Cap 1 - Unesp

ELETROMAGNETISMO I
1
1
FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS E
O CAMPO ELETROSTÁTICO
Os primeiros fenômenos de origem eletrostática foram observados pelos gregos, 5 séculos antes de
Cristo. Eles observaram que pedaços de âmbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a
capacidade de atraírem pequenas partículas de outros materiais. Como a ciência experimental e
dedutiva ainda estava longe de ser desenvolvida, o interesse nesse fenômeno permaneceu no campo
da lógica e da filosofia. A interação entre objetos eletricamente carregados (força eletrostática) só foi
quantificada e equacionada no século 18 (1746), por um cientista francês chamado Charles Augustin
de Coulomb (1736 – 1806).
1.1 - FORÇA ENTRE CARGAS ELÉTRICAS - LEI DE COULOMB
O trabalho de Coulomb consistiu em, usando uma balança de torção muito sensível, medir a força de
atração (ou repulsão) entre dois corpos carregados, em função da distância que os separava.
Conceito
A intensidade da força de interação elétrica entre dois objetos pequenos carregados,
separados pelo vácuo ou pelo espaço livre, sendo a distância entre eles muito maior que
os seus raios, é diretamente proporcional ao produto entre suas cargas, e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre eles.
F=k
F
(N)
Q1, Q2
R
k
(C)
(m)
Q1.Q 2
R2
(N)
(1.1)
Força de origem eletrostática, de repulsão (cargas de mesmo sinal) ou atração
(cargas de sinais opostos)
Cargas elétricas, positivas ou negativas
Distância entre os centros das cargas
Constante de proporcionalidade
A constante k vale:
k=
⎛ Nm 2 ⎞
1
= 9.10 9⎜⎜ 2 ⎟⎟
4πε 0
⎝ C ⎠
A constante ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. No S. I. (Sistema Internacional) seu
valor é:
ε 0 =8,854 x10 −12 =
10 −9
( F / m)
36π
A força eletrostática é uma grandeza vetorial possuindo intensidade, direção e sentido. Ela age ao
longo da linha que une as duas cargas. Também é uma força mútua. Cada uma das cargas sofre a
ação de uma força de mesma magnitude, porém, de sentido contrário. A força será repulsiva, se as
duas cargas forem de mesma natureza (mesmo sinal), ou atrativa, se de sinais contrários.
Reescrevendo a equação (1.1) vetorialmente:
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ELETROMAGNETISMO I
r
r
F2 = − F1 =
v
F1
v
F2
r
R 12
âr12
2
1 Q1 .Q 2
â r12 (N)
2
4πε 0 R 12
(1.2)
a$ r12
(1.3)
r
R12
=
R12
(N)
Força exercida sobre a carga Q1 pela carga Q2.
(N)
Força exercida sobre a carga Q2 pela carga Q1.
(m)
Vetor que vai da carga Q1 à carga Q2
r
Vetor unitário, ou versor, indicando a direção do vetor R12
y
y
(a)
ar12
Q1
(b)
r
F2
r
F1
r
R12
r
F2
r
F1
ar12
Q1
Q2
r
R12
x
Q2
x
Figura 1.1 Força entre duas cargas: (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contrários
Exemplo 1.1
Uma carga Q1 = 3x10-4 C está colocada no ponto P1(1,2,3) m. Uma outra carga Q2 = -10-4 C está
r
colocada no ponto P2(2,0,5) m. Encontrar a força F sobre cada carga.
Solução
Força sobre a carga 2:
Vetor que vai da carga 1 à carga 2
r
F2 =
r
r r
R12 = P2 − P1
r
R12 = (2 − 1). a$ x + (0 − 2). a$ y + (5 − 3). a$ z
r
R12 = a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z
R12 = 12 + ( −2) 2 + 2 2 = 3
r
Vetor unitário com a direção de R12
a$ r12
1
= (a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z )
3
r
F2 =
1 Q1. Q 2
. a$ r12
2
4 πε 0 R12
1 3x10 −4 .( −10−4 ) 1
(a$ x − 2. a$ y − 2. a$ z ) ( N )
4 πε 0
9
3
r
F2 = − 10(a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z )
( N)
Força sobre a carga 1:
r
F1 = 10(a$ x − 2. a$ y + 2. a$ z )
(N)
Exemplo 1.2
Uma carga positiva Q1 de 2 µC encontra-se na posição P1(1,2,1) m, uma carga negativa Q2 de 4 µC
encontra-se na posição P2(-1,0,2) m e uma carga negativa Q3 de 3 µC encontra-se na posição
P3(2,1,3) m. Encontre a força que atua sobre a carga Q3.
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3
Solução:
r
r
r
Pede-se F3 = F3,1 + F3, 2
r
R 23 = P3 − P2 ou
r
R 23 = (2 − ( −1))a$ x + (1 − 0)a$ y + (3 − 2)a$ z
r
R 23 = 3a$ x + a$ y + a$ z
O vetor que vai do ponto 1 ao ponto 3:
r
r r
R 13 = P3 − P1 ou
r
R13 = ( 2 − 1) a$ x + (1 − 2 ) a$ y + ( 3 − 1) a$ z
r
R13 = a$ x − a$ y + 2a$ z
r
Vetor unitário de R 23 :
r
R23 3aˆ x + aˆ y + aˆ z
aˆ r 23 = r =
11
R23
r
Vetor unitário de R13 :
r
aˆ − aˆ y + 2aˆ z
R
ˆa r13 = r13 = x
6
R13
Força sobre a carga 3, devido à carga 1:
r
1 (2 × 10 −6 )( −3 × 10 −6 ) a$ x − a$ y + 2a$ z
F3,1 =
4 πε 0
6
6
r
−3
F3,1 = − 3,67(a$ x − a$ y + 2a$ z ) × 10
( N)
Vetor que vai do ponto 2 ao ponto 3:
Força sobre a carga 3, devido à carga 2:
r
1 ( −4 × 10−6 )( −3 × 10 −6 ) 3a$ x + a$ y + a$ z
F3, 2 =
4 πε 0
11
11
r
−3
F3,2 = 2,96(3a$ x + a$ y + a$ z ) × 10
( N)
Força total sobre a carga 3:
r r
r
r
F3 = F3,1 + F3, 2 = (5,2a x + 6,63â y − 4,4â z ) × 10 −3 ( N )
Neste exemplo pode ser observado que, em um sistema discreto de cargas pontuais, a força sobre
uma carga deste sistema é a soma (vetorial) das forças entre esta carga e as demais cargas do
sistema, isoladamente.
A título de exercício, calcule a força sobre as outras duas cargas. As respostas deverão ser:
r
r
)
F1 = − 1,65a x −8,99â y +10â z × 10−3 ( N) e F2 = − 3,56a$ x + 2,36a$ y − 5,62a$ z × 10−3 ( N )
(
)
(
)
1.2 – A CARGA ELEMENTAR
Tomando o modelo planetário para a representação dos átomos, sabemos que as cargas ditas
positivas encontram-se presas ao núcleo enquanto que as cargas de natureza oposta, ditas
negativas gravitam em torno do núcleo, vinculadas por uma força de atração elétrica expressa pela lei
de Coulomb, cuja intensidade é dada pela equação (1.1). Vimos também que esta força ocorre aos
pares, obedecendo à 3ª. Lei de Newton ou da Ação e Reação. Desta forma, podemos definir uma
carga elementar como aquela de menor valor. Assim, uma carga elementar de um próton difere da
carga de um elétron apenas pelo sinal e vale no Sistema Internacional de Unidades:
e = 1,6 .10 −19 C (coulombs)
(1.4)
1.3 - O CAMPO ELÉTRICO
Considere duas cargas, uma carga Q em uma posição fixa, e uma carga de teste Qt. Movendo-se a
r
carga de teste Qt lentamente em torno da carga fixa Q, ela sofrerá a ação de uma força F . Como
essa força sempre será ao longo da linha que une as duas cargas, ela será sempre radial,
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considerando a posição da carga Q como origem. Além do mais, essa força aumentará de
intensidade se aproximarmos a carga de teste da carga Q, e diminuirá se a afastarmos
A partir dessas considerações pode-se perceber a existência de um campo de força em torno da
carga Q, que pode ser visualizado pela figura 1.2:
Q
Qt
r
F
Figura 1.2 Campo de força
produzido por uma carga
pontual Q positiva.
Expressando a força sobre Qt pela lei de Coulomb:
r 1 Q.Q t
.â r ( N)
F=
4 πε 0 R 2t
(1.5)
r
F
1 Q
=
.â r ( N / C)
Q t 4 πε 0 R 2t
(1.6)
Dividindo a equação (1.4) por Qt :
Percebe-se facilmente que a quantidade à direita na equação acima é função apenas de Q, e está
dirigida ao longo do segmento de reta que vai de Q até à posição da carga de teste. Definindo a
r
r
relação F Q t como sendo E , vetor intensidade de campo elétrico, e dispensando o uso de
índices, pode-se escrever:
r
E=
1 Q
. a$ r
4 πε 0 R 2
( N / C)
(1.7)
Vimos pela expressão (1.4) que a menor carga elétrica conhecida é a do próton ou a do elétron,
com 1,6. 10-19 C. Portanto, é fácil concluir que um campo elétrico não pode ser medido com precisão
absoluta, pois a carga de teste sempre afetaria o campo da carga em estudo. Em escala atômica isso
poderia representar algum problema, mas na totalidade dos casos que serão aqui estudados isso não
representará nenhum problema.
Exemplo 1.3
Uma carga Q = – 10-8 C está situada na origem de um sistema de coordenadas retangulares.
Escreva uma expressão para o campo elétrico em função das coordenadas x, y e z, considerando-se
que a carga Q estaria na origem desse sistema de coordenadas. Qual é o valor do campo elétrico no
ponto P(1,1,2) m ?
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Solução
r
E=
r
E = − 6,12(â x + â y + 2.â z ) ( N / C)
1 Q
. a$ r ( N / C)
4 πε 0 R 2
O campo elétrico produzido por uma carga
puntiforme é sempre orientado radialmente à
carga que o gera. Portanto, a solução deste
exemplo pode ser bastante simplificada se, ao
invés de se utilizar um sistema de
coordenadas cartesianas, utilizar-se um
sistema de coordenadas esféricas. A
expressão vetorial para o campo elétrico em
coordenadas esféricas será:
r
R = x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z
r
R = x 2 + y 2 + z2
a$ r =
r
E=
r
R
R
x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z
1
Q
( N / C)
2
2
2
4 πε 0 x + y + z
x2 + y2 + z2
r − 10−8 x. a$ x + y. a$ y + z. a$ z
E=
3
4 πε 0
x2 + y2 + z2 2
(
)
( N / C)
− 104
4 π × 8,85 × 6 6
(a$ x + a$ y + 2. a$ z )
1 Q
. a$ r
4 πε 0 R 2
( N / C)
O vetor unitário âr será simplesmente o vetor
unitário na direção do raio R. Para o ponto
(1,1,2), o módulo de R é:
R = 12 + 12 + 22 = 6
Para o ponto (1,1,2):
r
E =
r
E=
( N / C)
portanto:
r
E =
− 104
a$ r
4 π × 8,85 × 6
( N / C)
O campo elétrico assim obtido se mostra com uma simetria esférica, dependente apenas da distância
radial da carga ao ponto.
O exemplo que acabamos de resolver mostra que muitas vezes, ao tentarmos resolver um problema
de uma maneira que julgamos ser a "mais fácil" (no caso, o uso de um sistema de coordenadas mais
"conhecido"), estamos fazendo-o da maneira mais complicada. A exploração de simetrias, e o uso de
sistemas de coordenadas adequados a cada caso são fortemente incentivados em
eletromagnetismo.
Exemplo 1.4
Uma carga Q1 = 4x10-9 C está localizada no ponto P1(1,1,3) m. e outra carga Q2 = 2x10-9 C no
ponto P2(1,1,5) m. Calcule o valor da intensidade de campo elétrico criado no ponto P(4,-1,2) m por
estas duas cargas pontuais.
Solução
Vetor que vai de P1 a P:
3.aˆ x −2aˆ y − aˆ z
Vetor unitário ar1:
a r1 =
3.aˆ x − 2 aˆ y − aˆ z
14
Vetor que vai de P2 a P:
3.aˆ x −2aˆ y −3.aˆ z
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r 4 x10 −9 1 3. a$ x − 2 a$ y − a$ z
E=
+
4 πε 0 14
14
Vetor unitário ar2:
3.aˆ x −2aˆ y −3.aˆ z
aˆ r 2 =
22
2 x10 − 9 1 3. a$ x − 2 a$ y − 3. a$ z
4 πε 0 22
22
Campo elétrico em P:
( N / C)
r
E =9(0,286.â x −0,191â y − 0,134.â z ) ( N / C)
A exemplo do que foi feito para se calcular forças em um sistema discreto de cargas, o campo
elétrico devido a uma distribuição de cargas puntiformes é calculado somando-se a contribuição de
cada carga individualmente, no ponto onde se deseja conhecer o valor do campo elétrico.
1.3 - Distribuição Especial de Cargas
Além de cargas pontuais, podem existir outras configurações (distribuições) de carga, a saber:
distribuição linear de cargas, distribuição superficial de cargas e distribuição volumétrica de cargas.
1.3.1 - Distribuição linear de cargas - Uma distribuição linear e uniforme de cargas possui uma
densidade linear ρl C/m (fig. 1.3).
ρl C/m
Figura 1 .3 Distribuição uniforme e linear de cargas
Vamos agora analisar o comportamento do campo elétrico produzido por uma distribuição linear
infinita de cargas (sem ainda equacioná-lo). Vamos tomar duas cargas incrementais (ρldl), em uma
distribuição linear de cargas, como mostrado na figura 1.4.
dEz
r
P
dEz
dE
dEr
dE
Figura 1.4 Arranjo para
analisar o comportamento do
campo elétrico produzido por
uma distribuição linear infinita
de cargas
O campo elétrico em um ponto P situado a uma distância r, perpendicular à linha infinita de cargas
provocado por cada carga incremental é dE, orientado na direção da linha que une o incremento de
carga ao ponto P. Cada um desses campos pode ser decomposto em duas componentes: uma
paralela à linha, dEz, e outra perpendicular a ela, dEr. Como as cargas incrementais são simétricas
em relação à linha, as componentes dEz vão se anular e o campo elétrico resultante será a soma das
componentes dEr. Como se trata de uma linha infinita de cargas, para qualquer ponto z
(considerando um sistema de coordenadas cilíndricas), será sempre possível escolher conjuntos de
incrementos de cargas simétricos a ele, e o campo elétrico será sempre perpendicular à linha de
cargas. Adicionalmente movendo-se o ponto P em um círculo em torno da linha de cargas, o campo
elétrico se manterá perpendicular à linha com intensidade inalterada. Movendo-se o ponto P para
cima e para baixo, mantendo-se a distância r inalterada, a intensidade do campo elétrico não
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apresentará alterações. Finalmente, se a distância r variar, o campo elétrico deverá variar também.
Resumindo, o campo elétrico produzido por uma distribuição linear infinita de cargas:
• Possui simetria cilíndrica ou radial e deve ser equacionado utilizando-se um sistema de
coordenadas cilíndricas.
• Só varia com a componente radial.
Como exemplo de distribuição de uma linha de cargas, podemos citar os elétrons em um condutor
elétrico, que para efeitos de campo elétrico podem ser considerados como estáticos. A expressão
para a intensidade de campo elétrico produzido por uma linha de cargas será obtida no próximo
capítulo, que trata da lei de Gauss.
1.3.2 - Distribuição superficial plana de cargas - Uma distribuição plana infinita e uniforme de
cargas possui uma densidade superficial ρs C/m2 , conforme ilustrado na figura 1.5.
ρs
Figura 1.5 Distribuição superficial infinita de cargas
Para analisar o comportamento do campo elétrico produzido por esta distribuição superficial infinita
de cargas, vamos utilizar o arranjo mostrado na figura 1.6. Vamos considerar duas tiras infinitas de
espessura dx, simetricamente escolhidas em relação a uma linha de referência (linha pontilhada).
dEz
dE
r
x
z
dEx
Figura 1.6 Campo elétrico produzido por um elemento de cargas em uma distribuição superficial
Uma “fita” de carga pode ser considerada com sendo uma distribuição linear de cargas. Portanto, o
campo elétrico produzido por ela terá o mesmo comportamento do campo elétrico produzido por uma
distribuição linear e infinita de cargas. Assim, o campo elétrico incremental dE, em um ponto qualquer
z acima da linha pontilhada, produzido por uma das fitas será orientado radialmente em relação à fita.
Esse campo pode ser decomposto em duas componentes: dEx, paralelo à superfície de cargas, e
dEz, perpendicular à mesma. Como as duas fitas estão simetricamente colocadas em relação ao
ponto P, as componentes dEx deverão se anular, e o campo resultante será a soma das
componentes dEz. Assim, podemos por enquanto concluir que o campo elétrico produzido por uma
distribuição superficial e infinita de cargas será orientado perpendicularmente pelos dois lados desta
superfície. Neste caso dizemos então que as linhas de campo elétrico apresentam uma simetria
especular. Embora distribuições superficiais infinitas de cargas não existam de fato, podemos
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considerar como um exemplo prático o campo elétrico uniforme estabelecido por um capacitor de
placas planas e paralelas.
Embora as expressões para o campo elétrico produzido por distribuições infinitas lineares e
superficiais de cargas possam ser obtidas por integração direta, partindo de raciocínios como os
mostrados acima, não o faremos aqui, por existir um modo mais simples e fácil, através da lei de
Gauss, que será vista no próximo capítulo.
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EXERCÍCIOS
1)
Três cargas pontuais, Q1 = 300µC, e ,Q2 = 400 µC e Q3 = 500 µC acham-se localizadas em
(6,0,0) m , (0,0,6) m e (0,6,0) m respectivamente. Encontre a força que age sobre Q2,.
2)
Calcule a força que atua sobre uma carga de 100 µC localizada no eixo z a 3 m acima da origem
quando na presença de quatro cargas de 20 µC nos eixos x e y nos pontos ± 4 m.
3)
Há quatro cargas pontuais iguais, de 20 µC, localizadas sobre os eixos x e y, em ± 3 m. Calcule
a força que age sobre uma carga de 120 µC, localizada em (0,0,4) m.
4)
Uma película plana infinita com uma distribuição uniforme de carga de densidade ρS encontra-se
no plano definido pelos eixos x e y. Determine o campo elétrico que ela gera no eixo z acima da
origem.
5)
Sobre o eixo z encontra-se uma distribuição linear de cargas ρL = 20 nC/m entre z = 5 m e z = -5
m. Calcule o campo elétrico E no ponto (2, 0, 0)m. Estendendo o raciocínio, calcule agora o
campo elétrico criado por uma reta infinita e carregada num ponto genérico do espaço.
6)
O eixo z contém uma distribuição uniforme de cargas com descontinuidade entre z = – 5m e z =
5 m. Com a mesma distribuição do problema anterior, isto é, 20 nC/m determine o campo E
naquele mesmo ponto (2, 0, 0)m. Em seguida, faça a superposição dos resultados.
7)
Calcule a força que atua sobre uma carga pontual de 30 µC, localizada a uma altura de 5 m do
centro de um quadrado com 2 m de lado, com uma carga linear de 500 µC uniformemente
distribuída.
8)
Sobre os vértices de um cubo de lado l (m) há oito cargas pontuais idênticas de Q (C). Mostre
que a força agente sobre cada carga tem intensidade de 3,29 Q2 / (4πε0 l2) N.
9)
O plano 3x + y - 6z = 6 m contém uma distribuição uniforme de cargas com densidade ρs = 0,6
r
C/m2. Calcule o campo elétrico E relativo ao semi-espaço que contém a origem.
10) Um anel circular eletricamente carregado, com raio 4 m, está no plano z = 0, com centro
localizado na origem. Se a sua densidade uniforme for ρl = 16 nC/m, calcular o valor de uma
carga pontual Q , localizada na origem, capaz de produzir o mesmo campo elétrico em (0,0,5) m.
11) Calcule a carga contida no volume definido por 2 ≤ r ≤ 3 m, 0 ≤ φ ≤ π/3, 0 ≤ z ≤ 4 m, dada a
densidade de cargas ρ = 3zsen2φ C/m3.
12) Duas esferas plásticas identicamente carregadas e com massa de 80 mg podem se deslocar
sobre uma fibra isolante inclinada de 45º. Na situação de equilíbrio uma das esferas fica apoiada
sobre um nó na fibra, enquanto que a outra permanece a uma distância de 5 m dela. Pede-se a
carga das esferas.
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13) Três cargas pontuais localizam-se no vácuo, do seguinte modo: Q1 = ─ 6 µC em P1 (1, 0, 0), Q2
= 10 µC em P2 (2, 0, 0), e Q3 = 4 µC em P3 (4, 0, 0). Em qual das cargas age a força de maior
intensidade e qual é esse valor?
14) Duas cargas pontuais idênticas de Q C estão separadas por uma distância d m. Calcule o
r
campo elétrico E para pontos pertencentes ao segmento que une as duas cargas.
15) A lei da gravidade de Newton pode ser escrita F = Gm1m2 / R 2 , onde m1 e m2 são massas,
pontuais, separadas por uma distância R e G é a constante gravitacional; 6,664´10-11 m3/kg.s2.
Duas partículas, cada uma tendo uma massa de 15 mg estão separadas de 1,5 cm. Quantos
elétrons são necessários adicionar a cada partícula de modo a equilibrar a força gravitacional ?
16) Prove que a força de repulsão entre duas cargas pontuais e positivas separadas por uma
distância fixa é máxima quando as suas cargas possuem mesmo valor.
17) Duas pequenas esferas plásticas estão arranjadas ao longo de uma fibra isolante que forma um
ângulo de 45º, com a horizontal. Se cada esfera contiver uma carga de 2×10-8 C, e tiver uma
massa de 0,2 g, determine a condição de equilíbrio para as duas esferas sobre a rampa, bem
como a posição relativa entre elas.
18) Imagine que a terra e a lua possam receber cargas elétricas, de modo a equilibrar a força de
atração gravitacional entre elas. (a) Encontre a carga requerida para a terra, se as cargas estão
numa razão direta entre as superfícies da terra e da lua. (b) Qual é o valor de E na superfície da
lua, devido às suas cargas? Note que, uma vez que as forças de origem gravitacional e
eletrostática estão relacionadas com o inverso do quadrado da distância, não é necessário
conhecer a distância terra-lua para resolver este problema.
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