gabarito das questões abertas

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CARATINGA
ESCOLA “PROFESSOR JAIRO GROSSI”
Bloco de atividades 1ª etapa
Professor: Rildo Disciplina: Matemática Série: 3ª
QUADRO DE CONTEÚDOS E CAPÍTULOS
CONTEÚDOS / CAPÍTULOS
QUESTÕES
Triângulos e seus elementos
9
Áreas de triângulos
12, 25, 36
Segmentos proporcionais
3
Relações métricas no triângulo retângulo
2
Algumas relações na circunferência
1, 10
Distância entre pontos
4, 11, 26, 27
Distância de ponto a reta
14
Equação geral da reta
28
Equação reduzida da reta
29
Retas paralelas e perpendiculares
5, 6, 19
Equações de circunferências
7, 31
Posições relativas de duas circunferências
39
Posições relativas de reta e circunferência
40
Operações de números complexos
16, 20, 22
Plano complexo
37
Módulo e argumento de um complexo
13, 21
Operações na forma polar
30, 38
Operações com polinômios
35
Divisão de polinômios
23, 24, 33, 34
Número de raízes e fatoração de um polinômio
15, 32
Raízes imaginárias
18
Relação de Girard
32
Interpretação de gráfico e estimativa
8, 17
1
QUESTÃO 01 (Descritor: Identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de situações
problema.)
Assunto: Elementos da circunferência
Se todos os círculos da figura são de raio igual a 2,5 m, O COMPRIMENTO do caminho de A até B que
passa pelos centros dos círculos é
50 2 m
b) 55 2 m
c) 55 m
d) (50  5 2) m
a)
e) igual ao dobro do perímetro do retângulo
QUESTÃO 02 (Descritor: Utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de
comprimentos e áreas.)
Assunto: Teorema de Pitágoras
___
No retângulo ABCD de lados
___
___
AB = 4 cm e BC = 3 cm, o segmento DM é perpendicular à diagonal
___
AC então, AM MEDE
a) 2 cm
b)
9
cm
5
2
12
cm
5
5
cm
d)
2
5
cm
e)
9
c)
QUESTÃO 03 (Descritor: Utilizar as propriedades geométricas relativas ao conceito de semelhança de
figuras planas para a resolução de problemas.)
Assunto: Teorema de Tales
Analise a figura a seguir. Considere os quadrados de lados x e 10,5 cm. Nessas condições, o PERÍMETRO
DO QUADRADO MENOR vale
  
a)
b)
c)
d)
e)
36 cm
31,5 cm
24 cm
12 cm
6 cm
10,5cm
x
8cm
QUESTÃO 04 (Descritor: Utilizar as equações algébricas para modelar situações.)
Assunto: Distância entre dois pontos
Considerando o triângulo da figura seguinte podemos afirmar EXCETO
3
____
a)
AB  2 5
____
b) AC  17
c) O triângulo é acutângulo
d) O perímetro do triângulo é aproximadamente 13 cm
____
e)
BC  12
QUESTÃO 05 (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de distância e paralelismo.)
Assunto: Retas paralelas
Uma reta r é paralela ao eixo x e contém a interseção das parábolas y = (x-1)² e y = (x-5)². A EQUAÇÃO DE
r é:
a)
b)
c)
d)
e)
x=3
y=4
y = 3x
x = 4y
y = 4x
QUESTÃO 06 (Descritor: Identificar, a partir de suas equações, as posições relativas de retas.)
Assunto: Interseção de retas
Sobre OS GRÁFICOS das retas de equações 3x + 2y = 3, 5x + 2y – 7 = 0, x = 2 e y = 
3
, pode-se dizer
2
que
a)
b)
c)
d)
e)
não se interceptam.
Interceptam-se em mais de três pontos.
Interceptam –se em apenas três pontos.
Interceptam-se em apenas dois pontos.
Interceptam-se em um único ponto.
4
QUESTÃO 07 (Descritor: Utilizar diferentes formas de representar circunferências, para decidir se a solução
de um problema requer representação algébrica ou gráfica.)
Assunto: Equação de circunferência
Na figura abaixo, qual ponto, diferente do ponto O, está no INTERIOR de um círculo de centro O (2,3) e raio
4?
a)
b)
c)
d)
e)
A
B
C
D
E
QUESTÃO 08 (Descritor: Representar matematicamente situações e fenômenos dos mais variados campos
de estudo e da vida humana, seja nas demais ciências, como a Física, Química e Biologia, seja nas
ciências humanas e sociais, como a Geografia ou a Economia, ou ainda nos mais diversos setores da
sociedade, como na agricultura, na saúde, nos transportes e na moradia.)
Assunto: Interpretação de gráfico e estimativa
(ENEM – 2008) A passagem de uma quantidade adequada de corrente elétrica pelo filamento de uma
lâmpada deixa-o incandescente, produzindo luz. O gráfico abaixo mostra como a intensidade da luz emitida
pela lâmpada está distribuída no espectro eletromagnético, estendendo-se desde a região do ultravioleta
(UV) até a região do infravermelho.
A eficiência luminosa de uma lâmpada pode ser definida como a razão entre a quantidade de energia
emitida na forma de luz visível e a quantidade total de energia gasta para o seu funcionamento. Admitindose que essas duas quantidades possam ser estimadas, respectivamente, pela área abaixo da parte da
5
curva correspondente à faixa de luz visível e pela área abaixo de toda a curva, a eficiência luminosa dessa
lâmpada seria de APROXIMADAMENTE
a) 10%
b) 15%
c) 25%
d) 50%
e) 75%
QUESTÃO 09 (Descritor: Identificar conceitos geométricos para a construção de argumentação
consistente.)
Assunto: Soma dos ângulos internos de um triângulo
^
^
^
B
C
(UFT- 2008) Na figura abaixo considere  = 30º,   e   . No triângulo BDC O ÂNGULO D é:
3
3
a)
b)
c)
d)
90º
130º
150º
120º
QUESTÃO 10 (Descritor: Estabelecer conexões entre os diferentes temas e conteúdos da matemática, para
fazer uso do conhecimento de forma integrada e articulada.)
Assunto: Relações métricas na circunferência
(UFPel- 2008) Sejam três retas e um plano formando um triângulo equilátero ABC, de lado igual a 2 3
unidades de comprimento (u.c.), e outras regiões abertas. Uma circunferência de raio r e centro M é inscrita
nesse triângulo. A circunferência inscrita numa das regiões abertas é limitada pelas retas contendo os
segmentos BA, BC e AC e tem comprimento 18,84 u.c., centro N e fica externa ao triângulo ABC, conforme
figura abaixo.
Com base nos textos, considerando
MN é:
=
3,14, é correto afirmar que o COMPRIMENTO DO SEGMENTO
a) 6 u.c.
6
b)
c)
d)
e)
7 u.c.
4 u.c.
9 u.c.
5 u.c.
QUESTÃO 11 (Descritor: Usar modelos algébricos, gráficos e geométricos para resolver problemas.)
Assunto: Distância entre pontos
(UFMG – 2008) Nessa figura está representado um quadrado de vértices ABCD.
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A = (0,0) e B = (3,4).
Então, é CORRETO afirmar que o resultado das somas das coordenadas do vértice D é
a) -2
b) -1
1
2
3
d) 
2
c) 
QUESTÃO 12 (Descritor: Identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de situações
problema.)
Assunto: Área de triângulo equilátero e relações métricas na circunferência
(Mackenzie – 2008) Na figura, a circunferência de raio 6 é tangente às retas r e s nos pontos P e Q. A
ÁREA DA REGIÃO SOMBREADA é:
8 2
b) 6 2  2
a)
7
6 3
d) 8 3  4
e) 4 3  4
c)
QUESTÃO 13 (Descritor: Representar números complexos nas formas algébrica, trigonométrica ou no plano
de Gauss.)
Assunto: Argumento de números complexos
(Cefet MG – 2008) Os vértices de um polígono são os afixos dos números complexos z = x + yi, no plano
complexo, tais que
z  2 e Re (z²) = -2. Portanto, A ÁREA DESSE POLÍGONO é
Re (z²): parte real de z²
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
3
3
3
3
3
QUESTÃO 14 (Descritor: Resolver problemas envolvendo distância.)
Assunto: Distância de ponto a reta
Se o ponto A (x1, y1) é o pé da perpendicular baixada de B (0, -5) até a reta y = -x +3, ENTÃO x1 + y1, É
IGUAL a:
a)
b)
c)
d)
e)
-4
-2
0
2
3
QUESTÃO 15 (Descritor: Resolver problemas que envolvam divisibilidade algébrica.)
Assunto: Raiz de polinômio
O complexo 1 – i é raiz da equação x4 – 2x³ - 2x² + 8x – 8 = 0. AS OUTRAS RAÍZES são:
a) -2, 2 e i
b) 2, 3, e 1 + i
c) -2, 2 e 1 + i
d) 0, 2 e 1 + i
e) –i, i e 1 + i
QUESTÃO 16 (Descritor: Identificar números complexos nas formas algébrica.)
Assunto: Potência de número complexo
Sabendo-se que o complexo z = a + bi satisfaz à expressão iz + 2z = 2i – 11, então z² É IGUAL a
a)
b)
c)
d)
16 – 9i
17 – 24i
25 – 24i
25 + 24 i
8
e) 7 – 24 i
QUESTÃO 17 (Descritor: Modelar matematicamente situações e fenômenos dos mais variados campos de
estudo e da vida humana, seja nas demais ciências, como a Física, Química e Biologia, seja nas ciências
humanas e sociais, como a Geografia ou a Economia, ou ainda nos mais diversos setores da sociedade,
como na agricultura, na saúde, nos transportes e na moradia.)
Assunto: Leitura e compreensão de gráficos
Os gráficos abaixo mostram a mudança no número e no tamanho médio de fazendas em certo país, durante
os anos de 1940 a 1990.
A partir das informações desse gráfico, a única conclusão FALSA é
a) De 1950 a 1960, o número de fazendas decresceu em cerca de 1 000 000.
b) De 1940 a 1990, o número de fazendas decresceu.
c) De 1940 a 1990, o tamanho médio das fazendas cresceu a cada década.
d) Em 1980, havia cerca de 3 500 000 fazendas.
e) De 1950 a 1960, o tamanho médio das fazendas cresceu aproximadamente 100%.
QUESTÃO 18 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Raiz de polinômio
Sabendo-se que as raízes da equação x³ - 3x² - 6x + 8 = 0 formam uma progressão aritmética, é CORRETO
concluir que a
a)
b)
c)
d)
e)
menor delas é -2.
menor delas é -1.
maior delas é 1.
maior delas é 2.
maior delas é 3.
QUESTÃO 19 (Descritor: Resolver problemas envolvendo conceitos de perpendicularismo e distância.)
Assunto: Retas paralelas e perpendiculares
Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta: x – y = 3. A equação da RETA SUPORTE DA
OUTRA DIAGONAL e que passa pelo ponto V (4, -2) é:
a) x – y = 2
b) x + y = 2
9
c) x – y = -6
d) x – y = 6
e) –x + y = -2
QUESTÃO 20 (Descritor: Identificar números complexos nas formas algébrica.)
Assunto: Operações com números complexos
Multiplicando-se o número complexo z = 2 + 2i pela unidade imaginária i, obtém-se um número complexo
cuja representação, no plano, correspondente a um ponto PERTENCENTE À RETA de equação.
a)
b)
c)
d)
e)
y = -x
y = - 2x + 2
y=x
y = -2x
y = 2x
QUESTÃO 21 (Descritor: Resolver problemas utilizando números complexos.)
Assunto: Argumento de complexo
Seja o número complexo z = 1 + i. O ARGUMENTO PRINCIPAL de z² é:
a) 30º
b) 45º
c) 0º
d) 90º
e) 120º
QUESTÃO 22 (Descritor: Resolver problemas utilizando números complexos.)
Assunto: Operações com complexo
O número complexo z = 6i25 + (2i)6 + (i) 3 É IGUAL a:
a) 65 – 6i
b) 5 – 64 i
c) -64 + 5i
d) -64 + 7i
e) -65 + 6i
QUESTÃO 23 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Divisão de polinômios
O polinômio 2x³ -5x² + 4x -1 é divisível por x -1. Então, ao se efetuar essa divisão, O QUOCIENTE é
a) 2x² + 3x -1
b) -2x² -x + 3
c) -2x² - 3x -1
d) 2x² - 3x + 1
e) 2x² + x + 3
10
QUESTÃO 24 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Divisão de polinômios
Dividindo-se o polinômio A(x) = x³ - 2x² + 2 pelo polinômio B(x) obtém-se o quociente Q(x) = x – 3 e o resto
R(x) = 3x -1. É VERDADE QUE:
a)
b)
c)
d)
e)
B (2) = 2
B (1) = 0
B (0) = 2
B (-1) = 1
B (-2) = 1
QUESTÃO 25 (Descritor: Usar modelos algébricos, gráficos e geométricos para resolver problemas.)
Assunto: Cálculo de área através de determinante
ENCONTRE a ÁREA do triângulo representado na figura seguinte utilizando determinante.
QUESTÃO 26 (Descritor: Usar modelos algébricos, gráficos e geométricos para resolver problemas.)
Assunto: Distância entre pontos
Os vértices da base de um triângulo isósceles são os pontos (1, -1) e (-3, 4) de um sistema de coordenadas
cartesianas retangulares (plano cartesiano). Qual a ORDENADA DO TERCEIRO VÉRTICE, se ele pertence
ao eixo das ordenadas?
11
QUESTÃO 27 (Descritor: Transformar as linguagens mais específicas umas nas outras, como as
geométricas em algébricas ou gráficas e vice-versa.)
Assunto: Distância entre pontos
Observe a figura a seguir.
a) ENCONTRE a medida do LADO do quadrado.
b) CALCULE a ÁREA do quadrilátero ABCD.
QUESTÃO 28 (Descritor: Propor problemas envolvendo conceitos como distância e paralelismo.)
Assunto: Equação de retas paralelas
Encontre a EQUAÇÃO GERAL da reta r, paralela à reta de equação 3x - y - 10 = 0, sabendo que um dos
pontos de interseção de r com a parábola de equação y = x2 - 4 tem abscissa 1.
QUESTÃO 29 (Descritor: Identificar as equações de uma reta em suas várias formas e transformá-las de
uma forma para outra.)
Assunto: Equação da reta dados dois pontos e a inclinação
Sabendo-se que a inclinação da reta r que passa pelos pontos (a,0) e (1,-2) é
1
. ENCONTRE
2
a) o VALOR DE a.
b) a EQUAÇÃO REDUZIDA da reta r.
QUESTÃO 30 (Descritor: Representar números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.)
Assunto: Forma trigonométrica de número complexo
(UFMG – 2008) ESCREVA na forma trigonométrica os números complexos
i² = -1.
3  i e 2 2 (1  i ) , em que
QUESTÃO 31 (Descritor: Identificar retas e circunferências dadas por suas equações.)
12
Assunto: Equação geral da circunferência
 


(UNIFEI – 2008) O triângulo retângulo ABC , de vértices A 3,6 , B  3,6 e
circunferência. Determine a EQUAÇÃO GERAL dessa circunferência.
C3, 14 , está inscrito numa
QUESTÃO 32 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Multiplicidade de raízes
O polinômio P(x) = x5 + a4x4 + a3x³ + a2x² + a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com
multiplicidade 2 e duas de suas raízes são 2 e i. Encontre a SOMA DOS COEFICIENTES desse polinômio.
QUESTÃO 33 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Divisão de polinômios
Encontre o VALOR DE K sabendo que o resto da divisão de P(x) = x4 + kx² + kx – 7 por (x - 2) é 21.
QUESTÃO 34 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Operações com polinômios
Se P(x) é um polinômio divisível por (x + 2), tal que o resto da divisão de 3P(x) por (x – 1) é igual a 4,
encontre o VALOR de (P (1))² + (P (-2))².
QUESTÃO 35 (Descritor: Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer propriedades
e fazer generalizações envolvendo polinômios e equações algébricas.)
Assunto: Multiplicação de polinômios
Sejam os polinômios f = (3a + 2)x e g = 2ax – 3a + 1 nos quais a é uma constante. Qual deve ser O
VALOR de a para que o polinômio f(x) . g(x) tenha grau 2?
QUESTÃO 36 (Descritor: Interpretar modelos algébricos, gráficos e geométricos para resolver problemas.)
Assunto: Área de um triângulo a partir de seus vértices
A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A (2,1) e
B (3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abscissas, encontre OS VALORES
DE SUAS COORDENADAS.
QUESTÃO 37 (Descritor: Representar números complexos nas formas algébrica, trigonométrica ou no
plano de Gauss.)
Assunto: Forma trigonométrica, argumento e gráfico de um complexo
Considere o número complexo 1 + i
3 e faça o que se pede.
a) Determine seu MÓDULO E ARGUMENTO PRINCIPAL.
b) Coloque-o na FORMA TRIGONOMÉTRICA.
13
c) Faça a representação GRÁFICA.
QUESTÃO 38 (Descritor: Representar números complexos na trigonométrica.)
Assunto: Forma trigonométrica de um complexo
ESCREVA o número
5  5i
na forma trigonométrica.
2  2i
QUESTÃO 39 (Descritor: Diferenciar, a partir de suas equações, as posições relativas de circunferências.)
Assunto: Posição relativa de circunferências.
ENCONTRE a posição relativa das circunferências de equações x² + y² - 6x – 2y + 6 = 0 e x² + y² = 1. Caso
elas sejam secantes ou tangentes, ENCONTRE OS PONTOS COMUNS.
QUESTÃO 40 (Descritor: Diferenciar, a partir de suas equações, as posições relativas de retas e
circunferência.)
Assunto: Posição relativa de reta e circunferência
ENCONTRE a equação das retas tangentes à circunferência (x – 2)² + (y + 1)² = 1 passando pelo ponto
A (2,1).
GABARITO DAS QUESTÕES OBJETIVAS
QUESTÃO 01:
D
QUESTÃO 13:
C
QUESTÃO 02:
B
QUESTÃO 14:
E
QUESTÃO 03:
C
QUESTÃO 15:
C
QUESTÃO 04:
E
QUESTÃO 16:
E
QUESTÃO 05:
B
QUESTÃO 17:
E
QUESTÃO 06:
E
QUESTÃO 18:
A
QUESTÃO 07:
E
QUESTÃO 19:
B
QUESTÃO 08:
C
QUESTÃO 20:
A
QUESTÃO 09:
QUESTÃO 10:
QUESTÃO 11:
QUESTÃO 12:
B
C
B
C
QUESTÃO 21:
QUESTÃO 22:
QUESTÃO 23:
QUESTÃO 24:
D
C
D
E
GABARITO DAS QUESTÕES ABERTAS
QUESTÃO 25
A = 41
QUESTÃO 26
y = 2,3
14
QUESTÃO 27
a) l = 3
b) A = 13
QUESTÃO 28
r: 3x – y – 6 = 0
QUESTÃO 29
a) a = 5
b) y =
1
5
x
2
2
QUESTÃO 30
3  i  2(cos

3
 i sen
2 2 (1  i )  4(cos

4

3
)
 i sen

4
)
QUESTÃO 31
x² + y² - 20y + 75 = 0
QUESTÃO 32
-4
QUESTÃO 33
K=2
QUESTÃO 34
16
9
QUESTÃO 35
a≠0ea≠ 
2
3
QUESTÃO 36
(5, 0)
15
QUESTÃO 37
a)
z =2e 


b) z = 2  cos

3

3
 isen


3
c)
3
QUESTÃO 38
5


 cos  isen 
2
2
2
QUESTÃO 39
As circunferências são tangentes
O ponto de interseção é (1,5; 0,5)
QUESTÃO 40
y-
3x+2 3 -1=0e y +
3x–2
3-1=0
16