foi essencial para rever esses conceitos de comparação entre
números negativos, pois era percebida essa lacuna nos erros de preenchimentos das fichas
dessa atividade, quando se comparavam os números negativos, acreditando-se que
poderia ser originária de dificuldades ainda no Ensino Fundamental II. O diálogo,
portanto, prosseguiu:
DI – Então a função tangente será sempre crescente?
Professor – O que vocês acham?
DI – Espera aí, professor!
Os alunos voltaram para as máquinas, manipularam o arquivo, observaram
ângulos e ordenada do ponto T. Logo em seguida, responderam, muitos com a coluna do
item que abordava o comportamento da função tangente já preenchida.
Reação coletiva - Perfeito, professor, ela é sempre crescente.
Professor – Ótimo! Podem seguir!
Eles seguiram, então, preenchendo a tabela da figura 57.
Figura 57 – Registro dos alunos IN e RA
Fonte: Dados da pesquisa
I)
Quando a medida do arco AB se aproxima muito da medida do arco AD
e AF, o que acontece com a reta w?
136
J)
Quais os valores das tangentes dos ângulos de 90º e 270º?
Quando estavam respondendo o item I, as duplas de trabalho formadas por JA,
CH, NA e LU chamaram o professor com a seguinte dúvida:
– Professor, por que quando aproximados o ponto B do ponto D, a reta centrada
em O dá um salto para o segundo quadrante?
Consciente da importância da consolidação desse conceito para desenvolvimento
de atividades futuras, o professor resolveu, então, socializar, pedindo para uma das duplas
repetir a pergunta.
Professor – Alguém sabe explicar isso?
MA – É por que não existe tangente de 90º!
Professor – Certo, mas por quê?
KA – Porque quando o ponto B se aproxima de D, a reta que gira em O fica
paralela!
Professor – Sim! É por aí! Mas não está completa a explicação!
(A turma se cala).
Professor – E o que acontece com o valor da ordenada do ponto T quando B se
aproxima de D?
MA – O valor cresce muito, e dizemos que o valor da ordenada de T tende para o
infinito.
Professor – Mas qual o valor da tangente de 90º?
CA – Não existe.
Professor – Mas tender ao infinito é diferente de dizer que o valor não existe.
KA – Professor, a reta que gira quando se aproxima de D ficará paralela, e não há
ponto comum entre duas paralelas, por isso que a tangente de 90º não existe.
Professor – Isso! Todos entenderam?
– Sim! Respondem vários.
Professor – Essa foi uma explicação gráfica. Mas existe a explicação algébrica.
Afinal, podemos calcular a tangente por outra razão diferente daquela entre cateto oposto
sobre adjacente. Alguém se lembra?
LE – Seno sobre o cosseno do mesmo ângulo!
Professor – Perfeito! Vamos pensar nisso, então! Propõe o professor, registrando
no quadro essa razão.
137
Professor – Quando aproximamos B de D, α se aproxima de 90º, e para quais
valores tendem o seno e cosseno de α?
MA, LU e RA – Seno se aproxima de 1, e o cosseno de zero!
Professor- Então? (Instiga).
CH – Professor, existe a divisão por zero?
Professor – Nesse caso, quanto que dá a divisão de 1 por zero?
JA e CA – Não existe, pois não tem como dividir por zero.
Professor – Sim, mas podemos explicar isso de uma forma melhor! Existe um
número que multiplicado por zero, resulta em 1?
IN – Não! Multiplicação por zero é zero!
TI – Ah, por isso que não existe a tangente de 90º. Caí em uma divisão por zero.
Professor – Isso! Então, existem essas duas formas de pensar, quando uma auxilia
a outra: a primeira no gráfico, a segunda na álgebra. Todos entenderam?
– Sim. Respondem.
Professor – Continuem, por favor!
O registro da figura 58 mostra como o debate contribuiu para a compreensão do
conceito de gráfico e da inexistência da tangente para os ângulos de 90º e 270º.
Figura 58 – Registros dos alunos IN e RA
Fonte: Dados da pesquisa
K) Para quais ângulos a tangente vale zero?
Poucos minutos após o debate, os alunos concluíram esse item, podendo ser
percebida uma boa significação do conceito da tangente, explicado pelo alto índice de
acerto dos alunos, entre os quais o registro da figura.
Figura 59 – Registros dos alunos IN e RA
Fonte: Dados da pesquisa
138
Em toda essa atividade ficou claro o quanto os alunos avançaram no raciocínio
matemático utilizando os fundamentos de geometria para embasar a trigonometria. Além
disso, o exercício de conjecturar, verificar hipóteses, validar ou refutar se tornou cada vez
mais natural, auxiliando as generalizações o que revela o potencial significativo das
tarefas.
139
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta pesquisa, foi definido como objeto de investigação, o ensino da
trigonometria, tendo como justificativa principal a deficitária compreensão do tema e da
presença dela constante no cotidiano, não percebida pelos alunos, mas verificada pela
trajetória de prática docente do pesquisador e confirmada nas leituras de outras
investigações e autores. Os estudos foram iniciados por meio de pesquisas bibliográfica e
documental, seguidos de um levantamento histórico na trigonometria, mostrando
contribuições na linha do tempo.
Dessa forma, o referencial teórico baseou-se na Teoria da Aprendizagem, de
David Ausubel (1963), e, ainda, procurou-se situar esse tema dentro do ensino atual, o
que foi possibilitado por uma pesquisa documental, por meio da leitura de documentos
oficiais preconizados pelo Ministério da Educação, além da análise de três livros
didáticos aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático, adotados por algumas
escolas públicas e privadas do Distrito Federal.
Percebido esse panorama, foi, então, apresentada uma proposta de ensino da
trigonometria a ser utilizada de modo complementar aos livros didáticos, com o objetivo
de auxiliar a compreensão do assunto por alunos do Ensino Médio, da Educação
Profissional ou de classes básicas do Ensino Superior, que procuram resgatar e/ou
compreender seus conceitos e definições, além de retomar os fundamentos da geometria
plana como pré-requisitos.
As aplicações das atividades permitiram perceber os níveis de defasagem de
conceitos e definições de geometria plana que impactavam na compreensão da
trigonometria. Por isso, foram elaboradas propostas de atividades por meio das quais os
aprendizes, no estudo do mesmo assunto, construíam o solicitado, empregando,
alternadamente, materiais manipulativos (régua, esquadros e compasso) e o software
Geogebra.
Além disso, pôde-se verificar, no decorrer dos trabalhos, que a opção pelo
agrupamento dos estudantes em duplas se mostrou como uma estratégia facilitadora da
aprendizagem, pois, na execução das tarefas, percebeu-se que a verbalização dos
raciocínios desencadeou um confronto ideológico, promovendo o exercício de
organização de ideias de forma concatenada.
As práticas investigativas, que envolviam os alunos nas ações de observar, refletir,
discutir, argumentar, propor, conjecturar e testar indicaram que as descobertas realizadas
140
por eles se mostraram favoráveis na melhoria da argumentação, registros e autoestima.
Portanto, as atividades planejadas e estruturadas motivaram os alunos para a produção de
seu conhecimento.
Para tanto, tendo como base a busca por uma aprendizagem significativa, na
elaboração dos itens das atividades, optou-se pelo uso de uma metodologia que
procurasse resgatar ou rever os conceitos anteriores, a fim de alicerçar a compreensão dos
posteriores. Com isso, tornou-se possível:

uma contínua revisão de conceitos subsunçores;

que a ausência de qualquer participante em algum encontro, não o
impossibilitasse de continuar aprendendo, pois o entrelaçamento das definições
procurou oportunizar o resgate dos conceitos, ora não vistos, promovendo a
compreensão do todo;

uma adequação na temporalidade da significação dos conceitos e definições,
presentes no processo de aprendizagem, singular de cada sujeito.
Vale ressaltar, ainda, que frequentemente os alunos extrapolaram o que fora
previsto na pesquisa, mostrando variabilidades de resoluções e estabelecendo novas e
diferenciadas conexões que evidenciaram e legitimaram as hipóteses deste trabalho, pois
o exercício contínuo de comunicar-se, o estímulo à formalização do raciocínio através das
falas e, consequentemente, dos registros escritos, demonstrando caminhos e apresentando
resultados, contribuíram para a formação de uma postura reflexiva e investigativa dos
sujeitos.
Entendeu-se, ainda, que o emprego dos materiais manipulativos na construção dos
desenhos se caracterizou como uma fase concreta da formação conceitual, enquanto as
construções que utilizaram o software promoveram um dinamismo que buscou romper a
barreira do estático, e ambas se aliaram no processo de construção do conhecimento.
Nesse sentido, a pesquisa revelou, ainda, que a formação do pensamento
matemático com o uso dessas mídias, requer rigor nos planejamentos, preparação prévia,
objetivos bem-estabelecidos e uma mediação diferenciada, pela promoção de aulas com
atividades envolventes e que oportunizem genuinamente o aprendizado significativo.
Foi constatado, no decorrer da pesquisa, que o emprego das mídias
manipulativos e software Geogebra
materiais
em ambiente de aprendizagem, se tornou favorável
pela variabilidade de recursos pedagógicos experimentados e que, quando bem
fundamentados e conduzidos, auxiliam na clivagem dos significados.
141
Observou-se, portanto, que a compreensão consolidada da trigonometria,
fundamentada em conceitos da geometria plana, se mostrou como um processo lento,
crescente e gradativo, assemelhando-se à forma de uma espiral, que teve, como
contribuição para seu entendimento, a inclusão de situações próximas ao cotidiano
vivenciado pelos alunos.
Portanto, recomendam-se alguns aspectos que precisam ser atentados no ensino
desses temas, quais sejam: evitar abordagens estanques, desconectadas e isoladas;
integrar o ensino da álgebra, geometria plana e trigonometria e priorizar estudos
contextualizados mostrando as aplicabilidades em diversas áreas do conhecimento sem a
recorrência de memorizações, pouco significativas e extremamente voláteis no campo do
saber, o que é preconizado pelos princípios PCNEM (BRASIL, 2000b):
Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho, argumentação
lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas, podem ser
desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno
possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e
visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 2000b, p.44).
Acredita-se que esse tema possibilita diversas investigações e estudos, mas não é
propósito desta pesquisa arrolar todas elas, senão uma restrita contribuição às práticas de
ensino-aprendizagem e subsídios ao fazer docente, propondo um caderno de atividades
que pode trazer contribuições na área de Educação Matemática.
142
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APÊNDICE A
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
UMA PROPOSTA PARA O ENSINO SIGINIFICATIVO DA TRIGONOMETRIA
Rialdo Luiz Rezende
Orientadora: Profª Drª Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2015
141
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO .................................................................................................................................... 142
ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA .......... 146
ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................. 150
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E
COMPASSO .............................................................................................................................................. 150
ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA ................................. 151
ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO GEOGEBRA153
ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO .............................................. 155
CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO ...... 155
ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E
COMPASSO .............................................................................................................................................. 161
ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO .............................. 164
DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ...................... 164
ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO .......................... 167
ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA ...... 171
142
APRESENTAÇÃO
O presente produto é proveniente de uma pesquisa no Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática da
PUC-Minas e tem como objetivo apresentar ao educador uma possibilidade complementar de intervenção
pedagógica no ensino da trigonometria com atividades preparadas, definidas e testadas sob uma linha
metodológica voltada para a construção do fazer matemático.
Este caderno é composto por dez atividades complementares que se destinam a melhorar a compreensão
do tema pelos alunos da Educação Básica e/ou Ensino Superior, abordando os seguintes tópicos: triângulo
retângulo, círculo trigonométrico e funções trigonométricas, envolvendo construções, interpretações e
fundamentações geométricas.
A consolidação de cada um desses conceitos poderá ocorrer ao final de dois momentos: no primeiro, eles
constroem o solicitado manipulando régua, compasso e esquadros, aqui designados como materiais
manipulativos, para, depois, responder perguntas, preencher tabelas e realizar cálculos. Num segundo
momento, mas abordando o mesmo conceito, empregam o software Geogebra e seguem preenchendo os
itens de cada ficha, baseando-se nas suas construções realizadas.
Visando oportunizar o confronto de ideias entre os estudantes, que requer uma organização concatenada e
estruturada do pensamento, sugerimos as duplas flexíveis de trabalho, tanto nas carteiras ou cadeiras de
sala de aula como no laboratório de informática. Assim, enquanto um aluno lê em voz alta o roteiro, o
outro manipula os instrumentos ou opera o computador. Porém, vale enfatizar que é desejável que eles se
alternem de funções, com o decorrer dos encontros, procurando dar condições a todos de manipularem.
Logo em seguida, ambos discutem e preenchem os itens.
Culturalmente, a maioria de nossos alunos está acostumada com aulas expositivas, cuja postura em sala
pouco extrapola a de assistir. Como reflexos desse modelo, percebem-se poucas interações entre os
colegas de sala e inclusive com o próprio professor sobre os assuntos, exercícios e tarefas propostas.
Comumente, essa prática dificulta a percepção do docente no processo de significações construídas pelos
estudantes, devido ao baixo nível de feedbacks, retardando os possíveis ajustes nas mediações
pedagógicas.
Portanto, procura-se, também, estimular as interações verbalizadas entre alunos e aluno-professor,
buscando criar um ambiente favorável de aprendizagem, livre de constrangimentos, quando externadas
proposições quaisquer, sejam elas simples, complexas, corretas, equivocadas ou infundadas. Portanto, o
143
estudantes devem ser estimulados a expor os seus pontos de vista e/ou escreverem suas conjecturas, seja
em papel ou no quadro, testando e esclarecendo-as verbalmente, de preferência.
Nesse formato apresentado, os aprendizes precisam ter a liberdade de se agruparem em duplas e, num
constante diálogo, confirmarem, rebaterem e/ou solicitarem explicações para responderem as atividades e
construírem o seu conhecimento, refinando-o através de um constante ir e vir ideológico.
Durante as atividades, exigem-se habilidades de organização concatenada do pensamento, assim como o
domínio de um vocabulário com palavras específicas de significados próprios, reafirmando que ler,
interpretar, conjecturar, propor, negar ou aceitar determinada tese ou hipótese é um labor enriquecedor
nesse processo de ensino e aprendizagem. Portanto, o trabalho em equipe pode favorecer a socialização e
a cooperação, atendendo aos diferentes níveis e ritmos de aprendizagem. (ZABALA, 1999, p.112).
Sugere-se, ainda, que na aplicação das atividades, cada dupla receba uma ficha contendo um roteiro de
construção, com questões a serem respondidas, cálculos a executar e/ou quadros para completar. O
professor, então, inicia o encontro com uma explicação dos objetivos almejados para aquela aula. No
decorrer, faz-se mister que ele transite acompanhando e mediando, ora esclarecendo certas dúvidas, ora
realizando observações sobre o que está sendo produzido, mas sempre respeitando o ritmo do grupo e
procurando estimular a autonomia dos alunos.
A prática investigativa também deverá ser exercitada por meio de observações, comparações, procurando
direcionar, levando os alunos a estabelecerem hipóteses e a proporem generalizações nas frequentes
discussões socializadas, que finalizam em sistematizações de todo o grupo. O professor poderá realizar
intervenções diretamente nas duplas, caso as dúvidas ou entraves sejam específicos, mas, numa situação
generalizada, o mediador poderá socializar os esclarecimentos necessários, procurando conduzir o grupo
para uma direção do caminho almejado.
As tarefas aqui apresentadas procuram resgatar os elementos subsunçores da vida escolar pregressa e no
cotidiano do sujeito, não-arbitrários e essenciais para o desenvolvimento cognitivo do pensamento
matemático aplicáveis à trigonometria. Dessa maneira, busca-se preencher as possíveis lacunas
pedagógicas existentes, para, em seguida, aprofundar no assunto, procurando respeitar a temporalidade e
a singularidade do sujeito, presentes no processo de aprendizado, oportunizando uma crescente
autonomia do saber fazer.
As atividades 1 e 3 são tutoriais, elaboradas para auxiliar e familiarizar os discentes ao manuseio dos
instrumentos e do software Geogebra. Para tanto, foram incluídos traçados com elementos básicos que os
preparam para tarefas seguintes.
144
Diante disso, acredita-se que os estudantes desenvolvam as respectivas competências e habilidades, de
acordo com o quadro 1, que esclarece os tópicos abordados, objetivos previstos e tempo estimado para
execução das atividades 2, 5, 7 e 9, que empregam material manipulativo, e das atividades 4, 6, 8 e 10,
que utilizam o software Geogebra.
Quadro 1 - Tópicos, objetivos e tempo previsto das atividades
Tópicos
Ativ.
Objetivos
Tempo previsto do
encontro e Mídias
utilizadas
Conhecer e manusear os instrumentos.
Traçar retas paralelas.
Traçar retas perpendiculares.
100 minutos.
Régua, compasso e
esquadros.
Conhecer a apresentação do Geogebra.
Manusear a partir de comandos básicos.
Familiarizar com o software.
100 minutos.
Software Geogebra.
2
5.
6.
7.
8.
100 minutos.
Régua, compasso e
esquadros.
4
9. Razões e proporções.
10. Semelhança de triângulos.
5
11. Medidas de arco central.
12. Unidades de medidas de arcos.
13. Linearização do arco.
Reconhecer um triângulo retângulo.
Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
Montar razões trigonométricas.
Calcular as razões trigonométricas.
Reconhecer um triângulo retângulo.
Identificar os elementos do triângulo
retângulo.
Montar razões trigonométricas.
Calcular as razões trigonométricas.
Reconhecer triângulos semelhantes.
Relacionar diferentes unidades de medidas de
ângulo.
Compreender a representação de arcos em
circunferências de arcos distintos.
6
14. Expressão geral dos arcos.
7
15. Redução ao primeiro quadrante.
8
16. Calculo do seno e cosseno de um
ângulo agudo do triângulo retângulo
inscrito no círculo trigonométrico.
17. Representação do seno, cosseno e
tangente no plano cartesiano.
3
Tutoriais
1
1. Manual do material de desenho
geométrico.
2.
Paralelismo.
3.
Perpendicularismo.
4. Tutorial do software Geogebra.
9
Triângulo retângulo.
Razões trigonométricas.
Leitura de texto.
Interpretação de texto.
100 minutos
Software Geogebra
100 minutos
Régua, compasso e
esquadros.
Determinar uma expressão geral dos arcos.
100 minutos.
Software Geogebra.
Perceber o círculo trigonométrico como campo 100 minutos
de estudos dos triângulos retângulos em seus Régua, compasso e
quadrantes.
esquadros.
Generalizar expressões de redução ao primeiro
quadrante.
Reconhecer a equivalência de ângulos no ciclo
em quadrantes diferentes.
Generalizar expressões de redução ao primeiro
quadrante.
Representar a razão seno e cosseno e tangente
no círculo trigonométrico.
18. Construir o gráfico da função seno e Identificar o comportamento das funções seno
cosseno no plano cartesiano, a partir do e cosseno, representando-o algébrica e
círculo trigonométrico.
graficamente.
19. Análise do comportamento do
Familiarizar com o comportamento da função
gráfico da senoide e cossenoide.
seno e cosseno.
Identificar regularidade em situações
100 minutos.
Software Geogebra.
100 minutos
Régua, compasso e
esquadros.
145
10
semelhantes, relacionando padrões a
algoritmos e propriedades a partir do
comportamento dos gráficos das funções
trigonométricas seno e cosseno.
100 minutos.
20. Construir o gráfico da função
Identificar o comportamento de valores
Software Geogebra.
tangente no plano cartesiano, a partir do trigonométricos com o da função tangente,
círculo trigonométrico.
representando-o algébrica e graficamente.
21. Análise do comportamento do
Familiarizar com o comportamento da função
gráfico da tangentoide, gerado a partir do tangente.
círculo trigonométrico.
Identificar padrões de regularidade em
situações gráficas, percebendo algoritmos e
propriedades da função trigonométrica
tangente e como são suas representações.
146
ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA
MATERIAIS Régua flexível transparente, esquadro isósceles, esquadro escaleno, compasso, folha
A4, lápis, lapiseira com grafite, lápis de cor e borracha.
Essa atividade visa à familiarização mínima necessária com os instrumentos de desenho para as
construções futuras. A precisão necessária será atingida quando alguns cuidados forem atendidos como
medidas corretas, posicionamento das mãos em cada situação e utilização de instrumentos adequados
para cada ocasião.
CONHECENDO OS INSTRUMENTOS
ESQUADRO ESCALENO – Trata-se de um triângulo escaleno, onde dois ângulos internos são agudos
com medidas de 30o e 60o. O terceiro ângulo é reto (90o), conforme mostra a figura abaixo.
ESQUADRO ISÓSCELES - Trata-se de um triângulo isósceles, onde dois ângulos internos são agudos
com medidas iguais de 45o. O terceiro ângulo é reto (90o), conforme mostra a figura abaixo.
POSIÇÃO DA FOLHA – A folha de A4 pode estar em uma das duas posições, retrato (em pé)
ou paisagem deitada.
COMPASSO – Instrumento utilizado para traçar arcos e circunferências, com medidas de raios diversos.
Formado por duas hastes, com grafite em uma das pontas e ponta seca na outra. A ponta seca é metálica e
serve para fixar o compasso na folha, evitando que o mesmo escorregue no momento de traçar.
LÁPIS OU LAPISEIRA – Esses instrumentos são bem conhecidos por todos. Porém, poucos sabem que
a dureza do grafite recebe uma classificação de 2H, H, HB, B, 2B e outros. Essa categorização parte do
mais duro- 2H, para os mais macios 2B, como mostra a figura abaixo. É importante lembrar que o lápis
ou lapiseira precisam ficar levemente inclinados, ao traçar, por conta do conforto e da precisão no
desenho.
147
TRAÇANDO ELEMENTOS BÁSICOS
TRAÇANDO UMA RETA HORIZONTAL – Para o traçado dessa reta, observe as imagens abaixo e
siga as instruções. Com a folha A4 na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno com a
borda esquerda da folha e com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha horizontal imaginária no
centro da folha. Agora incline o lápis, confortavelmente e trace a horizontal da esquerda para direita.
TRAÇANDO UMA RETA VERTICAL - Na mesma folha A4 que você utilizou para traçar a reta
horizontal, na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno, com a borda superior da folha.
Com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha vertical imaginária no centro da folha. Trace a vertical de
cima para baixo.
TRAÇANDO RETAS PARALELAS – Alinhe o lado do esquadro escaleno na reta horizontal da folha A4
que você já traçou, obtendo o outro lado do esquadro na posição vertical. Apoie o maior lado do esquadro
isósceles naquele lado que está na vertical. Firme o esquadro isósceles e deslize o escaleno para a posição de
148
interesse e trace a paralela. Sem soltar o esquadro isósceles, reposicione o escaleno e trace novas retas
paralelas. Observe as imagens para facilitar o manuseio.
TRAÇANDO UMA RETA PERPENDICULAR – Com o esquadro isósceles, alinhe um dos lados iguais
na reta vertical que você já traçou. Assim, o outro lado estará na posição horizontal, onde você apoiará o
maior lado do esquadro escaleno. Firme o esquadro escaleno (servindo de apoio), deslize o isósceles para a
posição de interesse, e trace qualquer reta perpendicular. Sem soltar o esquadro escaleno, reposicione o
isósceles e trace novas retas perpendiculares. As imagens ajudaram no manuseio.
149
TRAÇANDO CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS – Marque um ponto no centro de uma folha A4. Abra as
hastes do compasso com uma abertura de raio qualquer. Pegue no apoio do compasso, coloque a ponta seca
no ponto marcado, e levemente inclinado, rode-o traçando a circunferência ou arco desejado.
150
ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E
COMPASSO
MATERIAIS – Folha A4, régua flexível transparente, esquadros isósceles e escaleno, compasso, lápis e
borracha.
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo, na sequência em que são apresentados:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
No centro da folha A4, em posição retrato, trace um segmento horizontal AB de 10 cm;
Encontre o ponto médio M do segmento AB;
Coloque a ponta seca do compasso no ponto M, abra a haste grafitada até A e trace a
semicircunferência AB;
Em qualquer local do arco AB, marque um ponto C;
Trace os segmentos AC e BC obtendo o triângulo ABC;
Nomeie os ângulos α = CÂB, β = ABC e θ = ACB.
Nomeie o lado “a” como oposto ao ângulo α, o lado “b” oposto ao ângulo β e o lado “c” como
oposto ao θ;
A partir de sua construção, responda as questões seguintes:
ITENS
a) Como é classificado o triângulo ABC quanto aos ângulos? Por quê?
b) Os seus lados recebem nomes especiais? Quais?
c) Qual é a soma dos ângulos α e β?
d) Como você fez para descobrir a soma do item anterior?
e) De uma maneira geral, como se calcula seno, cosseno e tangente de um ângulo, em um triângulo
retângulo?
f) Complete corretamente a tabela a seguir utilizando o triângulo que você construiu.
OBSERVAÇÃO - A partir das razões trigonométricas obtidas, encontre as medidas dos ângulos.
Comprimento do lado “a” (cm)
Comprimento do lado “b” (cm)
Seno α =
Seno β =
Cosseno α =
Cosseno β =
Tangente α =
Tangente β =
Medida do Ângulo α =
Medida do Ângulo β =
151
ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA
O programa Geogebra é um software de Matemática dinâmica, gratuito, que permite construções
geométricas, auxiliando no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Pode ser instalado em várias
plataformas (Windons, Mac, Linux e outros). Também há a possibilidade de manuseá-lo diretamente online, quando conectado à internet.
Clicando no ícone do programa Geogebra
, ele abrirá e aparecerá a primeira tela representada pela
figura 1. Observe as escritas em vermelho como barra de menu, barra de ícones, janela de álgebra, eixos
ortogonais e barra de entrada.
Figura 1
Na barra de ícones, há vários ícones e em cada um deles existe uma seta, que está na parte inferior direta,
como mostra a figura 2.
Figura 2
Quando você clicar nessa seta, vários outros ícones internos abrirão, conforme a figura 3. Na caixa diálogo,
em cada ícone selecionado, aparecerá o comando a ser realizado na área de trabalho.
152
Figura 3
A visualização da tela pode ficar mais confortável para você. Para isso, selecione o ícone deslocar eixos ou
ampliar (observe a figura 4) ou com o scroll do mouse (figura 5) ajuste a tela.
Figura 4
Figura 5
153
ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO
GEOGEBRA
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada (parte inferior esquerda da tela), entre com o ponto A, digitando o seguinte
comando: A= (0,0). Agora, aperte a tecla enter e observe que aparecerá o ponto A sobre o eixo
horizontal;
3.
Da mesma forma que anteriormente descrito, entre com o ponto B= (10,0);
4.
Agora entre com o ponto C= (10,3);
5.
Selecione o ícone ponto médio
6.
Repetindo a etapa anterior, encontre o ponto E, médio de BD;
7.
Localize o ícone: segmento definido por dois pontos
e encontre D, ponto médio de AB;
, trace os segmentos AB, BC e AC. No final,
você terá construído o triângulo ABC.
8.
Localize o ícone: retas perpendiculares
e trace duas perpendiculares ao segmento AB, sendo uma
passando por D e outra por E;
9.
Com a ferramenta: ponto de intersecção entre objetos
, identifique o encontro entre a reta
perpendicular que passa por E e o segmento AC, obtendo o ponto F;
10.
Com a mesma ferramenta: ponto de intersecção entre objetos
, identifique o encontro entre a reta
perpendicular que passa por D e o segmento AC, obtendo o ponto G sobre AC;
11.
Agora, selecione o ícone: medida de comprimento
, e identifique as medidas de todos os lados dos
triângulos ABC, AEF e ADG e a medida do ângulo Â. Observe que as medidas informadas pelo
programa estão em centímetros;
12.
Selecione a ferramenta: ângulo
, e encontre a medida do ângulo BAC, clicando nos pontos B, A e
C, na seguinte sequência: primeiro no B, depois no A e, por último, no C. Observe que aparecerá um
ângulo α, com a medida em graus.
Agora com a construção que você fez no Geogebra, complete a tabela abaixo corretamente.
154
Triângulo
Triângulo ABC
Triângulo AEF
Triângulo ADG
Medida do cateto
menor
Medida do cateto
maior
Medida da
hipotenusa
Seno A =
Seno A =
Seno A =
Cosseno A =
Cosseno A =
Cosseno A =
Tangente A =
Tangente A =
Tangente A =
Medida do Ângulo A
Medida do Ângulo A
Medida do Ângulo A
155
ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO
CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO
MATERIAIS
Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis, transferidor e
borracha.
Para construirmos esse conceito, temos que entender, primeiramente, o que é linearizar o ciclo
trigonométrico. Observe a figura 1 e perceba que o processo consiste em tornar a curva da circunferência
uma reta. O zero (0) da reta real e a origem do ciclo coincidem e é necessário “rolar” o ciclo sobre a reta
real. E assim faremos em nossa atividade seguinte, nos orientando pelos passos do roteiro de construção.
Porém, como reflexão fica pergunta: Qual a necessidade de linearizar o ciclo trigonométrico?
Figura 1
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos
ortogonais, em que cada eixo terá aproximadamente 24 cm, e que a origem esteja 12 cm da duas
bordas da folha;
2.
Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3.
Considerando o centímetro como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de coordenada
(10,0);
4.
Trace com o compasso uma circunferência centrada em O, partindo de A, no sentido anti-horário.
Chamaremos essa circunferência de círculo trigonométrico;
5.
No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,10), C (-10,0) e D (0,-10). Observe que teremos a
circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;
156
6.
Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário e como a origem do ciclo
trigonométrico o ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;
7.
Com a medida do segmento OA, centre o compasso em A, gire-o no sentido anti-horário,
encontrando o círculo trigonométrico no 1º quadrante. Marque somente esse encontro e nomeie-o
como ponto E;
8.
Sem alterar a abertura do compasso, repita o processo centrando-o em E e obtendo o ponto “F” no
segundo quadrante;
9.
Novamente, com a mesma abertura do compasso, repita o processo centrando-o em F e obtendo o
ponto G que coincidirá com C;
10.
Escolha um local abaixo do círculo trigonométrico que você construiu e trace uma reta horizontal - h.
Em sua extremidade esquerda, marque um ponto e nomeio-o de Ah, como o ponto A da reta h;
11.
Iniciaremos, então, agora, o processo de linearização do círculo trigonométrico. Posicione a régua
flexível SOBRE o círculo, meça o comprimento do arco AE e transfira-o para a reta h, iniciando a
medida a partir do ponto Ah e finalizando na reta, com o ponto Eh da reta;
12.
Obtenha a medida do arco EF e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir
do ponto Eh e finalizando em Fh;
13.
Obtenha a medida do arco FG e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir
do ponto Fh e finalizando em Gh;
14.
Com a régua flexível, obtenha o comprimento do raio e transfira-o para o círculo trigonométrico.
Essa transferência de medida será SOBRE o círculo, e iniciará pelo ponto A (origem do ciclo) e
finalizará no ponto H, que estará no primeiro quadrante do círculo;
15.
Repita a transferência da medida iniciando por H e obtendo o ponto I;
16.
Repita a transferência da medida iniciando por I e obtendo o ponto J;
17.
Num processo semelhante ao passo 11, posicione a régua flexível SOBRE o círculo, transferindo a
medida do arco AH para a reta h, a partir do ponto Ah e marque o ponto Hh na reta;
18.
Repita a transferência a partir de Hh, obtendo o ponto Ih na reta;
19.
Repita a transferência a partir de Ih, obtendo o ponto Jh na reta.
A partir dessas construções, investigue, pesquise e responda os questionamentos seguintes:
157
ITENS
1.
Pesquise o que é um radiano?
2.
Complete a tabela corretamente
Arcos
Medida em radianos
AH
AI
AJ
3.
Com o raio do círculo trigonométrico que você construiu, calcule o comprimento dos arcos em
centímetros e sua medida em radianos.
Arcos
Comprimento dos arcos
Medida em radianos
AB
AC
AA
4.
Utilizando o transferidor, complete a tabela com as medidas dos arcos pedidos:
Arcos
AE
AB
AF
AC
AD
5.
Medida em Graus
Medida em radianos
Complete a tabela abaixo. Na coluna central, complete entre quais pontos do ciclo está cada medida
de arco em radiano e na coluna da direita, informe a equivalência da medida do arco em graus,
mostrando as etapas do cálculo. Observe o exemplo:
Arco em
Radiano
Entre quais pontos do ciclo
trigonométrico está o arco?
Medida em Graus a
partir de A
0,5
AeH
28,66o
1,3
1,6
2,5
4,2
5,2
6.
Marque os locais da reta h, onde temos os primeiros quatro valores de radianos da tabela do item E.
7.
Agora responda: Qual a finalidade de linearizarmos o ciclo?
158
ATIVIDADE 6 – USANDO E GEOGEBRA PARA CONSOLIDAR O CONCEITO DE RADIANO
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa;
2.
Na barra de entrada, entre com o ponto O= (0,0);
3.
Entre com o ponto A= (1,0);
4.
Selecione a ferramenta: compasso
, e trace uma circunferência centrada em O, com o raio sendo
do segmento AO;
5.
No ícone: intersecção entre dois objetos
, marque a circunferência e o eixo das ordenadas
(vertical) obtendo os pontos B na parte positiva do eixo e C na parte negativa. Caso seja necessário,
renomeie os pontos, clicando sobre eles com o botão direito do mouse e selecionando a opção
renomear;
6.
Com o mesmo ícone: intersecção entre dois objetos
, encontre o ponto D, intersecção entre a
parte negativa do eixo das ordenadas e a circunferência (encontro da circunferência com o eixo das
abscissas);
7.
Caso apareça um ponto não mencionado na barra de ferramentas, selecione: exibir e janela de
álgebra. Nessa janela de álgebra, clique o círculo azul do ponto indesejado, então ele apagará da tela;
8.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em A;
9.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada, obtendo o ponto E no primeiro
quadrante;
10.
Clique com o botão direito do mouse, sobre essa última circunferência traçada, clique em
propriedades e mude sua cor, para cinza claro. Assim, teremos uma construção com visual mais
limpo e visualização menos carregada;
11.
Apague da tela o ponto do quarto quadrante, que surgiu dessa última intersecção e o círculo
trigonométrico;
12.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em E;
13.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto F, no segundo
quadrante;
14.
Altere a cor da circunferência que passa no ponto F, repetindo o passo 10;
15.
Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em F;
159
16.
Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto G, que
coincidirá com o ponto C do eixo das abscissas;
17.
Altere a cor da circunferência que passa no ponto G, repetindo o passo 10;
18.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OAE;
19.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OEF;
20.
Com a ferramenta: polígono
, trace o polígono OFG;
21.
Utilizando a ferramenta: medida do ângulo
, clique sequencialmente nos pontos A, O e E,
obtendo a medida o ângulo agudo AOE referido anteriormente;
22.
Repita o processo do passo 20, obtendo a medida dos ângulos internos dos três triângulos de vértice
em O. Esteja atento na sequência de cliques sobre os pontos, para obter o ângulo correto (o segundo
clique, deverá ser no vértice do ângulo).
23.
Você poderá alternar a medida do ângulo entre graus e radianos, abrindo a janela OPÇÕES;
avançado e unidade de medida de ângulo, escolhendo a unidade desejada. Agora, responda os itens.
ITENS
1.
Qual o raio do círculo trigonométrico que você construiu?
2.
Qual o comprimento desse círculo trigonométrico linearizado?
3.
Qual o comprimento do arco AC?
4.
Qual a medida, em radianos, do ângulo α, β e γ?
5.
Observando a figura 1 e sua construção, complete a tabela abaixo corretamente. Na coluna do centro,
informe o valor do arco com extremidade no ponto e com uma casa decimal, em radianos. Como a
extremidade do arco se encontrará em algum local da reta, na coluna da direita, escreva os extremos
do intervalo numérico, com uma casa decimal, onde se encontrará cada ponto do referido arco,
quando linearizarmos o círculo trigonométrico sobre o eixo das abscissas, coincidindo as origens.
Siga o exemplo:
160
Pontos
Valor do arco em radiano, a
partir da origem do ciclo, e
em seu sentido positivo.
Intervalo numérico, de
extremidades com intervalo
máximo de 0,1 u.m.
A (origem do ciclo)
0
0 – 0,1
E
1,05
1,0 – 1,1
B
F
G
C
D
A (volta inteira)
6.
Escolha um ponto qualquer do círculo trigonométrico. Em seguida, informe o arco côngruo para o
número de voltas pedido e a medida do arco. Por fim, escreva uma generalização para os arcos
côngruos do ângulo escolhido.
Ponto do ciclo
Número de voltas
Expressão dos arcos
côngruos
Medida do arco
(a partir da origem do ciclo e no
sentido positivo)
Medida do arco
0
1
2
“n”
Socialize com o grupo da sala seus resultados e veja como se generaliza uma expressão geral dos arcos.
161
ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E
COMPASSO
MATERIAIS
Régua flexível, transferidor, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis e
borracha.
ATENÇÃO - O retângulo inscrito no círculo a ser construído será mais preciso de acordo como seu rigor
nos traçados. Portanto, observe bem as fotos e siga os passos do tutorial ao traçar as retas paralelas
solicitadas.
TUTORIAL DO TRAÇADO DE RETAS PARALELAS
Alinhe o lado numerado do esquadro escaleno
maior lado do esquadro isósceles
com a reta que deseja traçar a paralela. Apoie o
no lado esquerdo do esquadro escaleno, permitindo o
deslocamento vertical e, assim, o traçado de qualquer paralela, conforme as figuras. Firme o esquadro
isósceles e deslize o escaleno para a posição de interesse e trace a paralela. Observe as imagens para facilitar
o manuseio dos instrumentos.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
162
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos
ortogonais, onde a origem esteja a 12 cm das duas bordas (vertical e horizontal) e cada eixo com
aproximadamente 24 cm;
2.
Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;
3.
Considerando o DECÍMETRO como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de
coordenada (1,0);
4.
Trace com o compasso, o círculo trigonométrico centrado em O e origem em A, no sentido antihorário;
5.
No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,1), C (-1,0) e D (0,-1). Observe que teremos a
circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;
6.
Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário, e a origem do ciclo trigonométrico o
ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;
7.
Com o transferidor, marque o ponto E sobre o círculo trigonométrico com abertura de 30º em relação
a origem A, no sentido positivo;
8.
Utilizando os esquadros, trace uma reta paralela ao eixo das ABSCISSAS partindo do ponto E,
chegando ao ciclo no 2º quadrante, no ponto F (observe o tutorial no início desta atividade);
9.
Nomeie o cruzamento do segmento EF com o eixo das ordenadas como ponto M;
10.
Com um processo semelhante à etapa 8, trace o segmento FG, paralelo ao eixo das ORDENADAS
partindo de F e tocando o círculo trigonométrico em G, no 3º quadrante;
11.
Nomeie o cruzamento do segmento FG com o eixo das abscissas como ponto N;
12.
Com um processo semelhante à etapa 8, trace uma reta paralela ao eixo das abscissas partindo do
ponto G, chegando no ciclo no ponto H, no 4º quadrante;
13.
Nomeie o cruzamento do segmento GH com o eixo das ordenadas como ponto R;
14.
Com um processo semelhante à etapa 10, trace o segmento HE, paralelo ao eixo das ordenadas
partindo de H e tocando o círculo trigonométrico em E, no 1º quadrante;
15.
Nomeie o cruzamento do segmento HE com o eixo das abscissas como ponto S.
OBSERVAÇÃO – Se os procedimentos e traços foram precisos, ao traçar o segmento EG e FH eles
passaram pelo ponto O.
163
ITENS
1.
Em sua construção há 8 triângulos retângulos, onde as hipotenusas estão sobre os segmentos EG e
FH. Encontre os ângulos internos (em graus) de todos os triângulos retângulos, marque os valores em
sua construção e justifique seus cálculos.
2.
Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos
o anti-horário, complete a tabela corretamente:
Arcos
Medida em Graus
Medida em radianos
AE
AB
AF
AC
AG
AS
AH
AA
3.
O ângulo AÔE tem a mesma medida de abertura que o arco AE? Por quê? Isso se repete para EOM e
a abertura do arco EB? Explique.
4.
Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos,
complete a tabela corretamente:
Arcos
5.
Medida em graus
Arcos
AOE
EOB
AOB
BOC
BOF
FOC
AOF
FOC
AOC
COG
AOH
HOA
Medida do em graus
Soma da medida dos
dois ângulos
Generalize uma expressão de redução ao primeiro quadrante, para cada parte do círculo
trigonométrico:
2º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante -
164
ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO
DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
Siga os passos abaixo:
1.
Abra o programa Geogebra;
2.
No campo exibir, habilite a janela de álgebra, caso essa já esteja sendo visualizada;
3.
Entre com os pontos O= (0,0) e A= (1,0) na barra de comando;
4.
Aproxime a tela girando o scroll do mouse;
5.
Habilite o ícone: mover
e centralize os eixos, visualizando-os confortavelmente no centro da
tela. Se precisar de novos ajustes, proceda da mesma maneira;
6.
Com a ferramenta: compasso
centralize-a em O;
7.
Com o ícone: ponto
se for necessário;
8.
Selecione o ícone: segmento entre dois pontos
9.
Selecionando a ferramenta: ângulo
, clique no ponto O, abra a circunferência até o ponto A e
, crie B, clicando sobre o primeiro quadrante da circunferência. Renomei-o
e trace o segmento BO;
, clique nos pontos A, O e B nessa sequência. Caso a janela de
álgebra não esteja aparecendo o ângulo α, habilite-a na barra de ferramentas no campo: exibir;
10.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
, clique em O e, depois, arraste B, girando o
segmento BO sobre a circunferência, dentro do primeiro quadrante;
11.
Com a ferramenta: arco circular
, clique em O e, depois, nos pontos A e B;
165
12.
Clique com o botão direito do mouse sobre o arco AB, selecione propriedade e, depois, altere a cor
para outra de sua preferência;
13.
Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta
, clique em B e, logo em seguida, no eixo das
ordenadas, obtendo ponto B’ no segundo quadrante;
14.
Renomeie B’ como C, clicando com o lado direito do mouse sobre ele e selecionando renomear;
15.
Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta
, clique em C e, logo em seguida, no eixo das
abscissas, obtendo ponto C’ no terceiro quadrante;
16.
Renomeie C’ para D;
17.
Reflita D, em relação ao eixo das ordenadas, obtenha D’ no quarto quadrante e renomeie para E.
18.
Trace os segmentos BC, CD, DE e EB;
19.
Com a ferramenta: intersecção entre objetos
, obtenha essa intersecção entre o segmento BC e o
eixo das ordenadas, nomeando esse ponto como J.
20.
Repita o processo do passo 18, criando o ponto N para o cruzamento do segmento EB com o eixo das
abscissas e renomei-o.
21.
Crie o segmento ON com a ferramenta: segmento de reta
, e nas propriedades altere sua cor,
dando um destaque para o segmento;
22.
Crie o segmento OJ com a ferramenta: segmento de reta
, e nas propriedades altere sua cor,
dando um destaque para o segmento;
23.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
, clicando no ícone, depois no ponto O e
arrastando B, movimente o conjunto construído. Observe a janela de álgebra para as solicitações das
atividades seguintes.
ITENS
1.
Em sua construção, após rotacionar o ponto B, observe e generalize as expressões de redução ao
primeiro quadrante.
Quadrantes
Segundo
Terceiro
Quarto
Expressão
166
2.
Em sua construção, tomemos como origem do ciclo trigonométrico o ponto A e o sentido positivo.
Movimente o segmento BO e, observando a janela da álgebra, escolha vários ângulos, completando a
tabela corretamente, a partir do exemplo:
Ângulo α
10º
3.
No segundo
quadrante
170º
CORRESPONDENTE
No terceiro
quadrante
190º
No quarto
quadrante
350º
Rotacione o segmento BO, escolha três ângulos para cada quadrante, e complete a tabela
corretamente, observando janela de álgebra de sua construção. Como auxilio, siga o exemplo:
Quadrante Ângulo α
1º
Valor da
Comprimento do
Valor da
Comprimento do
abscissa de B
segmento ON
ordenada de B
segmento OJ
10º
2º
3º
4º
4.
Reposicione o ponto B no primeiro quadrante para montar a tabela abaixo. Informe a fórmula de
cálculo e segmento representativo em cada situação pedida.
Fórmula de cálculo
Seno de α
Cosseno de α
Expressão
matemática
Segmento
representativo
167
ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO
MATERIAIS
Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, transferidor, compasso, folha A3, lápis,
lápis de cor e borracha.
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
1.
Na folha entregue pelo professor com o círculo trigonométrico e eixos já impressos, marque dois
pontos no primeiro e outros dois no segundo quadrante. Nomeie esses pontos como E, F, G e H, onde
o primeiro é o E, o segundo é o F e assim sucessivamente;
2.
Reflita ortogonalmente ao eixo das abscissas esses pontos para o terceiro e quarto quadrantes
seguindo a ordem: Ponto E gera o ponto L, Ponto F gera o ponto K, G gera J e H gera I;
3.
Nomeie o cruzamento dos segmentos com a reta numerada da seguinte maneira: EL - M, FK – N; GJ
– P e IH – Q;
4.
Utilizando a mesma régua flexível, inicie a linearização do ciclo, transferindo o comprimento do arco
AE (sobre a circunferência), para o eixo horizontal, onde o início dessa transferência será o ponto A
(origem dos eixos ortogonais) e o final o ponto E’;
5.
Continue a linearização transferindo o arco EF para o eixo, obtendo o ponto F’ e dando sequência até
chegar em A’, quando lineariza-se completamente o círculo;
6.
Meça o comprimento do segmento ME, e transfira essa medida vertical sobre o ponto E’; Prossiga da
seguinte forma: NF sobre F’; OB sobre B’; PG sobre G’; QH sobre H’, QI sobre I’; PJ sobre J’; OD
sobre D’; NK sobre K’, ML sobre L’;
7.
Partindo do ponto A, una as extremidades dos segmentos obtendo uma curva chamada senoide;
8.
No mesmo sistema de eixos ortogonais e ciclo, transfira o segmento OA, para o eixo vertical sobre
A;
9.
Repita o passo 8 para OM, porém, transferindo-o verticalmente sobre o ponto E’. Prossiga da
seguinte forma: ON sobre F’; OP sobre G’; OQ sobre H’; OC sobre C’, OQ sobre I’; OP sobre J’;
OD sobre D’; ON sobre K’, OM sobre L’ e OA sobre A’;
10.
Partindo da extremidade do segmento OM marcada sobre o eixo vertical em A, una as extremidades
dos segmentos obtendo uma curva chamada cossenoide. Agora responda as questões a seguir:
168
ITENS
1.
No ciclo que você recebeu há dois eixos, um vertical e outro horizontal. Qual deles REPRESENTA
o eixo dos senos? Qual deles REPRESENTA o eixo dos cossenos? Explique.
2.
Sobre a senoide, qual o máximo e mínimo valor que o seno admite , indicando os pontos (abscissas)
onde isso acontece? Agora qual o máximo e mínimo valor do cosseno, indicando o ponto onde isso
acontece?
SENOIDE
Valor
MÁXIMO
Ponto(s) do EIXO Ponto(s) do
onde o gráfico
CICLO
linearizado
atinge o valor
máximo
(no eixo
horizontal)
Abertura do
ARCO em
GRAU
(a partir da
origem)
SENOIDE
Valor
MÍNIMO
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
mínimo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
169
COSSENOIDE
Valor
MÁXIMO
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
máximo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
COSSENOIDE
Valor
MÍNIMO
3.
Ponto(s) do EIXO
onde o gráfico
atinge o valor
máximo
Ponto(s) do
CICLO
linearizado
Abertura do
ARCO em
GRAU
(no eixo
horizontal)
(a partir da
origem)
Complete a tabela com os pontos onde a curva senoide e cosssenoide CRUZAM O EIXO DA
ABSCISSA. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo que esse ponto faz a partir da
origem do ciclo.
SENÓIDE
Ponto
4.
Arco
COSSENÓIDE
Ponto
Arco
Observando sua construção, a origem do ciclo trigonométrico no ponto A, e o ciclo positivo do arco,
complete a tabela corretamente colocando se o seno e cosseno são POSITIVOS, NEGATIVOS OU
NULOS.
Arcos
AA
AE
AF
AB
AG
Quadrante
seno
cosseno
170
Arcos
Quadrante
seno
cosseno
AH
AC
AI
AJ
AD
AK
AL
AA
Generalizando o comportamento do sinal das funções seno e cosseno a partir do gráfico que você construiu:
QUADRANTE
SENO
COSSENO
I
II
III
IV
5.
Observando o ciclo trigonométrico e os gráficos que você construiu, complete o quadro
corretamente:
SENO
Quadrante
I
II
III
IV
Sinal
Crescente/Decrescente
COSSENO
Sinal
Crescente/Decrescente.
171
ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA
ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO
1.
Abra o programa Geogebra;
2.
No ícone: ARQUIVO, abra o ATIV. 10 - tangente;
3.
Com a ferramenta: girar em torno de um ponto
4.
Gire o ponto B sobre a circunferência até obter α próximo de 90º;
5.
Se o ponto T não estiver traçando o rastro, habilite, clicando com o botão direito do mouse no ponto
T e clique em exibir rastro;
6.
Gire o ponto B sobre a circunferência para qualquer valor de α. Observe o gráfico gerado para
realizar as atividades propostas a seguir:
, clique em O e depois no ponto B;
ITENS
1.
Posicione o ponto B no primeiro quadrante. Observando a figura gerada, qual razão entre segmentos
do triângulo OAC que representa a tangente de α?
2.
Monte essa razão e mostre qual o segmento que equivale a tangente de α? Explique seu raciocínio.
3.
Para o ângulo α no PRIMEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
4.
Para o ângulo α no SEGUNDO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
5.
Para o ângulo α no TERCEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
6.
Para o ângulo α no QUARTO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?
7.
Complete a tabela com os pontos do círculo trigonométrico, onde a curva tangentoide cruza o eixo
da abscissa. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo α.
PONTO
GRAUS
RAD
172
8.
Observando sua construção com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e sentido positivo do
arco, complete a tabela corretamente.
SINAL
COMPORTAMENTO
QUADRANTE POSITIVO/NEGATIVO CRESCENTE/DECRESCENTE
I
II
III
IV
9.
Quando a medida do arco AB se aproxima muito da medida do arco AD e AF, o que acontece com a
reta w?
10.
Quais os valores das tangentes dos ângulos de 90º e 270º?
11.
Para quais ângulos a tangente vale zero?
173
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ZABALA, Antoni. Como trabalhar os conteúdos procedimentais em aula. Trad. Ernani F. da Rosa. Porto
Alegre: Artmed, 1999.